تابع (انسانی)(ریاضی و آمار 1)

مفهوم تابع

هر قانونی که دو مجموعه را به هم ربط دهد یک رابطه است. هر جفت مقدار $(x,y)$ زوج مرتب نام دارد و $(a,b)=(c,d)$ فقط وقتی برقرار است که $a=c$ و $b=d$.

تعریف تابع ⭐: رابطه‌ای از $A$ به $B$ را تابع می‌گوییم اگر به‌ازای هر عضو $A$، دقیقاً یک عضو از $B$ متناظر باشد — نه صفر، نه دو.

سه معیار تشخیص:

• زوج مرتب: هیچ دو زوج مرتب متمایز با مؤلفهٔ اول یکسان نداشته باشیم.
• نمودار پیکانی: از هر عضو $A$ دقیقاً یک پیکان خارج شود.
• نمودار مختصاتی: هر خط عمود بر محور $x$ (آزمون خط عمودی) نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

مثال: $J=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,4)\}$ تابع نیست چون $2$ دو نظیر دارد. در تشخیص تابع فقط مؤلفهٔ اول را بررسی کن — مؤلفهٔ دوم تکراری اشکالی ندارد.

مثال‌های واقعی:

ضابطهٔ جبری، دامنه و برد

وقتی رابطهٔ بین مؤلفه‌های اول و دوم یک تابع را با یک فرمول بیان کنیم، آن را ضابطهٔ جبری می‌نامند. نماد استاندارد:

$f(x)$ یعنی «مقدار تابع در $x$»، نه $f$ ضربدر $x$.

برد با مجموعهٔ $B$ فرق دارد: $B$ همهٔ خروجی‌های ممکن است، برد فقط خروجی‌هایی که واقعاً اتفاق افتاده‌اند؛ همیشه $R_f\subseteq B$.

برای محاسبهٔ $f(a)$ کافی است $x=a$ را در ضابطه جایگذاری کنی. دامنهٔ طبیعی (وقتی دامنه مشخص نشده): برای کسر، مخرج $\neq0$؛ برای رادیکال زوج، زیر رادیکال $\geq0$.

پیدا کردن ضابطه از روی داده‌ها: الگوی تغییر $x$ و $y$ را پیدا کن و چند فرم (خطی، درجهٔ دوم و...) امتحان کن. مثال: در $\{(0,1),(1,3),(2,5),(-1,-1)\}$ تفاضل $y$ها ثابت (۲) است، پس تابع خطی $y=2x+1$ است.

تابع به‌عنوان ماشین: $x\xrightarrow{f}f(x)$ — دیدگاهی کاربردی در برنامه‌نویسی و مهندسی. ترکیب توابع (آشنایی اولیه): $g(f(x))=(g\circ f)(x)$؛ مثلاً با $f(x)=x+1$ و $g(x)=x^2$، داریم $g(f(x))=(x+1)^2$.

نمودار تابع خطی

$m$: شیب (نرخ تغییر)، $h$: عرض از مبدأ. نمودار همیشه خط راست است؛ برای رسم آن دو نقطه (معمولاً تقاطع با محورها) کافی است.

شیب از روی دو نقطه:

اگر $m>0$ تابع صعودی، اگر $m<0$ نزولی، اگر $m=0$ ثابت (خط افقی) است.

مثال‌های کاربردی: قانون هوک برای فنر با طول اولیهٔ ۵ سانتی‌متر که به‌ازای هر کیلوگرم ۰.۵ سانتی‌متر کش می‌آید: $f(x)=0.5x+5$. رابطهٔ سانتی‌گراد و فارنهایت: $F=\tfrac95C+32$ — اگر دما ۲۰ درجهٔ سانتی‌گراد بالا برود، فارنهایت $\tfrac95\times20=36$ درجه افزایش می‌یابد.

مدل رشد خطی جمعیت: اگر جمعیت با نرخ ثابت رشد کند، با تابع خطی مدل می‌شود؛ مثلاً از $1{,}050{,}000$ نفر در سال ۱۳۸۵ به $1{,}280{,}000$ نفر در سال ۱۳۹۵، شیب $m=23{,}000$ نفر در سال است.

کاربرد اقتصادی: $P(x)=R(x)-C(x)$. مثال: $C(x)=3000+50x$، $R(x)=70x$ ← $P(x)=20x-3000$؛ نقطهٔ سربه‌سر ($P=0$) در $x=150$ — یعنی باید حداقل ۱۵۰ کالا بفروشد تا سود کند.

نمودار تابع درجهٔ دوم

نمودار آن سهمی است؛ برای $a>0$ رو به بالا با رأس کمینه، برای $a<0$ رو به پایین با رأس بیشینه.

رأس:

فرم رأسی (پرکاربرد در کنکور): $f(x)=a(x-p)^2+q$ ← رأس مستقیماً $(p,q)$ است.

مثال کاربردی (سود): با درآمد $x(1200-x)$ و هزینهٔ $30000+200x$:

بیشینهٔ سود در رأس: $x=500$، $P(500)=220{,}000$ تومان. نقطهٔ سربه‌سر با حل $P(x)=0$ حدود $x\approx31$ و $x\approx969$ به دست می‌آید — بین این دو بازه سود مثبت است.

تعداد ریشه‌ها با دلتا:

نکات طلایی:

• $a>0$ ← رأس کمینه؛ $a<0$ ← رأس بیشینه.
• در مسائل مساحت با محیط ثابت، بیشترین مساحت وقتی است که شکل به مربع نزدیک شود — مثلاً مستطیلی با محیط ثابت ۲۰ متر، بیشترین مساحت (۲۵ متر مربع) را وقتی دارد که هر دو ضلعش ۵ متر باشد.
• فرم رأسی را سریع بخوان: رأس $(p,q)$ در $a(x-p)^2+q$.
• برای رسم سهمی: رأس، محور تقارن، تقاطع با محور $y$ (مقدار $c$)، تقاطع با محور $x$ (حل $ax^2+bx+c=0$) و چند نقطهٔ کمکی کافی است.