Q: یک فنر به طول طبیعی $L_0$ با ثابت $k = 100\,\text{N/m}$ روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم $m = 2\,\text{kg}$ متصل است. جسم را $x = 20\,\text{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها میکنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت میکند، در لحظهای که از نقطه تعادل عبور میکند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد میشود؟

$0\,\text{N}$ — «$0\,\text{N}$» درست است. در نقطهی تعادل، فنر به حالتِ طبیعیِ خود بازگشته است، بنابراین تغییرِ طول $x=0$ است؛ طبقِ قانونِ هوکِ $F_e=kx$، نیرویِ کشسانیِ فنر در این نقطه صفر است. «$5\,\text{N}$» نادرست است و از فرضِ نادرستِ $x=5\,\text{cm}$ (بهجایِ $x=0$ در نقطهی تعادل) به دست میآید. «$10\,\text{N}$» نادرست است و از فرضِ مشابهی با $x=10\,\text{cm}$ ناشی میشود. «$20\,\text{N}$» نادرست است؛ این عدد نیرویِ *اولیه* در لحظهی رهاشدن است ($kx=100\times0.2=20\,\text{N}$)، نه نیرو در نقطهی تعادل. تلهی تستی: در نوسانِ فنر-جسم، نیرویِ کشسانی همیشه در نقطهی تعادل (نه در نقاطِ ابتداییِ کشش) صفر میشود؛ نباید نیرویِ لحظهی رهاشدن را با نیروی نقطهی تعادل اشتباه گرفت.

Q: یک قایق موتوری با جرم $1000\,\text{kg}$ در حال حرکت در آب است. نیروی مقاومت شاره (بر حسب نیوتن) برابر $f_D = 200v$ است. موتور قایق یک نیروی ثابت $F = 4000\,\text{N}$ به قایق وارد میکند. تندی حدی قایق (بر حسب متر بر ثانیه) و شتاب آن در لحظهای که تندی قایق نصف تندی حدی است، به ترتیب از راست به چپ کدام است؟

$20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$ — «$20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$» درست است. در تندیِ حدی، شتاب صفر است: $F-f_D=0 \Rightarrow 4000=200v_t \Rightarrow v_t=20\,\text{m/s}$. در تندیِ $v=10\,\text{m/s}$ (نصفِ تندیِ حدی)، نیرویِ مقاومت $f_D=200\times10=2000\,\text{N}$ است؛ شتاب: $a=\dfrac{F-f_D}{m}=\dfrac{4000-2000}{1000}=2\,\text{m/s}^2$. «$20\,\text{m/s}$ و $1\,\text{m/s}^2$» نادرست است و از یک خطای عددی در محاسبهی شتاب ناشی میشود. «$10\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$» و «$10\,\text{m/s}$ و $1\,\text{m/s}^2$» نادرستند؛ اینها تندیِ حدی را (بهجایِ محاسبهی درست از $F=f_D$) با نصفِ آن اشتباه گرفتهاند. تلهی تستی: تندیِ حدی از شرطِ $F=f_D$ (نه از نصفِ آن) به دست میآید؛ شتاب در تندیِ دلخواه باید با محاسبهی جداگانهی $f_D$ در همان تندی یافت شود.

Q: یک فنر به طول طبیعی $L_0 = 20\,\text{cm}$ و ثابت $k = 500\,\text{N/m}$ روی میز افقی بدون اصطکاکی قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر به جسمی به جرم $m = 2\,\text{kg}$ متصل است. اگر جسم را $10\,\text{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها کنیم، تندی جسم در لحظهای که طول فنر به $25\,\text{cm}$ میرسد، کدام است؟

$1.37\,\text{m/s}$ — «$1.37\,\text{m/s}$» درست است. از پایستگیِ انرژیِ مکانیکی: انرژیِ پتانسیلِ کشسانیِ اولیه $\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}\times500\times(0.1)^2=2.5\,\text{J}$ است. وقتی طولِ فنر به $25\,\text{cm}$ میرسد، تغییرِ طولِ باقیمانده $x_2=5\,\text{cm}=0.05\,\text{m}$ است و انرژیِ پتانسیلِ آن لحظه $\frac{1}{2}\times500\times(0.05)^2=0.625\,\text{J}$؛ پس $\frac{1}{2}mv^2=2.5-0.625=1.875 \Rightarrow v=\sqrt{1.875}\approx1.37\,\text{m/s}$. «$0.5\,\text{m/s}$» و «$1.0\,\text{m/s}$» نادرستند و از محاسبهی نادرستِ انرژیِ باقیمانده به دست میآیند. «$1.25\,\text{m/s}$» نادرست است و از فرضِ اشتباهِ $x_2=25\,\text{cm}$ (بهجایِ محاسبهی تغییرِ طولِ واقعیِ $5\,\text{cm}$ نسبت به طولِ طبیعی) ناشی میشود. تلهی تستی: باید همیشه «طولِ فعلیِ فنر» را از «تغییرِ طولِ آن نسبت به حالتِ طبیعی» ($x=L-L_0$) تفکیک کرد؛ خلطِ این دو، رایجترین خطایِ اینگونه مسائل است.

Q: جسمی به جرم $m$ از روی نیمکرهای به شعاع $R$ و بدون اصطکاک از حالت سکون رها میشود. در لحظهای که زاویه بردار شعاع گذرنده از مرکز نیمکره با خط قائم برابر $\theta$ است، تکانه جسم چند $\text{kg} \cdot \text{m/s}$ است؟

$m\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$ — «$m\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$» درست است. با پایستگیِ انرژیِ مکانیکی: $\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-\cos\theta)$، پس $v=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$ و تکانه $p=mv=m\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$. «$\sqrt{2m^2 g R \cos\theta}$» نادرست است؛ این عبارت بهجایِ $(1-\cos\theta)$ فقط از $\cos\theta$ استفاده کرده. «$m\sqrt{gR(1-\cos\theta)}$» نادرست است؛ ضریبِ $2$ زیرِ رادیکال جا افتاده. «$m\sqrt{2gR(1-\sin\theta)}$» نادرست است؛ بهجایِ $\cos\theta$ از $\sin\theta$ استفاده شده. تلهی تستی: در حرکت روی نیمکره، ارتفاعِ سقوط (که در پایستگیِ انرژی بهکار میرود) برابرِ $R(1-\cos\theta)$ است، نه $R\cos\theta$ یا $R(1-\sin\theta)$؛ این تفاوتِ هندسیِ ظریف رایجترین منبعِ خطاست.

Question 1

یک فنر به طول طبیعی $L_0$ با ثابت $k = 100\,	ext{N/m}$ روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم $m = 2\,	ext{kg}$ متصل است. جسم را $x = 20\,	ext{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها می‌کنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت می‌کند، در لحظه‌ای که از نقطه تعادل عبور می‌کند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد می‌شود؟

Accepted Answer

$0\,	ext{N}$ — «$0\,	ext{N}$» درست است. در نقطه‌ی تعادل، فنر به حالتِ طبیعیِ خود بازگشته است، بنابراین تغییرِ طول $x=0$ است؛ طبقِ قانونِ هوکِ $F_e=kx$، نیرویِ کشسانیِ فنر در این نقطه صفر است. «$5\,	ext{N}$» نادرست است و از فرضِ نادرستِ $x=5\,	ext{cm}$ (به‌جایِ $x=0$ در نقطه‌ی تعادل) به دست می‌آید. «$10\,	ext{N}$» نادرست است و از فرضِ مشابهی با $x=10\,	ext{cm}$ ناشی می‌شود. «$20\,	ext{N}$» نادرست است؛ این عدد نیرویِ *اولیه* در لحظه‌ی رهاشدن است ($kx=100	imes0.2=20\,	ext{N}$)، نه نیرو در نقطه‌ی تعادل. تله‌ی تستی: در نوسانِ فنر-جسم، نیرویِ کشسانی همیشه در نقطه‌ی تعادل (نه در نقاطِ ابتداییِ کشش) صفر می‌شود؛ نباید نیرویِ لحظه‌ی رهاشدن را با نیروی نقطه‌ی تعادل اشتباه گرفت.

Question 2

دو جسم $m_1 = 2\,	ext{kg}$ و $m_2 = 3\,	ext{kg}$ توسط یک طناب ناکشسان و سبک به یکدیگر متصل شده‌اند. جسم $m_1$ روی یک سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k = 0.2$ قرار دارد و جسم $m_2$ از لبه سطح آویزان است. مقدار نیروی کشش طناب (بر حسب نیوتن) در این سامانه چقدر است؟ ($g = 10\,	ext{m/s}^2$)

Accepted Answer

$14.4$ — «$14.4$» درست است. برایِ $m_2$ (آویزان): $m_2g-T=m_2a$؛ برایِ $m_1$ (روی سطح با اصطکاک): $T-\mu_km_1g=m_1a$. با جمعِ این دو معادله: $a=\dfrac{m_2g-\mu_km_1g}{m_1+m_2}=\dfrac{30-4}{5}=5.2\,	ext{m/s}^2$؛ سپس $T=m_1(a+\mu_kg)=2	imes(5.2+2)=14.4\,	ext{N}$. «$10.0$» نادرست است و از نادیده‌گرفتنِ اصطکاک در محاسبه‌ی $a$ به دست می‌آید. «$12.0$» نادرست است و از خطای دیگری در ترکیبِ دو معادله ناشی می‌شود. «$16.8$» نادرست است و از علامتِ اشتباهِ اصطکاک (جمع به‌جایِ تفریق) حاصل می‌شود. تله‌ی تستی: کششِ طناب باید از رویِ معادله‌ی *یکی* از دو جسم (نه هر دو هم‌زمان بدونِ محاسبه‌ی $a$) به دست آید؛ ابتدا باید شتابِ کل دستگاه را از جمعِ دو معادله یافت.

Question 3

یک قایق موتوری با جرم $1000\,	ext{kg}$ در حال حرکت در آب است. نیروی مقاومت شاره (بر حسب نیوتن) برابر $f_D = 200v$ است. موتور قایق یک نیروی ثابت $F = 4000\,	ext{N}$ به قایق وارد می‌کند. تندی حدی قایق (بر حسب متر بر ثانیه) و شتاب آن در لحظه‌ای که تندی قایق نصف تندی حدی است، به ترتیب از راست به چپ کدام است؟

Accepted Answer

$20\,	ext{m/s}$ و $2\,	ext{m/s}^2$ — «$20\,	ext{m/s}$ و $2\,	ext{m/s}^2$» درست است. در تندیِ حدی، شتاب صفر است: $F-f_D=0 \Rightarrow 4000=200v_t \Rightarrow v_t=20\,	ext{m/s}$. در تندیِ $v=10\,	ext{m/s}$ (نصفِ تندیِ حدی)، نیرویِ مقاومت $f_D=200	imes10=2000\,	ext{N}$ است؛ شتاب: $a=\dfrac{F-f_D}{m}=\dfrac{4000-2000}{1000}=2\,	ext{m/s}^2$. «$20\,	ext{m/s}$ و $1\,	ext{m/s}^2$» نادرست است و از یک خطای عددی در محاسبه‌ی شتاب ناشی می‌شود. «$10\,	ext{m/s}$ و $2\,	ext{m/s}^2$» و «$10\,	ext{m/s}$ و $1\,	ext{m/s}^2$» نادرستند؛ این‌ها تندیِ حدی را (به‌جایِ محاسبه‌ی درست از $F=f_D$) با نصفِ آن اشتباه گرفته‌اند. تله‌ی تستی: تندیِ حدی از شرطِ $F=f_D$ (نه از نصفِ آن) به دست می‌آید؛ شتاب در تندیِ دلخواه باید با محاسبه‌ی جداگانه‌ی $f_D$ در همان تندی یافت شود.

Question 4

یک فنر به طول طبیعی $L_0 = 20\,	ext{cm}$ و ثابت $k = 500\,	ext{N/m}$ روی میز افقی بدون اصطکاکی قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر به جسمی به جرم $m = 2\,	ext{kg}$ متصل است. اگر جسم را $10\,	ext{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها کنیم، تندی جسم در لحظه‌ای که طول فنر به $25\,	ext{cm}$ می‌رسد، کدام است؟

Accepted Answer

$1.37\,	ext{m/s}$ — «$1.37\,	ext{m/s}$» درست است. از پایستگیِ انرژیِ مکانیکی: انرژیِ پتانسیلِ کشسانیِ اولیه $\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}	imes500	imes(0.1)^2=2.5\,	ext{J}$ است. وقتی طولِ فنر به $25\,	ext{cm}$ می‌رسد، تغییرِ طولِ باقی‌مانده $x_2=5\,	ext{cm}=0.05\,	ext{m}$ است و انرژیِ پتانسیلِ آن لحظه $\frac{1}{2}	imes500	imes(0.05)^2=0.625\,	ext{J}$؛ پس $\frac{1}{2}mv^2=2.5-0.625=1.875 \Rightarrow v=\sqrt{1.875}\approx1.37\,	ext{m/s}$. «$0.5\,	ext{m/s}$» و «$1.0\,	ext{m/s}$» نادرستند و از محاسبه‌ی نادرستِ انرژیِ باقی‌مانده به دست می‌آیند. «$1.25\,	ext{m/s}$» نادرست است و از فرضِ اشتباهِ $x_2=25\,	ext{cm}$ (به‌جایِ محاسبه‌ی تغییرِ طولِ واقعیِ $5\,	ext{cm}$ نسبت به طولِ طبیعی) ناشی می‌شود. تله‌ی تستی: باید همیشه «طولِ فعلیِ فنر» را از «تغییرِ طولِ آن نسبت به حالتِ طبیعی» ($x=L-L_0$) تفکیک کرد؛ خلطِ این دو، رایج‌ترین خطایِ این‌گونه مسائل است.

Question 5

جسمی به جرم $m$ از روی نیم‌کره‌ای به شعاع $R$ و بدون اصطکاک از حالت سکون رها می‌شود. در لحظه‌ای که زاویه بردار شعاع گذرنده از مرکز نیم‌کره با خط قائم برابر $	heta$ است، تکانه جسم چند $	ext{kg} \cdot 	ext{m/s}$ است؟

Accepted Answer

$m\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$ — «$m\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$» درست است. با پایستگیِ انرژیِ مکانیکی: $\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-\cos	heta)$، پس $v=\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$ و تکانه $p=mv=m\sqrt{2gR(1-\cos	heta)}$. «$\sqrt{2m^2 g R \cos	heta}$» نادرست است؛ این عبارت به‌جایِ $(1-\cos	heta)$ فقط از $\cos	heta$ استفاده کرده. «$m\sqrt{gR(1-\cos	heta)}$» نادرست است؛ ضریبِ $2$ زیرِ رادیکال جا افتاده. «$m\sqrt{2gR(1-\sin	heta)}$» نادرست است؛ به‌جایِ $\cos	heta$ از $\sin	heta$ استفاده شده. تله‌ی تستی: در حرکت روی نیم‌کره، ارتفاعِ سقوط (که در پایستگیِ انرژی به‌کار می‌رود) برابرِ $R(1-\cos	heta)$ است، نه $R\cos	heta$ یا $R(1-\sin	heta)$؛ این تفاوتِ هندسیِ ظریف رایج‌ترین منبعِ خطاست.

Question 6

سه فنر یکسان با ثابت $k$ را به صورت موازی می‌بندیم، سپس یک جرم $m$ را به انتهای مجموعه وصل کرده و سیستم را از حالت تعادل به اندازه $x$ به سمت پایین می‌کشیم و رها می‌کنیم. اگر دوره تناوب نوسان $T$ باشد، با نصف کردن جرم $m$، دوره تناوب جدید چند $T$ می‌شود؟ (فنرها بدون جرم و ایده‌آل هستند.)

Accepted Answer

$\frac{T}{\sqrt2}$ — «$\frac{T}{\sqrt2}$» درست است. سه فنرِ موازی معادل با $k_{eq}=3k$ است؛ دوره‌ی تناوب $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}$. با نصف‌کردنِ جرم: $T'=2\pi\sqrt{\frac{m/2}{3k}}=\frac{T}{\sqrt2}$. «$T$ (بدون تغییر)» نادرست است؛ این فرض می‌کند دوره به جرم وابسته نیست، درحالی‌که $T\propto\sqrt{m}$. «$\frac{T}{2}$» نادرست است و از فرضِ اشتباهِ $T\propto m$ (به‌جایِ $\sqrt{m}$) ناشی می‌شود. «$\sqrt{2}\,T$» نادرست است؛ این جهتِ تغییر را برعکس نشان می‌دهد—کاهشِ جرم باید دوره را *کم* کند، نه زیاد. تله‌ی تستی: دوره‌ی تناوبِ سیستمِ فنر-جرم با ریشه‌ی دومِ جرم متناسب است ($T\propto\sqrt{m}$)؛ نصف‌شدنِ جرم، دوره را بر $\sqrt2$ (نه بر $2$) تقسیم می‌کند.

Question 7

جسمی به جرم $m$ روی سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k$ قرار دارد. نیروی $F$ به طور مماسی به آن وارد می‌شود و جسم شروع به حرکت می‌کند. اگر نیروی $F$ به صورت $F(t) = kt$ (با $k$ ثابت) بر حسب زمان افزایش یابد، شتاب لحظه‌ای جسم در لحظه $t = t_0$ کدام است؟ (از مقاومت هوا صرف‌نظر کنید.)

Accepted Answer

$\dfrac{k t_0}{m} - \mu_k g$ — «$\dfrac{kt_0}{m}-\mu_kg$» درست است. جسم در حالِ حرکت است، پس اصطکاکِ جنبشیِ ثابتِ $f_k=\mu_kF_N=\mu_kmg$ در خلافِ جهتِ حرکت اثر می‌کند و نیرویِ خالص $F_{net}=F(t)-f_k=kt-\mu_kmg$ است. با تقسیم بر جرم: $a(t)=\dfrac{kt-\mu_kmg}{m}=\dfrac{kt}{m}-\mu_kg$ و در لحظهٔ $t=t_0$ همان گزینهٔ درست به دست می‌آید. وارسیِ مستقل با تحلیلِ ابعادی و حالتِ حدی: جملهٔ $\dfrac{kt_0}{m}$ ابعادِ $\dfrac{(	ext{N/s})(	ext{s})}{	ext{kg}}=	ext{m/s}^2$ دارد و جملهٔ $\mu_kg$ نیز شتاب است؛ همچنین اگر $\mu_k=0$ باشد رابطه به $a=kt_0/m$ (بدونِ اصطکاک) و اگر $kt_0=\mu_kmg$ باشد به $a=0$ (دقیقاً آستانهٔ حرکت) می‌رسد — هر دو همان انتظارِ فیزیکی است. «$\dfrac{kt_0}{m}+\mu_kg$» نادرست است؛ علامتِ جملهٔ اصطکاک را مثبت گرفته، یعنی اصطکاک را شتاب‌دهنده فرض کرده، درحالی‌که اصطکاکِ جنبشی همیشه در خلافِ جهتِ حرکت است. «$\dfrac{k t_0 - \mu_k m g t_0}{m}$» نادرست است؛ $t_0$ را در جملهٔ اصطکاک هم ضرب کرده، درحالی‌که $\mu_kmg$ به زمان بستگی ندارد و مقدارش ثابت است. «$\dfrac{k}{m}-\mu_kg$» نادرست است؛ $t_0$ را از جملهٔ نیرویِ متغیر انداخته و در نتیجه جملهٔ اول ابعادِ $	ext{m/s}^3$ پیدا می‌کند، نه شتاب. تلهٔ تستی: در نیرویِ وابسته به زمان فقط همان جملهٔ متغیر ($kt$) بر جرم تقسیم می‌شود؛ جملهٔ اصطکاک پس از تقسیم بر $m$ به $\mu_kg$ تبدیل می‌شود و دیگر نه $m$ در آن می‌ماند و نه $t$.

Question 8

یک فنر به طول طبیعی $L_0$ و ثابت $k$ داریم. آن را به دو فنر مساوی (هر یک به طول $\dfrac{L_0}{2}$ و ثابت $k'$) برش می‌دهیم. اگر دو فنر حاصل را به صورت موازی ببندیم، ثابت فنر معادل $k_{eq}$ کدام است؟

Accepted Answer

$k_{eq}=4.0k$ — «$k_{eq}=4.0k$» درست است. با برش فنر به دو نیمه، ثابت هر نیمه $k'=2k$ می‌شود (چون $k\propto\frac{1}{L}$، و طول هر نیمه نصف شده است). در اتصال موازی، $k_{eq}=k'+k'=2k+2k=4k$. «$k_{eq}=0.5k$» نادرست است؛ این گزینه انگار طول را دو برابر و ثابت را نصف کرده، درحالی‌که برش باعث افزایش ثابت فنر می‌شود نه کاهش آن. «$k_{eq}=1.0k$» نادرست است؛ این گزینه اثر برش فنر روی ثابت آن را کلاً نادیده می‌گیرد. «$k_{eq}=2.0k$» نادرست است؛ این گزینه فقط ثابت یک نیمه‌ی برش‌خورده ($k'=2k$) را به‌عنوان پاسخ نهایی در نظر گرفته، بدون لحاظ‌کردن اتصال موازیِ دو نیمه. تله‌ی تستی: بریدن یک فنر، ثابت آن را افزایش می‌دهد (چون $k\propto1/L$)؛ این نکته برخلاف تصور شهودیِ برخی دانش‌آموزان است که فکر می‌کنند فنر کوتاه‌تر «نرم‌تر» می‌شود.

Question 9

یک جعبه به جرم $m$ روی سطح افقی ناهموار قرار دارد. یک نیروی افقی $F$ به جعبه وارد می‌شود و جعبه در آستانه حرکت است. ناگهان نیروی افقی برداشته می‌شود و یک نیروی قائم به سمت پایین به اندازه $\frac{mg}{2}$ به جعبه اضافه می‌شود. برای اینکه جعبه دوباره در آستانه حرکت قرار گیرد، نیروی افقی جدید چقدر باید باشد؟

Accepted Answer

$\frac{3}{2}F$ — «$\frac{3}{2}F$» درست است. در حالتِ اول، $F=\mu_smg$ (جسم در آستانه‌ی حرکت است). در حالتِ دوم، نیرویِ عمودیِ سطح $N=mg+\frac{mg}{2}=\frac{3}{2}mg$ می‌شود؛ پس نیرویِ افقیِ جدید برایِ رسیدنِ دوباره به آستانه: $F'=\mu_s	imes\frac{3}{2}mg=\frac{3}{2}(\mu_smg)=\frac{3}{2}F$. «$\frac{2}{3}F$» نادرست است؛ این عبارت واژگونِ نسبتِ درست است. «$\frac{4}{3}F$» و «$\frac{3}{4}F$» نادرستند و از خطاهایِ دیگری در محاسبه‌ی نیرویِ عمودیِ جدید ناشی می‌شوند. تله‌ی تستی: چون بیشینه‌ی اصطکاکِ ایستایی مستقیماً با نیرویِ عمودیِ سطح متناسب است ($f_{s,max}=\mu_sN$)، هر تغییری در $N$ (نه در $F$ خودش) باید مستقیماً در نیرویِ افقیِ لازم برایِ آستانه‌ی حرکت اعمال شود.

Question 10

یک ماهواره در مداری دایره‌ای به شعاع $r$ به دور زمین می‌چرخد. اگر دوره تناوب این ماهواره $T$ باشد، شعاع مداری ماهواره‌ای دیگر که دوره تناوب آن $8T$ است، بر حسب $r$ کدام است؟

Accepted Answer

$4.00r$ — «$4.00r$» درست است. طبقِ قانونِ سومِ کپلر، $T^2\propto r^3$، یعنی $\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$. با جایگذاریِ $T_2=8T_1$: $64=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3\Rightarrow r_2=4r_1=4r$ (چون $4^3=64$). «$2\sqrt2r$» نادرست است و از به‌کاربردنِ توانِ اشتباهِ $r\propto\sqrt{T}$ (به‌جایِ $r\propto T^{2/3}$) به دست می‌آید. «$2.00r$» نادرست است و از فراموش‌کردنِ به‌توان‌دورساندنِ $T$ (یعنی استفاده از $T\propto r^3$ به‌جایِ $T^2\propto r^3$) ناشی می‌شود. «$8.00r$» نادرست است و از فرضِ نادرستِ تناسبِ خطیِ $T\propto r$ به دست می‌آید. تله‌ی تستی: در قانونِ سومِ کپلر، توانِ درستِ رابطه $T^2\propto r^3$ است، نه $T\propto r$ یا $T\propto\sqrt r$؛ باید همیشه دقتِ زیادی به توان‌های ۲ و ۳ در این رابطه داشت.

موضوع	فرمول
قانون دوم	$F_{net}=ma$
قانون سوم	$F_{12}=-F_{21}$
اصطکاک ایستایی/جنبشی	$f_s\le\mu_sF_N,\ f_k=\mu_kF_N$
فنر	$F_e=kx$
تکانه	$p=mv,\ F=\Delta p/\Delta t$
مرکزگرا	$a_c=v^2/r,\ F_c=mv^2/r$
گرانش	$F=Gm_1m_2/r^2,\ v=\sqrt{GM_e/r}$

02_دینامیک (علوم تجربی)

خلاصه‌ی درسنامه

مفهوم نیرو و قوانین نیوتون

انواع نیروها

تکانه و ضربه

حرکت دایره‌ای یکنواخت

گرانش عمومی

مثال‌های حل‌شده

نکات کنکوری تکمیلی

جمع‌بندی فرمول‌ها

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین