معادله درجه دوم (ریاضی و آمار ۱)

معادله چیست؟

معادله تساوی‌ای است که حداقل یک مجهول دارد؛ مقداری که آن را به تساوی عددی درست تبدیل کند، جواب یا ریشه نام دارد. معادله با عبارت جبری فرق دارد — معادله حتماً علامت = دارد.

معادلهٔ درجهٔ اول: $ax+b=0\ (a\neq0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تنها جواب $x=-b/a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دقیقاً یک جواب.

معادلهٔ درجهٔ دوم: $ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌تواند ۰، ۱ یا ۲ جواب داشته باشد.

مثال مدل‌سازی (سن نیما و کیان): نیما ۳ سال از کیان بزرگ‌تر است و حاصل‌ضرب سن‌هایشان ۴۰ است:

جواب $x=-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون سن منفی بی‌معناست حذف می‌شود؛ پس کیان ۵ سال و نیما ۸ سال دارد — همیشه در مسائل واقعی جواب منفی را با شرایط مسئله بسنج.

سه روش حل معادلهٔ درجهٔ دوم

۱) تجزیه با اتحادها: اگر $c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← جملهٔ مشترک بگیر ($x^2+6x=x(x+6)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر $b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← مزدوج یا ریشه‌گیری مستقیم ($x^2-16=0\Rightarrow x=\pm4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ حالت کلی ← دو جمله‌ای $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ریشهٔ مضاعف یعنی $(x+k)^2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲) مربع کامل: معادله را به شکل $(x+k)^2=m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در می‌آوری — عدد اضافه‌شده همیشه $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

۳) فرمول کلی (دلتا) — مهم‌ترین روش:

مثال: $4x^2+7x-2=0 \Rightarrow \Delta=49+32=81 \Rightarrow x=\dfrac{-7\pm9}{8} \Rightarrow x=\tfrac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روابط ویتا (فراتر از کتاب): برای ریشه‌های $x_1,x_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

اگر مجموع ضرایب صفر شود ($a+b+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، همیشه $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک جواب است (چون $f(1)=a+b+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

نکات کلیدی انتخاب روش:

کاربرد اقتصادی: سود، هزینه، درآمد

با $C(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هزینه، $R(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درآمد و $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سود. نقطهٔ سربه‌سر جایی است که $P(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بین دو ریشهٔ این معادله، کسب‌وکار سود می‌کند.

مثال (کارگاه چتر): $P(x)=-x^2+2000x-24000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر هیچ چتری فروخته نشود: $P(0)=-24{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی کارگاه ۲۴٬۰۰۰ واحد ضرر می‌کند. نقطهٔ سربه‌سر:

یعنی کارگاه با تولید ۱۲ یا ۱۹۸۸ چتر به نقطهٔ سربه‌سر می‌رسد و بین این دو، سود مثبت است.

معادله‌های شامل عبارت گویا

معادله‌ای که مجهول در مخرج کسر ظاهر شود. این معادلات شرط دارند: مقادیری که مخرج را صفر کنند، حتی اگر از حل به دست بیایند، جواب قابل قبول نیستند.

روش حل — ۴ گام:

1. همه را به یک طرف ببر: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
2. مخرج مشترک بگیر
3. صورت را مساوی صفر قرار بده: $P(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون کسر فقط وقتی صفر می‌شود که صورتش صفر شود)
4. جواب‌ها را در شرط $Q(x)\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بررسی کن

مثال (با $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در صورت و مخرج):

مخرج تجزیه می‌شود به $(x-1)(x-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس شرط: $x\neq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x\neq4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. صورت مشترک را صفر می‌کنیم:

هر دو جواب ($\approx7.16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\approx0.84$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در شرط صدق می‌کنند و قابل قبول‌اند.

مثال — یافتن پارامتر: معادلهٔ $\dfrac{1}{x+1}+a=\dfrac{a}{x+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌ازای چه $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییای دارای جواب $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؟ با جایگذاری $x=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\tfrac12+a=\tfrac{a}{2} \Rightarrow a=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همیشه ابتدا جواب دادهٔ سؤال را جایگذاری کن، پارامتر را بیاب، سپس در شرط بررسی کن.

مثال — مسئلهٔ شیر و استخر: شیر $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی استخر را در $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعت و شیر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x-10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعت پر می‌کند؛ با هم در ۱۲ ساعت:

$x=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رد می‌شود چون $x-10<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌معنی است؛ پس $x_B=30$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x_A=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعت. نرخ کار همیشه $\dfrac{1}{\text{زمان کل}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و نرخ‌ها (نه زمان‌ها) با هم جمع می‌شوند.

مدل‌سازی — ترجمهٔ مسئله به معادله

مهم‌ترین مهارت این فصل: ۱) مجهول را تعریف کن، ۲) روابط را به فارسی بنویس، ۳) به معادله تبدیل کن، ۴) حل کن، ۵) جواب را در متن مسئله بررسی کن — جواب‌های منفی یا بی‌معنی (سن، طول، زمان منفی) باید حذف شوند.

مثال دیگر (تقسیم کیک): با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر، سهم هر نفر $\tfrac1n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ با اضافه‌شدن یک نفر، سهم به $\tfrac{1}{n+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاهش می‌یابد. اگر این کاهش $\tfrac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

نکات طلایی:

• قبل از حل، معادله را به شکل استاندارد ($=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) دربیاور.
• در معادلات گویا، فراموش‌کردن بررسی شرط رایج‌ترین اشتباه کنکور است.
• اصل صفر‌بودن حاصل‌ضرب: $A\cdot B=0 \iff A=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $B=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — پایهٔ تجزیه در تمام دبیرستان.
• در مسائل واقعی، علامت $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بررسی کن: اگر $c/a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتماً دو ریشه با علامت مخالف داری.