Q: در یک آزمایش، فضای نمونه $S$ شامل تمام دنبالههای طول ۴ از حروف $\{A,B\}$ است (هر جای خالی فقط یکی از این دو حرف را میگیرد). رویداد $E$ برابر است با «تعداد حروف $A$ در دنباله دقیقاً ۲ باشد». اگر یکی از دنبالهها را بهطور تصادفی از $S$ انتخاب کنیم، احتمال رویداد $E$ کدام است؟

$\dfrac{3}{8}$ — تعداد اعضای $S$ برابر تعداد دنبالههای باینری طول ۴ است: $n(S)=2^4=16$. برای رویداد $E$ باید دقیقاً دو جایگاه از ۴ جایگاه، حرف $A$ باشد: $\binom{4}{2}=6$ حالت. پس $n(E)=6$. احتمال کلاسیک: \[ P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}. \] گزینهٔ «$\dfrac{3}{16}$» با شمارشِ نصفِ نادرستِ حالتهای مطلوب (۳ بهجایِ ۶) ساخته میشود. گزینهٔ «$\dfrac{1}{4}$» از فراموشکردنِ ضریبِ ترکیبیِ $\binom{4}{2}$ (استفاده از فقط یک جایگاهِ خاص بهجایِ همهٔ حالتهای ممکن) ساخته میشود. گزینهٔ «$\dfrac{1}{2}$» با این تصورِ نادرست ساخته میشود که نیمی از دنبالهها دقیقاً دو حرفِ $A$ دارند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ «دقیقاً k حرف/عدد در میانِ n جایگاه»، همیشه باید ضریبِ ترکیبیِ $\binom{n}{k}$ را برایِ شمارشِ همهٔ آرایشهای ممکن بهکار برد؛ فراموشکردنِ این ضریب، جواب را بهاشتباه فقط برابرِ احتمالِ یک آرایشِ خاص نشان میدهد.

Q: در یک مطالعه، شاخص توده بدنی (BMI) افراد با فرمول $\text{BMI}=\dfrac{\text{وزن(kg)}}{\text{قد(m)}^2}$ محاسبه میشود. اگر فردی وزنی برابر ۷۲ کیلوگرم و قدی برابر ۱٫۸ متر داشته باشد، بر اساس دستهبندی استاندارد زیر: $<18.5$: کموزن؛ $18.5-24.9$: نرمال؛ $25-29.9$: اضافهوزن؛ $\ge 30$: چاق این فرد در کدام دسته قرار میگیرد؟

نرمال (۱۸٫۵ تا ۲۴٫۹) — برایِ فرد: \[ \text{BMI} = \frac{72}{(1.8)^2} = \frac{72}{3.24} \approx 22.22. \] مقدارِ $22.22$ درونِ بازهٔ $18.5$ تا $24.9$ قرار میگیرد، که طبقِ جدولِ استانداردِ BMI دقیقاً همان طبقهٔ «نرمال» است. گزینهٔ «کموزن» (کمتر از ۱۸٫۵) و گزینهٔ «اضافهوزن» (۲۵ تا ۲۹٫۹) هر دو خارج از بازهٔ محاسبهشدهاند. گزینهٔ «چاق» (۳۰ به بالا) هم بهوضوح بسیار دورتر از مقدارِ واقعی است. تلهٔ تستی: در فرمولِ $BMI=\dfrac{W}{H^2}$، قد ($H$) باید بر حسبِ متر (نه سانتیمتر) وارد شود و بهتوانِ دو برسد؛ فراموشکردنِ تبدیلِ واحد یا بهتواننرساندنِ قد، رایجترین خطایِ محاسباتی در این نوع سؤال است. همچنین باید مرزهایِ دقیقِ هر طبقه (اینجا ۱۸٫۵ و ۲۴٫۹) با دقت بررسی شوند، نه فقط تخمینِ تقریبی.

