06_آشنایی با فیزیک هسته ای (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینه «$\frac{Z+1}{A-Z-1}$» درست است چون در واپاشی بتای منفی $Z$ یک واحد افزایش و $N$ یک واحد کاهش می‌یابد. بنابراین $Z' = Z+1$ و $N' = (A - Z) - 1 = A - Z - 1$، در نتیجه نسبت $Z'/N'$ برابر $\frac{Z+1}{A-Z-1}$ می‌شود. **تلهٔ تستی:** N' نباید با $A-Z$ (نوترون‌های هستهٔ اولیه) اشتباه گرفته شود؛ چون یک نوترون در واپاشی $\beta^-$ به پروتون تبدیل شده، $N'$ یک واحد کمتر از $A-Z$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$N$ از $38$ بیشتر است.» درست است. طبق روند نمودار $N$ بر حسب $Z$ برای هسته‌های پایدار، فقط برای هسته‌های سبک ($Z<20$) تقریباً $N\approx Z$ برقرار است؛ $Z=38$ در این بازه نیست (استرانسیم، یک عنصر نسبتاً سنگین است) و طبق روند کلی، برای این دسته از هسته‌ها $N$ از $Z$ بیشتر می‌شود تا دافعهٔ الکتروستاتیکیِ فزایندهٔ پروتون‌ها جبران شود. گزینهٔ «$N$ برابر $38$ است.» نادرست است: این رابطه ($N\approx Z$) فقط مختص هسته‌های سبک با $Z<20$ است، نه $Z=38$. گزینهٔ «$N$ کمتر از $38$ است.» با روند کلی نوار پایداری (که همواره $N\geq Z$ برای هسته‌های پایدار است) ناسازگار است. گزینهٔ «نمی‌توان با قطعیت اظهار نظر کرد» نادرست است چون روند کلی نمودار $N$-$Z$ برای پیش‌بینیِ کیفیِ این مقایسه کافی است. **تلهٔ تستی:** مرز $Z<20$ برای رابطهٔ $N\approx Z$ باید دقیقاً به‌خاطر سپرده شود؛ فراموش‌کردن این مرز و تعمیم $N\approx Z$ به همهٔ هسته‌ها (حتی متوسط/سنگین) شایع‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«حدود ۷٫۴٪» درست است. **گام ۱ — شرط بحرانی:** به‌ازای هر شکافت باید دقیقاً یک شکافتِ جدید در نسل بعد رخ دهد. **گام ۲ — نوشتن معادله:** از $2.7$ نوترونِ تولیدی، کسر $x$ را میله‌های کنترل می‌بلعند؛ از $2.7(1-x)$ نوترونِ باقی‌مانده، کسر $0.4$ جذب ${}^{235}\text{U}$ می‌شود و شکافت می‌دهد: $$2.7\,(1-x)\,(0.4)=1$$ **گام ۳ — حل:** $1-x=\dfrac{1}{1.08}=0.9259$، پس $x=0.0741\approx 7.4\%$. **وارسی مستقل:** بدون میله‌های کنترل ضریب تکثیر $k=2.7\times0.4=1.08$ است. برای پایین‌آوردن $1.08$ به $1$ باید کسر $\dfrac{1.08-1}{1.08}=0.0741$ از نوترون‌ها حذف شود — دقیقاً همان عدد، از راهی کاملاً متفاوت. **رد گزینه‌های دیگر:** «حدود ۶۳٪» حاصل نادیده‌گرفتن ضریب $0.4$ است ($2.7(1-x)=1\Rightarrow x=1-\frac{1}{2.7}=0.63$). «حدود ۶۰٪» همان $1-0.4$ است، یعنی کسر نوترون‌هایی که جذب سوخت نمی‌شوند — نه کسری که میله‌ها می‌گیرند. «حدود ۳۷٪» برابر $\frac{1}{2.7}$ است، یعنی کسر نوترون‌های لازم برای ادامهٔ زنجیره، نه کسر حذف‌شده. **تلهٔ تستی:** عدد $1.08$ (که از $2.7\times0.4$ می‌آید) تنها $8\%$ بالای یک است، اما کسری که باید حذف شود $\frac{0.08}{1.08}=7.4\%$ است نه $8\%$؛ مخرج باید $1.08$ باشد نه $1$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«حدود $400\%$» درست است. **گام ۱ — انرژی جنبشی هر ذره:** $E_n=0.8\times17.6=14.08\,\text{MeV}$ و $E_\alpha=0.2\times17.6=3.52\,\text{MeV}$. **گام ۲ — از انرژی به تندی:** از $K=\frac12 mv^2$ داریم $v=\sqrt{2K/m}$، پس $$\frac{v_n}{v_\alpha}=\sqrt{\frac{E_n}{E_\alpha}\cdot\frac{m_\alpha}{m_n}}$$ **گام ۳ — جای‌گذاری:** $\frac{E_n}{E_\alpha}=\frac{14.08}{3.52}=4$ و $\frac{m_\alpha}{m_n}=\frac{4.002603}{1.008665}=3.968$، پس $$\frac{v_n}{v_\alpha}=\sqrt{4\times3.968}=\sqrt{15.87}=3.98$$ یعنی تندی نوترون حدود $398\%\approx400\%$ تندی ذرهٔ آلفاست. **وارسی مستقل (از راه تکانه):** دوتریم و تریتیم عملاً از حالت سکون گداخته می‌شوند، پس تکانهٔ کل صفر است و $m_nv_n=m_\alpha v_\alpha$، یعنی $\frac{v_n}{v_\alpha}=\frac{m_\alpha}{m_n}=3.97$. این عدد مستقل از تقسیم انرژی به‌دست آمد و با $3.98$ می‌خواند. **رد گزینه‌های دیگر:** «$200\%$» فقط $\sqrt{E_n/E_\alpha}=\sqrt4=2$ را گرفته و ضریب جرمی را جا انداخته. «$25\%$» نسبت معکوس ($v_\alpha/v_n=1/3.98$) است. «$1590\%$» جذر نگرفته و خودِ $4\times3.968=15.87$ را گزارش کرده. **تلهٔ تستی:** نسبت تندی‌ها هرگز برابر نسبت انرژی‌ها نیست؛ هم باید جذر گرفته شود و هم ضریب جرمیِ **معکوس** ($m_\alpha/m_n$، نه $m_n/m_\alpha$) وارد شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$\frac{3}{16}$» درست است. در $t = 2T_{1/2}$: $N_2 = N_0 (1/2)^2 = N_0/4$. در $t = 4T_{1/2}$: $N_4 = N_0 (1/2)^4 = N_0/16$. تعداد واپاشی‌شده در این بازه: $\Delta N = N_2 - N_4 = N_0/4 - N_0/16 = (4N_0 - N_0)/16 = 3N_0/16$، بنابراین $\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{3}{16}$. سایر گزینه‌ها غلطند زیرا یا واپاشی را از ابتدا محاسبه کرده‌اند یا نیمه‌عمر را اشتباه گرفته‌اند. **تلهٔ تستی:** سؤال بازهٔ زمانی از $t=2T_{1/2}$ تا $t=4T_{1/2}$ را می‌خواهد، نه از صفر تا $4T_{1/2}$؛ باید تفاضل دو مقدار $N$ در این دو لحظه گرفته شود، نه فقط $N$ در لحظهٔ پایانی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$37$ و $3$» درست است. **گام ۱ — پایستگی عدد اتمی:** بار الکتریکی نوترون صفر است، پس $$92+0=55+Z+0\;\Rightarrow\;Z=37$$ یعنی هستهٔ دوم روبیدیم ($\text{Rb}$) است. **گام ۲ — پایستگی عدد جرمی:** هستهٔ واسط $A=236$ دارد و هر نوترون یک واحد جرمی می‌آورد: $$236=140+93+k\;\Rightarrow\;k=3$$ **وارسی مستقل:** تعداد نوترون‌های دو پاره را جداگانه بشماریم: سزیم $140-55=85$ و روبیدیم $93-37=56$؛ مجموع $141$. هستهٔ ${}^{236}_{92}\text{U}$ خودش $236-92=144$ نوترون دارد، پس $144-141=3$ نوترون آزاد می‌شود — همان $k=3$. **رد گزینه‌های دیگر:** «$38$ و $3$» پایستگی بار را نقض می‌کند ($55+38=93\neq92$). «$37$ و $2$» پایستگی جرم را نقض می‌کند ($140+93+2=235\neq236$؛ نوترونِ جذب‌شده فراموش شده). «$36$ و $4$» هر دو پایستگی را هم‌زمان نقض می‌کند ($55+36=91$ و $140+93+4=237$). **تلهٔ تستی:** مبنای پایستگی جرم باید $236$ باشد نه $235$؛ فراموش‌کردن نوترونِ فرودی، $k$ را یک واحد کم می‌کند و دقیقاً به گزینهٔ «$37$ و $2$» می‌رساند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$31$» درست است. تعداد نیمه‌عمرها: $n = 40/8 = 5$. هسته‌های مادر باقی‌مانده $N = N_0(1/2)^5 = N_0/32$ است. تعداد هسته‌های دختر $N_\text{دختر} = N_0 - N_0/32 = 31N_0/32$ است. نسبت $\frac{N_\text{دختر}}{N_\text{مادر}} = \frac{31N_0/32}{N_0/32} = 31$. سایر گزینه‌ها یا $\frac{N}{N_0}$ را می‌دهند یا به اشتباه نسبت معکوس گرفته‌اند. **تلهٔ تستی:** سؤال نسبت دختر به مادر را می‌خواهد، نه نسبت مادر به اولیه؛ این دو مقدار ($31$ در برابر $\frac{1}{32}$) معکوس هم‌اند و به‌راحتی جابه‌جا می‌شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «$0.10 \times 931 \approx 93.1$» درست است. کسر جرمی: $\Delta m = (Z m_p + N m_n) - m_X = (A\times u + 0.15\,\text{u}) - (A\times u + 0.05\,\text{u}) = 0.10\,\text{u}$. انرژی بستگی: $E_b = \Delta m \times c^2 = 0.10 \times 931 \approx 93.1\,\text{MeV}$. گزینهٔ «$0.05 \times 931 \approx 46.55$» فقط یکی از دو عبارتِ دادهٔ سؤال ($0.05\,\text{u}$) را بدونِ کسر از عبارتِ دیگر به کار برده. گزینهٔ «$0.15 \times 931 \approx 139.65$» فقط عبارتِ دیگر ($0.15\,\text{u}$) را بدونِ کسر به کار برده. گزینهٔ «$(A-2)\times0.10\times931$» وابستگیِ نادرستی به $A$ اضافه کرده، درحالی‌که $\Delta m$ در این سؤال یک عددِ ثابت (مستقل از $A$) است چون جملاتِ $A\times u$ در تفریق حذف می‌شوند. **تلهٔ تستی:** در این نوع سؤالِ نمادین، جملاتِ $A\times u$ در $m_X$ و در $Zm_p+Nm_n$ باید کاملاً حذف شوند؛ فقط عبارت‌هایِ عددیِ اضافه ($0.05\,\text{u}$ و $0.15\,\text{u}$) در پاسخِ نهایی باقی می‌مانند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$200\times(2^6-1)$» درست است. **گام ۱ — تعداد شکافت در هر نسل:** نسل صفر یک شکافت دارد و هر نسل دو برابر نسل قبل می‌شود: $$1,\;2,\;2^2,\;2^3,\;2^4,\;2^5$$ **گام ۲ — مجموع شکافت‌ها:** این یک تصاعد هندسی با جملهٔ اول $1$، قدرنسبت $2$ و **شش** جمله (نسل $0$ تا $5$) است: $$S=\frac{2^6-1}{2-1}=2^6-1=63$$ **گام ۳ — انرژی کل:** $E=200\times63=200\times(2^6-1)\,\text{MeV}$. **وارسی مستقل (شمارش مستقیم):** $1+2+4+8+16+32=63$ ✓ — بدون استفاده از فرمول تصاعد، همان عدد به‌دست می‌آید. **رد گزینه‌های دیگر:** «$200\times2^5$» فقط شکافت‌های نسل پنجم ($32$ شکافت) را حساب کرده و پنج نسل قبلی را نادیده گرفته. «$200\times(2^5-1)$» مجموع نسل $0$ تا $4$ است ($31$ شکافت) و نسل پنجم را جا انداخته. «$200\times2^6$» یک واحد از مجموع بیشتر است ($64$ به‌جای $63$)؛ چنین جمعی هیچ نسلی متناظر ندارد. **تلهٔ تستی:** «تا پایان نسل پنجم» با احتساب نسل صفر یعنی **شش** جمله؛ نوشتن $2^5-1$ (پنج جمله) یا $2^5$ (فقط جملهٔ آخر) دو خطای پرتکرارِ همین سؤال‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$1$» درست است. **گام ۱ — تعریف:** حالت بحرانی یعنی تعداد شکافت‌ها (و در نتیجه توان راکتور) از نسلی به نسل بعد ثابت بماند، که دقیقاً یعنی $k_{eff}=1$. **گام ۲ — بررسی سازگاری داده‌ها:** هر شکافت $3$ نوترون می‌دهد و $\frac13$ آن‌ها جذب سوخت می‌شوند و شکافت جدید می‌سازند: $$k_{eff}=3\times\frac13=1$$ پس داده‌های سؤال دقیقاً با حالت بحرانی سازگارند. **وارسی مستقل:** اگر از $10^6$ شکافت شروع کنیم، $3\times10^6$ نوترون تولید می‌شود و $\frac13$ آن‌ها یعنی $10^6$ نوترون شکافت جدید می‌سازند؛ تعداد شکافت‌ها بدون تغییر ماند ⇒ $k_{eff}=1$. **رد گزینه‌های دیگر:** «$\frac13$» فقط احتمال جذب است، نه ضریب تکثیر؛ ضریب تکثیر حاصل‌ضرب این احتمال در تعداد نوترون‌های آزادشده است. «$3$» فقط تعداد نوترون‌های تولیدی در هر شکافت است و احتمال جذب را نادیده گرفته. «$\frac23$» کسر نوترون‌های **جذب‌نشده** است و هیچ ربطی به ضریب تکثیر ندارد. **تلهٔ تستی:** در این سؤال دو عدد $3$ و $\frac13$ عمداً معکوس یکدیگرند تا حاصل‌ضربشان دقیقاً $1$ شود؛ برداشتن یکی از این دو به‌تنهایی به‌عنوان پاسخ، شایع‌ترین خطاست.