تابع (انسانی)(ریاضی و آمار 2) — نمونه سؤال و درسنامه کنکور

توابع ثابت، همانی و چندضابطه‌ای

تابع ثابت: $f(x)=c$؛ برد تک‌عضوی $\{c\}$؛ نمودار خط افقی. اگر $f(a)\cdot f(b)=f(a+b)$ در تابع ثابت باشد، $c^2=c\Rightarrow c=0$ یا $c=1$. واریانس مقادیر تابع ثابت همیشه صفر است.

تابع همانی: $f(x)=x$، دامنه=برد=$\mathbb R$، نمودار نیمساز ناحیهٔ اول و سوم.

⚠️ تله: «دامنه و برد برابر بودن» به معنای همانی بودن نیست — مثلاً $f(x)=-x$ هم همین ویژگی را دارد اما همانی نیست.

تابع چندضابطه‌ای: ضابطهٔ متفاوت در بازه‌های مختلف دامنه. نقطهٔ توپر یعنی عضو دامنه است، توخالی یعنی نیست — مرزهای ضابطه‌ها نقطهٔ حساس سؤالات کنکورند.

مثال محاسبه: برای $f(x)=\begin{cases}x^2 & x<-1\\1-2x & -1\le x\le2\\5-x & x>2\end{cases}$: $f(2)=-3,\ f(-1)=3,\ f(3)=2$.

فراتر از کتاب: توابع چندضابطه‌ای پایهٔ توابع فعال‌سازی شبکه‌های عصبی‌اند، مثل $\text{ReLU}(x)=\begin{cases}0&x\le0\\x&x>0\end{cases}$.

توابع پلکانی، علامت، جزء صحیح و قدرمطلق

تابع پلکانی: در هر بازه مقداری ثابت دارد (مانند نرخ‌های پلکانی قبض برق)؛ مساحت هر مستطیل زیر نمودار = هزینهٔ همان پله.

تابع علامت: $\text{sign}(x)=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$؛ برد $\{-1,0,1\}$.

تابع جزء صحیح $[x]$: بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$؛ قاعدهٔ طلایی: $k\le x<k+1\Rightarrow[x]=k$.

⚠️ تلهٔ رایج‌ترین: $[-2.7]=-3$ نه $-2$! برای اعداد منفی به سمت چپ محور گرد می‌شود (نه صفر).

خاصیت مهم: $[x]+[-x]=0$ اگر $x$ صحیح، وگرنه $-1$. نمودار پله‌ای است؛ نقطهٔ چپ هر پله توپر و نقطهٔ راست توخالی.

تابع قدرمطلق: $|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}$؛ دامنه $\mathbb R$، برد $[0,\infty)$، نمودار V-شکل با محور $y$ به‌عنوان محور تقارن.

رسم $y=|ax+b|$: ریشهٔ داخل قدرمطلق را پیدا کن ($ax+b=0$)، ضابطهٔ دوگانه بنویس، رأس همان‌جاست.

میان‌بر: نمودار $y=|x-a|$ همان $y=|x|$ جابجاشده به‌اندازهٔ $a$ واحد به راست؛ $y=|x|+2$ یعنی بالا رفته؛ $y=-|x|$ یعنی برعکس‌شده (شاخه‌ها پایین). شیب نیم‌خط‌های $y=|ax+b|$ برابر $\pm a$ است.

اعمال روی توابع

مثال زوج مرتبی: $f=\{(1,2),(-3,4),(3,5),(7,-1)\}$, $g=\{(2,1),(3,-1),(7,2)\}$؛ $D_f\cap D_g=\{3,7\}$؛ $f+g=\{(3,4),(7,1)\}$ — فقط روی اعضای مشترک دامنه عمل می‌کنیم.

مثال ضابطه‌ای: $f_1=x^2-1,\ f_2=x+1$:

⚠️ ساده‌سازی کسر دامنه را عوض نمی‌کند — ریشه‌های حذف‌شده باید از دامنه کنار گذاشته شوند.

مثال کاربردی (سود هولدینگ): سود کل $P(x)=P_A+P_B=-3x^2+18x-15=-3(x-3)^2+12$؛ بیشینه در $x=3$ برابر ۱۲ (میلیون تومان)، با فرمول رأس $x_{max}=-b/2a$.

مثال تابع ثابت واقعی: در یک فروشگاه، اگر تعداد خودروهای ورودی روز شنبه همیشه بین ۰ تا ۱۰۰ باشد ولی هزینهٔ پارک همیشه صفر (رایگان) باشد: $C(n)=0,\ 1\le n\le12$ — نمونهٔ عینی تابع ثابت در مدل‌سازی واقعی.

مثال تابع چندضابطه‌ای واقعی: هزینهٔ پارک روز سه‌شنبه: $C(n)=\begin{cases}500 & 1\le n\le8\\1500 & 9\le n\le12\end{cases}$؛ روز چهارشنبه به فرم جمع‌وجورتر: $C(n)=\begin{cases}0&1\le n\le6\\(n-6)\times500&7\le n\le12\end{cases}$ — این زنجیره (داده خام → تحلیل آماری → ضابطهٔ تابع → نمودار → تصمیم‌گیری) دقیقاً مسیر علم داده و هوش مصنوعی امروزی است.

رسم نمودار $f+g$ از روی نمودار: برای هر $x$، مقدار دو تابع را جدا از نمودار می‌خوانیم و جمع می‌زنیم؛ مثلاً برای $f(x)=x$ و $g(x)=\text{sign}(x)$: در $x=-2$، $(f+g)(x)=-3$؛ در $x=2$، $(f+g)(x)=3$.

جمع‌بندی نکات کنکوری