تابع جزء صحیح [x]: بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x؛ قاعدهٔ طلایی: k≤x<k+1⇒[x]=k.
⚠️ تلهٔ رایجترین: [−2.7]=−3 نه −2! برای اعداد منفی به سمت چپ محور گرد میشود (نه صفر).
خاصیت مهم: [x]+[−x]=0 اگر x صحیح، وگرنه −1. نمودار پلهای است؛ نقطهٔ چپ هر پله توپر و نقطهٔ راست توخالی.
تابع قدرمطلق:∣x∣={x−xx≥0x<0؛ دامنه R، برد [0,∞)، نمودار V-شکل با محور y بهعنوان محور تقارن.
رسم y=∣ax+b∣: ریشهٔ داخل قدرمطلق را پیدا کن (ax+b=0)، ضابطهٔ دوگانه بنویس، رأس همانجاست.
میانبر: نمودار y=∣x−a∣ همان y=∣x∣ جابجاشده بهاندازهٔ a واحد به راست؛ y=∣x∣+2 یعنی بالا رفته؛ y=−∣x∣ یعنی برعکسشده (شاخهها پایین). شیب نیمخطهای y=∣ax+b∣ برابر ±a است.
اعمال روی توابع
Df±g=Df⋅g=Df/g(بهجز صفرهای g)=Df∩Dg
عمل
ضابطه
جمع
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
تفریق
(f−g)(x)=f(x)−g(x)
ضرب
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)
تقسیم
(f/g)(x)=f(x)/g(x)، با حذف صفرهای g از دامنه
مثال زوج مرتبی:f={(1,2),(−3,4),(3,5),(7,−1)}, g={(2,1),(3,−1),(7,2)}؛ Df∩Dg={3,7}؛ f+g={(3,4),(7,1)} — فقط روی اعضای مشترک دامنه عمل میکنیم.
مثال ضابطهای:f1=x2−1,f2=x+1:
f1+f2=x2+x,f1−f2=x2−x−2,f1⋅f2=(x−1)(x+1)2
f2f1=x+1(x−1)(x+1)=x−1(x=−1)
⚠️ سادهسازی کسر دامنه را عوض نمیکند — ریشههای حذفشده باید از دامنه کنار گذاشته شوند.
مثال کاربردی (سود هولدینگ): سود کل P(x)=PA+PB=−3x2+18x−15=−3(x−3)2+12؛ بیشینه در x=3 برابر ۱۲ (میلیون تومان)، با فرمول رأس xmax=−b/2a.
مثال تابع ثابت واقعی: در یک فروشگاه، اگر تعداد خودروهای ورودی روز شنبه همیشه بین ۰ تا ۱۰۰ باشد ولی هزینهٔ پارک همیشه صفر (رایگان) باشد: C(n)=0,1≤n≤12 — نمونهٔ عینی تابع ثابت در مدلسازی واقعی.
مثال تابع چندضابطهای واقعی: هزینهٔ پارک روز سهشنبه: C(n)={50015001≤n≤89≤n≤12؛ روز چهارشنبه به فرم جمعوجورتر: C(n)={0(n−6)×5001≤n≤67≤n≤12 — این زنجیره (داده خام → تحلیل آماری → ضابطهٔ تابع → نمودار → تصمیمگیری) دقیقاً مسیر علم داده و هوش مصنوعی امروزی است.
رسم نمودار f+g از روی نمودار: برای هر x، مقدار دو تابع را جدا از نمودار میخوانیم و جمع میزنیم؛ مثلاً برای f(x)=x و g(x)=sign(x): در x=−2، (f+g)(x)=−3؛ در x=2، (f+g)(x)=3.
جمعبندی نکات کنکوری
موضوع
نکته
آزمون تابع
خط عمودی حداکثر یک تقاطع
تابع ثابت
Rf={c}, واریانس صفر
تابع همانی
y=x؛ دامنه=برد بودن کافی نیست
جزء صحیح منفی
به چپ محور گرد میشود، نه صفر
قدرمطلق
نمودار V، محور y تقارن
دامنهٔ اعمال
همیشه اشتراک دامنههاست
تقسیم توابع
صفرهای مخرج حذف میشوند
نمونه تست
پاسخنامهی تحلیلی سهبخشی برای هر سؤال
۱چرا گزینهی درست، درست است
۲چرا هر گزینهی دیگر غلط است
۳تلهی تستیای که باید بشناسی
1. اگر f تابع ثابت با مقدار c باشد آنگاه f(a)+f(b) برابر چیست؟
f(ab)
a+b
c+c
c
پاسخنامهی تحلیلی
در تابع ثابت هر دو مقدار برابر c هستند پس جمع آن ها 2c است. تلهٔ تستی: چون هر دو مقدار f(a) و f(b) برابرِ همان c هستند، جمعشان 2c میشود نه خودِ c؛ نباید فراموش کرد که این جمعِ دو مقدارِ برابر است.
2. کدام تابع با وجود برابر بودن دامنه و برد همانی نیست؟
f(x)=x2
f(x)=x
f(x)=−x
f(x)=0
پاسخنامهی تحلیلی
هر چهار تابع را روی R میسنجیم و دو شرط را جداگانه بررسی میکنیم: (الف) برابربودنِ دامنه و برد، (ب) همانینبودن.
گزینهٔ f(x)=−x: دامنه R است؛ به ازای هر y حقیقی، ورودیِ x=−y خروجیِ y میدهد، پس برد هم R است و دامنه با برد برابر است. اما f(1)=−1=1، پس همانی نیست. هر دو شرط برقرار است.
وارسیِ مستقل: f(2)=−2 و f(−2)=2؛ مجموعهٔ خروجیها دقیقاً همان مجموعهٔ ورودیهاست (تناظرِ یکبهیک و پوشا روی R)، ولی هیچ عددِ ناصفری به خودش نمیرود.
ردِ گزینهٔ f(x)=x: این خودِ تابعِ همانی است، پس شرطِ «همانینبودن» را ندارد.
ردِ گزینهٔ f(x)=0: بردش {0} است که با دامنهٔ R برابر نیست، پس شرطِ اول را ندارد.
ردِ گزینهٔ f(x)=x2: بردش [0,+∞) است، نه R؛ پس دامنه و برد برابر نیستند.
تلهٔ تستی: برابربودنِ دامنه و برد شرطِ لازمِ همانیبودن است اما کافی نیست؛ f(x)=−x نمونهٔ نقضِ این باورِ رایج است.
3. اگر f(x)=⎩⎨⎧x21−2x5−xx<−1−1≤x≤2x>2 باشد مقدار f(2) چیست؟
3
−4
−3
1
پاسخنامهی تحلیلی
چون 2 در بازه میانی است داریم f(2)=1−2×2=−3. تلهٔ تستی: نقطهٔ x=2 دقیقاً روی مرزِ دو بازه است و چون علامتِ ≤ در بازهٔ میانی آمده، x=2 به بازهٔ میانی تعلق دارد نه بازهٔ سوم.
4. اگر f(x)=⎩⎨⎧x21−2x5−xx<−1−1≤x≤2x>2 باشد، مقدار f(−1) کدام است؟
3
−1
0
1
پاسخنامهی تحلیلی
چون −1 در بازهٔ میانی (−1≤x≤2) قرار دارد، از شاخهٔ دوم استفاده میکنیم: f(−1)=1−2(−1)=3. گزینهٔ «1» از جایگذاریِ نادرستِ علامت در 1−2(−1) به دست میآید؛ گزینهٔ «−1» با خودِ ورودی اشتباه گرفته شده است. تلهٔ تستی: نقطهٔ x=−1 دقیقاً روی مرزِ دو شاخهٔ اول و دوم است؛ چون علامتِ نامساویِ ≤ در شاخهٔ دوم آمده، این نقطه به شاخهٔ دوم تعلق دارد نه شاخهٔ اول.
5. اگر C(n)={0500(n−6)1≤n≤67≤n≤12 باشد مقدار C(9) چند است؟
1500
2000
500
1000
پاسخنامهی تحلیلی
چون 9 در ضابطه دوم است داریم 500×3=1500. تلهٔ تستی: باید ابتدا بازهٔ درستِ n=9 (بازهٔ دوم) را تشخیص داد و سپس فاصلهٔ آن از 6 (نه خودِ 9) را در ضابطه جایگذاری کرد.
6. اگر C(n)={50015001≤n≤89≤n≤12 باشد مقدار C(9) کدام است؟
500
1000
1500
2000
پاسخنامهی تحلیلی
عدد 9 آغاز بازه دوم است. تلهٔ تستی: چون علامتِ ≤ در بازهٔ دوم روی 9 آمده، عددِ 9 به بازهٔ دوم تعلق دارد نه بازهٔ اول؛ این دقیقاً نقطهٔ مرزی حساس است.
7. کدام مورد بهترین توصیف از تابع پلکانی است؟
تابعی که در هر ضابطه مقدار ثابتی دارد
تابعی که فقط روی اعداد صحیح تعریف می شود
تابعی که همواره صعودی است
تابعی که در هر بازه خطی است
پاسخنامهی تحلیلی
تابع پلکانی نوعی چندضابطه ای با مقدار ثابت در هر بخش است. تلهٔ تستی: تابعِ پلکانی الزاماً فقط روی اعداد صحیح تعریف نمیشود؛ ویژگیِ اصلیاش ثابتبودنِ مقدار در هر بازه است، نه دامنهٔ محدود به اعداد صحیح.
8. مقدار [2.7] کدام است؟
0
3
2
1
پاسخنامهی تحلیلی
بزرگ ترین عدد صحیح کوچک تر یا مساوی 2.7 برابر 2 است. تلهٔ تستی: جزء صحیح، عدد را به سمتِ پایین گرد میکند نه به نزدیکترین عددِ صحیح؛ برای 2.7 این یعنی 2، نه 3.
9. مقدار [−2.7] کدام است؟
−3
−4
−2
−1
پاسخنامهی تحلیلی
برای عدد منفی به سمت چپ محور می رویم پس پاسخ −3 است. تلهٔ تستی: برایِ اعدادِ منفی، جزء صحیح به سمتِ چپِ محور (عددِ کوچکتر) گرد میشود؛ [−2.7]=−3 است، نه −2.
10. مقدار [−π] کدام است؟
4
−3
−4
3
پاسخنامهی تحلیلی
چون −π≈−3.14 است جزء صحیح آن −4 می شود. تلهٔ تستی: باید ابتدا π≈3.14 را در نظر گرفت، سپس علامتِ منفی را اعمال کرد و به سمتِ پایین گرد کرد؛ گردکردنِ نادرست به سمتِ −3 خطای رایجی است.