الگوهای خطی (انسانی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) متغیرِ مستقلِ $t$ در سراسرِ بازهٔ $[0,45]$ به‌طورِ پیوسته تغییر می‌کند، پس دامنه $[0,45]$ است. اما تابع در هیچ لحظه‌ای مقداری جز $1$، $2$ یا $3$ نمی‌گیرد، پس برد مجموعهٔ گسستهٔ $\{1,2,3\}$ است. گزینهٔ «دامنه $[0,45]$ و برد $\{1,2,3\}$ است» درست است. ب) وارسیِ مستقل: مقدارِ $f(1.7)$ تعریف‌شده است (برابرِ $1$)، پس $1.7$ در دامنه هست و دامنه نمی‌تواند $\{0,25,30,45\}$ یا $\mathbb{N}$ باشد — این دو گزینه مرزهایِ تغییرِ ضابطه را با خودِ دامنه اشتباه گرفته‌اند. از سویِ دیگر هیچ $t$ی وجود ندارد که $f(t)=2.5$ شود، پس بردِ $[1,3]$ هم رد می‌شود؛ گزینهٔ «دامنه $[0,45]$ و برد $[1,3]$ است» دقیقاً همین خطا را دارد و بازهٔ پیوسته را به‌جایِ مجموعهٔ سه‌عضوی نشانده است. ج) تلهٔ تستی: در توابعِ قطعه‌ای، دامنه از بازهٔ تعریفِ متغیرِ مستقل خوانده می‌شود، ولی برد فقط شاملِ مقادیرِ واقعاً گرفته‌شده است — نه هر عددِ بینِ کمینه و بیشینه.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) خودِ مقدارِ دارو در بدن در هر لحظه از زمان تغییر می‌کند (تابعِ اصلی رویِ $\mathbb{R}$ تعریف شده)، اما چون فقط هر ۱ ساعت یک‌بار اندازه‌گیری می‌شود، بررسیِ ما رویِ زمان‌های گسسته انجام می‌گیرد. گزینهٔ «تابع اصلی روی $\mathbb{R}$ تعریف شده ولی روی زمان‌های گسسته بررسی می‌شود» درست است. ب) گزینه‌هایی که هر دو (تابعِ اصلی و بررسی) را رویِ $\mathbb{N}$ یا هر دو را رویِ $\mathbb{R}$ می‌دانند، تفاوتِ بینِ «ماهیتِ واقعیِ پدیده» و «روشِ اندازه‌گیریِ ما از آن» را نادیده می‌گیرند. ج) تلهٔ تستی: سری زمانی دقیقاً همین حالت است — پدیده‌ای پیوسته که به‌دلیلِ محدودیتِ عملی، فقط در فاصله‌های گسسته نمونه‌برداری می‌شود؛ نباید تصور کرد که خودِ پدیده گسسته شده است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) دنباله طبقِ تعریف، تابعی از $\mathbb{N}$ به $\mathbb{R}$ است که جمله‌هایش به‌ترتیبِ اندیس بررسی می‌شوند؛ گزینهٔ «تابعی از $\mathbb{N}$ به $\mathbb{R}$ که به‌ترتیب بررسی می‌شود» دقیقاً همین تعریف را بیان می‌کند. ب) گزینه‌ای که دنباله را «تابعی پیوسته از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$» می‌داند، دامنه را اشتباه می‌گیرد؛ گزینه‌ای که فقط ضابطهٔ صریح را مجاز می‌داند، رابطهٔ بازگشتی را نادیده می‌گیرد؛ گزینه‌ای که دنباله را «نامرتب» می‌داند با ماهیتِ ترتیبیِ آن در تضاد است. ج) تلهٔ تستی: تفاوتِ کلیدیِ دنباله با تابعِ معمولی، دامنهٔ آن ($\mathbb{N}$ به‌جایِ $\mathbb{R}$) است؛ این باعث می‌شود نمودارش نقطه‌ای باشد نه پیوسته.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) رابطهٔ بازگشتیِ $a_{n+1}=a_n+5$ فقط تفاوتِ جمله‌های متوالی را می‌گوید، اما هیچ اطلاعی از نقطهٔ شروع (جملهٔ اول) نمی‌دهد؛ بی‌نهایت دنبالهٔ مختلف (با هر $a_1$ی دلخواه) می‌توانند در این رابطه صدق کنند. گزینهٔ «چون بدونِ $a_1$ بی‌نهایت دنباله ممکن است» درست است. ب) گزینه‌هایی که دلیل را در «ثابت‌نبودنِ اختلاف» یا «معتبربودن فقط برای $n$های زوج» جست‌وجو می‌کنند، اساساً محتوایِ رابطه را اشتباه می‌خوانند؛ چون اختلاف اینجا دقیقاً ثابت (۵) است. ج) تلهٔ تستی: رابطهٔ بازگشتی به‌تنهایی هرگز یک دنبالهٔ یکتا را مشخص نمی‌کند؛ همیشه باید جملهٔ اول (یا چند جملهٔ اولِ لازم برایِ دنباله‌هایِ بازگشتیِ مرتبهٔ بالاتر) هم داده شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) از رویِ نسبتِ جمله‌های متوالی ($9/3=3$، $27/9=3$)، رابطهٔ بازگشتیِ درست $a_{n+1}=3a_n$ با $a_1=3$ است. گزینهٔ «$a_{n+1}=3a_n,\ a_1=3$» درست است. ب) گزینه‌ای که $a_1=1$ می‌گیرد جملهٔ اولِ واقعی را اشتباه می‌نویسد؛ گزینه‌ای که $a_{n+1}=a_n+3$ می‌نویسد رابطهٔ ضربی را با جمعی اشتباه می‌گیرد؛ گزینهٔ $a_{n+1}=a_n^3$ رشدِ نمایی را با توانِ سوم اشتباه می‌گیرد. ج) تلهٔ تستی: برایِ دنبالهٔ هندسی، رابطهٔ بازگشتی همیشه ضربی است ($a_{n+1}=r\cdot a_n$)، نه جمعی؛ نسبتِ دو جملهٔ متوالی را همیشه چک کنید، نه اختلافشان.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) دنبالهٔ $1,2,4,8,16,\dots$ هر بار دو برابر می‌شود؛ ضابطهٔ صریحِ آن ضابطهٔ $a_n=2^{n-1}$ است (چک: $a_1=2^0=1$، $a_2=2^1=2$). گزینهٔ «ضابطهٔ $a_n=2^{n-1}$» درست است. ب) گزینهٔ ضابطهٔ $a_n=2^n$ یک جمله جلوتر می‌رود ($2^1=2\ne1$)؛ گزینه‌هایِ ضابطهٔ $a_n=n^2$ و ضابطهٔ $a_n=2n$ رشدِ نمایی را با چندجمله‌ای یا خطی اشتباه می‌گیرند. ج) تلهٔ تستی: در بررسیِ توانِ درستِ فرمولِ نمایی، همیشه با $n=1$ شروع کنید تا اختلافِ $2^n$ در برابرِ $2^{n-1}$ را زود تشخیص دهید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) طبقِ متنِ فصل، نسبتِ $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ در دنبالهٔ فیبوناچی به عددِ طلاییِ $\varphi\approx1.618$ میل می‌کند. گزینهٔ «نسبتِ $a_{n+1}/a_n$ به $1.618$ میل می‌کند» درست است. ب) با محاسبهٔ مستقیم، $a_6=8$ نه $13$ ($a_1..a_6=1,1,2,3,5,8$)؛ همهٔ جمله‌ها فرد نیستند ($a_3=2$ زوج است)؛ فیبوناچی حسابی نیست چون اختلافِ جمله‌هایش ثابت نیست. ج) تلهٔ تستی: فیبوناچی نه حسابی است نه هندسی، بلکه یک دنبالهٔ بازگشتیِ خاص با ویژگیِ همگرایی به عددِ طلایی است — این ویژگی یکی از پرتکرارترین نکاتِ کنکوریِ همین بخش است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) با محاسبهٔ گام‌به‌گام: $a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,a_7=13$. گزینهٔ «$13$» درست است. ب) گزینه‌های $8$، $21$ و $34$ به‌ترتیب یک جمله عقب‌تر یا جلوتر از پاسخِ درست‌اند و از شمردنِ نادرستِ تعدادِ جمله‌ها ناشی می‌شوند. ج) تلهٔ تستی: در محاسبهٔ دستیِ دنبالهٔ فیبوناچی، شمارشِ دقیقِ اندیس‌ها (که $a_1$ و $a_2$ هر دو برابرِ $1$اند) رایج‌ترین منبعِ خطایِ آف‌بای‌وان است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) چون دامنهٔ دنباله $\mathbb{N}$ است (نه یک بازه از $\mathbb{R}$)، فقط برایِ مقادیرِ صحیحِ $n$ نقطه داریم و بینِ این نقاط هیچ مقدارِ معتبری از دنباله وجود ندارد؛ پس نمودار باید نقطه‌ای (منفرد) رسم شود. گزینهٔ «چون دامنهٔ دنباله $\mathbb{N}$ است، نه بازه‌ای از $\mathbb{R}$» درست است. ب) صعودی‌بودنِ اغلبِ دنباله‌ها یا گسسته‌بودنِ برد، دلیلِ اصلیِ نقطه‌ای‌بودنِ نمودار نیستند (حتی دنبالهٔ نزولی یا با بردِ پیوسته هم نقطه‌ای رسم می‌شود)؛ بازگشتی‌بودنِ ضابطه هم ربطی به شکلِ نمودار ندارد. ج) تلهٔ تستی: دلیلِ نقطه‌ای‌بودنِ نمودار همیشه به دامنه (که $\mathbb{N}$ است) برمی‌گردد، نه به رفتار یا نوعِ ضابطهٔ دنباله.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

الف) دنبالهٔ $a_n=2n-1$ جمله‌های $1,3,5,7,\dots$ را می‌سازد که باید به‌صورتِ نقاطِ $(1,1),(2,3),(3,5),\dots$ روی یک خط (نه خودِ خط) نمایش داده شوند. گزینهٔ «نقاطِ $(1,1),(2,3),(3,5),\dots$ روی یک خط» درست است. ب) گزینهٔ خطِ پیوسته دامنهٔ $\mathbb{N}$ را نادیده می‌گیرد؛ گزینه‌های نمودارِ پله‌ای یا سهمی‌گونه اساساً با ماهیتِ خطیِ این دنباله (که تابعِ خطیِ متناظرش $y=2x-1$ است) نمی‌خوانند. ج) تلهٔ تستی: حتی وقتی جمله‌هایِ دنباله رویِ یک خطِ راست قرار می‌گیرند (چون دنباله حسابی است)، نمودار باز هم باید نقطه‌ای رسم شود، نه با پیوستنِ نقاط به یکدیگر.