دنباله هندسی و تابع نمایی (ریاضی ۳)

دنباله هندسی چیست؟

دنباله‌ای که هر جمله از جملهٔ قبل با ضرب در یک عدد ثابت به‌دست می‌آید:

• $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: جملهٔ اول ($a \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)
• $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: نسبت مشترک ($r \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)
• برای تشخیص هندسی بودن باید نسبت $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای همهٔ جفت‌های متوالی ثابت باشد — یک جفت کافی نیست.

جملهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاُم:

رابطهٔ بین دو جملهٔ دلخواه:

با این رابطه می‌توان $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا جملهٔ ناشناخته را بدون نیاز به $a_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیدا کرد.

رفتار دنباله بر اساس $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: برای $r>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a_1>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صعودی است؛ برای $0<r<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی (مثبت) است؛ برای $r<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی علامت‌ها یک‌درمیان مثبت/منفی می‌شوند؛ برای $r=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت است.

هر دنباله هندسی، نمونه‌گیری روی اعداد طبیعی از یک تابع نمایی است — دامنهٔ دنباله $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نمودارش نقاط منفرد است، در حالی که دامنهٔ تابع نمایی $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نمودارش منحنی پیوسته است.

مجموع $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ اول:

برای $r=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $S_n = n\cdot a_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. صورت فرمول همیشه $1-r^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (نه $r^n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) — علامت مخرج را با صورت هماهنگ نگه دار.

مجموع بی‌نهایت جملات (فراتر از کتاب): وقتی $|r|<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با بزرگ‌شدن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $r^n\to0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس:

با همین فرمول پارادوکس زنو حل می‌شود: مجموع بی‌نهایت گام می‌تواند در زمانی متناهی طی شود؛ یعنی به مقصد می‌رسید.

کاربردهای کلیدی:

• نیمه‌عمر دارو: $a_n = A\cdot(1/2)^{n-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مقدار هرگز دقیقاً صفر نمی‌شود، فقط به آن میل می‌کند.
• انباشت دارو با مصرف دوره‌ای: مجموع هندسی مصرف‌های پیاپی به یک مقدار اشباع ($S_\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) میل می‌کند.
• استهلاک دارایی: $v_n = v_0\times(1-\text{نرخ})^{n-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — بیشترین افت ارزش در سال اول اتفاق می‌افتد.

واسطهٔ هندسی: $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واسطهٔ هندسی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر $a,b,c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متوالی دنباله هندسی باشند:

واسطهٔ هندسی با ضرب و واسطهٔ حسابی با جمع تعریف می‌شود — این دو را با هم اشتباه نگیر.

مثال حل‌شده: جملهٔ سوم دنباله‌ای ۲۷ و جملهٔ هفتم آن $\tfrac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. جملهٔ اول و جملهٔ پنجم را بیاب.

ریشهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاُم و توان گویا

برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، دو ریشه ($+\sqrt[n]{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\sqrt[n]{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) داریم؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد، ریشه یکتاست. برای $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، ریشه در اعداد حقیقی وجود ندارد؛ برای $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد، ریشه یکتا و منفی است.

رایج‌ترین اشتباه کنکور نوشتن $\sqrt{a^2}=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای $|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — مثال: $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. وقتی سؤال از «ریشه‌های» یک عدد (به‌صورت جمع) می‌پرسد، برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج هر دو جواب مثبت و منفی را بنویس؛ مثلاً ریشه‌های دوم $16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند.

تعریف توان گویا (برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

معمولاً فرم دوم (اول ریشه، بعد توان) راحت‌تر است؛ مثلاً $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تمام قوانین توان صحیح ($a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(a^m)^n=a^{mn}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مشابه) برای توان گویا هم برقرارند، فقط پایه باید مثبت حقیقی باشد — برای پایهٔ منفی، عبارت فقط وقتی معنادار است که مخرج توان فرد باشد.

توان گویا پل ارتباطی بین ریشه‌گیری و توان است و در رشد باکتری، سرمایه‌گذاری و نیمه‌عمر با زمان کسری کاربرد دارد؛ مثلاً جرم باکتری‌ای که هر ساعت دو برابر می‌شود، در نیم ساعت با $m(t)=2^t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $2^{1/2}=\sqrt2\approx1.41$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر می‌شود.

تبدیل رادیکالی ↔ توانی:

تابع نمایی

دامنه: $\mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برد: $(0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مقدار تابع هرگز صفر یا منفی نمی‌شود. تفاوت آن با تابع توانی ($f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) این است که در تابع نمایی متغیر در توان قرار دارد.

برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع افزایشی (رشد نمایی) و برای $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع کاهشی (زوال نمایی) است. نمودار همیشه از نقطهٔ $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد (چون $a^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و هرگز محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را قطع نمی‌کند (مجانب افقی $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

فرمول رشد/زوال کاربردی:

که $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار اولیه، $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نرخ و $t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زمان است. نیمه‌عمر یک حالت خاص زوال نمایی با پایهٔ $\tfrac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $f(t)=c\cdot(1/2)^{t/T_{1/2}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری کلیدی:

• یک‌به‌یکی: اگر $a^x=a^y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $x=y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (پایه‌های یکسان).
• اگر $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a^x>a^y \iff x>y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (صعودی). اگر $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a^x>a^y \iff x<y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نزولی — اشتباه رایج!).
• در معادلات $a^x=$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییعدد منفی، جواب وجود ندارد چون برد همیشه مثبت است.
• معادلات نمایی ساده با هم‌پایه‌سازی حل می‌شوند: $2^{x+1}=8=2^3 \Rightarrow x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانون ۷۲: برای تخمین سریع زمان دو برابر شدن سرمایه با نرخ رشد $r\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $t\approx\dfrac{72}{r\%}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً با $r=10\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $t\approx7.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سال.

مثال حل‌شده (زوال): جمعیتی ۴۰ میلیون نفری با کاهش سالانهٔ ۱٪، پس از ۱۸ سال:

هر دنباله هندسی وقتی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از طبیعی به حقیقی گسترش یابد، تبدیل به تابع نمایی می‌شود — بزرگ‌ترین ارتباط مفهومی بین این دو درس.