پرش به محتوای اصلی

بردار و مختصات (هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

بردار و مختصات (هشتم)

این مبحث سه بخش دارد: جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات. اگر این سه را خوب یاد بگیری، پایهٔ فیزیک نهم و دهم را هم ساخته‌ای.

بردار یعنی چه؟

بردار کمیتی است که هم اندازه دارد و هم جهت. آن را با یک پیکان نشان می‌دهیم و با دو عدد می‌نویسیم:

a⃗=(xy)\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
  • xx = مؤلفهٔ افقی (چقدر به راست یا چپ)
  • yy = مؤلفهٔ عمودی (چقدر به بالا یا پایین)

پس بردار در واقع یک «دستور حرکت» است: این‌قدر افقی برو، این‌قدر عمودی.

بردار برایند (حاصل‌جمع)

وقتی دو بردار پشت سر هم اثر می‌کنند — مثل دو جابه‌جایی پشت سر هم یا دو نیرو روی یک جسم — یک بردار واحد می‌تواند جای هر دو را بگیرد. به آن برایند یا حاصل‌جمع می‌گوییم.

مثال: روبات ۴ واحد به راست و بعد ۲ واحد به بالا می‌رود:

a⃗=(40),b⃗=(02)  ⟹  c⃗=a⃗+b⃗=(42)\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies \vec{c} = \vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}

قانون جمع بردارها

ایدهٔ اصلی: مؤلفه‌های هم‌جهت با هم جمع می‌شوند — افقی با افقی، عمودی با عمودی.

a⃗+b⃗=(xy)+(zt)=(x+zy+t)\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z \\ y+t \end{pmatrix}

چرا این‌طور است؟ چون حرکت افقی و عمودی کاملاً مستقل از هم‌اند؛ جمع کردن جداگانهٔ مؤلفه‌ها یعنی همین استقلال را حفظ کرده‌ایم.

مثال: (3−4)+(−21)=(1−3)\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}

رسم برایند — روش «سر به دنبال هم»

ابتدای b⃗\vec{b} را روی انتهای a⃗\vec{a} بگذار. برداری که از ابتدای a⃗\vec{a} به انتهای b⃗\vec{b} می‌رسد، همان حاصل‌جمع است.

بردارهای مساوی (بردارهایی با همان مختصات) را می‌توان آزادانه جابه‌جا کرد؛ مهم نیست از کجا شروع شوند. پس برای رسم حاصل‌جمع لازم نیست a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} از یک نقطه شروع شده باشند — کپی b⃗\vec{b} را از انتهای a⃗\vec{a} می‌گذاریم.

اگر هر دو بردار را از یک نقطه رسم کنی و یک متوازی‌الاضلاع بسازی، قطر آن دقیقاً برایند است. به این قانون متوازی‌الاضلاع می‌گویند و در فیزیک خیلی کاربرد دارد. همین شکل نشان می‌دهد چرا ترتیب جمع فرقی نمی‌کند.

بردار صفر و بردار قرینه

بردار صفر یعنی 0⃗=(00)\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

قرینهٔ a⃗\vec{a} برداری است با همان اندازه ولی جهت مخالف:

a⃗=(xy)  ⟹  −a⃗=(−x−y),a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \implies -\vec{a} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

خواص جمع بردارها

خاصیت فرمول یعنی چه
جابه‌جایی a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} ترتیب فرق نمی‌کند
شرکت‌پذیری (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) گروه‌بندی فرق نمی‌کند
بردار صفر a⃗+0⃗=a⃗\vec{a} + \vec{0} = \vec{a} جمع با صفر تغییری نمی‌دهد
بردار قرینه a⃗+(−a⃗)=0⃗\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} جمع با قرینه صفر می‌شود

تجزیهٔ بردار

تجزیه برعکس جمع است: یک بردار را به دو بردار می‌شکنیم که مجموعشان همان بردار اول باشد (a⃗=p⃗+q⃗\vec{a} = \vec{p} + \vec{q}).

نکتهٔ مهم: تجزیه بی‌نهایت جواب دارد. مثلاً:

(34)=(10)+(24)=(31)+(03)=…\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \ldots

در سؤال‌های امتحانی معمولاً یک شرط اضافه می‌دهند (مثلاً راستای معین) تا جواب یکتا شود.

تساوی برداری

اگر دو بردار برابر باشند، مؤلفه‌های متناظرشان برابرند:

(xy)=(ab)  ⟹  x=aوy=b\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \implies x = a \quad \text{و} \quad y = b

پس هر تساوی برداری همیشه به دو معادلهٔ عددی تبدیل می‌شود. روش کار: اول طرف چپ را جمع کن، بعد مؤلفهٔ افقی دو طرف را برابر بگذار، سپس مؤلفهٔ عمودی را.

اندازهٔ بردار (فراتر از کتاب)

حالا که فیثاغورث را بلدی، می‌توانی اندازهٔ دقیق هر بردار را حساب کنی:

∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

چون xx و yy دو ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه‌اند و خود بردار وتر آن است. مثال: برای a⃗=(42)\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} داریم ∣a⃗∣=16+4=20=25|\vec{a}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

مسیر بسته

اگر بردارها یک مسیر بسته بسازند (از نقطه‌ای شروع و به همان‌جا برگردند)، مجموعشان همیشه 0⃗\vec{0} است. مثلاً در مثلث ABCABC:

AB→+BC→+CA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}

هشدار: این قانون فقط وقتی درست است که بردارها واقعاً سر-به-دنبال هم و بسته باشند. سه بردار دلبخواه دلیلی ندارد مجموعشان صفر شود.

ضرب عدد در بردار

وقتی بردار را در عدد kk ضرب می‌کنیم، عدد در هر دو مؤلفه ضرب می‌شود:

k×(xy)=(kxky)k \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

چرا؟ چون بردار یک حرکت است؛ اگر بخواهیم آن حرکت kk برابر شود، هم بخش افقی و هم بخش عمودی باید kk برابر شوند.

مثال: 4×(32)=(128)4 \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix} و (−2)×(3−1)=(−62)(-2) \times \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}

تأثیر kk بر جهت و اندازه

مقدار kk جهت بردار جدید اندازهٔ بردار جدید
k>1k > 1 همان جهت بزرگ‌تر
0<k<10 < k < 1 همان جهت کوچک‌تر
k=1k = 1 بدون تغییر بدون تغییر
k=−1k = -1 معکوس (قرینه) همان اندازه
k<−1k < -1 معکوس بزرگ‌تر
−1<k<0-1 < k < 0 معکوس کوچک‌تر
k=0k = 0 تعریف‌نشده بردار صفر

پس علامت kk جهت را تعیین می‌کند و قدرمطلق kk اندازه را:

∣ka⃗∣=∣k∣⋅∣a⃗∣|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|

یعنی اندازه هرگز منفی نمی‌شود. مثال: برای a⃗=(34)\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} که ∣a⃗∣=5|\vec{a}|=5 است، ∣(−2)a⃗∣=2×5=10|(-2)\vec{a}| = 2\times5 = 10.

تفریق بردارها

تفریق چیز تازه‌ای نیست — جمع با قرینه است:

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)=(x1−x2y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}

بردارهای هم‌راستا (موازی)

اگر دو بردار روی یک راستا باشند، رابطهٔ b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a} بین‌شان برقرار است و kk را از تقسیم مؤلفه‌ها پیدا می‌کنیم:

k=xbxa=ybyak = \frac{x_b}{x_a} = \frac{y_b}{y_a}

مثال: a⃗=(23)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} و b⃗=(−4−6)\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix} می‌دهد k=−2k=-2، پس b⃗=−2a⃗\vec{b} = -2\vec{a}.

ملاک مطمئن‌تر هم‌راستایی (فراتر از کتاب): به‌جای تقسیم، ضرب‌دری کن:

x1y2=x2y1x_1 y_2 = x_2 y_1

مزیتش این است که حتی وقتی یکی از مؤلفه‌ها صفر باشد (و تقسیم بی‌معنی شود) باز هم کار می‌کند.

ترکیب خطی: ka⃗+mb⃗k\vec{a} + m\vec{b}

این مهم‌ترین ابزار درس است. یک‌مرحله‌ای هم می‌شود نوشت:

k(x1y1)+m(x2y2)=(kx1+mx2ky1+my2)k\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}kx_1 + mx_2\\ky_1 + my_2\end{pmatrix}

دقت: اول ضرب‌ها را جداگانه انجام بده، بعد جمع کن. ضرب بر جمع مقدم است.

برای رسم هندسی: اول ka⃗k\vec{a} را از نقطهٔ OO رسم کن، بعد mb⃗m\vec{b} را از انتهای ka⃗k\vec{a} بکش؛ بردار OO تا انتهای آخری همان جواب است.

حل معادلهٔ برداری

اگر kx⃗=a⃗k\vec{x} = \vec{a} باشد، هر دو طرف را در 1k\frac{1}{k} ضرب کن (البته k≠0k \neq 0).

مثال: −3x⃗=(15−9)  ⟹  x⃗=(−53)-3\vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ -9 \end{pmatrix} \implies \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}

بردارهای واحد i⃗\vec{i} و j⃗\vec{j}

در محور اعداد، «واحد» ملاک اندازه‌گیری است. در صفحهٔ مختصات دو واحد لازم داریم:

نماد معنی مختصات
i⃗\vec{i} یک قدم به راست (روی محور xx) (10)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
j⃗\vec{j} یک قدم به بالا (روی محور yy) (01)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

هر دو طولشان ۱ است و بر هم عمودند. هر بردار صفحه را می‌توان — و آن هم فقط به یک روش — با آن‌ها نوشت:

ai⃗+bj⃗⟷(ab)a\vec{i} + b\vec{j} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}

یعنی ضریب i⃗\vec{i} همان مؤلفهٔ xx و ضریب j⃗\vec{j} همان مؤلفهٔ yy است. مثال: (3−2)=3i⃗−2j⃗\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} = 3\vec{i} - 2\vec{j} و (04)=4j⃗\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} = 4\vec{j}.

چرا این نمایش مفید است؟

چون بردارها را می‌توانی مثل عبارات جبری با هم جمع کنی — ضرایب i⃗\vec{i} با هم و ضرایب j⃗\vec{j} با هم:

(2i⃗+3j⃗)+(4i⃗−j⃗)=6i⃗+2j⃗(2\vec{i} + 3\vec{j}) + (4\vec{i} - \vec{j}) = 6\vec{i} + 2\vec{j}

هرگز ضریب i⃗\vec{i} را با ضریب j⃗\vec{j} جمع نکن؛ این‌ها همنام نیستند.

اندازه هم همان فرمول قبلی است: ∣ai⃗+bj⃗∣=a2+b2|a\vec{i}+b\vec{j}| = \sqrt{a^2+b^2}

حل معادلهٔ برداری با i⃗\vec{i} و j⃗\vec{j}

دقیقاً مثل معادلهٔ عددی عمل کن: مجهول را یک طرف ببر (با تغییر علامت)، جمله‌های همنام را جمع کن، بعد بر ضریب مجهول تقسیم کن.

مثال: 3i⃗+j⃗+2x⃗=−5i⃗+j⃗3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{x} = -5\vec{i} + \vec{j}

2x⃗=−5i⃗+j⃗−3i⃗−j⃗=−8i⃗+0j⃗  ⟹  x⃗=−4i⃗=(−40)2\vec{x} = -5\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{i} - \vec{j} = -8\vec{i} + 0\vec{j} \implies \vec{x} = -4\vec{i} = \begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}

اگر ترجیح می‌دهی، می‌توانی از همان اول همه چیز را به مختصات تبدیل کنی و برای xx و yy جداگانه معادله بنویسی — جواب یکی است.

کاربرد در فیزیک: تجزیهٔ نیرو

وقتی جسمی روی سطح شیب‌دار است، نیروی وزن را روی دو راستای عمود بر هم تجزیه می‌کنیم:

w⃗=w1⃗+w2⃗\vec{w} = \vec{w_1} + \vec{w_2}

که w1⃗\vec{w_1} موازی سطح و w2⃗\vec{w_2} عمود بر سطح است. هر مؤلفه یک عدد ضرب در یک بردار جهت‌دار است — همان ضرب عدد در بردار. اگر دو نیرو در راستای هم باشند، جمع و تفریق ساده کافی است؛ اگر زاویه‌دار باشند، حتماً باید سراغ مؤلفه‌ها بروی.

تشخیص جهت از روی علامت مؤلفه‌ها

xx yy جهت
++ ++ بالا-راست (ربع اول)
−- ++ بالا-چپ (ربع دوم)
−- −- پایین-چپ (ربع سوم)
++ −- پایین-راست (ربع چهارم)

نقطهٔ وسط (نکتهٔ تیزهوشان)

اگر a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} بردارهای مکان نقطه‌های AA و BB باشند، بردار مکان وسط پاره‌خط ABAB چنین است:

m⃗=a⃗+b⃗2\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

اشتباهات رایج

اشتباه نمونهٔ غلط درست راه جلوگیری
جمع مؤلفه‌های ناهمنام (23)+(14)=(2+43+1)\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+4\\3+1\end{pmatrix} (37)\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix} خط اول با خط اول، خط دوم با خط دوم
رسم غلط برایند از انتهای a⃗\vec{a} به ابتدای b⃗\vec{b} از ابتدای a⃗\vec{a} به انتهای b⃗\vec{b} ابتدا و انتها را روی شکل علامت بزن
ضرب نکردن kk در مؤلفهٔ دوم 3(25)=(65)3\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix} (615)\begin{pmatrix}6\\15\end{pmatrix} همیشه هر دو مؤلفه را ضرب کن
خطا در علامت منفی (−2)(3−4)=(−6−8)(-2)\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-8\end{pmatrix} (−68)\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix} منفی در منفی = مثبت
جمع به‌جای ضرب 2(31)=(53)2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} (62)\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} ضرب است، نه جمع
حل فقط یک مؤلفه در تساوی برداری فقط xx را حساب می‌کنند هم xx هم yy همیشه دو معادله بنویس
گمان اینکه تجزیه یک جواب دارد فقط یک حالت می‌نویسند بی‌نهایت جواب تجزیه آزاد است مگر شرط بدهند
جمع ضریب i⃗\vec{i} با j⃗\vec{j} 6i⃗+46\vec{i}+4 6i⃗+4j⃗6\vec{i}+4\vec{j} این دو همنام نیستند
جابه‌جا نوشتن i⃗\vec{i} و j⃗\vec{j} (35)=5i⃗+3j⃗\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} = 5\vec{i}+3\vec{j} 3i⃗+5j⃗3\vec{i}+5\vec{j} اول xx، بعد yy
خطای علامت هنگام انتقال 2x⃗+3i⃗=j⃗  ⟹  2x⃗=j⃗+3i⃗2\vec{x}+3\vec{i}=\vec{j} \implies 2\vec{x}=\vec{j}+3\vec{i} 2x⃗=j⃗−3i⃗2\vec{x}=\vec{j}-3\vec{i} انتقال = تغییر علامت
گمان اینکه هر kk منفی بردار را کوچک می‌کند k=−3k=-3 را کوچک‌کننده فرض کردن k<−1k<-1 بردار را بزرگ‌تر می‌کند به جدول kk نگاه کن، نه فقط علامت

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) اگر a⃗=(5−3)\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix} و b⃗=(−24)\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}، حاصل a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b} چیست؟

حل: مؤلفه‌ها را جدا جمع می‌کنیم: (5+(−2)−3+4)=(31)\begin{pmatrix}5+(-2)\\-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

۲) در مثلث ABCABC، AB→=(35)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} و BC→=(−72)\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-7\\2\end{pmatrix}. بردار CA→\overrightarrow{CA} را بیابید.

حل: این سه بردار یک مسیر بسته می‌سازند، پس مجموعشان 0⃗\vec{0} است:

CA→=−(AB→+BC→)=−(−47)=(4−7)\overrightarrow{CA} = -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right) = -\begin{pmatrix}-4\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}

۳) اگر a⃗=(12)\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} و b⃗=(3−1)\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}، اعداد kk و mm را بیابید که ka⃗+mb⃗=(111)k\vec{a}+m\vec{b}=\begin{pmatrix}11\\1\end{pmatrix} شود.

حل: از ترکیب خطی دو معادله می‌سازیم:

k+3m=112k−m=1k+3m=11 \qquad 2k-m=1

از دومی m=2k−1m=2k-1؛ جایگذاری در اولی: k+6k−3=11  ⟹  7k=14  ⟹  k=2k+6k-3=11 \implies 7k=14 \implies k=2 و m=3m=3.
بررسی: 2a⃗+3b⃗=(24)+(9−3)=(111)2\vec{a}+3\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}9\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\1\end{pmatrix} ✓

۴) برای چه مقدار kk، بردار a⃗=(2k−4)i⃗+(3−k)j⃗\vec{a}=(2k-4)\vec{i}+(3-k)\vec{j} دقیقاً روی محور yy قرار می‌گیرد؟ بردار حاصل رو به بالاست یا پایین؟

حل: شرط قرارگرفتن روی محور yy این است که ضریب i⃗\vec{i} صفر شود: 2k−4=0  ⟹  k=22k-4=0 \implies k=2. آنگاه ضریب j⃗\vec{j} برابر 3−2=13-2=1 می‌شود. پس a⃗=j⃗\vec{a}=\vec{j} — یک واحد رو به بالا، چون مؤلفهٔ yy مثبت است.

جمع‌بندی

جمع بردارها روی دو ایده بنا شده: در حساب مؤلفه‌های همنام را جمع می‌کنیم، در هندسه بردارها را سر به دنبال هم می‌گذاریم. ضرب عدد در بردار یعنی ضرب آن عدد در هر دو مؤلفه؛ علامت kk جهت را و ∣k∣|k| اندازه را تعیین می‌کند. تفریق چیزی جز جمع با قرینه نیست. بردارهای واحد i⃗\vec{i} و j⃗\vec{j} زبان مشترکی می‌سازند که با آن هر بردار صفحه را می‌نویسیم و عملیات‌ها را مثل جبر معمولی انجام می‌دهیم. همهٔ این‌ها پایهٔ مبحث نیرو در فیزیک سال‌های بعد است.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر 3x⃗+(2−5)=0⃗3\vec{x} + \begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix} = \vec{0}، آنگاه x⃗\vec{x} کدام است؟

  • (23−53)\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}\end{pmatrix}
  • (−2353)\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix}
  • (2−5)\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}
  • (−25)\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(−2353)\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\end{pmatrix}» است. با انتقالِ جمله‌های مجهول به یک طرف، ساده‌کردن و تقسیم بر ضریبِ نهایی، همین بردار حاصل می‌شود. بررسی سایر گزینه‌ها: «(2−5)\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(−25)\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(23−53)\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}\end{pmatrix}» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). 💡 تلهٔ تستی: جمله‌های شاملِ بردارِ مجهول را به یک طرف و بقیه را به طرفِ دیگر ببر؛ ضریبِ نهاییِ مجهول را در تقسیم فراموش نکن و علامتِ جمله‌های منتقل‌شده را عوض کن.

2. اگر a⃗=(3−6)\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\-6\end{pmatrix} و b⃗=(−24)\vec{b} = \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}، کدام رابطه بین a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} برقرار است؟

  • b⃗=−32a⃗\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a}
  • b⃗=23a⃗\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a}
  • b⃗=−23a⃗\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a}
  • b⃗=32a⃗\vec{b} = \frac{3}{2}\vec{a}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «b⃗=−23a⃗\vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{a}» است. با تقسیمِ مؤلفه‌های متناظرِ دو بردار، ضریبِ تناسب همین رابطه را تأیید می‌کند. بررسی سایر گزینه‌ها: «b⃗=23a⃗\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a}» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. «b⃗=32a⃗\vec{b} = \frac{3}{2}\vec{a}» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. «b⃗=−32a⃗\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a}» با پاسخِ درست هم‌خوان نیست و از یک خطای رایج در همین مبحث می‌آید. 💡 تلهٔ تستی: برای یافتنِ رابطهٔ دو بردارِ هم‌راستا، ضریب را از تقسیمِ مؤلفه‌های متناظر پیدا کن؛ علامتِ ضریب هم‌جهت یا مخالف‌جهت بودن را نشان می‌دهد.

3. اگر a⃗=(23)\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}، b⃗=(1−1)\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} و c⃗=(51)\vec{c} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}، کدام ترکیب خطی c⃗=ka⃗+mb⃗\vec{c} = k\vec{a} + m\vec{b} را برآورده می‌کند؟

  • k=65,  m=35k=\frac{6}{5},\; m=\frac{3}{5}
  • k=15,  m=135k=\frac{1}{5},\; m=\frac{13}{5}
  • k=135,  m=65k=\frac{13}{5},\; m=\frac{6}{5}
  • k=65,  m=135k=\frac{6}{5},\; m=\frac{13}{5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «k=65,  m=135k=\frac{6}{5},\; m=\frac{13}{5}» است. از دستگاهِ 2k+m=52k+m=5 و 3k−m=13k-m=1 با جمعِ دو معادله 5k=65k=6 پس k=65k=\frac{6}{5} و سپس m=5−2k=135m=5-2k=\frac{13}{5} به دست می‌آید. بررسی سایر گزینه‌ها: «k=65,  m=35k=\frac{6}{5},\; m=\frac{3}{5}» مقدارِ kk درست ولی mm اشتباه محاسبه شده است. «k=15,  m=135k=\frac{1}{5},\; m=\frac{13}{5}» مقدارِ mm درست ولی kk اشتباه است. «k=135,  m=65k=\frac{13}{5},\; m=\frac{6}{5}» جای kk و mm را عوض کرده است. 💡 تلهٔ تستی: تساویِ برداری دو معادله می‌سازد؛ هر دو ضریب را حل کن و مراقب باش جای kk و mm را عوض نکنی. جوابِ غیرصحیح (کسری) هم کاملاً قابل‌قبول است.

4. اگر a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} و a⃗=(2−1)\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}، b⃗=(−34)\vec{b} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}، آنگاه c⃗\vec{c} کدام است؟

  • (−55)\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}
  • (1−3)\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}
  • (−13)\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}
  • (5−5)\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(1−3)\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}» است. با انتقالِ جمله‌های مجهول به یک طرف، ساده‌کردن و تقسیم بر ضریبِ نهایی، همین بردار حاصل می‌شود. بررسی سایر گزینه‌ها: «(−13)\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). «(5−5)\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. «(−55)\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. 💡 تلهٔ تستی: جمله‌های شاملِ بردارِ مجهول را به یک طرف و بقیه را به طرفِ دیگر ببر؛ ضریبِ نهاییِ مجهول را در تقسیم فراموش نکن و علامتِ جمله‌های منتقل‌شده را عوض کن.

5. بردار v⃗=−2j⃗\vec{v} = -2\vec{j} به صورت مختصاتی کدام است؟

  • (02)\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}
  • (−20)\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}
  • (0−2)\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}
  • (20)\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ درست «(0−2)\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}» است. مؤلفهٔ افقی ضریبِ i⃗\vec{i} و مؤلفهٔ عمودی ضریبِ j⃗\vec{j} می‌شود، پس همین نمایش درست است. بررسی سایر گزینه‌ها: «(02)\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}» قرینهٔ جوابِ درست است (هر دو مؤلفه علامتشان برعکس شده). «(−20)\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}» جای مؤلفهٔ افقی و عمودی در آن جابه‌جا شده است. «(20)\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}» حاصلِ یک محاسبهٔ نادرست (خطای ضریب یا علامت) است و با جوابِ درست نمی‌خواند. 💡 تلهٔ تستی: ضریبِ i⃗\vec{i} همان مؤلفهٔ افقی و ضریبِ j⃗\vec{j} همان مؤلفهٔ عمودی است؛ ترتیبِ آن‌ها را جابه‌جا نکن.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح و گویا (هشتم)عددهای اول (هشتم)چندضلعی (هشتم)جبر و معادله (هشتم)مثلث (هشتم)توان و جذر (هشتم)آمار و احتمال (هشتم)دایره (هشتم)خداشناسی (هشتم)راهنماشناسی (هشتم)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان