حرکت چیست؟ — علوم تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

حرکت چیست؟ (علوم تیزهوشان نهم)

حرکت از دوران باستان ذهن دانشمندان را مشغول کرده است. ابزار اصلی برای فهم آن، مشاهدهٔ دقیق و کمّی‌سازی است؛ یعنی به‌جای واژه‌هایی مثل «تند» یا «کند»، حرکت را با عدد و یکا توصیف کنیم.

مکان، جابه‌جایی و مسافت

اگر از دوستی بخواهیم از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر برود، می‌توانیم مکان او را با متر، زمان را با کرونومتر و از روی آن‌ها مسافت، جابه‌جایی و تندی را به دست آوریم. برای گفتن مکان باید دو قرارداد بگذاریم: مبدأ (نقطهٔ صفر) و جهت مثبت. مکان همیشه نسبت به مبدأ گفته می‌شود.

دو ناظر ممکن است مبدأهای متفاوتی برگزینند و مکان‌های متفاوتی گزارش کنند، اما جابه‌جایی به مبدأ بستگی ندارد. مثال: کسی از مکان ۱۰ متر به ۴۰ متر می‌رود و تا ۲۵ متر برمی‌گردد. جابه‌جایی او $+15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر و مسافتش $30+15=45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر است. اگر مبدأ را ۱۰ متر جابه‌جا کنیم، مکان‌ها عوض می‌شوند ولی جابه‌جایی همان ۱۵ متر می‌ماند.

تندی متوسط و سرعت متوسط

تندی متوسط از مسافت و سرعت متوسط از جابه‌جایی حساب می‌شود؛ پس سرعت متوسط جهت دارد و می‌تواند منفی یا حتی صفر باشد. در مثال بالا اگر حرکت ۳۰ ثانیه طول بکشد، تندی متوسط ۱٫۵ و سرعت متوسط ۰٫۵ متر بر ثانیه است. دونده‌ای که یک دور کامل پیست ۴۰۰ متری را در ۸۰ ثانیه می‌دود، تندی متوسط ۵ متر بر ثانیه ولی سرعت متوسط صفر دارد. برای تبدیل یکا، کیلومتر بر ساعت را بر ۳٫۶ تقسیم می‌کنیم: ۷۲ کیلومتر بر ساعت برابر ۲۰ متر بر ثانیه است.

محدودیت: یک عدد برای کل حرکت، جزئیات را پنهان می‌کند. اگر در راه مدرسه برای برداشتن کتاب برگردی و بعد با تاکسی بروی، تندی متوسط کل روز چیز زیادی از حرکتت نمی‌گوید. راه بهتر، ثبت مکان در بازه‌های کوتاه و بررسی هر بازه است.

دو روش ثبت داده و تحلیل فیلم

برای ثبت یک حرکت طولانی دو راه داریم: علامت‌گذاری مکان‌های ثابت و نوشتن زمان عبور از هرکدام، یا ثبت مکان در زمان‌های ثابت (مثلاً هر ۵ ثانیه). روش دوم تحلیل ساده‌تری دارد، چون در همهٔ بازه‌ها جابه‌جایی بر یک عدد ثابت تقسیم می‌شود.

برای اندازه‌گیری حرکت‌های سریع، بازهٔ زمانی باید بسیار کوتاه باشد که با کرونومتر دستی شدنی نیست. چاره فیلم‌برداری و تحلیل فریم‌به‌فریم است؛ فیلم معمولی حدود ۳۰ و دوربین‌های تندگیر صدها تا هزاران فریم در ثانیه ثبت می‌کنند. نرم‌افزار رایگان Tracker فیلم را باز می‌کند، با یک خط‌کش در کادر مقیاس می‌گیرد، محورها را تعیین می‌کند و مکان جسم را در هر فریم استخراج می‌کند تا جدول و نمودار به دست آید.

اگر فیلم با ۲۴۰ فریم بر ثانیه ضبط و با ۳۰ فریم بر ثانیه پخش شود، زمان‌های نمایش‌داده‌شده را باید بر ۸ تقسیم کرد. در نمونهٔ کتاب، سرعت متوسط جسم در بازه‌های مختلف تقریباً یکسان (حدود ۴۸ سانتی‌متر بر ثانیه) درآمد؛ پس حرکت یکنواخت بوده است.

حرکت یکنواخت

حرکت روی خط راست با سرعت ثابت را یکنواخت می‌نامیم:

مسئلهٔ دو موتورسوار: دو موتورسوار در یک جهت حرکت می‌کنند و موتورسوار جلویی ۵۰۰ متر جلوتر است. با داده‌های کتاب، تندی جلویی $\frac{500}{5}=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و تندی عقبی $\frac{250}{2}=125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر بر ثانیه است. مبدأ را جای عقبی می‌گیریم:

پس از ۵ ثانیه جلویی در ۱۰۰۰ و عقبی در ۶۲۵ متری است و فاصله به ۳۷۵ متر رسیده؛ هر ثانیه ۲۵ متر کم می‌شود. لحظهٔ رسیدن وقتی است که $x_1=x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

تا آن لحظه جلویی ۲۰۰۰ و عقبی ۲۵۰۰ متر رفته‌اند. اگر موتورسوار کندتر عقب باشد، حل معادله زمان منفی ($-20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثانیه) می‌دهد؛ یعنی آن دو ۲۰ ثانیه پیش‌تر کنار هم بوده‌اند و در آینده هرگز به هم نمی‌رسند. اگر رو به هم بیایند، تندی نزدیک شدن $100+125=225$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر بر ثانیه است و پس از حدود ۲٫۲ ثانیه به هم می‌رسند.

نمودار مکان-زمان و شیب آن

در نمودار مکان-زمان، مکان روی محور عمودی و زمان روی محور افقی است. محل برخورد محورها بهتر است صفر هر دو باشد و کنار محورها نام کمیت و یکا نوشته شود. هرچه نقطه‌های داده بیشتر باشند، شکل منحنی دقیق‌تر دیده می‌شود و مکان‌های میانی را می‌توان با درون‌یابی تخمین زد.

شیب پاره‌خطی که دو نقطه از نمودار را وصل می‌کند، $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی همان سرعت متوسط در آن بازه است. برای داده‌های نمونهٔ زیر:

شیب مدام زیاد می‌شود، پس جسم تندشونده است. در حرکت یکنواخت نمودار مکان-زمان خط راست است: شیب مثبت یعنی حرکت در جهت مثبت، شیب منفی یعنی حرکت در جهت منفی و خط افقی یعنی جسم ایستاده است.

سرعت لحظه‌ای

اگر داده‌ها آن‌قدر زیاد شوند که دو نقطهٔ پیاپی تقریباً بر هم منطبق شوند، خط واصل آن‌ها مماس بر منحنی می‌شود. شیب خط مماس، سرعت لحظه‌ای در آن نقطه است و اندازهٔ آن همان عددی است که سرعت‌سنج خودرو نشان می‌دهد (تندی لحظه‌ای). تندی همیشه نامنفی است ولی سرعت علامت دارد؛ وقتی جسم در جهت مثبت می‌رود این دو برابرند.

داده‌های جدول بالا از حرکتی با شتاب ثابت آمده‌اند؛ مانند خودرویی که پشت چراغ قرمز راه می‌افتد یا توپی که روی سطح شیب‌دار رها شده. در چنین حرکتی، سرعت متوسط هر بازه برابر سرعت لحظه‌ای وسط آن بازه و برابر میانگین سرعت آغاز و پایان بازه است.

نمودار سرعت-زمان و شتاب

Tracker می‌تواند نمودار سرعت-زمان را هم رسم کند. تغییر مبدأ نمودار سرعت-زمان را تغییر نمی‌دهد و نمودار مکان-زمان را فقط بالا یا پایین می‌برد؛ اما وارونه کردن جهت مثبت هر دو نمودار را حول محور افقی وارونه می‌کند.

شتاب آهنگ تغییر سرعت است و برابر شیب نمودار سرعت-زمان:

برای حرکت با شتاب ثابت:

مساحت زیر نمودار سرعت-زمان برابر جابه‌جایی است. خودرویی که در ۸ ثانیه از سکون به ۲۰ متر بر ثانیه می‌رسد شتاب ۲٫۵ دارد و ۸۰ متر جلو می‌رود.

سطح شیب‌دار

اگر توپ یا ماشین اسباب‌بازی را روی سطح شیب‌دار رها کنیم و فیلم بگیریم (دوربین ثابت و یک خط‌کش در کادر)، نمودار مکان-زمان منحنی رو به بالا و نمودار سرعت-زمان خطی راست است؛ یعنی شتاب ثابت. شتاب روی سطح شیب‌دار از شتاب جاذبه کمتر است، چون فقط بخشی از وزن در راستای سطح اثر دارد: بدون اصطکاک $a=g\sin\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر ماشین را از پایین به بالا هل دهیم و رها کنیم، شتاب در رفت و برگشت یکی است: ثابت و رو به پایین شیب. در بالا رفتن سرعت رو به بالا و شتاب رو به پایین است، پس حرکت کندشونده است؛ در پایین آمدن هر دو رو به پایین‌اند و حرکت تندشونده است. در بالاترین نقطه سرعت لحظه‌ای صفر است ولی شتاب صفر نیست.

حرکت کندشونده و یک مسئلهٔ سه‌مرحله‌ای

در توپی که رو به بالا پرتاب شده، در نیمهٔ اول سرعت رو به بالا و شتاب رو به پایین است (کندشونده) و در اوج شیب نمودار مکان صفر می‌شود. پس از آن هر دو رو به پایین‌اند (تندشونده). تغییر جهت مثبت علامت‌ها را عوض می‌کند ولی نوع حرکت را نه.

مسئله: خودرویی از سکون با شتاب ۲ راه می‌افتد، پس از ۵ ثانیه ۱۰ ثانیه با سرعت ثابت می‌رود و سپس با شتاب منفی ۱ ترمز می‌کند.

• مرحلهٔ اول: $v=2\times5=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر بر ثانیه و جابه‌جایی $\tfrac12\times2\times25=25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.
• مرحلهٔ دوم: سرعت ثابت ۱۰ و شتاب صفر؛ مکان به $25+100=125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر می‌رسد.
• مرحلهٔ سوم: ۱۰ ثانیه طول می‌کشد تا بایستد و $\frac{0-100}{-2}=50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر جلو می‌رود؛ مکان نهایی ۱۷۵ متر و زمان کل ۲۵ ثانیه.

نمودار شتاب-زمان سه پله دارد ($+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، صفر، $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). نمودار سرعت-زمان یک خط بالارونده، یک خط افقی و یک خط پایین‌رونده است و مساحت سه بخش آن $25+100+50=175$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر می‌شود. نمودار مکان-زمان منحنی رو به بالا، سپس خط راست و در پایان منحنی‌ای است که با مماس افقی تمام می‌شود. پیش از رسم، نقطه‌هایی را که نوع حرکت عوض می‌شود حساب کن.

سقوط آزاد

اگر گوی فلزی کوچکی را رها کنیم و حرکتش را با Tracker تحلیل کنیم، می‌بینیم حرکت تندشونده با شتاب ثابت است و شتاب حدود ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه است. این شتاب جاذبه $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پرتاب با سرعت اولیه یا عوض کردن جنس و جرم گوی (مثلاً تیلهٔ شیشه‌ای) شتاب را تغییر نمی‌دهد: بدون مقاومت هوا همهٔ اجسام با یک شتاب سقوط می‌کنند. پَر و کاغذ باز به دلیل مقاومت هوا دیرتر می‌رسند، اما در خلأ یا روی ماه پر و چکش هم‌زمان به زمین می‌خورند.

برای رها شدن از سکون، با جهت مثبت رو به پایین:

با $g=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جسمی که از ۲۰ متری رها شود پس از ۲ ثانیه با تندی ۲۰ متر بر ثانیه به زمین می‌رسد. مسافت پیموده‌شده در ثانیه‌های پیاپی به نسبت $1:3:5:7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (کشف گالیله). توپی که با ۲۰ متر بر ثانیه رو به بالا پرتاب شود، پس از ۲ ثانیه به اوج ۲۰ متری می‌رسد و پس از ۴ ثانیه با همان تندی به نقطهٔ پرتاب برمی‌گردد؛ در اوج هم شتاب برابر $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به پایین است.

میوه‌ها در بازی: با تحلیل فیلم یک بازی که میوه‌ها را بالا پرتاب می‌کند، می‌توان شتاب جاذبهٔ بازی را از $g_{\text{game}}=\frac{2h}{t^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست آورد. اگر این عدد کمتر از $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واقعی باشد، برای سازگاری با جاذبهٔ زمین باید اندازهٔ میوه‌ها به نسبت $\frac{g}{g_{\text{game}}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر از چیزی باشد که روی صفحه به نظر می‌رسد.

تشخیص نوع حرکت از جدول

برای بازه‌های هم‌طول، جابه‌جایی‌ها را حساب کن. اگر همه برابر باشند حرکت یکنواخت است (مثلاً ۲، ۳٫۵، ۵ و ۶٫۵ متر در ثانیه‌های پیاپی). اگر اختلاف جابه‌جایی‌های پیاپی ثابت باشد، شتاب ثابت است (مثلاً ۰، ۱، ۴ و ۹ متر که جابه‌جایی‌های ۱، ۳ و ۵ و شتاب ۲ دارد). نمودار ابزاری است که بدون گم شدن در انبوه داده‌ها، رفتار کلی حرکت را در یک نگاه نشان می‌دهد.

پرسش‌های تمرینی با پاسخ کوتاه

• خودرویی ۱۸۰ کیلومتر را در ۲٫۵ ساعت می‌پیماید. تندی متوسطش؟ ۷۲ کیلومتر بر ساعت، یعنی ۲۰ متر بر ثانیه.
• شیب نمودار مکان-زمان جسمی $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. یعنی چه؟ جسم با تندی ۳ متر بر ثانیه در جهت منفی حرکت می‌کند.
• خودرو در ۴ ثانیه از ۶ به ۲۲ متر بر ثانیه می‌رسد. شتاب و جابه‌جایی؟ شتاب ۴ و جابه‌جایی برابر سرعت متوسط ضرب در زمان: $\frac{6+22}{2}\times4=56$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.
• توپی از ۴۵ متری رها می‌شود ($g=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). کی و با چه تندی به زمین می‌رسد؟ پس از ۳ ثانیه و با تندی ۳۰ متر بر ثانیه.
• جسمی با ۳۰ متر بر ثانیه رو به بالا پرتاب می‌شود. ارتفاع اوج؟ $\frac{900}{20}=45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.
• دو خودرو با ۲۰ و ۳۰ متر بر ثانیه هم‌جهت‌اند و خودروی تندتر ۲۰۰ متر عقب است. کی به هم می‌رسند؟ با تندی نزدیک شدن ۱۰، پس از ۲۰ ثانیه.
• خودرویی با ۲۰ متر بر ثانیه با شتاب منفی ۲ ترمز می‌کند. مسافت توقف؟ $\frac{400}{4}=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.
• برای ثبت گلوله‌ای با تندی ۹۰۰ متر بر ثانیه در هر ۱۰ سانتی‌متر جابه‌جایی چند فریم در ثانیه لازم است؟ فاصلهٔ فریم‌ها باید حدود $10^{-4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثانیه باشد، یعنی حدود ده هزار فریم در ثانیه.

اشتباه‌های رایج

• مسافت و جابه‌جایی یکی نیستند؛ مکان به مبدأ وابسته است و جابه‌جایی نه.
• شیب نمودار مکان-زمان سرعت است و شیب نمودار سرعت-زمان شتاب.
• سرعت صفر به معنای شتاب صفر نیست.
• شتاب منفی همیشه به معنای کندشونده نیست؛ اگر سرعت هم منفی باشد، حرکت تندشونده است.
• مساحت زیر نمودار سرعت-زمان جابه‌جایی است، نه لزوماً مسافت.