پرش به محتوای اصلی

بردار و مختصات (ریاضی هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

بردار و مختصات (هشتم)

این مبحث سه بخش دارد: جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات. اگر این سه را خوب یاد بگیری، پایهٔ فیزیک نهم و دهم را هم ساخته‌ای.

بردار یعنی چه؟

بردار کمیتی است که هم اندازه دارد و هم جهت. آن را با یک پیکان نشان می‌دهیم و با دو عدد می‌نویسیم:

a⃗=(xy)\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • xxادامهٔ فرمول را افقی ببین = مؤلفهٔ افقی (چقدر به راست یا چپ)
  • yyادامهٔ فرمول را افقی ببین = مؤلفهٔ عمودی (چقدر به بالا یا پایین)

پس بردار در واقع یک «دستور حرکت» است: این‌قدر افقی برو، این‌قدر عمودی.

بردار برایند (حاصل‌جمع)

وقتی دو بردار پشت سر هم اثر می‌کنند — مثل دو جابه‌جایی پشت سر هم یا دو نیرو روی یک جسم — یک بردار واحد می‌تواند جای هر دو را بگیرد. به آن برایند یا حاصل‌جمع می‌گوییم.

مثال: روبات ۴ واحد به راست و بعد ۲ واحد به بالا می‌رود:

a⃗=(40),b⃗=(02)  ⟹  c⃗=a⃗+b⃗=(42)\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies \vec{c} = \vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

قانون جمع بردارها

ایدهٔ اصلی: مؤلفه‌های هم‌جهت با هم جمع می‌شوند — افقی با افقی، عمودی با عمودی.

a⃗+b⃗=(xy)+(zt)=(x+zy+t)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z \\ y+t \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا این‌طور است؟ چون حرکت افقی و عمودی کاملاً مستقل از هم‌اند؛ جمع کردن جداگانهٔ مؤلفه‌ها یعنی همین استقلال را حفظ کرده‌ایم.

مثال: (3−4)+(−21)=(1−3)\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

رسم برایند — روش «سر به دنبال هم»

ابتدای b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را روی انتهای a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بگذار. برداری که از ابتدای a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به انتهای b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد، همان حاصل‌جمع است.

بردارهای مساوی (بردارهایی با همان مختصات) را می‌توان آزادانه جابه‌جا کرد؛ مهم نیست از کجا شروع شوند. پس برای رسم حاصل‌جمع لازم نیست a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از یک نقطه شروع شده باشند — کپی b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از انتهای a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌گذاریم.

اگر هر دو بردار را از یک نقطه رسم کنی و یک متوازی‌الاضلاع بسازی، قطر آن دقیقاً برایند است. به این قانون متوازی‌الاضلاع می‌گویند و در فیزیک خیلی کاربرد دارد. همین شکل نشان می‌دهد چرا ترتیب جمع فرقی نمی‌کند.

بردار صفر و بردار قرینه

بردار صفر یعنی 0⃗=(00)\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قرینهٔ a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برداری است با همان اندازه ولی جهت مخالف:

a⃗=(xy)  ⟹  −a⃗=(−x−y),a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \implies -\vec{a} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

خواص جمع بردارها

خاصیت فرمول یعنی چه
جابه‌جایی a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ترتیب فرق نمی‌کند
شرکت‌پذیری (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})ادامهٔ فرمول را افقی ببین گروه‌بندی فرق نمی‌کند
بردار صفر a⃗+0⃗=a⃗\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمع با صفر تغییری نمی‌دهد
بردار قرینه a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمع با قرینه صفر می‌شود

تجزیهٔ بردار

تجزیه برعکس جمع است: یک بردار را به دو بردار می‌شکنیم که مجموعشان همان بردار اول باشد (a⃗=p⃗+q⃗\vec{a} = \vec{p} + \vec{q}ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

نکتهٔ مهم: تجزیه بی‌نهایت جواب دارد. مثلاً:

(34)=(10)+(24)=(31)+(03)=…\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \ldotsادامهٔ فرمول را افقی ببین

در سؤال‌های امتحانی معمولاً یک شرط اضافه می‌دهند (مثلاً راستای معین) تا جواب یکتا شود.

تساوی برداری

اگر دو بردار برابر باشند، مؤلفه‌های متناظرشان برابرند:

(xy)=(ab)  ⟹  x=aوy=b\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \implies x = a \quad \text{و} \quad y = bادامهٔ فرمول را افقی ببین

پس هر تساوی برداری همیشه به دو معادلهٔ عددی تبدیل می‌شود. روش کار: اول طرف چپ را جمع کن، بعد مؤلفهٔ افقی دو طرف را برابر بگذار، سپس مؤلفهٔ عمودی را.

اندازهٔ بردار (فراتر از کتاب)

حالا که فیثاغورث را بلدی، می‌توانی اندازهٔ دقیق هر بردار را حساب کنی:

∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و yyادامهٔ فرمول را افقی ببین دو ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه‌اند و خود بردار وتر آن است. مثال: برای a⃗=(42)\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم ∣a⃗∣=16+4=20=25|\vec{a}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مسیر بسته

اگر بردارها یک مسیر بسته بسازند (از نقطه‌ای شروع و به همان‌جا برگردند)، مجموعشان همیشه 0⃗\vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مثلاً در مثلث ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین:

AB→+BC→+CA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هشدار: این قانون فقط وقتی درست است که بردارها واقعاً سر-به-دنبال هم و بسته باشند. سه بردار دلبخواه دلیلی ندارد مجموعشان صفر شود.

ضرب عدد در بردار

وقتی بردار را در عدد kkادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب می‌کنیم، عدد در هر دو مؤلفه ضرب می‌شود:

k×(xy)=(kxky)k \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا؟ چون بردار یک حرکت است؛ اگر بخواهیم آن حرکت kkادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر شود، هم بخش افقی و هم بخش عمودی باید kkادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر شوند.

مثال: 4×(32)=(128)4 \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (−2)×(3−1)=(−62)(-2) \times \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تأثیر kkادامهٔ فرمول را افقی ببین بر جهت و اندازه

مقدار kkادامهٔ فرمول را افقی ببین جهت بردار جدید اندازهٔ بردار جدید
k>1k > 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان جهت بزرگ‌تر
0<k<10 < k < 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان جهت کوچک‌تر
k=1k = 1ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون تغییر بدون تغییر
k=−1k = -1ادامهٔ فرمول را افقی ببین معکوس (قرینه) همان اندازه
k<−1k < -1ادامهٔ فرمول را افقی ببین معکوس بزرگ‌تر
−1<k<0-1 < k < 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین معکوس کوچک‌تر
k=0k = 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف‌نشده بردار صفر

پس علامت kkادامهٔ فرمول را افقی ببین جهت را تعیین می‌کند و قدرمطلق kkادامهٔ فرمول را افقی ببین اندازه را:

∣ka⃗∣=∣k∣⋅∣a⃗∣|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی اندازه هرگز منفی نمی‌شود. مثال: برای a⃗=(34)\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین که ∣a⃗∣=5|\vec{a}|=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، ∣(−2)a⃗∣=2×5=10|(-2)\vec{a}| = 2\times5 = 10ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تفریق بردارها

تفریق چیز تازه‌ای نیست — جمع با قرینه است:

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)=(x1−x2y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

بردارهای هم‌راستا (موازی)

اگر دو بردار روی یک راستا باشند، رابطهٔ b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بین‌شان برقرار است و kkادامهٔ فرمول را افقی ببین را از تقسیم مؤلفه‌ها پیدا می‌کنیم:

k=xbxa=ybyak = \frac{x_b}{x_a} = \frac{y_b}{y_a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: a⃗=(23)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗=(−4−6)\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد k=−2k=-2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس b⃗=−2a⃗\vec{b} = -2\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

ملاک مطمئن‌تر هم‌راستایی (فراتر از کتاب): به‌جای تقسیم، ضرب‌دری کن:

x1y2=x2y1x_1 y_2 = x_2 y_1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مزیتش این است که حتی وقتی یکی از مؤلفه‌ها صفر باشد (و تقسیم بی‌معنی شود) باز هم کار می‌کند.

ترکیب خطی: ka⃗+mb⃗k\vec{a} + m\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

این مهم‌ترین ابزار درس است. یک‌مرحله‌ای هم می‌شود نوشت:

k(x1y1)+m(x2y2)=(kx1+mx2ky1+my2)k\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}kx_1 + mx_2\\ky_1 + my_2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دقت: اول ضرب‌ها را جداگانه انجام بده، بعد جمع کن. ضرب بر جمع مقدم است.

برای رسم هندسی: اول ka⃗k\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از نقطهٔ OOادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم کن، بعد mb⃗m\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از انتهای ka⃗k\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بکش؛ بردار OOادامهٔ فرمول را افقی ببین تا انتهای آخری همان جواب است.

حل معادلهٔ برداری

اگر kx⃗=a⃗k\vec{x} = \vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، هر دو طرف را در 1k\frac{1}{k}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب کن (البته k≠0k \neq 0ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

مثال: −3x⃗=(15−9)  ⟹  x⃗=(−53)-3\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix} \implies \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

بردارهای واحد i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

در محور اعداد، «واحد» ملاک اندازه‌گیری است. در صفحهٔ مختصات دو واحد لازم داریم:

نماد معنی مختصات
i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک قدم به راست (روی محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین) (10)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک قدم به بالا (روی محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین) (01)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هر دو طولشان ۱ است و بر هم عمودند. هر بردار صفحه را می‌توان — و آن هم فقط به یک روش — با آن‌ها نوشت:

ai⃗+bj⃗⟷(ab)a\vec{i} + b\vec{j} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

یعنی ضریب i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان مؤلفهٔ xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و ضریب j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان مؤلفهٔ yyادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مثال: (3−2)=3i⃗−2j⃗\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} = 3\vec{i} - 2\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (04)=4j⃗\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} = 4\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چرا این نمایش مفید است؟

چون بردارها را می‌توانی مثل عبارات جبری با هم جمع کنی — ضرایب i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با هم و ضرایب j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با هم:

(2i⃗+3j⃗)+(4i⃗−j⃗)=6i⃗+2j⃗(2\vec{i} + 3\vec{j}) + (4\vec{i} - \vec{j}) = 6\vec{i} + 2\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

هرگز ضریب i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با ضریب j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمع نکن؛ این‌ها همنام نیستند.

اندازه هم همان فرمول قبلی است: ∣ai⃗+bj⃗∣=a2+b2|a\vec{i}+b\vec{j}| = \sqrt{a^2+b^2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

حل معادلهٔ برداری با i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

دقیقاً مثل معادلهٔ عددی عمل کن: مجهول را یک طرف ببر (با تغییر علامت)، جمله‌های همنام را جمع کن، بعد بر ضریب مجهول تقسیم کن.

مثال: 3i⃗+j⃗+2x⃗=−5i⃗+j⃗3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{x} = -5\vec{i} + \vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

2x⃗=−5i⃗+j⃗−3i⃗−j⃗=−8i⃗+0j⃗  ⟹  x⃗=−4i⃗=(−40)2\vec{x} = -5\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{i} - \vec{j} = -8\vec{i} + 0\vec{j} \implies \vec{x} = -4\vec{i} = \begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر ترجیح می‌دهی، می‌توانی از همان اول همه چیز را به مختصات تبدیل کنی و برای xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و yyادامهٔ فرمول را افقی ببین جداگانه معادله بنویسی — جواب یکی است.

کاربرد در فیزیک: تجزیهٔ نیرو

وقتی جسمی روی سطح شیب‌دار است، نیروی وزن را روی دو راستای عمود بر هم تجزیه می‌کنیم:

w⃗=w1⃗+w2⃗\vec{w} = \vec{w_1} + \vec{w_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

که w1⃗\vec{w_1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین موازی سطح و w2⃗\vec{w_2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود بر سطح است. هر مؤلفه یک عدد ضرب در یک بردار جهت‌دار است — همان ضرب عدد در بردار. اگر دو نیرو در راستای هم باشند، جمع و تفریق ساده کافی است؛ اگر زاویه‌دار باشند، حتماً باید سراغ مؤلفه‌ها بروی.

تشخیص جهت از روی علامت مؤلفه‌ها

xxادامهٔ فرمول را افقی ببین yyادامهٔ فرمول را افقی ببین جهت
+ + بالا-راست (ربع اول)
−-ادامهٔ فرمول را افقی ببین + بالا-چپ (ربع دوم)
−-ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین پایین-چپ (ربع سوم)
+ −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین پایین-راست (ربع چهارم)

نقطهٔ وسط (نکتهٔ تیزهوشان)

اگر a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بردارهای مکان نقطه‌های AAادامهٔ فرمول را افقی ببین و BBادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند، بردار مکان وسط پاره‌خط ABABادامهٔ فرمول را افقی ببین چنین است:

m⃗=a⃗+b⃗2\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اشتباهات رایج

اشتباه نمونهٔ غلط درست راه جلوگیری
جمع مؤلفه‌های ناهمنام (23)+(14)=(2+43+1)\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+4\\3+1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (37)\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط اول با خط اول، خط دوم با خط دوم
رسم غلط برایند از انتهای a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به ابتدای b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین از ابتدای a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به انتهای b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ابتدا و انتها را روی شکل علامت بزن
ضرب نکردن kkادامهٔ فرمول را افقی ببین در مؤلفهٔ دوم 3(25)=(65)3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (615)\begin{pmatrix}6\\15\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه هر دو مؤلفه را ضرب کن
خطا در علامت منفی (−2)(3−4)=(−6−8)(-2)\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-8\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (−68)\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی در منفی = مثبت
جمع به‌جای ضرب 2(31)=(53)2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (62)\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب است، نه جمع
حل فقط یک مؤلفه در تساوی برداری فقط xxادامهٔ فرمول را افقی ببین را حساب می‌کنند هم xxادامهٔ فرمول را افقی ببین هم yyادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه دو معادله بنویس
گمان اینکه تجزیه یک جواب دارد فقط یک حالت می‌نویسند بی‌نهایت جواب تجزیه آزاد است مگر شرط بدهند
جمع ضریب i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین با j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 6i⃗+46\vec{i}+4ادامهٔ فرمول را افقی ببین 6i⃗+4j⃗6\vec{i}+4\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین این دو همنام نیستند
جابه‌جا نوشتن i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (35)=5i⃗+3j⃗\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} = 5\vec{i}+3\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 3i⃗+5j⃗3\vec{i}+5\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول xxادامهٔ فرمول را افقی ببین، بعد yyادامهٔ فرمول را افقی ببین
خطای علامت هنگام انتقال 2x⃗+3i⃗=j⃗  ⟹  2x⃗=j⃗+3i⃗2\vec{x}+3\vec{i}=\vec{j} \implies 2\vec{x}=\vec{j}+3\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 2x⃗=j⃗−3i⃗2\vec{x}=\vec{j}-3\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال = تغییر علامت
گمان اینکه هر kkادامهٔ فرمول را افقی ببین منفی بردار را کوچک می‌کند k=−3k=-3ادامهٔ فرمول را افقی ببین را کوچک‌کننده فرض کردن k<−1k<-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین بردار را بزرگ‌تر می‌کند به جدول kkادامهٔ فرمول را افقی ببین نگاه کن، نه فقط علامت

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) اگر a⃗=(5−3)\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗=(−24)\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، حاصل a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین چیست؟

حل: مؤلفه‌ها را جدا جمع می‌کنیم: (5+(−2)−3+4)=(31)\begin{pmatrix}5+(-2)\\-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۲) در مثلث ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین، AB→=(35)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و BC→=(−72)\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-7\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بردار CA→\overrightarrow{CA}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیابید.

حل: این سه بردار یک مسیر بسته می‌سازند، پس مجموعشان 0⃗\vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

CA→=−(AB→+BC→)=−(−47)=(4−7)\overrightarrow{CA} = -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right) = -\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

۳) اگر a⃗=(12)\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗=(3−1)\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اعداد kkادامهٔ فرمول را افقی ببین و mmادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیابید که ka⃗+mb⃗=(111)k\vec{a}+m\vec{b}=\begin{pmatrix}11\\1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین شود.

حل: از ترکیب خطی دو معادله می‌سازیم:

k+3m=112k−m=1k+3m=11 \qquad 2k-m=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

از دومی m=2k−1m=2k-1ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ جایگذاری در اولی: k+6k−3=11  ⟹  7k=14  ⟹  k=2k+6k-3=11 \implies 7k=14 \implies k=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و m=3m=3ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
بررسی: 2a⃗+3b⃗=(24)+(9−3)=(111)2\vec{a}+3\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}9\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓

۴) برای چه مقدار kkادامهٔ فرمول را افقی ببین، بردار a⃗=(2k−4)i⃗+(3−k)j⃗\vec{a}=(2k-4)\vec{i}+(3-k)\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین دقیقاً روی محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار می‌گیرد؟ بردار حاصل رو به بالاست یا پایین؟

حل: شرط قرارگرفتن روی محور yyادامهٔ فرمول را افقی ببین این است که ضریب i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین صفر شود: 2k−4=0  ⟹  k=22k-4=0 \implies k=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین. آنگاه ضریب j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 3−2=13-2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. پس a⃗=j⃗\vec{a}=\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین — یک واحد رو به بالا، چون مؤلفهٔ yyادامهٔ فرمول را افقی ببین مثبت است.

جمع‌بندی

جمع بردارها روی دو ایده بنا شده: در حساب مؤلفه‌های همنام را جمع می‌کنیم، در هندسه بردارها را سر به دنبال هم می‌گذاریم. ضرب عدد در بردار یعنی ضرب آن عدد در هر دو مؤلفه؛ علامت kkادامهٔ فرمول را افقی ببین جهت را و ∣k∣|k|ادامهٔ فرمول را افقی ببین اندازه را تعیین می‌کند. تفریق چیزی جز جمع با قرینه نیست. بردارهای واحد i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین زبان مشترکی می‌سازند که با آن هر بردار صفحه را می‌نویسیم و عملیات‌ها را مثل جبر معمولی انجام می‌دهیم. همهٔ این‌ها پایهٔ مبحث نیرو در فیزیک سال‌های بعد است.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر 3x⃗+(2−5)=0⃗3\vec{x} + \begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix} = \vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه x⃗\vec{x}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • (23−53)\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (−2353)\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (2−5)\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (−25)\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(−2353)\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. با انتقالِ جمله‌های مجهول به یک طرف، ساده‌کردن و تقسیم بر ضریبِ نهایی، همین بردار حاصل می‌شود. بررسی سایر گزینه‌ها: «(2−5)\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(−25)\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(23−53)\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). 💡 تلهٔ تستی: جمله‌های شاملِ بردارِ مجهول را به یک طرف و بقیه را به طرفِ دیگر ببر؛ ضریبِ نهاییِ مجهول را در تقسیم فراموش نکن و علامتِ جمله‌های منتقل‌شده را عوض کن.

2. اگر a⃗=(3−6)\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\-6\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗=(−24)\vec{b} = \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کدام رابطه بین a⃗\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و b⃗\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین برقرار است؟

  • b⃗=−32a⃗\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • b⃗=23a⃗\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • b⃗=−23a⃗\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • b⃗=32a⃗\vec{b} = \frac{3}{2}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «b⃗=−23a⃗\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. با تقسیمِ مؤلفه‌های متناظرِ دو بردار، ضریبِ تناسب همین رابطه را تأیید می‌کند. بررسی سایر گزینه‌ها: «b⃗=23a⃗\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. «b⃗=32a⃗\vec{b} = \frac{3}{2}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. «b⃗=−32a⃗\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. 💡 تلهٔ تستی: برای یافتنِ رابطهٔ دو بردارِ هم‌راستا، ضریب را از تقسیمِ مؤلفه‌های متناظر پیدا کن؛ علامتِ ضریب هم‌جهت یا مخالف‌جهت بودن را نشان می‌دهد.

3. اگر a⃗=(23)\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، b⃗=(1−1)\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و c⃗=(51)\vec{c} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کدام ترکیب خطی c⃗=ka⃗+mb⃗\vec{c} = k\vec{a} + m\vec{b}ادامهٔ فرمول را افقی ببین را برآورده می‌کند؟

  • k=65,  m=35k=\frac{6}{5},\; m=\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • k=15,  m=135k=\frac{1}{5},\; m=\frac{13}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • k=135,  m=65k=\frac{13}{5},\; m=\frac{6}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • k=65,  m=135k=\frac{6}{5},\; m=\frac{13}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «k=65,  m=135k=\frac{6}{5},\; m=\frac{13}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. از دستگاهِ 2k+m=52k+m=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 3k−m=13k-m=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین با جمعِ دو معادله 5k=65k=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس k=65k=\frac{6}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سپس m=5−2k=135m=5-2k=\frac{13}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید. بررسی سایر گزینه‌ها: «k=65,  m=35k=\frac{6}{5},\; m=\frac{3}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» مقدارِ kkادامهٔ فرمول را افقی ببین درست ولی mmادامهٔ فرمول را افقی ببین اشتباه محاسبه شده است. «k=15,  m=135k=\frac{1}{5},\; m=\frac{13}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» مقدارِ mmادامهٔ فرمول را افقی ببین درست ولی kkادامهٔ فرمول را افقی ببین اشتباه است. «k=135,  m=65k=\frac{13}{5},\; m=\frac{6}{5}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جای kkادامهٔ فرمول را افقی ببین و mmادامهٔ فرمول را افقی ببین را عوض کرده است. 💡 تلهٔ تستی: تساویِ برداری دو معادله می‌سازد؛ هر دو ضریب را حل کن و مراقب باش جای kkادامهٔ فرمول را افقی ببین و mmادامهٔ فرمول را افقی ببین را عوض نکنی. جوابِ غیرصحیح (کسری) هم کاملاً قابل‌قبول است.

4. اگر a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و a⃗=(2−1)\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، b⃗=(−34)\vec{b} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه c⃗\vec{c}ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • (−55)\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (1−3)\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (−13)\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (5−5)\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(1−3)\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. با انتقالِ جمله‌های مجهول به یک طرف، ساده‌کردن و تقسیم بر ضریبِ نهایی، همین بردار حاصل می‌شود. بررسی سایر گزینه‌ها: «(−13)\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). «(5−5)\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(−55)\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. 💡 تلهٔ تستی: جمله‌های شاملِ بردارِ مجهول را به یک طرف و بقیه را به طرفِ دیگر ببر؛ ضریبِ نهاییِ مجهول را در تقسیم فراموش نکن و علامتِ جمله‌های منتقل‌شده را عوض کن.

5. بردار v⃗=−2j⃗\vec{v} = -2\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین به صورت مختصاتی کدام است؟

  • (02)\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (−20)\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (0−2)\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • (20)\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(0−2)\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. مؤلفهٔ افقی ضریبِ i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مؤلفهٔ عمودی ضریبِ j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود، پس همین نمایش درست است. بررسی سایر گزینه‌ها: «(02)\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). «(−20)\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جای مؤلفهٔ افقی و عمودی در آن جابه‌جا شده است. «(20)\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}ادامهٔ فرمول را افقی ببین» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. 💡 تلهٔ تستی: ضریبِ i⃗\vec{i}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان مؤلفهٔ افقی و ضریبِ j⃗\vec{j}ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان مؤلفهٔ عمودی است؛ ترتیبِ آن‌ها را جابه‌جا نکن.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) دو بردار u=(3,−2) و v=(−1,5) داده شده‌اند. ب) بردار برآیند را به دست آورید و روش مؤلفه‌ای را شرح دهید. توضیح دهید چرا مؤلفه‌های هم‌راستا با هم جمع می‌شوند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) مؤلفه‌های افقی و عمودی را جدا جمع می‌کنیم: (3,−2)+(−1,5)=(2,3)(3,-2)+(-1,5)=(2,3)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) برآیند دو واحد در راستای افقی و سه واحد در راستای عمودی است؛ مؤلفه‌های متناظر با یکدیگر جمع می‌شوند.
کجا بخوانم: در «بخش اول: قانون جمع بردارها با مختصات»
نکته مهم: جمع بردارها به صورت مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌شود.

۲. الف) بردار u=(4,1)، v=(2,−3) و w=(−5,2) هستند. ب) برآیند را بیابید و بررسی کنید آیا ترتیب جمع نتیجه را تغییر می‌دهد. استدلال کنید چرا عوض‌کردن ترتیب، جمع نهایی را حفظ می‌کند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) u+v+w=(4+2−5,1−3+2)=(1,0)u+v+w=(4+2-5,1-3+2)=(1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) جمع مؤلفه‌های حقیقی جابه‌جاپذیر و شرکت‌پذیر است؛ بنابراین ترتیب جمع را عوض کنیم، برآیند همچنان (1,0)(1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌ماند.
کجا بخوانم: در «بخش چهارم: جمع سه بردار یا بیشتر»
نکته مهم: بردارها را می‌توان با هر ترتیبی جمع کرد، به شرط حفظ مؤلفه‌ها.

۳. الف) بردار a=(−3,4)a=(−3,4)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را تجزیه کنید به دو بردار افقی و عمودی. ب) اندازهٔ بردار a را بیابید و توضیح دهید تجزیه طول مسیر را تعیین نمی‌کند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) a=(−3,0)+(0,4)a=(-3,0)+(0,4)ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ نخست سه واحد چپ و سپس چهار واحد بالا. ب) اندازهٔ بردار (−3)2+42=5\sqrt{(-3)^2+4^2}=5ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، اما مسیر تجزیه‌شده ۷ واحد طول دارد؛ بردار، جابه‌جایی مستقیم را می‌سنجد.
کجا بخوانم: در «بخش پنجم: تجزیه بردار»
نکته مهم: مؤلفه‌ها بردار را می‌سازند، ولی طول مسیرِ حرکت‌ها جداگانه جمع می‌شود.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح و گویا (ریاضی هشتم)عددهای اول و تجزیه (ریاضی هشتم)چندضلعی‌ها و تقارن (ریاضی هشتم)جبر، معادله و اتحادها (ریاضی هشتم)مثلث و رابطهٔ فیثاغورس (ریاضی هشتم)توان و جذر (ریاضی هشتم)آمار و احتمال (ریاضی هشتم)دایره و زاویهٔ محاطی (ریاضی هشتم)عددهای صحیح و گویا — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان