قوانین نیوتون، تکانه و گرانش (فیزیک ۳)

مفهوم نیرو

نیرو حاصل برهم‌کنش دو جسم بر یکدیگر است؛ همیشه دو طرف دارد و نیرویی که از هیچ‌کجا نیامده باشد وجود ندارد. نیرو کمیتی برداری است (اندازه، جهت و نقطهٔ اثر)، یکایش نیوتون ($\text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) است و با نیروسنج اندازه گرفته می‌شود. نیرو می‌تواند تندی جسم را عوض کند، جهتش را بچرخاند، شکلش را تغییر دهد، یا آن را از سکون به حرکت درآورد.

نیروها از نظر سرچشمه دو دسته‌اند: تماسی (اصطکاک، کشش طناب، نیروی دست، فنر) و میدانی (گرانشی، الکتریکی، مغناطیسی) که بدون تماس اثر می‌کنند؛ زمین از فاصلهٔ میلیون‌ها کیلومتر هم ماه را می‌کشد.

تلهٔ کنکوری: برایند نیروها ($F_{net}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را با نیروی تعادل‌کننده اشتباه نگیر. برایند مجموع برداری همهٔ نیروهاست، اما تعادل‌کننده نیرویی است که اگر اضافه شود جسم را به تعادل می‌رساند — هم‌اندازهٔ برایند ولی خلاف جهت آن. وقتی جسمی زیر اثر چند نیرو در تعادل است، هرکدام به‌تنهایی تعادل‌کنندهٔ بقیه است.

اگر دو نیرو بر هم عمود باشند، برایندشان از فیثاغورس به دست می‌آید: $F_{net}=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این میان‌بر در کل فصل بارها تکرار می‌شود.

سه قانون حرکت نیوتون

قانون اول — لختی

اگر نیروی خالص وارد بر جسم صفر باشد، جسم حالت خود را حفظ می‌کند: ساکن بماند ساکن می‌ماند، در حرکت باشد با همان تندی و جهت ادامه می‌دهد.

این مقاومت در برابر تغییر حالت لختی نام دارد و با جرم بیشتر می‌شود؛ به همین دلیل هل دادن کامیون متوقف‌شده از هل دادن دوچرخه سخت‌تر است.

تلهٔ کنکوری: «نیروهای متوازن» یعنی برایند صفر است، نه اینکه هیچ نیرویی نباشد. خودرویی که با سرعت ثابت روی جادهٔ افقی یا حتی روی یک سربالایی حرکت می‌کند، همچنان نیروهای متوازن دارد.

وقتی اتوبوسی ناگهان ترمز می‌کند سرنشین به جلو پرت می‌شود، نه به این دلیل که نیرویی او را به جلو هل می‌دهد، بلکه چون بدنش بنا بر لختی می‌خواهد با سرعت قبلی ادامه دهد؛ در شروع ناگهانی حرکت هم به همین دلیل به عقب متمایل می‌شود.

قانون دوم — نیرو و شتاب

شتاب جسم با نیروی خالص هم‌جهت و متناسب است و با جرم نسبت وارون دارد:

$\vec{F}_{net}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایند همهٔ نیروهاست، نه فقط نیرویی که در صورت سؤال برجسته‌تر است؛ اول باید برایند برداری را گرفت، بعد $F_{net}=ma$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت.

رویکرد سیستمی: وقتی چند جسم با نخ یا میله به هم متصل‌اند و شتاب یکسان دارند، شتاب مشترک را از دیدن کل مجموعه به‌عنوان یک جسم بگیر: $a=\dfrac{F_{\text{خالص بیرونی}}}{m_{\text{مجموع}}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اما نیروی داخلی بین دو جزء (مثل کشش نخ) را باید با نوشتن $F=ma$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی یکی از اجزا به‌تنهایی پیدا کرد؛ سیستم فقط شتاب را می‌دهد.

حذف یک نیرو از تعادل: اگر جسمی در تعادل باشد و یکی از نیروها ناگهان برداشته شود، برایند نیروهای باقی‌مانده دقیقاً هم‌اندازه و خلاف جهت همان نیروی حذف‌شده است؛ لازم نیست دوباره همه را برداری جمع بزنی. مثلاً با حذف نیروی $15\ \text{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از جسمی $5\ \text{kg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در تعادل، بلافاصله $a=3\ \text{m/s}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

قانون سوم — کنش و واکنش

این جفت‌نیرو هم‌اندازه، هم‌راستا و خلاف جهت‌اند، از یک نوع‌اند (هر دو گرانشی یا هر دو تماسی) و همیشه بر دو جسم متفاوت وارد می‌شوند. همین ویژگی آخر پارادوکس «اسب و ارابه» را حل می‌کند: اگر نیروی اسب به ارابه و نیروی ارابه به اسب همیشه برابر و مخالف‌اند، پس چرا چیزی حرکت می‌کند؟ چون این دو هرگز روی یک جسم نمی‌نشینند. برای تحلیل حرکت ارابه فقط نیروهای وارد بر خودِ ارابه مهم‌اند؛ کنش و واکنش هرگز با هم جمع نمی‌شوند و یکدیگر را خنثی نمی‌کنند.

انواع نیرو

وزن

وزن برخلاف جرم ثابت نیست و به مکان بستگی دارد: روی زمین $9.8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر جرم (بر حسب نیوتون) و روی ماه حدود $1.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر آن است، چون شتاب گرانشی ماه کمتر است.

نیروی عمودی سطح (نرمال)

نیرویی که سطح، عمود بر خودش و رو به بیرون، وارد می‌کند. این نیرو همیشه با وزن برابر نیست:

تلهٔ کنکوری: در سقوط آزاد جسم وزن (نیروی گرانشی) همچنان دارد؛ آنچه از بین رفته نیروی نرمال است. بی‌وزنی یعنی نبود احساس وزن، نه نبود خود وزن.

اگر جسم به‌جای کف آسانسور به دیوار کناری فشرده شده باشد، شتاب قائم روی $F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اثری ندارد (چون $F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را فشار افقی می‌سازد)؛ در عوض اصطکاک باید $m(g+a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تحمل کند نه فقط $mg$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را.

آویز در چارچوب شتاب‌دار افقی

جسم آویزان از سقف وسیله‌ای که با شتاب افقی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حرکت می‌کند باید با همان $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شتاب بگیرد، و تنها تأمین‌کنندهٔ آن مؤلفهٔ افقی کشش نخ است. از $T\sin\theta=ma$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $T\cos\theta=mg$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با تقسیم بر هم:

اگر وسیله تندتر شود آویز به عقب و اگر ترمز کند به جلو کج می‌شود — همان جهتی که سرنشین هم بابت لختی به آن سو متمایل می‌شود. در پیچ نیز آویز به سمت بیرون پیچ کج می‌شود، چون شتاب مرکزگرا رو به داخل است.

اصطکاک

اصطکاک ایستایی از شروع حرکت جلوگیری می‌کند و مقدارش متغیر است — دقیقاً به اندازهٔ لازم، تا یک سقف مشخص. اصطکاک جنبشی هنگام لغزش واقعی ظاهر می‌شود و ثابت است:

پرتکرارترین اشتباه: تا وقتی جسم ساکن است، اصطکاک ایستایی با نیروی محرک برابر است، نه با $\mu_sF_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مگر در آستانهٔ لغزش که این دو یکی می‌شوند. نوشتن همیشگی $f=\mu F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای اصطکاک جنبشی و برای سقف اصطکاک ایستایی درست است.

روی سطح شیب‌دار، نرمال فقط مؤلفهٔ عمود بر سطح وزن را خنثی می‌کند: $F_N=mg\cos\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. از اینجا دو رابطهٔ کلیدی می‌آید: جسمی که رو به پایین می‌لغزد شتابش $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و جسمی که رو به بالای شیب فرستاده شده شتاب کاهشی $a=g(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد، چون وزن و اصطکاک هر دو رو به پایین شیب عمل می‌کنند.

آیا جسم پس از توقف روی شیب می‌ماند؟ پاسخ از مقایسهٔ $\tan\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\mu_s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید: اگر $\tan\theta>\mu_s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد جسم حتماً می‌لغزد، وگرنه همان‌جا می‌ماند.

اصطکاک همیشه لازم نیست جسمی را که «روی» سطح است نگه دارد: اگر جعبه‌ای را با نیروی افقی به دیواری بفشاری، همان نیرو نقش $F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بازی می‌کند و اصطکاک ایستایی رو به بالا وزن را نگه می‌دارد؛ شرط سرنخوردن $mg\leq\mu_sF_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر همزمان نیرویی مماس بر دیوار هم بخواهد جسم را به کناری بلغزاند، اصطکاک دو مؤلفهٔ عمود بر هم پیدا می‌کند و اندازهٔ کلش از جمع فیثاغورثی آن‌ها به دست می‌آید، نه از جمع سادهٔ اعداد.

نکتهٔ تجربی: اصطکاک به مساحت سطح تماس بستگی ندارد.

کشش طناب

طناب فقط می‌کشد، هرگز نمی‌فشارد. در طناب سبک اندازهٔ کشش در سرتاسر طول یکسان است، و قرقرهٔ ایده‌آل (بدون جرم و اصطکاک) فقط جهت نیرو را عوض می‌کند نه اندازه‌اش؛ پس کشش دو طرف طناب برابر است حتی اگر یکی افقی و دیگری قائم باشد. اگر چند جسم را یکی زیر دیگری از سقف آویزان کنیم، هر طناب وزن همهٔ جسم‌های زیر خودش را تحمل می‌کند: $T_1=(m_1+m_2)g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $T_2=m_2g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نیروی کشسانی فنر — قانون هوک

$k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت فنر بر حسب $\text{N/m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تغییر طول نسبت به طول طبیعی است. نیروی فنر همیشه رو به نقطهٔ تعادل است و به همین دلیل «بازگرداننده» نام دارد. $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ویژگی خودِ فنر است نه پیکربندی آن: همان $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از آویزان‌کردن قائم به دست می‌آید، در حالت افقی هم معتبر است. در بستن چند فنر، حالت موازی سختی‌ها را جمع می‌کند ($k_{eq}=k_1+k_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و حالت سری معکوس‌ها را ($\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، پس ترکیب سری همیشه نرم‌تر از هر فنر سازنده‌اش است.

تلهٔ کنکوری: اگر فنری را از دو سر مخالف هرکدام با نیروی $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بکشیم و ساکن بماند، تغییر طولش از $F=kx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آید نه از $2F=kx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دقیقاً مثل کشش طناب، دو سر با یک نیروی مشترک کار می‌کنند.

مقاومت شاره و تندی حدی

شاره نیرویی مخالف جهت حرکت وارد می‌کند که به تندی جسم و مساحت سطح روبه‌روی حرکت بستگی دارد. برای جسم در حال سقوط $a=g-\frac{f_D}{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هرچه جسم تندتر شود $f_D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر می‌شود تا با وزن برابر گردد، آنگاه شتاب صفر می‌شود و جسم با تندی حدی به سقوط ادامه می‌دهد (شرطش $f_D=mg$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). در حرکت رو به بالا وضعیت برعکس است: مقاومت و وزن هر دو رو به پایین‌اند، پس $a=g+\frac{f_D}{m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و جسم سریع‌تر از حالت خلأ کند می‌شود و به ارتفاع کمتری می‌رسد.

تعادل بین دو سطح عمود بر هم

اگر جسمی همزمان به دو سطح تکیه داشته باشد که بر هم عمودند (مثل گلوله‌ای در شیار بین دو صفحهٔ $37^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $53^\circ$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، دو نیروی نرمال هم بر هم عمودند و برایندشان باید وزن را خنثی کند:

قید مهم: این میان‌بر فقط وقتی مجاز است که عمود بودن از هندسهٔ مسئله تأیید شود، نه فرض.

تکانه و ضربه

تکانه برداری و هم‌جهت با سرعت است، و $\vec{J}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ضربه) برابر تغییر تکانه است. همین رابطه توضیح می‌دهد چرا کیسهٔ هوا جان می‌بخشد: تغییر تکانهٔ سرنشین در هر حالت یکسان است، اما کیسهٔ هوا $\Delta t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بزرگ‌تر می‌کند و نیروی وارد بر او را کاهش می‌دهد.

بقای تکانه (فراتر از کتاب): اگر نیروی خالص خارجی صفر باشد، تکانهٔ کل ثابت می‌ماند: $m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=m_1\vec{v}_1'+m_2\vec{v}_2'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این نتیجه مستقیماً از قانون سوم می‌آید، چون تغییر تکانهٔ یک جسم دقیقاً منفی تغییر تکانهٔ دیگری است. نمونهٔ کلاسیکش پس‌زنی تفنگ است: تکانهٔ کل پیش از شلیک صفر بوده، پس پس از شلیک هم صفر می‌ماند و تفنگ در خلاف جهت گلوله با سرعتی بسیار کمتر (به نسبت وارون جرم‌ها) پس می‌زند.

تمایز مهم: تکانه در هر برخوردی پایسته است، اما انرژی جنبشی فقط در برخورد کشسان. در برخورد کاملاً ناکشسان که دو جسم به هم می‌چسبند و با تندی مشترک $v_f=\frac{m_1v_1}{m_1+m_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌روند، همیشه بخشی از انرژی جنبشی به گرما و تغییر شکل و صدا می‌رود، ولی تکانه دقیقاً پایسته می‌ماند.

نکتهٔ ظریف: تغییر تکانه به بردار سرعت وابسته است نه اندازهٔ آن؛ حتی اگر تندی توپ پیش و پس از برخورد یکسان باشد، تغییر جهت یعنی تغییر تکانه. به همین دلیل در حرکت دایره‌ای یکنواخت هم تکانه ثابت نمی‌ماند.

حرکت دایره‌ای یکنواخت

وقتی جسمی با تندی ثابت روی دایره می‌چرخد، اندازهٔ سرعت ثابت است اما جهتش دائم عوض می‌شود؛ یعنی جسم شتاب دارد، شتابی که همیشه رو به مرکز است:

نیروی مرکزگرا نوع جدیدی از نیرو نیست؛ نامی است که به برایند نیروهای آشنا می‌دهیم وقتی نقش نگه‌داشتن جسم روی دایره را بازی می‌کنند: گرانش برای ماه، اصطکاک ایستایی برای خودرو در پیچ، کشش نخ برای توپ چرخان.

نکتهٔ ظریف: چون شتاب مرکزگرا همیشه عمود بر سرعت لحظه‌ای است، هرگز مؤلفه‌ای هم‌جهت با سرعت ندارد؛ پس اندازهٔ سرعت تغییر نمی‌کند و کار نیروی مرکزگرا صفر است.

در دو ردیف اول، مؤلفهٔ قائم نیرو وزن را خنثی می‌کند و مؤلفهٔ افقی نقش مرکزگرا را بازی می‌کند؛ با تقسیم دو معادله بر هم آن نیرو حذف می‌شود و $\tan\theta=\frac{v^2}{rg}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌ماند.

تلهٔ کنکوری: در بالاترین نقطهٔ مسیر دایره‌ای قائم (لوپ ترن هوایی یا سطل آب چرخان)، شرط «به‌سختی روی مسیر ماندن» یعنی نیروی عمودی سطح صفر شود، نه اینکه سرعت صفر شود.

نیروی گرانشی عمومی

نیوتون نشان داد نیرویی که سیب را به زمین می‌کشد و نیرویی که ماه را دور زمین نگه می‌دارد یکی هستند.

این نیرو همیشه جاذبه است و با مربع فاصله کم می‌شود: با دو برابر شدن فاصله، نیرو یک‌چهارم می‌شود نه نصف. با برابر گذاشتن آن با $mg$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

پس شتاب گرانشی سطح یک سیاره با نسبت $\frac{M/M_e}{(R/R_e)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعیین می‌شود؛ سیاره‌ای با جرم هشت برابر و شعاع دو برابر زمین، $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییی فقط دو برابر دارد. برای رسیدن به $\frac{1}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سطحی هم باید $R_e+h=\sqrt{n}\,R_e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد؛ مثلاً وزن در ارتفاع $h=(\sqrt2-1)R_e\approx0.414R_e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نصف می‌شود.

حرکت ماهواره: برای ماهواره در مدار دایره‌ای، همان گرانش نقش مرکزگرا را بازی می‌کند:

هرچه ماهواره دورتر باشد به تندی کمتری نیاز دارد. با ترکیب این رابطه و $T=\frac{2\pi r}{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

این همان قانون سوم کپلر است: اگر شعاع مدار $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر شود، تناوب $n^{3/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود، نه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر و نه $n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر (با دو برابر شدن شعاع، تناوب $2\sqrt2\approx2.83$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود).

ترفند پرکاربرد: هرجا $G$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $M_e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جداگانه داده نشده‌اند ولی $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $R_e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دسترس‌اند، از جایگزینی $GM_e=gR_e^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استفاده کن.

دو تلهٔ رایج: نخست، فاصله همیشه از مرکز زمین اندازه‌گیری می‌شود نه از سطح آن؛ با ارتفاع $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $R_e+h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جا گذاشت. دوم، بی‌وزنی فضانورد به معنای صفر شدن گرانش نیست: او مثل کابین آسانسوری که سیمش پاره شده در سقوط آزاد پیوسته است و همان گرانش شتاب مرکزگرا را تأمین می‌کند؛ چون هیچ سطحی او را نگه نمی‌دارد $F_N=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نیروی گرانشی هم بردار است: وقتی چند جسم همزمان به جسم سوم نیرو وارد می‌کنند باید نیروها را برداری جمع زد — با فیثاغورس اگر عمود باشند، وگرنه با تجزیه به مؤلفه‌ها.

الگوهای کلیدی حل مسئله

آسانسور و ترازو: عدد ترازو همان $F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است نه وزن واقعی؛ وزن در همهٔ حالت‌ها یکسان می‌ماند و فقط $F_N$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تغییر می‌کند.

دو جسم متصل با طناب از روی قرقره: برای هر جسم جداگانه معادله بنویس (کشش برای هر دو یکسان)، سپس دو معادله را جمع کن تا $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حذف شود. برای $m_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی سطح افقی بدون اصطکاک و $m_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آویزان: $a=\frac{m_2g}{m_1+m_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $T=m_1a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای ماشین آتوود: $a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $m_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی شیب بدون اصطکاک باشد: $a=\frac{m_2g-m_1g\sin\theta}{m_1+m_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قطار چندجسمی: شتاب مشترک را از کل سیستم بگیر، سپس برای کشش بین دو جعبه فقط جرمی را که آن کشش باید جلو ببرد در $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب کن.

دو جعبهٔ روی هم: اگر جعبهٔ بالایی فقط با اصطکاک ایستایی شتاب بگیرد، از $\mu_sm_Ag=m_Aa_{\max}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $\boxed{a_{\max}=\mu_s g}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ جرم حذف می‌شود، یعنی این مرز به جرم هیچ‌کدام بستگی ندارد.

خلاصهٔ فرمول‌ها