انواع تابع و اعمال روی توابع (ریاضی ۲)

توابع ثابت، همانی و چندضابطه‌ای

تابع ثابت: $f(x)=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برد تک‌عضوی $\{c\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نمودار خط افقی. اگر $f(a)\cdot f(b)=f(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در تابع ثابت باشد، $c^2=c\Rightarrow c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $c=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. واریانس مقادیر تابع ثابت همیشه صفر است.

تابع همانی: $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دامنه=برد=$\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نمودار نیمساز ناحیهٔ اول و سوم.

تله: «دامنه و برد برابر بودن» به معنای همانی بودن نیست — مثلاً $f(x)=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم همین ویژگی را دارد اما همانی نیست.

تابع چندضابطه‌ای: ضابطهٔ متفاوت در بازه‌های مختلف دامنه. نقطهٔ توپر یعنی عضو دامنه است، توخالی یعنی نیست — مرزهای ضابطه‌ها نقطهٔ حساس سؤالات کنکورند.

مثال محاسبه: برای $f(x)=\begin{cases}x^2 & x<-1\\1-2x & -1\le x\le2\\5-x & x>2\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $f(2)=-3,\ f(-1)=3,\ f(3)=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فراتر از کتاب: توابع چندضابطه‌ای پایهٔ توابع فعال‌سازی شبکه‌های عصبی‌اند، مثل $\text{ReLU}(x)=\begin{cases}0&x\le0\\x&x>0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توابع پلکانی، علامت، جزء صحیح و قدرمطلق

تابع پلکانی: در هر بازه مقداری ثابت دارد (مانند نرخ‌های پلکانی قبض برق)؛ مساحت هر مستطیل زیر نمودار = هزینهٔ همان پله.

تابع علامت: $\text{sign}(x)=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برد $\{-1,0,1\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع جزء صحیح $[x]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ قاعدهٔ طلایی: $k\le x<k+1\Rightarrow[x]=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تلهٔ رایج‌ترین: $[-2.7]=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی! برای اعداد منفی به سمت چپ محور گرد می‌شود (نه صفر).

خاصیت مهم: $[x]+[-x]=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح، وگرنه $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نمودار پله‌ای است؛ نقطهٔ چپ هر پله توپر و نقطهٔ راست توخالی.

تابع قدرمطلق: $|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دامنه $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برد $[0,\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نمودار V-شکل با محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌عنوان محور تقارن.

رسم $y=|ax+b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ریشهٔ داخل قدرمطلق را پیدا کن ($ax+b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، ضابطهٔ دوگانه بنویس، رأس همان‌جاست.

میان‌بر: نمودار $y=|x-a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $y=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جابجاشده به‌اندازهٔ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد به راست؛ $y=|x|+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی بالا رفته؛ $y=-|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی برعکس‌شده (شاخه‌ها پایین). شیب نیم‌خط‌های $y=|ax+b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\pm a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

اعمال روی توابع

مثال زوج مرتبی: $f=\{(1,2),(-3,4),(3,5),(7,-1)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $g=\{(2,1),(3,-1),(7,2)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $D_f\cap D_g=\{3,7\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $f+g=\{(3,4),(7,1)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — فقط روی اعضای مشترک دامنه عمل می‌کنیم.

مثال ضابطه‌ای: $f_1=x^2-1,\ f_2=x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

ساده‌سازی کسر دامنه را عوض نمی‌کند — ریشه‌های حذف‌شده باید از دامنه کنار گذاشته شوند.

مثال کاربردی (سود هولدینگ): سود کل $P(x)=P_A+P_B=-3x^2+18x-15=-3(x-3)^2+12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بیشینه در $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر ۱۲ (میلیون تومان)، با فرمول رأس $x_{max}=-b/2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال تابع ثابت واقعی: در یک فروشگاه، اگر تعداد خودروهای ورودی روز شنبه همیشه بین ۰ تا ۱۰۰ باشد ولی هزینهٔ پارک همیشه صفر (رایگان) باشد: $C(n)=0,\ 1\le n\le12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — نمونهٔ عینی تابع ثابت در مدل‌سازی واقعی.

مثال تابع چندضابطه‌ای واقعی: هزینهٔ پارک روز سه‌شنبه: $C(n)=\begin{cases}500 & 1\le n\le8\\1500 & 9\le n\le12\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ روز چهارشنبه به فرم جمع‌وجورتر: $C(n)=\begin{cases}0&1\le n\le6\\(n-6)\times500&7\le n\le12\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — این زنجیره (داده خام → تحلیل آماری → ضابطهٔ تابع → نمودار → تصمیم‌گیری) دقیقاً مسیر علم داده و هوش مصنوعی امروزی است.

رسم نمودار $f+g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از روی نمودار: برای هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدار دو تابع را جدا از نمودار می‌خوانیم و جمع می‌زنیم؛ مثلاً برای $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=\text{sign}(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: در $x=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(f+g)(x)=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ در $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(f+g)(x)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جمع‌بندی نکات کنکوری