پرش به محتوای اصلی

عددهای اول و تجزیه (ریاضی هشتم)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

عددهای اول (هشتم)

عددهای اول مثل «آجرهای ساختمانیِ» همهٔ عددهای طبیعی‌اند. در این مبحث یاد می‌گیریم آن‌ها را بشناسیم، پیدا کنیم و از آن‌ها برای تجزیهٔ عددها استفاده کنیم.

عدد اول و عدد مرکب

عدد اول هر عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که هیچ شمارنده‌ای جز 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین و خودش ندارد؛ یعنی دقیقاً دو شمارنده دارد. مثلاً 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول است چون فقط بر 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر است.

عدد مرکب عددی است که بتوان آن را حاصل‌ضرب دو عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشت؛ یعنی بیش از دو شمارنده دارد. مثلاً 24=6×424 = 6 \times 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

عدد ۱ نه اول است و نه مرکب. اول نیست چون فقط یک شمارنده دارد (خودش)، و مرکب هم نیست چون به ضرب دو عدد بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته نمی‌شود. پس عددهای طبیعی سه دسته می‌شوند: عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین، عددهای اول، و عددهای مرکب.

یک راه شهودی برای دیدنش: اگر 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین سرباز داشته باشی، می‌توانی آن‌ها را در آرایش‌های 1×61\times6ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 2×32\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 3×23\times2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 6×16\times1ادامهٔ فرمول را افقی ببین بچینی. اما 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین سرباز فقط 1×51\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 5×15\times1ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شوند. عددهایی که فقط دو آرایش مستطیلی دارند، همان عددهای اول‌اند.

تجزیه به عامل‌های اول

هر عدد مرکب را می‌توان به ضرب عددهای اول نوشت. روش کار ساده است: عدد را به دو عامل بشکن و این کار را ادامه بده تا همهٔ عامل‌ها اول شوند.

12=2×6=2×2×3=22×312 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اگر از مسیر دیگری هم شروع کنی (12=3×412 = 3 \times 4ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، باز به همان نتیجه می‌رسی. این همان قضیهٔ اساسی حساب است: هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط یک تجزیهٔ اول دارد. جالب است بدانی همین یکتایی دلیل اصلی است که عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از تعریف اول بیرون گذاشته‌اند؛ اگر 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول بود، می‌شد بی‌نهایت تجزیهٔ متفاوت نوشت.

60=2×30=22×15=22×3×560 = 2 \times 30 = 2^2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تلهٔ مهم: نوشتن 12=4×312 = 4 \times 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین تجزیهٔ ناقص است، چون 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین خودش مرکب است. تا وقتی همهٔ عامل‌ها اول نشده‌اند، کار تمام نیست.

عددهای نسبت به هم اول

اگر ب.م.م دو عدد برابر 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آن دو نسبت به هم اولاند. این مفهوم هیچ ربطی به اول بودنِ خودِ عددها ندارد.

  • دو عدد اولِ متفاوت همیشه نسبت به هم اول‌اند: gcd⁡(5,7)=1\gcd(5,7)=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • دو عدد مرکب هم می‌توانند نسبت به هم اول باشند: 8=238 = 2^3ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 9=329 = 3^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ عامل مشترکی ندارند.
  • ولی gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به هم اول نیستند.
  • دو عدد طبیعی متوالی همیشه نسبت به هم اول‌اند، چون اختلافشان 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

یک نتیجهٔ کاربردی: اگر gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضربشان است.

lcm(a,b)=a×bمثلاً lcm(5,8)=40\text{lcm}(a,b) = a \times b \qquad \text{مثلاً } \text{lcm}(5,8)=40ادامهٔ فرمول را افقی ببین

همین نکته در هم‌مخرج‌کردن کسرها خیلی وقت‌ها کار را کوتاه می‌کند.

روش غربال — پیدا کردن همهٔ اول‌ها

غربال یعنی عددهای غیراول را حذف کنیم تا فقط اول‌ها بمانند. برای بازهٔ 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

۱) عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین را خط بزن. ۲) 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نگه دار و مضرب‌های مرکبش را خط بزن. ۳) 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین را نگه دار و مضرب‌هایش را خط بزن. ۴) عددهایی مثل 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین را رها کن — قبلاً به‌عنوان مضربِ عددی کوچک‌تر خط خورده‌اند. ۵) با 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین همین کار را بکن.

وقتی به 1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسی، اولین مضربِ خط‌نخورده‌اش 11×11=12111 \times 11 = 121ادامهٔ فرمول را افقی ببین است که از 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر است، پس کار تمام است.

قانون توقف: تا عددی ادامه بده که مربعش از بزرگ‌ترین عدد بازه بیشتر شود.

نکتهٔ ظریف: وقتی مضرب‌های عدد اولِ ppادامهٔ فرمول را افقی ببین را خط می‌زنی، کوچک‌ترین مضربِ هنوز خط‌نخورده همیشه p2p^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. نام رسمی این روش غربال اراتوستنس است، به یادِ ریاضی‌دان یونانی‌ای که حدود ۲۲۰۰ سال پیش آن را ابداع کرد.

پانزده عدد اولِ کوچک‌تر از ۵۰ اینها هستند:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 472,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تشخیص اول بودن یک عدد خاص

برای بررسی عددِ nnادامهٔ فرمول را افقی ببین لازم نیست آن را بر همهٔ عددهای کوچک‌تر تقسیم کنی. فقط دو نکته را رعایت کن:

  • فقط بر عددهای اول تقسیم کن. چون هر عدد مرکب خودش از عامل‌های اول ساخته شده؛ اگر nnادامهٔ فرمول را افقی ببین بر 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر نباشد، بر 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 88ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم نیست.
  • تا جایی ادامه بده که p2>np^2 > nادامهٔ فرمول را افقی ببین شود (یعنی تا n\sqrt{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین).
اگر تا p2>n هیچ‌کدام بخش‌پذیر نبود⇒n اول است\text{اگر تا } p^2 > n \text{ هیچ‌کدام بخش‌پذیر نبود} \Rightarrow n \text{ اول است}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: آیا 4747ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول است؟ چون 72=49>477^2 = 49 > 47ادامهٔ فرمول را افقی ببین، کافی است بر 2,3,5,72, 3, 5, 7ادامهٔ فرمول را افقی ببین امتحان کنیم. هیچ‌کدام 4747ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بدون باقی‌مانده تقسیم نمی‌کنند، پس 4747ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول است.

مثال دیگر: 143143ادامهٔ فرمول را افقی ببین. چون 143≈11.9\sqrt{143} \approx 11.9ادامهٔ فرمول را افقی ببین، باید تا 1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین برویم. و 143÷11=13143 \div 11 = 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین بدون باقی‌مانده، پس 143=11×13143 = 11 \times 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرکب است.

جدول کوتاهی که وقت زیادی صرفه‌جویی می‌کند: برای عددهای کمتر از 2525ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط 2,32,3ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ کمتر از 4949ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط 2,3,52,3,5ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ کمتر از 100100ادامهٔ فرمول را افقی ببین فقط 2,3,5,72,3,5,7ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و کمتر از 169169ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 1313ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

چک‌های سریع قبل از تقسیم

قبل از هر تقسیمی، این سه چک را انجام بده تا خیلی از عددها را فوری رد کنی:

  • رقم یکان زوج یا صفر است؟ مضرب 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
  • مجموع رقم‌ها بر 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر است؟ مضرب 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مثلاً 231231ادامهٔ فرمول را افقی ببین چون 2+3+1=62+3+1=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مرکب است.
  • رقم یکان 00ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؟ مضرب 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

یک ابزار اضافی: بخش‌پذیری بر ۱۱ با تفاضل متناوب رقم‌ها. رقم‌ها را یکی‌درمیان با + و −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمع بزن؛ اگر نتیجه بر 1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین بخش‌پذیر شد (یا صفر شد)، خود عدد هم بخش‌پذیر است. مثلاً برای 143143ادامهٔ فرمول را افقی ببین: 1−4+3=01-4+3=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

هر عدد اولِ غیر از 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رقم یکانش حتماً 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 77ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 99ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — اما دقت کن که این فقط شرط لازم است، نه کافی: 9191ادامهٔ فرمول را افقی ببین رقم یکانش 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین است ولی 91=7×1391 = 7 \times 13ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکته‌های طلایی و تله‌ها

  • 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین تنها عدد اولِ زوج است. بقیه همه فردند؛ این استثنا را فراموش نکن.
  • اگر مجموع دو عدد اول فرد شد، حتماً یکی از آن‌ها 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (چون جمع دو فرد، زوج می‌شود).
  • هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین حداقل یک شمارندهٔ اول دارد.
  • هر مضربِ یک عدد (به‌جز خودش) حتماً مرکب است.
  • عددهایی مثل 49=7249 = 7^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 51=3×1751 = 3 \times 17ادامهٔ فرمول را افقی ببین ظاهر فریبنده‌ای دارند؛ اول نیستند.
  • تقسیم را کامل انجام بده، نه تخمینی.

شمردن شمارنده‌ها بدون فهرست‌کردن — تکنیک محبوب سؤال‌های تیزهوشان: اگر n=p1a1×p2a2×⋯×pkakn = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، تعداد شمارنده‌های طبیعی nnادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با:

(a1+1)(a2+1)⋯(ak+1)(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثلاً 12=22×312 = 2^2 \times 3ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارای (2+1)(1+1)=6(2+1)(1+1) = 6ادامهٔ فرمول را افقی ببین شمارنده است: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12ادامهٔ فرمول را افقی ببین. درست درآمد.

چند نکتهٔ جالب

عددهای اول دوقلو دو عدد اول با اختلاف 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند: (3,5)(3,5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، (11,13)(11,13)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، (41,43)(41,43)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اینکه آیا بی‌نهایت جفت دوقلو وجود دارد، هنوز یکی از مسئله‌های حل‌نشدهٔ ریاضی است.

سه‌قلوها فقط یک نمونه دارند: (3,5,7)(3,5,7)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دلیلش ساده است — در هر سه عدد فردِ متوالی n,n+2,n+4n, n+2, n+4ادامهٔ فرمول را افقی ببین حتماً یکی مضرب 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، و اگر آن عدد از 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر باشد اول نیست.

حدس گلدباخ (۱۷۴۲) می‌گوید هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموع دو عدد اول است: 10=3+710 = 3+7ادامهٔ فرمول را افقی ببین، 100=3+97100 = 3+97ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تا عددهای بسیار بزرگ آزمایش شده و درست بوده، ولی هنوز کسی اثباتش نکرده.

و یک واقعیت مهم: عددهای اول بی‌نهایتاند — این را اقلیدس بیش از ۲۳۰۰ سال پیش اثبات کرد. امروز امنیت اینترنت (رمزنگاری) روی همین عددها بنا شده: ضرب دو عدد اولِ بزرگ آسان است، ولی تجزیهٔ حاصل به عامل‌هایش بسیار سخت.

یک نمونهٔ کوتاه

مجموع دو عدد اول برابر 9999ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. حاصل‌ضرب آن دو چند است؟

چون 9999ادامهٔ فرمول را افقی ببین فرد است، طبق نکتهٔ طلایی یکی از آن دو باید 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. پس عدد دیگر 99−2=9799 - 2 = 97ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. برای اطمینان، 9797ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بر 2,3,5,72, 3, 5, 7ادامهٔ فرمول را افقی ببین چک می‌کنیم (چون 72=49<97<121=1127^2 = 49 < 97 < 121 = 11^2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و هیچ‌کدام بخش‌پذیر نیست، پس 9797ادامهٔ فرمول را افقی ببین اول است.

2×97=1942 \times 97 = 194ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جمع‌بندی

عددهای طبیعی سه دسته‌اند: عدد 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین، عددهای اول (دقیقاً دو شمارنده) و عددهای مرکب. هر عدد مرکب یک تجزیهٔ اولِ یکتا دارد. برای پیدا کردن همهٔ اول‌های یک بازه از غربال استفاده کن و برای بررسی یک عدد خاص، فقط بر عددهای اولِ کوچک‌تر از n\sqrt{n}ادامهٔ فرمول را افقی ببین تقسیمش کن. «نسبت به هم اول» یعنی ب.م.م برابر 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین — و این هیچ ربطی به اول بودنِ خود عددها ندارد.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. مجموع دو عدد اول ppادامهٔ فرمول را افقی ببین و qqادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 4444ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و هر دو فرد و p<qp<qادامهٔ فرمول را افقی ببین هستند. کوچک‌ترین مقدارِ ممکن برای q−pq-pادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 3030ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مجموعِ دو اولِ فرد برابرِ 4444ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ جفت‌های ممکن (3,41),(7,37),(13,31)(3,41),(7,37),(13,31)ادامهٔ فرمول را افقی ببین با اختلافِ q−pq-pادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرِ 38,30,1838,30,18ادامهٔ فرمول را افقی ببیناند و کوچک‌ترینشان «1818ادامهٔ فرمول را افقی ببین» (از جفتِ 1313ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 3131ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است. «3030ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «3838ادامهٔ فرمول را افقی ببین» اختلافِ جفت‌های دیگرند و «66ادامهٔ فرمول را افقی ببین»/«1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین» به عددِ اول نمی‌رسند. تلهٔ تستی: همهٔ جفت‌های اولِ فرد را بنویس، اختلاف‌ها را حساب کن، بعد کوچک‌ترین را بردار.

2. در روش غربال برای یافتن اعداد اول تا 200200ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آخرین عدد اولی که باید مضرب‌هایش خط زده شود، کدام است؟

  • 1717ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1919ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 1313ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در روشِ غربال کافی است مضرب‌های اعدادِ اولِ تا 200≈14.1\sqrt{200}\approx14.1ادامهٔ فرمول را افقی ببین را خط بزنیم؛ بزرگ‌ترین عددِ اولِ کوچک‌تر از 14.114.1ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابرِ «1313ادامهٔ فرمول را افقی ببین» است. «1111ادامهٔ فرمول را افقی ببین» کوچک‌تر از آخرین است و «1717ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «1919ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از 200\sqrt{200}ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌ترند و لازم نیستند. تلهٔ تستی: ملاک، اعدادِ اولِ تا N\sqrt{N}ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، نه تا خودِ NNادامهٔ فرمول را افقی ببین.

3. عدد a=2p×3qa = 2^p \times 3^qادامهٔ فرمول را افقی ببین به گونه‌ای است که aaادامهٔ فرمول را افقی ببین و 1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت به هم اول‌اند. کدام گزینه می‌تواند ppادامهٔ فرمول را افقی ببین و qqادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد؟

  • p=0, q=0p=0,\,q=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • p=0, q=2p=0,\,q=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • p=1, q=0p=1,\,q=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • p=2, q=1p=2,\,q=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

اگر a=2p×3qa=2^p\times3^qادامهٔ فرمول را افقی ببین بخواهد با 12=22×312=2^2\times3ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت‌به‌هم‌اول باشد، نباید عاملِ مشترکِ 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد، پس باید p=0p=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین و q=0q=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین (یعنی a=1a=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین) باشد. «p=0,q=2p=0,q=2ادامهٔ فرمول را افقی ببین» هنوز عاملِ 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارد و «p=1,q=0p=1,q=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین» عاملِ 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین. تلهٔ تستی: تنها عددی که با 1212ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت‌به‌هم‌اول است و فقط از 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین ساخته شده، a=1a=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

4. حاصل ک.م.م(x,y)\text{ک.م.م}(x, y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 7272ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و gcd⁡(x,y)=6\gcd(x, y)=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر xxادامهٔ فرمول را افقی ببین و yyادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو از 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر باشند و نسبت به هم اول نباشند، یکی از مقادیر ممکن برای x+yx+yادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

  • 5454ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 6666ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 3030ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 4242ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از gcd⁡×lcm⁡=x×y\gcd\times\operatorname{lcm}=x\times yادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم x×y=6×72=432x\times y=6\times72=432ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ با gcd⁡=6\gcd=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نویسیم x=6m, y=6nx=6m,\,y=6nادامهٔ فرمول را افقی ببین که gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و mn=12mn=12ادامهٔ فرمول را افقی ببین. جفتِ (m,n)=(3,4)(m,n)=(3,4)ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد x=18,y=24x=18,y=24ادامهٔ فرمول را افقی ببین و x+y=42x+y=42ادامهٔ فرمول را افقی ببین (و نسبت‌به‌هم‌اول نیستند چون gcd⁡=6\gcd=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین). «3030ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و «6666ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از جفت‌های نامعتبر می‌آید. تلهٔ تستی: هم شرطِ gcd⁡=6\gcd=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هم بزرگ‌تر از 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین بودن را چک کن؛ فقط (18,24)(18,24)ادامهٔ فرمول را افقی ببین همه را برآورده می‌کند.

5. چند جفت از اعداد اول دوقلو (به جز (3,5)(3,5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین) وجود دارند که هر دو کوچک‌تر از 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند؟

  • 55ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 44ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 66ادامهٔ فرمول را افقی ببین
  • 33ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

جفت‌های اولِ دوقلوی کوچک‌تر از 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین (به‌جز (3,5)(3,5)ادامهٔ فرمول را افقی ببین) عبارت‌اند از (5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43)ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی «55ادامهٔ فرمول را افقی ببین» جفت. «44ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از جا انداختنِ یکی می‌آید. تلهٔ تستی: همهٔ جفت‌های اختلافِ 22ادامهٔ فرمول را افقی ببین را تا 5050ادامهٔ فرمول را افقی ببین بشمار؛ (29,31)(29,31)ادامهٔ فرمول را افقی ببین و (41,43)(41,43)ادامهٔ فرمول را افقی ببین را فراموش نکن.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) عدد 1، 2 و 9 را اول، مرکب یا هیچ‌کدام دسته‌بندی کنید. ب) برای هر دسته یک دلیل از شمارنده‌ها بیاورید. استدلال کنید چرا یک شمارنده یا بیش از دو شمارنده، طبقه‌بندی را تعیین می‌کند.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) ۱ نه اول است نه مرکب؛ ۲ اول است و۹ مرکب. ب) ۱ فقط یک شمارنده دارد، ۲ دقیقاً شمارنده‌های ۱ و۲ را دارد، و۹ افزون بر ۱ و خودش، شمارندهٔ ۳ نیز دارد.
کجا بخوانم: در «جایگاه عدد ۱»
نکته مهم: اول بودن یعنی دقیقاً دو شمارندهٔ مثبت؛ عدد ۱ از تعریف خارج است.

۲. الف) عدد 420 را به عوامل اول تجزیه کنید. ب) تجزیه را با مرتب‌کردن عامل‌ها کنترل و توضیح دهید چرا نمایش اول یکتا است. دلیل یکتایی را از قضیهٔ اساسی حساب توضیح دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) 420=42×10=22×3×5×7420=42\times10=2^2\times3\times5\times7ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) ضرب عوامل 4×3×5×7=4204\times3\times5\times7=420ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. قضیهٔ اساسی حساب می‌گوید تجزیهٔ عدد به عوامل اول به‌جز ترتیب، یکتا است.
کجا بخوانم: در «تجزیه عدد به ضرب اعداد اول (نمودار درختی)»
نکته مهم: تجزیهٔ اول یکتا است و ترتیب نوشتن عامل‌ها اهمیتی ندارد.

۳. الف) آیا 77 و 120 نسبت به هم اول‌اند؟ ب) ب.م.م را از تجزیه پیدا و رابطه‌شان با ک.م.م را توضیح دهید.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) 77=7×1177=7\times11ادامهٔ فرمول را افقی ببین و 120=23×3×5120=2^3\times3\times5ادامهٔ فرمول را افقی ببین عامل اول مشترک ندارند؛ پس نسبت به هم اول‌اند. ب) ب.م.م ۱ و ک.م.م 77×120=924077\times120=9240ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، چون دو عدد نسبتاً اول‌اند.
کجا بخوانم: در «اعداد نسبت به هم اول»
نکته مهم: نسبتاً اول بودن به نداشتن عامل اول مشترک اشاره دارد، نه اول‌بودن خود هر عدد.

مباحث مرتبط

عددهای صحیح و گویا (ریاضی هشتم)چندضلعی‌ها و تقارن (ریاضی هشتم)جبر، معادله و اتحادها (ریاضی هشتم)بردار و مختصات (ریاضی هشتم)مثلث و رابطهٔ فیثاغورس (ریاضی هشتم)توان و جذر (ریاضی هشتم)آمار و احتمال (ریاضی هشتم)دایره و زاویهٔ محاطی (ریاضی هشتم)عددهای صحیح و گویا — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)عددهای اول — ریاضی تیزهوشان هشتم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان