شمارش، ترکیب و احتمال (ریاضی ۳)

شمارش: اصل جمع و اصل ضرب

اصل جمع: اگر دو عمل ناسازگار (هم‌زمان قابل انجام نباشند) وجود داشته باشند که اولی به $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طریق و دومی به $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طریق انجام شود:

کلیدواژهٔ اصل جمع، «یا» است.

اصل ضرب: اگر عملی در دو مرحله انجام شود، مرحلهٔ اول به $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طریق و مرحلهٔ دوم (به‌ازای هر حالت اول) به $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طریق:

کلیدواژهٔ اصل ضرب، «و» است — وقتی مراحل پشت‌سرهم‌اند، ضرب می‌کنی.

فاکتوریل: $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با $0!=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در ساده‌سازی کسرها، فاکتوریل کوچک‌تر را از بزرگ‌تر بیرون بکش: $\dfrac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)\cdots(n-r+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جایگشت و ترکیب

جایگشت کامل $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیء متمایز برابر $n!$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

جایگشت ناقص — انتخاب $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیء از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیء با در نظر گرفتن ترتیب:

ترکیب — انتخاب $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیء از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب:

با رابطهٔ مهم $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تشخیص سریع: اگر ترتیب مهم است (چیدن، رمز، عدد چندرقمی) ← جایگشت؛ اگر ترتیب مهم نیست (تیم، کمیته، انتخاب) ← ترکیب.

مثال: انتخاب ۳ کتاب از ۷ کتاب برای هدیه (ترتیب مهم نیست):

در مسائل اعداد با شرط، همیشه از شرط‌دارترین رقم (یکان یا رقم اول) شروع کن؛ برای اعداد ۵رقمی بدون تکرار از ارقام $\{0,\dots,5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رقم اول نمی‌تواند صفر باشد: $5\times5\times4\times3\times2=600$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد.

کاربردهای متنی: تعداد بازی‌های لیگ (رفت و برگشت) $=n(n-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ تعداد وترهای دایره با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه $=\binom{n}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ تعداد مثلث‌ها (بدون سه نقطهٔ هم‌خط) $=\binom{n}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

احتمال

آزمایش تصادفی: آزمایشی که نتیجه‌اش از پیش مشخص نیست، اما مجموعهٔ همهٔ نتایج ممکن (فضای نمونه $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را می‌دانیم؛ هر نتیجهٔ ممکن را برآمد می‌نامند. برای شمارش $|S|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از اصل ضرب استفاده کن، نیازی به نوشتن تک‌تک برآمدها نیست — مثلاً برای پرتاب هم‌زمان یک تاس و یک سکه، $|S|=6\times2=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پیشامد: هر زیرمجموعه از $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پیشامد رخ می‌دهد اگر حتی یکی از برآمدهای آن واقع شود. پیشامدهای $A,B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ناسازگاراند اگر $A\cap B=\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — توجه کن که ناسازگار با متمم فرق دارد: دو پیشامد متمم هم ناسازگارند و اجتماع‌شان $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، اما دو پیشامد ناسازگار لزوماً متمم هم نیستند.

احتمال کلاسیک (فضای متناهی و متقارن):

قانون جمع:

که برای پیشامدهای ناسازگار به $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساده می‌شود.

احتمال متمم: هر وقت عبارت «حداقل یک»، «حداقل دو» یا «حداکثر» دیدی، معمولاً حل با متمم سریع‌تر است: $P(A)=1-P(A')$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: احتمال اینکه در پرتاب ۳ سکه حداقل یک «رو» بیاید:

توزیع مجموع دو تاس: مجموع از ۲ تا ۱۲ متغیر است و $P(\text{مجموع}=k)=\dfrac{\text{تعداد حالات}}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مجموع ۷ بیشترین احتمال ($\tfrac{6}{36}=\tfrac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و مجموع ۲ و ۱۲ کمترین احتمال ($\tfrac{1}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را دارند.

مثال جامع: از ۴ پیراهن قرمز، ۴ آبی، ۲ زرد؛ ۳ پیراهن به‌تصادف انتخاب می‌شود ($n(S)=\binom{10}{3}=120$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). احتمال هر سه یک رنگ:

احتمال حداکثر ۲ آبی (= متمم «هر سه آبی»):

چرخهٔ آمار در حل مسائل

حل یک مسئلهٔ آماری خطی نیست؛ پس از پاسخ به پرسش اصلی، اغلب مسئلهٔ دقیق‌تری شکل می‌گیرد — به همین دلیل آن را چرخه می‌نامند و شامل پنج گام است:

1. بیان مسئله: باید محدود، دقیق و شفاف باشد (جامعهٔ آماری، متغیر، هدف مشخص).
2. طرح و برنامه‌ریزی: دو تصمیم اساسی دارد — شیوهٔ اندازه‌گیری (تبدیل اطلاعات کیفی به کمّی؛ برخی متغیرها مثل «هوش» یا «خوشحالی» بدون متخصص به‌درستی سنجیده نمی‌شوند) و شیوهٔ نمونه‌گیری. هرچه پراکندگی متغیر در جامعه بیشتر باشد، نمونهٔ بزرگ‌تری لازم است. نمونهٔ داوطلبانه یا مراجعه به مکان‌های خاص همیشه تورش ایجاد می‌کند و نمونه نمایندهٔ واقعی جامعه نخواهد بود — مثلاً پرسش فقط در ساعات اداری، شاغلان را حذف می‌کند.
3. گردآوری و پاک‌سازی داده‌ها: رفع خطای تایپی، حذف داده‌های غیرممکن، رعایت محرمانگی.
4. تحلیل داده‌ها: بدون دادهٔ دورافتاده ← میانگین و انحراف معیار؛ با دادهٔ دورافتاده ← میانه و $IQR$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نمودار جعبه‌ای مطمئن‌ترین نمودار برای داده‌های نامعلوم‌التوزیع است.
5. بحث و نتیجه‌گیری: تفسیر نتایج، تعمیم به جامعه (فقط همان جامعه‌ای که نمونه از آن گرفته شده)، و نقد محدودیت‌ها.

مثال کلیدی: مدرسه‌ای با قبولی از ۱ به ۳ نفر رشد ۲۰۰٪ دارد، مدرسهٔ دیگر از ۷۰ به ۸۴ نفر فقط ۲۰٪ رشد دارد — اما ۱۴ نفر بیشتر قبول کرده! درصد بدون تعداد مطلق، گمراه‌کننده است.

خطای رایج در تفسیر: مقایسهٔ تعداد مطلق تصادف در سرعت‌های مختلف بدون توجه به تعداد خودروهای هر بازه، نتیجه‌گیری غلط می‌سازد — باید نسبت‌ها را سنجید، نه فقط شمارش خام.