دایره (هشتم)
این مبحث سه بخش دارد: خط و دایره (مماس و وتر)، زاویههای مرکزی و زاویههای محاطی. نکتهٔ خوب این است که همهٔ قضیه‌ها از چند ایدهٔ ساده بیرون می‌آیند — لازم نیست هرکدام را جدا حفظ کنی.
دایره چیست؟
دایره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ ثابت (مرکز ادامهٔ فرمول را افقی ببین) فاصلهٔ یکسان ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند. ادامهٔ فرمول را افقی ببین همان شعاع است.
سه وضعیت خط نسبت به دایره
| حالت | تعداد نقطهٔ مشترک | رابطه |
|---|---|---|
| خارج از دایره | ۰ | ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| مماس | ۱ | ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| قاطع | ۲ | ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
در این جدول ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ مرکز از خط است. مماس خطی است که دقیقاً یک نقطهٔ مشترک با دایره دارد — نه خطی که «از نزدیکی دایره رد میشود».
همه چیز با یک عدد تعیین میشود: فاصلهٔ مرکز از خط در مقایسه با شعاع. اگر بیشتر باشد خط به دایره نمی‌رسد، اگر برابر باشد آن را لمس میکند، و اگر کمتر باشد از داخلش میگذرد.
فاصلهٔ یک نقطه از یک خط
فاصلهٔ نقطه از خط، طول کوتاهترین پاره‌خطی است که آن نقطه را به خط وصل میکند — و این پارهخط همیشه عمود بر خط است. چرا؟ چون در مثلث قائمالزاویه وتر از هر ضلع دیگر بزرگ‌تر است، پس هر خط مایلی از عمود بلندتر است.
قضیهٔ اصلی مماس
شعاع دایره در نقطهٔ تماس، بر خط مماس عمود است.
اگر خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین در نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر دایره مماس باشد، آنگاه ادامهٔ فرمول را افقی ببین. دلیلش همان است: ادامهٔ فرمول را افقی ببین کوتاهترین فاصله از ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا خط است، و کوتاهترین فاصله همیشه عمود است.
دقت: فقط شعاعی که به نقطهٔ تماس وصل میشود این خاصیت را دارد، نه هر شعاعی به هر نقطهٔ دلخواه روی مماس.
مثلث قائم‌الزاویهٔ پنهان در هر مسئلهٔ مماس
هر بار که مماس داری، مثلثی با این سه ضلع می‌سازی:
- ادامهٔ فرمول را افقی ببین (فاصلهٔ مرکز تا نقطهٔ خارجی) = وتر
- ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شعاع) = یک ضلع قائمه
- طول مماس = ضلع قائمهٔ دیگر
مثال: دایرهای به شعاع ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم و نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در فاصلهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مرکز است. طول مماس از ادامهٔ فرمول را افقی ببین:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینتلهٔ رایج: ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه وتر است، نه ضلع قائمه — چون زاویهٔ قائمه روبه‌رویش، در نقطهٔ تماس، قرار دارد.
دو مماس از یک نقطهٔ خارجی
اگر از نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خارج از دایره دو مماس رسم کنیم با نقاط تماس ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینچرا؟ در دو مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین: هر دو شعاع برابرند (ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، هر دو زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دارند، و ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلع مشترک است. پس با حالت وتر و ضلع (و.ض) هم‌نهشت‌اند.
نتیجهٔ دوم: خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین محور تقارن کل شکل است — نیمساز هر دو زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، و زاویههای ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم برابرند.
مساحت چهارضلعی ادامهٔ فرمول را افقی ببین: از دو مثلث هم‌نهشت ساخته شده که مساحت هرکدام ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینوتر و خواص آن
وتر پاره‌خطی است که دو سرش روی دایره باشد. قطر بزرگ‌ترین وتر است و از مرکز میگذرد. هر قطر یک وتر است، ولی هر وتری قطر نیست.
ادامهٔ فرمول را افقی ببینخطی که از مرکز بر وتر عمود شود، آن وتر را نصف میکند — و برعکس، پاره‌خطی که مرکز را به وسط وتر وصل کند، بر وتر عمود است.
اثبات: در دو مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ادامهٔ فرمول را افقی ببین (شعاع)، ادامهٔ فرمول را افقی ببین (فرض)، و ادامهٔ فرمول را افقی ببین مشترک. با ض‌ض‌ض هم‌نهشت‌اند، پس زاویههای ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر و هرکدام ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شوند.
مهم: این قضیه برای هر وتری درست است، نه فقط قطر.
رابطهٔ محاسباتی: اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ مرکز از وتر باشد:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینپیدا کردن مرکز دایره از روی یک قوس
۱) دو وتر دلخواه روی قوس رسم کن.
۲) عمودمنصف هر وتر را بکش.
۳) محل تقاطع دو عمودمنصف = مرکز دایره.
کاربرد واقعی: اگر تکه‌ای از یک بشقاب گرد شکسته پیدا کنی، با همین روش می‌توانی قطر اصلی‌اش را مشخص کنی.
کمان و زاویهٔ مرکزی
دو نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره، آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند: کمان کوچک ادامهٔ فرمول را افقی ببین و کمان بزرگ (که با سه حرف نشانش می‌دهیم). اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطر باشد، هر دو کمان دقیقاً ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شوند.
زاویهٔ مرکزی زاویه‌ای است که رأسش روی مرکز دایره باشد و ضلع‌هایش شعاع باشند. رابطهٔ کلیدی:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینیعنی اندازهٔ کمان دقیقاً برابر زاویهٔ مرکزی روبه‌رویش است.
اندازهٔ کمان در برابر طول کمان
این مهم‌ترین تمایز این بخش است:
| مفهوم | واحد | به چه بستگی دارد؟ |
|---|---|---|
| اندازهٔ کمان | درجه (°) | فقط زاویهٔ مرکزی |
| طول کمان | سانتیمتر | هم زاویه، هم شعاع |
دو کمان در دو دایرهٔ مختلف می‌توانند هر دو ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند ولی طول‌های کاملاً متفاوتی داشته باشند.
ادامهٔ فرمول را افقی ببینمثال: در دایرهای به شعاع ادامهٔ فرمول را افقی ببین، طول کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر است با ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر.
چند رابطهٔ کاربردی
مجموع دو کمان مکمل: ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مجموع همهٔ زاویههای مرکزی در یک دایره ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. پس اگر همهٔ کمان‌ها جز یکی معلوم باشند:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینقضیهٔ وتر و کمان
ادامهٔ فرمول را افقی ببیندر یک دایره، دو کمان هم‌اندازه وترهای برابر دارند — و برعکس.
چرا؟ اگر کمان‌ها برابر باشند، زاویههای مرکزی‌شان هم برابرند. آنگاه در مثلث‌های ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو ضلع (شعاع‌ها) و زاویهٔ بینشان برابرند، پس با ض‌ز‌ض هم‌نهشت‌اند.
شرط حیاتی: این قضیه فقط در یک دایرهٔ واحد (یا دو دایرهٔ هم‌شعاع) معتبر است.
چندضلعی منتظم درون دایره
اگر دایره را به ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمان مساوی تقسیم و نقاط را به هم وصل کنیم، یک چندضلعی منتظم می‌سازیم — چون همهٔ مثلث‌های مرکزی هم‌نهشت‌اند، پس همهٔ ضلع‌ها و همهٔ زاویه‌ها برابر می‌شوند. هر کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
ترفند شش‌ضلعی منتظم: دهانهٔ پرگار را برابر شعاع بگیر و پی‌درپی روی دایره کمان بزن — دقیقاً ۶ بار جا میشود. دلیلش: هر کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین میشود و مثلث مرکزی متساوی‌الساقین با زاویهٔ رأس ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، یعنی متساوی‌الاضلاع، پس ضلع آن برابر شعاع است.
زاویهٔ محاطی
رأس یک زاویه می‌تواند چهار جا باشد: روی دایره (محاطی)، روی مرکز (مرکزی)، داخل دایره، یا خارج آن. اینجا فقط با محاطی کار داریم.
زاویهٔ محاطی زاویه‌ای است که رأسش روی محیط دایره باشد و ضلع‌هایش دایره را قطع کنند (یعنی ضلع‌هایش وتر باشند).
| ویژگی | زاویهٔ مرکزی | زاویهٔ محاطی |
|---|---|---|
| رأس | مرکز ادامهٔ فرمول را افقی ببین | روی محیط |
| ضلع‌ها | شعاع | وتر |
| رابطه با کمان | برابر کمان | نصف کمان |
قضیهٔ اصلی زاویهٔ محاطی
ادامهٔ فرمول را افقی ببیناندازهٔ هر زاویهٔ محاطی، نصف اندازهٔ کمان مقابل به آن است.
چرا؟ خط ادامهٔ فرمول را افقی ببین را امتداد بده. مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین متساوی‌الساقین است (چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، پس زاویههای قاعده‌اش برابرند. حالا زاویهٔ مرکزی ادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ خارجی این مثلث است و برابر مجموع دو زاویهٔ غیرمجاور، یعنی ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس زاویهٔ محاطی نصف مرکزی است.
راه شهودی برای یادسپاری: زاویهٔ محاطی «از دور» به کمان نگاه میکند — چون دورتر ایستاده، نصف زاویهٔ مرکزی می‌بیند.
کمان مقابل کدام است؟ کمانی که رأس روبه‌رویش نشسته، نه کمان نزدیک رأس. این مهم‌ترین نکتهٔ تشخیصی این درس است.
سه نتیجهٔ مهم
۱) زاویههای هم‌کمان برابرند. اگر چند زاویهٔ محاطی به یک کمان نگاه کنند و رأس‌هایشان روی یک قوس باشد، همه برابرند — چون همه از ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آیند. بی‌شمار چنین زاویه‌ای وجود دارد.
۲) زاویهٔ مقابل قطر ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطر باشد، کمان مقابل ادامهٔ فرمول را افقی ببین و زاویهٔ محاطی ادامهٔ فرمول را افقی ببین میشود. عکسش هم درست است: اگر از نقطه‌ای روی دایره وتری را با زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ببینی، آن وتر قطر است. نتیجهٔ مفید: در مثلث قائمالزاویه، ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
۳) چهارضلعی محاطی. اگر هر چهار رأس یک چهارضلعی روی دایره باشند، دو زاویهٔ روبهرو مکمل‌اند:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینعکس این قضیه هم درست است: اگر در چهارضلعی‌ای دو زاویهٔ روبهرو مجموعشان ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آن چهارضلعی حتماً محاطی است.
چند نکتهٔ فراتر از کتاب
زاویهٔ محاطی از قوس دیگر. اگر رأس زاویه را به قوس مقابل ببری، کمان مقابل عوض میشود و آن زاویه با زاویهٔ قبلی مکمل میشود:
ادامهٔ فرمول را افقی ببینکه همان قضیهٔ چهارضلعی محاطی است، از زاویه‌ای دیگر.
زاویهٔ مماس-وتر. اگر از نقطهٔ تماس ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک وتر رسم کنی، زاویهٔ بین آن وتر و خط مماس هم نصف کمان مقابل است. این در واقع حالت حدی زاویهٔ محاطی است: تصور کن رأس زاویهٔ محاطی روی خود نقطهٔ تماس بنشیند و یکی از ضلع‌هایش به مماس تبدیل شود. همان فرمول نصف کمان همچنان کار میکند.
توان نقطه. اگر از نقطهٔ خارجی ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم دو مماس داشته باشی و هم خطی قاطع که دایره را در ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع کند:
ادامهٔ فرمول را افقی ببیناین مبحثی است که در دوره‌های بالاتر کامل میشود، ولی ریشه‌اش همین‌جاست.
تکنیک کمان مشترک. در مسئله‌های پیچیده دنبال زاویه‌هایی بگرد که به یک کمان نگاه می‌کنند — آن‌ها برابرند. برعکس هم درست است: اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، چهار نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی یک دایره‌اند.
لوزی محاطی حتماً مربع است. ضلع‌های لوزی برابرند، پس وترهای برابر و در نتیجه کمان‌های برابر می‌سازند؛ هر کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین میشود. آنگاه هر زاویهٔ لوزی برابر ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — یعنی مربع.
رادیان. در دبیرستان به‌جای درجه از رادیان استفاده میشود، با رابطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رادیان. آنجا فرمول طول کمان ساده‌تر میشود: ادامهٔ فرمول را افقی ببین. فعلاً همان فرمول درجه‌ای کافی است.
چند تلهٔ مهم
| اشتباه | غلط | درست |
|---|---|---|
| فراموش کردن زاویهٔ قائمه در مماس | شعاع را عمود فرض نکردن | همیشه در نقطهٔ تماس ادامهٔ فرمول را افقی ببین علامت بزن |
| ادامهٔ فرمول را افقی ببین را ضلع قائمه گرفتن | ادامهٔ فرمول را افقی ببین | ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| متفاوت گرفتن دو مماس | ادامهٔ فرمول را افقی ببین | همیشه ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| قضیهٔ عمودمنصف را فقط برای قطر دانستن | — | برای هر وتری برقرار است |
| یکی گرفتن اندازه و طول کمان | «کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین طولش ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر است» | با فرمول ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| قضیهٔ وتر-کمان بین دو دایره | مقایسهٔ دو دایرهٔ متفاوت | فقط در یک دایرهٔ واحد |
| کمان بزرگ را برابر کوچک گرفتن | «کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس بزرگ هم ادامهٔ فرمول را افقی ببین» | ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| برابر گرفتن محاطی با مرکزی | کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین ← محاطی ادامهٔ فرمول را افقی ببین | محاطی ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| تشخیص غلط کمان مقابل | کمان نزدیک رأس | کمانی که رأس روبه‌رویش است |
| بی‌توجهی به اینکه رأس روی کدام قوس است | همهٔ محاطی‌های یک کمان را برابر گرفتن | فقط رأس‌های روی یک قوس |
| زاویهٔ مقابل قطر را ادامهٔ فرمول را افقی ببین گرفتن | کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین ← زاویه ادامهٔ فرمول را افقی ببین | زاویه ادامهٔ فرمول را افقی ببین |
| قضیهٔ چهارضلعی برای هر چهارضلعی | ذوزنقهٔ معمولی | فقط چهارضلعی محاطی |
نمونه سؤال‌های حل‌شده
۱) در دایرهای به مرکز ادامهٔ فرمول را افقی ببین، وتر ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر است و فاصلهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر. شعاع را بیابید.
حل: عمود از مرکز وتر را نصف میکند، پس نصف ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در مثلث قائمالزاویه:
ادامهٔ فرمول را افقی ببین۲) از نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خارج دایره دو مماس ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم شده. اگر ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر باشد، طول ادامهٔ فرمول را افقی ببین چقدر است؟
حل: چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین متساوی‌الساقین است. زاویهٔ رأس ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس زاویههای قاعده هم ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شوند — یعنی مثلث متساوی‌الاضلاع است و ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر.
۳) دایرهای به شعاع ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر داریم و در نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مماسی رسم شده. روی این مماس نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را طوری می‌گیریم که ادامهٔ فرمول را افقی ببین. (الف) ادامهٔ فرمول را افقی ببین چقدر است؟ (ب) اگر از ادامهٔ فرمول را افقی ببین مماس دومی هم بکشیم با نقطهٔ تماس ادامهٔ فرمول را افقی ببین، طول ادامهٔ فرمول را افقی ببین چقدر است؟
حل: (الف) چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مثلث ادامهٔ فرمول را افقی ببین قائمالزاویه است:
ادامهٔ فرمول را افقی ببین(ب) طبق برابری دو مماس از یک نقطهٔ خارجی: ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتیمتر.
۴) دایرهای به سه کمان به نسبت ادامهٔ فرمول را افقی ببین تقسیم شده است. بزرگ‌ترین کمان چند درجه است؟
حل: مجموع نسبت‌ها ادامهٔ فرمول را افقی ببین سهم است که برابر ادامهٔ فرمول را افقی ببین میشود، پس هر سهم ادامهٔ فرمول را افقی ببین. بزرگ‌ترین کمان ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
۵) در دایرهای ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطر است و نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره طوری است که ادامهٔ فرمول را افقی ببین. زاویههای ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیابید.
حل: چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطر است، زاویهٔ محاطی مقابلش ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. حالا از مجموع زوایای مثلث:
ادامهٔ فرمول را افقی ببین۶) در دایرهای به مرکز ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی کمان بزرگ‌تر ادامهٔ فرمول را افقی ببین قرار دارد. (الف) ادامهٔ فرمول را افقی ببین چقدر است؟ (ب) اگر نقطهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم روی همان کمان بزرگ باشد، ادامهٔ فرمول را افقی ببین چند درجه است؟
حل: (الف) کمان کوچک ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر زاویهٔ مرکزی روبه‌رویش، یعنی ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. پس ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
(ب) چون ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم روی همان قوس است و به همان کمان نگاه میکند، طبق «زاویههای هم‌کمان برابرند»: ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
جمع‌بندی
رابطهٔ خط و دایره با یک مقایسه تعیین میشود: فاصلهٔ مرکز از خط در برابر شعاع. از آنجا قضیهٔ مماس (شعاع عمود بر مماس در نقطهٔ تماس) و برابری دو مماس از یک نقطه بیرون میآید، و قضیهٔ وتر می‌گوید عمود از مرکز، وتر را نصف میکند. در بخش زاویه‌ها، زاویهٔ مرکزی برابر کمان مقابل و زاویهٔ محاطی نصف آن است — از این دو رابطه، همهٔ نتیجه‌های مهم (زاویهٔ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقابل قطر، برابری زاویههای هم‌کمان، و مکمل بودن زوایای روبهرو در چهارضلعی محاطی) خودبه‌خود جاری می‌شوند. کلید حل بیشتر مسئله‌ها: زاویههای قائمه را علامت بزن و کمان مقابل را درست تشخیص بده.