معادلۀ درجۀ دوم

پاسخنامه‌ی تحلیلی

معادله حتماً دارای علامت $=$ است و برای یافتن مقداری که تساوی را برقرار کند (ریشه) استفاده می‌شود، اما عبارت جبری فقط ترکیبی از متغیرها و اعداد است. سایر گزینه‌ها ویژگی‌های غلط را به معادله یا عبارت جبری نسبت می‌دهند (تعداد متغیر، وجود جواب، یا کاربرد در نمودار) که هیچ‌کدام تعریف واقعی این دو مفهوم نیست. تلهٔ تستی: نباید تفاوت معادله و عبارت جبری را با تفاوت «تابع» و «عبارت جبری» اشتباه گرفت؛ معیار اصلی، وجود علامت مساوی در معادله است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

اگر $a=0$ باشد، متغیر $x$ حذف شده و عبارت به یک گزاره ثابت $b=0$ تبدیل می‌شود که دیگر معادله درجه اول نیست و یکتا بودن جواب نقض می‌شود. سایر گزینه‌ها ادعاهایی درباره جواب‌های بی‌نهایت، قرینه‌پذیری $b$ یا مثبت‌بودن اجباری $x$ مطرح می‌کنند که هیچ‌کدام دلیل واقعی شرط $a\neq 0$ نیست. تلهٔ تستی: دانش‌آموز معمولاً فکر می‌کند $a=0$ یعنی «بی‌نهایت جواب»، در حالی که اگر $b\neq 0$ باشد، اصلاً هیچ جوابی برای $x$ وجود ندارد (تساوی $b=0$ نادرست است).

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مدل‌سازی مسائل واقعی، جواب‌های ریاضی باید با شرایط منطقی مسئله تطبیق داده شوند. طول، زمان و سن نمی‌توانند اعداد منفی باشند. گزینه‌هایی که هر دو ریشه یا قدرمطلق ریشهٔ منفی را می‌پذیرند، محدودیت فیزیکی طول (نامنفی‌بودن) را نادیده می‌گیرند. تلهٔ تستی: دانش‌آموز گاهی فکر می‌کند چون معادله دو ریشهٔ ریاضی درست تولید کرده، هر دو باید به‌کار روند؛ اما بررسی جواب در متن مسئله همیشه گام آخر و اجباری است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

ابتدا باید ضریب $x^2$ یک شود، پس بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $x^2 + \frac{5}{2}x = \frac{7}{2}$. سپس مربع نصف ضریب $x$ یعنی $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$ اضافه می‌شود. سایر گزینه‌ها یا مربع نصف ضریب $x$ را پیش از تقسیم بر ضریب $x^2$ محاسبه می‌کنند، یا به‌جای مربع کردن، خودِ عدد را می‌آورند. تلهٔ تستی: فراموش کردن تقسیم کل معادله بر ضریب $x^2$ (اینجا $2$) پیش از محاسبهٔ «نصف ضریب $x$»، رایج‌ترین اشتباه در روش مربع کامل است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دو عدد که جمعشان $-7$ و ضربشان $12$ باشد، $-3$ و $-4$ هستند. پس $(x-3)(x-4)=0$ که ریشه‌ها $x=3$ و $x=4$ می‌شوند. گزینه‌هایی که علامت ریشه‌ها را برعکس می‌کنند یا ریشه‌ها را با ضرایب معادله (۱۲ و ۱) اشتباه می‌گیرند، از خلط قانون جمع/ضرب ریشه‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در تجزیهٔ $(x-3)(x-4)=0$ باید علامت‌های داخل پرانتز را قرینهٔ ریشه‌ها گرفت، نه خودِ ریشه‌ها؛ اشتباه رایج، نوشتن $(x+3)(x+4)$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

شرط $b^2 < 4ac$ معادل $\Delta < 0$ است. در این حالت زیر رادیکال منفی شده و معادله در مجموعه اعداد حقیقی فاقد جواب خواهد بود. گزینه‌هایی که ریشهٔ مضاعف یا ریشه‌های حقیقی متمایز را نتیجه می‌گیرند، شرط $\Delta<0$ را با $\Delta=0$ یا $\Delta>0$ اشتباه گرفته‌اند. تلهٔ تستی: شرط داده‌شده $b^2 < 4ac$ باید ابتدا به فرم استاندارد $\Delta = b^2-4ac < 0$ بازنویسی شود؛ خواندن مستقیم بدون این بازآرایی باعث اشتباه در تشخیص علامت دلتا می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با قرار دادن $x=0$ در تابع سود، $P(0) = -6000000$ می‌شود که این همان هزینه ثابت اولیه است و به عنوان ضرر هنگام عدم تولید محسوب می‌شود. گزینه‌هایی که ضرر را با ضریب $x$ (هشت‌هزار) یا ضریب $x^2$ (دو میلیون) اشتباه می‌گیرند، به‌جای جایگذاری واقعی $x=0$، مستقیماً یکی از ضرایب معادله را برداشته‌اند. تلهٔ تستی: عرض از مبدأ تابع سود ($c=-6{,}000{,}000$) دقیقاً همان هزینهٔ ثابت (با علامت منفی) است؛ نباید آن را با ضرایب $x$ یا $x^2$ اشتباه گرفت.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در معادلات گویا، پیش از هر کاری باید دامنه تعریف را مشخص کرد؛ یعنی ریشه‌های مخرج‌ها که در اینجا $1$ و $-2$ هستند، باید از جواب‌های نهایی استثنا شوند. گزینه‌هایی که مستقیماً مخرج مشترک می‌گیرند یا طرفین‌وسطین را پیش از تعیین دامنه به‌کار می‌برند، ترتیب درست حل معادلهٔ گویا را نادیده می‌گیرند. تلهٔ تستی: تعیین دامنه (مقادیر ممنوعهٔ مخرج) باید همیشه پیش از هرگونه ساده‌سازی انجام شود، وگرنه ریشهٔ کاذب احتمالی در پایان کار دیده نمی‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق روابط ویتا در معادله $ax^2+bx+c=0$، حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر با $\frac{c}{a}$ است. در اینجا $c=1$ و $a=3$ است، پس جواب $\frac{1}{3}$ می‌شود. گزینه‌هایی که $\frac{5}{3}$، $-\frac{5}{3}$ یا $-\frac{1}{3}$ را می‌دهند، فرمول حاصل‌ضرب ($\frac{c}{a}$) را با فرمول مجموع ($-\frac{b}{a}$) یا با علامت اشتباه خلط کرده‌اند. تلهٔ تستی: در روابط ویتا، حاصل‌ضرب ریشه‌ها $\frac{c}{a}$ است (بدون علامت منفی)، در حالی‌که مجموع ریشه‌ها $-\frac{b}{a}$ است؛ خلط این دو فرمول رایج‌ترین اشتباه تستی این مبحث است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

اگر سن کیان $x$ باشد، سن نیما $x+4$ است. معادله $x(x+4)=96 \implies x^2+4x-96=0$ است. ریشه‌ها $8$ و $-12$ هستند که $-12$ رد می‌شود. گزینه‌هایی که $x(x-4)=96$ می‌نویسند، رابطهٔ «نیما ۴ سال بزرگ‌تر است» را برعکس مدل کرده‌اند و سن کیان را ۱۲ سال (بدون رد ریشهٔ منفی) گزارش می‌کنند. تلهٔ تستی: باید مشخص شود کدام متغیر ($x$) نمایندهٔ سن کوچک‌تر (کیان) است؛ نوشتن معادله برای فرد بزرگ‌تر به‌جای کوچک‌تر، علامت رابطه را برعکس می‌کند.