حد و پیوستگی (حسابان 1) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

📘 خلاصه‌ی درسنامه

درس اول: مفهوم حد

بسیاری از پدیده‌ها نیازمند بررسی رفتار یک تابع در نزدیکی یک نقطه‌اند، نه لزوماً در خود آن نقطه.

مثال انگیزشی: با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی منتظم محاط در دایرهٔ به شعاع ۱، مساحتش به $\pi$ نزدیک می‌شود: $A_n\to\pi$ وقتی $n\to\infty$ .

همسایگی: هر بازهٔ باز شامل $x_0$ را همسایگی $x_0$ می‌نامیم؛ اگر خود $x_0$ حذف شود، همسایگی محذوف است. همسایگی راست: $(x_0,x_0+r)$ ؛ همسایگی چپ: $(x_0-r,x_0)$ .

تعریف حد: گوییم $\lim_{x\to a}f(x)=L$ هرگاه بتوان $f(x)$ را با نزدیک شدن $x$ (مخالف $a$ ) به $a$ ، به هر اندازه دلخواه به $L$ نزدیک کرد.

نکتهٔ مهم: مقدار $f(a)$ در تعریف حد هیچ نقشی ندارد؛ فقط رفتار $f$ در اطراف $a$ اهمیت دارد.

مثال کلاسیک: $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ در $x=2$ تعریف نشده، اما:

\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\ (x\neq2)\ \Rightarrow\ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4

سه حالت رابطهٔ حد و مقدار تابع: (الف) تابع در $a$ تعریف نشده ولی حد دارد. (ب) تابع تعریف شده، حد دارد، اما حد با مقدار تابع برابر نیست. (پ) اگر هر سه شرط برقرار باشد (تعریف‌شده + حد موجود + حد=مقدار)، تابع در $a$ پیوسته است.

حد معروف: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (رادیان) — پایهٔ استخراج مشتق سینوس و بسیار پرکاربرد در کنکور.

مثال بدون حد: $f(x)=\sqrt{2-x}$ در $x=2$ حد ندارد چون در همسایگی راست $2$ تعریف نشده.

نکات کنکوری: حد به مقدار $f(a)$ وابسته نیست؛ کافی است تابع در همسایگی محذوف $a$ تعریف شده باشد؛ اگر نمودار «سوراخ» داشته باشد حد می‌تواند موجود باشد.

درس دوم: حدهای یک‌طرفه

حد راست: $\lim_{x\to a^+}f(x)=L_1$ — نزدیک شدن از سمت راست. حد چپ: $\lim_{x\to a^-}f(x)=L_2$ — از سمت چپ.

شرط لازم و کافی برای وجود حد دوطرفه:

\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)

اگر حد چپ و راست متفاوت باشند، تابع در آن نقطه حد ندارد.

تابع جزء صحیح $[x]$ : در $x=n$ (صحیح): $\lim_{x\to n^-}[x]=n-1,\ \lim_{x\to n^+}[x]=n$ — پس حد ندارد. برای $n<a<n+1$ : $\lim_{x\to a}[x]=n$ .

مثال‌های مهم:

$f(x)=\begin{cases}x^2+2 & x<0\\2x+1 & x\ge0\end{cases}$ : حد چپ در صفر $=2$ ، حد راست $=1$ — حد ندارد.
$f(x)=|x|$ : حد چپ و راست هر دو $0$ — حد $=0$ .
$f(x)=|x|/x$ (تابع علامت): حد راست $=1$ ، حد چپ $=-1$ — حد ندارد.

نکات کنکوری: در توابع چندضابطه‌ای همیشه در نقاط تغییر ضابطه حد چپ و راست را جدا محاسبه کن. $|x-a|$ در $x=a$ پیوسته است. $\lim|f(x)|=|L|$ اما عکس آن لزوماً درست نیست.

درس سوم: قضایای حد

\lim_{x\to a}c=c\qquad\lim_{x\to a}x=a

اگر $\lim f=L_1,\ \lim g=L_2$ :

\lim[f\pm g]=L_1\pm L_2\qquad \lim[f\cdot g]=L_1\cdot L_2\qquad \lim\frac{f}{g}=\frac{L_1}{L_2}\ (L_2\neq0)

نتایج: $\lim c\cdot f=cL_1$ ؛ $\lim[f]^n=L_1^n$ ؛ $\lim\sqrt[n]{f}=\sqrt[n]{L_1}$ (برای $n$ زوج، $L_1\ge0$ ).

حد چندجمله‌ای: برای هر چندجمله‌ای $p(x)$ : $\lim_{x\to a}p(x)=p(a)$ — کافی است $x=a$ جای‌گذاری شود.
مثال: $\lim_{x\to2}(x^4+3x-1)=16+6-1=21$

حد توابع مثلثاتی: $\lim_{x\to a}\sin x=\sin a,\quad \lim_{x\to a}\cos x=\cos a$

حد ریشه: $\lim\sqrt{f(x)}=\sqrt{L_1}$ (به شرط $L_1\ge0$ ). مثال: $\lim_{x\to3}\sqrt{x^2-5}=\sqrt4=2$

نکات کنکوری: برای چندجمله‌ای‌ها و کسرهایی که مخرجشان صفر نمی‌شود، مستقیم جای‌گذاری کن. توابع مثلثاتی همه‌جا حد دارند. قضیه ساندویچ (فراتر از کتاب): اگر $g\le f\le h$ و $\lim g=\lim h=L$ آنگاه $\lim f=L$ .

درس چهارم: حالت $\dfrac00$

وقتی صورت و مخرج هر دو در نقطهٔ موردنظر صفر شوند، قضیهٔ حد خارج‌قسمت قابل استفاده نیست.

روش تجزیه (توابع گویا):

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6

جدول تجزیه‌های مفید: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ ؛ $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ ؛ $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$ .

روش ضرب در مزدوج (توابع رادیکالی):

\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+8)-9}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}=\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x+8}+3}=\frac16

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{1+1}=1

روش تغییر متغیر: برای $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ ، با قرار دادن $t=\sqrt{1+x}$ می‌توان کسر را ساده کرد.

نکات کنکوری: اگر بعد از تجزیه، صورت غیرصفر و مخرج به صفر میل کند، حد وجود ندارد (تابع به $\pm\infty$ می‌رود). انتخاب روش (تجزیه/مزدوج/تغییر متغیر) به شکل عبارت (گویا یا رادیکالی) بستگی دارد.

این فقط خلاصه‌ی درسنامه است — برای مطالعه‌ی متن کامل با تمام نکات و مثال‌ها، ثبت‌نام کن.

📝 نمونه تست

این خلاصه‌ی درسنامه و نمونه تست‌ها برای تجربه‌ی بهتر تو آماده شده — بانک کامل سؤال و درسنامه‌ی کامل بعد از ثبت‌نام در دسترسته.

1. اگر $f(x) = \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$ باشد، آنگاه $\lim_{x\to 1} f(x)$ کدام است؟

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{9}$
صفر

« $\frac{1}{6}$ » درست است زیرا با ضرب صورت و مخرج در مزدوج $\sqrt{x+8}+3$ ، حد به $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}$ تبدیل می‌شود. گزینه $\frac{1}{3}$ حاصل اشتباه در ساده‌سازی، گزینه $\frac{1}{9}$ حاصل جایگذاری مستقیم و اشتباه، و صفر حاصل بستن صورت به صفر بدون رفع ابهام است.

2. مقدار $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ کدام است؟

$0$
$\frac{1}{2}$
$1$
$2$

« $1$ » درست است زیرا با ضرب در مزدوج $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ ، صورت به $2x$ تبدیل شده و با ساده‌سازی $x$ ، حد $\frac{2}{1+1}=1$ می‌شود. گزینه $0$ حاصل اشتباه در جمع جملات رادیکالی، گزینه $\frac{1}{2}$ حاصل نصف کردن نادرست، و گزینه $2$ حاصل حذف نکردن صحیح $x$ است.

3. مقدار $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 + 4x - 12}{x^2 - 4x + 4}$ کدام است؟

$0$
$\frac{8}{3}$
$\frac{4}{3}$
وجود ندارد

«وجود ندارد» درست است زیرا پس از تجزیه، حد به $\lim_{x\to 2} \frac{x+6}{x-2}$ تبدیل می‌شود که صورت به $8$ و مخرج به $0$ میل می‌کند، بنابراین حد به $\pm\infty$ می‌رود. گزینه‌های $0$ ، $\frac{8}{3}$ و $\frac{4}{3}$ حاصل اشتباه در محاسبه یا ساده‌سازی ناقص هستند.

4. اگر $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ، در این صورت کدام یک از گزاره‌های زیر همواره درست است؟

$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$ و $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = L \cdot M$ اگر $L \neq 0$ و $M \neq 0$ .
اگر $L \neq 0$ و $M \neq 0$ باشد، آنگاه $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ .
$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$ و $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ ، فقط اگر $M \neq 0$ و حد $f$ و $g$ در $a$ موجود باشند.
$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$ و $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ بدون هیچ شرط اضافی.

گزینه « $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$ و $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ ، فقط اگر $M \neq 0$ و حد $f$ و $g$ در $a$ موجود باشند.» درست است، زیرا قضایای حد مجموع و تفاضل بدون شرط و قضیه حد خارج‌قسمت فقط با شرط $M \neq 0$ برقرار است. سایر گزینه‌ها یا شرط اضافی برای مجموع و ضرب دارند یا شرط $M \neq 0$ را نادیده گرفته‌اند.

5. مقدار $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ کدام است؟

$1$
$-1$
$0$
وجود ندارد.

گزینه «وجود ندارد.» درست است زیرا حد چپ تابع برابر $-1$ و حد راست آن برابر $1$ است. از آنجایی که حد چپ و راست با هم برابر نیستند، حد دوطرفه در $x=3$ وجود ندارد. سایر گزینه‌ها فقط یکی از حدهای یک‌طرفه را نشان می‌دهند.

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان