آمار (انسانی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

داشبورد خودرو همهٔ جزئیات موتور را نشان نمی‌دهد؛ فقط چند معیار مهم مثل سرعت و دما را نمایش می‌دهد. شاخص آماری هم دقیقاً همین نقش را دارد: از میان اطلاعات فراوان، فقط معیارهای کلیدی و خلاصه را ارائه می‌کند. تلهٔ تستی: گزینه‌هایی که شاخص را به یک حوزهٔ خاص (مثل فیزیک) یا یک نوع نمودار خاص محدود می‌کنند، نادرستند — این مثال دربارهٔ خلاصه‌سازی است، نه محدودیتِ حوزه.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دادهٔ مرتب‌شده ۵تایی است، پس میانه همان دادهٔ سوم یعنی ۲۲۰۰ است؛ خط فقر بر پایهٔ نصف میانه برابر ۲۲۰۰/۲ = ۱۱۰۰ هزار تومان می‌شود. تلهٔ تستی: پیش از یافتن میانه، حتماً داده‌ها را مرتب کنید؛ اینجا داده‌ها از قبل مرتب‌اند اما در سؤال‌های مشابه اغلب به‌عمد نامرتب داده می‌شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دادهٔ مرتب‌شده ۶تایی (زوج) است؛ میانه برابر میانگین دو دادهٔ میانی (سوم و چهارم) یعنی (۲۰۰۰+۳۰۰۰)/۲ = ۲۵۰۰ می‌شود. تلهٔ تستی: برای تعداد زوج داده، میانه یک عدد از میان داده‌ها نیست، بلکه میانگین دو دادهٔ وسط است — این تفاوت با حالتِ فرد رایج‌ترین تلهٔ این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

این مجموعه ۷ داده (فرد) دارد؛ میانه دادهٔ چهارم یعنی ۱۶۰۰ است، پس خطِ فقر بر پایهٔ نصفِ میانه برابر ۱۶۰۰/۲ = ۸۰۰ می‌شود. وارسیِ مستقل: سه داده (۸۰۰، ۱۲۰۰، ۱۲۰۰) پیش از ۱۶۰۰ و سه داده (۲۴۰۰، ۳۲۰۰، ۴۰۰۰) پس از آن قرار دارند؛ تقارنِ سه‌به‌سه تأیید می‌کند که ۱۶۰۰ میانه است ✓. ردِ بقیه: «۶۰۰» از نصف‌کردنِ ۱۲۰۰ (دادهٔ سوم، که مُد است نه میانه) می‌آید. «۱۲۰۰» خودِ آن دادهٔ سوم است و اصلاً نصف نشده. «۱۶۰۰» خودِ میانه است؛ یعنی گامِ آخر (تقسیم بر ۲) فراموش شده. تلهٔ تستی: در دادهٔ فردتعداد، میانه یکی از خودِ داده‌هاست و نیازی به میانگین‌گیری ندارد؛ ولی مکانِ آن دادهٔ (n+۱)/۲ اُم است، یعنی اینجا چهارمی — نه سومی که در وسطِ نگاهِ سرسری به چشم می‌آید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

میانه دادهٔ سوم یعنی ۶ است، پس نصف میانه ۳ می‌شود؛ میانگین برابر (۲+۴+۶+۸+۲۰)/۵=۸ است، پس نصف میانگین ۴ می‌شود؛ در نتیجه نصف میانگین از نصف میانه بزرگ‌تر است. تلهٔ تستی: دادهٔ پرت (۲۰) فقط روی میانگین اثر زیادی می‌گذارد، نه روی میانه — این همان دلیلی است که این دو معیار در وجود دادهٔ پرت از هم فاصله می‌گیرند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

CPI=۱۷۵ یعنی هزینهٔ همان سبد نسبت به سال پایه ۱٫۷۵ برابر شده، یعنی سطح قیمت ۷۵ درصد (نه ۱۷۵ درصد) افزایش یافته است. تلهٔ تستی: نرخ تورم از تفاضل CPI و ۱۰۰ به دست می‌آید (۱۷۵-۱۰۰=۷۵٪)، نه از خودِ عدد CPI.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

فرمول استاندارد CPI برای چند کالا برابر است با: مجموع (قیمت جاری × مقدار پایه) تقسیم بر مجموع (قیمت پایه × مقدار پایه)، ضرب‌در ۱۰۰. تلهٔ تستی: در هر دو صورت و مخرج کسر باید از «مقدار مصرف سال پایه» استفاده شود، نه مقدار مصرف جاری — تغییر این مقدار، فرمول را کاملاً خراب می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نرخِ تورم یعنی «درصدِ تغییرِ شاخصِ قیمت نسبت به دورهٔ قبل»، پس مبنای درصدگیری همان CPI دورهٔ قبل است: نرخِ تورم = ((CPI جدید − CPI قبل)/CPI قبل)×۱۰۰ = ((۲۲۵−۱۸۰)/۱۸۰)×۱۰۰ = (۴۵/۱۸۰)×۱۰۰ = ۲۵ درصد. وارسیِ مستقل: اگر سطحِ قیمت‌ها ۲۵٪ رشد کند، CPI باید در ۱٫۲۵ ضرب شود؛ ۱۸۰×۱٫۲۵=۲۲۵ ✓ — دقیقاً همان عددِ صورتِ سؤال. ردِ بقیه: «۴۵ درصد» تفاضلِ خامِ دو شاخص (۲۲۵−۱۸۰) است و فقط وقتی نرخِ تورم می‌شود که شاخصِ دورهٔ قبل دقیقاً ۱۰۰ باشد — اینجا ۱۸۰ است، نه ۱۰۰. «۱۲۵ درصد» عددِ نسبتِ ۲۲۵/۱۸۰=۱٫۲۵ است که ضرب‌در ۱۰۰ شده ولی از آن یک واحد (۱۰۰٪ اولیه) کم نشده است. «۲۲۵ درصد» خودِ سطحِ شاخص است، نه مقدارِ تغییرِ آن. تلهٔ تستی: تفاضلِ CPI فقط در سالِ پایه (که CPI=۱۰۰ است) با نرخِ تورم یکی درمی‌آید؛ برای دو سالِ غیرپایه حتماً باید بر CPI سالِ قبل تقسیم کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نرخ تورم از تفاضل ۲۴۰ و ۱۰۰ به دست می‌آید، یعنی ۱۴۰ درصد. تلهٔ تستی: اشتباه رایج این است که خودِ عدد ۲۴۰ را به‌عنوان نرخ تورم گزارش کنند، در حالی‌که ۲۴۰ فقط سطح شاخص است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

قدرت خرید واقعی = ۵۰۰۰۰۰/(۱۲۵/۱۰۰) = ۵۰۰۰۰۰/۱٫۲۵ = ۴۰۰۰۰۰ تومان. تلهٔ تستی: باید بر CPI/۱۰۰ تقسیم کرد، نه بر خودِ CPI (۵۰۰۰۰۰/۱۲۵ عددی بی‌معنا و بسیار کوچک می‌دهد).