حد و پیوستگی (حسابان 1)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\lim_{x \to a} [f(x)]^2 = L^2$ و $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ به شرط $M \neq 0$» درست است، چون هر دو بخشِ آن با شرطِ درست بیان شده‌اند: به‌توان‌رساندن همیشه (بدونِ هیچ شرطی) برقرار است، و قضیهٔ خارج‌قسمت با شرطِ $M\neq0$ صادق است. سایر گزینه‌ها هرکدام یک بخشِ اشتباه دارند: گزینهٔ «بدونِ هیچ شرطی روی $M$» غلط است چون خارج‌قسمت **الزاماً** به شرطِ $M\neq0$ نیاز دارد؛ گزینهٔ «برای هر مقدارِ $L$» غلط است چون رادیکالِ زوج نیازمندِ $L\geq0$ است؛ گزینهٔ «حتی اگر $M=0$» غلط است چون $\frac1{g(x)}$ وقتی $M=0$ می‌تواند اصلاً موجود نباشد. تله تستی: در این نوع سؤالِ نظری، باید هر دو نیمهٔ گزینه را جداگانه بررسی کرد — گاهی نیمهٔ اول درست ولی نیمهٔ دوم به‌خاطرِ حذفِ یک شرطِ ضروری (یا اضافه‌کردنِ ادعایی نادرست دربارهٔ برقراری بدونِ آن شرط) نادرست است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$2$» درست است. با ضربِ صورت و مخرج در مزدوجِ $\sqrt{bx+1}+1$: مخرج به $bx$ تبدیل می‌شود، پس عبارت می‌شود $\dfrac{\sin(ax)(\sqrt{bx+1}+1)}{bx}=\dfrac{\sin(ax)}{ax}\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt{bx+1}+1}{b}$. با $x\to0$: جملهٔ اول به $1$ و جملهٔ آخر به $\dfrac2b$ میل می‌کند؛ پس حد برابرِ $\dfrac{2a}{b}$ می‌شود. از برابریِ $\dfrac{2a}{b}=4$: $\dfrac ab=2$. گزینهٔ «$4$» از فراموش‌کردنِ ضریبِ $2$ (ناشی از مزدوجِ مخرج) می‌آید. تله تستی: در این خانواده سؤال (نسبتِ سینوس به رادیکالِ مزدوج‌شونده)، همیشه یک ضریبِ $2$ از مزدوج‌سازیِ رادیکال ظاهر می‌شود که نباید فراموش شود؛ نتیجهٔ نهایی $\frac{a}{b}$ است، نه $\frac{2a}{b}$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«این حد برابر $\frac{1}{L}$ است.» درست است زیرا طبق قضیه حد خارج قسمت، اگر حد مخرج ناصفر باشد، حد معکوس تابع برابر معکوس حد آن است و به تعریف شدن یا نشدن تابع در نقطه ربطی ندارد. سایر گزینه‌ها غلطند زیرا اولاً با فرض وجود حد اصلی و ناصفر بودن آن، این حد همواره موجود است و ثانیاً عبارت $\frac{1}{\lim_{x\to a}f(a)}$ بی‌معنی است. تله تستی: نباید شرطِ «$L\neq0$» را با شرطِ «$f(a)$ تعریف شده باشد» اشتباه گرفت؛ قضیهٔ حدِ معکوس فقط به مقدارِ حد وابسته است، نه به تعریف‌شدنِ تابع در خودِ نقطه.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «حد چپ تابع $f$ در نقطه $x=3$ برابر با $2$ است.» درست است، چون $\lim_{x\to3^-}[x]=2$ (بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر از اعدادِ نزدیکِ $3$ از چپ). گزینهٔ «تابع $f$ در تمامِ اعدادِ حقیقی حد دارد» نادرست است چون در هر عددِ صحیح حد ندارد. گزینهٔ «در $x=2.5$ حد ندارد» نادرست است چون $2.5$ غیرصحیح است و حد دارد (برابرِ $2$). گزینهٔ «حدِ راست در $x=2$ برابرِ $1$ است» نادرست است؛ حدِ راستِ جزءِ صحیح در نقطهٔ صحیحِ $n$ همیشه برابرِ خودِ $n$ است، پس در $x=2$ برابرِ $2$ است، نه $1$. تله تستی: رایج‌ترین اشتباه در تابعِ جزءِ صحیح، برعکس‌کردنِ فرمولِ حدِ چپ ($n-1$) و حدِ راست ($n$) در نقاطِ صحیح است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «وجود ندارد» درست است. با ضربِ صورت در مزدوجِ $\sqrt{x+2}+\sqrt{2x}$: صورت به $(x+2)-2x=-(x-2)$ تبدیل می‌شود، پس عبارت برابرِ $\dfrac{-1}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x})}$ می‌شود. با $x\to2^+$: مخرج مثبتِ کوچک است، پس حد به $-\infty$ می‌رود. با $x\to2^-$: مخرج منفیِ کوچک است، پس حد به $+\infty$ می‌رود. چون حدودِ یک‌طرفه ناهم‌علامت‌اند، حدِ دوطرفه وجود ندارد. تله تستی: باید علامتِ $(x-2)$ را در هر دو سمتِ نقطه با دقت دنبال کرد؛ توانِ فردِ این عامل در مخرج باعثِ تغییرِ علامتِ حدِ نامتناهی حولِ نقطه می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$0$» درست است. چون $\lim_{x\to-1}\frac{f(x)}{(x+1)^2}=2$ موجود است و مخرج در $x=-1$ صفر می‌شود، صورت هم باید در $x=-1$ صفر شود؛ چون $f$ چندجمله‌ای درجهٔ دوم است، می‌توان نوشت $f(x)=(x+1)(px+q)$. برای اینکه $\frac{f(x)}{(x+1)^2}=\frac{px+q}{x+1}$ در $x=-1$ به مقدار متناهی $2$ برسد، باید $px+q$ هم در $x=-1$ صفر شود، یعنی $q=p$؛ در نتیجه $f(x)=p(x+1)^2$ و از برابری حد با $2$، $p=2$. پس $f(x)=2(x+1)^2$ و $\lim_{x\to-1}\frac{f(x)}{x+1}=\lim_{x\to-1}2(x+1)=0$. گزینهٔ «$4$» حاصلِ محاسبهٔ نادرست با فرضِ نیمه‌کاره از بسطِ $f$ است؛ گزینه‌های «$-4$» و «$-2$» از خطای علامت در بسط می‌آیند. تله تستی: در این نوع سؤال باید حتماً شکلِ کلیِ $f(x)=(x+1)(px+q)$ را با استفاده از هر دو شرط (چندجمله‌ای درجهٔ دوم بودن و صفرشدنِ هم‌زمانِ صورت) به‌طور صریح ساخت؛ حدس‌زدنِ مستقیمِ $f(x)=2(x+1)^2$ بدونِ اثباتِ اینکه ضریبِ جملهٔ خطی هم برابرِ $2$ است، به پاسخِ نادرست می‌انجامد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «حد موجود و برابر $0$ است.» درست است. صورت و مخرج را جداگانه حد می‌گیریم: $\lim_{x\to2}[f(x)\cdot g(x)]=5\times0=0$ و $\lim_{x\to2}[f(x)-g(x)]=5-0=5$. چون حدِ مخرج ($5$) ناصفر است، طبقِ قضیهٔ حدِ خارج‌قسمت: $\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)}=\dfrac{0}{5}=0$. وارسیِ مستقل: با انتخابِ نمونهٔ $f(x)=5$ و $g(x)=x-2$ (که هر دو شرطِ سؤال را دارند)، عبارت برابرِ $\dfrac{5(x-2)}{5-(x-2)}$ است که در $x\to2$ به $\dfrac{0}{5}=0$ می‌رسد — سازگار با نتیجهٔ بالا. ردِ سایر گزینه‌ها: «وجود ندارد و برابرِ $+\infty$ است» نادرست است چون مخرج به $5$ (نه صفر) می‌رود و هیچ واگراییِ نامتناهی رخ نمی‌دهد؛ «برابرِ $\frac55$ یعنی $1$» از خلطِ صورت با خودِ $f$ (به‌جایِ $f\cdot g$) می‌آید؛ «بدونِ اطلاع از نوعِ نزدیک‌شدنِ $g$ به صفر ممکن نیست» نادرست است چون اصلاً فرمِ نامعینی در کار نیست. تله تستی: صرفِ حضورِ $g\to0$ در **صورتِ** کسر نشانهٔ ابهام نیست؛ ابهام تنها وقتی رخ می‌دهد که مخرج هم به صفر برود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$0$» درست است. $\lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^+} \frac{x-a}{x-a} = 1$ و $\lim_{x\to 0^-} g(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{x}{-x} = -1$، بنابراین مجموع $1 + (-1) = 0$ می‌شود. سایر گزینه‌ها نادرستند. تله تستی: باید هر حدِ یک‌طرفه را با ضابطهٔ درستِ همان طرف (بسته به علامتِ عبارتِ داخلِ قدرمطلق در همان همسایگی) جداگانه محاسبه کرد؛ ترکیب‌کردنِ زودهنگامِ دو تابعِ متفاوت باعثِ خطا می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «اگر $L = 0$ و $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0$ باشد، آنگاه $M$ می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.» درست است. چون $L=0$، طبقِ قضیهٔ حدِ ضرب داریم $\lim_{x\to a}f(x)g(x)=L\cdot M=0\cdot M=0$ به‌ازایِ **هر** مقدارِ $M$؛ یعنی شرطِ دومِ گزینه به‌طور خودکار برقرار است و هیچ قیدی روی $M$ نمی‌گذارد. وارسیِ مستقل با نمونه: $f(x)=x-a$ (پس $L=0$) و $g(x)=M$ ثابت؛ حاصل‌ضرب همیشه به $0$ می‌رود در حالی‌که $M$ هر عددِ دلخواهی است. ردِ سایر گزینه‌ها: «اگر $L\neq M$ آنگاه هر دو در $a$ ناپیوسته‌اند» نادرست است — نمونهٔ نقض $f(x)=x$ و $g(x)=x+1$ که هر دو همه‌جا پیوسته‌اند ولی حدهایشان در $a$ متفاوت است. «اگر $\lim[f-g]$ موجود باشد آنگاه $L=M$» نادرست است چون طبقِ فرضِ خودِ سؤال $\lim(f-g)=L-M$ **همیشه** موجود است، بدونِ آنکه $L=M$ لازم باشد. «اگر $\lim f\cdot g=L\cdot M$ آنگاه $f$ و $g$ در $a$ پیوسته‌اند» نادرست است چون این تساوی طبقِ قضیهٔ ضرب همواره برقرار است و هیچ اطلاعاتی دربارهٔ پیوستگی نمی‌دهد. تله تستی: وقتی $L=0$ باشد، رابطهٔ $P=L\cdot M$ مقدارِ $M$ را تعیین نمی‌کند؛ صفر ضربِ هر عددی صفر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$9$» درست است. برایِ متناهی‌بودنِ حد (رفعِ $\frac00$)، باید صورت هم در $x=4$ صفر شود: $\sqrt{9}-a=3-a=0\Rightarrow a=3$. با این مقدار: $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$؛ با ضربِ مزدوجِ $\sqrt{x+5}+3$: صورت به $x-4$ تبدیل می‌شود و حد به $\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+3}$ ساده می‌شود که در $x=4$: $\dfrac1{3+3}=\dfrac16$؛ پس $b=6$. در نتیجه $a+b=3+6=9$. گزینهٔ «$10$» از خطایِ محاسباتیِ جمعِ نهایی می‌آید. تله تستی: باید ابتدا $a$ را از شرطِ رفعِ $\frac00$ به‌دست آورد، سپس $b$ را از مقدارِ نهاییِ حدِ ساده‌شده استخراج کرد؛ این دو مرحله را نباید با هم قاطی کرد.