چندضلعی (هشتم)

چندضلعی (هشتم)

این فصل کامل‌ترین فصل هندسهٔ هشتم است: از تعریف چندضلعی و تقارن شروع می‌شود، به خط‌های موازی و عمود می‌رسد، بعد سراغ چهارضلعی‌ها می‌رود و در پایان با زاویه‌های داخلی و خارجی تمام می‌شود. خبر خوب این است که همهٔ این‌ها روی چند فرمول ساده سوارند.

چندضلعی چیست؟

به هر خط شکستهٔ بسته در صفحه، چندضلعی می‌گویند — به شرطی که ضلع‌ها همدیگر را قطع نکنند، مگر در رأس‌ها که دو ضلع به هم می‌رسند.

اجزای هر چندضلعی چهارتاست: ضلع (پاره‌خطی که دو رأس را وصل می‌کند)، رأس (محل تلاقی دو ضلع)، زاویه (زاویه‌ای که دو ضلع در هر رأس می‌سازند) و قطر (پاره‌خطی که دو رأس غیرمجاور را وصل می‌کند).

سه حالت وجود دارد که یک شکل چندضلعی نیست: اینکه باز باشد، اینکه ضلع‌ها جایی غیر از رأس همدیگر را قطع کنند، یا اینکه بخشی از مرزش منحنی باشد.

نام‌گذاری هم ساده است: ۳ ضلع مثلث، ۴ ضلع چهارضلعی، ۵ ضلع پنج‌ضلعی و به همین ترتیب تا $n$-ضلعی.

چندضلعی منتظم

چندضلعی‌ای که همهٔ ضلع‌هایش مساوی و همهٔ زاویه‌هایش مساوی باشد، منتظم است.

تلهٔ اصلی همین‌جاست: هر دو شرط باید با هم برقرار باشند. لوزی چهار ضلع مساوی دارد ولی زاویه‌هایش مساوی نیستند، پس منتظم نیست. مستطیل زاویه‌های مساوی دارد ولی ضلع‌هایش مساوی نیستند، پس آن هم منتظم نیست. فقط مربع هر دو شرط را دارد.

مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع، پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم (مثل لانهٔ زنبور) نمونه‌های آشنای این خانواده‌اند.

محور تقارن

خط تقارن خطی است که شکل را به دو نیمهٔ کاملاً منطبق تقسیم می‌کند؛ اگر شکل را روی آن تا کنی، دو نیمه دقیقاً روی هم می‌افتند.

یک قانون بسیار تمیز اینجا وجود دارد:

هر $n$-ضلعی منتظم دقیقاً $n$ محور تقارن دارد.

اما محورها بسته به زوج یا فرد بودن $n$ شکل متفاوتی دارند:

• اگر $n$ فرد باشد (مثلث، پنج‌ضلعی، نه‌ضلعی): هر محور از یک رأس می‌گذرد و به وسط ضلع روبه‌رو می‌رسد. جمعاً $n$ محور.
• اگر $n$ زوج باشد (مربع، شش‌ضلعی، هشت‌ضلعی): $\frac{n}{2}$ محور از رأس به رأس می‌رود و $\frac{n}{2}$ محور از وسط ضلع به وسط ضلع. باز هم جمعاً $n$ محور.

نکته: قطرهای مربع هم محور تقارن‌اند. خیلی‌ها فقط دو خط میانی را می‌شمارند و می‌گویند مربع ۲ محور دارد، در حالی که ۴ محور دارد.

مرکز تقارن

اگر شکلی را حول یک نقطه ۱۸۰ درجه بچرخانیم و روی خودش منطبق شود، آن نقطه مرکز تقارن شکل است.

دوران یعنی چرخاندن شکل حول یک نقطهٔ ثابت. برای اینکه یک دوران کاملاً مشخص شود، سه چیز لازم است: مرکز دوران، اندازهٔ زاویه و جهت (ساعت‌گرد یا خلاف آن). خودِ مرکز دوران در این چرخش ثابت می‌ماند و هیچ‌جا نمی‌رود.

در دوران ۱۸۰ درجه حول نقطهٔ $O$، هر نقطهٔ $A$ به نقطهٔ $A'$ می‌رود، طوری که $A$، $O$ و $A'$ روی یک خط‌اند و $OA = OA'$. یعنی $O$ دقیقاً وسط پاره‌خط $AA'$ است. اگر مختصات داشته باشیم:

چطور بفهمیم نقطه‌ای مرکز تقارن نیست؟ کافی است روی شکل یک نقطه پیدا کنی که قرینه‌اش نسبت به آن نقطه، بیرون از شکل بیفتد.

یک $n$-ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد اگر و فقط اگر $n$ زوج باشد.

دلیلش شهودی است: در دوران ۱۸۰ درجه هر رأس باید روی رأس دیگری بیفتد. اگر $n$ زوج باشد، رأس‌ها دوبه‌دو روبه‌روی هم قرار می‌گیرند. اگر $n$ فرد باشد، همیشه یک رأس بی‌شریک می‌ماند و انطباق کامل ممکن نیست. پس مثلث متساوی‌الاضلاع و پنج‌ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارند، ولی مربع و شش‌ضلعی منتظم دارند.

تقارن دورانی و تفاوت دو نوع تقارن

مرکز تقارن در واقع حالت خاصی از تقارن دورانی است. شکلی تقارن دورانی از مرتبهٔ $k$ دارد اگر با چرخش $\frac{360°}{k}$ روی خودش بیفتد. مثلث متساوی‌الاضلاع مرتبهٔ ۳ ($120°$)، مربع مرتبهٔ ۴ ($90°$) و شش‌ضلعی منتظم مرتبهٔ ۶ ($60°$) دارد. مرکز تقارن یعنی تقارن دورانیِ مرتبهٔ ۲.

تفاوت دو مفهوم را خوب بشناس: محور تقارن یک خط است و کارش بازتاب؛ مرکز تقارن یک نقطه است و کارش دوران ۱۸۰ درجه. این دو کاملاً مستقل از هم‌اند:

• مستطیل ۲ محور تقارن و ۱ مرکز تقارن دارد.
• لوزی ۲ محور و ۱ مرکز دارد؛ مربع ۴ محور و ۱ مرکز.
• متوازی‌الاضلاع هیچ محور تقارنی ندارد ولی مرکز تقارن دارد.
• ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین یک محور دارد ولی مرکز تقارن ندارد.
• دایره بی‌نهایت محور دارد و مرکزش هم مرکز تقارن است.

دو مثال دو سرِ طیف: شکلی که مرکز تقارن دارد ولی محور ندارد ← متوازی‌الاضلاعِ غیرمستطیل. شکلی که محور دارد ولی مرکز ندارد ← مثلث متساوی‌الاضلاع.

دو فرمول شمارشی

فرمول قطرها منطق ساده‌ای دارد: از هر رأس می‌توان به $(n-3)$ رأس دیگر قطر کشید (نه به خودش و نه به دو رأس مجاور)، و چون هر قطر دو بار شمرده می‌شود، بر $2$ تقسیم می‌کنیم. مثلاً شش‌ضلعی $\frac{6\times3}{2}=9$ قطر دارد.

خط مورب و خط‌های موازی

وقتی یک خط، دو خط دیگر را قطع می‌کند، به آن خط مورب می‌گویند. دو خط در یک صفحه موازیاند ($a \| b$) اگر هرگز همدیگر را قطع نکنند.

اصل بنیادی این بخش:

اگر مورب دو خط را با زاویه‌های هم‌نامِ مساوی قطع کند، آن دو خط موازی‌اند — و برعکس.

مورب در هر تقاطع چهار زاویه می‌سازد، پس در مجموع هشت زاویه داریم. برای پیدا کردن همه‌شان فقط سه رابطه لازم است:

• متقابل به رأس: دو زاویهٔ روبه‌رو در یک تقاطع همیشه مساوی‌اند.
• مکمل (مجاور): دو زاویهٔ کنار هم روی یک خط، جمعشان $180°$ است. دقت کن که در این کتاب «مکمل» به معنی جمع $180°$ است، نه $90°$.
• هم‌نام در خط‌های موازی: زاویه‌های هم‌نام در دو تقاطع مساوی‌اند.

مثال: اگر یکی از هشت زاویه $110°$ باشد، چهار زاویه $110°$ و چهار زاویهٔ دیگر $70°$ می‌شوند.

انواع جفت زاویه‌ها در خط‌های موازی خوب است حفظ شوند: هم‌نام مساوی، متناوب داخلی مساوی، متناوب خارجی مساوی، و داخلی یک‌طرف مکمل (جمع $180°$).

سه قضیهٔ توازی و تعامد

یعنی: دو خط عمود بر یک خط با هم موازی‌اند؛ خطی که بر یکی از دو موازی عمود باشد بر دیگری هم عمود است؛ و دو خطِ موازی با یک خطِ سوم، با هم موازی‌اند.

هر سه از همان اصل هم‌نامی زاویه‌ها می‌آیند. مثلاً اگر مورب با یکی از دو خط موازی زاویهٔ $70°$ بسازد، با دیگری هم دقیقاً $70°$ می‌سازد.

یک تلهٔ ظریف: فقط برابر بودن اندازهٔ دو زاویه کافی نیست؛ زاویه‌ها باید هم‌نام باشند (در موقعیت مشابه نسبت به تقاطع خودشان). می‌توان دو خط را طوری رسم کرد که هر دو با خط سوم زاویهٔ $70°$ بسازند ولی خودشان همدیگر را قطع کنند.

برای رسم خط موازی، منطق مشترک همهٔ روش‌ها یک چیز است: حفظ کردن شیب. خط موازی دقیقاً همان زاویه را با محورها می‌سازد.

نکتهٔ جالب: مجموع زاویه‌های مثلث ($180°$) خودش از همین قضیه‌های توازی نتیجه می‌شود — از یک رأس خطی موازی با ضلع روبه‌رو رسم کن و با زاویه‌های متناوب داخلی ببین که سه زاویه روی یک خط راست می‌نشینند.

چهارضلعی‌ها

هر شکل بسته با چهار ضلع و چهار رأس یک چهارضلعی است و مجموع زاویه‌های داخلی‌اش همیشه $360°$ است — چون با یک قطر به دو مثلث تقسیم می‌شود.

متوازی‌الاضلاع چهارضلعی‌ای است که ضلع‌های روبه‌رویش دوبه‌دو موازی‌اند. سه نوع خاصِ آن:

• مستطیل: متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های قائمه.
• لوزی: متوازی‌الاضلاعی با چهار ضلع مساوی.
• مربع: هر دو شرط با هم.

پس هر مستطیل و هر لوزی یک متوازی‌الاضلاع است، ولی عکسش درست نیست. و مربع دقیقاً در محل هم‌پوشانی مستطیل و لوزی می‌نشیند.

چهار خاصیت متوازی‌الاضلاع

اگر متوازی‌الاضلاع $ABCD$ را ۱۸۰ درجه حول محل تقاطع قطرها ($O$) بچرخانی، دقیقاً روی خودش می‌افتد: $A$ روی $C$ و $B$ روی $D$. از همین یک ایده هر چهار خاصیت بیرون می‌آید:

• ضلع‌های روبه‌رو مساوی‌اند: $AB = CD$ و $AD = BC$.
• زاویه‌های روبه‌رو مساوی‌اند: $\hat{A} = \hat{C}$ و $\hat{B} = \hat{D}$.
• زاویه‌های مجاور مکمل‌اند: $\hat{A} + \hat{B} = 180°$.
• قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند: $OA = OC$ و $OB = OD$.

خاصیت سوم را می‌شود مستقیم هم ثابت کرد: چون مجموع چهار زاویه $360°$ است و روبه‌روها مساوی‌اند، $2\hat{A} + 2\hat{B} = 360°$، پس $\hat{A} + \hat{B} = 180°$.

دقت کن: «قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند» یعنی هر قطر توسط دیگری به دو نیم مساوی تقسیم می‌شود — نه اینکه دو قطر با هم برابر باشند.

نتیجهٔ جالب دیگر: اگر فقط یک زاویهٔ متوازی‌الاضلاع $90°$ باشد، هر چهار زاویه $90°$ می‌شوند و شکل مستطیل است.

خاصیت‌های اضافهٔ مستطیل، لوزی و مربع

مستطیل علاوه بر همهٔ خاصیت‌های متوازی‌الاضلاع، قطرهای مساوی دارد: $AC = BD$. دو محور تقارنش خط‌های میانی موازی با ضلع‌ها هستند؛ قطرهای مستطیل (مگر در مربع) محور تقارن نیستند.

لوزی چهار ضلع مساوی دارد، قطرهایش بر هم عمودند و هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سرش است. دو محور تقارن لوزی دقیقاً همان دو قطرش هستند.

مربع هر دو دسته را با هم دارد و چهار محور تقارن: دو خط میانی و دو قطر.

جدول قطرها را به خاطر بسپار: در متوازی‌الاضلاع قطرها فقط همدیگر را نصف می‌کنند؛ در مستطیل نصف می‌کنند و مساوی‌اند؛ در لوزی نصف می‌کنند و عمودند؛ در مربع هر سه ویژگی با هم برقرار است.

روش حل مسئله‌های این بخش هم ساده است: اول همهٔ خاصیت‌های متوازی‌الاضلاع را بنویس، بعد خاصیت اضافهٔ آن شکل خاص را اضافه کن. مثلاً چرا در لوزی قطرها همدیگر را نصف می‌کنند؟ چون لوزی خودش یک متوازی‌الاضلاع است.

چند نکتهٔ فراتر دربارهٔ چهارضلعی‌ها

ذوزنقه فقط یک جفت ضلع موازی دارد؛ اگر دو ضلع غیرموازی‌اش مساوی باشند، متساوی‌الساقین است و قطرهایش مساوی می‌شوند. دلتا (بادبادک) دو جفت ضلع مجاور مساوی دارد.

قضیهٔ واریگنون: اگر وسط ضلع‌های هر چهارضلعی دلخواه را به ترتیب به هم وصل کنی، همیشه یک متوازی‌الاضلاع ساخته می‌شود. حالت خاصش در کتاب آمده: وسط ضلع‌های یک مربع، یک مربع کوچک‌تر می‌سازد — چون آن شکل هم لوزی است هم مستطیل.

عکس قضیهٔ قطرها هم درست است: اگر در چهارضلعی‌ای قطرها یکدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی حتماً متوازی‌الاضلاع است. اثباتش با همنهشتیِ ضلع-زاویه-ضلعِ مثلث‌های $AOB$ و $COD$ انجام می‌شود.

زاویه‌های داخلی چندضلعی

زاویهٔ داخلی زاویه‌ای است که در هر رأس، بین دو ضلع مجاور و درون شکل ساخته می‌شود.

همه‌چیز این بخش روی یک حقیقت ساده بنا شده: مجموع زاویه‌های هر مثلث $180°$ است. حالا کافی است هر چندضلعی را به مثلث تقسیم کنیم. از یک رأس ثابت، به همهٔ رأس‌های غیرمجاور قطر می‌کشیم. تعداد این قطرها $(n-3)$ است و شکل به $(n-2)$ مثلث تقسیم می‌شود:

پس چهارضلعی $360°$، پنج‌ضلعی $540°$، شش‌ضلعی $720°$، هفت‌ضلعی $900°$ و هشت‌ضلعی $1080°$. هر بار که یک ضلع اضافه می‌شود، $180°$ به مجموع اضافه می‌شود — همین میان‌بر برای عددهای بزرگ خیلی سریع‌تر از جایگذاری در فرمول است.

نکتهٔ خیلی مهم: این فرمول برای هر چندضلعی درست است، منتظم یا نامنتظم، چون استدلال مثلث‌بندی به منتظم بودن کاری ندارد.

اما برای پیدا کردن اندازهٔ هر زاویه، شکل حتماً باید منتظم باشد (چون فقط آن‌وقت همهٔ زاویه‌ها مساوی‌اند):

با این فرمول: مثلث $60°$، مربع $90°$، پنج‌ضلعی $108°$، شش‌ضلعی $120°$، هشت‌ضلعی $135°$، ده‌ضلعی $144°$ و دوازده‌ضلعی $150°$.

اگر فقط بخشی از زاویه‌ها معلوم باشد، زاویهٔ مجهول را از تفریق پیدا کن: مجموع کل را با فرمول حساب کن و مجموع زاویه‌های داده‌شده را از آن کم کن.

فرمول برعکس — پیدا کردن $n$ از روی زاویه

گاهی اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی ($\alpha$) را می‌دهند و $n$ را می‌خواهند. فرمول را مرتب می‌کنیم:

مثلاً برای $\alpha = 135°$ داریم $n = \frac{360°}{45°} = 8$، یعنی هشت‌ضلعی منتظم. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها نوشتنِ $n = \frac{360°}{\alpha}$ به‌جای این فرمول است — حواست به مخرج باشد.

کاشی‌کاری

وقتی چند کاشی دور یک نقطه کنار هم می‌ایستند، مجموع زاویه‌هایشان باید دقیقاً $360°$ شود؛ نه کم، نه زیاد. پس برای کاشی‌کاری با یک نوع کاشی منتظم، باید $\frac{360°}{\text{هر زاویه}}$ یک عدد صحیح باشد.

• مثلث متساوی‌الاضلاع: $360 \div 60 = 6$ ✓
• مربع: $360 \div 90 = 4$ ✓
• شش‌ضلعی منتظم: $360 \div 120 = 3$ ✓
• پنج‌ضلعی منتظم: $360 \div 108$ عدد صحیح نیست ✗
• هشت‌ضلعی منتظم: $360 \div 135$ عدد صحیح نیست ✗

فقط سه چندضلعی منتظم می‌توانند به‌تنهایی کاشی‌کاری کنند: مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع، و شش‌ضلعی منتظم.

چرا بعد از شش‌ضلعی دیگر ممکن نیست؟ چون برای $n > 6$ هر زاویه از $120°$ بزرگ‌تر می‌شود؛ آن‌وقت حتی سه کاشی هم از $360°$ رد می‌شوند و دو کاشی هم به آن نمی‌رسند.

اما با ترکیب چند نوع کاشی منتظم می‌شود جاهای خالی را پر کرد؛ فقط کافی است جمع زاویه‌ها دور هر نقطه $360°$ شود. مثال معروف: یک مربع و دو هشت‌ضلعی منتظم، چون $90° + 135° + 135° = 360°$.

و اینکه چرا زنبورها کندو را شش‌ضلعی می‌سازند: شش‌ضلعی هم کاشی‌کاری می‌شود (جای خالی نمی‌ماند) و هم در بین شکل‌های کاشی‌پذیر، کمترین نسبت محیط به مساحت را دارد — یعنی با کمترین موم، بیشترین فضا.

زاویه‌های خارجی

در هر رأس یک چندضلعی محدب، اگر یکی از ضلع‌ها را امتداد بدهیم، زاویهٔ بین این امتداد و ضلع دیگر زاویهٔ خارجی آن رأس است.

چون زاویهٔ داخلی و خارجیِ یک رأس روی یک خط راست قرار دارند:

این رابطه در هر رأس و هر چندضلعی برقرار است. اگر از دو طرفِ ضلع امتداد بدهیم، دو زاویه می‌سازیم که متقابل به رأس‌اند و مساوی — پس در هر رأس عملاً یک اندازهٔ زاویهٔ خارجی داریم.

قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث

در مثلث $ABC$ می‌دانیم $\hat{A_1} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$ و همچنین $\hat{A_1} + \hat{A_2} = 180°$. دو طرف را برابر می‌گذاریم و $\hat{A_1}$ حذف می‌شود:

در هر مثلث، هر زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلیِ غیرمجاور آن است.

«غیرمجاور» یعنی دو زاویه‌ای که در آن رأس نیستند. این قضیه راهی سریع برای پیدا کردن زاویه‌هاست و مزیت بزرگش این است که همیشه می‌توانی جواب را با روش دیگر (مجموع زاویه‌های مثلث) هم چک کنی.

هشدار: این قضیه فقط برای مثلث است. در چهارضلعی زاویهٔ خارجی برابر مجموع سه زاویهٔ دیگر نیست؛ آنجا رابطه به شکل $360° - (\text{مجموع سه زاویهٔ داخلی دیگر})$ درمی‌آید. برای مربع مثلاً زاویهٔ خارجی $90°$ است ولی مجموع سه زاویهٔ دیگر $270°$.

مجموع زاویه‌های خارجی — عددی که هرگز تغییر نمی‌کند

و این مستقل از تعداد ضلع‌هاست. اثباتش یک خط است: در هر رأس داخلی و خارجی روی هم $180°$ می‌شوند، پس مجموع کل $n \times 180°$ است. مجموع داخلی‌ها را کم می‌کنیم:

می‌بینی که $n$ کاملاً حذف می‌شود — به همین دلیل جواب برای هر چندضلعی یکی است، منتظم باشد یا نباشد.

تصویر لاک‌پشت: تصور کن لاک‌پشتی دور یک باغچهٔ چندضلعی راه می‌رود. در هر گوشه به اندازهٔ زاویهٔ خارجی می‌چرخد. وقتی دور کامل می‌زند و به نقطهٔ اول برمی‌گردد، در مجموع دقیقاً یک دور یعنی $360°$ چرخیده است. همین تصویر ساده، کل قضیه را در ذهنت جا می‌اندازد.

نتیجهٔ عملیِ خیلی مهم برای چندضلعی منتظم:

پس مثلث $120°$، مربع $90°$، پنج‌ضلعی $72°$، شش‌ضلعی $60°$، هشت‌ضلعی $45°$، ده‌ضلعی $36°$ و دوازده‌ضلعی $30°$. هرچه $n$ بزرگ‌تر شود، زاویهٔ خارجی کوچک‌تر و زاویهٔ داخلی بزرگ‌تر می‌شود.

میان‌بر طلایی: هر وقت خواستی تعداد ضلع‌ها را پیدا کنی، از زاویهٔ خارجی شروع کن. مسیرش یک مرحله کوتاه‌تر از فرمول زاویهٔ داخلی است. و همین دو فرمول در واقع یکی هستند:

در متوازی‌الاضلاع هم یک نتیجهٔ قشنگ داریم: چون زاویه‌های مجاور مکمل‌اند، زاویهٔ خارجی هر رأس با زاویهٔ داخلی رأس مجاورش برابر است.

تله‌های رایج این فصل

• منتظم بودن نصفه‌نیمه نیست: لوزی و مستطیل هیچ‌کدام منتظم نیستند، چون فقط یکی از دو شرط را دارند.
• شمردن محورها: مربع ۴ محور دارد، نه ۲ — قطرها را هم بشمار.
• مرکز تقارن ≠ مرکز هندسی: مرکز تقارن یک ویژگی است که باید با دوران ۱۸۰ درجه آزموده شود. مثلث متساوی‌الاضلاع مرکز دارد ولی مرکز تقارن ندارد.
• مکمل یعنی $180°$، نه $90°$. این اشتباه در معادله‌نویسی خیلی رخ می‌دهد.
• زاویه‌های مجاور در متوازی‌الاضلاع مکمل‌اند، روبه‌روها مساوی. قبل از نوشتن معادله، مطمئن شو کدام‌اند.
• قطرهای متوازی‌الاضلاع عمومی نه مساوی‌اند نه عمود. مساوی فقط در مستطیل و مربع، عمود فقط در لوزی و مربع.
• فرمول $\frac{(n-2)\times180°}{n}$ فقط برای منتظم است. برای شکل نامنتظم فقط می‌توانی مجموع را حساب کنی.
• در فرمول برعکس مخرج $180° - \alpha$ است، نه $\alpha$.
• قضیهٔ زاویهٔ خارجی فقط برای مثلث است.
• $\frac{360°}{n}$ زاویهٔ خارجی است، نه داخلی.
• مجموع زاویه‌های خارجی برای هر چندضلعی محدب $360°$ است، نه فقط برای منتظم.
• قطر همیشه از رأس به رأس کشیده می‌شود، نه از وسط ضلع.

چند نمونهٔ کوتاه

۱) چندضلعی منتظمی داریم که تعداد قطرهایش با تعداد محورهای تقارنش برابر است. چند ضلع دارد؟

تعداد محورها $= n$ و تعداد قطرها $= \frac{n(n-3)}{2}$. پس:

بررسی: پنج‌ضلعی منتظم $\frac{5\times2}{2}=5$ قطر و $5$ محور تقارن دارد. درست است.

۲) در لوزی $ABCD$، قطرها $AC=16$ و $BD=12$ سانتی‌متر هستند. ضلع و مساحت لوزی چقدر است؟

قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند و بر هم عمودند، پس $OA=8$ و $OB=6$. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AOB$ با فیثاغورس:

لوزی از چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ همنهشت با ساق‌های $8$ و $6$ ساخته شده، پس:

۳) در یک چندضلعی منتظم، زاویهٔ خارجی برابر $\frac{1}{5}$ زاویهٔ داخلی است. چند ضلع دارد؟

می‌دانیم داخلی + خارجی $= 180°$ و داخلی $= 5 \times$ خارجی. پس:

یعنی دوازده‌ضلعی منتظم.

۴) مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی محدب دقیقاً ۲ برابر مجموع زاویه‌های داخلی یک هشت‌ضلعی است. چند ضلع دارد؟

مجموع هشت‌ضلعی $=(8-2)\times180° = 1080°$ و دو برابرش $2160°$ است. پس:

۵) در مثلث $ABC$، زاویهٔ خارجی رأس $A$ برابر $130°$ و زاویهٔ خارجی رأس $B$ برابر $150°$ است. زاویهٔ خارجی رأس $C$ چقدر است؟

بررسی مستقل با قضیهٔ مجموع خارجی‌ها: $130° + 150° + 80° = 360°$. درست است.

راهنمای حل مسئله — از کجا شروع کنیم

بیشتر سؤال‌های این فصل با یک الگوی ثابت حل می‌شوند. این چهار گام را مرتب دنبال کن:

گام ۱ — رابطه‌ها را شناسایی کن. ببین کدام زاویه‌ها متقابل به رأس‌اند (مساوی)، کدام‌ها مکمل‌اند (جمع $180°$) و کدام‌ها هم‌نام‌اند (در خط‌های موازی مساوی).

گام ۲ — از موازی بودن استفاده کن. اول موازی بودن را بنویس، بعد نتیجه بگیر. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها این است که دانش‌آموز مستقیم می‌گوید «این دو زاویه مساوی‌اند» بدون اینکه موازی بودن را تأیید کرده باشد.

گام ۳ — معادله بنویس. اگر زاویه‌ها با عبارت جبری داده شده‌اند، از رابطهٔ درست معادله بساز. مثلاً اگر دو زاویهٔ داخلیِ یک‌طرف برابر $(3x+10)°$ و $(2x+40)°$ باشند، چون مکمل‌اند:

پس زاویه‌ها $88°$ و $92°$ می‌شوند و جمعشان واقعاً $180°$ است.

گام ۴ — جواب را چک کن. تقریباً هر سؤال این فصل دو مسیر حل دارد؛ با مسیر دوم درستی جواب را بسنج.

در چهارضلعی‌ها هم همین منطق است. اگر دو ضلع روبه‌روی متوازی‌الاضلاع را با عبارت جبری بدهند، آن‌ها را مساوی بگذار: از $2x - 3 = 17$ نتیجه می‌گیریم $x = 10$. اگر دو زاویهٔ روبه‌رو بدهند، باز هم مساوی‌اند: از $3x - 1 = 2x + 10$ می‌رسیم به $x = 11$. ولی اگر دو زاویهٔ مجاور باشند، باید جمعشان را $180°$ بگذاری. تشخیص همین «روبه‌رو یا مجاور» بیشترین امتیاز را در امتحان می‌گیرد.

تشخیص نوع چهارضلعی — یک چک‌لیست کوتاه

وقتی شکلی به تو می‌دهند و می‌پرسند چه نوع چهارضلعی است، به ترتیب بپرس:

۱) ضلع‌های روبه‌رو موازی‌اند؟ ← متوازی‌الاضلاع است.
۲) زاویه‌ها قائمه‌اند؟ ← مستطیل است.
۳) چهار ضلع مساوی دارد؟ ← لوزی است.
۴) هر دو شرط ۲ و ۳ را دارد؟ ← مربع است.

و یک میان‌بر که در سؤال‌های سخت خیلی به کار می‌آید: اگر باید ثابت کنی دو ضلع یا دو زاویه مساوی‌اند، اول تلاش کن نشان دهی شکل متوازی‌الاضلاع است؛ بعد از خاصیت‌هایش استفاده کن. همچنین اگر دیدی دو پاره‌خط یکدیگر را نصف می‌کنند، آن دو قطرهای یک متوازی‌الاضلاع‌اند.

دو نمونهٔ کوتاه دیگر

۶) هر زاویهٔ داخلی یک $n$-ضلعی منتظم برابر $156°$ است. این چندضلعی چند ضلع دارد؟

از فرمول برعکس:

پس یک پانزده‌ضلعی منتظم است. با مسیر زاویهٔ خارجی هم همین جواب درمی‌آید: زاویهٔ خارجی $180° - 156° = 24°$ است و $360 \div 24 = 15$.

۷) در مستطیل $ABCD$، قطر $AC = 13$ و ضلع $AB = 5$ سانتی‌متر است. طول $BC$ چقدر است؟

چون در مستطیل $\hat{B} = 90°$، مثلث $ABC$ قائم‌الزاویه است و $AC$ وتر آن. با فیثاغورس:

چند نکتهٔ تکمیلی که خوب است بدانی

اصل توازی اقلیدس. از هر نقطه‌ای خارج از یک خط، دقیقاً یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. این جمله آن‌قدر بدیهی به نظر می‌رسد که ریاضی‌دان‌ها قرن‌ها تلاش کردند از اصل‌های دیگر اثباتش کنند و نشد. در قرن نوزدهم معلوم شد اگر این اصل را نپذیری، هندسه‌های کاملاً سازگارِ دیگری (مثل هندسهٔ روی کره) ساخته می‌شوند.

عمودمنصف. خطی که هم بر یک پاره‌خط عمود است و هم از وسط آن می‌گذرد. سه عمودمنصف ضلع‌های هر مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند.

مثلث متساوی‌الساقین. خط تقارن آن از رأس مقابل قاعده می‌گذرد و هم‌زمان سه نقش دارد: عمودمنصف قاعده، نیمساز زاویهٔ رأس، و ارتفاع. نتیجه‌اش این است که دو زاویهٔ مجاور قاعده مساوی‌اند.

چندضلعی مقعر. فرمول مجموع زاویه‌های داخلی برای چندضلعی‌های محدب (بدون فرورفتگی) به‌سادگی از مثلث‌بندی درمی‌آید. در شکل‌های فرورفته باید مثلث‌بندی را با دقت بیشتری انجام داد، ولی نتیجهٔ فرمول همچنان برقرار می‌ماند.

کاشی‌کاری نیمه‌منتظم. غیر از سه کاشی‌کاری تک‌نوع، هشت نوع کاشی‌کاری هم وجود دارد که از ترکیب دو یا سه چندضلعی منتظم ساخته می‌شوند — مثل ترکیب مربع و هشت‌ضلعی که در کف خیلی از ایستگاه‌ها می‌بینی، یا ترکیب مثلث و دوازده‌ضلعی.

کاربردهای روزمره. مستطیل در در و پنجره و صفحهٔ موبایل، چون زاویه‌های قائمه ساخت و نصب را آسان می‌کند؛ لوزی در کاشی‌کاری و طرح‌های تزئینی؛ مربع در کف‌پوش و صفحهٔ شطرنج، چون بیشترین تقارن ممکن را دارد؛ و متوازی‌الاضلاع در فیزیک برای ترکیب نیروها. حتی چرخش لاک‌پشت هم در رباتیک و برنامه‌نویسی مسیر، کاربرد مستقیم دارد.

جمع‌بندی

کل این فصل روی چند ستون ایستاده. تقارن: $n$-ضلعی منتظم دقیقاً $n$ محور تقارن دارد و فقط وقتی $n$ زوج باشد مرکز تقارن دارد؛ محور یعنی بازتاب و مرکز یعنی دوران ۱۸۰ درجه. توازی: خط مورب با دو خط موازی زاویه‌های هم‌نامِ مساوی می‌سازد و سه قضیهٔ توازی و تعامد همه از همین می‌آیند. چهارضلعی‌ها: متوازی‌الاضلاع چهار خاصیت پایه دارد و مستطیل، لوزی و مربع هر کدام خاصیت‌های اضافه‌ای روی آن می‌گذارند. زاویه‌ها: مجموع داخلی‌ها $(n-2) \times 180°$ است و به $n$ بستگی دارد، ولی مجموع خارجی‌ها همیشه و برای هر چندضلعی محدب دقیقاً $360°$ است. اگر همین دو فرمول آخر و رابطهٔ «داخلی + خارجی $= 180°$» را در ذهنت داشته باشی، تقریباً هر سؤال زاویه‌ای این فصل حل می‌شود.