پرش به محتوای اصلی

عددهای صحیح و گویا (هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

عددهای صحیح و گویا (هشتم)

این مبحث دو دنیای عددی را کنار هم می‌گذارد: اول عددهای صحیح را مرور می‌کنیم و بعد با عددهای گویا (کسرها) آشنا می‌شویم و چهار عمل اصلی را روی آن‌ها یاد می‌گیریم.

عدد صحیح چیست؟

مجموعهٔ عددهای صحیح سه دسته دارد: عددهای منفی، صفر، و عددهای مثبت. نمادش Z\mathbb{Z} است:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}

محور اعداد یک خط راست است که عددها روی آن مرتب شده‌اند. هرچه به راست بروی عدد بزرگ‌تر و هرچه به چپ بروی کوچک‌تر است. روی محور، حرکت به راست یعنی جمع و حرکت به چپ یعنی تفریق.

قرینهٔ عدد aa برابر −a-a است؛ یعنی همان فاصله از صفر ولی در طرف مقابل. مثلاً قرینهٔ 55 می‌شود −5-5 و قرینهٔ 00 خودِ 00 است. یک نکتهٔ کلیدی:

−(−a)=a-(-a) = a

جمع و تفریق عددهای صحیح

سه قاعده کافی است:

  • دو عدد هم‌علامت: قدرمطلق‌ها را جمع کن و علامت مشترک را نگه دار. مثل −3+(−5)=−8-3 + (-5) = -8.
  • دو عدد مخالف‌علامت: قدرمطلق کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم کن و علامتِ عددِ بزرگ‌تر را بگذار. مثل −3+9=+6-3 + 9 = +6.
  • تفریق را همیشه به جمع با قرینه تبدیل کن: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b).
−4−8=−4+(−8)=−128−12=−4−(−7)=+7-4 - 8 = -4 + (-8) = -12 \qquad 8 - 12 = -4 \qquad -(-7) = +7

ضرب و تقسیم — قانون علامت

+×+=+−×−=++×−=−−×+=−+ \times + = + \qquad - \times - = + \qquad + \times - = - \qquad - \times + = -

همین قانون برای تقسیم هم برقرار است. برای چند عدد، فقط تعداد منفی‌ها را بشمار: زوج یعنی نتیجه مثبت، فرد یعنی نتیجه منفی.

−4×(−3)=+12−3×7=−21−8÷(−4)=+2-4 \times (-3) = +12 \qquad -3 \times 7 = -21 \qquad -8 \div (-4) = +2

ترتیب عملیات

۱) پرانتز (از داخلی‌ترین به بیرونی‌ترین) ← ۲) ضرب و تقسیم (از چپ به راست) ← ۳) جمع و تفریق (از چپ به راست).

−8−3×5=−8−15=−23-8 - 3 \times 5 = -8 - 15 = -23
1−2×(1−(8−9))=1−2×(1−(−1))=1−4=−31 - 2 \times (1 - (8-9)) = 1 - 2 \times (1-(-1)) = 1 - 4 = -3

در پرانتزِ تودرتو همیشه از داخلی‌ترین شروع کن و بیا بیرون.

محاسبهٔ هوشمند و روش گاوس

برای عبارتی مثل −43+37−29-43 + 37 - 29 چند راه داری: از چپ به راست، یا جمع‌کردن جداگانهٔ مثبت‌ها و منفی‌ها، یا ساختن جفت‌های راحت. هیچ‌کدام اجباری نیست — بهترین روش همانی است که کمتر اشتباه می‌کنی.

گاوس در کودکی جمعِ 11 تا 100100 را با جفت‌سازی حل کرد: 1+100=1011+100=101، 2+99=1012+99=101 و... یعنی 5050 جفتِ 101101 که می‌شود 50505050. فرمول کلی:

S=n(n+1)2S = \frac{n(n+1)}{2}

دو فرمول پرکاربردِ دیگر:

2+4+⋯+2n=n(n+1)1+3+⋯+(2n−1)=n22 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1) \qquad 1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2

در جمع‌های متناوب مثل −2+4−6+8−10+12-2+4-6+8-10+12، جفت‌سازیِ دوتایی سریع‌ترین راه است: 2+2+2=62+2+2=6.

عدد گویا چیست؟

هر عددی که بتوان آن را به شکل ab\dfrac{a}{b} نوشت — که aa و bb صحیح باشند و b≠0b \neq 0 — عدد گویا است. نمادش Q\mathbb{Q} است.

عددهای طبیعی، صحیح، کسرها، عددهای مخلوط و اعشاری‌ها همگی گویا هستند:

N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

مثلاً 5=515 = \frac{5}{1}، −3=−31-3 = \frac{-3}{1}، 123=531\frac{2}{3} = \frac{5}{3} و 0.25=25100=140.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}. پس هر عدد صحیح گویاست، ولی هر گویایی صحیح نیست.

چرا این تعریف مهم است؟ چون عددهای صحیح فقط نقطه‌های جدا جدا روی محور را می‌پوشانند، اما بین هر دو عدد صحیح بی‌نهایت نقطهٔ دیگر هست و کسرها همان شکاف را پر می‌کنند.

نمایش روی محور و عدد مخلوط

برای نشان دادن mn\dfrac{m}{n}: فاصلهٔ بین دو عدد صحیح را به nn قسمت مساوی تقسیم کن و از عدد پایین‌تر، mm قسمت به راست برو.

abc=a×c+bc213=73a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c} \qquad 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}

برعکسش هم با تقسیم به دست می‌آید: 145\frac{14}{5} یعنی 14÷5=214 \div 5 = 2 با باقی‌ماندهٔ 44، پس 2452\frac{4}{5}.

تلهٔ مهم: در عددهای منفی، علامت منفی جلوی کل عدد است، نه فقط قسمت صحیح: −214=−94-2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}.

کسرهای مساوی و ساده‌کردن

ab=cd  ⟺  a×d=b×c\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c

با ضرب یا تقسیم صورت و مخرج در یک عدد یکسان، کسر مساوی ساخته می‌شود: 23=46=1015\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15}.

برای ساده‌کردن، صورت و مخرج را بر ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک) تقسیم کن. مثلاً 90126\frac{90}{126} با تقسیم بر 1818 می‌شود 57\frac{5}{7}. کسر ساده‌شده یعنی صورت و مخرج هیچ مقسوم‌علیه مشترکی جز 11 ندارند.

از همین خاصیت برای پیدا کردن مجهول هم استفاده می‌کنیم:

46=x15  ⟹  4×15=6x  ⟹  x=10\frac{4}{6} = \frac{x}{15} \implies 4 \times 15 = 6x \implies x = 10

علامت کسر

یک کسر منفی سه شکل معادل دارد:

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

و اگر هر دو منفی باشند، کسر مثبت است: −3−4=34\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}. قاعده همان شمارش منفی‌هاست.

کسر در واقع یک تقسیمِ انجام‌نشده است: a÷b=aba \div b = \frac{a}{b}.

مقایسهٔ عددهای گویا

دو راه داری: هم‌مخرج کردن، یا تبدیل به اعشار. راه سریع‌تر ضرب ضربدری است (با مخرجِ مثبت): برای ab\frac{a}{b} و cd\frac{c}{d}، مقدارِ a×da \times d را با b×cb \times c مقایسه کن.

مثال: 37\frac{3}{7} و 511\frac{5}{11} ← 3×11=333 \times 11 = 33 و 7×5=357 \times 5 = 35، پس 37<511\frac{3}{7} < \frac{5}{11}.

نکتهٔ حیاتی در منفی‌ها: هر کدام قدرمطلق کوچک‌تری داشته باشد، بزرگ‌تر است.

−13<−17-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}

چگالی عددهای گویا: بین هر دو عدد گویا، هرچقدر هم به هم نزدیک، بی‌نهایت عدد گویای دیگر وجود دارد. کافی است مخرج را بزرگ‌تر کنی.

جمع و تفریق عددهای گویا

اصل بنیادی همان است: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). یعنی هیچ‌وقت مجبور به تفریق نیستی.

مخرج مساوی: فقط صورت‌ها را جمع یا تفریق کن، مخرج دست‌نخورده می‌ماند.

an±bn=a±bn−79−(−49)=−39=−13\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n} \qquad \frac{-7}{9} - \left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}

مخرج نامساوی: ک.م.م مخرج‌ها را بگیر، کسرها را هم‌مخرج کن، بعد صورت‌ها را حساب کن و در پایان ساده کن.

57−34=2028−2128=−128\frac{5}{7} - \frac{3}{4} = \frac{20}{28} - \frac{21}{28} = -\frac{1}{28}

فرمول کلیِ همیشه‌درست (که البته ساده‌سازی بیشتری لازم دارد):

ab+cd=ad+cbbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}

جمع کسر با عدد صحیح: n+ab=nb+abn + \frac{a}{b} = \frac{nb + a}{b}. مثلاً 4+13=1334 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}.

برای عددهای مخلوط، روش امن این است که اول به کسر غیرواقعی تبدیل کنی. برای اعشاری‌ها، ممیزها را زیر هم بنویس.

تخمین — ابزار کنترل پاسخ

قبل از محاسبهٔ دقیق، عددها را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد کن و یک برآورد ذهنی بگیر:

−1415+2117−3219≈−1+2−3=−2-\frac{14}{15} + 2\frac{1}{17} - 3\frac{2}{19} \approx -1 + 2 - 3 = -2

اگر پاسخ دقیقت خیلی از تخمین دور بود، احتمالاً جایی اشتباه کرده‌ای. دقت کن که −8.001-8.001 به −8-8 گرد می‌شود، نه به −9-9.

ضرب عددهای گویا

ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

اول علامت را از روی قانون علامت مشخص کن، بعد صورت در صورت و مخرج در مخرج. در ضرب هیچ نیازی به مخرج مشترک نیست.

ساده‌سازیِ قبل از ضرب (به‌صورت قطری) بهتر از بعد از آن است، چون با عددهای کوچک‌تر کمتر اشتباه می‌کنی:

49×38=13×12=16\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

عددهای مخلوط را هرگز مستقیم ضرب نکن؛ اول به کسر غیرواقعی تبدیل کن.

خاصیت توزیع‌پذیری برای کسرها هم برقرار است: a×(b+c)=ab+aca \times (b+c) = ab + ac.

در ضرب‌های زنجیره‌ای، هر مخرج با صورت بعدی ساده می‌شود و فقط صورت اول و مخرج آخر می‌ماند:

12×23×34×45×56=16\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{6}

معکوس و تقسیم

معکوس هر عدد، عددی است که ضربش در عدد اصلی برابر 11 شود:

ab×ba=1\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1

یعنی صورت و مخرج را جابه‌جا کن. علامت تغییر نمی‌کند: معکوسِ −35-\frac{3}{5} برابر −53-\frac{5}{3} است. معکوسِ 55 می‌شود 15\frac{1}{5} و معکوسِ 0.10.1 می‌شود 1010. صفر معکوس ندارد، چون 10\frac{1}{0} تعریف نشده است.

اصل کلیدی تقسیم: تقسیم = ضرب در معکوس

ab÷cd=ab×dc1÷ab=ba\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \qquad 1 \div \frac{a}{b} = \frac{b}{a}
(−635)÷(−821)=+635×218=920\left(-\frac{6}{35}\right) \div \left(-\frac{8}{21}\right) = +\frac{6}{35} \times \frac{21}{8} = \frac{9}{20}

در عبارت‌های ترکیبی هم همان اولویتِ همیشگی برقرار است: پرانتز ← ضرب و تقسیم ← جمع و تفریق.

