شمارش: اصل جمع و اصل ضرب
اصل جمع: اگر دو عمل ناسازگار (همزمان قابل انجام نباشند) وجود داشته باشند که اولی به طریق و دومی به طریق انجام شود:
کلیدواژهٔ اصل جمع، «یا» است.
اصل ضرب: اگر عملی در دو مرحله انجام شود، مرحلهٔ اول به طریق و مرحلهٔ دوم (بهازای هر حالت اول) به طریق:
کلیدواژهٔ اصل ضرب، «و» است — وقتی مراحل پشتسرهماند، ضرب میکنی.
فاکتوریل: ، با . در سادهسازی کسرها، فاکتوریل کوچکتر را از بزرگتر بیرون بکش: .
جایگشت و ترکیب
جایگشت کامل شیء متمایز برابر است.
جایگشت ناقص — انتخاب شیء از شیء با در نظر گرفتن ترتیب:
ترکیب — انتخاب شیء از شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب:
با رابطهٔ مهم .
تشخیص سریع: اگر ترتیب مهم است (چیدن، رمز، عدد چندرقمی) ← جایگشت؛ اگر ترتیب مهم نیست (تیم، کمیته، انتخاب) ← ترکیب.
مثال: انتخاب ۳ کتاب از ۷ کتاب برای هدیه (ترتیب مهم نیست):
در مسائل اعداد با شرط، همیشه از شرطدارترین رقم (یکان یا رقم اول) شروع کن؛ برای اعداد ۵رقمی بدون تکرار از ارقام ، رقم اول نمیتواند صفر باشد: عدد.
کاربردهای متنی: تعداد بازیهای لیگ (رفت و برگشت) ؛ تعداد وترهای دایره با نقطه ؛ تعداد مثلثها (بدون سه نقطهٔ همخط) .
احتمال
آزمایش تصادفی: آزمایشی که نتیجهاش از پیش مشخص نیست، اما مجموعهٔ همهٔ نتایج ممکن (فضای نمونه ) را میدانیم؛ هر نتیجهٔ ممکن را برآمد مینامند. برای شمارش از اصل ضرب استفاده کن، نیازی به نوشتن تکتک برآمدها نیست — مثلاً برای پرتاب همزمان یک تاس و یک سکه، .
پیشامد: هر زیرمجموعه از ؛ پیشامد رخ میدهد اگر حتی یکی از برآمدهای آن واقع شود. پیشامدهای ناسازگاراند اگر — توجه کن که ناسازگار با متمم فرق دارد: دو پیشامد متمم هم ناسازگارند و اجتماعشان است، اما دو پیشامد ناسازگار لزوماً متمم هم نیستند.
احتمال کلاسیک (فضای متناهی و متقارن):
قانون جمع:
که برای پیشامدهای ناسازگار به ساده میشود.
احتمال متمم: هر وقت عبارت «حداقل یک»، «حداقل دو» یا «حداکثر» دیدی، معمولاً حل با متمم سریعتر است: . مثال: احتمال اینکه در پرتاب ۳ سکه حداقل یک «رو» بیاید:
توزیع مجموع دو تاس: مجموع از ۲ تا ۱۲ متغیر است و . مجموع ۷ بیشترین احتمال () و مجموع ۲ و ۱۲ کمترین احتمال () را دارند.
مثال جامع: از ۴ پیراهن قرمز، ۴ آبی، ۲ زرد؛ ۳ پیراهن بهتصادف انتخاب میشود (). احتمال هر سه یک رنگ:
احتمال حداکثر ۲ آبی (= متمم «هر سه آبی»):
چرخهٔ آمار در حل مسائل
حل یک مسئلهٔ آماری خطی نیست؛ پس از پاسخ به پرسش اصلی، اغلب مسئلهٔ دقیقتری شکل میگیرد — به همین دلیل آن را چرخه مینامند و شامل پنج گام است:
- بیان مسئله: باید محدود، دقیق و شفاف باشد (جامعهٔ آماری، متغیر، هدف مشخص).
- طرح و برنامهریزی: دو تصمیم اساسی دارد — شیوهٔ اندازهگیری (تبدیل اطلاعات کیفی به کمّی؛ برخی متغیرها مثل «هوش» یا «خوشحالی» بدون متخصص بهدرستی سنجیده نمیشوند) و شیوهٔ نمونهگیری. هرچه پراکندگی متغیر در جامعه بیشتر باشد، نمونهٔ بزرگتری لازم است. نمونهٔ داوطلبانه یا مراجعه به مکانهای خاص همیشه تورش ایجاد میکند و نمونه نمایندهٔ واقعی جامعه نخواهد بود — مثلاً پرسش فقط در ساعات اداری، شاغلان را حذف میکند.
- گردآوری و پاکسازی دادهها: رفع خطای تایپی، حذف دادههای غیرممکن، رعایت محرمانگی.
- تحلیل دادهها: بدون دادهٔ دورافتاده ← میانگین و انحراف معیار؛ با دادهٔ دورافتاده ← میانه و . نمودار جعبهای مطمئنترین نمودار برای دادههای نامعلومالتوزیع است.
- بحث و نتیجهگیری: تفسیر نتایج، تعمیم به جامعه (فقط همان جامعهای که نمونه از آن گرفته شده)، و نقد محدودیتها.
مثال کلیدی: مدرسهای با قبولی از ۱ به ۳ نفر رشد ۲۰۰٪ دارد، مدرسهٔ دیگر از ۷۰ به ۸۴ نفر فقط ۲۰٪ رشد دارد — اما ۱۴ نفر بیشتر قبول کرده! درصد بدون تعداد مطلق، گمراهکننده است.
خطای رایج در تفسیر: مقایسهٔ تعداد مطلق تصادف در سرعتهای مختلف بدون توجه به تعداد خودروهای هر بازه، نتیجهگیری غلط میسازد — باید نسبتها را سنجید، نه فقط شمارش خام.