مثلث (هشتم)

مثلث (هشتم)

این مبحث چهار بخش دارد: رابطهٔ فیثاغورس، شکل‌های هم‌نهشت، مثلث‌های هم‌نهشت و هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه. این‌ها با هم زبان اصلی «اثبات» در هندسه را می‌سازند.

مثلث قائم‌الزاویه و اسم ضلع‌هایش

مثلثی که یکی از زاویه‌هایش دقیقاً ۹۰ درجه باشد قائم‌الزاویه است. آن زاویه را زاویهٔ قائمه می‌گویند و با یک مربع کوچک نشانش می‌دهند.

وتر همیشه روبه‌روی زاویهٔ ۹۰° است — نه لزوماً ضلعی که در شکل بلندتر به نظر می‌رسد. اگر مثلث چرخیده رسم شده باشد، اول زاویهٔ قائمه را پیدا کن.

رابطهٔ فیثاغورس

روی هر ضلع مثلث قائم‌الزاویه یک مربع بساز. فیثاغورس متوجه شد:

مساحت مربع روی وتر = مجموع مساحت دو مربع روی ضلع‌های دیگر

چون مساحت مربع برابر مجذور ضلعش است، این جمله به فرمول زیر تبدیل می‌شود:

یعنی «مجذور وتر = مجموع مجذور دو ضلع دیگر». جالب اینکه این رابطه را فقط با شمردن خانه‌های کاغذ شطرنجی هم می‌شود تأیید کرد.

سه کاربرد فیثاغورس

حالت اول — وتر مجهول: اگر $b=3$ و $c=4$، آنگاه $a^2 = 9+16 = 25$ و $a=5$.

حالت دوم — ضلع قائمه مجهول: اگر $a=13$ و $c=5$، آنگاه $b^2 = 169-25 = 144$ و $b=12$. دقت کن: وقتی وتر را داری، باید تفریق کنی، نه جمع.

حالت سوم — عکس رابطهٔ فیثاغورس: اگر سه ضلع را بدهند و بپرسند مثلث قائم‌الزاویه است یا نه، مجذور بزرگ‌ترین ضلع را با مجموع مجذور دو تای دیگر مقایسه کن. برای ۶، ۸، ۱۰: $10^2=100$ و $6^2+8^2=100$ ✓ پس قائم‌الزاویه است. برای ۶، ۷، ۸: $8^2=64$ ولی $6^2+7^2=85$، پس قائم‌الزاویه نیست.

توجه کن که «عکس فیثاغورس» فقط یک برعکس‌خوانی فرمول نیست؛ خودش یک قضیهٔ مستقل و قابل اثبات است.

ساختن پاره‌خط با طول رادیکالی

اگر دو ضلع قائمه هر دو $1$ باشند، وتر می‌شود $\sqrt{2}$. حالا اگر همان $\sqrt{2}$ را یک ضلع بگیری و ضلع دیگر $1$ باشد، وتر می‌شود $\sqrt{3}$:

با ادامهٔ همین کار مارپیچ رادیکال ساخته می‌شود. کلید کار این است که عدد زیر رادیکال را به صورت مجموع دو مربع بنویسی. مثلاً برای $\sqrt{10}$:

پس مثلثی با ضلع‌های $3$ و $1$ بکش — وترش دقیقاً $\sqrt{10}$ است.

سه‌تایی‌های فیثاغورسی

بعضی اعداد صحیح دقیقاً در رابطهٔ فیثاغورس صدق می‌کنند. حفظشان در امتحان وقت زیادی صرفه‌جویی می‌کند:

مضرب هر سه‌تایی فیثاغورسی، خودش هم فیثاغورسی است. بناها هزاران سال است با ریسمان گره‌دار ۳-۴-۵ زاویهٔ قائمه می‌سازند.

فیثاغورس در مختصات (پیوند با فصل بردار)

فاصلهٔ دو نقطهٔ $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ در صفحهٔ مختصات:

چرا؟ چون اختلاف افقی و اختلاف عمودی دو ضلع قائمه‌اند و $AB$ وتر آن مثلث است.

اثبات نیریزی

ریاضی‌دان ایرانی ابوالعباس نیریزی حدود هزار سال پیش این اثبات بصری را ارائه کرد: چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ یکسان را طوری بچین که یک مربع بزرگ به ضلع $b+c$ بسازند و وسطشان یک مربع به ضلع $a$ بماند. مساحت مربع بزرگ را از دو راه حساب کن:

پس فیثاغورس فقط یک قانون حفظ‌کردنی نیست — یک حقیقت هندسی قابل دیدن است.

تشخیص سریع وتر در مسئله‌های کلامی

• نردبان تکیه‌داده به دیوار ← نردبان وتر است
• قطر مستطیل ← قطر وتر است
• مخروط ← ژنراتریس (خط کنارهٔ مخروط) وتر است
• سطح شیب‌دار یا پارکینگ طبقاتی ← طول مسیر شیب‌دار وتر است

هم‌نهشتی چیست؟

دو شکل هم‌نهشتاند اگر بتوان یکی را روی دیگری کاملاً منطبق کرد. به زبان ساده: کاملاً یکسان در شکل و اندازه — فقط ممکن است جابه‌جا، چرخانده یا برگردانده شده باشند. نمادش $\cong$ است:

قانون طلایی: در دو شکل هم‌نهشت، اجزای متناظر با هم مساوی‌اند — هم ضلع‌ها و هم زاویه‌ها.

ترتیب حروف در نماد، یک جدول تناظر است

وقتی می‌نویسیم $\triangle ABC \cong \triangle DEF$، دقیقاً یعنی $A \leftrightarrow D$، $B \leftrightarrow E$، $C \leftrightarrow F$. پس:

حرف اول با حرف اول، دوم با دوم، سوم با سوم — هرگز ترتیب را جابه‌جا نکن.

سه تبدیل هندسی

هیچ‌کدام از این سه اندازه‌ها را عوض نمی‌کنند — فقط موقعیت را. به همین دلیل هم‌نهشتی را حفظ می‌کنند. این نقطهٔ تفاوتشان با بزرگ‌نمایی است.

روش تشخیص: اول بپرس شکل برگشته (آینه‌ای) شده؟ اگر بله، تقارن محوری در کار است. اگر نه، بپرس چرخیده؟ اگر بله دوران، اگر نه انتقال. توجه: دوران ۱۸۰° نسبت به یک نقطه است، تقارن نسبت به یک خط — این دو با هم فرق دارند حتی اگر نتیجه‌شان شبیه به نظر برسد.

بردار انتقال

انتقال با یک بردار مشخص می‌شود:

عدد بالا جابه‌جایی افقی (مثبت به راست، منفی به چپ) و عدد پایین جابه‌جایی عمودی (مثبت به بالا، منفی به پایین). مثلاً $\binom{3}{-2}$ یعنی ۳ واحد به راست و ۲ واحد به پایین. بردار انتقال فقط جهت را نشان نمی‌دهد — اندازهٔ دقیق جابه‌جایی را هم می‌گوید.

پیدا کردن اندازه‌های مجهول از هم‌نهشتی

اگر اندازه به صورت عدد داده شده باشد، کافی است متناظرش را پیدا کنی. اگر به صورت عبارت جبری داده شده باشد، چون اجزای متناظر مساوی‌اند می‌توانی معادله بنویسی:

مثال: اگر $AB = 3x$ و ضلع متناظرش $A'B' = x+2$ باشد:

همین روش برای زاویه‌ها هم کار می‌کند. نکتهٔ مهم: بعد از پیدا کردن $x$، حتماً اندازهٔ واقعی ضلع یا زاویه را هم حساب و گزارش کن — فقط نوشتن مقدار $x$ کافی نیست.

در آخر هم منطقی بودن جواب را بررسی کن: ضلع باید مثبت باشد، زاویه بین $0°$ تا $180°$، مجموع زوایای مثلث $180°$ و مجموع زوایای چهارضلعی $360°$.

هم‌نهشتی در برابر تشابه

این دو را با هم اشتباه نگیر:

تشابه مثل «بزرگ‌نمایی عکس» است: شکل حفظ می‌شود ولی اندازه عوض می‌شود. هم‌نهشتی حالت خاصی از تشابه است که در آن نسبت بزرگ‌نمایی برابر ۱ است.

ترکیب تبدیل‌ها — روشی که همیشه جواب می‌دهد

برای منطبق کردن دو شکل هم‌نهشت، حتی در سخت‌ترین حالت، این ترتیب را امتحان کن:

۱) با انتقال، یک رأس را روی رأس متناظرش ببر.
۲) با دوران حول همان رأس، یک ضلع را روی ضلع متناظرش بیاور.
۳) اگر شکل هنوز برگشته به نظر می‌رسد، یک تقارن اعمال کن.

یادت باشد برای انطباق دو شکل هم‌نهشت یک جواب یکتا وجود ندارد؛ هر ترکیب معقولی که به انطباق برسد درست است.

چرا هم‌نهشتی در دنیای واقعی مهم است؟

وقتی یک سازه از قطعات هم‌نهشت ساخته می‌شود، هر قطعه دقیقاً جای هر قطعهٔ دیگر را می‌گیرد. نتیجه: تولید آسان‌تر (یک قالب برای همه)، استحکام یکنواخت، و نصب سریع‌تر. تمام پیچ‌های یک اندازه در کارخانه با هم هم‌نهشت‌اند — همین منطق پشت تولید انبوه است.

الگوریتم حل مسئلهٔ هم‌نهشتی

۱) نماد هم‌نهشتی را بخوان و جدول تناظر بساز.
۲) ضلع یا زاویهٔ مجهول را در جدول پیدا کن — متناظرش کدام است؟
۳) اگر عدد است، همان را بنویس؛ اگر عبارت جبری است، معادله بنویس.
۴) معادله را حل کن و اندازهٔ واقعی را حساب کن.
۵) منطقی بودن جواب را بررسی کن.

سه حالت هم‌نهشتی مثلث‌ها

اول یک سؤال کلیدی: آیا برابری سه زاویه برای هم‌نهشتی کافی است؟ نه. دو مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع ۳ و ۶ هر دو سه زاویهٔ $60°$ دارند ولی هم‌نهشت نیستند — فقط متشابهاند. این مهم‌ترین تلهٔ این درس است.

اما برابری سه ضلع کافی است. اگر یک ضلع را بکشی و از دو سرش با پرگار قوس‌هایی به اندازهٔ دو ضلع دیگر بزنی، محل تقاطع قوس‌ها فقط یک جای ممکن دارد. به همین دلیل مثلث تنها چندضلعی است که با دانستن سه ضلع کاملاً تعریف می‌شود؛ به این ویژگی صلبیت مثلث می‌گویند و پشت استفادهٔ مثلث در پل‌ها، سقف‌ها و دکل‌های برق همین است. برای چهارضلعی این حکم برقرار نیست: یک مربع و یک لوزی می‌توانند چهار ضلع مساوی داشته باشند و هم‌نهشت نباشند، چون لوزی «لِه» می‌شود بدون آنکه ضلع‌هایش تغییر کنند.

چرا در ض‌ز‌ض کلمهٔ «بین» مهم است؟ دو ضلع و زاویهٔ بینشان مثل یک چنگال‌اند: وقتی می‌دانی چنگال چقدر باز است (زاویه) و هر دو دسته چقدر بلندند (دو ضلع)، جای نوک چنگال هم قطعی است. اگر زاویه بین آن دو ضلع نباشد (حالت ض.ض.ز)، این تضمین به‌طور کلی وجود ندارد.

چرا ز‌ض‌ز درست است؟ وقتی دو زاویه معلوم باشند، زاویهٔ سوم هم معلوم است (چون جمعشان $180°$ است). با داشتن ضلع بین آن دو زاویه، جای همهٔ رأس‌ها قطعی می‌شود.

نکتهٔ فراتر از کتاب: حالت ز.ز.ض (دو زاویه و ضلع غیربین) هم هم‌نهشتی می‌دهد، چون با برابری دو زاویه، زاویهٔ سوم هم برابر می‌شود و ضلع خودبه‌خود «بین» دو زاویهٔ جدید قرار می‌گیرد. اما حالت ض.ض.ز (دو ضلع و زاویهٔ غیربین) به‌طور کلی کافی نیست.

دو ابزار همیشه‌حاضر در اثبات‌ها

ضلع مشترک: وقتی دو مثلث یک ضلع مشترک دارند، آن ضلع در هر دو برابر است. این اغلب همان جزء سومی است که اثبات را کامل می‌کند.

زاویهٔ قائمه: در مثلث‌های قائم‌الزاویه، زاویهٔ $90°$ یک جزء مساوی «رایگان» است. حتماً آن را صریحاً در اثبات بنویس.

اثبات‌های کلاسیک با هم‌نهشتی

زوایای قاعدهٔ مثلث متساوی‌الساقین برابرند: در مثلث $ABC$ با $AB=AC$، نیمساز $AD$ را رسم کن. آنگاه $AB=AC$ (ساق‌ها)، $\angle A_1 = \angle A_2$ (نیمساز) و $AD=AD$ (ضلع مشترک)، پس با ض‌ز‌ض داریم $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ و در نتیجه $\angle B = \angle C$.

عکس آن هم درست است: اگر در مثلثی $\angle B = \angle C$ باشد، با نیمساز $AD$ و حالت ز‌ض‌ز به $AB=AC$ می‌رسیم؛ یعنی مثلث متساوی‌الساقین است.

قطر لوزی: در لوزی $ABCD$ با رسم قطر $AC$، از $AB=AD$، $CB=CD$ و $AC=AC$ با ض‌ض‌ض به $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ می‌رسیم.

دو حالت اختصاصی مثلث قائم‌الزاویه

مثلث قائم‌الزاویه چون یک زاویهٔ $90°$ ثابت دارد، علاوه بر سه حالت عمومی، دو حالت مخصوص خودش هم دارد. یادآوری: دو زاویهٔ تند مثلث قائم‌الزاویه همیشه مجموعشان $90°$ است، پس دانستن یکی یعنی دانستن دیگری.

حالت (و.ض) — وتر و یک ضلع قائمه: اگر وتر و یک ضلع قائمهٔ دو مثلث برابر باشند، هم‌نهشت‌اند. چرا؟ چون با فیثاغورس ضلع سوم هم اجباراً برابر می‌شود:

پس در واقع به حالت ض‌ض‌ض می‌رسیم — بدون آنکه لازم باشد عددی حساب کنیم.

حالت (و.ز) — وتر و یک زاویهٔ تند: اگر وتر و یک زاویهٔ تند برابر باشند، هم‌نهشت‌اند. چرا؟ زاویهٔ $90°$ در هر دو مشترک است و زاویهٔ تند هم برابر، پس زاویهٔ سوم ($180°-90°-\alpha$) هم اجباراً برابر می‌شود.

دقت: اگر فقط دو ضلع قائمه برابر باشند، مثلث‌ها باز هم هم‌نهشت‌اند (چون وتر با فیثاغورس برابر می‌شود) — ولی نام درست این حالت ض‌ض‌ض است، نه و.ض. نام‌گذاری اشتباه در امتحان نمره کم می‌کند.

سه قضیهٔ مهم که با این حالت‌ها اثبات می‌شوند

۱) عمودمنصف: هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره‌خط، از دو سر آن فاصلهٔ مساوی دارد. اگر $K$ وسط $AB$ و $O$ روی عمودمنصف باشد، از $AK=KB$، $\angle OKA = \angle OKB = 90°$ و ضلع مشترک $OK$ با ض‌ز‌ض نتیجه می‌گیریم $OA=OB$. عکسش هم درست است: هر نقطه‌ای که از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ مساوی داشته باشد، روی عمودمنصف است (به این «مکان هندسی» می‌گویند).

۲) نیمساز: هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ مساوی دارد. با رسم عمودهای $OH$ و $OH'$ از نقطهٔ $O$ بر دو ضلع، دو مثلث قائم‌الزاویه با وتر مشترک $AO$ و زاویه‌های تند برابر می‌سازیم؛ با و.ز نتیجه می‌گیریم $OH = OH'$.

۳) ارتفاع مثلث متساوی‌الساقین قاعده را نصف می‌کند: در مثلث $ABC$ با $AB=AC$، ارتفاع $AH$ دو مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد که وترهایشان ($AB$ و $AC$) برابر و ضلع $AH$ مشترک است، پس با و.ض هم‌نهشت‌اند و $HB = HC$.

چند نکتهٔ کاربردی برای اثبات نوشتن

برای هر جزء، دلیل بنویس. نوشتن «$AB=DE$، $\angle A = \angle D$، $AC=DF$ پس هم‌نهشت‌اند» ناقص است. درستش این است: «$AB=DE$ چون ضلع‌های لوزی برابرند؛ $\angle A = \angle D$ چون قطر لوزی زاویه را نصف می‌کند؛ $AC=DF$ ضلع مشترک است — پس با ض‌ز‌ض هم‌نهشت‌اند.»

ضلع «بین» را درست تشخیص بده. در مثلث $ABC$، ضلع بین زاویه‌های $A$ و $B$ همان $AB$ است و ضلع بین $A$ و $C$ همان $AC$. اگر مثلث چرخیده رسم شده باشد، روی شکل علامت بزن تا گم نشوی.

هم‌نهشتی دوطرفه است. اگر $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ باشد، $\triangle DEF \cong \triangle ABC$ هم درست است — به شرطی که ترتیب حروف محفوظ بماند.

در مثلث ۶ جزء داریم (۳ ضلع و ۳ زاویه) که در هم‌نهشتی کامل همه‌شان برابر می‌شوند. اما برای اثبات، لازم نیست هر ۶ تا را نشان دهی — سه جزء درست (طبق یکی از حالت‌ها) کافی است.

اشتباهات رایج

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه $24$ سانتی‌متر مربع است و یکی از ضلع‌های قائمه‌اش $6$ سانتی‌متر. طول وتر را بیابید.

حل: مساحت مثلث قائم‌الزاویه نصف حاصل‌ضرب دو ضلع قائمه است:

حالا با فیثاغورس: $a = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ سانتی‌متر.

۲) نردبانی به طول $25$ متر به دیوار تکیه داده و پایینش $7$ متر از پای دیوار فاصله دارد. اگر پایین نردبان را $8$ متر دورتر بکشیم، بالای نردبان چند متر پایین می‌آید؟

حل: ارتفاع اولیه: $h_1 = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24$ متر. فاصلهٔ جدید پای نردبان $7+8=15$ متر، پس ارتفاع جدید: $h_2 = \sqrt{625-225} = \sqrt{400} = 20$ متر. افت ارتفاع: $24-20=4$ متر.

۳) در چهارضلعی $ABCD$ قطر $AC$ رسم شده و می‌دانیم $AB=AD$ و $\angle BAC = \angle DAC$. ثابت کنید $BC=DC$.

حل: در دو مثلث $ABC$ و $ADC$: $AB=AD$ (فرض)، $\angle BAC = \angle DAC$ (فرض)، $AC=AC$ (ضلع مشترک). پس با ض‌ز‌ض داریم $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ و در نتیجه $BC=DC$. این دقیقاً توضیح می‌دهد چرا دو نیمهٔ یک بادبادک قرینهٔ هم‌اند.

۴) در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ با $AB=AC=13$ و $BC=10$ سانتی‌متر، ارتفاع $AH$ را بیابید.

حل: طبق قضیهٔ بالا (هم‌نهشتی و.ض)، ارتفاع قاعده را نصف می‌کند: $HB = 5$. حالا در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHB$:

۵) نقطهٔ $P$ از دو نقطهٔ $A$ و $B$ فاصلهٔ مساوی دارد ($PA=PB=15$) و $AB=18$ سانتی‌متر است. فاصلهٔ $P$ تا خط $AB$ چقدر است؟

حل: چون $PA=PB$، نقطهٔ $P$ روی عمودمنصف $AB$ است، پس پای عمود $H$ وسط $AB$ است و $AH = 9$. با فیثاغورس در مثلث $PHA$:

۶) نقطهٔ $A(3,2)$ ابتدا با بردار $\binom{2}{-5}$ منتقل و سپس $180°$ حول مبدأ دوران داده شده است. مختصات نهایی را بیابید.

حل: انتقال: $A' = (3+2,\ 2-5) = (5,-3)$. دوران $180°$ حول مبدأ هر نقطهٔ $(x,y)$ را به $(-x,-y)$ می‌برد، پس $A'' = (-5,\ 3)$.

۷) در مستطیل $ABCD$، $AB=6$ و $AD=9$ سانتی‌متر است. نقطهٔ $E$ روی ضلع $AD$ طوری قرار دارد که $EB=ED$. طول $AE$ را بیابید.

حل: فرض کن $AE=x$، پس $ED = 9-x$. زاویهٔ $A$ قائمه است (چون مستطیل است)، پس در مثلث $ABE$ با فیثاغورس:

از طرفی $ED = EB$، پس:

یعنی $AE = 2.5$ سانتی‌متر.

۸) در دو مثلث هم‌نهشت $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ می‌دانیم $\angle A = 3x+10°$ و $\angle D = 5x-20°$، و نیز $\angle B = 4y-5°$ و $\angle E = 2y+25°$. اگر $\angle C = 70°$ باشد، $x$، $y$ و $\angle F$ را بیابید و جواب را با مجموع زوایای مثلث بررسی کنید.

حل: زوایای متناظر مساوی‌اند:

چون $\angle F$ متناظر $\angle C$ است، $\angle F = 70°$.
بررسی: $55+55+70 = 180°$ ✓ پس جواب‌ها منطقی‌اند.

۹) دو مثلث متساوی‌الساقین را در نظر بگیر: اولی با زاویهٔ رأس $40°$ و ساق $5$ سانتی‌متر، دومی با زاویهٔ رأس $40°$ و ساق $8$ سانتی‌متر. نشان دهید سه زاویهٔ یکسان دارند ولی هم‌نهشت نیستند.

حل: در هر دو، زوایای قاعده برابرند با:

پس هر دو مثلث زوایای $40°$، $70°$، $70°$ دارند — کاملاً یکسان. اما ساق‌هایشان ($5$ در برابر $8$) فرق دارد، پس اندازه‌شان یکی نیست و هم‌نهشت نیستند؛ فقط متشابه‌اند. این مثال دقیقاً نشان می‌دهد چرا «سه زاویهٔ برابر» کافی نیست.

۱۰) در دو مثلث قائم‌الزاویه، وترها برابرند ($AC=DF=10$ سانتی‌متر) و یک ضلع قائمه هم برابر است ($AB=DE=6$ سانتی‌متر). طول $BC$ و $EF$ را بیابید و نوع هم‌نهشتی را نام ببرید.

حل: با فیثاغورس $BC = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ سانتی‌متر. چون طبق حالت و.ض این دو مثلث هم‌نهشت‌اند، $EF$ هم برابر $8$ سانتی‌متر است.

جمع‌بندی

رابطهٔ فیثاغورس ($a^2 = b^2+c^2$) پلی است بین طول ضلع‌ها و مساحت مربع‌ها در مثلث قائم‌الزاویه؛ با آن هم وتر پیدا می‌شود، هم ضلع قائمه، هم قائم‌الزاویه بودن مثلث تشخیص داده می‌شود. هم‌نهشتی یعنی دو شکل کاملاً یکسان‌اند و در آن اجزای متناظر همیشه مساوی‌اند — اصلی که پایهٔ همهٔ محاسبات و اثبات‌های این فصل است. برای مثلث‌ها سه حالت عمومی (ض‌ض‌ض، ض‌ز‌ض، ز‌ض‌ز) و برای مثلث قائم‌الزاویه دو حالت اختصاصی (و.ض، و.ز) داریم. سه زاویهٔ برابر به تنهایی هرگز کافی نیست. با همین ابزارها قضیه‌های مهمی مثل «زوایای قاعدهٔ متساوی‌الساقین برابرند»، «عمودمنصف» و «نیمساز» اثبات می‌شوند.