دایره (هشتم)

دایره (هشتم)

این مبحث سه بخش دارد: خط و دایره (مماس و وتر)، زاویه‌های مرکزی و زاویه‌های محاطی. نکتهٔ خوب این است که همهٔ قضیه‌ها از چند ایدهٔ ساده بیرون می‌آیند — لازم نیست هرکدام را جدا حفظ کنی.

دایره چیست؟

دایره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ ثابت (مرکز $O$) فاصلهٔ یکسان $r$ دارند. $r$ همان شعاع است.

سه وضعیت خط نسبت به دایره

در این جدول $OH$ فاصلهٔ مرکز از خط است. مماس خطی است که دقیقاً یک نقطهٔ مشترک با دایره دارد — نه خطی که «از نزدیکی دایره رد می‌شود».

همه چیز با یک عدد تعیین می‌شود: فاصلهٔ مرکز از خط در مقایسه با شعاع. اگر بیشتر باشد خط به دایره نمی‌رسد، اگر برابر باشد آن را لمس می‌کند، و اگر کمتر باشد از داخلش می‌گذرد.

فاصلهٔ یک نقطه از یک خط

فاصلهٔ نقطه از خط، طول کوتاه‌ترین پاره‌خطی است که آن نقطه را به خط وصل می‌کند — و این پاره‌خط همیشه عمود بر خط است. چرا؟ چون در مثلث قائم‌الزاویه وتر از هر ضلع دیگر بزرگ‌تر است، پس هر خط مایلی از عمود بلندتر است.

قضیهٔ اصلی مماس

شعاع دایره در نقطهٔ تماس، بر خط مماس عمود است.

اگر خط $d$ در نقطهٔ $T$ بر دایره مماس باشد، آنگاه $OT \perp d$. دلیلش همان است: $OT = r$ کوتاه‌ترین فاصله از $O$ تا خط است، و کوتاه‌ترین فاصله همیشه عمود است.

دقت: فقط شعاعی که به نقطهٔ تماس وصل می‌شود این خاصیت را دارد، نه هر شعاعی به هر نقطهٔ دلخواه روی مماس.

مثلث قائم‌الزاویهٔ پنهان در هر مسئلهٔ مماس

هر بار که مماس داری، مثلثی با این سه ضلع می‌سازی:

• $OO'$ (فاصلهٔ مرکز تا نقطهٔ خارجی) = وتر
• $r$ (شعاع) = یک ضلع قائمه
• طول مماس = ضلع قائمهٔ دیگر

مثال: دایره‌ای به شعاع $5$ داریم و نقطهٔ $B$ در فاصلهٔ $13$ از مرکز است. طول مماس از $B$:

تلهٔ رایج: $OO'$ همیشه وتر است، نه ضلع قائمه — چون زاویهٔ قائمه روبه‌رویش، در نقطهٔ تماس، قرار دارد.

دو مماس از یک نقطهٔ خارجی

اگر از نقطهٔ $O'$ خارج از دایره دو مماس رسم کنیم با نقاط تماس $A$ و $B$:

چرا؟ در دو مثلث $OAO'$ و $OBO'$: هر دو شعاع برابرند ($OA=OB$)، هر دو زاویهٔ $90°$ دارند، و $OO'$ ضلع مشترک است. پس با حالت وتر و ضلع (و.ض) هم‌نهشت‌اند.

نتیجهٔ دوم: خط $OO'$ محور تقارن کل شکل است — نیمساز هر دو زاویهٔ $\angle AOB$ و $\angle AO'B$ است، و زاویه‌های $\angle AO'O = \angle BO'O$ و $\angle AOO' = \angle BOO'$ هم برابرند.

مساحت چهارضلعی $OAO'B$: از دو مثلث هم‌نهشت ساخته شده که مساحت هرکدام $\frac{1}{2}r \times O'A$ است، پس:

وتر و خواص آن

وتر پاره‌خطی است که دو سرش روی دایره باشد. قطر بزرگ‌ترین وتر است و از مرکز می‌گذرد. هر قطر یک وتر است، ولی هر وتری قطر نیست.

خطی که از مرکز بر وتر عمود شود، آن وتر را نصف می‌کند — و برعکس، پاره‌خطی که مرکز را به وسط وتر وصل کند، بر وتر عمود است.

اثبات: در دو مثلث $OAM$ و $OBM$: $OA = OB$ (شعاع)، $AM = BM$ (فرض)، و $OM$ مشترک. با ض‌ض‌ض هم‌نهشت‌اند، پس زاویه‌های $OMA$ و $OMB$ برابر و هرکدام $90°$ می‌شوند.

مهم: این قضیه برای هر وتری درست است، نه فقط قطر.

رابطهٔ محاسباتی: اگر $d$ فاصلهٔ مرکز از وتر باشد:

پیدا کردن مرکز دایره از روی یک قوس

۱) دو وتر دلخواه روی قوس رسم کن.
۲) عمودمنصف هر وتر را بکش.
۳) محل تقاطع دو عمودمنصف = مرکز دایره.

کاربرد واقعی: اگر تکه‌ای از یک بشقاب گرد شکسته پیدا کنی، با همین روش می‌توانی قطر اصلی‌اش را مشخص کنی.

کمان و زاویهٔ مرکزی

دو نقطهٔ $A$ و $B$ روی دایره، آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند: کمان کوچک $\overset{\frown}{AB}$ و کمان بزرگ (که با سه حرف نشانش می‌دهیم). اگر $AB$ قطر باشد، هر دو کمان دقیقاً $180°$ می‌شوند.

زاویهٔ مرکزی زاویه‌ای است که رأسش روی مرکز دایره باشد و ضلع‌هایش شعاع باشند. رابطهٔ کلیدی:

یعنی اندازهٔ کمان دقیقاً برابر زاویهٔ مرکزی روبه‌رویش است.

اندازهٔ کمان در برابر طول کمان

این مهم‌ترین تمایز این بخش است:

دو کمان در دو دایرهٔ مختلف می‌توانند هر دو $60°$ باشند ولی طول‌های کاملاً متفاوتی داشته باشند.

مثال: در دایره‌ای به شعاع $6$، طول کمان $120°$ برابر است با $\frac{120}{360}\times 2\pi \times 6 = 4\pi$ سانتی‌متر.

چند رابطهٔ کاربردی

مجموع دو کمان مکمل: $\overset{\frown}{AB}_{\text{کوچک}} + \overset{\frown}{AB}_{\text{بزرگ}} = 360°$

مجموع همهٔ زاویه‌های مرکزی در یک دایره $360°$ است. پس اگر همهٔ کمان‌ها جز یکی معلوم باشند:

قضیهٔ وتر و کمان

در یک دایره، دو کمان هم‌اندازه وترهای برابر دارند — و برعکس.

چرا؟ اگر کمان‌ها برابر باشند، زاویه‌های مرکزی‌شان هم برابرند. آنگاه در مثلث‌های $AOB$ و $COD$ دو ضلع (شعاع‌ها) و زاویهٔ بینشان برابرند، پس با ض‌ز‌ض هم‌نهشت‌اند.

شرط حیاتی: این قضیه فقط در یک دایرهٔ واحد (یا دو دایرهٔ هم‌شعاع) معتبر است.

چندضلعی منتظم درون دایره

اگر دایره را به $n$ کمان مساوی تقسیم و نقاط را به هم وصل کنیم، یک چندضلعی منتظم می‌سازیم — چون همهٔ مثلث‌های مرکزی هم‌نهشت‌اند، پس همهٔ ضلع‌ها و همهٔ زاویه‌ها برابر می‌شوند. هر کمان $\frac{360°}{n}$ است.

ترفند شش‌ضلعی منتظم: دهانهٔ پرگار را برابر شعاع بگیر و پی‌درپی روی دایره کمان بزن — دقیقاً ۶ بار جا می‌شود. دلیلش: هر کمان $60°$ می‌شود و مثلث مرکزی متساوی‌الساقین با زاویهٔ رأس $60°$ است، یعنی متساوی‌الاضلاع، پس ضلع آن برابر شعاع است.

زاویهٔ محاطی

رأس یک زاویه می‌تواند چهار جا باشد: روی دایره (محاطی)، روی مرکز (مرکزی)، داخل دایره، یا خارج آن. اینجا فقط با محاطی کار داریم.

زاویهٔ محاطی زاویه‌ای است که رأسش روی محیط دایره باشد و ضلع‌هایش دایره را قطع کنند (یعنی ضلع‌هایش وتر باشند).

قضیهٔ اصلی زاویهٔ محاطی

اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی، نصف اندازهٔ کمان مقابل به آن است.

چرا؟ خط $AO$ را امتداد بده. مثلث $AOC$ متساوی‌الساقین است (چون $OA = OC = r$)، پس زاویه‌های قاعده‌اش برابرند. حالا زاویهٔ مرکزی $\angle BOC$ زاویهٔ خارجی این مثلث است و برابر مجموع دو زاویهٔ غیرمجاور، یعنی $2\times\angle OAC$. پس زاویهٔ محاطی نصف مرکزی است.

راه شهودی برای یادسپاری: زاویهٔ محاطی «از دور» به کمان نگاه می‌کند — چون دورتر ایستاده، نصف زاویهٔ مرکزی می‌بیند.

کمان مقابل کدام است؟ کمانی که رأس روبه‌رویش نشسته، نه کمان نزدیک رأس. این مهم‌ترین نکتهٔ تشخیصی این درس است.

سه نتیجهٔ مهم

۱) زاویه‌های هم‌کمان برابرند. اگر چند زاویهٔ محاطی به یک کمان نگاه کنند و رأس‌هایشان روی یک قوس باشد، همه برابرند — چون همه از $\frac{\overset{\frown}{BC}}{2}$ می‌آیند. بی‌شمار چنین زاویه‌ای وجود دارد.

۲) زاویهٔ مقابل قطر $90°$ است. اگر $BC$ قطر باشد، کمان مقابل $180°$ و زاویهٔ محاطی $\frac{180°}{2} = 90°$ می‌شود. عکسش هم درست است: اگر از نقطه‌ای روی دایره وتری را با زاویهٔ $90°$ ببینی، آن وتر قطر است. نتیجهٔ مفید: در مثلث قائم‌الزاویه، $r = \frac{\text{وتر}}{2}$.

۳) چهارضلعی محاطی. اگر هر چهار رأس یک چهارضلعی روی دایره باشند، دو زاویهٔ روبه‌رو مکمل‌اند:

عکس این قضیه هم درست است: اگر در چهارضلعی‌ای دو زاویهٔ روبه‌رو مجموعشان $180°$ باشد، آن چهارضلعی حتماً محاطی است.

چند نکتهٔ فراتر از کتاب

زاویهٔ محاطی از قوس دیگر. اگر رأس زاویه را به قوس مقابل ببری، کمان مقابل عوض می‌شود و آن زاویه با زاویهٔ قبلی مکمل می‌شود:

که همان قضیهٔ چهارضلعی محاطی است، از زاویه‌ای دیگر.

زاویهٔ مماس-وتر. اگر از نقطهٔ تماس $T$ یک وتر رسم کنی، زاویهٔ بین آن وتر و خط مماس هم نصف کمان مقابل است. این در واقع حالت حدی زاویهٔ محاطی است: تصور کن رأس زاویهٔ محاطی روی خود نقطهٔ تماس بنشیند و یکی از ضلع‌هایش به مماس تبدیل شود. همان فرمول نصف کمان همچنان کار می‌کند.

توان نقطه. اگر از نقطهٔ خارجی $O'$ هم دو مماس داشته باشی و هم خطی قاطع که دایره را در $C$ و $D$ قطع کند:

این مبحثی است که در دوره‌های بالاتر کامل می‌شود، ولی ریشه‌اش همین‌جاست.

تکنیک کمان مشترک. در مسئله‌های پیچیده دنبال زاویه‌هایی بگرد که به یک کمان نگاه می‌کنند — آن‌ها برابرند. برعکس هم درست است: اگر $\angle BAC = \angle BDC$ باشد، چهار نقطهٔ $A$، $B$، $C$، $D$ روی یک دایره‌اند.

لوزی محاطی حتماً مربع است. ضلع‌های لوزی برابرند، پس وترهای برابر و در نتیجه کمان‌های برابر می‌سازند؛ هر کمان $\frac{360°}{4} = 90°$ می‌شود. آنگاه هر زاویهٔ لوزی برابر $\frac{180°}{2} = 90°$ است — یعنی مربع.

رادیان. در دبیرستان به‌جای درجه از رادیان استفاده می‌شود، با رابطهٔ $180° = \pi$ رادیان. آنجا فرمول طول کمان ساده‌تر می‌شود: $r\theta$. فعلاً همان فرمول درجه‌ای کافی است.

چند تلهٔ مهم

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) در دایره‌ای به مرکز $O$، وتر $AB = 24$ سانتی‌متر است و فاصلهٔ $O$ تا $AB$ برابر $5$ سانتی‌متر. شعاع را بیابید.

حل: عمود از مرکز وتر را نصف می‌کند، پس نصف $AB$ برابر $12$ است. در مثلث قائم‌الزاویه:

۲) از نقطهٔ $O'$ خارج دایره دو مماس $O'A$ و $O'B$ رسم شده. اگر $\angle AO'B = 60°$ و $O'A = 6$ سانتی‌متر باشد، طول $AB$ چقدر است؟

حل: چون $O'A = O'B$، مثلث $AO'B$ متساوی‌الساقین است. زاویهٔ رأس $60°$ است، پس زاویه‌های قاعده هم $\frac{180°-60°}{2} = 60°$ می‌شوند — یعنی مثلث متساوی‌الاضلاع است و $AB = 6$ سانتی‌متر.

۳) دایره‌ای به شعاع $8$ سانتی‌متر داریم و در نقطهٔ $A$ مماسی رسم شده. روی این مماس نقطهٔ $P$ را طوری می‌گیریم که $AP = 15$. (الف) $OP$ چقدر است؟ (ب) اگر از $P$ مماس دومی هم بکشیم با نقطهٔ تماس $A'$، طول $PA'$ چقدر است؟

حل: (الف) چون $OA \perp AP$، مثلث $OAP$ قائم‌الزاویه است:

(ب) طبق برابری دو مماس از یک نقطهٔ خارجی: $PA' = PA = 15$ سانتی‌متر.

۴) دایره‌ای به سه کمان به نسبت $2:3:4$ تقسیم شده است. بزرگ‌ترین کمان چند درجه است؟

حل: مجموع نسبت‌ها $2+3+4 = 9$ سهم است که برابر $360°$ می‌شود، پس هر سهم $\frac{360}{9} = 40°$. بزرگ‌ترین کمان $4\times40° = 160°$ است.

۵) در دایره‌ای $AB$ قطر است و نقطهٔ $C$ روی دایره طوری است که $\angle CAB = 35°$. زاویه‌های $\angle ACB$ و $\angle ABC$ را بیابید.

حل: چون $AB$ قطر است، زاویهٔ محاطی مقابلش $\angle ACB = 90°$ است. حالا از مجموع زوایای مثلث:

۶) در دایره‌ای به مرکز $O$، $\angle AOB = 80°$ است و نقطهٔ $C$ روی کمان بزرگ‌تر $AB$ قرار دارد. (الف) $\angle ACB$ چقدر است؟ (ب) اگر نقطهٔ $D$ هم روی همان کمان بزرگ باشد، $\angle ADB$ چند درجه است؟

حل: (الف) کمان کوچک $\overset{\frown}{AB}$ برابر زاویهٔ مرکزی روبه‌رویش، یعنی $80°$ است. پس $\angle ACB = \frac{80°}{2} = 40°$.
(ب) چون $D$ هم روی همان قوس است و به همان کمان نگاه می‌کند، طبق «زاویه‌های هم‌کمان برابرند»: $\angle ADB = 40°$.

جمع‌بندی

رابطهٔ خط و دایره با یک مقایسه تعیین می‌شود: فاصلهٔ مرکز از خط در برابر شعاع. از آنجا قضیهٔ مماس (شعاع عمود بر مماس در نقطهٔ تماس) و برابری دو مماس از یک نقطه بیرون می‌آید، و قضیهٔ وتر می‌گوید عمود از مرکز، وتر را نصف می‌کند. در بخش زاویه‌ها، زاویهٔ مرکزی برابر کمان مقابل و زاویهٔ محاطی نصف آن است — از این دو رابطه، همهٔ نتیجه‌های مهم (زاویهٔ $90°$ مقابل قطر، برابری زاویه‌های هم‌کمان، و مکمل بودن زوایای روبه‌رو در چهارضلعی محاطی) خودبه‌خود جاری می‌شوند. کلید حل بیشتر مسئله‌ها: زاویه‌های قائمه را علامت بزن و کمان مقابل را درست تشخیص بده.