پرش به محتوای اصلی

عددهای صحیح و گویا (ریاضی هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

عددهای صحیح و گویا (هشتم)

این مبحث دو دنیای عددی را کنار هم می‌گذارد: اول عددهای صحیح را مرور می‌کنیم و بعد با عددهای گویا (کسرها) آشنا می‌شویم و چهار عمل اصلی را روی آن‌ها یاد می‌گیریم.

عدد صحیح چیست؟

مجموعهٔ عددهای صحیح سه دسته دارد: عددهای منفی، صفر، و عددهای مثبت. نمادش Z\mathbb{Z}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

محور اعداد یک خط راست است که عددها روی آن مرتب شده‌اند. هرچه به راست بروی عدد بزرگ‌تر و هرچه به چپ بروی کوچک‌تر است. روی محور، حرکت به راست یعنی جمع و حرکت به چپ یعنی تفریق.

قرینهٔ عدد aaادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر −a-aادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ یعنی همان فاصله از صفر ولی در طرف مقابل. مثلاً قرینهٔ 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود −5-5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و قرینهٔ 00ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودِ 00ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. یک نکتهٔ کلیدی:

−(−a)=a-(-a) = aادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع و تفریق عددهای صحیح

سه قاعده کافی است:

  • دو عدد هم‌علامت: قدرمطلق‌ها را جمع کن و علامت مشترک را نگه دار. مثل −3+(−5)=−8-3 + (-5) = -8ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • دو عدد مخالف‌علامت: قدرمطلق کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم کن و علامتِ عددِ بزرگ‌تر را بگذار. مثل −3+9=+6-3 + 9 = +6ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • تفریق را همیشه به جمع با قرینه تبدیل کن: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
−4−8=−4+(−8)=−128−12=−4−(−7)=+7-4 - 8 = -4 + (-8) = -12 \qquad 8 - 12 = -4 \qquad -(-7) = +7ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ضرب و تقسیم — قانون علامت

+×+=+−×−=++×−=−−×+=−+ \times + = + \qquad - \times - = + \qquad + \times - = - \qquad - \times + = -ادامهٔ فرمول را افقی ببین

همین قانون برای تقسیم هم برقرار است. برای چند عدد، فقط تعداد منفی‌ها را بشمار: زوج یعنی نتیجه مثبت، فرد یعنی نتیجه منفی.

−4×(−3)=+12−3×7=−21−8÷(−4)=+2-4 \times (-3) = +12 \qquad -3 \times 7 = -21 \qquad -8 \div (-4) = +2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

ترتیب عملیات

۱) پرانتز (از داخلی‌ترین به بیرونی‌ترین) ← ۲) ضرب و تقسیم (از چپ به راست) ← ۳) جمع و تفریق (از چپ به راست).

−8−3×5=−8−15=−23-8 - 3 \times 5 = -8 - 15 = -23ادامهٔ فرمول را افقی ببین1−2×(1−(8−9))=1−2×(1−(−1))=1−4=−31 - 2 \times (1 - (8-9)) = 1 - 2 \times (1-(-1)) = 1 - 4 = -3ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در پرانتزِ تودرتو همیشه از داخلی‌ترین شروع کن و بیا بیرون.

محاسبهٔ هوشمند و روش گاوس

برای عبارتی مثل −43+37−29-43 + 37 - 29ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند راه داری: از چپ به راست، یا جمع‌کردن جداگانهٔ مثبت‌ها و منفی‌ها، یا ساختن جفت‌های راحت. هیچ‌کدام اجباری نیست — بهترین روش همانی است که کمتر اشتباه می‌کنی.

گاوس در کودکی جمعِ 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 100100ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با جفت‌سازی حل کرد: 1+100=1011+100=101ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 2+99=1012+99=101ادامهٔ فرمول را افقی ببین و... یعنی 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین جفتِ 101101ادامهٔ فرمول را افقی ببین که می‌شود 50505050ادامهٔ فرمول را افقی ببین. فرمول کلی:

S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دو فرمول پرکاربردِ دیگر:

2+4+⋯+2n=n(n+1)1+3+⋯+(2n−1)=n22 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1) \qquad 1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در جمع‌های متناوب مثل −2+4−6+8−10+12-2+4-6+8-10+12ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جفت‌سازیِ دوتایی سریع‌ترین راه است: 2+2+2=62+2+2=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

عدد گویا چیست؟

هر عددی که بتوان آن را به شکل ab\dfrac{a}{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشت — که aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و bbادامهٔ فرمول را افقی ببین صحیح باشند و b≠0b \neq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین — عدد گویا است. نمادش Q\mathbb{Q}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

عددهای طبیعی، صحیح، کسرها، عددهای مخلوط و اعشاری‌ها همگی گویا هستند:

N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً 5=515 = \frac{5}{1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، −3=−31-3 = \frac{-3}{1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 123=531\frac{2}{3} = \frac{5}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 0.25=25100=140.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس هر عدد صحیح گویاست، ولی هر گویایی صحیح نیست.

چرا این تعریف مهم است؟ چون عددهای صحیح فقط نقطه‌های جدا جدا روی محور را می‌پوشانند، اما بین هر دو عدد صحیح بی‌نهایت نقطهٔ دیگر هست و کسرها همان شکاف را پر می‌کنند.

نمایش روی محور و عدد مخلوط

برای نشان دادن mn\dfrac{m}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین: فاصلهٔ بین دو عدد صحیح را به nnادامهٔ فرمول را افقی ببین قسمت مساوی تقسیم کن و از عدد پایین‌تر، mmادامهٔ فرمول را افقی ببین قسمت به راست برو.

abc=a×c+bc213=73a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c} \qquad 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

برعکسش هم با تقسیم به دست می‌آید: 145\frac{14}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی 14÷5=214 \div 5 = 2ادامهٔ فرمول را افقی ببین با باقی‌ماندهٔ 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس 2452\frac{4}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تلهٔ مهم: در عددهای منفی، علامت منفی جلوی کل عدد است، نه فقط قسمت صحیح: −214=−94-2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کسرهای مساوی و ساده‌کردن

ab=cd  ⟺  a×d=b×c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times cادامهٔ فرمول را افقی ببین

با ضرب یا تقسیم صورت و مخرج در یک عدد یکسان، کسر مساوی ساخته می‌شود: 23=46=1015\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای ساده‌کردن، صورت و مخرج را بر ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک) تقسیم کن. مثلاً 90126\frac{90}{126}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تقسیم بر 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود 57\frac{5}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. کسر ساده‌شده یعنی صورت و مخرج هیچ مقسوم‌علیه مشترکی جز 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین ندارند.

از همین خاصیت برای پیدا کردن مجهول هم استفاده می‌کنیم:

46=x15  ⟹  4×15=6x  ⟹  x=10\frac{4}{6} = \frac{x}{15} \implies 4 \times 15 = 6x \implies x = 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین

علامت کسر

یک کسر منفی سه شکل معادل دارد:

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

و اگر هر دو منفی باشند، کسر مثبت است: −3−4=34\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قاعده همان شمارش منفی‌هاست.

کسر در واقع یک تقسیمِ انجام‌نشده است: a÷b=aba \div b = \frac{a}{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مقایسهٔ عددهای گویا

دو راه داری: هم‌مخرج کردن، یا تبدیل به اعشار. راه سریع‌تر ضرب ضربدری است (با مخرجِ مثبت): برای ab\frac{a}{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و cd\frac{c}{d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مقدارِ a×da \times dادامهٔ فرمول را افقی ببین را با b×cb \times cادامهٔ فرمول را افقی ببین مقایسه کن.

مثال: 37\frac{3}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 511\frac{5}{11}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ← 3×11=333 \times 11 = 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 7×5=357 \times 5 = 35ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس 37<511\frac{3}{7} < \frac{5}{11}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکتهٔ حیاتی در منفی‌ها: هر کدام قدرمطلق کوچک‌تری داشته باشد، بزرگ‌تر است.

−13<−17-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چگالی عددهای گویا: بین هر دو عدد گویا، هرچقدر هم به هم نزدیک، بی‌نهایت عدد گویای دیگر وجود دارد. کافی است مخرج را بزرگ‌تر کنی.

جمع و تفریق عددهای گویا

اصل بنیادی همان است: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. یعنی هیچ‌وقت مجبور به تفریق نیستی.

مخرج مساوی: فقط صورت‌ها را جمع یا تفریق کن، مخرج دست‌نخورده می‌ماند.

an±bn=a±bn−79−(−49)=−39=−13\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n} \qquad \frac{-7}{9} - \left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مخرج نامساوی: ک.م.م مخرج‌ها را بگیر، کسرها را هم‌مخرج کن، بعد صورت‌ها را حساب کن و در پایان ساده کن.

57−34=2028−2128=−128\frac{5}{7} - \frac{3}{4} = \frac{20}{28} - \frac{21}{28} = -\frac{1}{28}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

فرمول کلیِ همیشه‌درست (که البته ساده‌سازی بیشتری لازم دارد):

ab+cd=ad+cbbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع کسر با عدد صحیح: n+ab=nb+abn + \frac{a}{b} = \frac{nb + a}{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثلاً 4+13=1334 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای عددهای مخلوط، روش امن این است که اول به کسر غیرواقعی تبدیل کنی. برای اعشاری‌ها، ممیزها را زیر هم بنویس.

تخمین — ابزار کنترل پاسخ

قبل از محاسبهٔ دقیق، عددها را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد کن و یک برآورد ذهنی بگیر:

−1415+2117−3219≈−1+2−3=−2-\frac{14}{15} + 2\frac{1}{17} - 3\frac{2}{19} \approx -1 + 2 - 3 = -2ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر پاسخ دقیقت خیلی از تخمین دور بود، احتمالاً جایی اشتباه کرده‌ای. دقت کن که −8.001-8.001ادامهٔ فرمول را افقی ببین به −8-8ادامهٔ فرمول را افقی ببین گرد می‌شود، نه به −9-9ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ضرب عددهای گویا

ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اول علامت را از روی قانون علامت مشخص کن، بعد صورت در صورت و مخرج در مخرج. در ضرب هیچ نیازی به مخرج مشترک نیست.

ساده‌سازیِ قبل از ضرب (به‌صورت قطری) بهتر از بعد از آن است، چون با عددهای کوچک‌تر کمتر اشتباه می‌کنی:

49×38=13×12=16\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

عددهای مخلوط را هرگز مستقیم ضرب نکن؛ اول به کسر غیرواقعی تبدیل کن.

خاصیت توزیع‌پذیری برای کسرها هم برقرار است: a×(b+c)=ab+aca \times (b+c) = ab + acادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در ضرب‌های زنجیره‌ای، هر مخرج با صورت بعدی ساده می‌شود و فقط صورت اول و مخرج آخر می‌ماند:

12×23×34×45×56=16\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

معکوس و تقسیم

معکوس هر عدد، عددی است که ضربش در عدد اصلی برابر 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود:

ab×ba=1\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی صورت و مخرج را جابه‌جا کن. علامت تغییر نمی‌کند: معکوسِ −35-\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر −53-\frac{5}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. معکوسِ 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود 15\frac{1}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و معکوسِ 0.10.1ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود 1010ادامهٔ فرمول را افقی ببین. صفر معکوس ندارد، چون 10\frac{1}{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده است.

اصل کلیدی تقسیم: تقسیم = ضرب در معکوس

ab÷cd=ab×dc1÷ab=ba\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \qquad 1 \div \frac{a}{b} = \frac{b}{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین(−635)÷(−821)=+635×218=920\left(-\frac{6}{35}\right) \div \left(-\frac{8}{21}\right) = +\frac{6}{35} \times \frac{21}{8} = \frac{9}{20}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در عبارت‌های ترکیبی هم همان اولویتِ همیشگی برقرار است: پرانتز ← ضرب و تقسیم ← جمع و تفریق.

کسر و اعشار

هر کسر را با تقسیم صورت بر مخرج به اعشار تبدیل می‌کنی. نتیجه دو حالت دارد:

  • اعشار محدود: وقتی مخرجِ کسرِ ساده‌شده فقط عامل‌های 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد. مثل 18=0.125\frac{1}{8}=0.125ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 54=1.25\frac{5}{4}=1.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • اعشار نامحدودِ متناوب: بقیهٔ کسرها. مثل 13=0.3‾\frac{1}{3}=0.\overline{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 37=0.428571‾\frac{3}{7}=0.\overline{428571}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

هیچ عدد گویایی اعشار نامحدودِ غیرمتناوب ندارد. و توجه کن که 0.3‾0.\overline{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً برابر 13\frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه تقریباً.

توان کسر هم به همین منطق وصل می‌شود: (ab)2=a2b2\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. توان زوج از کسر منفی مثبت است و توان فرد منفی می‌ماند.

تله‌های رایج

  • در عبارتِ 3−4×53 - 4 \times 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول ضرب انجام می‌شود: پاسخ −17-17ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه −25-25ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • تفریق شرکت‌پذیر نیست؛ پرانتزها را دلخواه جابه‌جا نکن.
  • در جمعِ دو عدد مخالف‌علامت، علامتِ نتیجه همیشه علامتِ عددی است که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد: −8+3=−5-8+3=-5ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • «منهای منفی» یعنی مثبت: 5−(−3)=85-(-3)=8ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نه 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • در جمع کسرها مخرج‌ها را جمع نکن: 13+14=712\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نه 27\frac{2}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • در تقسیم، معکوس‌کردنِ کسر دوم را فراموش نکن.
  • مخرج هرگز صفر نمی‌شود؛ 50\frac{5}{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف ندارد.
  • پاسخ نهایی همیشه باید ساده‌شده باشد.

دو نمونهٔ کوتاه

۱) حاصل جمع همهٔ عددهای صحیح از −20-20ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند است؟

هر عدد مثبت با قرینهٔ منفی‌اش جفت می‌شود و صفر می‌دهد:

(−20+20)+(−19+19)+⋯+(−1+1)+0=0(-20+20)+(-19+19)+\cdots+(-1+1)+0 = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۲) حاصل (12−13)+(13−14)+(14−15)+(15−16)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدون محاسبهٔ تک‌تک جمله‌ها بیاب.

جمله‌های میانی دو‌به‌دو حذف می‌شوند و فقط اولی و آخری می‌ماند:

12−16=36−16=13\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا منفی در منفی مثبت می‌شود؟

این سؤال ذهن خیلی‌ها را درگیر می‌کند و جواب ساده‌ای دارد. فرض کن می‌دانی 3×(−2)=−63 \times (-2) = -6ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حالا اگر عدد 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین را منفی کنیم، یعنی از کل نتیجه قرینه گرفته‌ایم:

(−3)×(−2)=−(3×(−2))=−(−6)=+6(-3) \times (-2) = -\big(3 \times (-2)\big) = -(-6) = +6ادامهٔ فرمول را افقی ببین

به زبان ساده: علامت منفی یعنی «برعکس کن». دو بار برعکس‌کردن، تو را به حالت اول برمی‌گرداند. همین منطق پشتِ تمام قانون علامت است.

چرا تقسیم بر کسر یعنی ضرب در معکوس؟

این یک «ترفند حفظی» نیست، بلکه دلیل ریاضی دارد. کافی است صورت و مخرجِ کسرِ بزرگ را در معکوسِ مخرج ضرب کنی:

23÷57=2357=23×7557×75=23×751=23×75\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{7}} = \frac{\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}}{\dfrac{5}{7} \times \dfrac{7}{5}} = \frac{\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مخرج به 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین تبدیل می‌شود و فقط ضربِ صورت باقی می‌ماند. همین.

ب.م.م و ک.م.م — دو ابزاری که همه‌جا لازم می‌شوند

این دو مفهوم ستون فقرات کار با کسرها هستند:

  • ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک) را برای ساده‌کردن کسر لازم داری.
  • ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) را برای هم‌مخرج‌کردن در جمع و تفریق لازم داری.

نکتهٔ میان‌بر: اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند (یعنی جز 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقسوم‌علیه مشترکی نداشته باشند)، ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضربشان است. مثلاً ک.م.م(3,8)=24(3, 8) = 24ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

اگر ب.م.م را یک‌جا پیدا نکردی، اشکالی ندارد؛ مرحله‌به‌مرحله ساده کن تا به کوچک‌ترین حالت برسی:

6642→÷23321→÷3117\frac{66}{42} \xrightarrow{\div 2} \frac{33}{21} \xrightarrow{\div 3} \frac{11}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

فقط حواست باشد کارت وقتی تمام است که دیگر هیچ عامل مشترکی باقی نمانده باشد. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها این است که دانش‌آموز یکی دو مرحله ساده می‌کند و می‌ایستد، در حالی که کسر هنوز ساده‌شدنی است.

نکته‌های ریزِ اما امتحانی

  • صفر نه مثبت است نه منفی، و قرینه‌اش خودش است.
  • بزرگ‌ترین عدد صحیح منفی −1-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • برای بیشترین حاصل در ضرب، جلوی عددهای منفی علامت منفی بگذار تا مثبت شوند.
  • در ضربِ عدد صحیح در کسر، عدد صحیح را به شکل n1\frac{n}{1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویس تا قاعده یکسان شود.
  • جمع هر عدد با قرینه‌اش صفر است: ab+(−ab)=0\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • اگر مخرج کسری منفی شد، آن را به شکل استاندارد (مخرج مثبت) دربیاور تا در مقایسه‌ها اشتباه نکنی.
  • قدرمطلق یعنی فاصله از صفر و همیشه نامنفی است: ∣a∣=a|a| = aادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی a≥0a \geq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و ∣a∣=−a|a| = -aادامهٔ فرمول را افقی ببین وقتی a<0a < 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دو نمونهٔ کوتاهِ دیگر

۳) مقدار xxادامهٔ فرمول را افقی ببین را طوری بیاب که 2x−16=x+39\dfrac{2x-1}{6} = \dfrac{x+3}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.

با ضرب ضربدری:

9(2x−1)=6(x+3)⇒18x−9=6x+18⇒12x=27⇒x=949(2x-1) = 6(x+3) \Rightarrow 18x - 9 = 6x + 18 \Rightarrow 12x = 27 \Rightarrow x = \frac{9}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۴) اگر a=−23a=-\dfrac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b=34b=\dfrac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، مقدار a2×b−a÷ba^2 \times b - a \div bادامهٔ فرمول را افقی ببین چند است؟

توان زوجِ عدد منفی مثبت است، پس a2=49a^2 = \dfrac{4}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در نتیجه a2×b=49×34=13a^2 \times b = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

برای تقسیم، در معکوس ضرب می‌کنیم: a÷b=−23×43=−89a \div b = -\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{8}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

13−(−89)=39+89=119\frac{1}{3} - \left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{3}{9} + \frac{8}{9} = \frac{11}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یک الگوی مفید برای سؤال‌های سخت

در آزمون‌های تیزهوشان و نمونه‌دولتی، خیلی وقت‌ها عبارت طولانی است ولی راه‌حلش کوتاه. قبل از اینکه شروع به محاسبهٔ مستقیم کنی، سه چیز را چک کن:

۱) آیا جمله‌ها دوبه‌دو حذف می‌شوند؟ (مثل جمع‌های زنجیره‌ای یا جفت‌های قرینه)

۲) آیا الگوی تکراری وجود دارد که با یک فرمول جمع شود؟ (مثل n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا n2n^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین)

۳) آیا می‌شود قبل از ضرب ساده کرد تا با عددهای کوچک کار کنی؟

مثال: (2+4+⋯+40)−(1+3+⋯+39)(2+4+\cdots+40) - (1+3+\cdots+39)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. به‌جای جمع‌زدن هشتاد عدد، از فرمول‌ها استفاده کن. جمع زوج‌ها با n=20n=20ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 20×21=42020 \times 21 = 420ادامهٔ فرمول را افقی ببین و جمع فردها برابر 202=40020^2 = 400ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس پاسخ 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

دیدن این الگوها با تمرین می‌آید. اولش طبیعی است که مستقیم شروع به حساب‌کردن کنی؛ کم‌کم چشمت به الگوها عادت می‌کند.

جمع‌بندی

عددهای صحیح با قانون علامت و ترتیب عملیات اداره می‌شوند، و عددهای گویا همان ایده را به دنیای کسرها می‌برند. سه اصل را نگه دار: تفریق = جمع با قرینه، تقسیم = ضرب در معکوس، و تعداد منفی‌ها را بشمار. در جمع و تفریق مخرج باید یکسان شود، ولی در ضرب و تقسیم اصلاً چنین چیزی لازم نیست. عددهای مخلوط را قبل از ضرب و تقسیم به کسر غیرواقعی تبدیل کن، پاسخ را همیشه ساده کن، و با یک تخمین سریع منطقی بودن نتیجه را بسنج. اگر این چند قاعده در ذهنت جا بیفتد، بقیهٔ فصل‌های ریاضی هشتم روی همین پایه ساخته می‌شوند.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. حاصل عبارت −23+14×(−85)−(−12)-\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times (-\frac{8}{5}) - (-\frac{1}{2})ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • −1730-\frac{17}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 130\frac{1}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −1130-\frac{11}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −730-\frac{7}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1730-\frac{17}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا با رعایت ترتیب عملیات، ابتدا ضرب 14×(−85)=−25\frac{1}{4} \times (-\frac{8}{5}) = -\frac{2}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس تبدیل تفریق به جمع −(−12)=+12-(-\frac{1}{2}) = +\frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و در نهایت جمع کسرها با مخرج مشترک ۳۰ به −20−12+1530=−1730\frac{-20-12+15}{30} = -\frac{17}{30}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسیم. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در علامت یا جمع هستند. تلهٔ تستی: در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا پرانتز، سپس ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و در پایان جمع و تفریق انجام می‌شود؛ محاسبه‌ی عبارت صرفاً از چپ به راست و بدونِ رعایتِ این اولویت، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

2. حاصل عبارت (−23)×(−35)×(−57)×(−79)(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{3}{5}) \times (-\frac{5}{7}) \times (-\frac{7}{9})ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • −49-\frac{4}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 49\frac{4}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −29-\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 29\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«29\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا تعداد منفی‌ها ۴ (زوج) است، پس حاصل مثبت می‌شود. با ساده‌سازی قبل از ضرب، صورت‌ها و مخرج‌های قطری حذف شده و 29\frac{2}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باقی می‌ماند. گزینه‌های منفی به دلیل اشتباه در شمارش علامت‌ها و گزینه‌های 49\frac{4}{9}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دلیل ساده‌نکردن نادرست غلط هستند. تلهٔ تستی: در ضرب یا تقسیمِ زنجیره‌ای چند عددِ منفی، فقط لازم است تعدادِ علامت‌های منفی شمرده شود — زوج بودنِ تعداد یعنی نتیجه مثبت و فرد بودنِ آن یعنی نتیجه منفی؛ شمارشِ نادرستِ تعدادِ منفی‌ها شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

3. حاصل 12−13÷(−23)×14\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \div (-\frac{2}{3}) \times \frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 58\frac{5}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −18-\frac{1}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 38\frac{3}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 18\frac{1}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«58\frac{5}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. طبق ترتیب عملیات، ابتدا تقسیم: 13÷(−23)=−12\frac{1}{3} \div (-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس ضرب: −12×14=−18-\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و در نهایت 12−(−18)=12+18=58\frac{1}{2} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. سایر گزینه‌ها از اشتباه در اولویت عملیات یا علامت ناشی شده‌اند. تلهٔ تستی: در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا پرانتز، سپس ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و در پایان جمع و تفریق انجام می‌شود؛ محاسبه‌ی عبارت صرفاً از چپ به راست و بدونِ رعایتِ این اولویت، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

4. کدام گزینه دو عدد نابرابر را نشان می‌دهد؟

  • −35-\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 3−5\frac{3}{-5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −78-\frac{7}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و −78\frac{-7}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −912-\frac{9}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و −34-\frac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −23-\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و −2−3\frac{-2}{-3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−23-\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و −2−3\frac{-2}{-3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نابرابرند زیرا −2−3=+23\frac{-2}{-3} = +\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین که با −23-\frac{2}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین متفاوت است. سایر گزینه‌ها تساوی برقرار است: 3−5=−35\frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، −78=−78\frac{-7}{8} = -\frac{7}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، −912=−34-\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تلهٔ تستی: برای تشخیصِ برابریِ دو کسر، باید از ضربِ ضربدری (نه فقط نگاهِ سطحی به صورت و مخرج) استفاده کرد؛ کسرهایی که بدونِ ساده‌سازیِ کامل نزدیک به هم به‌نظر می‌رسند، اغلب باعثِ خطای مقایسه‌ی چشمی می‌شوند.

5. حاصل −56+38−14\frac{-5}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • −724-\frac{7}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 724\frac{7}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • −1724-\frac{17}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1724\frac{17}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1724-\frac{17}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با مخرج مشترک ۲۴: −2024+924−624=−20+9−624=−1724\frac{-20}{24} + \frac{9}{24} - \frac{6}{24} = \frac{-20+9-6}{24} = -\frac{17}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های مثبت و 724\frac{7}{24}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از اشتباه در علامت‌زنی یا جمع نادرست حاصل شده‌اند. تلهٔ تستی: در جمع و تفریقِ کسرهای ناهم‌مخرج، باید ابتدا مخرجِ مشترک (ک.م.م) پیدا و کسرها به آن تبدیل شوند؛ جمع یا تفریقِ مستقیمِ صورت‌ها بدونِ یکسان‌کردنِ مخرج، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) دمایی از −7∘C-7^\circ Cادامهٔ فرمول را افقی ببین با 12 درجه افزایش می‌یابد. ب) دمای نهایی را تعیین و حرکت روی محور را توضیح دهید. استدلال کنید چرا از صفر عبور می‌کند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) −7+12=5-7+12=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس دمای نهایی 5∘C5^\circ Cادامهٔ فرمول را افقی ببین است. ب) از −۷، دوازده واحد به راست محور می‌رویم و از صفر عبور می‌کنیم تا به ۵ برسیم.
کجا بخوانم: در «جمع و تفریق»
نکته مهم: افزایش را با جمع عدد مثبت نشان می‌دهیم؛ نتیجه می‌تواند مثبت یا منفی باشد.

۲. الف) حاصل (−6)×(−4)(-6)\times(-4)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیابید. ب) علامت حاصل‌ضرب دو عدد منفی را با الگوی حاصل‌ضرب‌های متوالی توجیه کنید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) حاصل‌ضرب دو منفی مثبت است؛ (−6)(−4)=24(-6)(-4)=24ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) اگر یکی از عوامل از −4 به −3،−2،−1 و۰ تغییر کند، حاصل‌ها به‌ترتیب 24،18،12،6 و۰ هستند؛ الگو نشان می‌دهد دو علامت منفی حاصل مثبت می‌دهند.
کجا بخوانم: در «ضرب و تقسیم»
نکته مهم: ضرب دو عدد هم‌علامت مثبت و ضرب دو عدد با علامت مخالف منفی است.

۳. الف) عبارت 18−3×(2+4)18-3\times(2+4)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را حساب کنید. ب) ترتیب انجام عملیات را بنویسید و خطای انجام تفریق در ابتدا را توضیح دهید. توضیح دهید چرا ضرب باید پیش از تفریق انجام شود.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) نخست پرانتز 2+4=62+4=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس ضرب 3×6=183\times6=18ادامهٔ فرمول را افقی ببین و در پایان 18−18=018-18=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) اگر ابتدا 18−318-3ادامهٔ فرمول را افقی ببین را حساب کنیم، تقدم ضرب را نادیده گرفته‌ایم و پاسخ نادرست می‌شود.
کجا بخوانم: در «۳. ترتیب عملیات»
نکته مهم: ابتدا پرانتز، سپس توان، ضرب و تقسیم، و در پایان جمع و تفریق انجام می‌شود.

مباحث مرتبط

عددهای اول و تجزیه (ریاضی هشتم)چندضلعی‌ها و تقارن (ریاضی هشتم)جبر، معادله و اتحادها (ریاضی هشتم)بردار و مختصات (ریاضی هشتم)مثلث و رابطهٔ فیثاغورس (ریاضی هشتم)توان و جذر (ریاضی هشتم)آمار و احتمال (ریاضی هشتم)دایره و زاویهٔ محاطی (ریاضی هشتم)عددهای صحیح و گویا — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان