مفهوم حد و پیوستگی (حسابان ۱)

درس اول: مفهوم حد

بسیاری از پدیده‌ها نیازمند بررسی رفتار یک تابع در نزدیکی یک نقطه‌اند، نه لزوماً در خود آن نقطه.

مثال انگیزشی: با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی منتظم محاط در دایرهٔ به شعاع ۱، مساحتش به $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک می‌شود: $A_n\to\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وقتی $n\to\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

همسایگی: هر بازهٔ باز شامل $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را همسایگی $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامیم؛ اگر خود $x_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حذف شود، همسایگی محذوف است. همسایگی راست: $(x_0,x_0+r)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ همسایگی چپ: $(x_0-r,x_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تعریف حد: گوییم $\lim_{x\to a}f(x)=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هرگاه بتوان $f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با نزدیک شدن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مخالف $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) به $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، به هر اندازه دلخواه به $L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک کرد.

نکتهٔ مهم: مقدار $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در تعریف حد هیچ نقشی ندارد؛ فقط رفتار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در اطراف $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اهمیت دارد.

مثال کلاسیک: $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نشده، اما:

سه حالت رابطهٔ حد و مقدار تابع: (الف) تابع در $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نشده ولی حد دارد. (ب) تابع تعریف شده، حد دارد، اما حد با مقدار تابع برابر نیست. (پ) اگر هر سه شرط برقرار باشد (تعریف‌شده + حد موجود + حد=مقدار)، تابع در $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته است.

حد معروف: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (رادیان) — پایهٔ استخراج مشتق سینوس و بسیار پرکاربرد در کنکور.

مثال بدون حد: $f(x)=\sqrt{2-x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حد ندارد چون در همسایگی راست $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نشده.

نکات کنکوری: حد به مقدار $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وابسته نیست؛ کافی است تابع در همسایگی محذوف $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف شده باشد؛ اگر نمودار «سوراخ» داشته باشد حد می‌تواند موجود باشد.

درس دوم: حدهای یک‌طرفه

حد راست: $\lim_{x\to a^+}f(x)=L_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — نزدیک شدن از سمت راست. حد چپ: $\lim_{x\to a^-}f(x)=L_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — از سمت چپ.

شرط لازم و کافی برای وجود حد دوطرفه:

اگر حد چپ و راست متفاوت باشند، تابع در آن نقطه حد ندارد.

تابع جزء صحیح $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: در $x=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (صحیح): $\lim_{x\to n^-}[x]=n-1,\ \lim_{x\to n^+}[x]=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — پس حد ندارد. برای $n<a<n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\lim_{x\to a}[x]=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال‌های مهم:

• $f(x)=\begin{cases}x^2+2 & x<0\\2x+1 & x\ge0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: حد چپ در صفر $=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حد راست $=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — حد ندارد.
• $f(x)=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: حد چپ و راست هر دو $0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — حد $=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• $f(x)=|x|/x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (تابع علامت): حد راست $=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حد چپ $=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — حد ندارد.

نکات کنکوری: در توابع چندضابطه‌ای همیشه در نقاط تغییر ضابطه حد چپ و راست را جدا محاسبه کن. $|x-a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیوسته است. $\lim|f(x)|=|L|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اما عکس آن لزوماً درست نیست.

درس سوم: قضایای حد

اگر $\lim f=L_1,\ \lim g=L_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

نتایج: $\lim c\cdot f=cL_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\lim[f]^n=L_1^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\lim\sqrt[n]{f}=\sqrt[n]{L_1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، $L_1\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

حد چندجمله‌ای: برای هر چندجمله‌ای $p(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\lim_{x\to a}p(x)=p(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — کافی است $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جای‌گذاری شود.
مثال: $\lim_{x\to2}(x^4+3x-1)=16+6-1=21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

حد توابع مثلثاتی: $\lim_{x\to a}\sin x=\sin a,\quad \lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

حد ریشه: $\lim\sqrt{f(x)}=\sqrt{L_1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (به شرط $L_1\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). مثال: $\lim_{x\to3}\sqrt{x^2-5}=\sqrt4=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکات کنکوری: برای چندجمله‌ای‌ها و کسرهایی که مخرجشان صفر نمی‌شود، مستقیم جای‌گذاری کن. توابع مثلثاتی همه‌جا حد دارند. قضیه ساندویچ (فراتر از کتاب): اگر $g\le f\le h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\lim g=\lim h=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $\lim f=L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس چهارم: حالت $\dfrac00$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

وقتی صورت و مخرج هر دو در نقطهٔ موردنظر صفر شوند، قضیهٔ حد خارج‌قسمت قابل استفاده نیست.

روش تجزیه (توابع گویا):

جدول تجزیه‌های مفید: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روش ضرب در مزدوج (توابع رادیکالی):

روش تغییر متغیر: برای $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با قرار دادن $t=\sqrt{1+x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌توان کسر را ساده کرد.

نکات کنکوری: اگر بعد از تجزیه، صورت غیرصفر و مخرج به صفر میل کند، حد وجود ندارد (تابع به $\pm\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود). انتخاب روش (تجزیه/مزدوج/تغییر متغیر) به شکل عبارت (گویا یا رادیکالی) بستگی دارد.