ترمودینامیک و ماشین گرمایی (فیزیک ۱)

ترمودینامیک: قانون اول و دوم، ماشین‌های گرمایی

مفاهیم پایه و معادله حالت

ترمودینامیک رابطه‌ی گرما، کار و انرژی را از دیدگاه ماکروسکوپی ( $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین, $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین, $T$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) بررسی می‌کند. دستگاه در حالت ایستاوار است اگر همواره نزدیک به تعادل باشد — فقط این فرایندها روی نمودار $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قابل رسم‌اند.

PV=nRT, \qquad \frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}, \qquad T(K)=T(°C)+273

گرما، کار و قانون اول

$Q>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دستگاه گرما دریافت می‌کند؛ $Q<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: گرما از دست می‌دهد. $W>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: محیط روی دستگاه کار انجام می‌دهد (تراکم)؛ $W<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: دستگاه روی محیط کار انجام می‌دهد (انبساط). در فشار ثابت: $W=-P\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

\boxed{\Delta U = Q+W}

این قانون بیان‌کننده‌ی پایستگی انرژی است: افزایش انرژی درونی = گرمای دریافتی + کار انجام‌شده روی دستگاه. انرژی درونی گاز آرمانی فقط تابع دماست: $U=U(T)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. $\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به مسیر بستگی ندارد، فقط به حالت اول و آخر — اما $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو به مسیر بستگی دارند؛ یعنی دو فرایند مختلف با حالت اول/آخر یکسان، $\Delta U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر اما $Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌توانند متفاوت باشند.

هشدار کنکوری: در برخی کتاب‌ها قرارداد علامت $W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برعکس است (کار دستگاه روی محیط)، که فرمول را به $\Delta U=Q-W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تغییر می‌دهد — همیشه قرارداد کتاب خود را بررسی کن.

چهار فرایند خاص

فرایند	شرط	نتیجه	نمودار $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
هم‌حجم (Isochoric)	$\Delta V=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$W=0 \Rightarrow \Delta U=Q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خط عمودی
هم‌فشار (Isobaric)	$\Delta P=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$W=-P\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\Delta U=Q-P\Delta V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خط افقی
هم‌دما (Isothermal)	$\Delta T=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta U=0 \Rightarrow Q=-W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (گاز آرمانی)	منحنی هذلولی
بی‌دررو (Adiabatic)	$Q=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\Delta U=W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	خمیده‌تر از هذلولی

در انبساط بی‌دررو، $W<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس $\Delta U<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دما **کاهش** می‌یابد (مثل باز کردن نوشابه‌ی سرد — هاله بخار). در **تراکم بی‌دررو**، $W>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس $\Delta U>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دما افزایش می‌یابد (مثل سرنگ آتش‌زنه که با تراکم سریع هوا پنبه را آتش می‌زند). معادله‌ی بی‌دررو گاز آرمانی: $PV^\gamma=\text{const}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $\gamma=C_p/C_v\approx1.4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برای هوا.

کار در فرایند هم‌دما (فراتر از کتاب): $W_{\text{محیط روی گاز}}=nRT\ln\frac{V_1}{V_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در تراکم ( $V_2<V_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، $W>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $Q<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چرخه ترمودینامیکی

\Delta U_{\text{cycle}}=0 \;\Rightarrow\; Q=-W

مساحت داخل چرخه در $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین = قدرمطلق کار انجام‌شده. چرخه‌ی ساعتگرد = ماشین گرمایی (دستگاه کار می‌دهد، $W<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در قرارداد کتاب ایرانی)؛ چرخه‌ی **پادساعتگرد** = یخچال (کار روی دستگاه انجام می‌شود، $W>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

ماشین‌های گرمایی و بازده

Q_H = |W|+Q_L, \qquad \eta=\frac{|W|}{Q_H}=1-\frac{Q_L}{Q_H}

بازده تقریبی: موتور بنزینی ۲۰-۳۰٪، دیزل ۳۰-۳۵٪، ماشین بخار ۳۰-۴۰٪، توربین گاز تا ۴۰٪.

ماشین بخار وات (برون‌سوز): کوره → دیگ بخار → سیلندر → چگالنده → پمپ. موتور بنزینی چهارضربه (درون‌سوز، ۶ فرایند): مکش → تراکم (بی‌دررو) → احتراق (هم‌حجم، فشار و دما بالا می‌رود) → قدرت (بی‌دررو، انبساط و انجام کار) → تخلیه (هم‌حجم) → خروج (هم‌فشار). نسبت تراکم $r=V_2/V_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: موتور بنزینی $r\approx8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین-۱۲؛ دیزل $r\approx14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین-۲۳.

چرخه‌ی اتو (آرمانی موتور بنزینی): $\eta_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — با افزایش $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، بازده افزایش می‌یابد.

چرخه کارنو (بیشترین بازده ممکن بین دو منبع):

\boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 1-\frac{T_L}{T_H}}

(دما بر حسب کلوین). هیچ ماشین واقعی نمی‌تواند بازده‌ای برابر یا بیشتر از کارنو داشته باشد؛ بازده فقط به دمای منابع بستگی دارد، نه به نوع گاز. برای افزایش بازده باید $T_H$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش یا $T_L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کاهش یابد.

قانون دوم ترمودینامیک

بیان کلوین-پلانک: هیچ دستگاهی نمی‌تواند در یک چرخه تمام گرمای دریافتی از منبع دما‌بالا را به کار تبدیل کند ( $\eta<100\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه). بیان کلازیوس: گرما به‌خودی‌خود از جسم سرد به گرم منتقل نمی‌شود. این دو بیان معادل هم هستند.

آنتروپی ( $S$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) معیار بی‌نظمی سامانه است؛ برای سامانه‌ی منزوی $\Delta S \ge 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دیدگاه آماری بولتزمان: $S=k_B\ln\Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $\Omega$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعداد حالات میکروسکوپی است.

یخچال و پمپ گرمایی

یخچال وارون ماشین گرمایی است: با صرف کار $|W|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، گرمای $Q_L$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از منبع سرد گرفته و $Q_H=Q_L+|W|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به محیط گرم داده می‌شود.

COP_{\text{یخچال}} = \frac{Q_L}{|W|}, \qquad COP_{\text{پمپ گرمایی}} = \frac{Q_H}{|W|} = COP_{\text{یخچال}}+1

$COP$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کارنو یخچال: $\frac{T_L}{T_H-T_L}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

انرژی درونی و سوخت‌وساز بدن

$1\,\text{kcal}=4186\,J\approx4.2\,kJ$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. آهنگ سوخت‌وساز: خواب $70W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نشستن $115W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، فعالیت سبک $230W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، فعالیت متوسط $460W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، دویدن $1150W$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای گاز تک‌اتمی: $U=\frac32nRT$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $C_v=\frac32R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\gamma=\frac53$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ برای گاز دواتمی (هوا): $\gamma=\frac75=1.4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری کلیدی

سطح زیر نمودار $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین = قدرمطلق کار انجام‌شده در آن فرایند
منحنی بی‌دررو از هم‌دما شیب بیشتری دارد (تندتر افت می‌کند)
فقط فرایند ایستاوار روی $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین- $V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم می‌شود
ثابت‌ها: $R=8.314\,J/(mol\cdot K)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $k_B=1.38\times10^{-23}J/K$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\,\text{atm}=1.013\times10^5\,Pa$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $1\,L=10^{-3}\,m^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین