دینامیک (علوم تجربی) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

📘 خلاصه‌ی درسنامه

مفهوم نیرو و قوانین نیوتون

نیرو حاصل برهم‌کنش دو جسم است؛ کمیتی برداری با یکای نیوتون (N)، که می‌تواند سرعت، جهت یا شکل جسم را تغییر دهد یا حرکت را آغاز/متوقف کند.

قانون اول (لختی): اگر نیروی خالص صفر باشد، جسم حالت حرکتی خود را حفظ می‌کند: $\vec F_{net}=0 \Rightarrow \vec v=\text{ثابت}$ . لختی مقاومت جسم در برابر تغییر حالت است و با جرم بیشتر می‌شود.

نکته: «نیروهای متوازن» یعنی برایند صفر، نه نبود نیرو — جسم با سرعت ثابت روی سطح افقی یا حتی شیب‌دار نیز نیروی متوازن دارد.

قانون دوم: $\vec F_{net}=m\vec a$ ، یعنی $a=F_{net}/m$ . $\vec F_{net}$ برایند برداری همهٔ نیروهای وارد بر جسم است.

قانون سوم (کنش-واکنش): $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$ — هم‌اندازه، هم‌راستا، خلاف جهت، از یک نوع (هر دو گرانشی یا هر دو الکتریکی)، و همیشه بر دو جسم مختلف وارد می‌شوند؛ پس هرگز یکدیگر را خنثی نمی‌کنند.

انواع نیروها

وزن: $\vec W=m\vec g$ ، همیشه رو به مرکز زمین؛ $g\approx9.8\ \text{N/kg}$ روی زمین (ماه ۱.۶، مریخ ۳.۷). وزن با ارتفاع کم می‌شود اما جرم ثابت است.

نیروی عمودی سطح ( $F_N$ ):

سطح افقی، ساکن: $F_N=mg$
آسانسور با شتاب $a$ به بالا: $F_N=m(g+a)$
آسانسور با شتاب $a$ به پایین: $F_N=m(g-a)$
سقوط آزاد: $F_N=0$ (بی‌وزنی، نه بی‌جرمی)

اصطکاک ایستایی: $f_s\le\mu_sF_N$ ، در آستانهٔ حرکت $f_{s,\max}=\mu_sF_N$ . اصطکاک جنبشی: $f_k=\mu_kF_N$ (ثابت، $\mu_k<\mu_s$ ). اصطکاک به مساحت سطح تماس بستگی ندارد.

کشش طناب (تنش): در طناب سبک در همهٔ نقاط یکسان است؛ طناب فقط می‌کشد، نمی‌فشارد.

نیروی فنر (قانون هوک): $F_e=kx$ ؛ جهت همیشه به سمت تعادل. فنرهای موازی: $k_{eq}=k_1+k_2$ ؛ سری: $1/k_{eq}=1/k_1+1/k_2$ .

مقاومت شاره: خلاف جهت حرکت، به تندی، شکل و چگالی سیال بستگی دارد؛ در تندی حدی شتاب صفر می‌شود.

تکانه و ضربه

\vec p=m\vec v\qquad \vec F_{net}=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}\qquad \vec J=\vec F_{net}\cdot\Delta t=\Delta\vec p

با افزایش زمان تماس ( $\Delta t$ )، نیروی وارد کاهش می‌یابد (مثل کیسهٔ هوا). بقای تکانه (فراتر از کتاب): اگر نیروی خالص خارجی صفر باشد، $\vec p_{total}$ ثابت می‌ماند.

حرکت دایره‌ای یکنواخت

اندازهٔ سرعت ثابت اما جهتش تغییر می‌کند؛ شتاب و نیروی خالص رو به مرکزند.

a_c=\frac{v^2}{r}\qquad T=\frac{2\pi r}{v}\qquad F_{net}=\frac{mv^2}{r}

نیروی مرکزگرا نوع جدیدی از نیرو نیست، بلکه برایند نیروهای موجود (گرانش، اصطکاک، کشش) است که نقش مرکزگرا بازی می‌کند — مثلاً گرانش برای ماه، اصطکاک ایستایی برای خودرو در پیچ.

گرانش عمومی

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\qquad g=\frac{GM_e}{R_e^2}\qquad v_{\text{ماهواره}}=\sqrt{\frac{GM_e}{r}}\qquad T=\frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM_e}}

قانون سوم کپلر (فراتر از کتاب): $T^2\propto r^3$ . اگر فاصله دو برابر شود، نیروی گرانشی چهار برابر کم می‌شود.

مقایسهٔ ضرایب اصطکاک روی چند سطح: لاستیک روی آسفالت ( $\mu_s\approx1.0,\ \mu_k\approx0.8$ )، فلز روی فلز ( $0.74,\ 0.57$ )، یخ روی یخ ( $0.1,\ 0.03$ ) — همیشه $\mu_k<\mu_s$ .

مثال‌های حل‌شده

آسانسور: جرم ۶۰kg؛ ساکن: $F_N=588\text{N}$ ؛ شتاب ۲m/s² بالا: $F_N=708\text{N}$ ؛ پایین: $F_N=468\text{N}$ ؛ سقوط آزاد: $F_N=0$ .

شیب با اصطکاک: جسمی روی شیب با زاویهٔ $\theta$ در حال لغزش رو به پایین است؛ از $mg\sin\theta-\mu_kmg\cos\theta=ma$ داریم: $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$

دو جسم متصل ( $m_1=3$ kg افقی بدون اصطکاک، $m_2=5$ kg آویزان با طناب): از جمع معادلات $m_2g-T=m_2a$ و $T=m_1a$ : $a=\dfrac{m_2g}{m_1+m_2}=6.125\ \text{m/s}^2$ , $T=18.375\ \text{N}$

ماشین در پیچ شیب‌دار (فراتر از کتاب): برای حرکت بدون نیاز به اصطکاک: $F_N\cos\theta=mg,\ F_N\sin\theta=mv^2/r$ ؛ تقسیم دو رابطه می‌دهد $\tan\theta=v^2/(rg)$ ، پس $v_{max}=\sqrt{rg\tan\theta}$ .

ارتفاعی که وزن نصف می‌شود: از برابر قرار دادن $GM_em/(R_e+h)^2$ با نصف مقدار سطح زمین: $h=(\sqrt2-1)R_e\approx0.414R_e\approx2646\ \text{km}$ .

نکات کنکوری تکمیلی

جسمی با سرعت ثابت روی سطح شیب‌دار هم می‌تواند نیروهای متوازن داشته باشد.
«لختی» با جرم یکی است — هر چه جرم بیشتر، تغییر حالت سخت‌تر.
شتاب و نیروی خالص همیشه هم‌جهت‌اند؛ محور مثبت را آزادانه انتخاب کن ولی در کل مسئله ثابت نگه‌دار.
در حرکت دایره‌ای یکنواخت، کار نیروی مرکزگرا صفر است (عمود بر جابجایی)؛ $a_c=v^2/r=\omega^2r=4\pi^2r/T^2$ .
اگر فاصلهٔ دو جرم دو برابر شود، نیروی گرانشی چهار برابر کاهش می‌یابد؛ وزن ماهوارهٔ در مدار صفر نیست، همان نیروی گرانشی نقش مرکزگرا را بازی می‌کند.

جمع‌بندی فرمول‌ها

موضوع	فرمول
قانون دوم	$F_{net}=ma$
قانون سوم	$F_{12}=-F_{21}$
اصطکاک ایستایی/جنبشی	$f_s\le\mu_sF_N,\ f_k=\mu_kF_N$
فنر	$F_e=kx$
تکانه	$p=mv,\ F=\Delta p/\Delta t$
مرکزگرا	$a_c=v^2/r,\ F_c=mv^2/r$
گرانش	$F=Gm_1m_2/r^2,\ v=\sqrt{GM_e/r}$

این فقط خلاصه‌ی درسنامه است — برای مطالعه‌ی متن کامل با تمام نکات و مثال‌ها، ثبت‌نام کن.

📝 نمونه تست

این خلاصه‌ی درسنامه و نمونه تست‌ها برای تجربه‌ی بهتر تو آماده شده — بانک کامل سؤال و درسنامه‌ی کامل بعد از ثبت‌نام در دسترسته.

1. جسمی به جرم $2\,\text{kg}$ روی سطح افقی با ضریب اصطکاک ایستایی $\mu_s = 0.4$ و جنبشی $\mu_k = 0.3$ قرار دارد. نیروی افقی $F$ به جسم وارد می‌شود. اگر $F$ از صفر تا $15\,\text{N}$ به آرامی افزایش یابد، در لحظه‌ای که جسم شروع به حرکت می‌کند، شتاب آن چند $\text{m/s}^2$ است؟ ( $g = 10\,\text{m/s}^2$ )

$1.5$
$2.0$
$2.5$
$3.5$

در آستانه حرکت، نیروی محرک برابر با $F = f_{s,max} = \mu_s m g = 0.4 \times 2 \times 10 = 8\,\text{N}$ است. اما در این لحظه جسم هنوز ساکن است و شتابی ندارد. بلافاصله پس از شروع حرکت، نیروی اصطکاک به $f_k = \mu_k m g = 0.3 \times 2 \times 10 = 6\,\text{N}$ کاهش می‌یابد. چون نیروی محرک همچنان $8\,\text{N}$ است (فرض افزایش آهسته نیرو)، شتاب $a = (F - f_k)/m = (8 - 6)/2 = 1\,\text{m/s}^2$ خواهد بود. گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

2. یک فنر به طول طبیعی $L_0$ با ثابت $k = 100\,\text{N/m}$ روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. یک سر فنر به دیوار و سر دیگر آن به جسمی به جرم $m = 2\,\text{kg}$ متصل است. جسم را $x = 20\,\text{cm}$ از حالت تعادل کشیده و رها می‌کنیم. جسم در حالی که به سمت دیوار حرکت می‌کند، در لحظه‌ای که از نقطه تعادل عبور می‌کند، چه نیرویی از طرف فنر به آن وارد می‌شود؟

$0\,\text{N}$
$5\,\text{N}$
$10\,\text{N}$
$20\,\text{N}$

« $0\,\text{N}$ » درست است. در نقطه تعادل، فنر به حالت طبیعی خود بازگشته است، بنابراین تغییر طول $x = 0$ است. طبق قانون هوک $F_e = kx$ ، نیروی کشسانی فنر در این نقطه صفر است. گزینه « $5\,\text{N}$ » غلط است (ممکن است $x = 5\,\text{cm}$ در نظر گرفته شده باشد). گزینه « $10\,\text{N}$ » غلط است (ممکن است $x = 10\,\text{cm}$ فرض شده). گزینه « $20\,\text{N}$ » غلط است (نیروی اولیه $kx = 100 \times 0.2 = 20\,\text{N}$ است ولی در نقطه تعادل صفر است).

3. یک ماهواره به جرم $m$ در مدار دایره‌ای به شعاع $r$ به دور زمین می‌چرخد. اگر شعاع مدار به $2r$ افزایش یابد، سرعت مداری ماهواره چند برابر می‌شود؟

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}$
$2$

« $\frac{1}{\sqrt{2}}$ » درست است. سرعت مداری ماهواره از رابطه $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ به دست می‌آید. اگر شعاع دو برابر شود ( $r' = 2r$ )، سرعت جدید $v' = \sqrt{\frac{GM}{2r}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{GM}{r}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ می‌شود. گزینه « $\frac{1}{2}$ » غلط است (رابطه خطی نیست). گزینه « $\sqrt{2}$ » غلط است (نسبت معکوس است). گزینه « $2$ » غلط است (با افزایش شعاع سرعت کاهش می‌یابد).

4. دو جسم $m_1 = 2\,\text{kg}$ و $m_2 = 3\,\text{kg}$ توسط یک طناب ناکشسان و سبک به یکدیگر متصل شده‌اند. جسم $m_1$ روی یک سطح افقی با ضریب اصطکاک جنبشی $\mu_k = 0.2$ قرار دارد و جسم $m_2$ از لبه سطح آویزان است. مقدار نیروی کشش طناب (بر حسب نیوتن) در این سامانه چقدر است؟ ( $g = 10\,\text{m/s}^2$ )

$10.0$
$12.0$
$14.4$
$16.8$

« $14.4$ » درست است. ابتدا معادلات حرکت را می‌نویسیم: برای $m_2$ داریم $m_2g - T = m_2a$ و برای $m_1$ داریم $T - \mu_k m_1g = m_1a$ . با جمع این دو معادله، شتاب $a = \frac{m_2g - \mu_k m_1 g}{m_1 + m_2} = \frac{30 - 4}{5} = 5.2\,\text{m/s}^2$ به دست می‌آید. سپس $T = m_1(a + \mu_k g) = 2 \times (5.2 + 2) = 14.4\,\text{N}$ . گزینه‌های دیگر از اشتباه در نوشتن علامت اصطکاک یا محاسبه کشش از رابطه $m_2g$ حاصل می‌شوند.

5. یک قایق موتوری با جرم $1000\,\text{kg}$ در حال حرکت در آب است. نیروی مقاومت شاره (بر حسب نیوتن) برابر $f_D = 200v$ است. موتور قایق یک نیروی ثابت $F = 4000\,\text{N}$ به قایق وارد می‌کند. تندی حدی قایق (بر حسب متر بر ثانیه) و شتاب آن در لحظه‌ای که تندی قایق نصف تندی حدی است، به ترتیب از راست به چپ کدام است؟

$20\,\text{m/s}$ و $1\,\text{m/s}^2$
$20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$
$10\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$
$10\,\text{m/s}$ و $1\,\text{m/s}^2$

« $20\,\text{m/s}$ و $2\,\text{m/s}^2$ » درست است. در تندی حدی، شتاب صفر است: $F - f_D = 0 \Rightarrow 4000 = 200v_t \Rightarrow v_t = 20\,\text{m/s}$ . در تندی $v = 10\,\text{m/s}$ ، نیروی مقاومت $2000\,\text{N}$ است. شتاب: $a = \frac{F - f_D}{m} = \frac{4000 - 2000}{1000} = 2\,\text{m/s}^2$ . سایر گزینه‌ها از اشتباه در محاسبه تندی حدی یا شتاب ناشی می‌شوند.

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان