مفاهیم پایهٔ احتمال و آمار (ریاضی ۱)

چرا این فصل دو نیمه دارد؟

نتیجهٔ پرتابِ یک سکه، بارشِ فردا و آرای یک انتخابات از پیش معلوم نیست؛ به این‌ها پدیدهٔ تصادفی می‌گوییم. دو ابزارِ ریاضی سراغِ آن‌ها می‌رود: احتمال پیش از وقوع، شانسِ یک پیشامد را عدد می‌کند؛ آمار پس از وقوع، داده‌ها را جمع می‌کند، نظم می‌دهد، تحلیل می‌کند و از آن‌ها نتیجه می‌گیرد. اینجا نخست از سمتِ داده شروع می‌کنیم و بعد به شمارشِ شانس می‌رسیم.

بخش اول: علمِ آمار، جامعه و نمونه

میانِ آمار و علمِ آمار فرق بگذار: آمار خودِ داده‌های خام است (مثلاً فهرستِ دمای روزانهٔ تهران در یک ماه)، اما علمِ آمار روشِ کار با آن داده‌هاست و چهار مرحله دارد:

پیش‌بینیِ دمای ماهِ آینده از رویِ همان اعداد، دیگر آمار نیست؛ علمِ آمار است. کاربردهایش از تشخیصِ بیماری و آزمایشِ دارو تا هواشناسی، کشاورزی، اقتصاد و شناساییِ زیستگاهِ گونه‌های در خطر گسترده است. نمونهٔ آشنای یک شاخصِ آماری، شاخصِ تودهٔ بدن است:

که در آن $W$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وزن به کیلوگرم و $H$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قد به متر است؛ زیرِ $18.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کم‌وزن، $18.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $24.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی، $25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $29.9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه‌وزن و از $30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به بالا درجه‌های چاقی.

جامعه مجموعهٔ همهٔ افراد یا اشیایی است که دربارهٔ ویژگی‌شان تحقیق می‌کنیم و حجمش را با $N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان می‌دهیم؛ نمونه بخشی از جامعه است که برای مطالعه برمی‌گزینیم و حجمش $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس همیشه $n\le N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سراغِ نمونه می‌رویم چون بررسیِ کلِ جامعه معمولاً پرهزینه یا ناممکن است؛ سنجشِ کیفیتِ لامپ‌های یک کارخانه آزمونی تخریبی است و اگر همه را آزمایش کنیم چیزی برای فروش نمی‌ماند.

چهار روشِ رایجِ نمونه‌گیری: در تصادفیِ ساده هر عضو شانسِ برابر دارد؛ در منظم اعضا را شماره می‌کنیم و هر $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی‌اُمین عضو را برمی‌داریم که در آن $k=N/n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در طبقه‌بندی‌شده جامعه را به زیرگروه‌ها می‌شکنیم و از هر زیرگروه نمونه می‌گیریم؛ در خوشه‌ای چند خوشه را کامل بررسی می‌کنیم. اگر انتخاب تصادفی نباشد، نتیجه به کلِ جامعه تعمیم‌پذیر نیست و گرفتارِ تورشِ نمونه‌گیری می‌شویم.

مرحلهٔ دومِ علمِ آمار، یعنی نمایشِ داده‌ها، هدفش این است که چشم الگو را در یک نگاه ببیند. برای متغیرهای کیفی با دسته‌های کم، نمودارِ دایره‌ای مناسب‌ترین انتخاب است: کلِ دایره همهٔ داده‌ها را نشان می‌دهد و زاویهٔ هر قطاع با سهمِ آن دسته متناسب است. جمعِ درصدهای قطاع‌ها همیشه ۱۰۰ درصد می‌شود، درست مثلِ اینکه احتمالِ کلِ فضای نمونه برابرِ یک است. برای داده‌های کمی معمولاً از نمودارِ میله‌ای یا هیستوگرام استفاده می‌شود.

بخش دوم: متغیر و انواعِ آن

متغیر ویژگی‌ای از اعضای جامعه است که از عضوی به عضوِ دیگر تغییر می‌کند؛ سن، قد، نمرهٔ ریاضی، گروهِ خونی و جنسیتِ یک دانش‌آموز همه متغیرند. متغیرها دو شاخهٔ بزرگ دارند و هر شاخه دو زیرشاخه:

متغیرِ کمی قابلِ اندازه‌گیری است و مقدارِ عددی می‌گیرد. اگر بتواند هر مقداری را میانِ دو مقدارِ ممکن اختیار کند، پیوسته است و مقادیرش یک بازه از اعدادِ حقیقی را می‌سازد (قد، وزن، دما، زمان)؛ اگر میانِ دو مقدارِ ممکن خلأ باشد، گسسته است و معمولاً عددِ صحیح می‌گیرد (تعدادِ فرزندان، که ۲.۵ برایش بی‌معناست). ابزارِ متغیرِ پیوسته ترازو و متر و دماسنج است، ولی متغیرِ گسسته را می‌شماریم.

متغیرِ کیفی اندازه‌گیری نمی‌شود و مقدارش برچسب است. اگر میانِ برچسب‌ها ترتیبِ طبیعی باشد ترتیبی است (سطحِ تحصیلات، میزانِ رضایت، شدتِ درد، درجهٔ کیفیت) و اگر نباشد اسمی (جنسیت، گروهِ خونی، رنگِ چشم، رنگِ خودرو).

برای تشخیص، همین سه پرسش را به‌ترتیب از خودت بپرس: آیا می‌شود با ابزاری عددِ دقیق به آن نسبت داد؟ اگر آری کمی است و اگر نه کیفی. میانِ دو مقدارِ ممکن، مقدارِ دیگری هم ممکن است؟ اگر آری پیوسته و اگر نه گسسته. میانِ برچسب‌ها ترتیبِ منطقی هست؟ اگر آری ترتیبی و اگر نه اسمی.

سه دامِ پرتکرار را به خاطر بسپار. نخست، رتبه در مسابقه (اول، دوم، سوم) کیفیِ ترتیبی است نه کمی، چون فاصلهٔ میانِ رتبه‌ها معنایِ یکسانی ندارد. دوم، شمارهٔ تلفن و کدِ ملی با اینکه عددند کیفیِ اسمیاند، چون جمع و میانگین‌گرفتن از آن‌ها بی‌معناست. سوم، نمرهٔ امتحان بسته به صورتِ مسئله می‌تواند گسسته (نمره‌های صحیح) یا پیوسته (نمره‌های اعشاری) باشد.

در آمارِ حرفه‌ای همین طبقه‌بندی را به چهار مقیاسِ اندازه‌گیری گسترش می‌دهند: اسمی (فقط نام‌گذاری)، ترتیبی (ترتیب دارد ولی فاصله‌ها معین نیست)، فاصله‌ای (فاصله‌های برابر ولی بدونِ صفرِ مطلق، مثلِ دمای سانتی‌گراد) و نسبی (فاصلهٔ برابر به‌علاوهٔ صفرِ مطلق، مثلِ وزن و درآمد). تفاوتشان عملی است: در مقیاسِ نسبی گفتنِ «دو برابر» معنا دارد، اما ۴۰ درجهٔ سانتی‌گراد از نظرِ گرمای فیزیکی دو برابرِ ۲۰ درجه نیست.

بخش سوم: احتمال

آزمایش تصادفی و فضای نمونه

آزمایشِ تصادفی آزمایشی است که نتیجهٔ دقیقش را نمی‌توان پیش‌بینی کرد، ولی فهرستِ همهٔ نتایجِ ممکنش را می‌دانیم؛ انداختنِ تاس، پرتابِ سکه و کشیدنِ یک کارت از دسته نمونه‌های آشنای آن‌اند.

مجموعهٔ همهٔ نتایجِ ممکن، فضای نمونه است و با $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشانش می‌دهیم. برای یک تاس $n(S)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برای یک سکه $n(S)=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر تاس و سکه را با هم بیندازیم، اصلِ ضرب می‌گوید $n(S)=6\times 2=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همین اصلِ ضرب ستونِ فقراتِ شمارش در کلِ فصل است: هر بار که آزمایش از چند مرحلهٔ مستقل ساخته شده، شمارِ حالت‌ها در هم ضرب می‌شود.

هر زیرمجموعه از $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک پیشامد است. پس اگر $A\subseteq S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیشامد است و چون شمارِ زیرمجموعه‌های یک مجموعهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضوی برابرِ $2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، روی فضای نمونه‌ای با $n(S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو دقیقاً $2^{n(S)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیشامدِ ممکن وجود دارد. برای نمونه، در خانواده‌ای با ۴ فرزند و به ترتیبِ تولد، $n(S)=2^4=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پیشامدِ «دقیقاً یک دختر» $\binom{4}{1}=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو دارد.

چهار عملیاتی که باید بی‌درنگ بشناسی

پیشامدها مجموعه‌اند، پس عملیاتِ مجموعه‌ها روی آن‌ها معنا می‌دهد. $A\cup B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی دستِ‌کم یکی از دو پیشامد رخ دهد؛ $A\cap B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی هر دو با هم؛ $A-B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رخ دهد ولی $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه، که با $A\cap B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر است؛ و متممِ $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً رخ ندهد، یعنی $A'=S-A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو رابطهٔ زیر همیشه برقرارند:

دو پیشامد ناسازگاراند هرگاه $A\cap B=\varnothing$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی هیچ‌وقت با هم رخ نمی‌دهند. سه پیشامد وقتی دو به دو ناسازگاراند که اشتراکِ هر جفتشان تهی باشد. هر پیشامد با متممِ خودش همیشه ناسازگار است.

تعریفِ کلاسیکِ احتمال

وقتی همهٔ نتایجِ فضای نمونه هم‌شانس باشند:

و همیشه $0\le P(A)\le 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $P(\varnothing)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(S)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. عددِ صفر یعنی پیشامدِ ناممکن، عددِ یک یعنی پیشامدِ قطعی، و $0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی رخ‌دادن و رخ‌ندادن هم‌شانس‌اند.

سه قضیهٔ اصلی از همین تعریف بیرون می‌آید:

• قانونِ جمع: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر دو پیشامد ناسازگار باشند، جملهٔ آخر صفر می‌شود و جمعِ ساده کافی است.
• قانونِ متمم: $P(A')=1-P(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناسازگارند و اجتماعشان $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• یکنوایی: اگر $A\subseteq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $P(A)\le P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانونِ جمع برای سه پیشامد هم تعمیم می‌یابد: تک‌تک احتمال‌ها را جمع می‌کنی، اشتراکِ دوتایی‌ها را کم می‌کنی و اشتراکِ هر سه را دوباره اضافه می‌کنی (اصلِ شمول و طرد).

یک الگوی پرتکرار: دو تاس

فضای نمونهٔ دو تاسِ متمایز $6\times 6=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حالت دارد و اگر آن را در جدولی $6\times 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بچینی، قطرِ اصلی همان حالت‌هایی است که هر دو تاس عددِ یکسان آورده‌اند. شمارِ حالت‌ها برای هر مجموعِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی الگوی ساده‌ای دارد:

یعنی مجموعِ ۷ با ۶ حالت پرتکرارترین است و مجموع‌های ۲ و ۱۲ هرکدام تنها یک حالت دارند. همین عدم‌تقارن در ظاهرِ متقارن، خاستگاهِ خیلی از سؤال‌های این بخش است.

راهبردهای حل

۱. نخست فضای نمونه را بشناس و $n(S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کن. ۲. پیشامد را دقیق تعریف کن و $n(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بشمار. ۳. نسبتِ این دو را بگیر. در گامِ شمارش، اگر ترتیب اهمیت دارد سراغِ جایگشت برو و اگر ندارد سراغِ ترکیب. هر وقت هم عبارتِ «حداقل یکی» در صورتِ سؤال دیدی، پیش از هر کاری متمم را امتحان کن:

دو رابطهٔ پرکاربردِ دیگر: $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B')$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و مراقبِ رایج‌ترین دام باش: $P(A\cup B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی برابرِ $P(A)+P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که دو پیشامد ناسازگار باشند.

وقتی فضای نمونه را نمی‌شناسیم

در دنیای واقعی اغلب نمی‌دانیم نتایج هم‌شانس‌اند یا نه. آن‌وقت از احتمالِ تجربی استفاده می‌کنیم: نسبتِ دفعاتی که پیشامد رخ داده به شمارِ کلِ تکرارها. قانونِ اعدادِ بزرگ می‌گوید هرچه آزمایش را بیشتر تکرار کنیم، این عدد به احتمالِ نظری نزدیک‌تر می‌شود؛ سکه‌ای که در ۱۰۰۰ پرتاب ۴۸۷ بار رو بیاورد، احتمالِ تجربیِ $0.487$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد که تقریباً همان $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

کولموگوروف در ۱۹۳۳ کلِ نظریهٔ احتمال را روی سه اصل بنا کرد: احتمالِ هر پیشامد نامنفی است، احتمالِ فضای نمونه برابرِ یک است، و احتمالِ اجتماعِ دو پیشامدِ ناسازگار برابرِ جمعِ احتمال‌هاست. هر چیزی که در این فصل ثابت می‌شود، از همین سه اصل بیرون می‌آید.

احتمالِ شرطی و استقلال

اگر بدانیم $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رخ داده، احتمالِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عوض می‌شود، چون فضای نمونه عملاً به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محدود شده است:

دو پیشامد مستقلاند هرگاه $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، که معادلِ $P(A\mid B)=P(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ یعنی دانستنِ یکی چیزی دربارهٔ دیگری به ما نمی‌گوید. استقلال را با ناسازگاری اشتباه نگیر: پیشامدهای مستقل می‌توانند هم‌زمان رخ دهند (رو آمدنِ سکه و ۶ آمدنِ تاس)، ولی پیشامدهای ناسازگار هرگز. قضیهٔ بیز هم همین احتمالِ شرطی را برعکس می‌کند و در پزشکی و هوشِ مصنوعی کاربرد دارد؛ نتیجهٔ مهمش این است که در یک بیماریِ نادر، حتی آزمایشی با دقتِ ۹۹ درصد هم می‌تواند مثبت‌های کاذبِ فراوان بدهد.