کار با داده های آماری (انسانی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

میانهٔ داده‌های اولیه ($n=7$) دادهٔ چهارم یعنی $28$ است. با افزودنِ $1000$ تعداد به $8$ می‌رسد و میانه میانگینِ دادهٔ چهارم و پنجم می‌شود: $\frac{28+30}{2}=29$؛ یعنی فقط $1$ واحد تغییر. وارسیِ مستقل: میانگین از $\frac{189}{7}=27$ به $\frac{1189}{8}=148.625$ می‌پرد — بیش از $120$ واحد تغییر؛ پس میانه آشکارا کم‌تغییرترین است. «میانگین» رد می‌شود چون دقیقاً همان محاسبهٔ بالا نشان داد بیش از $120$ واحد جابه‌جا می‌شود؛ میانگین **مقدارِ** هر داده را وارد فرمول می‌کند، پس یک دادهٔ غول‌پیکر آن را می‌کشد. «واریانس» رد می‌شود چون اختلافِ داده‌ها از میانگین را هم مجذور می‌کند و در نتیجه از میانگین هم به دورافتاده حساس‌تر است. «میانگین موزون» رد می‌شود چون آن هم مانندِ میانگینِ ساده مقدارِ هر داده را (این‌بار با ضریب) در محاسبه وارد می‌کند و به دادهٔ $1000$ حساس است؛ ضمناً در این سؤال اصلاً وزنی تعریف نشده. تلهٔ تستی: میانه و چارک‌ها فقط به **رتبهٔ** داده‌ها نگاه می‌کنند نه مقدارشان؛ به همین دلیل چه دادهٔ افزوده $1000$ باشد چه یک میلیون، اثرش روی میانه یکسان و ناچیز است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

میانگین از مجموعِ **مقادیرِ** داده‌ها ساخته می‌شود، پس ورودِ یک عددِ بسیار بزرگ مستقیماً مجموع را بالا می‌برد و میانگین را به سمتِ خود می‌کشد؛ بیشترین آسیب به میانگین می‌رسد. وارسیِ مستقل: در مجموعهٔ $1,2,3$ میانگین $2$ و میانه $2$ است؛ با افزودنِ $1000$ میانگین به $\frac{1006}{4}=251.5$ می‌پرد ولی میانه فقط از $2$ به $2.5$ می‌رود. «مد» رد می‌شود چون مد پرتکرارترین مقدار است و یک دادهٔ **تک** هرچقدر بزرگ باشد فراوانیِ $1$ دارد و مد را عوض نمی‌کند. «میانه» رد می‌شود چون بر پایهٔ رتبه است و دادهٔ بزرگ فقط یک رتبه در انتهای فهرست اشغال می‌کند. «چارک دوم» رد می‌شود چون $Q_2$ نامِ دیگرِ همان میانه است و دقیقاً به همان دلیل مقاوم می‌ماند. تلهٔ تستی: معیارهای مبتنی بر مقدار (میانگین، واریانس، انحراف‌معیار) به دورافتاده حساس‌اند و معیارهای مبتنی بر رتبه (میانه، چارک، $IQR$) مقاوم؛ «چارکِ دوم» همان میانه است و نباید معیارِ جداگانه پنداشته شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نمرهٔ آخر ($17$) ضریبِ $3$ دارد و سه نمرهٔ دیگر ضریبِ $1$. صورتِ کسر مجموعِ (ضریب × نمره) است: $16+15+18+3\times17=16+15+18+51=100$؛ مخرج مجموعِ ضریب‌هاست: $1+1+1+3=6$. پس میانگینِ موزون $=\dfrac{100}{6}\approx16.67$. وارسیِ مستقل: میانگینِ سادهٔ چهار نمره $\frac{66}{4}=16.5$ است؛ چون نمرهٔ $17$ (بالاتر از $16.5$) وزنِ بیشتری گرفته، جواب باید کمی بالاتر از $16.5$ و کمتر از $17$ باشد — و $16.67$ دقیقاً در همین بازه است. «$16.17$» رد می‌شود چون از تقسیمِ $97$ (جاافتادنِ یکی از سهم‌ها) بر $6$ می‌آید. «$16.50$» رد می‌شود چون همان میانگینِ سادهٔ بدونِ وزن است. «$17.25$» رد می‌شود چون از تقسیمِ $\frac{100}{4}$ یعنی استفاده از تعدادِ نمرات به‌جایِ مجموعِ ضریب‌ها در مخرج نتیجه می‌شود. تلهٔ تستی: مخرجِ میانگینِ موزون مجموعِ **وزن‌ها** ($6$) است، نه تعدادِ داده‌ها ($4$).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مجموعِ هر شش داده برابرِ $\bar{x}\times n=15\times6=90$ است. مجموعِ پنج دادهٔ اول $68$ داده شده، پس دادهٔ ششم $=90-68=22$. وارسیِ مستقل: با افزودنِ $22$ به $68$ مجموع $90$ می‌شود و $90\div6=15$ — همان میانگینِ صورتِ سؤال. «$20$» رد می‌شود چون مجموع را به $88$ می‌رساند و میانگین $\frac{88}{6}\approx14.67$ می‌شود، نه $15$. «$21$» رد می‌شود چون مجموع $89$ و میانگین $\approx14.83$ می‌شود. «$23$» رد می‌شود چون مجموع $91$ و میانگین $\approx15.17$ می‌شود. تلهٔ تستی: ابتدا باید مجموعِ کل را از میانگین بازسازی کرد ($15\times6$) و بعد تفریق کرد؛ تقسیمِ مستقیمِ $68$ بر $5$ و مقایسه با $15$ مسیرِ اشتباهی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

وقتی داده‌ها عادی‌اند و دورافتاده ندارند، هیچ‌چیز میانگین را نمی‌کشد و انحراف‌معیار هم گمراه نمی‌شود؛ در این حالت این دو معیار بهترین‌اند چون از **همهٔ** داده‌ها استفاده می‌کنند و اطلاعاتِ بیشتری نسبت به معیارهای رتبه‌ای در خود دارند. وارسیِ مستقل: در داده‌های $10,12,14,16,18$ میانگین ($14$) و میانه ($14$) یکی‌اند، پس میانه هیچ مزیتی ندارد درحالی‌که میانگین مجموعِ واقعی را هم نگه می‌دارد. «میانه و $IQR$» رد می‌شود چون این جفت برای حالتِ **دارایِ دورافتاده** توصیه می‌شود؛ در دادهٔ عادی به بهایِ مقاومتِ غیرِلازم، بخشی از اطلاعاتِ داده‌ها را دور می‌ریزد. «مد و برد» رد می‌شود چون مد برای دادهٔ کمّیِ پیوسته اغلب بی‌معناست و برد فقط به دو دادهٔ انتهایی نگاه می‌کند و ناپایدارترین معیارِ پراکندگی است. «چارک اول و سوم» رد می‌شود چون این دو **مکان‌نما** هستند نه یک جفتِ «مرکز + پراکندگی»؛ سؤال یک معیارِ مرکز و یک معیارِ پراکندگی می‌خواهد. تلهٔ تستی: قاعده دو شاخه دارد — دادهٔ عادی ⟵ میانگین و انحراف‌معیار؛ دادهٔ دارایِ دورافتاده ⟵ میانه و $IQR$. برعکس‌کردنِ این دو شاخه رایج‌ترین خطای این مبحث است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نمرهٔ استاندارد از رابطهٔ $z=\dfrac{x-\bar{x}}{\sigma}$ به دست می‌آید. «کم‌تر بودنِ داده از میانگین به‌اندازهٔ $2\sigma$» یعنی $x-\bar{x}=-2\sigma$، پس $z=\dfrac{-2\sigma}{\sigma}=-2$. وارسیِ مستقل: با اعدادِ نمونه، اگر $\bar{x}=50$ و $\sigma=5$ باشد، دادهٔ موردنظر $50-10=40$ است و $z=\frac{40-50}{5}=-2$ — مستقل از مقدارِ $\bar{x}$ و $\sigma$ همان $-2$ می‌شود. «$-1$» رد می‌شود چون متناظرِ فاصلهٔ یک انحراف‌معیاری زیرِ میانگین است، نه دو. «$1$» رد می‌شود چون هم اندازه‌اش اشتباه است و هم علامتش (یک انحراف‌معیار **بالایِ** میانگین). «$2$» رد می‌شود چون اندازهٔ درست ولی علامتِ برعکس دارد؛ داده‌ای که زیرِ میانگین است حتماً $z$ منفی دارد. تلهٔ تستی: علامتِ $z$ جهتِ داده نسبت به میانگین را نشان می‌دهد — منفی یعنی زیرِ میانگین؛ حذفِ علامت شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای مقایسهٔ پراکندگیِ **نسبی** باید ضریبِ تغییرات ($CV=\sigma/\bar{x}$) را سنجید: $CV_1=\dfrac{10}{50}=0.2$ و $CV_2=\dfrac{20}{100}=0.2$. چون این دو دقیقاً برابرند، پراکندگیِ نسبیِ دو کلاس یکسان است. وارسیِ مستقل: کلاسِ دوم هم میانگین و هم انحراف‌معیارش دقیقاً دو برابرِ کلاسِ اول است؛ چنین مقیاس‌گذاریِ یکنواختی نسبت را تغییر نمی‌دهد، پس $CV$ باید ثابت بماند. «پراکندگی نسبی کلاس دوم بیش‌تر است» رد می‌شود چون فقط انحراف‌معیارِ خامِ بزرگ‌ترِ آن ($20$ در برابرِ $10$) را می‌بیند و میانگینِ دو برابرش را نادیده می‌گیرد. «پراکندگی نسبی کلاس اول بیش‌تر است» رد می‌شود چون محاسبه دقیقاً برابری را نشان داد و هیچ برتری‌ای برای کلاسِ اول وجود ندارد. «بدون دانستن میانه نمی‌توان مقایسه کرد» رد می‌شود چون فرمولِ $CV$ فقط به میانگین و انحراف‌معیار نیاز دارد و میانه اصلاً در آن ظاهر نمی‌شود. تلهٔ تستی: انحراف‌معیارِ بزرگ‌تر لزوماً پراکندگیِ نسبیِ بیشتر نیست؛ هرگاه میانگینِ دو مجموعه متفاوت باشد، مقایسهٔ مستقیمِ $\sigma$ بی‌اعتبار است و باید به $CV$ رجوع کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

آمارِ توصیفی یعنی خلاصه‌کردن و توصیفِ همان داده‌های در دست؛ ابزارهای آن هم معیارهای مرکز (میانگین، میانه، مد) و هم معیارهای پراکندگی (انحراف‌معیار، $IQR$) و هم جدول و نمودار را در بر می‌گیرد. وارسیِ مستقل: هیچ‌یک از این معیارها ادعایی دربارهٔ جامعهٔ بیرون از داده‌ها نمی‌کند، پس همگی در قلمروِ توصیفی می‌مانند؛ همین مرزِ «تعمیم‌ندادن» است که توصیفی را از استنباطی جدا می‌کند. «فقط میانگین را شامل می‌شود» رد می‌شود چون میانگین تنها یکی از چند معیارِ توصیفی است و به‌تنهایی حتی پراکندگی را نشان نمی‌دهد. «به استنباط درباره جامعه محدود است» رد می‌شود چون این دقیقاً تعریفِ آمارِ **استنباطی** است، یعنی شاخهٔ مقابلِ توصیفی. «فقط برای داده‌های کیفی به‌کار می‌رود» رد می‌شود چون بیشترِ ابزارهای توصیفی (میانگین، واریانس، چارک) اساساً برای دادهٔ کمّی تعریف شده‌اند. تلهٔ تستی: ملاکِ تشخیصِ توصیفی/استنباطی «تعمیم‌یافتن یا نیافتنِ نتیجه به جامعه» است، نه پیچیدگیِ محاسبات؛ حتی با سرشماریِ کامل هم می‌توان صرفاً آمارِ توصیفی تولید کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

پاسخِ درست «استفاده از نمونه و آماره برای تخمین» است؛ وقتی اندازه‌گیریِ کاملِ جامعه ممکن ولی بسیار پرهزینه است، از آماره‌ی به‌دست‌آمده از یک نمونهٔ تصادفی برای تخمینِ پارامتر استفاده می‌شود. «انصراف از تحلیل» تصمیم‌گیری را متوقف می‌کند؛ «تبدیل متغیرها به کیفی» ربطی به مسئلهٔ هزینه ندارد؛ «استفاده از مد به‌جای همه معیارها» یک جایگزینِ اختیاری برای معیارِ مرکزی است، نه راه‌حلِ مسئلهٔ هزینهٔ گردآوری. تلهٔ تستی: بزرگ‌بودنِ نمونه یا سهل‌الوصول‌بودنِ افراد جایگزینِ «تصادفی‌بودن» نیست؛ نمونه‌ای معرفِ جامعه است که با روشِ تصادفی (شانسِ برابر برای همه) انتخاب شده باشد، وگرنه حتی نمونهٔ بزرگ هم می‌تواند تورش داشته باشد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

داده‌ها مرتب‌اند و $n=8$ (زوج)، پس میانه میانگینِ دو دادهٔ میانی یعنی چهارمی و پنجمی است: $\dfrac{10+12}{2}=11$. وارسیِ مستقل: باید چهار داده زیرِ میانه و چهار داده بالایِ آن باشند — $4,6,8,10$ زیرِ $11$ و $12,14,16,18$ بالایِ آن؛ شمارش درست است. «$9$» رد می‌شود چون میانگینِ دادهٔ سوم و چهارم ($\frac{8+10}{2}$) است، یعنی یک رتبه زودتر شمرده شده. «$10$» رد می‌شود چون فقط دادهٔ چهارم است و از دادهٔ پنجم صرف‌نظر شده. «$12$» رد می‌شود چون فقط دادهٔ پنجم است و همان خطا از سمتِ دیگر تکرار شده. تلهٔ تستی: در تعدادِ زوجِ داده، دو دادهٔ میانی جای‌های $\frac{n}{2}$ و $\frac{n}{2}+1$ یعنی چهارم و پنجم‌اند؛ میانه میانگینِ آن دو است و معمولاً عضوِ خودِ مجموعه نیست.