مثلثات (حسابان 2)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$4$» درست است. دورهٔ $\tan(2x)$ برابر $T_{\tan(2x)}=\frac{\pi}{2}$ است. برای دورهٔ کل تابع $f$، ابتدا دورهٔ $\sin(3x)$ را می‌یابیم: $\frac{2\pi}{3}$. با فرمول $\text{ک.م.م}(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3})=\text{ک.م.م}(\frac12,\frac23)\times\pi$، و $\text{ک.م.م}(\frac12,\frac23)=\frac{\text{ک.م.م}(1,2)}{\text{ب.م.م}(2,3)}=\frac21=2$، داریم $T_f=2\pi$. پس $\frac{T_f}{T_{\tan(2x)}}=\frac{2\pi}{\pi/2}=4$. گزینه‌های دیگر با محاسبهٔ نادرست $T_f$ یا معکوس‌کردن نسبت پدید می‌آیند. تلهٔ تستی: دورهٔ کل تابع مجموع همیشه بزرگ‌تر یا مساوی دورهٔ تک‌تک اجزاست، پس نسبت $\frac{T_f}{T_{\tan(2x)}}$ باید عددی بزرگ‌تر یا مساوی $1$ باشد؛ گزینه‌ای کوچک‌تر از $1$ (مانند $\frac12$) از پیش نادرست است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$4$» درست است. با اتحاد $\cos2x=1-2\sin^2x$: $\sin^2x+1-2\sin^2x=\frac12\Rightarrow\sin^2x=\frac12\Rightarrow\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$. در بازهٔ $[0,2\pi]$: $\sin x=\frac{\sqrt2}2$ دو جواب ($\frac\pi4,\frac{3\pi}4$) و $\sin x=-\frac{\sqrt2}2$ دو جواب دیگر ($\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4$) می‌دهد؛ مجموعاً $4$ جواب. تلهٔ تستی: معادلهٔ $\sin^2x=k$ همیشه هر دو علامت $\pm\sqrt k$ را باید در نظر بگیرد؛ نادیده‌گرفتن علامت منفی، تعداد جواب‌ها را نصف نشان می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$24$» درست است. ماکزیمم $M=|3|+2=5$ و مینیمم $m=-|3|+2=-1$. پس $M^2-m^2=25-1=24$. گزینه‌های دیگر با محاسبهٔ نادرست $M-m$ یا $(M-m)^2$ به‌جای $M^2-m^2$ پدید می‌آیند. تلهٔ تستی: می‌توان از اتحاد $M^2-m^2=(M-m)(M+m)$ استفاده کرد که با $M-m=2|a|=6$ و $M+m=2c=4$، مستقیماً به $6\times4=24$ می‌رسیم؛ این میان‌بر از محاسبهٔ جداگانهٔ $M$ و $m$ و سپس توان‌رسانی سریع‌تر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$-2$» درست است. بردِ $f(x)=2\sin(3x-\frac\pi4)+1$ برابر $[-1,3]$ است. با فرض $a>0$: $-a+b=-8$ و $3a+b=4$؛ تفریق می‌دهد $4a=12\Rightarrow a=3$، سپس $b=-8+3=-5$. پس $a+b=3-5=-2$. تلهٔ تستی: باید علامت $a$ را ابتدا فرض (معمولاً مثبت، مگر خلافش گفته شود) و سپس با تفریق دو معادلهٔ حاصل از دو کران برد، مقدار $a$ را یافت؛ حل هم‌زمان بدون این تفریق هدفمند، محاسبات را پیچیده‌تر می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$3$» درست است. از $\tan(x+\frac\pi6)=\sqrt3=\tan\frac\pi3\Rightarrow x+\frac\pi6=\frac\pi3+k\pi\Rightarrow x=\frac\pi6+k\pi$. در $[-\pi,2\pi]$: $k=-1$ می‌دهد $-\frac{5\pi}6$، $k=0$ می‌دهد $\frac\pi6$، و $k=1$ می‌دهد $\frac{7\pi}6$؛ جمعاً $3$ جواب. تلهٔ تستی: معادلهٔ $\tan\theta=c$ فقط یک خانوادهٔ جواب (با گام $\pi$) دارد؛ در بازه‌ای به طول $3\pi$ (مانند اینجا)، این خانواده دقیقاً سه جواب می‌دهد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$4\pi$» درست است. دورهٔ $f(x)=\sin^2x+\cos x$: دورهٔ $\sin^2x$ برابر $\pi$ و دورهٔ $\cos x$ برابر $2\pi$؛ ک.م.م$=2\pi$. دورهٔ $g(x)=\cos^2x-\sin x$: مشابه، ک.م.م$(\pi,2\pi)=2\pi$. مجموع دو دوره: $2\pi+2\pi=4\pi$. تلهٔ تستی: سؤال مجموع *دوره‌های* $f$ و $g$ را می‌خواهد (نه دورهٔ تابع $f+g$)؛ خلط این دو مفهوم متفاوت (که می‌توانند نتایج متفاوتی بدهند) یک اشتباه مفهومی رایج است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$6\pi$» درست است. از $\cos2x=-\frac12=\cos(\frac{2\pi}3)$: $2x=\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+k\pi$. در بازهٔ $[-\frac\pi2,\frac{5\pi}2]$، شش جواب یافت می‌شود: $-\frac\pi3,\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3,\frac{5\pi}3,\frac{7\pi}3$؛ مجموع آن‌ها $6\pi$ است. تلهٔ تستی: باید هر دو خانوادهٔ $x=\frac\pi3+k\pi$ و $x=-\frac\pi3+k\pi$ را در کل بازهٔ داده‌شده (که طولش بیش از یک دور کامل است) بررسی کرد؛ بررسی‌نکردن نقطهٔ مرزی منفی ($-\frac\pi3$) یکی از رایج‌ترین اشتباهات این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$3$» درست است. دورهٔ تناوب $T=\dfrac{2\pi}{|2\pi|}=1$، ماکزیمم $M=3$ و مینیمم $m=-3$. پس $\dfrac{T(|M|+|m|)}{2}=\dfrac{1\times(3+3)}{2}=3$. گزینه‌های دیگر با محاسبهٔ نادرست دورهٔ تناوب (فراموش‌کردن اینکه ضریب $b=2\pi$ است، نه $2$) پدید می‌آیند. تلهٔ تستی: وقتی ضریب $b$ خودش شامل $\pi$ باشد (مانند $b=2\pi$)، در فرمول $T=\frac{2\pi}{|b|}$ باید $\pi$ در صورت و مخرج ساده شود و پاسخ نهایی یک عدد گویا (بدون $\pi$) به دست آید؛ فراموش‌کردن این ساده‌سازی رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$\frac{\pi}{2}$» درست است. از $\tan(3x)=1$ داریم $3x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ یعنی $x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}$. در بازهٔ $[0,\frac{\pi}{2}]$: برای $k=0$، $x=\frac{\pi}{12}$ و برای $k=1$، $x=\frac{5\pi}{12}$؛ برای $k=2$ مقدار $x=\frac{3\pi}{4}$ خارج از بازه است. مجموع دو نقطهٔ تلاقی برابر $\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$ است. گزینه‌های «$\frac{7\pi}{12}$»، «$\frac{5\pi}{12}$» و «$\frac{3\pi}{4}$» هرکدام حاصل جمع نادرست یا لحاظ‌کردن نقطهٔ خارج از بازه است. تلهٔ تستی: فراموش نکنید که با هر افزایش $k$، جمله $\frac{k\pi}{3}$ اضافه می‌شود نه $k\pi$ (چون ضریب $3x$ است)؛ همچنین باید نقاط خارج از بازهٔ داده‌شده حذف شوند، نه اینکه همهٔ جواب‌های کلی جمع زده شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$7$» درست است. معادله به $\cos x+\cos2x=0$ تبدیل می‌شود که با فرمول جمع‌به‌ضرب: $2\cos(\frac{3x}2)\cos(\frac x2)=0$. از $\cos(\frac{3x}2)=0$: $x=\frac\pi3+\frac{2k\pi}3$ که در $[-\pi,3\pi]$ هفت جواب می‌دهد ($-\pi,-\frac\pi3,\frac\pi3,\pi,\frac{5\pi}3,\frac{7\pi}3,3\pi$)؛ خانوادهٔ $\cos(\frac x2)=0$ ($x=\pi+2k\pi$) کاملاً زیرمجموعهٔ همین جواب‌هاست (چون هرجا $\cos(\frac x2)=0$ باشد خودکار $\cos(\frac{3x}2)=0$ هم برقرار است). تلهٔ تستی: $x=\pi$ یک ریشهٔ مماسی (تکراری) است — تابع در آن‌جا فقط صفر را لمس می‌کند، نه عبور می‌کند؛ اما همچنان یک جواب معتبر محسوب می‌شود و باید شمرده شود.