Q: در یک آزمایش، دو سکه همگن را همزمان پرتاب میکنیم. فضای نمونه $S$ را چنین در نظر میگیریم: $\{HH,HT,TH,TT\}$. رویداد $A$: «حداقل یک رو»؛ رویداد $B$: «دقیقاً یک رو». کدام گزینه مقدار $P(A\cap B)$ را درست بهدست میدهد؟

$\dfrac{1}{2}$ — پیشامد B («دقیقاً یکبار رو») زیرمجموعهٔ پیشامد A («حداقل یکبار رو») است، چون هر حالتی که دقیقاً یک رو داشته باشد، خودبهخود حداقل یک رو هم دارد. پس $A\cap B=B$. با شمارش مستقیم فضای نمونه $\{HH,HT,TH,TT\}$، پیشامد B شامل $\{HT,TH\}$ است، یعنی $P(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$، و چون $A\cap B=B$، داریم $P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}$. گزینهٔ «$\dfrac{1}{4}$» با این تصور نادرست ساخته میشود که اشتراک باید کوچکتر از هر دو پیشامد و برابر تنها یک حالت باشد. گزینههای «$\dfrac{3}{4}$» و «$\dfrac{1}{8}$» بهترتیب با پیشامد A بهتنهایی و یک شمارش ناقص اشتباه گرفته میشوند. تلهٔ تستی: وقتی یک پیشامد زیرمجموعهٔ دیگری باشد (اینجا $B\subseteq A$)، اشتراکشان همیشه برابر پیشامد کوچکتر است؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانه نیست، اما بسیاری بدون بررسی این رابطهٔ زیرمجموعگی مستقیم سراغ فرمول کلی اشتراک میروند و اشتباه میکنند.

Q: در یک کلاس ۱۲ نفره، قرار است دو نفر را برای مصاحبه انتخاب کنیم. رویداد $E$: «حداقل یکی از افراد انتخابی، نماینده کلاس باشد». اگر در کلاس فقط یک نماینده وجود داشته باشد و انتخابها بدون ترتیب و بدون جایگزینی انجام شود، تعداد حالات رویداد $E$ کدام است؟

$\binom{11}{1}$ نفر دیگر — چون فقط یک نماینده در کلاس ۱۲نفره هست، «حداقل یک نماینده در انتخابِ دونفره» فقط با یک حالت ممکن است: نماینده انتخاب شود و یکی از ۱۱ نفرِ دیگر همراهش باشد، یعنی $n(E)=\binom{11}{1}=11$. گزینهٔ «$\binom{11}{2}$ نفر دیگر» با انتخابِ دو نفر از غیرنمایندهها (که شرط را برآورده نمیکند) ساخته میشود. گزینهٔ «$\binom{11}{1}+\binom{11}{0}$» با افزودنِ جملهای اضافی و بیمعنا ساخته میشود. گزینهٔ «$2\binom{11}{1}$ نفر» از دوبارشمردنِ نادرست ناشی میشود. تلهٔ تستی: وقتی فقط یک نمایندهٔ خاص وجود دارد، «حداقل یک نماینده در انتخابِ دونفره» همیشه معادلِ «همان نماینده + یک نفرِ دلخواهِ دیگر» است.

Q: فضای نمونه آزمایشی شامل ۵ حالت متمایز است. تعداد زیرمجموعههای ممکن برای رویدادهای این آزمایش (شامل مجموعه تهی و خود $S$) کدام است؟

۳۲ — اگر $n(S)=5$ باشد، هر رویداد یک زیرمجموعه از $S$ است. تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه با $n$ عضو برابر $2^n$ است، چون برای هر عضو، دو حالت «بودن/نبودن» در زیرمجموعه داریم. بنابراین: \[ \text{تعداد رویدادها}=2^{n(S)}=2^5=32. \] گزینهٔ «۱۰» با ضربِ سادهٔ $2\times5$ بهجای $2^5$ ساخته میشود. گزینهٔ «۲۰» و «۲۵» بهترتیب از ضربِ $4\times5$ و توانِ اشتباهِ $5^2$ ناشی میشوند. تلهٔ تستی: تعداد زیرمجموعههای یک مجموعهٔ nعضوی همیشه $2^n$ است، نه $2\times n$ یا $n^2$؛ قاطیکردنِ این فرمولها خطای رایج در این نوع سؤال است. همچنین مجموعهٔ تهی و خودِ $S$ هم جزوِ رویدادهای ممکناند و نباید فراموش شوند.

Q: در یک آزمایش، یک تاس سالم ششوجهی را دو بار پرتاب میکنیم. رویداد $A$: «جمع دو پرتاب برابر ۷»؛ رویداد $B$: «حداقل یکی از پرتابها ۶ باشد». احتمال $P(A\cap B)$ را بیابید.

$\dfrac{1}{18}$ — فضای نمونه دارای $6\times6=36$ حالتِ مرتب است. رویداد $A$ (جمع برابر ۷) شاملِ حالتهای: \[ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\Rightarrow n(A)=6. \] رویداد $B$ (حداقل یکی ۶) شاملِ ۱۱ حالت است. اشتراکِ $A\cap B$ یعنی اعضایی که هم جمعشان ۷ است و هم حداقل یک ۶ دارند: فقط $(1,6)$ و $(6,1)$، یعنی ۲ حالت: \[ P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}. \] گزینهٔ «$\dfrac{1}{36}$» فقط یکی از این دو حالتِ متقارن را شمرده است. گزینهٔ «$\dfrac{3}{36}$» با افزودنِ نادرستِ یک حالتِ اضافی ساخته میشود. گزینهٔ «$\dfrac16$» با اشتباهگرفتنِ این سؤال با $P(A)$ بهتنهایی ساخته میشود. تلهٔ تستی: در فضایِ نمونهٔ مرتبِ دو تاس، $(1,6)$ و $(6,1)$ دو حالتِ کاملاً جداگانهاند؛ فراموشکردنِ شمارشِ هر دو (نه فقط یکی) رایجترین خطاست.

Q: در یک فضای نمونه با $n(S)=50$، دو رویداد $A$ و $B$ داریم که $n(A)=30$، $n(B)=25$، و $n(A\cap B)=15$. تعداد اعضای $A\cup B$ کدام است؟

۴۰ — طبق اصل شمول و طرد برای شمارش اعضا: \[ n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+25-15=40. \] گزینهٔ «۴۵» از جمع سادهٔ $30+15$ (بدون توجه به مقدار واقعی $n(B)$) ساخته میشود. گزینهٔ «۵۰» با این تصور نادرست ساخته میشود که $A\cup B$ برابر کل فضای نمونه $n(S)$ است. گزینهٔ «۳۵» از جمع $n(A)+n(B)-2\times n(A\cap B)=30+25-30$ (کسر دوبارهٔ اشتراک) ناشی میشود. تلهٔ تستی: در اصل شمول و طرد، اشتراک فقط یکبار کم میشود، نه دوبار؛ کسر دوبارهٔ $n(A\cap B)$ یکی از رایجترین اشتباهات محاسباتی در این نوع سؤال است.

Q: اگر در یک آزمایش، احتمال رویداد $A$ برابر $\dfrac{2}{5}$ و احتمال رویداد $B$ برابر $\dfrac{1}{2}$ باشد و $A$ و $B$ مستقل باشند، احتمال $A\cap B$ کدام است؟

$\dfrac{1}{5}$ — برای رویدادهای مستقل: \[ P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = \dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}. \] وارسیِ مستقل: فضایِ نمونهای با ۱۰ عضوِ هماحتمال بگیرید که $A$ چهار عضو دارد ($4/10=2/5$) و $B$ پنج عضو ($5/10=1/2$). اگر استقلال برقرار باشد، $B$ باید دقیقاً نیمی از اعضایِ $A$ را دربر بگیرد، یعنی ۲ عضو: $2/10=1/5$ ✓. گزینهٔ «$\dfrac{4}{10}$» دقیقاً همان $P(A)$ است و اصلاً ضربی انجام نشده. گزینهٔ «$\dfrac{1}{10}$» از ضربِ اشتباهِ $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2}$ (استفاده از $\frac15$ بهجایِ $\frac25$) ناشی میشود. گزینهٔ «$\dfrac{3}{10}$» برابرِ $P(B)-P(A\cap B)$ است، یعنی احتمالِ «$B$ رخ دهد ولی $A$ نه» — نه خودِ اشتراک. تلهٔ تستی: استقلالِ دو رویداد یعنی $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$؛ فراموشکردنِ سادگیِ این ضرب و رفتنِ سراغِ فرمولِ اجتماع یا جمعِ ساده، خطایِ رایج است.

Q: در یک مطالعه آمار توصیفی، فراوانیهای چهار طبقه یک متغیر کیفی اسمی بهترتیب برابر ۱۰، ۱۵، ۵، ۲۰ است. اگر یک فرد بهطور تصادفی از نمونه انتخاب شود، احتمال آنکه در طبقه سوم قرار گیرد، کدام است؟

$\dfrac{5}{50}$ — مجموعِ فراوانیها: \[ 10+15+5+20=50. \] فراوانیِ طبقهٔ سوم (که فراوانیاش ۵ داده شده) برابر ۵ است. بنابراین احتمالِ انتخابِ فردی از این طبقه: \[ P=\frac{5}{50}. \] گزینهٔ «$\dfrac{5}{20}$» با مخرجِ نادرست (جمعِ فقط دو طبقهٔ اول) ساخته میشود. گزینهٔ «$\dfrac{5}{30}$» با مخرجِ نادرستِ دیگری (جمعِ فقط برخی از طبقات) ساخته میشود. گزینهٔ «$\dfrac{5}{25}$» با مخرجِ نادرستِ سوم ساخته میشود. تلهٔ تستی: فراوانیِ نسبی همیشه از تقسیمِ فراوانیِ هر طبقه بر فراوانیِ *کل* (مجموعِ همهٔ طبقات، نه فقط بخشی از آنها) به دست میآید؛ محاسبهٔ ناقصِ مخرج رایجترین خطاست.

Q: در یک آزمایش، یک تاس سالم را تا زمانی که برای اولین بار عدد ۶ ظاهر شود، پرتاب میکنیم. فضای نمونه از نظر تعداد حالات ممکن چگونه است؟

بینهایتِ شمارا — در هر پرتاب احتمال آمدن ۶ برابر $\frac{1}{6}$ است و ممکن است تا هر تعداد پرتاب ادامه یابد؛ هیچ حد بالایی برای تعداد پرتابها نیست. بنابراین ممکن است ۶ در پرتاب اول، دوم، سوم، ... ظاهر شود و فضای نمونه شامل رشتههایی با طولهای مختلف است. تعداد این حالات بینهایت است، اما میتوان آنها را بهصورت شمارشپذیر (بر اساس ترتیب طول) فهرست کرد. گزینهٔ «بینهایت ناشمارا» با این تصور نادرست ساخته میشود که فضای نمونه شبیه اعداد حقیقی است، در حالیکه اینجا هر نتیجه با یک عدد طبیعی (طول توالی) قابلشمارهگذاری است. گزینههای «متناهی» با نادیدهگرفتنِ این نکته ساخته میشوند که هیچ حدِ بالایی برای تعداد پرتابها وجود ندارد. تلهٔ تستی: وقتی آزمایش تا رسیدن به یک نتیجهٔ خاص تکرار میشود (نه تعداد ثابتی از پیش)، فضای نمونه هرچند بینهایت است، اما چون حالتهایش را میتوان بر اساس طول توالی یکبهیک شمرد، بینهایتِ شمارا محسوب میشود، نه ناشمارا.

Question 1

در یک آزمایش، فضای نمونه $S$ شامل تمام دنباله‌های طول ۴ از حروف $\{A,B\}$ است (هر جای خالی فقط یکی از این دو حرف را می‌گیرد). رویداد $E$ برابر است با «تعداد حروف $A$ در دنباله دقیقاً ۲ باشد». اگر یکی از دنباله‌ها را به‌طور تصادفی از $S$ انتخاب کنیم، احتمال رویداد $E$ کدام است؟

Accepted Answer

$\dfrac{3}{8}$ — تعداد اعضای $S$ برابر تعداد دنباله‌های باینری طول ۴ است: $n(S)=2^4=16$. برای رویداد $E$ باید دقیقاً دو جایگاه از ۴ جایگاه، حرف $A$ باشد: $\binom{4}{2}=6$ حالت. پس $n(E)=6$. احتمال کلاسیک:
$$
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
$$
گزینهٔ «$\dfrac{3}{16}$» با شمارشِ نصفِ نادرستِ حالت‌های مطلوب (۳ به‌جایِ ۶) ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{1}{4}$» از فراموش‌کردنِ ضریبِ ترکیبیِ $\binom{4}{2}$ (استفاده از فقط یک جایگاهِ خاص به‌جایِ همهٔ حالت‌های ممکن) ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{1}{2}$» با این تصورِ نادرست ساخته می‌شود که نیمی از دنباله‌ها دقیقاً دو حرفِ $A$ دارند.
تلهٔ تستی: در سؤالاتِ «دقیقاً k حرف/عدد در میانِ n جایگاه»، همیشه باید ضریبِ ترکیبیِ $\binom{n}{k}$ را برایِ شمارشِ همهٔ آرایش‌های ممکن به‌کار برد؛ فراموش‌کردنِ این ضریب، جواب را به‌اشتباه فقط برابرِ احتمالِ یک آرایشِ خاص نشان می‌دهد.

Question 2

در یک مطالعه، شاخص توده بدنی (BMI) افراد با فرمول $\text{BMI}=\dfrac{\text{وزن(kg)}}{\text{قد(m)}^2}$ محاسبه می‌شود. اگر فردی وزنی برابر ۷۲ کیلوگرم و قدی برابر ۱٫۸ متر داشته باشد، بر اساس دسته‌بندی استاندارد زیر:
$<18.5$: کم‌وزن؛ $18.5-24.9$: نرمال؛ $25-29.9$: اضافه‌وزن؛ $\ge 30$: چاق
این فرد در کدام دسته قرار می‌گیرد؟

Accepted Answer

نرمال (۱۸٫۵ تا ۲۴٫۹) — برایِ فرد:
$$
\text{BMI} = \frac{72}{(1.8)^2} = \frac{72}{3.24} \approx 22.22.
$$
مقدارِ $22.22$ درونِ بازهٔ $18.5$ تا $24.9$ قرار می‌گیرد، که طبقِ جدولِ استانداردِ BMI دقیقاً همان طبقهٔ «نرمال» است.
گزینهٔ «کم‌وزن» (کمتر از ۱۸٫۵) و گزینهٔ «اضافه‌وزن» (۲۵ تا ۲۹٫۹) هر دو خارج از بازهٔ محاسبه‌شده‌اند. گزینهٔ «چاق» (۳۰ به بالا) هم به‌وضوح بسیار دورتر از مقدارِ واقعی است.
تلهٔ تستی: در فرمولِ $BMI=\dfrac{W}{H^2}$، قد ($H$) باید بر حسبِ متر (نه سانتی‌متر) وارد شود و به‌توانِ دو برسد؛ فراموش‌کردنِ تبدیلِ واحد یا به‌توان‌نرساندنِ قد، رایج‌ترین خطایِ محاسباتی در این نوع سؤال است. هم‌چنین باید مرزهایِ دقیقِ هر طبقه (اینجا ۱۸٫۵ و ۲۴٫۹) با دقت بررسی شوند، نه فقط تخمینِ تقریبی.

Question 3

در یک آزمایش، دو سکه همگن را هم‌زمان پرتاب می‌کنیم. فضای نمونه $S$ را چنین در نظر می‌گیریم: $\{HH,HT,TH,TT\}$. رویداد $A$: «حداقل یک رو»؛ رویداد $B$: «دقیقاً یک رو». کدام گزینه مقدار $P(A\cap B)$ را درست به‌دست می‌دهد؟

Accepted Answer

$\dfrac{1}{2}$ — پیشامد B («دقیقاً یک‌بار رو») زیرمجموعهٔ پیشامد A («حداقل یک‌بار رو») است، چون هر حالتی که دقیقاً یک رو داشته باشد، خودبه‌خود حداقل یک رو هم دارد. پس $A\cap B=B$. با شمارش مستقیم فضای نمونه $\{HH,HT,TH,TT\}$، پیشامد B شامل $\{HT,TH\}$ است، یعنی $P(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$، و چون $A\cap B=B$، داریم $P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}$.
گزینهٔ «$\dfrac{1}{4}$» با این تصور نادرست ساخته می‌شود که اشتراک باید کوچک‌تر از هر دو پیشامد و برابر تنها یک حالت باشد. گزینه‌های «$\dfrac{3}{4}$» و «$\dfrac{1}{8}$» به‌ترتیب با پیشامد A به‌تنهایی و یک شمارش ناقص اشتباه گرفته می‌شوند.
تلهٔ تستی: وقتی یک پیشامد زیرمجموعهٔ دیگری باشد (اینجا $B\subseteq A$)، اشتراکشان همیشه برابر پیشامد کوچک‌تر است؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانه نیست، اما بسیاری بدون بررسی این رابطهٔ زیرمجموعگی مستقیم سراغ فرمول کلی اشتراک می‌روند و اشتباه می‌کنند.

Question 4

در یک کلاس ۱۲ نفره، قرار است دو نفر را برای مصاحبه انتخاب کنیم. رویداد $E$: «حداقل یکی از افراد انتخابی، نماینده کلاس باشد». اگر در کلاس فقط یک نماینده وجود داشته باشد و انتخاب‌ها بدون ترتیب و بدون جایگزینی انجام شود، تعداد حالات رویداد $E$ کدام است؟

Accepted Answer

$\binom{11}{1}$ نفر دیگر — چون فقط یک نماینده در کلاس ۱۲نفره هست، «حداقل یک نماینده در انتخابِ دونفره» فقط با یک حالت ممکن است: نماینده انتخاب شود و یکی از ۱۱ نفرِ دیگر همراهش باشد، یعنی $n(E)=\binom{11}{1}=11$.
گزینهٔ «$\binom{11}{2}$ نفر دیگر» با انتخابِ دو نفر از غیرنماینده‌ها (که شرط را برآورده نمی‌کند) ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\binom{11}{1}+\binom{11}{0}$» با افزودنِ جمله‌ای اضافی و بی‌معنا ساخته می‌شود. گزینهٔ «$2\binom{11}{1}$ نفر» از دوبارشمردنِ نادرست ناشی می‌شود.
تلهٔ تستی: وقتی فقط یک نمایندهٔ خاص وجود دارد، «حداقل یک نماینده در انتخابِ دونفره» همیشه معادلِ «همان نماینده + یک نفرِ دلخواهِ دیگر» است.

Question 5

فضای نمونه آزمایشی شامل ۵ حالت متمایز است. تعداد زیرمجموعه‌های ممکن برای رویدادهای این آزمایش (شامل مجموعه تهی و خود $S$) کدام است؟

Accepted Answer

۳۲ — اگر $n(S)=5$ باشد، هر رویداد یک زیرمجموعه از $S$ است. تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با $n$ عضو برابر $2^n$ است، چون برای هر عضو، دو حالت «بودن/نبودن» در زیرمجموعه داریم. بنابراین:
$$
\text{تعداد رویدادها}=2^{n(S)}=2^5=32.
$$
گزینهٔ «۱۰» با ضربِ سادهٔ $2\times5$ به‌جای $2^5$ ساخته می‌شود. گزینهٔ «۲۰» و «۲۵» به‌ترتیب از ضربِ $4\times5$ و توانِ اشتباهِ $5^2$ ناشی می‌شوند.
تلهٔ تستی: تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعهٔ n‌عضوی همیشه $2^n$ است، نه $2\times n$ یا $n^2$؛ قاطی‌کردنِ این فرمول‌ها خطای رایج در این نوع سؤال است. همچنین مجموعهٔ تهی و خودِ $S$ هم جزوِ رویدادهای ممکن‌اند و نباید فراموش شوند.

Question 6

در یک آزمایش، یک تاس سالم شش‌وجهی را دو بار پرتاب می‌کنیم. رویداد $A$: «جمع دو پرتاب برابر ۷»؛ رویداد $B$: «حداقل یکی از پرتاب‌ها ۶ باشد». احتمال $P(A\cap B)$ را بیابید.

Accepted Answer

$\dfrac{1}{18}$ — فضای نمونه دارای $6\times6=36$ حالتِ مرتب است. رویداد $A$ (جمع برابر ۷) شاملِ حالت‌های:
$$
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\Rightarrow n(A)=6.
$$
رویداد $B$ (حداقل یکی ۶) شاملِ ۱۱ حالت است. اشتراکِ $A\cap B$ یعنی اعضایی که هم جمعشان ۷ است و هم حداقل یک ۶ دارند: فقط $(1,6)$ و $(6,1)$، یعنی ۲ حالت:
$$
P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.
$$
گزینهٔ «$\dfrac{1}{36}$» فقط یکی از این دو حالتِ متقارن را شمرده است. گزینهٔ «$\dfrac{3}{36}$» با افزودنِ نادرستِ یک حالتِ اضافی ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac16$» با اشتباه‌گرفتنِ این سؤال با $P(A)$ به‌تنهایی ساخته می‌شود.
تلهٔ تستی: در فضایِ نمونهٔ مرتبِ دو تاس، $(1,6)$ و $(6,1)$ دو حالتِ کاملاً جداگانه‌اند؛ فراموش‌کردنِ شمارشِ هر دو (نه فقط یکی) رایج‌ترین خطاست.

Question 7

در یک فضای نمونه با $n(S)=50$، دو رویداد $A$ و $B$ داریم که $n(A)=30$، $n(B)=25$، و $n(A\cap B)=15$. تعداد اعضای $A\cup B$ کدام است؟

Accepted Answer

۴۰ — طبق اصل شمول و طرد برای شمارش اعضا:
$$
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+25-15=40.
$$
گزینهٔ «۴۵» از جمع سادهٔ $30+15$ (بدون توجه به مقدار واقعی $n(B)$) ساخته می‌شود. گزینهٔ «۵۰» با این تصور نادرست ساخته می‌شود که $A\cup B$ برابر کل فضای نمونه $n(S)$ است. گزینهٔ «۳۵» از جمع $n(A)+n(B)-2\times n(A\cap B)=30+25-30$ (کسر دوبارهٔ اشتراک) ناشی می‌شود.
تلهٔ تستی: در اصل شمول و طرد، اشتراک فقط یک‌بار کم می‌شود، نه دوبار؛ کسر دوبارهٔ $n(A\cap B)$ یکی از رایج‌ترین اشتباهات محاسباتی در این نوع سؤال است.

Question 8

اگر در یک آزمایش، احتمال رویداد $A$ برابر $\dfrac{2}{5}$ و احتمال رویداد $B$ برابر $\dfrac{1}{2}$ باشد و $A$ و $B$ مستقل باشند، احتمال $A\cap B$ کدام است؟

Accepted Answer

$\dfrac{1}{5}$ — برای رویدادهای مستقل:
$$
P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = \dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}.
$$
وارسیِ مستقل: فضایِ نمونه‌ای با ۱۰ عضوِ هم‌احتمال بگیرید که $A$ چهار عضو دارد ($4/10=2/5$) و $B$ پنج عضو ($5/10=1/2$). اگر استقلال برقرار باشد، $B$ باید دقیقاً نیمی از اعضایِ $A$ را دربر بگیرد، یعنی ۲ عضو: $2/10=1/5$ ✓.
گزینهٔ «$\dfrac{4}{10}$» دقیقاً همان $P(A)$ است و اصلاً ضربی انجام نشده. گزینهٔ «$\dfrac{1}{10}$» از ضربِ اشتباهِ $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2}$ (استفاده از $\frac15$ به‌جایِ $\frac25$) ناشی می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{3}{10}$» برابرِ $P(B)-P(A\cap B)$ است، یعنی احتمالِ «$B$ رخ دهد ولی $A$ نه» — نه خودِ اشتراک.
تلهٔ تستی: استقلالِ دو رویداد یعنی $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$؛ فراموش‌کردنِ سادگیِ این ضرب و رفتنِ سراغِ فرمولِ اجتماع یا جمعِ ساده، خطایِ رایج است.

Question 9

در یک مطالعه آمار توصیفی، فراوانی‌های چهار طبقه یک متغیر کیفی اسمی به‌ترتیب برابر ۱۰، ۱۵، ۵، ۲۰ است. اگر یک فرد به‌طور تصادفی از نمونه انتخاب شود، احتمال آن‌که در طبقه سوم قرار گیرد، کدام است؟

Accepted Answer

$\dfrac{5}{50}$ — مجموعِ فراوانی‌ها:
$$
10+15+5+20=50.
$$
فراوانیِ طبقهٔ سوم (که فراوانی‌اش ۵ داده شده) برابر ۵ است. بنابراین احتمالِ انتخابِ فردی از این طبقه:
$$
P=\frac{5}{50}.
$$
گزینهٔ «$\dfrac{5}{20}$» با مخرجِ نادرست (جمعِ فقط دو طبقهٔ اول) ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{5}{30}$» با مخرجِ نادرستِ دیگری (جمعِ فقط برخی از طبقات) ساخته می‌شود. گزینهٔ «$\dfrac{5}{25}$» با مخرجِ نادرستِ سوم ساخته می‌شود.
تلهٔ تستی: فراوانیِ نسبی همیشه از تقسیمِ فراوانیِ هر طبقه بر فراوانیِ *کل* (مجموعِ همهٔ طبقات، نه فقط بخشی از آن‌ها) به دست می‌آید؛ محاسبهٔ ناقصِ مخرج رایج‌ترین خطاست.

Question 10

در یک آزمایش، یک تاس سالم را تا زمانی که برای اولین بار عدد ۶ ظاهر شود، پرتاب می‌کنیم. فضای نمونه از نظر تعداد حالات ممکن چگونه است؟

Accepted Answer

بی‌نهایتِ شمارا — در هر پرتاب احتمال آمدن ۶ برابر $\frac{1}{6}$ است و ممکن است تا هر تعداد پرتاب ادامه یابد؛ هیچ حد بالایی برای تعداد پرتاب‌ها نیست. بنابراین ممکن است ۶ در پرتاب اول، دوم، سوم، ... ظاهر شود و فضای نمونه شامل رشته‌هایی با طول‌های مختلف است. تعداد این حالات بی‌نهایت است، اما می‌توان آن‌ها را به‌صورت شمارش‌پذیر (بر اساس ترتیب طول) فهرست کرد.
گزینهٔ «بی‌نهایت ناشمارا» با این تصور نادرست ساخته می‌شود که فضای نمونه شبیه اعداد حقیقی است، در حالی‌که این‌جا هر نتیجه با یک عدد طبیعی (طول توالی) قابل‌شماره‌گذاری است. گزینه‌های «متناهی» با نادیده‌گرفتنِ این نکته ساخته می‌شوند که هیچ حدِ بالایی برای تعداد پرتاب‌ها وجود ندارد.
تلهٔ تستی: وقتی آزمایش تا رسیدن به یک نتیجهٔ خاص تکرار می‌شود (نه تعداد ثابتی از پیش)، فضای نمونه هرچند بی‌نهایت است، اما چون حالت‌هایش را می‌توان بر اساس طول توالی یک‌به‌یک شمرد، بی‌نهایتِ شمارا محسوب می‌شود، نه ناشمارا.

ویژگی	مستقل	ناسازگار
تعریف	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	$A\cap B=\emptyset$
رخداد هم‌زمان	ممکن است	هرگز

مفهوم	فرمول/تعریف
احتمال کلاسیک	$P(A)=n(A)/n(S)$
متمم	$P(A')=1-P(A)$
اجتماع	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
مستقل	$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
جامعه/نمونه	$n\le N$
متغیر کمی/کیفی	قابل اندازه‌گیری بودن
پیوسته/گسسته	وجود مقدار بینابین
ترتیبی/اسمی	وجود ترتیب طبیعی

آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه

مقدمه: چرا آمار و احتمال؟

درس اول: احتمال

درس دوم: مقدمه‌ای بر علم آمار، جامعه و نمونه

درس سوم: متغیر و انواع آن

مباحث تکمیلی (فراتر از کتاب)

جمع‌بندی جامع

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین