آشنایی با فیزیک هسته ای (علوم ریاضی) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

📘 خلاصه‌ی درسنامه

ساختار هسته

اتم = هسته (پروتون+نوترون) + ابر الکترونی. جرم الکترون/پروتون/نوترون تقریباً $9.1\times10^{-31}$ ، $1.673\times10^{-27}$ ، $1.675\times10^{-27}$ کیلوگرم؛ $1u=1.66054\times10^{-27}$ kg (بر پایهٔ کربن-۱۲). نسبت شعاع اتم به هسته حدود $r_{\text{اتم}}/r_{\text{هسته}}\approx10^5$ — مانند مگسی در مرکز یک استادیوم فوتبال.

کمیت‌های بنیادی: $A=Z+N$ (عدد جرمی = عدد اتمی + عدد نوترونی)؛ نماد هسته: ${}^A_ZX$ . ذکر $N$ یا حتی $Z$ اغلب اضافی است چون نماد شیمیایی عنصر را مشخص می‌کند.

ایزوتوپ‌ها: $Z$ یکسان، $N$ متفاوت. فراوانی طبیعی: ${}^1_1H$ (۹۹.۹۸۸۵٪)، ${}^2_1H$ دوتریم (۰.۰۱۱۵٪)، ${}^3_1H$ تریتیم (نادر)؛ ${}^{12}_6C$ (۹۸.۹۳٪)، ${}^{13}_6C$ (۱.۰۷٪)؛ ${}^{235}_{92}U$ (۰.۷۱۶٪)، ${}^{238}_{92}U$ (۹۹.۲۸۴٪). خواص شیمیایی یکسان اما هسته‌ای متفاوت؛ جداسازی فقط با اختلاف جرم ممکن است.

چگالی هسته: $\rho\approx10^{14}\text{g/cm}^3$ ؛ با فرمول $r=r_0A^{1/3}$ ( $r_0\approx1.2\times10^{-15}$ m) همهٔ هسته‌ها چگالی تقریباً یکسان دارند.

نیروی هسته‌ای: کوتاه‌برد و جاذبه، مستقل از بار الکتریکی، در فاصلهٔ کم قوی‌تر از دافعهٔ الکتروستاتیک اما در فاصلهٔ $>3\times10^{-15}$ m ناگهان صفر می‌شود. چون هر پروتون با همهٔ پروتون‌های دیگر دافعه دارد ولی هر نوکلئون فقط با نزدیک‌ترین‌ها جاذبه دارد، هسته‌های سنگین به نوترون بیشتری نیاز دارند: هسته‌های سبک ( $Z<20$ ) روی خط $N\approx Z$ ، سنگین‌ها $N>Z$ ؛ پایدارترین با بیشترین $Z$ : بیسموت؛ هیچ هستهٔ پایداری با $Z>83$ وجود ندارد.

انرژی بستگی: $\Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{هسته}}$ ، $E_b=\Delta mc^2$ . بیشترین $E_b/A$ برای $A\approx56$ –۶۲ (آهن/نیکل) است — کلید فهم شکافت و گداخت.

ترازهای انرژی هسته: نوکلئون‌ها هم مانند الکترون‌ها ترازهای انرژی کوانتیده دارند، اما اختلاف انرژی بین ترازها در حد چند keV تا MeV است (در الکترون‌های اتمی فقط چند eV). هستهٔ برانگیخته با ستاره نشان داده می‌شود: ${}^A_ZX^*$ .

پرتوزایی طبیعی و نیمه‌عمر

بکرل در ۱۸۹۶ کشف کرد؛ هستهٔ ناپایدار خودبه‌خود واپاشیده و انرژی آزاد می‌کند. در همهٔ واپاشی‌ها، دو قانون پایستگی برقرار است: $\sum A_{\text{قبل}}=\sum A_{\text{بعد}}$ و $\sum Z_{\text{قبل}}=\sum Z_{\text{بعد}}$ .

پرتو	ماهیت	بار	نفوذ در سرب
آلفا	هستهٔ ${}^4_2He$	$+2e$	$\sim0.01$ mm
بتا منفی/مثبت	الکترون/پوزیترون	$\mp e$	$\sim0.1$ mm
گاما	فوتون	$0$	$\sim100$ mm

\alpha:\ {}^A_ZX\to{}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2He\qquad(\text{هسته‌های سنگین},\ A>200)

\beta^-:\ {}^A_ZX\to{}^A_{Z+1}Y+{}^0_{-1}e\qquad(n\to p+e^-+\bar\nu_e)

\beta^+:\ {}^A_ZX\to{}^A_{Z-1}Y+{}^0_{+1}e\qquad(p\to n+e^++\nu_e)

\gamma:\ {}^A_ZX^*\to{}^A_ZX+\gamma

پوزیترون با برخورد به الکترون نابود می‌شود و دو فوتون گاما با انرژی ۰.۵۱۱MeV تولید می‌کند (پایهٔ دستگاه PET). واپاشی آلفا کاربرد در آشکارساز دود دارد؛ گاما در جراحی «چاقوی گاما» (کبالت-۶۰).

جدول خلاصهٔ تغییرات:

واپاشی	$\Delta Z$	$\Delta N$	$\Delta A$
$\alpha$	$-2$	$-2$	$-4$
$\beta^-$	$+1$	$-1$	$0$
$\beta^+$	$-1$	$+1$	$0$
$\gamma$	$0$	$0$	$0$

نیمه‌عمر: $N=N_0(1/2)^n,\ n=t/T_{1/2}$ (باید صحیح باشد). نمونه‌ها: اورانیم-۲۳۸ ( $4.5\times10^9$ سال)، کربن-۱۴ (۵۷۳۰سال)، ید-۱۳۱ (۸روز). رابطهٔ دقیق‌تر (فراتر از کتاب): $N=N_0e^{-\lambda t},\ \lambda=\ln2/T_{1/2}$ .

مثال‌ها: پس از ۴۰ روز از ید-۱۳۱ (نیمه‌عمر ۸روز): $n=5\Rightarrow N/N_0=1/32$ . اگر پس از ۹ روز کسر باقی‌مانده $1/8$ باشد: $n=3\Rightarrow T_{1/2}=3$ روز. زغالی با $1.56\%$ کربن-۱۴ عادی: $n=6\Rightarrow t=6\times5730=34380$ سال.

جدول کاهش: $n=0\to N/N_0=1$ ؛ $n=1\to1/2$ ؛ $n=2\to1/4$ ؛ $n=3\to1/8$ ؛ $n=4\to1/16$ ؛ $n=5\to1/32$ . نیمه‌عمرهای مهم دیگر: رادون-۲۲۲ (۳.۸۳روز، کاربرد در گاز رادون)، بیسموت-۲۱۲ (~۶۰دقیقه).

شکافت هسته‌ای

{}^{235}_{92}U+{}^1_0n\to{}^{236}_{92}U^*\to{}^{141}_{56}Ba+{}^{92}_{36}Kr+3{}^1_0n

نوترون کُند ( $\approx0.04$ eV) احتمال جذب بالاتری در U-235 دارد؛ نوترون تند بیشتر توسط U-238 جذب می‌شود. انرژی هر شکافت $\approx200$ MeV — حدود ۷۰میلیون برابر یک واکنش شیمیایی. میانگین ۲.۷ نوترون آزاد می‌شود که واکنش زنجیری می‌سازد: زیربحرانی (خاموش)، بحرانی (توان ثابت — حالت عادی راکتور)، فرابحرانی (توان افزایشی).

از هر ۱۴۰ اتم اورانیم طبیعی، فقط ۱ عدد U-235 است (۰.۷۲٪) — به همین دلیل در معدن واکنش زنجیری رخ نمی‌دهد. غنی‌سازی درصد U-235 را بالا می‌برد: طبیعی ۰.۷۲٪، راکتور تجاری ۳–۵٪، پژوهشی ~۲۰٪، بمب اتمی بیش از ۹۰٪ — با پخش گازی یا سانتریفوژ گازی.

راکتور شکافت (PWR): سوخت ( $UO_2$ با ۳٪ غنا)، کندساز — کاهش تندی نوترون تند به کند (آب معمولی، آب سنگین، گرافیت)، میله‌های کنترل — جذب نوترون اضافی (کادمیم، بور، ایندیم)، شارهٔ خنک‌کننده (آب تحت فشار ~۱۵۰atm). چرخه: شکافت→گرمای قلب راکتور→آب داغ تحت فشار→تبادلگر گرما→بخار→توربین→مولد الکتریکی.

گداخت هسته‌ای

{}^2_1H+{}^3_1H\to{}^4_2He+{}^1_0n+17.6\text{MeV}

مقایسه با شکافت: انرژی به‌ازای هر نوکلئون در گداخت D-T ( $\approx3.5$ MeV/نوکلئون) حدود ۴برابر شکافت ( $\approx0.85$ MeV/نوکلئون)؛ سوخت دوتریم فراوان است (اورانیم-۲۳۵ نادر)؛ پسماند پرتوزای کمتر؛ نیاز به دمای $>10^8°C$ چون هسته‌ها باید بر دافعهٔ الکتروستاتیک غلبه کنند.

خورشید با pp chain در دمای $>2\times10^7°C$ انرژی می‌سازد. ITER (فرانسه، از ۲۰۰۷، هدف ۵۰۰MW، شروع ۲۰۳۵) از توکامک برای نگهداری پلاسمای $10^8°C$ استفاده می‌کند. بمب هیدروژنی از انفجار بمب شکافت برای رسیدن به دمای گداخت استفاده می‌کند.

ذرات بنیادی (تکمیلی)

پروتون= $uud$ ، نوترون= $udd$ ؛ گل‌من و تسوایگ (۱۹۶۴) مدل کوارک را پیشنهاد دادند. مقیاس اندازه: کوارک ( $10^{-18}$ m) → هسته ( $10^{-15}$ m) → اتم ( $10^{-10}$ m).

جمع‌بندی کنکوری

مجموع $A$ و $Z$ قبل/بعد واپاشی ثابت است؛ گاما تنها واپاشی بدون تغییر $A,Z,N$ است؛ $\beta^-$ : $Z$ زیاد می‌شود؛ $\beta^+$ : $Z$ کم می‌شود؛ در $N=N_0(1/2)^n$ فقط $n$ صحیح؛ ذرات آلفا فقط از راه تنفس/گوارش خطرناکند؛ گاما بیشترین نفوذ را دارد؛ اورانیم طبیعی فقط ۰.۷۲٪ ایزوتوپ ۲۳۵ دارد؛ گداخت به‌ازای هر نوکلئون بیش از ۴برابر شکافت انرژی می‌دهد.

فرمول کلیدی	رابطه
عدد جرمی	$A=Z+N$
نیمه‌عمر	$N=N_0(1/2)^n$
انرژی-جرم	$E=\Delta mc^2$
شکافت U-235	$\approx200$ MeV
گداخت D-T	$\approx17.6$ MeV

این فقط خلاصه‌ی درسنامه است — برای مطالعه‌ی متن کامل با تمام نکات و مثال‌ها، ثبت‌نام کن.

📝 نمونه تست

این خلاصه‌ی درسنامه و نمونه تست‌ها برای تجربه‌ی بهتر تو آماده شده — بانک کامل سؤال و درسنامه‌ی کامل بعد از ثبت‌نام در دسترسته.

1. هسته‌ای با عدد جرمی $A$ و عدد اتمی $Z$ تحت واپاشی $eta^-$ قرار می‌گیرد. اگر محصول این واپاشی را ${}^{A}_{Z'}Y$ بنامیم، نسبت $\frac{Z'}{N'}$ (که $N'$ عدد نوترونی هسته $Y$ است) کدام است؟

$\frac{Z}{A-Z}$
$\frac{Z+1}{A-Z-1}$
$\frac{Z+1}{A-Z}$
$\frac{Z}{A-Z-1}$

گزینه « $\frac{Z+1}{A-Z-1}$ » درست است چون در واپاشی بتای منفی $Z$ یک واحد افزایش و $N$ یک واحد کاهش می‌یابد. بنابراین $Z' = Z+1$ و $N' = (A - Z) - 1 = A - Z - 1$ ، در نتیجه نسبت $Z'/N'$ برابر $\frac{Z+1}{A-Z-1}$ می‌شود.

2. هسته‌ای پایدار از عنصری با $Z = 38$ در نظر بگیرید. با توجه به روند تغییرات نسبت $N/Z$ در هسته‌های پایدار، کدام گزینه در مورد تعداد نوترون‌های این هسته به درستی بیان شده است؟

$N$ کمتر از $38$ است.
$N$ برابر $38$ است.
$N$ از $38$ بیشتر است.
نمی‌توان با قطعیت در مورد $N$ اظهار نظر کرد.

هسته‌های پایدار با Z=38 معمولاً نسبت N/Z > 1 دارند، بنابراین N > Z=38 است. گزینه «N از 38 بیشتر است» (گزینه سوم) درست است. در داده‌های ورودی، correct=2 (اشاره به گزینه سوم) درست است اما توضیح (explanation) اشتباه نوشته شده "گزینه «N از 38 بیشتر است» درست است" درحالی که گزینه ۳ همین است و توضیح می‌گوید گزینه ۳ درست است. مشکل این است که در بخش explanation اشتباهاً به گزینه سوم اشاره کرده اما در data correct=2 صحیح است. توضیح باید اصلاح شود.

3. در یک واکنش زنجیری شکافت، اگر در هر شکافت به طور میانگین ۲٫۷ نوترون آزاد شود و احتمال جذب هر نوترون توسط یک هستهٔ ${}^{235}\text{U}$ پیش از خروج از مجموعه ۰٫۴ باشد، برای حفظ حالت بحرانی در راکتور، حداقل کسر نوترون‌های جذب شده توسط میله‌های کنترل باید چند درصد از کل نوترون‌های تولیدی باشد؟ (فرض کنید هر نوترون جذب شده توسط ${}^{235}\text{U}$ دقیقاً یک شکافت ایجاد می‌کند و هیچ نوترونی از مجموعه خارج نمی‌شود مگر آن‌هایی که جذب نشده‌اند.)

حدود ۷٫۴٪
حدود ۶۳٪
حدود ۵۹٪
حدود ۳۷٪

«حدود ۷٫۴٪» درست است. برای حالت بحرانی، میانگین شکافت بعدی به ازای هر شکافت باید برابر ۱ باشد. از ۲٫۷ نوترون تولیدی، کسر $f$ توسط ${}^{235}\text{U}$ جذب می‌شود: $2.7 \times 0.4 \times (1 - k) \times 1 = 1$ که در آن $k$ کسر جذب شده توسط میله‌هاست. $1 - k = 1/(2.7 \times 0.4) = 1/1.08 \approx 0.9259$ ، پس $k \approx 0.074 = 7.4\%$ . سایر گزینه‌ها غلطند زیرا محاسبات را نادیده گرفته‌اند یا به اشتباه کسر جذب شده توسط ${}^{235}\text{U}$ را برابر ۱ فرض کرده‌اند.

4. در یک واکنش گداخت دوتریم-تریتیم، انرژی آزاد شده $17.6\,\text{MeV}$ است. اگر از این انرژی، $80\%$ به صورت انرژی جنبشی نوترون و $20\%$ به صورت انرژی جنبشی ذرهٔ آلفا باشد، تندی نوترون تولید شده چند درصد تندی ذرهٔ آلفا است؟ (جرم نوترون $1.008665\,\text{u}$ و جرم ذرهٔ آلفا $4.002603\,\text{u}$ است.)

حدود $28\%$
حدود $14\%$
حدود $350\%$
حدود $700\%$

«حدود $700\%$ » اشتباه است و گزینهٔ صحیح «حدود $350\%$ » است. انرژی جنبشی نوترون $E_n = 0.8 \times 17.6 = 14.08\,\text{MeV}$ و ذرهٔ آلفا $E_\alpha = 0.2 \times 17.6 = 3.52\,\text{MeV}$ است. از $K = \frac{1}{2}mv^2$ داریم $\frac{v_n}{v_\alpha} = \sqrt{\frac{E_n}{E_\alpha} \cdot \frac{m_\alpha}{m_n}} = \sqrt{\frac{14.08}{3.52} \times \frac{4.002603}{1.008665}} \approx \sqrt{4 \times 3.97} \approx \sqrt{15.88} \approx 3.98$ یعنی حدود $398\%$ که نزدیک‌ترین گزینه $350\%$ است. گزینهٔ $700\%$ دو برابر مقدار واقعی است و اشتباه محاسبه‌ای (احتمالاً ضرب در ۲ به جای جذر) رخ داده است.

5. نمونه‌ای از یک ایزوتوپ پرتوزا با نیمه‌عمر $T_{1/2}$ داریم. در زمان $t = 0$ ، تعداد هسته‌های مادر $N_0$ است. اگر در بازهٔ زمانی $t = 2T_{1/2}$ تا $t = 4T_{1/2}$ ، تعداد هسته‌های مادر واپاشی‌شده برابر $\Delta N$ باشد، نسبت $\frac{\Delta N}{N_0}$ کدام است؟

$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{16}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{16}$

« $\frac{3}{16}$ » درست است. در $t = 2T_{1/2}$ : $N_2 = N_0 (1/2)^2 = N_0/4$ . در $t = 4T_{1/2}$ : $N_4 = N_0 (1/2)^4 = N_0/16$ . تعداد واپاشی‌شده در این بازه: $\Delta N = N_2 - N_4 = N_0/4 - N_0/16 = (4N_0 - N_0)/16 = 3N_0/16$ ، بنابراین $\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{3}{16}$ . سایر گزینه‌ها غلطند زیرا یا واپاشی را از ابتدا محاسبه کرده‌اند یا نیمه‌عمر را اشتباه گرفته‌اند.

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان