معادلات مثلثاتی (حسابان ۲)

مثلثات: توابع متناوب، تانژانت و معادلات (حسابان ۲)

توابع متناوب سینوس و کسینوس

تابع $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناوب است اگر $x\pm T \in D_f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(x\pm T)=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای عدد مثبت $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ کوچک‌ترین چنین $T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را دوره‌ی تناوب می‌نامیم. از تعریف روی دایره واحد، $\sin$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\cos$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوره‌ی تناوب $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند.

ضریب $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط ماکزیمم/مینیمم را تغییر می‌دهد و دوره تناوب را دست‌نخورده می‌گذارد؛ ضریب $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط دوره تناوب را تغییر می‌دهد و ماکزیمم/مینیمم ثابت می‌ماند؛ $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط نمودار را عمودی جابه‌جا می‌کند و در دوره تناوب اثری ندارد.

یافتن ضابطه از روی نمودار (مهم برای کنکور):

علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را از رفتار نمودار در $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعیین می‌کنیم: اگر شبیه sin و در $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی، $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامت؛ اگر نزولی، ناهم‌علامت.

مثال‌ها از کتاب:

• ماکزیمم ۷، مینیمم ۱، دوره $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، صعودی شبیه sin → $|a|=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $c=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|b|=2 \rightarrow y=3\sin(2x)+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• ماکزیمم $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مینیمم $-\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دوره $\frac{2\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نزولی شبیه sin → $y=-\frac12\sin3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• ماکزیمم ۵، مینیمم ۱، دوره $4\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شبیه cos → $y=2\cos(\frac{x}{2})+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکات تکمیلی: برد تابع $=[c-|a|, c+|a|]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمع دو تابع متناوب فقط وقتی متناوب است که نسبت دوره‌هایشان گویا باشد (مثلاً $\sin x+\sin(\sqrt2 x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناوب نیست). $T_{|\sin x|}=T_{|\cos x|}=\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نصف دوره اصلی) و با فرمول‌های مضاعف $T_{\sin^2x}=T_{\cos^2x}=\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع تانژانت

دوره تناوب تانژانت $\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — تفاوت اساسی و پرکاربرد در کنکور. تانژانت در هر تکه از دامنه‌اش اکیداً صعودی است (بازه‌های $(k\pi-\frac\pi2, k\pi+\frac\pi2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) — جمله‌ی «تانژانت در کل دامنه صعودی است» غلط است چون این ادعا در سرتاسر دامنه (که ناپیوسته است) صادق نیست.

در ربع‌های اول و سوم مثبت، در دوم و چهارم منفی. مجانب‌های قائم در $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (سمت چپ $+\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سمت راست $-\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). تابع تانژانت فرد است: $\tan(-x)=-\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نمودار نسبت به مبدأ متقارن). رابطه‌ی مهم: $1+\tan^2x = \sec^2 x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اتحادهای مهم: $\tan(\pi-x)=-\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\tan(\pi+x)=\tan x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\cot x=\frac{1}{\tan x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\tan(\frac\pi2+x)=-\cot x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول مجموع و تفاضل تانژانت

با این فرمول: $\tan 75°=\tan(45°+30°)=2+\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\tan15°=\tan(45°-30°)=2-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — تحقق: $\tan75°\cdot\tan15°=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $75°+15°=90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول دو برابر: $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلات مثلثاتی پایه

مثال: $\cos x=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $[-\pi,3\pi]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی → از $x=2k\pi\pm\frac\pi3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با جایگذاری $k=-1,0,1,2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جواب‌های داخل بازه: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلات پیشرفته

اگر $\sin(f(x))=\sin(g(x))$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دو حالت: $f(x)=2k\pi+g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $f(x)=(2k+1)\pi-g(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $\sin2x=\sin3x \rightarrow x=2k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=\frac{(2k+1)\pi}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال پرتاب توپ (از کتاب): با $d=\frac{v^2\sin2\theta}{g}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مقادیر عددی به $\sin2\theta=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم؛ با شرط $0<\theta<\frac\pi2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو زاویه‌ی ممکن: $\theta=15°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $75°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روش تغییر متغیر: $\cos x(2\cos x-9)=5 \Rightarrow 2\cos^2x-9\cos x-5=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با $t=\cos x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $(2t+1)(t-5)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $|\cos x|\le1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فقط $t=-\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قابل قبول است → $x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

هشدار مهم کنکوری: وقتی طرفین معادله به توان زوج می‌رسد (مثل حل $\sin x+\cos x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، ممکن است جواب‌های اضافی وارد شوند که در معادله‌ی اصلی صدق نمی‌کنند — تحقیق در معادله‌ی اصلی الزامی است. مثال: از حل $2\cos^2x-2\cos x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چهار جواب $x=0,\frac\pi2,\frac{3\pi}{2},2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌دست می‌آید، اما با جایگذاری در معادله‌ی اصلی، فقط سه‌تای آن‌ها ($0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac\pi2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) واقعاً صدق می‌کنند و $\frac{3\pi}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید حذف شود.

چک‌لیست حل معادلات مثلثاتی در کنکور

۱. معادله را به فرم $f(\text{عبارت})=f(\alpha)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تبدیل کن
۲. فرمول مناسب ($\sin$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\cos$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\tan$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را اعمال کن
۳. همه‌ی دستگاه‌های معادله را حل کن
۴. اگر توان زوج به‌کار رفته، حتماً تحقیق کن
۵. اگر بازه‌ای داده شده، مقادیر $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جایگذاری کن
۶. جواب‌های خارج از دامنه‌ی $\tan$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حذف کن

حل چند تمرین کتاب (نمونه)

$\cos x=\cos 2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: از فرمول $x=2k\pi\pm2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ حالت اول $x=-2k\pi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ حالت دوم $3x=2k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جواب نهایی (شامل حالت اول): $x=\frac{2k\pi}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

$\cos 2x-3\sin x+1=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با $\cos2x=1-2\sin^2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $2\sin^2x+3\sin x-2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم؛ با $t=\sin x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $(2t-1)(t+2)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $\sin x=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناممکن است، فقط $\sin x=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی می‌ماند → $x=2k\pi+\frac\pi6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=2k\pi+\frac{5\pi}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

$\tan(2x-1)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $2x-1=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi+1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تمرین مساحت مثلث: با دو ضلع ۲ و ۶ و مساحت ۳: $S=\frac12ab\sin C \Rightarrow 3=6\sin C \Rightarrow \sin C=\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دو جواب ممکن: $C=30°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $C=150°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی دو مثلث متفاوت با این مشخصات قابل ساخت است.

مثال دوربین و تابلوی نقاشی (کاربرد عملی تانژانت تفاضل)

با تابلویی به طول $2.5\,m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فاصله‌ی افقی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از دوربین: $\tan\theta=\frac3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\tan\alpha=\frac{0.5}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و زاویه‌ی دید تابلو: $\tan\beta=\tan(\theta-\alpha)=\frac{2.5x}{x^2+1.5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\tan\beta=1 \Rightarrow \beta=\frac\pi4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جدول سریع مقادیر مثلثاتی

نکات کنکوری تکمیلی

• برای تابع $y=a\sin(bx+\varphi)+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دوره‌ی تناوب فقط به $|b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد، نه به $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\varphi$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نمودار به اندازه‌ی $-\varphi/b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد افقی جابه‌جا می‌شود.
• تابع $y=a\tan bx+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوره‌ی تناوب $\frac{\pi}{|b|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد (نه $\frac{2\pi}{|b|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و ماکزیمم/مینیمم ندارد (برد $=\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).
• مجانب‌های قائم $y=\tan bx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=\frac{\pi}{2|b|}+\frac{k\pi}{|b|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارند.
• در معادله‌ی $\sin x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اگر $|a|>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هیچ جوابی وجود ندارد.