پرش به محتوای اصلی

آمار و احتمال (ریاضی هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

آمار و احتمال (هشتم)

این مبحث چهار بخش دارد: دسته‌بندی داده‌ها، میانگین، احتمال و بررسی حالت‌های ممکن. دو بخش اول دربارهٔ منظم کردن و خلاصه کردن اطلاعات است و دو بخش آخر دربارهٔ اندازه‌گیری شانس.

آمار و داده یعنی چه؟

آمار علمی است که یاد می‌دهد چطور داده‌ها را جمع‌آوری، سازماندهی، تحلیل و تفسیر کنیم. داده هر عدد یا اطلاعاتی است که در یک آمارگیری جمع می‌شود — مثل قد ۴۰ نفر یا نمرات یک کلاس.

وقتی داده‌ها زیادند، نگاه کردن به تک‌تکشان گیج‌کننده است. با دسته‌بندی می‌توانیم الگوی کلی را ببینیم، بفهمیم بیشتر داده‌ها کجا تجمع دارند، و نمودار بکشیم.

چهار نوع نمودار

نوع نمودار کاربرد
میله‌ای مقایسهٔ مقادیر مختلف با هم
خط شکسته نشان دادن تغییرات در طول زمان
تصویری نمایش داده با تصویر
دایره‌ای نشان دادن سهم هر بخش از کل

دامنهٔ تغییرات

فاصلهٔ بین کمترین و بیشترین داده:

دامنهٔ تغییرات=بیشترین داده−کمترین داده\text{دامنهٔ تغییرات} = \text{بیشترین داده} - \text{کمترین داده}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً اگر کمترین قد 130130ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بیشترین 205205ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر باشد، دامنه برابر 7575ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. این عدد پایهٔ تعیین حدود دسته‌هاست.

طول دسته

طول دسته=دامنهٔ تغییراتتعداد دسته‌ها\text{طول دسته} = \frac{\text{دامنهٔ تغییرات}}{\text{تعداد دسته‌ها}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تعداد دسته‌ها را با توجه به موضوع و تعداد داده‌ها انتخاب می‌کنیم — معمولاً بین ۴ تا ۶ دسته. هیچ عدد جادویی ثابتی وجود ندارد. مثلاً 755=15\frac{75}{5} = 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی هر دسته طول 1515ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد.

نکتهٔ مهم: اگر نتیجهٔ تقسیم اعشاری شد، حتماً به بالا گرد کن (مثلاً ۱۴.۶ می‌شود ۱۵)، نه به نزدیک‌ترین عدد — وگرنه بزرگ‌ترین داده‌ها در هیچ دسته‌ای جا نمی‌گیرند.

حدود دسته‌ها و منطق علامت‌ها

دسته حدود معنا
اول 130≤x<145130 \leq x < 145ادامهٔ فرمول را افقی ببین از ۱۳۰ تا کمتر از ۱۴۵
دوم 145≤x<160145 \leq x < 160ادامهٔ فرمول را افقی ببین از ۱۴۵ تا کمتر از ۱۶۰
سوم 160≤x<175160 \leq x < 175ادامهٔ فرمول را افقی ببین از ۱۶۰ تا کمتر از ۱۷۵
آخر 190≤x≤205190 \leq x \leq 205ادامهٔ فرمول را افقی ببین از ۱۹۰ تا خودِ ۲۰۵
  • علامت ≤\leqادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی آن عدد داخل دسته است
  • علامت <<ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی آن عدد خارج از دسته است (در دستهٔ بعدی)

قاعدهٔ استاندارد: حد پایین داخل (≤\leqادامهٔ فرمول را افقی ببین) و حد بالا خارج (<<ادامهٔ فرمول را افقی ببین) — به‌جز آخرین دسته که حد بالا هم داخل است، تا بیشترین داده حتماً جایی داشته باشد. این علامت‌گذاری تضمین می‌کند هیچ داده‌ای نه دو بار شمرده شود و نه از قلم بیفتد.

جدول فراوانی

فراوانی یعنی تعداد داده‌هایی که در یک دسته قرار می‌گیرند. با چوب‌خط می‌شماریم: برای هر داده یک خط، و خط پنجم را مورب می‌کشیم تا شمارش راحت باشد.

مهم‌ترین راه بررسی صحت جدول:

∑فراوانی‌ها=n(تعداد کل داده‌ها)\sum \text{فراوانی‌ها} = n \quad (\text{تعداد کل داده‌ها})ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر برابر نشد، یا داده‌ای جا افتاده یا دو بار شمرده شده.

نمودار میله‌ای دسته‌بندی‌شده

محور افقی حدود دسته‌ها و محور عمودی فراوانی است. ارتفاع هر میله فقط و فقط فراوانی آن دسته را نشان می‌دهد — نه طول دسته و نه حدود آن. در داده‌های دسته‌بندی‌شده، میله‌ها معمولاً به هم چسبیده رسم می‌شوند. عنوان، واحد و مقیاس محورها را هم فراموش نکن.

چند نکتهٔ فراتر از کتاب

چرا طول دسته‌ها را مساوی می‌گیریم؟ اگر دسته‌ای بازهٔ بزرگ‌تری داشته باشد، طبیعتاً فراوانی بیشتری می‌گیرد — نه چون داده‌ها آنجا تجمع دارند، بلکه فقط چون بازه‌اش بزرگ‌تر است. مساوی بودن طول‌ها مقایسه را عادلانه می‌کند.

نقطهٔ شروع لازم نیست دقیقاً کمترین داده باشد. می‌توان کمی پایین‌تر شروع کرد تا مرزها اعداد تمیزتری شوند (مثلاً اگر کمترین داده ۱۳۸ است، از ۱۳۵ شروع کن).

فراوانی نسبی:

فراوانی نسبی=فراوانی دستهn×100%\text{فراوانی نسبی} = \frac{\text{فراوانی دسته}}{n} \times 100\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً اگر فراوانی یک دسته ۱۸ و n=40n=40ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، 1840×100=45%\frac{18}{40}\times100 = 45\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین افراد در آن دسته‌اند.

میانگین چیست؟

میانگین عددی نماینده برای کل داده‌هاست؛ اگر بخواهیم همه را با یک عدد خلاصه کنیم، از میانگین استفاده می‌کنیم:

xˉ=Sn=مجموع داده‌هاتعداد داده‌ها\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{\text{مجموع داده‌ها}}{\text{تعداد داده‌ها}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نماد xˉ\bar{x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را «ایکس بار» می‌خوانند. مثال: نمرات 17,15,18,17,1917, 15, 18, 17, 19ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد xˉ=865=17.2\bar{x} = \frac{86}{5} = 17.2ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

میانگین کمک می‌کند دو گروه را با هم مقایسه کنیم و خلاصه‌ای عددی از کل داده‌ها داشته باشیم.

خاصیت تعادل میانگین

میانگین مثل نقطهٔ تعادل یک ترازوست:

مجموع فاصله‌های بالاتر از میانگین=مجموع فاصله‌های پایین‌تر\text{مجموع فاصله‌های بالاتر از میانگین} = \text{مجموع فاصله‌های پایین‌تر}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: برای داده‌های 11,12,12,13,13,13,14,14,1511, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگین 1313ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. فاصله‌های پایین‌تر: 2+1+1=42+1+1 = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ فاصله‌های بالاتر: 1+1+2=41+1+2 = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برابرند. به زبان فرمول:

∑i=1n(xi−xˉ)=0\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نکتهٔ کاربردی: اگر داده‌ها متقارن یا متوالی باشند، میانگین همان عدد میانی است — بدون هیچ محاسبه‌ای. مثلاً میانگین اعداد ۱۱ تا ۱۹ برابر ۱۵ است.

پیدا کردن مجموع از روی میانگین

S=xˉ×nS = \bar{x} \times nادامهٔ فرمول را افقی ببین

این رابطه در بیشتر مسئله‌های سخت این درس کلید حل است. مثلاً اگر میانگین ۷ نمره 16.516.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، مجموعشان 115.5115.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

میانگین داده‌های دسته‌بندی‌شده

وقتی داده‌ها دسته‌بندی شده‌اند، تک‌تک اعداد واقعی را نداریم. پس از مرکز دسته استفاده می‌کنیم:

m=حد پایین+حد بالا2m = \frac{\text{حد پایین} + \text{حد بالا}}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً مرکز دستهٔ 130≤x<145130 \leq x < 145ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 130+1452=137.5\frac{130+145}{2} = 137.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. دقت: مرکز دسته میانگین هر دو حد است، نه فقط حد پایین. برای آخرین دسته هم دقیقاً همین فرمول به کار می‌رود؛ تفاوت آن دسته فقط در علامت ≤\leqادامهٔ فرمول را افقی ببین بود.

سپس:

xˉ=∑(f×m)n\bar{x} = \frac{\sum(f \times m)}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی مرکز هر دسته را در فراوانی همان دسته ضرب کن، همه را جمع بزن، و بر تعداد کل تقسیم کن.

حدود دسته فراوانی ffادامهٔ فرمول را افقی ببین مرکز mmادامهٔ فرمول را افقی ببین f×mf \times mادامهٔ فرمول را افقی ببین
130≤x<145130 \leq x < 145ادامهٔ فرمول را افقی ببین 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین 137.5137.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین 412.5412.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
145≤x<160145 \leq x < 160ادامهٔ فرمول را افقی ببین 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین 152.5152.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین 1067.51067.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
160≤x<175160 \leq x < 175ادامهٔ فرمول را افقی ببین 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین 167.5167.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین 30153015ادامهٔ فرمول را افقی ببین
175≤x<190175 \leq x < 190ادامهٔ فرمول را افقی ببین 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین 182.5182.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین 1642.51642.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
190≤x≤205190 \leq x \leq 205ادامهٔ فرمول را افقی ببین 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین 197.5197.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین 592.5592.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جمع 4040ادامهٔ فرمول را افقی ببین — 67306730ادامهٔ فرمول را افقی ببین
xˉ=673040=168.25\bar{x} = \frac{6730}{40} = 168.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا این میانگین تقریبی است؟ چون فرض می‌کنیم داده‌های هر دسته به‌طور یکنواخت پخش شده‌اند و همه برابر مرکز دسته‌اند. در واقعیت همیشه چنین نیست، ولی خطای این روش کم است.

میانگین وزنی — مهم‌ترین تلهٔ این درس

نمی‌توان میانگین دو میانگین را ساده گرفت، مگر تعداد اعضای دو گروه برابر باشد. اگر میانگین ۷ نمره 16.516.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد و دو نمرهٔ ۱۷ و ۱۵ اضافه شوند:

روش غلط: 16.5+162=16.25\frac{16.5+16}{2} = 16.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین

روش درست:

xˉکل=n1xˉ1+n2xˉ2n1+n2=7×16.5+2×169=147.59≈16.39\bar{x}_{\text{کل}} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{7\times16.5 + 2\times16}{9} = \frac{147.5}{9} \approx 16.39ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دلیلش ساده است: گروه ۷ نفره «وزن» بیشتری از گروه ۲ نفره دارد.

تأثیر دادهٔ پرت

دادهٔ پرت عددی است که خیلی بزرگ‌تر یا کوچک‌تر از بقیه است، و میانگین به آن بسیار حساس است. جهت تغییر هم قاعدهٔ روشنی دارد:

  • حذف داده‌ای که زیر میانگین است ← میانگین بالا می‌رود
  • حذف داده‌ای که بالای میانگین است ← میانگین پایین می‌آید
  • حذف داده‌ای برابر میانگین ← میانگین تغییر نمی‌کند

پس یک عدد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک می‌تواند میانگین را به سمت خودش بکشد و تصویر واقعی گروه را نشان ندهد.

احتمال چیست؟

به موقعیت‌هایی که نتیجه‌شان از پیش معلوم نیست آزمایش تصادفی می‌گوییم — انداختن سکه، کشیدن کارت، برداشتن مهره. احتمال به ما می‌گوید هر نتیجه چقدر شانس دارد.

واژه تعریف
آزمایش تصادفی آزمایشی که نتیجه‌اش از پیش معلوم نیست
فضای نمونه (SSادامهٔ فرمول را افقی ببین) مجموعهٔ همهٔ حالت‌های ممکن
پیشامد (AAادامهٔ فرمول را افقی ببین) نتیجه یا گروهی از نتایج که برایمان مهم است
حالت‌های هم‌شانس حالت‌هایی با شانس یکسان
احتمال عددی بین ۰ و ۱ که میزان شانس را نشان می‌دهد

شرط اصلی: هم‌شانس بودن

قبل از هر محاسبه باید مطمئن شوی حالت‌ها هم‌شانس هستند — یعنی هر کدام شانس یکسانی دارند. کارت‌های هم‌اندازه، مهره‌های هم‌اندازه، سکه و تاس سالم، و چرخنده با بخش‌های مساوی هم‌شانس‌اند؛ ولی کارت‌های اندازه‌های مختلف یا سکهٔ کج نه.

مثال کلیدی: در کیسه‌ای ۳ مهرهٔ سبز و ۱ مهرهٔ سفید داریم. آیا دو حالت داریم («سبز» و «سفید») یا چهار حالت؟ چهار حالت. چون سه مهرهٔ سبز سه شیء فیزیکی جداگانه‌اند و شانس هر کدام برابر است. اگر بگوییم فقط دو حالت داریم، آن دو هم‌شانس نیستند — «سبز» سه برابر «سفید» شانس دارد.

قانون: وقتی حالت‌ها هم‌شانس به نظر نمی‌رسند، با شماره‌گذاری آن‌ها را به حالت‌های هم‌شانس تبدیل کن.

فرمول احتمال

P(A)=n(A)n(S)=تعداد حالت‌های مطلوبتعداد کل حالت‌های ممکنP(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

منطقش ساده است: اگر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت هم‌شانس داشته باشیم، هرکدام احتمال 1n\frac{1}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد؛ اگر kkادامهٔ فرمول را افقی ببین تا از آن‌ها مطلوب باشند، احتمال کل kn\frac{k}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

مثال تاس: S={1,2,3,4,5,6}S = \{1,2,3,4,5,6\}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و n(S)=6n(S)=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین. احتمال آمدن مضرب ۳ (یعنی ۳ یا ۶) برابر 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. احتمال را همیشه ساده کن.

دامنهٔ احتمال

0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مقدار معنی مثال
P=0P = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین غیرممکن آمدن عدد ۷ روی تاس معمولی
0<P<120 < P < \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از نصف —
P=12P = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً نیمی از موارد رو آمدن سکه
12<P<1\frac{1}{2} < P < 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیشتر از نصف —
P=1P = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتمی آمدن عددی کمتر از ۱۰ روی تاس

دقت: احتمال صفر یعنی آن پیشامد اصلاً امکان رخ دادن ندارد — نه «خیلی بعید است».

احتمال متمم

اگر AAادامهٔ فرمول را افقی ببین یک پیشامد باشد، Aˉ\bar{A}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «AAادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ نداد». چون هیچ حالت سومی وجود ندارد:

P(A)+P(Aˉ)=1  ⟹  P(Aˉ)=1−P(A)P(A) + P(\bar{A}) = 1 \implies P(\bar{A}) = 1 - P(A)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً اگر احتمال سبز بودن مهره 38\frac{3}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، احتمال سبز نبودن 58\frac{5}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

پیدا کردن تعداد از روی احتمال

n(A)=P(A)×n(S)n(A) = P(A) \times n(S)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: از کیسه‌ای با ۵۰ مهره احتمال سبز بودن 310\frac{3}{10}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس تعداد سبزها 310×50=15\frac{3}{10}\times50 = 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

نکته: از روی احتمال به‌تنهایی نمی‌توان تعداد کل را فهمید — 38\frac{3}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌تواند ۳ از ۸، ۶ از ۱۶ یا ۹ از ۲۴ باشد.

چرخنده‌های نامساوی

اگر بخش‌های چرخنده مساوی نباشند، از زاویه استفاده کن:

P(A)=زاویهٔ بخش A360°P(A) = \frac{\text{زاویهٔ بخش } A}{360°}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

احتمال نظری در برابر تجربی

احتمال نظری همان است که با فرمول و بدون آزمایش حساب می‌شود. احتمال تجربی از داده‌های واقعی می‌آید:

Pتجربی(A)=تعداد دفعاتی که A رخ دادتعداد کل آزمایش‌هاP_{\text{تجربی}}(A) = \frac{\text{تعداد دفعاتی که } A \text{ رخ داد}}{\text{تعداد کل آزمایش‌ها}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هرچه تعداد آزمایش‌ها بیشتر شود، احتمال تجربی به نظری نزدیک‌تر می‌شود؛ این را قانون اعداد بزرگ می‌نامند.

سکه حافظه ندارد. اگر ۴ بار پشت سر هم رو آمده باشد، بار پنجم باز هم P(رو)=12P(\text{رو}) = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. هر پرتاب مستقل است و گذشته روی آینده اثری ندارد.

همچنین وقتی می‌گوییم «چرخنده را ۳۰۰ بار می‌چرخانیم»، انتظار داریم تقریباً یک‌سوم بار روی هر رنگ بایستد — نه اینکه حتماً دقیقاً ۱۰۰ بار. کلمهٔ «دقیقاً» در احتمال نظری جایی ندارد.

آزمایش‌های ترکیبی — دو سکه، ۳ حالت یا ۴ حالت؟

فرض کن دو سکه می‌اندازیم. ممکن است فکر کنی سه حالت داریم: هر دو رو، هر دو پشت، یکی رو یکی پشت. اما این سه حالت هم‌شانس نیستند. جدول را ببین:

سکهٔ دوم: رو سکهٔ دوم: پشت
سکهٔ اول: رو رو — رو رو — پشت
سکهٔ اول: پشت پشت — رو پشت — پشت

چهار حالت هم‌شانس داریم، چون «رو—پشت» و «پشت—رو» دو حالت متفاوت‌اند؛ سکهٔ اول و دوم دو شیء فیزیکی مجزا هستند و ترتیب اهمیت دارد. پس:

P(هر دو رو)=14,P(هر دو پشت)=14,P(یکی رو یکی پشت)=24=12P(\text{هر دو رو}) = \frac{1}{4}, \quad P(\text{هر دو پشت}) = \frac{1}{4}, \quad P(\text{یکی رو یکی پشت}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قانون ضرب

وقتی آزمایش‌ها مستقل از هم باشند، تعداد کل حالت‌ها حاصل‌ضرب تعداد حالت‌های هر آزمایش است:

n(S)=n1×n2×n3×⋯n(S) = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا؟ برای هر حالت آزمایش اول، n2n_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت از آزمایش دوم وجود دارد؛ پس کل ترکیب‌ها n1×n2n_1 \times n_2ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

آزمایش حساب تعداد کل
۲ سکه 2×22\times2ادامهٔ فرمول را افقی ببین 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین
۳ سکه 2×2×22\times2\times2ادامهٔ فرمول را افقی ببین 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین
nnادامهٔ فرمول را افقی ببین سکه 2n2^nادامهٔ فرمول را افقی ببین 2n2^nادامهٔ فرمول را افقی ببین
۲ تاس 6×66\times6ادامهٔ فرمول را افقی ببین 3636ادامهٔ فرمول را افقی ببین
چرخندهٔ ۳ رنگ + تاس 3×63\times6ادامهٔ فرمول را افقی ببین 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین
قفل nnادامهٔ فرمول را افقی ببین رقمی 10n10^nادامهٔ فرمول را افقی ببین 10n10^nادامهٔ فرمول را افقی ببین

دقت: آزمایش‌های هم‌زمان باید ضرب شوند، نه جمع. چرخندهٔ ۳ حالته با تاس ۶ حالته 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت می‌دهد، نه 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جدول یا نمودار درختی؟

موقعیت ابزار مناسب
دو آزمایش، نیاز به دیدن همهٔ حالت‌ها جدول
سه آزمایش یا بیشتر نمودار درختی
فقط تعداد کل لازم است قانون ضرب (سریع‌ترین)

در نمودار درختی، از یک نقطه شروع می‌کنی و برای هر حالت آزمایش اول یک شاخه می‌کشی، بعد از هر شاخه برای آزمایش دوم شاخه‌های تازه، و همین‌طور جلو. فقط انتهای شاخه‌ها را بشمار — هر مسیر کامل از ریشه تا انتها یک حالت است، نه شاخه‌های میانی. تعداد انتهای شاخه‌ها باید با قانون ضرب جور دربیاید.

روش متمم — کلید مسئله‌های «دست‌کم»

P(دست‌کم یکی)=1−P(هیچ‌کدام)P(\text{دست‌کم یکی}) = 1 - P(\text{هیچ‌کدام})ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا سریع‌تر است؟ چون «هیچ‌کدام» معمولاً فقط یک حالت دارد. مثلاً برای سه سکه، تنها حالت بدون رو «پشت-پشت-پشت» است، پس:

P(دست‌کم یک رو)=1−18=78P(\text{دست‌کم یک رو}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تفاوت «دقیقاً»، «دست‌کم» و «حداکثر»

عبارت معنی مثال در ۳ سکه
دقیقاً دو رو نه کمتر، نه بیشتر ۳ حالت
دست‌کم دو رو دو رو یا سه رو 3+1=43+1 = 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت
حداکثر دو رو صفر، یک یا دو رو 8−1=78-1 = 7ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت

الگوی توان در زندگی واقعی

قانون ضرب پشت خیلی از چیزهای آشناست: لولهٔ انشعاب nnادامهٔ فرمول را افقی ببین مرحله‌ای 2n2^nادامهٔ فرمول را افقی ببین خروجی دارد، رمز nnادامهٔ فرمول را افقی ببین رقمی با ارقام ۰ تا ۹ برابر 10n10^nادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت، و پسورد nnادامهٔ فرمول را افقی ببین حرفی با ۲۶ حرف لاتین 26n26^nادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت. هر «مرحله» یا «رقم» تازه، کل تعداد حالت‌ها را در تعداد حالت‌های آن مرحله ضرب می‌کند.

به همین دلیل رمزهای طولانی امن‌ترند: قفل یک‌رقمی ۱۰ حالت دارد (P=110P = \frac{1}{10}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، دو‌رقمی ۱۰۰ حالت و سه‌رقمی ۱۰۰۰ حالت. با هر رقم اضافه، احتمال حدس درست ۱۰ برابر کمتر می‌شود.

نکته‌ای دربارهٔ دو تاس

در جدول 6×66\times6ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو تاس (۳۶ خانه)، مجموع‌های مختلف احتمال یکسانی ندارند: مجموع ۲ فقط یک حالت دارد (136\frac{1}{36}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، مجموع ۱۲ هم یک حالت، اما مجموع ۷ شش حالت دارد (636=16\frac{6}{36} = \frac{1}{6}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) — بیشترین احتمال. همچنین «تاس اول ۳ و دومی ۵» با «تاس اول ۵ و دومی ۳» دو خانهٔ جداگانه‌اند، پس P(یکی ۳ و دیگری ۵)=236=118P(\text{یکی ۳ و دیگری ۵}) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}ادامهٔ فرمول را افقی ببین در حالی که P(هر دو ۵)=136P(\text{هر دو ۵}) = \frac{1}{36}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

احتمال به سه زبان

یک احتمال را می‌توان به سه شکل نوشت: کسر (14\frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، اعشار (0.250.25ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و درصد (25%25\%ادامهٔ فرمول را افقی ببین). در کتاب هشتم کسر رایج‌ترین شکل است. در دنیای واقعی هر سه به کار می‌روند — «احتمال باران فردا ۷۰٪ است» یعنی P=0.7P = 0.7ادامهٔ فرمول را افقی ببین. احتمال زبان مشترک ریاضی، آمار، پزشکی و اقتصاد است.

اشتباهات رایج

اشتباه غلط درست راه جلوگیری
نگرفتن مجموع فراوانی‌ها جدول را بدون چک تمام کردن ∑f=n\sum f = nادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه مجموع را با nnادامهٔ فرمول را افقی ببین بسنج
خواندن غلط علامت نامساوی ۱۶۰ را خارج از 160≤x<175160 \leq x < 175ادامهٔ فرمول را افقی ببین دانستن ۱۶۰ داخل است، ۱۷۵ نیست به علامت نگاه کن، نه به حس
گرد کردن طول دسته به پایین ۱۴.۶ ← ۱۴ ۱۴.۶ ← ۱۵ همیشه به بالا گرد کن
علامت <<ادامهٔ فرمول را افقی ببین در آخرین دسته 190≤x<205190 \leq x < 205ادامهٔ فرمول را افقی ببین 190≤x≤205190 \leq x \leq 205ادامهٔ فرمول را افقی ببین آخرین دسته هر دو طرف بسته
ارتفاع میله را طول دسته گرفتن — ارتفاع = فراوانی همیشه فراوانی
میانگین گرفتن از دو میانگین 16.5+162\frac{16.5+16}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگین وزنی تعداد هر گروه را لحاظ کن
مرکز دسته را حد پایین گرفتن m=160m = 160ادامهٔ فرمول را افقی ببین m=160+1752=167.5m = \frac{160+175}{2} = 167.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین میانگین هر دو حد
فراموش کردن ضرب در فراوانی جمع مرکزها بر تعداد دسته‌ها ∑(f×m)n\frac{\sum(f\times m)}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر مرکز را در ffادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب کن
نادیده گرفتن هم‌شانس بودن ۳ سبز و ۱ سفید ← P=12P = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین P=34P = \frac{3}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت‌ها را شماره‌گذاری کن
اثر دادن پرتاب‌های قبلی «۴ بار پشت آمده، پس حالا رو محتمل‌تر است» P=12P = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه هر آزمایش مستقل است
P(Aˉ)=1+P(A)P(\bar{A}) = 1 + P(A)ادامهٔ فرمول را افقی ببین — P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ داد + رخ نداد =1= 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سه حالت برای دو سکه n(S)=3n(S)=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین n(S)=4n(S)=4ادامهٔ فرمول را افقی ببین سکه‌ها را برچسب بزن
جمع به‌جای ضرب 3+6=93+6 = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین 3×6=183\times6 = 18ادامهٔ فرمول را افقی ببین «برای هر حالت اولی، ۶ حالت دومی»
ساده نکردن کسر 610\frac{6}{10}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 35\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه ساده کن

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) دامنهٔ تغییرات مجموعه‌ای از داده‌ها 6060ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و در ۴ دستهٔ مساوی تقسیم شده. اگر حد پایین دستهٔ اول 2020ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، حد بالای دستهٔ سوم چیست؟

حل: طول هر دسته 604=15\frac{60}{4} = 15ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حدود دسته‌ها: [20,35)[20,35)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، [35,50)[35,50)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، [50,65)[50,65)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس حد بالای دستهٔ سوم برابر 6565ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

۲) وزن ۶۰ دانش‌آموز در ۵ دستهٔ مساوی دسته‌بندی شده و دامنهٔ تغییرات 4545ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم است. اگر دستهٔ سوم 54≤x<6354 \leq x < 63ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، کمترین و بیشترین وزن را بیابید.

حل: طول هر دسته 455=9\frac{45}{5} = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دستهٔ سوم از 5454ادامهٔ فرمول را افقی ببین شروع می‌شود، پس برای رسیدن به شروع دستهٔ اول دو طول دسته عقب می‌رویم: 54−2×9=3654 - 2\times9 = 36ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بیشترین وزن انتهای دستهٔ پنجم است: 36+5×9=8136 + 5\times9 = 81ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم.

۳) میانگین نمرات ۱۲ نفر 1414ادامهٔ فرمول را افقی ببین و میانگین ۸ نفر دیگر 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. میانگین کل ۲۰ نفر را بیابید.

حل: با میانگین وزنی:

xˉ=12×14+8×1820=168+14420=31220=15.6\bar{x} = \frac{12\times14 + 8\times18}{20} = \frac{168+144}{20} = \frac{312}{20} = 15.6ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۴) میانگین نمرات ۱۰ دانش‌آموز 15.815.8ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر نمرهٔ یکی از آن‌ها که 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین بوده حذف شود، میانگین ۹ نفر باقی‌مانده چقدر است؟

حل: مجموع اولیه S=15.8×10=158S = 15.8\times10 = 158ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بعد از حذف: 158−6=152158-6 = 152ادامهٔ فرمول را افقی ببین. میانگین جدید: 1529≈16.89\frac{152}{9} \approx 16.89ادامهٔ فرمول را افقی ببین. همان‌طور که انتظار می‌رفت، چون نمرهٔ حذف‌شده زیر میانگین بود، میانگین بالا رفت.

۵) در جعبه‌ای ۴۰ مهره داریم و احتمال قرمز بودن 720\frac{7}{20}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر ۶ مهرهٔ قرمز دیگر اضافه کنیم، احتمال قرمز بودن چقدر می‌شود؟

حل: تعداد قرمزهای فعلی: 720×40=14\frac{7}{20}\times40 = 14ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بعد از افزودن، هم تعداد قرمزها و هم تعداد کل عوض می‌شود:

Pجدید=14+640+6=2046=1023P_{\text{جدید}} = \frac{14+6}{40+6} = \frac{20}{46} = \frac{10}{23}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۶) دو تاس می‌اندازیم. احتمال اینکه مجموع دو عدد فرد باشد چقدر است؟

حل: مجموع فقط وقتی فرد می‌شود که یکی زوج و دیگری فرد باشد. در هر تاس ۳ عدد زوج و ۳ عدد فرد داریم:

  • اولی زوج و دومی فرد: 3×3=93\times3 = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت
  • اولی فرد و دومی زوج: 3×3=93\times3 = 9ادامهٔ فرمول را افقی ببین حالت

پس n(A)=18n(A) = 18ادامهٔ فرمول را افقی ببین و n(S)=36n(S) = 36ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی P=1836=12P = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

۷) چرخنده‌ای به ۴ بخش تقسیم شده: قرمز با زاویهٔ 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آبی 120°120°ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سبز 60°60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بقیه زرد. احتمال ایستادن روی زرد را بیابید.

حل: مجموع سه زاویهٔ اول 270°270°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس زاویهٔ زرد 360°−270°=90°360°-270° = 90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود و:

P(زرد)=90°360°=14P(\text{زرد}) = \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع‌بندی

آمار: داده‌ها را با دامنهٔ تغییرات، طول دسته، حدود دسته و جدول فراوانی سازماندهی می‌کنیم؛ مجموع فراوانی‌ها همیشه باید برابر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. میانگین (xˉ=Sn\bar{x} = \frac{S}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین) نمایندهٔ عددی داده‌هاست و در نقطهٔ تعادل آن‌ها قرار دارد؛ برای داده‌های دسته‌بندی‌شده از مرکز دسته و فرمول ∑(f×m)n\frac{\sum(f\times m)}{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین استفاده می‌کنیم و برای ترکیب دو گروه نابرابر از میانگین وزنی.

احتمال: یک فرمول اصلی داریم — تقسیم حالت‌های مطلوب بر کل حالت‌های هم‌شانس — و همه چیز به دقت در شمارش برمی‌گردد. متمم (P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1-P(A)ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و قانون ضرب (n(S)=n1×n2×⋯n(S) = n_1\times n_2\times\cdotsادامهٔ فرمول را افقی ببین) دو ابزار میان‌بر این بخش‌اند، و مسئله‌های «دست‌کم» تقریباً همیشه با روش متمم سریع‌تر حل می‌شوند.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. مجموعه‌ای از داده‌ها شامل اعداد ۱۲، ۱۵، ۲۲، ۲۵، ۲۸، ۳۱، ۳۵، ۳۸ و ۴۲ است. اگر بخواهیم این داده‌ها را در ۵ دستهٔ هم‌طول دسته‌بندی کنیم و طول دسته را به نزدیکترین عدد صحیح به بالا گرد کنیم، طول هر دسته کدام است؟

  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«66ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با به‌کاربردن رابطهٔ دسته‌بندی (دامنهٔ تغییرات = بیشترین − کمترین، و طول دسته = دامنه ÷ تعداد دسته‌ها با گِرد کردن مناسب)، مقدار خواسته‌شده برابر 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. گزینه‌های نادرست «55ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «77ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «88ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از گِرد کردن نادرست طول دسته، اشتباه در محاسبهٔ دامنه، یا جابه‌جایی حد پایین و بالای دسته‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: اگر تقسیم دامنه بر تعداد دسته‌ها عددِ صحیح نشد، طول دسته را باید به «بالا» گِرد کرد تا همهٔ داده‌ها جا بگیرند؛ گِرد کردن به پایین بزرگ‌ترین داده‌ها را جا می‌اندازد.

2. میانگین نمرات ۱۵ دانش‌آموز در یک آزمون ۱۴/۲ است. اگر نمرات ۵ دانش‌آموز دیگر با میانگین ۱۶/۸ به این گروه اضافه شود، میانگین کل چند می‌شود؟

  • 15/3515/35ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 14/8514/85ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 15/515/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 14/9514/95ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«14/8514/85ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با میانگین وزنی، یعنی مجموع وزنیِ نمرات تقسیم بر تعداد کل افراد، مقدار خواسته‌شده برابر 14.8514.85ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. گزینه‌های نادرست «15/515/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «14/9514/95ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «15/3515/35ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از میانگین‌گرفتن سادهٔ دو میانگین، خطا در محاسبهٔ مجموع، یا به‌روز نکردن تعداد افراد ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: میانگین کل دو گروه را نمی‌توان با میانگین‌گرفتن از دو میانگین یافت؛ چون تعداد اعضای دو گروه معمولاً برابر نیست باید از میانگین وزنی (مجموع‌ها) استفاده کرد.

3. در یک کارخانه، هر محصول باید ابتدا از ۳ ایستگاه بازرسی عبور کند. در هر ایستگاه محصول یا «قبول» می‌شود یا «رد». اگر مراحل مستقل باشند، تعداد کل حالت‌های ممکن برای سرنوشت یک محصول در این سه ایستگاه کدام است؟

  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«88ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با شمردن منظم حالت‌ها (قانون ضرب برای کل فضای نمونه، یا فهرست‌کردن حالت‌های واجد شرط)، تعداد خواسته‌شده برابر 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. گزینه‌های نادرست «33ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «66ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «99ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از جمع‌کردن به‌جای ضرب تعداد حالت‌ها، یا جا‌انداختن برخی حالت‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: کل فضای نمونهٔ چند آزمایش مستقل حاصل‌ضرب تعداد حالت‌های تک‌تک است (مثلاً سه سکه و یک تاس: 23×6=482^3\times6=48ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ جمع‌کردن خطای رایج است.

4. در جدول فراوانی زیر برای داده‌های دسته‌بندی‌شده، مرکز دستهٔ دوم (دستهٔ 145≤x<160145 \leq x < 160ادامهٔ فرمول را افقی ببین) کدام است؟ | حدود دسته‌ها | فراوانی | |---|---| | 130≤x<145130 \leq x < 145ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ۳ | | 145≤x<160145 \leq x < 160ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ۷ | | 160≤x<175160 \leq x < 175ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ۱۸ | | 175≤x<190175 \leq x < 190ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ۹ | | 190≤x≤205190 \leq x \leq 205ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ۳ |

  • 150150ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 155155ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 145145ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 152/5152/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«152/5152/5ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. مرکز دسته میانگین حد پایین و حد بالای آن است: 145+1602=152.5\frac{145+160}{2}=152.5ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های نادرست «145145ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «150150ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «155155ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از گرفتن تنها یکی از دو حد یا محاسبهٔ نادرست میانگین دو حد به دست می‌آیند. تلهٔ تستی: مرکز دسته میانگینِ «هر دو حد» است نه حد پایین به‌تنهایی؛ پرکاربردترین اشتباه در میانگین دسته‌بندی‌شده همین است.

5. در یک چرخندهٔ ۸ بخش مساوی، ۲ بخش آبی، ۳ بخش قرمز و ۳ بخش زرد است. اگر چرخنده را دو بار بچرخانیم (پرتاب‌ها مستقل)، احتمال اینکه در هر دو بار عقربه روی رنگ قرمز بایستد، چقدر است؟

  • 14\frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 38\frac{3}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 964\frac{9}{64}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 316\frac{3}{16}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«964\frac{9}{64}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است. با نسبت‌گرفتن بخش‌های مطلوب به کل بخش‌های چرخنده (یا نسبت زاویه‌ها به 360∘360^\circادامهٔ فرمول را افقی ببین)، مقدار خواسته‌شده برابر 964\frac{9}{64}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. گزینه‌های نادرست «38\frac{3}{8}ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، «616\frac{6}{16}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «14\frac{1}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از شمارش نادرست بخش‌ها، اشتباه در زاویه‌ها، یا جمع‌کردن احتمال دو چرخش به‌جای ضرب آن‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: اگر چرخنده دو بار (یا همراه یک آزمایش دیگر) به کار رود، احتمال رویدادهای مستقل در هم ضرب می‌شوند؛ و «انتظار داریم» یعنی تخمین آماری (احتمال × تعداد)، نه عدد قطعی.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) داده‌های 12، 15، 17، 23 و 29 را دارید. دامنهٔ تغییرات را بیابید. ب) توضیح دهید چرا برای یافتن دامنه، فقط کمترین و بیشترین داده مهم‌اند. توضیح دهید چرا داده‌های میانی در دامنه ظاهر نمی‌شوند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) بیشترین داده ۲۹ و کمترین ۱۲ است؛ دامنه 29−12=1729-12=17ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. ب) دامنه گسترهٔ کل داده‌ها را از دو سر بازه می‌سنجد و به مقدارهای میانی وابسته نیست، هرچند برای شناخت الگو باید همهٔ داده‌ها را هم دید.
کجا بخوانم: در «بخش اول — دامنه تغییرات»
نکته مهم: دامنه برابر بیشترین داده منهای کمترین داده است.

۲. الف) دامنهٔ وزن 50 کیلوگرم و 95 کیلوگرم است و می‌خواهیم 5 دسته بسازیم. طول تقریبی هر دسته چقدر است؟ ب) توضیح دهید چرا ممکن است طول دسته را به عددی مناسب گرد کنیم. دلیل انتخاب مرزهای گرد را با پوشش داده‌ها پیوند دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) دامنه 95−50=4595-50=45ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم است؛ طول تقریبی دسته 45/5=945/5=9ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلوگرم می‌شود. ب) گاهی مرزهای رند مانند ۵۰،۶۰،۷۰ خواندن و ثبت داده‌ها را آسان‌تر می‌کند، به شرط آن‌که همهٔ داده‌ها پوشش داده شوند.
کجا بخوانم: در «بخش سوم — طول دسته‌ها»
نکته مهم: طول دسته از تقسیم دامنه بر تعداد دسته‌ها برآورد می‌شود.

۳. الف) دادهٔ x=160 در کدام دسته قرار می‌گیرد: 145≤x<160145\le x<160ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 160≤x<175160\le x<175ادامهٔ فرمول را افقی ببین؟ ب) دلیل استفاده از علامت < در دستهٔ نخست را شرح دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) ۱۶۰ در دستهٔ دوم است، چون شرط آن 160≤x<175160\le x<175ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است. ب) دستهٔ نخست ۱۶۰ را شامل نمی‌شود تا هیچ داده‌ای هم‌زمان در دو دسته قرار نگیرد؛ مرز مشترک به دستهٔ بعد تعلق می‌گیرد.
کجا بخوانم: در «بخش چهارم — حدود دسته‌ها»
نکته مهم: حدود نیمه‌باز از هم‌پوشانی دسته‌های پی‌درپی جلوگیری می‌کنند.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح و گویا (ریاضی هشتم)عددهای اول و تجزیه (ریاضی هشتم)چندضلعی‌ها و تقارن (ریاضی هشتم)جبر، معادله و اتحادها (ریاضی هشتم)بردار و مختصات (ریاضی هشتم)مثلث و رابطهٔ فیثاغورس (ریاضی هشتم)توان و جذر (ریاضی هشتم)دایره و زاویهٔ محاطی (ریاضی هشتم)عددهای صحیح و گویا — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان