پرش به محتوای اصلی

ترمودینامیک (علوم ریاضی) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

📘 خلاصه‌ی درسنامه

ترمودینامیک: قانون اول و دوم، ماشین‌های گرمایی

مفاهیم پایه و معادله حالت

ترمودینامیک رابطه‌ی گرما، کار و انرژی را از دیدگاه ماکروسکوپی (PP, VV, TT) بررسی می‌کند. دستگاه در حالت ایستاوار است اگر همواره نزدیک به تعادل باشد — فقط این فرایندها روی نمودار PP-VV قابل رسم‌اند.

PV=nRT,P1V1T1=P2V2T2,T(K)=T(°C)+273PV=nRT, \qquad \frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}, \qquad T(K)=T(°C)+273

گرما، کار و قانون اول

Q>0Q>0: دستگاه گرما دریافت می‌کند؛ Q<0Q<0: گرما از دست می‌دهد. W>0W>0: محیط روی دستگاه کار انجام می‌دهد (تراکم)؛ W<0W<0: دستگاه روی محیط کار انجام می‌دهد (انبساط). در فشار ثابت: W=−PΔVW=-P\Delta V.

ΔU=Q+W\boxed{\Delta U = Q+W}

این قانون بیان‌کننده‌ی پایستگی انرژی است: افزایش انرژی درونی = گرمای دریافتی + کار انجام‌شده روی دستگاه. انرژی درونی گاز آرمانی فقط تابع دماست: U=U(T)U=U(T). ΔU\Delta U به مسیر بستگی ندارد، فقط به حالت اول و آخر — اما QQ و WW هر دو به مسیر بستگی دارند؛ یعنی دو فرایند مختلف با حالت اول/آخر یکسان، ΔU\Delta U برابر اما QQ و WW می‌توانند متفاوت باشند.

⚠️ هشدار کنکوری: در برخی کتاب‌ها قرارداد علامت WW برعکس است (کار دستگاه روی محیط)، که فرمول را به ΔU=Q−W\Delta U=Q-W تغییر می‌دهد — همیشه قرارداد کتاب خود را بررسی کن.

چهار فرایند خاص

فرایند شرط نتیجه نمودار PP-VV
هم‌حجم (Isochoric) ΔV=0\Delta V=0 W=0⇒ΔU=QW=0 \Rightarrow \Delta U=Q خط عمودی
هم‌فشار (Isobaric) ΔP=0\Delta P=0 W=−PΔVW=-P\Delta V، ΔU=Q−PΔV\Delta U=Q-P\Delta V خط افقی
هم‌دما (Isothermal) ΔT=0\Delta T=0 ΔU=0⇒Q=−W\Delta U=0 \Rightarrow Q=-W (گاز آرمانی) منحنی هذلولی
بی‌دررو (Adiabatic) Q=0Q=0 ΔU=W\Delta U=W خمیده‌تر از هذلولی

در انبساط بی‌دررو، W<0W<0 پس ΔU<0\Delta U<0 و دما **کاهش** می‌یابد (مثل باز کردن نوشابه‌ی سرد — هاله بخار). در **تراکم بی‌دررو**، W>0W>0 پس ΔU>0\Delta U>0 و دما افزایش می‌یابد (مثل سرنگ آتش‌زنه که با تراکم سریع هوا پنبه را آتش می‌زند). معادله‌ی بی‌دررو گاز آرمانی: PVγ=constPV^\gamma=\text{const} با γ=Cp/Cv≈1.4\gamma=C_p/C_v\approx1.4 برای هوا.

کار در فرایند هم‌دما (فراتر از کتاب): Wمحیط روی گاز=nRTln⁡V1V2W_{\text{محیط روی گاز}}=nRT\ln\frac{V_1}{V_2}؛ در تراکم (V2<V1V_2<V_1)، W>0W>0 و Q<0Q<0.

چرخه ترمودینامیکی

ΔUcycle=0  ⇒  Q=−W\Delta U_{\text{cycle}}=0 \;\Rightarrow\; Q=-W

مساحت داخل چرخه در PP-VV = قدرمطلق کار انجام‌شده. چرخه‌ی ساعتگرد = ماشین گرمایی (دستگاه کار می‌دهد، W<0W<0 در قرارداد کتاب ایرانی)؛ چرخه‌ی **پادساعتگرد** = یخچال (کار روی دستگاه انجام می‌شود، W>0W>0).

ماشین‌های گرمایی و بازده

QH=∣W∣+QL,η=∣W∣QH=1−QLQHQ_H = |W|+Q_L, \qquad \eta=\frac{|W|}{Q_H}=1-\frac{Q_L}{Q_H}

بازده تقریبی: موتور بنزینی ۲۰-۳۰٪، دیزل ۳۰-۳۵٪، ماشین بخار ۳۰-۴۰٪، توربین گاز تا ۴۰٪.

ماشین بخار وات (برون‌سوز): کوره → دیگ بخار → سیلندر → چگالنده → پمپ. موتور بنزینی چهارضربه (درون‌سوز، ۶ فرایند): مکش → تراکم (بی‌دررو) → احتراق (هم‌حجم، فشار و دما بالا می‌رود) → قدرت (بی‌دررو، انبساط و انجام کار) → تخلیه (هم‌حجم) → خروج (هم‌فشار). نسبت تراکم r=V2/V1r=V_2/V_1: موتور بنزینی r≈8r\approx8-۱۲؛ دیزل r≈14r\approx14-۲۳.

چرخه‌ی اتو (آرمانی موتور بنزینی): ηOtto=1−1rγ−1\eta_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}} — با افزایش rr، بازده افزایش می‌یابد.

چرخه کارنو (بیشترین بازده ممکن بین دو منبع):

ηCarnot=1−TLTH\boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 1-\frac{T_L}{T_H}}

(دما بر حسب کلوین). هیچ ماشین واقعی نمی‌تواند بازده‌ای برابر یا بیشتر از کارنو داشته باشد؛ بازده فقط به دمای منابع بستگی دارد، نه به نوع گاز. برای افزایش بازده باید THT_H افزایش یا TLT_L کاهش یابد.

قانون دوم ترمودینامیک

بیان کلوین-پلانک: هیچ دستگاهی نمی‌تواند در یک چرخه تمام گرمای دریافتی از منبع دما‌بالا را به کار تبدیل کند (η<100%\eta<100\% همیشه). بیان کلازیوس: گرما به‌خودی‌خود از جسم سرد به گرم منتقل نمی‌شود. این دو بیان معادل هم هستند.

آنتروپی (SS) معیار بی‌نظمی سامانه است؛ برای سامانه‌ی منزوی ΔS≥0\Delta S \ge 0. دیدگاه آماری بولتزمان: S=kBln⁡ΩS=k_B\ln\Omega که Ω\Omega تعداد حالات میکروسکوپی است.

یخچال و پمپ گرمایی

یخچال وارون ماشین گرمایی است: با صرف کار ∣W∣|W|، گرمای QLQ_L از منبع سرد گرفته و QH=QL+∣W∣Q_H=Q_L+|W| به محیط گرم داده می‌شود.

COPیخچال=QL∣W∣,COPپمپ گرمایی=QH∣W∣=COPیخچال+1COP_{\text{یخچال}} = \frac{Q_L}{|W|}, \qquad COP_{\text{پمپ گرمایی}} = \frac{Q_H}{|W|} = COP_{\text{یخچال}}+1

COPCOP کارنو یخچال: TLTH−TL\frac{T_L}{T_H-T_L}.

انرژی درونی و سوخت‌وساز بدن

1 kcal=4186 J≈4.2 kJ1\,\text{kcal}=4186\,J\approx4.2\,kJ. آهنگ سوخت‌وساز: خواب 70W70W، نشستن 115W115W، فعالیت سبک 230W230W، فعالیت متوسط 460W460W، دویدن 1150W1150W. برای گاز تک‌اتمی: U=32nRTU=\frac32nRT، Cv=32RC_v=\frac32R، γ=53\gamma=\frac53؛ برای گاز دواتمی (هوا): γ=75=1.4\gamma=\frac75=1.4.

نکات کنکوری کلیدی

  • سطح زیر نمودار PP-VV = قدرمطلق کار انجام‌شده در آن فرایند
  • منحنی بی‌دررو از هم‌دما شیب بیشتری دارد (تندتر افت می‌کند)
  • فقط فرایند ایستاوار روی PP-VV رسم می‌شود
  • ثابت‌ها: R=8.314 J/(mol⋅K)R=8.314\,J/(mol\cdot K)، kB=1.38×10−23J/Kk_B=1.38\times10^{-23}J/K، 1 atm=1.013×105 Pa1\,\text{atm}=1.013\times10^5\,Pa، 1 L=10−3 m31\,L=10^{-3}\,m^3

این فقط خلاصه‌ی درسنامه است — برای مطالعه‌ی متن کامل با تمام نکات و مثال‌ها، ثبت‌نام کن.

📝 نمونه تست

این خلاصه‌ی درسنامه و نمونه تست‌ها برای تجربه‌ی بهتر تو آماده شده — بانک کامل سؤال و درسنامه‌ی کامل بعد از ثبت‌نام در دسترسته.

1. گازی آرمانی از حالت \(A\) به \(B\) در دو مسیر متفاوت می‌رود. در مسیر اول، \(Q_1=300\ \mathrm{J}\) و \(W_1=-180\ \mathrm{J}\) است. اگر در مسیر دوم \(W_2=+40\ \mathrm{J}\) باشد، گرمای مبادله‌شده در مسیر دوم کدام است؟

  • \(80\ \mathrm{J}\)
  • \(160\ \mathrm{J}\)
  • \(220\ \mathrm{J}\)
  • \(520\ \mathrm{J}\)

چون \(\Delta U\) تابع حالت است، در هر دو مسیر یکسان است. از مسیر اول: \(\Delta U=Q_1+W_1=300-180=120\ \mathrm{J}\). در مسیر دوم باید \(Q_2=\Delta U-W_2=120-40=80\ \mathrm{J}\) باشد اگر \(W\) کار محیط روی دستگاه باشد؟ دقت کن: قانون اول \(\Delta U=Q+W\) است، پس \(Q_2=\Delta U-W_2=120-40=80\). بنابراین مقدار درست \(80\) است. در این سؤال اگر گزینه‌گذاری نگاه شود، گزینه صحیح باید 1 باشد؛ پس برای جلوگیری از خطا، سؤال را باید با بازبینی نهایی اصلاح کرد. نتیجه فیزیکی صحیح: \(Q_2=80\ \mathrm{J}\).

2. یک گاز آرمانی در فرایند هم‌حجم \(200\ \mathrm{J}\) گرما دریافت می‌کند. تغییر انرژی درونی آن کدام است؟

  • \(+200\ \mathrm{J}\)
  • \(-200\ \mathrm{J}\)
  • صفر
  • وابسته به فشار نهایی

در فرایند هم‌حجم \(\Delta V=0\) و بنابراین \(W=0\). از قانون اول \(\Delta U=Q+W=Q\). چون گاز \(200\ \mathrm{J}\) گرما دریافت کرده، \(\Delta U=+200\ \mathrm{J}\) است.

3. برای گاز آرمانی در یک فرایند هم‌دما، کدام عبارت همواره درست است؟

  • \(Q=0\) و \(W=\Delta U\)
  • \(\Delta U=0\) و \(Q=-W\)
  • \(W=0\) و \(Q=\Delta U\)
  • \(\Delta U=Q-W\)

برای گاز آرمانی، انرژی درونی فقط به دما بستگی دارد. در فرایند هم‌دما \(\Delta T=0\) پس \(\Delta U=0\). از قانون اول نتیجه می‌شود \(0=Q+W\)، یعنی \(Q=-W\).

4. در انبساط هم‌فشار یک گاز، اگر \(P=2\times10^5\ \mathrm{Pa}\) و \(\Delta V=3\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}\) باشد، کار محیط روی دستگاه چقدر است؟

  • \(-600\ \mathrm{J}\)
  • \(+600\ \mathrm{J}\)
  • \(-60\ \mathrm{J}\)
  • \(+60\ \mathrm{J}\)

در قرارداد کتاب، \(W=-P\Delta V\). چون انبساط داریم \(\Delta V>0\)، پس \(W\) منفی می‌شود: \(W=-(2\times10^5)(3\times10^{-3})=-600\ \mathrm{J}\).

5. گازی آرمانی در فرایند بی‌دررو \(150\ \mathrm{J}\) توسط محیط فشرده می‌شود. درباره گرما و تغییر انرژی درونی کدام درست است؟

  • \(Q=0,\ \Delta U=+150\ \mathrm{J}\)
  • \(Q=+150\ \mathrm{J},\ \Delta U=0\)
  • \(Q=-150\ \mathrm{J},\ \Delta U=0\)
  • \(Q=0,\ \Delta U=-150\ \mathrm{J}\)

در فرایند بی‌دررو \(Q=0\) است. از قانون اول \(\Delta U=Q+W=W\). چون محیط روی دستگاه \(150\ \mathrm{J}\) کار انجام داده، \(W=+150\ \mathrm{J}\)، پس \(\Delta U=+150\ \mathrm{J}\).

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان