تابع و نمودار آن (ریاضی و آمار ۱)

مفهوم تابع

هر قانونی که دو مجموعه را به هم ربط دهد یک رابطه است. هر جفت مقدار $(x,y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج مرتب نام دارد و $(a,b)=(c,d)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی برقرار است که $a=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تعریف تابع : رابطه‌ای از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تابع می‌گوییم اگر به‌ازای هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دقیقاً یک عضو از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناظر باشد — نه صفر، نه دو.

سه معیار تشخیص:

• زوج مرتب: هیچ دو زوج مرتب متمایز با مؤلفهٔ اول یکسان نداشته باشیم.
• نمودار پیکانی: از هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یک پیکان خارج شود.
• نمودار مختصاتی: هر خط عمود بر محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (آزمون خط عمودی) نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

مثال: $J=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,4)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع نیست چون $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو نظیر دارد. در تشخیص تابع فقط مؤلفهٔ اول را بررسی کن — مؤلفهٔ دوم تکراری اشکالی ندارد.

مثال‌های واقعی:

ضابطهٔ جبری، دامنه و برد

وقتی رابطهٔ بین مؤلفه‌های اول و دوم یک تابع را با یک فرمول بیان کنیم، آن را ضابطهٔ جبری می‌نامند. نماد استاندارد:

$f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «مقدار تابع در $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، نه $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضربدر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برد با مجموعهٔ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرق دارد: $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همهٔ خروجی‌های ممکن است، برد فقط خروجی‌هایی که واقعاً اتفاق افتاده‌اند؛ همیشه $R_f\subseteq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برای محاسبهٔ $f(a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در ضابطه جایگذاری کنی. دامنهٔ طبیعی (وقتی دامنه مشخص نشده): برای کسر، مخرج $\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای رادیکال زوج، زیر رادیکال $\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

پیدا کردن ضابطه از روی داده‌ها: الگوی تغییر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کن و چند فرم (خطی، درجهٔ دوم و...) امتحان کن. مثال: در $\{(0,1),(1,3),(2,5),(-1,-1)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تفاضل $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها ثابت (۲) است، پس تابع خطی $y=2x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

تابع به‌عنوان ماشین: $x\xrightarrow{f}f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — دیدگاهی کاربردی در برنامه‌نویسی و مهندسی. ترکیب توابع (آشنایی اولیه): $g(f(x))=(g\circ f)(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثلاً با $f(x)=x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $g(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم $g(f(x))=(x+1)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمودار تابع خطی

$m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: شیب (نرخ تغییر)، $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: عرض از مبدأ. نمودار همیشه خط راست است؛ برای رسم آن دو نقطه (معمولاً تقاطع با محورها) کافی است.

شیب از روی دو نقطه:

اگر $m>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع صعودی، اگر $m<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزولی، اگر $m=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت (خط افقی) است.

مثال‌های کاربردی: قانون هوک برای فنر با طول اولیهٔ ۵ سانتی‌متر که به‌ازای هر کیلوگرم ۰.۵ سانتی‌متر کش می‌آید: $f(x)=0.5x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رابطهٔ سانتی‌گراد و فارنهایت: $F=\tfrac95C+32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — اگر دما ۲۰ درجهٔ سانتی‌گراد بالا برود، فارنهایت $\tfrac95\times20=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه افزایش می‌یابد.

مدل رشد خطی جمعیت: اگر جمعیت با نرخ ثابت رشد کند، با تابع خطی مدل می‌شود؛ مثلاً از $1{,}050{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر در سال ۱۳۸۵ به $1{,}280{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر در سال ۱۳۹۵، شیب $m=23{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر در سال است.

کاربرد اقتصادی: $P(x)=R(x)-C(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $C(x)=3000+50x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $R(x)=70x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $P(x)=20x-3000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نقطهٔ سربه‌سر ($P=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در $x=150$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی باید حداقل ۱۵۰ کالا بفروشد تا سود کند.

نمودار تابع درجهٔ دوم

نمودار آن سهمی است؛ برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به بالا با رأس کمینه، برای $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رو به پایین با رأس بیشینه.

رأس:

فرم رأسی (پرکاربرد در کنکور): $f(x)=a(x-p)^2+q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← رأس مستقیماً $(p,q)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مثال کاربردی (سود): با درآمد $x(1200-x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هزینهٔ $30000+200x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

بیشینهٔ سود در رأس: $x=500$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $P(500)=220{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تومان. نقطهٔ سربه‌سر با حل $P(x)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حدود $x\approx31$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x\approx969$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید — بین این دو بازه سود مثبت است.

تعداد ریشه‌ها با دلتا:

نکات طلایی:

• $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← رأس کمینه؛ $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← رأس بیشینه.
• در مسائل مساحت با محیط ثابت، بیشترین مساحت وقتی است که شکل به مربع نزدیک شود — مثلاً مستطیلی با محیط ثابت ۲۰ متر، بیشترین مساحت (۲۵ متر مربع) را وقتی دارد که هر دو ضلعش ۵ متر باشد.
• فرم رأسی را سریع بخوان: رأس $(p,q)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $a(x-p)^2+q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• برای رسم سهمی: رأس، محور تقارن، تقاطع با محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مقدار $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، تقاطع با محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (حل $ax^2+bx+c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و چند نقطهٔ کمکی کافی است.