احتمال (علوم ریاضی) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

📘 خلاصه‌ی درسنامه

نگاه کلی: آمار در برابر احتمال

دو علم مکمل یکدیگرند اما جهت حرکت اطلاعات در آن‌ها متفاوت است:

آمار: از نمونه به جامعه حرکت می‌کند — جامعه نامعلوم است و با نمونه‌گیری آن را می‌شناسیم.
احتمال: از جامعه (با ویژگی معلوم) به نمونه حرکت می‌کند — می‌خواهیم رفتار نمونه‌های تصادفی را پیش‌بینی کنیم.

نکته طلایی: آمار یعنی «استنتاج از جزء به کل»؛ احتمال یعنی «پیش‌بینی از کل به جزء».

فضای نمونه و پیشامد

فضای نمونه $S$ : مجموعه همهٔ برآمدهای ممکن یک آزمایش تصادفی.
پیشامد: هر زیرمجموعه از $S$ .
اگر $A \subseteq B$ ، رخ دادن $A$ نتیجه می‌دهد $B$ هم رخ داده است.
رخ دادن $A\cap B$ یعنی هر دو رخ داده‌اند؛ رخ دادن $A\cup B$ یعنی حداقل یکی.

اصول و قضایای احتمال

0 \le P(A) \le 1,\qquad P(S)=1

اگر $A\cap B=\emptyset$ (ناسازگار): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

قضایای مهم:

P(A')=1-P(A)\qquad P(\emptyset)=0

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\qquad P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

اگر $B\subseteq A$ آنگاه $P(A-B)=P(A)-P(B)$ و $P(B)\le P(A)$ .

احتمال غیرهم‌شانس

وقتی برآمدها شانس یکسان ندارند، $P(A)$ برابر مجموع احتمال برآمدهای تشکیل‌دهندهٔ آن است.

مثال: احتمال قهرمانی ۴ تیم $a,b,c,d$ : $P(a)=P(b)=P(c)=x,\ P(d)=2x$ . از $5x=1$ : $x=1/5$ ، پس $P(d)=2/5$ .

احتمال شرطی و قوانین وابسته

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad(P(B)>0)

قانون ضرب: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

قانون احتمال کل: اگر $B_1,\dots,B_n$ افرازی از $S$ باشند (دوبه‌دو ناسازگار و اجتماعشان $S$ ):

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)\cdot P(A|B_i)

قانون بیز:

P(B_i|A)=\frac{P(B_i)\cdot P(A|B_i)}{\sum_j P(B_j)\cdot P(A|B_j)}

استقلال پیشامدها

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff A,B\ \text{مستقل}

معادل: $P(A|B)=P(A)$ و $P(B|A)=P(B)$ . اگر $A,B$ مستقل باشند، $A',B$ و $A,B'$ و $A',B'$ نیز مستقل‌اند.

⚠️ نکتهٔ مهم: ناسازگاری با استقلال یکی نیست! دو پیشامد ناسازگارِ ناتهی هرگز نمی‌توانند مستقل باشند، چون $P(A\cap B)=0$ در حالی که $P(A)\cdot P(B)\neq 0$ .

در انتخاب با جای‌گذاری، انتخاب‌ها همیشه مستقلند؛ در انتخاب بدون جای‌گذاری از جامعهٔ بزرگ می‌توان با تقریب خوبی فرض استقلال کرد.

نمودار درختی و مثال‌های کنکوری

برای مسائل چندمرحله‌ای، نمودار درختی احتمال هر مسیر را از ضرب شاخه‌ها می‌دهد.

مثال بیز: سه صندوق سیب (شمالی ۱۰٪ لکه‌دار، مرکزی ۳٪، جنوبی ۵٪) داریم. صندوقی تصادفی انتخاب و سیبی از آن لکه‌دار درمی‌آید:

P(\text{شمالی}|\text{لکه})=\frac{\frac13\times0.1}{\frac13\times0.1+\frac13\times0.03+\frac13\times0.05}\approx0.556

مثال استقلال: پرتاب هم‌زمان سکه و تاس؛ $P(\text{رو})\cdot P(6)=\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}=P(\text{رو}\cap 6)$ — پس مستقل‌اند.

مثال حداقل یک موفقیت: احتمال قبولی زهرا ۰.۹ و ریحانه ۰.۷؛ احتمال قبولی حداقل یکی:

P(A\cup B)=0.9+0.7-(0.9\times0.7)=0.97

جمع‌بندی فرمول‌های طلایی

مفهوم	فرمول
متمم	$P(A')=1-P(A)$
قانون جمع	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
احتمال شرطی	$P(A\|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
قانون ضرب	$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\|A)$
احتمال کل	$P(A)=\sum P(B_i)P(A\|B_i)$
بیز	$P(B_i\|A)=\dfrac{P(B_i)P(A\|B_i)}{\sum P(B_j)P(A\|B_j)}$
استقلال	$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

این فقط خلاصه‌ی درسنامه است — برای مطالعه‌ی متن کامل با تمام نکات و مثال‌ها، ثبت‌نام کن.

📝 نمونه تست

این خلاصه‌ی درسنامه و نمونه تست‌ها برای تجربه‌ی بهتر تو آماده شده — بانک کامل سؤال و درسنامه‌ی کامل بعد از ثبت‌نام در دسترسته.

1. فضای نمونه‌ای شامل دو پیشامد $A$ و $B$ است به گونه‌ای که $P(A) = 0.5$ و $P(B) = 0.6$ . اگر بدانیم $P(A \cup B) = 0.7$ ، کدام گزینه درباره رابطه $A$ و $B$ نادرست است؟

پیشامدهای $A'$ و $B'$ ناسازگار نیستند.
پیشامدهای $A$ و $B$ مستقل نیستند.
پیشامدهای $A$ و $B$ ناسازگار نیستند.
پیشامدهای $A'$ و $B$ مستقل هستند.

«پیشامدهای $A'$ و $B$ مستقل هستند.» نادرست است، زیرا ابتدا باید $P(A \cap B)$ را از قانون جمع حساب کنیم: $P(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.7 = 0.4$ . برای استقلال $A'$ و $B$ باید $P(A' \cap B) = P(A')P(B)$ برقرار باشد، در حالی که $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.2$ و $P(A')P(B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$ که نابرابرند. گزینه اول درست است چون $A'$ و $B'$ ناسازگار نیستند (اشتراکشان صفر نیست). گزینه دوم درست است چون $0.4 \neq 0.3$ . گزینه سوم درست است چون $A \cap B \neq \emptyset$ .

2. در یک آزمایش، دو پیشامد $A$ و $B$ با احتمال‌های $P(A) = \frac{1}{3}$ و $P(B) = \frac{1}{2}$ داریم. اگر $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$ باشد، $P(A' \cap B')$ کدام است؟

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}$

گزینه درست $\frac{1}{3}$ است، زیرا $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .

3. در یک کارخانه، احتمال تولید محصول معیوب در دستگاه اول $0.05$ و در دستگاه دوم $0.08$ است. $60\%$ محصولات توسط دستگاه اول و $40\%$ توسط دستگاه دوم تولید می‌شود. اگر یک محصول تصادفی معیوب باشد، احتمال اینکه توسط دستگاه دوم تولید شده باشد چقدر است؟

$\frac{32}{47}$
$\frac{16}{31}$
$\frac{32}{62}$
$\frac{8}{15}$

گزینه درست $\frac{16}{31}$ است. طبق قانون بیز: $P(D_2|M) = \frac{0.4 \times 0.08}{0.6 \times 0.05 + 0.4 \times 0.08} = \frac{0.032}{0.062} = \frac{32}{62} = \frac{16}{31}$ .

4. دو تاس سالم را پرتاب می‌کنیم. پیشامد A: مجموع اعداد ظاهر شده مضرب ۳ باشد. پیشامد B: عدد تاس اول از تاس دوم بزرگ‌تر باشد. کدام گزینه درست است؟

$A$ و $B$ مستقلند و $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$
$A$ و $B$ ناسازگارند و $P(A \cap B) = 0$
$A$ و $B$ مستقلند و $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$
$A$ و $B$ ناسازگار نیستند ولی وابسته‌اند و $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$

گزینهٔ سوم ( $A$ و $B$ مستقلند و $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$ ) درست است. P(A)=۱۲/۳۶=۱/۳ (مجموع‌های ۳,۶,۹,۱۲). P(B)=۱۵/۳۶=۵/۱۲ (حالت‌هایی که تاس اول بزرگ‌تر است). حالت‌های A∩B: (۲,۱) با مجموع ۳، (۴,۲) و (۵,۱) با مجموع ۶، (۵,۴) و (۶,۳) با مجموع ۹ → ۵ حالت. P(A∩B)=۵/۳۶. بررسی استقلال: P(A)P(B)=(۱/۳)×(۵/۱۲)=۵/۳۶=P(A∩B)، بنابراین مستقلند.

5. در یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه $S = \{a, b, c, d\}$ و احتمال‌ها به صورت $P(\{a\}) = \frac{1}{2}P(\{b\}) = \frac{1}{3}P(\{c\}) = \frac{1}{4}P(\{d\})$ هستند. اگر پیشامد $A = \{a, c\}$ و پیشامد $B = \{b, d\}$ باشد، کدام گزینه درست است؟

$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$ و $P(A \cap B) = \frac{1}{12}$
$P(A) = \frac{1}{2}$ و $P(B) = \frac{1}{3}$
$P(A \cap B) = 0$ و $P(A \cup B) = 1$
$P(A) = \frac{5}{12}$ و $P(B) = \frac{7}{12}$

« $P(A \cap B) = 0$ و $P(A \cup B) = 1$ » درست است زیرا $A \cap B = \emptyset$ و $A \cup B = S$ . ابتدا با فرض $P(\{a\}) = k$ ، داریم $k + 2k + 3k + 4k = 1$ یعنی $k = \frac{1}{10}$ ، پس $P(A) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ و $P(B) = \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ که با سایر گزینه‌ها همخوانی ندارد. گزینه‌های دیگر اعداد اشتباه محاسبه شده‌اند.

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان