احتمال (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«پیشامدهای $A'$ و $B$ مستقل هستند.» نادرست است، زیرا ابتدا باید $P(A \cap B)$ را از قانون جمع حساب کنیم: $P(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.7 = 0.4$. برای استقلال $A'$ و $B$ باید $P(A' \cap B) = P(A')P(B)$ برقرار باشد، در حالی که $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.2$ و $P(A')P(B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$ که نابرابرند. «پیشامدهای $A'$ و $B'$ ناسازگار نیستند» درست است چون $A'$ و $B'$ ناسازگار نیستند (اشتراکشان صفر نیست). «پیشامدهای $A$ و $B$ مستقل نیستند» درست است چون $0.4 \neq 0.3$. «پیشامدهای $A$ و $B$ ناسازگار نیستند» درست است چون $A \cap B \neq \emptyset$. تلهٔ تستی: نمی‌توان از رابطهٔ استقلال/وابستگیِ خودِ $A$ و $B$ نتیجه گرفت که همان رابطه بینِ $A'$ و $B$ هم برقرار است؛ باید $P(A' \cap B)$ را مستقیماً محاسبه و با $P(A')\cdot P(B)$ مقایسه کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{16}{31}$» درست است. گامِ ۱ — احتمالِ هر مسیر: $P(D_1\cap M)=0.6\times0.05=0.03$ و $P(D_2\cap M)=0.4\times0.08=0.032$. گامِ ۲ — احتمالِ کلِ معیوب: $P(M)=0.03+0.032=0.062$. گامِ ۳ — قانونِ بیز: $P(D_2\mid M)=\frac{0.032}{0.062}=\frac{16}{31}$. وارسیِ مستقل (شمارشِ فراوانی): از ۱۰۰۰ محصول، ۶۰۰ تا از دستگاهِ اول ($30$ معیوب) و ۴۰۰ تا از دستگاهِ دوم ($32$ معیوب)؛ از $62$ محصولِ معیوب، $32$ تا مالِ دستگاهِ دوم است: $\frac{32}{62}=\frac{16}{31}$ ✓. ردِ گزینه‌های دیگر: «$\frac{15}{31}$» متممِ پاسخ است، یعنی $P(D_1\mid M)=\frac{0.03}{0.062}$، و به پرسشِ دستگاهِ دوم پاسخ نمی‌دهد. «$\frac{8}{13}$» از نادیده‌گرفتنِ سهمِ تولید و محاسبهٔ $\frac{0.08}{0.05+0.08}$ می‌آید. «$\frac{8}{15}$» وقتی به‌دست می‌آید که مخرج را سرانگشتی $0.06$ (به‌جایِ $0.062$) بگیریم. تلهٔ تستی: سؤال $P(\text{دستگاه}\mid\text{معیوب})$ را می‌خواهد نه $P(\text{معیوب}\mid\text{دستگاه})$؛ جابه‌جاییِ جهتِ شرطی‌سازی و فراموش‌کردنِ وزن‌دهی به سهمِ تولیدِ هر دستگاه، رایج‌ترین خطای این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$A$ و $B$ مستقلند و $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$» درست است. گامِ ۱ — $A$ («مجموع مضربِ ۳»): مجموع‌های $3,6,9,12$ به‌ترتیب $2,5,4,1$ حالت دارند، پس $|A|=12$ و $P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$. گامِ ۲ — $B$ («تاسِ اول بزرگ‌تر از دوم»): از $36$ برآمد، $6$ تا مساوی‌اند و بقیه به‌تقارن نصف‌نصف می‌شوند، پس $|B|=\frac{36-6}{2}=15$ و $P(B)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$. گامِ ۳ — $A\cap B$: $(2,1)$ با مجموعِ ۳؛ $(4,2)$ و $(5,1)$ با مجموعِ ۶؛ $(5,4)$ و $(6,3)$ با مجموعِ ۹ — جمعاً $5$ برآمد، پس $P(A\cap B)=\frac{5}{36}$. گامِ ۴ — $P(A)P(B)=\frac{1}{3}\times\frac{5}{12}=\frac{5}{36}=P(A\cap B)$، پس مستقل‌اند. وارسیِ مستقل (احتمالِ شرطی): $P(A\mid B)=\frac{5/36}{15/36}=\frac{1}{3}=P(A)$ ✓. ردِ گزینه‌های دیگر: «مستقلند و $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$» مقدارِ اشتراک را اشتباه گرفته ($\frac{6}{36}$ به‌جایِ $\frac{5}{36}$). «ناسازگارند و $P(A\cap B)=0$» نادرست است چون اشتراک پنج برآمد دارد. «ناسازگار نیستند ولی وابسته‌اند و $P(A\cap B)=\frac{1}{9}$» هم مقدار را اشتباه گرفته و هم وابستگی را. تلهٔ تستی: در پرتابِ دو تاس، «مضربِ ۳ بودنِ مجموع» و «بزرگ‌تر بودنِ تاسِ اول» ظاهراً بی‌ربط‌اند، اما همین ظاهرِ بی‌ربط تضمینِ استقلال نیست — باید با ضربِ $P(A)\cdot P(B)$ و مقایسه با $P(A\cap B)$ تأیید شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$P(A \cap B) = 0$ و $P(A \cup B) = 1$» درست است زیرا $A \cap B = \emptyset$ و $A \cup B = S$. ابتدا با فرض $P(\{a\}) = k$، داریم $k + 2k + 3k + 4k = 1$ یعنی $k = \frac{1}{10}$، پس $P(A) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ و $P(B) = \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ که با سایر گزینه‌ها همخوانی ندارد. گزینه‌های دیگر اعداد اشتباه محاسبه شده‌اند. تلهٔ تستی: وقتی دو پیشامد یک افراز (partition) از فضای نمونه تشکیل می‌دهند (اشتراک تهی و اجتماع کل فضا)، $P(A\cap B)=0$ و $P(A\cup B)=1$ بی‌نیاز از محاسبهٔ مقادیرِ دقیقِ $P(A)$ و $P(B)$ به‌دست می‌آید؛ صرفِ وقت برای محاسبهٔ $k$ در این‌جا لازم نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$A$ و $B$ سازگار و وابسته هستند.» درست است. گامِ ۱ — از قانونِ جمع: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{8}=\frac{12}{24}+\frac{8}{24}-\frac{15}{24}=\frac{5}{24}$. گامِ ۲ — چون $\frac{5}{24}\neq0$، اشتراک ناتهی است، پس $A$ و $B$ سازگارند. گامِ ۳ — $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{4}{24}\neq\frac{5}{24}$، پس وابسته‌اند. وارسیِ مستقل (با مخرجِ مشترکِ ۲۴): $P(A)=\frac{12}{24}$، $P(B)=\frac{8}{24}$، $P(A\cup B)=\frac{15}{24}$ و $\frac{12+8-15}{24}=\frac{5}{24}$ ✓ که هم بینِ $0$ و $\min(P(A),P(B))=\frac{8}{24}$ می‌ماند، پس داده‌ها سازگارند. ردِ گزینه‌های دیگر: «ناسازگار و مستقل» و «ناسازگار اما وابسته» هر دو ناسازگاری را ادعا می‌کنند که یعنی $P(A\cap B)=0$، در حالی که $\frac{5}{24}\neq0$. «سازگار و مستقل» سازگاری را درست گفته اما استقلال را اشتباه، چون $\frac{5}{24}\neq\frac{4}{24}$. تلهٔ تستی: «سازگار بودن» (اشتراکِ ناتهی) و «مستقل بودن» دو ویژگیِ کاملاً مجزا هستند؛ سازگاری از رویِ $P(A\cap B)\neq0$ و استقلال از رویِ برابریِ $P(A\cap B)$ با $P(A)P(B)$ سنجیده می‌شود، نه یکی از رویِ دیگری.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{5}{7}$» درست است. با استفاده از احتمال شرطی، $P(\text{اول قرمز}|\text{دوم آبی}) = \frac{P(\text{اول قرمز} \cap \text{دوم آبی})}{P(\text{دوم آبی})} = \frac{\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}}{\frac{5}{8} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{2}{7}} = \frac{15/56}{15/56 + 6/56} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$. تلهٔ تستی: این یک احتمالِ شرطیِ «معکوس» است (پرسش دربارهٔ گویِ اول با شرطِ گویِ دوم) — باید با قانونِ بیز/احتمالِ کل حل شود، نه با اعمالِ مستقیمِ نسبتِ سادهٔ گوی‌های باقی‌مانده که فقط برای جهتِ رو‌به‌جلو (اول→دوم) درست است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$0.3$» درست است. ابتدا $P(\text{ریاضی} \cap \text{فیزیک}') = P(\text{ریاضی}) - P(\text{ریاضی} \cap \text{فیزیک}) = 0.6 - 0.5 = 0.1$ و $P(\text{ریاضی}' \cap \text{فیزیک}) = P(\text{فیزیک}) - P(\text{ریاضی} \cap \text{فیزیک}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$. پس احتمال حداقل یکی و دیگری نه $= 0.1 + 0.2 = 0.3$. تلهٔ تستی: «قبولی در دقیقاً یکی از دو درس» با $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$ به‌دست می‌آید، نه با $P(A\cup B)-P(A\cap B)$ به‌تنهایی یا میانگین‌گیریِ ساده؛ فراموش‌کردنِ ضریبِ ۲ برای $P(A\cap B)$ رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$A$ و $B$ وابسته و سازگارند» درست است. گامِ ۱ — $A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$ پس $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. گامِ ۲ — متممِ $B$ یعنی «هر دو فرد» شاملِ $3\times3=9$ برآمد است، پس $P(B)=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$. گامِ ۳ — نکتهٔ کلیدی: مجموعِ ۷ فرد است، و مجموعِ دو عددِ هم‌زوجیت همیشه زوج می‌شود؛ پس در هر برآمدِ $A$ حتماً یکی زوج و دیگری فرد است. یعنی $A\subseteq B$ و $A\cap B=A$، لذا $P(A\cap B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. گامِ ۴ — $P(A)P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{8}\neq\frac{1}{6}$، پس وابسته‌اند؛ و چون $A\cap B\neq\emptyset$، سازگارند. وارسیِ مستقل: $P(A\mid B)=\frac{1/6}{3/4}=\frac{2}{9}$ که با $P(A)=\frac{1}{6}$ برابر نیست ✓ (تأییدِ دوبارهٔ وابستگی). ردِ گزینه‌های دیگر: «مستقل و ناسازگار» و «وابسته و ناسازگار» ناسازگاری را ادعا می‌کنند، ولی $A\cap B=A\neq\emptyset$. «مستقل و سازگار» سازگاری را درست گفته اما استقلال را اشتباه، چون $\frac{1}{8}\neq\frac{1}{6}$. تلهٔ تستی: هرچند «مجموع=۷» و «حداقل یکی زوج» دو ویژگیِ متفاوت به‌نظر می‌رسند، در واقع اولی دومی را نتیجه می‌دهد ($A\subseteq B$)؛ چنین زیرمجموعگیِ پنهانی هم ناسازگاری را رد می‌کند و هم استقلال را (مگر در حالت‌های حدی).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{1}{2}$» درست است. تعداد کل حالات انتخاب ۳ مهره از ۱۰: $\binom{10}{3}=120$. تعداد حالات مطلوب: انتخاب ۲ مهره آبی از ۶ و ۱ مهره قرمز از ۴: $\binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60$. احتمال: $\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در محاسبه ترکیبات یا جمع‌حالات هستند. تلهٔ تستی: در انتخابِ هم‌زمانِ چند شیء از دو گروه، باید ترکیبِ هر گروه را جداگانه شمرد و در هم ضرب کرد ($\binom{6}{2}\times\binom{4}{1}$)؛ فراموش‌کردنِ ضربِ گروهِ دوم (یا استفاده از جایگشت به‌جایِ ترکیب) رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$1$» درست است چون $A$ و $B$ ناسازگارند، یعنی $A \cap B = \emptyset$، پس $P(A \cap B) = 0$. با استفاده از قانون دمورگان، $A' \cup B' = (A \cap B)'$، بنابراین $P(A' \cup B') = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0 = 1$. گزینه $\frac{5}{6}$ حاصل $1 - P(A \cap B)$ با فرض اشتباه استقلال است. گزینه $\frac{1}{6}$ حاصل $1 - P(A) - P(B)$ است. گزینه $\frac{2}{3}$ حاصل $P(A \cup B)$ است. تلهٔ تستی: وقتی $A$ و $B$ ناسازگارند، طبقِ قانونِ دمورگان $P(A'\cup B')=1-P(A\cap B)=1-0=1$ همیشه برقرار است — این نتیجه اصلاً به مقدارِ دقیقِ $P(A)$ یا $P(B)$ وابسته نیست؛ محاسبهٔ اضافی رویِ این مقادیر اتلافِ وقت است.