میانگین و پراکندگی داده‌ها (آمار ۱)

مفاهیم پایهٔ آمار

آمار = مطالعهٔ گردآوری، سازمان‌دهی، تحلیل و تفسیر داده‌ها برای تصمیم‌گیری در شرایط عدم قطعیت.

متغیر یا کمّی (عددی، قابل محاسبه؛ مثل وزن، نمره) است یا کیفی (دسته‌بندی؛ مثل جنسیت، رشته) — کد دانش‌آموزی عدد است اما متغیر کیفی است چون جمع/تفریقش معنا ندارد.

پارامتر عددی است که جامعه را توصیف می‌کند (ثابت ولی اغلب ناشناخته)؛ آماره عددی است که نمونه را توصیف می‌کند (از نمونه به نمونه تغییر می‌کند). چون اندازه‌گیری پارامتر معمولاً غیرممکن یا گران است، از آماره برای تخمین آن استفاده می‌شود.

روش‌های گردآوری داده: مشاهده (شمارش ترافیک، وزن محصول)، پرسش‌نامه (نظرسنجی گسترده)، مصاحبه (موضوعات پیچیده)، دادگان (اطلاعات ثبت‌شدهٔ موجود). سرشماری یعنی بررسی همهٔ جامعه؛ به‌دلیل هزینه، زمان‌بر بودن و غیرممکن‌بودن در بررسی‌های مخرب (مثل تست کیفیت محصول)، معمولاً از نمونه استفاده می‌شود.

مقیاس‌های اندازه‌گیری: اسمی (فقط نام‌گذاری) و ترتیبی (قابل مرتب‌کردن) هر دو کیفیاند؛ فاصله‌ای (صفر قراردادی، مثل دما) و نسبتی (صفر واقعی، مثل وزن) هر دو کمّیاند. تفاوت کلیدی: در مقیاس نسبتی می‌توان گفت «دو برابر» (وزن ۸۰ دو برابر ۴۰ است) اما در فاصله‌ای نه (نمی‌توان گفت ۲۰ درجه دو برابر ۱۰ درجه گرم‌تر است).

معیارهای گرایش به مرکز

میانگین: $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — به دادهٔ دورافتاده بسیار حساس است. مثال: در درآمدهای ۱۲، ۲۲، ۲۵، ۲۸، ۳۰، ۳۲، ۴۰ (میلیون ریال)، میانگین ۲۷ است؛ با ورود یک میلیاردر با درآمد ۱۰۰۰، میانگین به حدود ۱۴۸ می‌رسد — عددی کاملاً غیرواقعی.

میانه: دادهٔ وسطی پس از مرتب‌سازی؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد، جایگاه $\tfrac{n+1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، میانگین دو دادهٔ میانی. میانه به دورافتاده مقاوم است.

مُد: پرتکرارترین داده؛ ممکن است چند مُد یا هیچ مُد وجود نداشته باشد؛ برای داده‌های کیفی تنها معیار قابل‌استفاده است.

کِی از کدام؟ داده‌های عادی ← میانگین؛ وجود دورافتاده ← میانه؛ داده‌های کیفی ← مُد. استثنا: در بودجه‌ریزی حتی با وجود دورافتاده باید از میانگین استفاده کرد (مثال: هزینهٔ جراحی با میانگین ۵۳ و میانهٔ ۳۲.۵ میلیون ریال — بودجه باید بر مبنای میانگین بسته شود، وگرنه کسری می‌آید).

میانگین موزون: $\bar{x}_w=\dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — معدل کارنامه با واحدهای درسی مختلف نمونهٔ آن است.

معیارهای پراکندگی

دو مجموعه می‌توانند میانگین یکسان اما پراکندگی کاملاً متفاوت داشته باشند — پس میانگین به‌تنهایی کافی نیست.

انحراف معیار:

اگر همهٔ داده‌ها برابر باشند، $\sigma=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. واریانس ($\sigma^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) مربع انحراف معیار است.

قانون منحنی نرمال (۶۸-۹۶-۹۹.۷): حدود ۶۸٪ داده‌ها در بازهٔ یک انحراف معیار، ۹۶٪ در دو انحراف معیار و ۹۹.۷٪ در سه انحراف معیار از میانگین قرار دارند.

دامنهٔ میان‌چارکی: وقتی دادهٔ دورافتاده داریم، انحراف معیار مثل میانگین گمراه‌کننده می‌شود؛ به‌جایش:

که $Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانهٔ نیمهٔ پایینی و $Q_3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میانهٔ نیمهٔ بالایی داده‌هاست؛ دقیقاً ۵۰٪ داده‌ها بین $Q_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Q_3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارند.

جدول تصمیم نهایی:

ضریب تغییرات (فراتر از کتاب): وقتی دو مجموعه واحد یا میانگین متفاوت دارند، انحراف معیار به‌تنهایی قابل مقایسه نیست:

مثلاً کلاسی با $\bar{x}=50,\sigma=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان پراکندگی نسبی کلاسی با $\bar{x}=100,\sigma=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را دارد (هر دو $CV=20\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).