کسر و اعشار

هر کسر را با تقسیم صورت بر مخرج به اعشار تبدیل می‌کنی. نتیجه دو حالت دارد:

  • اعشار محدود: وقتی مخرجِ کسرِ ساده‌شده فقط عامل‌های 22 و 55 داشته باشد. مثل 18=0.125\frac{1}{8}=0.125 و 54=1.25\frac{5}{4}=1.25.
  • اعشار نامحدودِ متناوب: بقیهٔ کسرها. مثل 13=0.3‾\frac{1}{3}=0.\overline{3} و 37=0.428571‾\frac{3}{7}=0.\overline{428571}.

هیچ عدد گویایی اعشار نامحدودِ غیرمتناوب ندارد. و توجه کن که 0.3‾0.\overline{3} دقیقاً برابر 13\frac{1}{3} است، نه تقریباً.

توان کسر هم به همین منطق وصل می‌شود: (ab)2=a2b2\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}. توان زوج از کسر منفی مثبت است و توان فرد منفی می‌ماند.

تله‌های رایج

  • در عبارتِ 3−4×53 - 4 \times 5 اول ضرب انجام می‌شود: پاسخ −17-17 است، نه −25-25.
  • تفریق شرکت‌پذیر نیست؛ پرانتزها را دلخواه جابه‌جا نکن.
  • در جمعِ دو عدد مخالف‌علامت، علامتِ نتیجه همیشه علامتِ عددی است که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد: −8+3=−5-8+3=-5.
  • «منهای منفی» یعنی مثبت: 5−(−3)=85-(-3)=8، نه 22.
  • در جمع کسرها مخرج‌ها را جمع نکن: 13+14=712\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}، نه 27\frac{2}{7}.
  • در تقسیم، معکوس‌کردنِ کسر دوم را فراموش نکن.
  • مخرج هرگز صفر نمی‌شود؛ 50\frac{5}{0} تعریف ندارد.
  • پاسخ نهایی همیشه باید ساده‌شده باشد.

دو نمونهٔ کوتاه

۱) حاصل جمع همهٔ عددهای صحیح از −20-20 تا 2020 چند است؟

هر عدد مثبت با قرینهٔ منفی‌اش جفت می‌شود و صفر می‌دهد:

(−20+20)+(−19+19)+⋯+(−1+1)+0=0(-20+20)+(-19+19)+\cdots+(-1+1)+0 = 0

۲) حاصل (12−13)+(13−14)+(14−15)+(15−16)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right) را بدون محاسبهٔ تک‌تک جمله‌ها بیاب.

جمله‌های میانی دو‌به‌دو حذف می‌شوند و فقط اولی و آخری می‌ماند:

12−16=36−16=13\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

چرا منفی در منفی مثبت می‌شود؟

این سؤال ذهن خیلی‌ها را درگیر می‌کند و جواب ساده‌ای دارد. فرض کن می‌دانی 3×(−2)=−63 \times (-2) = -6. حالا اگر عدد 33 را منفی کنیم، یعنی از کل نتیجه قرینه گرفته‌ایم:

(−3)×(−2)=−(3×(−2))=−(−6)=+6(-3) \times (-2) = -\big(3 \times (-2)\big) = -(-6) = +6

به زبان ساده: علامت منفی یعنی «برعکس کن». دو بار برعکس‌کردن، تو را به حالت اول برمی‌گرداند. همین منطق پشتِ تمام قانون علامت است.

چرا تقسیم بر کسر یعنی ضرب در معکوس؟

این یک «ترفند حفظی» نیست، بلکه دلیل ریاضی دارد. کافی است صورت و مخرجِ کسرِ بزرگ را در معکوسِ مخرج ضرب کنی:

23÷57=2357=23×7557×75=23×751=23×75\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{7}} = \frac{\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}}{\dfrac{5}{7} \times \dfrac{7}{5}} = \frac{\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}

مخرج به 11 تبدیل می‌شود و فقط ضربِ صورت باقی می‌ماند. همین.

ب.م.م و ک.م.م — دو ابزاری که همه‌جا لازم می‌شوند

این دو مفهوم ستون فقرات کار با کسرها هستند:

  • ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک) را برای ساده‌کردن کسر لازم داری.
  • ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) را برای هم‌مخرج‌کردن در جمع و تفریق لازم داری.

نکتهٔ میان‌بر: اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند (یعنی جز 11 مقسوم‌علیه مشترکی نداشته باشند)، ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضربشان است. مثلاً ک.م.م(3,8)=24(3, 8) = 24.

اگر ب.م.م را یک‌جا پیدا نکردی، اشکالی ندارد؛ مرحله‌به‌مرحله ساده کن تا به کوچک‌ترین حالت برسی:

6642→÷23321→÷3117\frac{66}{42} \xrightarrow{\div 2} \frac{33}{21} \xrightarrow{\div 3} \frac{11}{7}

فقط حواست باشد کارت وقتی تمام است که دیگر هیچ عامل مشترکی باقی نمانده باشد. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها این است که دانش‌آموز یکی دو مرحله ساده می‌کند و می‌ایستد، در حالی که کسر هنوز ساده‌شدنی است.

نکته‌های ریزِ اما امتحانی

  • صفر نه مثبت است نه منفی، و قرینه‌اش خودش است.
  • بزرگ‌ترین عدد صحیح منفی −1-1 است و کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت 11.
  • برای بیشترین حاصل در ضرب، جلوی عددهای منفی علامت منفی بگذار تا مثبت شوند.
  • در ضربِ عدد صحیح در کسر، عدد صحیح را به شکل n1\frac{n}{1} بنویس تا قاعده یکسان شود.
  • جمع هر عدد با قرینه‌اش صفر است: ab+(−ab)=0\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0.
  • اگر مخرج کسری منفی شد، آن را به شکل استاندارد (مخرج مثبت) دربیاور تا در مقایسه‌ها اشتباه نکنی.
  • قدرمطلق یعنی فاصله از صفر و همیشه نامنفی است: ∣a∣=a|a| = a وقتی a≥0a \geq 0، و ∣a∣=−a|a| = -a وقتی a<0a < 0.

دو نمونهٔ کوتاهِ دیگر

۳) مقدار xx را طوری بیاب که 2x−16=x+39\dfrac{2x-1}{6} = \dfrac{x+3}{9} باشد.

با ضرب ضربدری:

9(2x−1)=6(x+3)⇒18x−9=6x+18⇒12x=27⇒x=949(2x-1) = 6(x+3) \Rightarrow 18x - 9 = 6x + 18 \Rightarrow 12x = 27 \Rightarrow x = \frac{9}{4}

۴) اگر a=−23a=-\dfrac{2}{3} و b=34b=\dfrac{3}{4} باشد، مقدار a2×b−a÷ba^2 \times b - a \div b چند است؟

توان زوجِ عدد منفی مثبت است، پس a2=49a^2 = \dfrac{4}{9} و در نتیجه a2×b=49×34=13a^2 \times b = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3}.

برای تقسیم، در معکوس ضرب می‌کنیم: a÷b=−23×43=−89a \div b = -\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{8}{9}.

13−(−89)=39+89=119\frac{1}{3} - \left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{3}{9} + \frac{8}{9} = \frac{11}{9}

یک الگوی مفید برای سؤال‌های سخت

در آزمون‌های تیزهوشان و نمونه‌دولتی، خیلی وقت‌ها عبارت طولانی است ولی راه‌حلش کوتاه. قبل از اینکه شروع به محاسبهٔ مستقیم کنی، سه چیز را چک کن:

۱) آیا جمله‌ها دوبه‌دو حذف می‌شوند؟ (مثل جمع‌های زنجیره‌ای یا جفت‌های قرینه)

۲) آیا الگوی تکراری وجود دارد که با یک فرمول جمع شود؟ (مثل n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} یا n2n^2)

۳) آیا می‌شود قبل از ضرب ساده کرد تا با عددهای کوچک کار کنی؟

مثال: (2+4+⋯+40)−(1+3+⋯+39)(2+4+\cdots+40) - (1+3+\cdots+39). به‌جای جمع‌زدن هشتاد عدد، از فرمول‌ها استفاده کن. جمع زوج‌ها با n=20n=20 برابر 20×21=42020 \times 21 = 420 و جمع فردها برابر 202=40020^2 = 400 است، پس پاسخ 2020 می‌شود.

دیدن این الگوها با تمرین می‌آید. اولش طبیعی است که مستقیم شروع به حساب‌کردن کنی؛ کم‌کم چشمت به الگوها عادت می‌کند.

جمع‌بندی

عددهای صحیح با قانون علامت و ترتیب عملیات اداره می‌شوند، و عددهای گویا همان ایده را به دنیای کسرها می‌برند. سه اصل را نگه دار: تفریق = جمع با قرینه، تقسیم = ضرب در معکوس، و تعداد منفی‌ها را بشمار. در جمع و تفریق مخرج باید یکسان شود، ولی در ضرب و تقسیم اصلاً چنین چیزی لازم نیست. عددهای مخلوط را قبل از ضرب و تقسیم به کسر غیرواقعی تبدیل کن، پاسخ را همیشه ساده کن، و با یک تخمین سریع منطقی بودن نتیجه را بسنج. اگر این چند قاعده در ذهنت جا بیفتد، بقیهٔ فصل‌های ریاضی هشتم روی همین پایه ساخته می‌شوند.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. حاصل عبارت −23+14×(−85)−(−12)-\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times (-\frac{8}{5}) - (-\frac{1}{2}) کدام است؟

  • −1730-\frac{17}{30}
  • 130\frac{1}{30}
  • −1130-\frac{11}{30}
  • −730-\frac{7}{30}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1730-\frac{17}{30}» درست است زیرا با رعایت ترتیب عملیات، ابتدا ضرب 14×(−85)=−25\frac{1}{4} \times (-\frac{8}{5}) = -\frac{2}{5}، سپس تبدیل تفریق به جمع −(−12)=+12-(-\frac{1}{2}) = +\frac{1}{2}، و در نهایت جمع کسرها با مخرج مشترک ۳۰ به −20−12+1530=−1730\frac{-20-12+15}{30} = -\frac{17}{30} می‌رسیم. سایر گزینه‌ها حاصل اشتباه در علامت یا جمع هستند. تلهٔ تستی: در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا پرانتز، سپس ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و در پایان جمع و تفریق انجام می‌شود؛ محاسبه‌ی عبارت صرفاً از چپ به راست و بدونِ رعایتِ این اولویت، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

2. حاصل عبارت (−23)×(−35)×(−57)×(−79)(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{3}{5}) \times (-\frac{5}{7}) \times (-\frac{7}{9}) کدام است؟

  • −49-\frac{4}{9}
  • 49\frac{4}{9}
  • −29-\frac{2}{9}
  • 29\frac{2}{9}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«29\frac{2}{9}» درست است زیرا تعداد منفی‌ها ۴ (زوج) است، پس حاصل مثبت می‌شود. با ساده‌سازی قبل از ضرب، صورت‌ها و مخرج‌های قطری حذف شده و 29\frac{2}{9} باقی می‌ماند. گزینه‌های منفی به دلیل اشتباه در شمارش علامت‌ها و گزینه‌های 49\frac{4}{9} به دلیل ساده‌نکردن نادرست غلط هستند. تلهٔ تستی: در ضرب یا تقسیمِ زنجیره‌ای چند عددِ منفی، فقط لازم است تعدادِ علامت‌های منفی شمرده شود — زوج بودنِ تعداد یعنی نتیجه مثبت و فرد بودنِ آن یعنی نتیجه منفی؛ شمارشِ نادرستِ تعدادِ منفی‌ها شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

3. حاصل 12−13÷(−23)×14\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \div (-\frac{2}{3}) \times \frac{1}{4} کدام است؟

  • 58\frac{5}{8}
  • −18-\frac{1}{8}
  • 38\frac{3}{8}
  • 18\frac{1}{8}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«58\frac{5}{8}» درست است. طبق ترتیب عملیات، ابتدا تقسیم: 13÷(−23)=−12\frac{1}{3} \div (-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{2}، سپس ضرب: −12×14=−18-\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}، و در نهایت 12−(−18)=12+18=58\frac{1}{2} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}. سایر گزینه‌ها از اشتباه در اولویت عملیات یا علامت ناشی شده‌اند. تلهٔ تستی: در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا پرانتز، سپس ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و در پایان جمع و تفریق انجام می‌شود؛ محاسبه‌ی عبارت صرفاً از چپ به راست و بدونِ رعایتِ این اولویت، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

4. کدام گزینه دو عدد نابرابر را نشان می‌دهد؟

  • −35-\frac{3}{5} و 3−5\frac{3}{-5}
  • −78-\frac{7}{8} و −78\frac{-7}{8}
  • −912-\frac{9}{12} و −34-\frac{3}{4}
  • −23-\frac{2}{3} و −2−3\frac{-2}{-3}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−23-\frac{2}{3} و −2−3\frac{-2}{-3}» نابرابرند زیرا −2−3=+23\frac{-2}{-3} = +\frac{2}{3} که با −23-\frac{2}{3} متفاوت است. سایر گزینه‌ها تساوی برقرار است: 3−5=−35\frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}، −78=−78\frac{-7}{8} = -\frac{7}{8}، −912=−34-\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}. تلهٔ تستی: برای تشخیصِ برابریِ دو کسر، باید از ضربِ ضربدری (نه فقط نگاهِ سطحی به صورت و مخرج) استفاده کرد؛ کسرهایی که بدونِ ساده‌سازیِ کامل نزدیک به هم به‌نظر می‌رسند، اغلب باعثِ خطای مقایسه‌ی چشمی می‌شوند.

5. حاصل −56+38−14\frac{-5}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4} کدام است؟

  • −724-\frac{7}{24}
  • 724\frac{7}{24}
  • −1724-\frac{17}{24}
  • 1724\frac{17}{24}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1724-\frac{17}{24}» درست است. با مخرج مشترک ۲۴: −2024+924−624=−20+9−624=−1724\frac{-20}{24} + \frac{9}{24} - \frac{6}{24} = \frac{-20+9-6}{24} = -\frac{17}{24}. گزینه‌های مثبت و 724\frac{7}{24} از اشتباه در علامت‌زنی یا جمع نادرست حاصل شده‌اند. تلهٔ تستی: در جمع و تفریقِ کسرهای ناهم‌مخرج، باید ابتدا مخرجِ مشترک (ک.م.م) پیدا و کسرها به آن تبدیل شوند؛ جمع یا تفریقِ مستقیمِ صورت‌ها بدونِ یکسان‌کردنِ مخرج، شایع‌ترین خطای این نوع سؤال است.

مباحث مرتبط

عددهای اول (هشتم)چندضلعی (هشتم)جبر و معادله (هشتم)بردار و مختصات (هشتم)مثلث (هشتم)توان و جذر (هشتم)آمار و احتمال (هشتم)دایره (هشتم)خداشناسی (هشتم)راهنماشناسی (هشتم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان