دنباله حسابی و الگوهای خطی (ریاضی ۳)

مدل‌سازی و مفهوم دنباله

مدل ریاضی یعنی بیان یک پدیدهٔ واقعی با زبان ریاضی. دامنهٔ تابع را از ماهیت مسئله تشخیص می‌دهیم: کمیت‌های پیوسته (دما، سرعت) روی $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و کمیت‌های شمارشی یا مرحله‌ای (تعداد مسافر، شمارهٔ ایستگاه) روی $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف می‌شوند.

دنباله تابعی است با دامنهٔ $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با جملات $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو روش بیان دارد:

• ضابطهٔ تابعی: $a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقیماً برحسب $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مثلاً $a_n=3n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• رابطهٔ بازگشتی: هر جمله برحسب جملهٔ قبل، مثلاً $a_{n+1}=a_n+3،\ a_1=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — رابطهٔ بازگشتی بدون جملهٔ اول ناقص است.

نمودار دنباله فقط در نقاط $(n,a_n)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $n\in\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسم می‌شود — نقاط منفرد، نه خط پیوسته؛ گزینه‌ای با خط پیوسته همیشه غلط است.

مثال‌های بازگشتی معروف: مثلث خیام ($1,2,4,8,16,\dots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ضابطه $a_n=2^{n-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و دنبالهٔ فیبوناچی:

نسبت هر جمله به جملهٔ قبل به عدد طلایی $\varphi\approx1.618$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میل می‌کند.

دنبالهٔ حسابی

دنباله‌ای که از جملهٔ دوم به بعد، هر جمله از جملهٔ قبل به اندازهٔ یک عدد ثابت ($d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بیشتر یا کمتر باشد:

برای تشخیص، باید $a_{n+1}-a_n=d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای همهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت باشد.

جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاُم:

رابطهٔ بین دو جملهٔ دلخواه (بدون نیاز به $a_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

اگر $d>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دنباله صعودی، $d<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی، $d=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت است. هر دنبالهٔ حسابی نمونه‌گیری روی $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از یک تابع خطی است؛ $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقش شیب را دارد.

مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ اول (ایدهٔ گاوس):

وقتی $a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را داری از فرم اول، وقتی فقط $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را داری از فرم دوم استفاده کن.

قرار دادن $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد بین $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (حسابی):

تعداد کل جملات برابر $k+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مثال: با $a_1=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جملهٔ ۵۵۵ کدام است؟ $555=-5+(n-1)\cdot8 \Rightarrow n=71$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال (مجموع — عمق چاه‌های قنات): عمق‌ها $30,\ 29.5,\ 29,\dots,\ 1.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر هستند ($a_1=30,\ d=-0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، پس $n=\frac{1.5-30}{-0.5}+1=58$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و:

مجموع، هندسی مساحت یک ذوزنقه با قاعده‌های $a_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ارتفاع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — همین تفسیر، فرمول $S_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ملموس می‌کند.

نکات طلایی: مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد فرد اول $=n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد زوج اول $=n(n+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — این نتایج مستقیم از $S_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌آیند و در کنکور پرکاربردند. برای تشخیص سریع حسابی‌بودن یک رابطهٔ بازگشتی، فقط باید ضریب $a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر ۱ و اختلاف افزوده‌شده ثابت باشد — رابطه‌های ضربی (مثل $a_{n+1}=5a_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) هرگز حسابی نیستند.