مثلث و رابطهٔ فیثاغورس (ریاضی هشتم)

مثلث (هشتم)

این مبحث چهار بخش دارد: رابطهٔ فیثاغورس، شکل‌های هم‌نهشت، مثلث‌های هم‌نهشت و هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه. این‌ها با هم زبان اصلی «اثبات» در هندسه را می‌سازند.

مثلث قائم‌الزاویه و اسم ضلع‌هایش

مثلثی که یکی از زاویه‌هایش دقیقاً ۹۰ درجه باشد قائم‌الزاویه است. آن زاویه را زاویهٔ قائمه می‌گویند و با یک مربع کوچک نشانش می‌دهند.

وتر همیشه روبه‌روی زاویهٔ ۹۰° است — نه لزوماً ضلعی که در شکل بلندتر به نظر می‌رسد. اگر مثلث چرخیده رسم شده باشد، اول زاویهٔ قائمه را پیدا کن.

رابطهٔ فیثاغورس

روی هر ضلع مثلث قائم‌الزاویه یک مربع بساز. فیثاغورس متوجه شد:

مساحت مربع روی وتر = مجموع مساحت دو مربع روی ضلع‌های دیگر

چون مساحت مربع برابر مجذور ضلعش است، این جمله به فرمول زیر تبدیل می‌شود:

یعنی «مجذور وتر = مجموع مجذور دو ضلع دیگر». جالب اینکه این رابطه را فقط با شمردن خانه‌های کاغذ شطرنجی هم می‌شود تأیید کرد.

سه کاربرد فیثاغورس

حالت اول — وتر مجهول: اگر $b=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $a^2 = 9+16 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

حالت دوم — ضلع قائمه مجهول: اگر $a=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $b^2 = 169-25 = 144$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دقت کن: وقتی وتر را داری، باید تفریق کنی، نه جمع.

حالت سوم — عکس رابطهٔ فیثاغورس: اگر سه ضلع را بدهند و بپرسند مثلث قائم‌الزاویه است یا نه، مجذور بزرگ‌ترین ضلع را با مجموع مجذور دو تای دیگر مقایسه کن. برای ۶، ۸، ۱۰: $10^2=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $6^2+8^2=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ پس قائم‌الزاویه است. برای ۶، ۷، ۸: $8^2=64$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $6^2+7^2=85$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس قائم‌الزاویه نیست.

توجه کن که «عکس فیثاغورس» فقط یک برعکس‌خوانی فرمول نیست؛ خودش یک قضیهٔ مستقل و قابل اثبات است.

ساختن پاره‌خط با طول رادیکالی

اگر دو ضلع قائمه هر دو $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند، وتر می‌شود $\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا اگر همان $\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را یک ضلع بگیری و ضلع دیگر $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، وتر می‌شود $\sqrt{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

با ادامهٔ همین کار مارپیچ رادیکال ساخته می‌شود. کلید کار این است که عدد زیر رادیکال را به صورت مجموع دو مربع بنویسی. مثلاً برای $\sqrt{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

پس مثلثی با ضلع‌های $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بکش — وترش دقیقاً $\sqrt{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

سه‌تایی‌های فیثاغورسی

بعضی اعداد صحیح دقیقاً در رابطهٔ فیثاغورس صدق می‌کنند. حفظشان در امتحان وقت زیادی صرفه‌جویی می‌کند:

مضرب هر سه‌تایی فیثاغورسی، خودش هم فیثاغورسی است. بناها هزاران سال است با ریسمان گره‌دار ۳-۴-۵ زاویهٔ قائمه می‌سازند.

فیثاغورس در مختصات (پیوند با فصل بردار)

فاصلهٔ دو نقطهٔ $A(x_1, y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B(x_2, y_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در صفحهٔ مختصات:

چرا؟ چون اختلاف افقی و اختلاف عمودی دو ضلع قائمه‌اند و $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وتر آن مثلث است.

اثبات نیریزی

ریاضی‌دان ایرانی ابوالعباس نیریزی حدود هزار سال پیش این اثبات بصری را ارائه کرد: چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ یکسان را طوری بچین که یک مربع بزرگ به ضلع $b+c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بسازند و وسطشان یک مربع به ضلع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بماند. مساحت مربع بزرگ را از دو راه حساب کن:

پس فیثاغورس فقط یک قانون حفظ‌کردنی نیست — یک حقیقت هندسی قابل دیدن است.

تشخیص سریع وتر در مسئله‌های کلامی

• نردبان تکیه‌داده به دیوار ← نردبان وتر است
• قطر مستطیل ← قطر وتر است
• مخروط ← ژنراتریس (خط کنارهٔ مخروط) وتر است
• سطح شیب‌دار یا پارکینگ طبقاتی ← طول مسیر شیب‌دار وتر است

هم‌نهشتی چیست؟

دو شکل هم‌نهشتاند اگر بتوان یکی را روی دیگری کاملاً منطبق کرد. به زبان ساده: کاملاً یکسان در شکل و اندازه — فقط ممکن است جابه‌جا، چرخانده یا برگردانده شده باشند. نمادش $\cong$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

قانون طلایی: در دو شکل هم‌نهشت، اجزای متناظر با هم مساوی‌اند — هم ضلع‌ها و هم زاویه‌ها.

ترتیب حروف در نماد، یک جدول تناظر است

وقتی می‌نویسیم $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دقیقاً یعنی $A \leftrightarrow D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B \leftrightarrow E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C \leftrightarrow F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس:

حرف اول با حرف اول، دوم با دوم، سوم با سوم — هرگز ترتیب را جابه‌جا نکن.

سه تبدیل هندسی

هیچ‌کدام از این سه اندازه‌ها را عوض نمی‌کنند — فقط موقعیت را. به همین دلیل هم‌نهشتی را حفظ می‌کنند. این نقطهٔ تفاوتشان با بزرگ‌نمایی است.

روش تشخیص: اول بپرس شکل برگشته (آینه‌ای) شده؟ اگر بله، تقارن محوری در کار است. اگر نه، بپرس چرخیده؟ اگر بله دوران، اگر نه انتقال. توجه: دوران ۱۸۰° نسبت به یک نقطه است، تقارن نسبت به یک خط — این دو با هم فرق دارند حتی اگر نتیجه‌شان شبیه به نظر برسد.

بردار انتقال

انتقال با یک بردار مشخص می‌شود:

عدد بالا جابه‌جایی افقی (مثبت به راست، منفی به چپ) و عدد پایین جابه‌جایی عمودی (مثبت به بالا، منفی به پایین). مثلاً $\binom{3}{-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۳ واحد به راست و ۲ واحد به پایین. بردار انتقال فقط جهت را نشان نمی‌دهد — اندازهٔ دقیق جابه‌جایی را هم می‌گوید.

پیدا کردن اندازه‌های مجهول از هم‌نهشتی

اگر اندازه به صورت عدد داده شده باشد، کافی است متناظرش را پیدا کنی. اگر به صورت عبارت جبری داده شده باشد، چون اجزای متناظر مساوی‌اند می‌توانی معادله بنویسی:

مثال: اگر $AB = 3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضلع متناظرش $A'B' = x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

همین روش برای زاویه‌ها هم کار می‌کند. نکتهٔ مهم: بعد از پیدا کردن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حتماً اندازهٔ واقعی ضلع یا زاویه را هم حساب و گزارش کن — فقط نوشتن مقدار $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی نیست.

در آخر هم منطقی بودن جواب را بررسی کن: ضلع باید مثبت باشد، زاویه بین $0°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مجموع زوایای مثلث $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مجموع زوایای چهارضلعی $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

هم‌نهشتی در برابر تشابه

این دو را با هم اشتباه نگیر:

تشابه مثل «بزرگ‌نمایی عکس» است: شکل حفظ می‌شود ولی اندازه عوض می‌شود. هم‌نهشتی حالت خاصی از تشابه است که در آن نسبت بزرگ‌نمایی برابر ۱ است.

ترکیب تبدیل‌ها — روشی که همیشه جواب می‌دهد

برای منطبق کردن دو شکل هم‌نهشت، حتی در سخت‌ترین حالت، این ترتیب را امتحان کن:

۱) با انتقال، یک رأس را روی رأس متناظرش ببر.
۲) با دوران حول همان رأس، یک ضلع را روی ضلع متناظرش بیاور.
۳) اگر شکل هنوز برگشته به نظر می‌رسد، یک تقارن اعمال کن.

یادت باشد برای انطباق دو شکل هم‌نهشت یک جواب یکتا وجود ندارد؛ هر ترکیب معقولی که به انطباق برسد درست است.

چرا هم‌نهشتی در دنیای واقعی مهم است؟

وقتی یک سازه از قطعات هم‌نهشت ساخته می‌شود، هر قطعه دقیقاً جای هر قطعهٔ دیگر را می‌گیرد. نتیجه: تولید آسان‌تر (یک قالب برای همه)، استحکام یکنواخت، و نصب سریع‌تر. تمام پیچ‌های یک اندازه در کارخانه با هم هم‌نهشت‌اند — همین منطق پشت تولید انبوه است.

الگوریتم حل مسئلهٔ هم‌نهشتی

۱) نماد هم‌نهشتی را بخوان و جدول تناظر بساز.
۲) ضلع یا زاویهٔ مجهول را در جدول پیدا کن — متناظرش کدام است؟
۳) اگر عدد است، همان را بنویس؛ اگر عبارت جبری است، معادله بنویس.
۴) معادله را حل کن و اندازهٔ واقعی را حساب کن.
۵) منطقی بودن جواب را بررسی کن.

سه حالت هم‌نهشتی مثلث‌ها

اول یک سؤال کلیدی: آیا برابری سه زاویه برای هم‌نهشتی کافی است؟ نه. دو مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۳ و ۶ هر دو سه زاویهٔ $60°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند ولی هم‌نهشت نیستند — فقط متشابهاند. این مهم‌ترین تلهٔ این درس است.

اما برابری سه ضلع کافی است. اگر یک ضلع را بکشی و از دو سرش با پرگار قوس‌هایی به اندازهٔ دو ضلع دیگر بزنی، محل تقاطع قوس‌ها فقط یک جای ممکن دارد. به همین دلیل مثلث تنها چندضلعی است که با دانستن سه ضلع کاملاً تعریف می‌شود؛ به این ویژگی صلبیت مثلث می‌گویند و پشت استفادهٔ مثلث در پل‌ها، سقف‌ها و دکل‌های برق همین است. برای چهارضلعی این حکم برقرار نیست: یک مربع و یک لوزی می‌توانند چهار ضلع مساوی داشته باشند و هم‌نهشت نباشند، چون لوزی «لِه» می‌شود بدون آنکه ضلع‌هایش تغییر کنند.

چرا در ض‌ز‌ض کلمهٔ «بین» مهم است؟ دو ضلع و زاویهٔ بینشان مثل یک چنگال‌اند: وقتی می‌دانی چنگال چقدر باز است (زاویه) و هر دو دسته چقدر بلندند (دو ضلع)، جای نوک چنگال هم قطعی است. اگر زاویه بین آن دو ضلع نباشد (حالت ض.ض.ز)، این تضمین به‌طور کلی وجود ندارد.

چرا ز‌ض‌ز درست است؟ وقتی دو زاویه معلوم باشند، زاویهٔ سوم هم معلوم است (چون جمعشان $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است). با داشتن ضلع بین آن دو زاویه، جای همهٔ رأس‌ها قطعی می‌شود.

نکتهٔ فراتر از کتاب: حالت ز.ز.ض (دو زاویه و ضلع غیربین) هم هم‌نهشتی می‌دهد، چون با برابری دو زاویه، زاویهٔ سوم هم برابر می‌شود و ضلع خودبه‌خود «بین» دو زاویهٔ جدید قرار می‌گیرد. اما حالت ض.ض.ز (دو ضلع و زاویهٔ غیربین) به‌طور کلی کافی نیست.

دو ابزار همیشه‌حاضر در اثبات‌ها

ضلع مشترک: وقتی دو مثلث یک ضلع مشترک دارند، آن ضلع در هر دو برابر است. این اغلب همان جزء سومی است که اثبات را کامل می‌کند.

زاویهٔ قائمه: در مثلث‌های قائم‌الزاویه، زاویهٔ $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک جزء مساوی «رایگان» است. حتماً آن را صریحاً در اثبات بنویس.

اثبات‌های کلاسیک با هم‌نهشتی

زوایای قاعدهٔ مثلث متساوی‌الساقین برابرند: در مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نیمساز $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را رسم کن. آنگاه $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ساق‌ها)، $\angle A_1 = \angle A_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نیمساز) و $AD=AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ضلع مشترک)، پس با ض‌ز‌ض داریم $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $\angle B = \angle C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

عکس آن هم درست است: اگر در مثلثی $\angle B = \angle C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، با نیمساز $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حالت ز‌ض‌ز به $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم؛ یعنی مثلث متساوی‌الساقین است.

قطر لوزی: در لوزی $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با رسم قطر $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، از $AB=AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $CB=CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ض‌ض‌ض به $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم.

دو حالت اختصاصی مثلث قائم‌الزاویه

مثلث قائم‌الزاویه چون یک زاویهٔ $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت دارد، علاوه بر سه حالت عمومی، دو حالت مخصوص خودش هم دارد. یادآوری: دو زاویهٔ تند مثلث قائم‌الزاویه همیشه مجموعشان $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس دانستن یکی یعنی دانستن دیگری.

حالت (و.ض) — وتر و یک ضلع قائمه: اگر وتر و یک ضلع قائمهٔ دو مثلث برابر باشند، هم‌نهشت‌اند. چرا؟ چون با فیثاغورس ضلع سوم هم اجباراً برابر می‌شود:

پس در واقع به حالت ض‌ض‌ض می‌رسیم — بدون آنکه لازم باشد عددی حساب کنیم.

حالت (و.ز) — وتر و یک زاویهٔ تند: اگر وتر و یک زاویهٔ تند برابر باشند، هم‌نهشت‌اند. چرا؟ زاویهٔ $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در هر دو مشترک است و زاویهٔ تند هم برابر، پس زاویهٔ سوم ($180°-90°-\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) هم اجباراً برابر می‌شود.

دقت: اگر فقط دو ضلع قائمه برابر باشند، مثلث‌ها باز هم هم‌نهشت‌اند (چون وتر با فیثاغورس برابر می‌شود) — ولی نام درست این حالت ض‌ض‌ض است، نه و.ض. نام‌گذاری اشتباه در امتحان نمره کم می‌کند.

سه قضیهٔ مهم که با این حالت‌ها اثبات می‌شوند

۱) عمودمنصف: هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره‌خط، از دو سر آن فاصلهٔ مساوی دارد. اگر $K$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی عمودمنصف باشد، از $AK=KB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\angle OKA = \angle OKB = 90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضلع مشترک $OK$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ض‌ز‌ض نتیجه می‌گیریم $OA=OB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. عکسش هم درست است: هر نقطه‌ای که از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ مساوی داشته باشد، روی عمودمنصف است (به این «مکان هندسی» می‌گویند).

۲) نیمساز: هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ مساوی دارد. با رسم عمودهای $OH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OH'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از نقطهٔ $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر دو ضلع، دو مثلث قائم‌الزاویه با وتر مشترک $AO$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و زاویه‌های تند برابر می‌سازیم؛ با و.ز نتیجه می‌گیریم $OH = OH'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۳) ارتفاع مثلث متساوی‌الساقین قاعده را نصف می‌کند: در مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $AB=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ارتفاع $AH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد که وترهایشان ($AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) برابر و ضلع $AH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشترک است، پس با و.ض هم‌نهشت‌اند و $HB = HC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چند نکتهٔ کاربردی برای اثبات نوشتن

برای هر جزء، دلیل بنویس. نوشتن «$AB=DE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\angle A = \angle D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $AC=DF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس هم‌نهشت‌اند» ناقص است. درستش این است: «$AB=DE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون ضلع‌های لوزی برابرند؛ $\angle A = \angle D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون قطر لوزی زاویه را نصف می‌کند؛ $AC=DF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضلع مشترک است — پس با ض‌ز‌ض هم‌نهشت‌اند.»

ضلع «بین» را درست تشخیص بده. در مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ضلع بین زاویه‌های $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و ضلع بین $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر مثلث چرخیده رسم شده باشد، روی شکل علامت بزن تا گم نشوی.

هم‌نهشتی دوطرفه است. اگر $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $\triangle DEF \cong \triangle ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم درست است — به شرطی که ترتیب حروف محفوظ بماند.

در مثلث ۶ جزء داریم (۳ ضلع و ۳ زاویه) که در هم‌نهشتی کامل همه‌شان برابر می‌شوند. اما برای اثبات، لازم نیست هر ۶ تا را نشان دهی — سه جزء درست (طبق یکی از حالت‌ها) کافی است.

اشتباهات رایج

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه $24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر مربع است و یکی از ضلع‌های قائمه‌اش $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر. طول وتر را بیابید.

حل: مساحت مثلث قائم‌الزاویه نصف حاصل‌ضرب دو ضلع قائمه است:

حالا با فیثاغورس: $a = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر.

۲) نردبانی به طول $25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر به دیوار تکیه داده و پایینش $7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر از پای دیوار فاصله دارد. اگر پایین نردبان را $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر دورتر بکشیم، بالای نردبان چند متر پایین می‌آید؟

حل: ارتفاع اولیه: $h_1 = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر. فاصلهٔ جدید پای نردبان $7+8=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر، پس ارتفاع جدید: $h_2 = \sqrt{625-225} = \sqrt{400} = 20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر. افت ارتفاع: $24-20=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.

۳) در چهارضلعی $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسم شده و می‌دانیم $AB=AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\angle BAC = \angle DAC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ثابت کنید $BC=DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

حل: در دو مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $ADC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $AB=AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فرض)، $\angle BAC = \angle DAC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فرض)، $AC=AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ضلع مشترک). پس با ض‌ز‌ض داریم $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و در نتیجه $BC=DC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این دقیقاً توضیح می‌دهد چرا دو نیمهٔ یک بادبادک قرینهٔ هم‌اند.

۴) در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $AB=AC=13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $BC=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر، ارتفاع $AH$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

حل: طبق قضیهٔ بالا (هم‌نهشتی و.ض)، ارتفاع قاعده را نصف می‌کند: $HB = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

۵) نقطهٔ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از دو نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصلهٔ مساوی دارد ($PA=PB=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و $AB=18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر است. فاصلهٔ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا خط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟

حل: چون $PA=PB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نقطهٔ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی عمودمنصف $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس پای عمود $H$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وسط $AB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $AH = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با فیثاغورس در مثلث $PHA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

۶) نقطهٔ $A(3,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ابتدا با بردار $\binom{2}{-5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منتقل و سپس $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول مبدأ دوران داده شده است. مختصات نهایی را بیابید.

حل: انتقال: $A' = (3+2,\ 2-5) = (5,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دوران $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول مبدأ هر نقطهٔ $(x,y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $(-x,-y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد، پس $A'' = (-5,\ 3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۷) در مستطیل $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $AB=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AD=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر است. نقطهٔ $E$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی ضلع $AD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طوری قرار دارد که $EB=ED$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طول $AE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

حل: فرض کن $AE=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $ED = 9-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. زاویهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قائمه است (چون مستطیل است)، پس در مثلث $ABE$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با فیثاغورس:

از طرفی $ED = EB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس:

یعنی $AE = 2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر.

۸) در دو مثلث هم‌نهشت $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دانیم $\angle A = 3x+10°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\angle D = 5x-20°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و نیز $\angle B = 4y-5°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\angle E = 2y+25°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $\angle C = 70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\angle F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید و جواب را با مجموع زوایای مثلث بررسی کنید.

حل: زوایای متناظر مساوی‌اند:

چون $\angle F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناظر $\angle C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، $\angle F = 70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
بررسی: $55+55+70 = 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓ پس جواب‌ها منطقی‌اند.

۹) دو مثلث متساوی‌الساقین را در نظر بگیر: اولی با زاویهٔ رأس $40°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ساق $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر، دومی با زاویهٔ رأس $40°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ساق $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر. نشان دهید سه زاویهٔ یکسان دارند ولی هم‌نهشت نیستند.

حل: در هر دو، زوایای قاعده برابرند با:

پس هر دو مثلث زوایای $40°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند — کاملاً یکسان. اما ساق‌هایشان ($5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) فرق دارد، پس اندازه‌شان یکی نیست و هم‌نهشت نیستند؛ فقط متشابه‌اند. این مثال دقیقاً نشان می‌دهد چرا «سه زاویهٔ برابر» کافی نیست.

۱۰) در دو مثلث قائم‌الزاویه، وترها برابرند ($AC=DF=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر) و یک ضلع قائمه هم برابر است ($AB=DE=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر). طول $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $EF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید و نوع هم‌نهشتی را نام ببرید.

حل: با فیثاغورس $BC = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر. چون طبق حالت و.ض این دو مثلث هم‌نهشت‌اند، $EF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم برابر $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر است.

جمع‌بندی

رابطهٔ فیثاغورس ($a^2 = b^2+c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) پلی است بین طول ضلع‌ها و مساحت مربع‌ها در مثلث قائم‌الزاویه؛ با آن هم وتر پیدا می‌شود، هم ضلع قائمه، هم قائم‌الزاویه بودن مثلث تشخیص داده می‌شود. هم‌نهشتی یعنی دو شکل کاملاً یکسان‌اند و در آن اجزای متناظر همیشه مساوی‌اند — اصلی که پایهٔ همهٔ محاسبات و اثبات‌های این فصل است. برای مثلث‌ها سه حالت عمومی (ض‌ض‌ض، ض‌ز‌ض، ز‌ض‌ز) و برای مثلث قائم‌الزاویه دو حالت اختصاصی (و.ض، و.ز) داریم. سه زاویهٔ برابر به تنهایی هرگز کافی نیست. با همین ابزارها قضیه‌های مهمی مثل «زوایای قاعدهٔ متساوی‌الساقین برابرند»، «عمودمنصف» و «نیمساز» اثبات می‌شوند.