چندضلعی‌ها و تقارن (ریاضی هشتم)

چندضلعی (هشتم)

این فصل کامل‌ترین فصل هندسهٔ هشتم است: از تعریف چندضلعی و تقارن شروع می‌شود، به خط‌های موازی و عمود می‌رسد، بعد سراغ چهارضلعی‌ها می‌رود و در پایان با زاویه‌های داخلی و خارجی تمام می‌شود. خبر خوب این است که همهٔ این‌ها روی چند فرمول ساده سوارند.

چندضلعی چیست؟

به هر خط شکستهٔ بسته در صفحه، چندضلعی می‌گویند — به شرطی که ضلع‌ها همدیگر را قطع نکنند، مگر در رأس‌ها که دو ضلع به هم می‌رسند.

اجزای هر چندضلعی چهارتاست: ضلع (پاره‌خطی که دو رأس را وصل می‌کند)، رأس (محل تلاقی دو ضلع)، زاویه (زاویه‌ای که دو ضلع در هر رأس می‌سازند) و قطر (پاره‌خطی که دو رأس غیرمجاور را وصل می‌کند).

سه حالت وجود دارد که یک شکل چندضلعی نیست: اینکه باز باشد، اینکه ضلع‌ها جایی غیر از رأس همدیگر را قطع کنند، یا اینکه بخشی از مرزش منحنی باشد.

نام‌گذاری هم ساده است: ۳ ضلع مثلث، ۴ ضلع چهارضلعی، ۵ ضلع پنج‌ضلعی و به همین ترتیب تا $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی.

چندضلعی منتظم

چندضلعی‌ای که همهٔ ضلع‌هایش مساوی و همهٔ زاویه‌هایش مساوی باشد، منتظم است.

تلهٔ اصلی همین‌جاست: هر دو شرط باید با هم برقرار باشند. لوزی چهار ضلع مساوی دارد ولی زاویه‌هایش مساوی نیستند، پس منتظم نیست. مستطیل زاویه‌های مساوی دارد ولی ضلع‌هایش مساوی نیستند، پس آن هم منتظم نیست. فقط مربع هر دو شرط را دارد.

مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع، پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم (مثل لانهٔ زنبور) نمونه‌های آشنای این خانواده‌اند.

محور تقارن

خط تقارن خطی است که شکل را به دو نیمهٔ کاملاً منطبق تقسیم می‌کند؛ اگر شکل را روی آن تا کنی، دو نیمه دقیقاً روی هم می‌افتند.

یک قانون بسیار تمیز اینجا وجود دارد:

هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم دقیقاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور تقارن دارد.

اما محورها بسته به زوج یا فرد بودن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شکل متفاوتی دارند:

• اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد باشد (مثلث، پنج‌ضلعی، نه‌ضلعی): هر محور از یک رأس می‌گذرد و به وسط ضلع روبه‌رو می‌رسد. جمعاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور.
• اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد (مربع، شش‌ضلعی، هشت‌ضلعی): $\frac{n}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور از رأس به رأس می‌رود و $\frac{n}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور از وسط ضلع به وسط ضلع. باز هم جمعاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور.

نکته: قطرهای مربع هم محور تقارن‌اند. خیلی‌ها فقط دو خط میانی را می‌شمارند و می‌گویند مربع ۲ محور دارد، در حالی که ۴ محور دارد.

مرکز تقارن

اگر شکلی را حول یک نقطه ۱۸۰ درجه بچرخانیم و روی خودش منطبق شود، آن نقطه مرکز تقارن شکل است.

دوران یعنی چرخاندن شکل حول یک نقطهٔ ثابت. برای اینکه یک دوران کاملاً مشخص شود، سه چیز لازم است: مرکز دوران، اندازهٔ زاویه و جهت (ساعت‌گرد یا خلاف آن). خودِ مرکز دوران در این چرخش ثابت می‌ماند و هیچ‌جا نمی‌رود.

در دوران ۱۸۰ درجه حول نقطهٔ $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هر نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به نقطهٔ $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود، طوری که $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی یک خط‌اند و $OA = OA'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یعنی $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً وسط پاره‌خط $AA'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر مختصات داشته باشیم:

چطور بفهمیم نقطه‌ای مرکز تقارن نیست؟ کافی است روی شکل یک نقطه پیدا کنی که قرینه‌اش نسبت به آن نقطه، بیرون از شکل بیفتد.

یک $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد اگر و فقط اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد.

دلیلش شهودی است: در دوران ۱۸۰ درجه هر رأس باید روی رأس دیگری بیفتد. اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد، رأس‌ها دوبه‌دو روبه‌روی هم قرار می‌گیرند. اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد باشد، همیشه یک رأس بی‌شریک می‌ماند و انطباق کامل ممکن نیست. پس مثلث متساوی‌الاضلاع و پنج‌ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارند، ولی مربع و شش‌ضلعی منتظم دارند.

تقارن دورانی و تفاوت دو نوع تقارن

مرکز تقارن در واقع حالت خاصی از تقارن دورانی است. شکلی تقارن دورانی از مرتبهٔ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد اگر با چرخش $\frac{360°}{k}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی خودش بیفتد. مثلث متساوی‌الاضلاع مرتبهٔ ۳ ($120°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مربع مرتبهٔ ۴ ($90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و شش‌ضلعی منتظم مرتبهٔ ۶ ($60°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) دارد. مرکز تقارن یعنی تقارن دورانیِ مرتبهٔ ۲.

تفاوت دو مفهوم را خوب بشناس: محور تقارن یک خط است و کارش بازتاب؛ مرکز تقارن یک نقطه است و کارش دوران ۱۸۰ درجه. این دو کاملاً مستقل از هم‌اند:

• مستطیل ۲ محور تقارن و ۱ مرکز تقارن دارد.
• لوزی ۲ محور و ۱ مرکز دارد؛ مربع ۴ محور و ۱ مرکز.
• متوازی‌الاضلاع هیچ محور تقارنی ندارد ولی مرکز تقارن دارد.
• ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین یک محور دارد ولی مرکز تقارن ندارد.
• دایره بی‌نهایت محور دارد و مرکزش هم مرکز تقارن است.

دو مثال دو سرِ طیف: شکلی که مرکز تقارن دارد ولی محور ندارد ← متوازی‌الاضلاعِ غیرمستطیل. شکلی که محور دارد ولی مرکز ندارد ← مثلث متساوی‌الاضلاع.

دو فرمول شمارشی

فرمول قطرها منطق ساده‌ای دارد: از هر رأس می‌توان به $(n-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس دیگر قطر کشید (نه به خودش و نه به دو رأس مجاور)، و چون هر قطر دو بار شمرده می‌شود، بر $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم می‌کنیم. مثلاً شش‌ضلعی $\frac{6\times3}{2}=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر دارد.

خط مورب و خط‌های موازی

وقتی یک خط، دو خط دیگر را قطع می‌کند، به آن خط مورب می‌گویند. دو خط در یک صفحه موازیاند ($a \| b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) اگر هرگز همدیگر را قطع نکنند.

اصل بنیادی این بخش:

اگر مورب دو خط را با زاویه‌های هم‌نامِ مساوی قطع کند، آن دو خط موازی‌اند — و برعکس.

مورب در هر تقاطع چهار زاویه می‌سازد، پس در مجموع هشت زاویه داریم. برای پیدا کردن همه‌شان فقط سه رابطه لازم است:

• متقابل به رأس: دو زاویهٔ روبه‌رو در یک تقاطع همیشه مساوی‌اند.
• مکمل (مجاور): دو زاویهٔ کنار هم روی یک خط، جمعشان $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. دقت کن که در این کتاب «مکمل» به معنی جمع $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• هم‌نام در خط‌های موازی: زاویه‌های هم‌نام در دو تقاطع مساوی‌اند.

مثال: اگر یکی از هشت زاویه $110°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، چهار زاویه $110°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و چهار زاویهٔ دیگر $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند.

انواع جفت زاویه‌ها در خط‌های موازی خوب است حفظ شوند: هم‌نام مساوی، متناوب داخلی مساوی، متناوب خارجی مساوی، و داخلی یک‌طرف مکمل (جمع $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

سه قضیهٔ توازی و تعامد

یعنی: دو خط عمود بر یک خط با هم موازی‌اند؛ خطی که بر یکی از دو موازی عمود باشد بر دیگری هم عمود است؛ و دو خطِ موازی با یک خطِ سوم، با هم موازی‌اند.

هر سه از همان اصل هم‌نامی زاویه‌ها می‌آیند. مثلاً اگر مورب با یکی از دو خط موازی زاویهٔ $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بسازد، با دیگری هم دقیقاً $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌سازد.

یک تلهٔ ظریف: فقط برابر بودن اندازهٔ دو زاویه کافی نیست؛ زاویه‌ها باید هم‌نام باشند (در موقعیت مشابه نسبت به تقاطع خودشان). می‌توان دو خط را طوری رسم کرد که هر دو با خط سوم زاویهٔ $70°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بسازند ولی خودشان همدیگر را قطع کنند.

برای رسم خط موازی، منطق مشترک همهٔ روش‌ها یک چیز است: حفظ کردن شیب. خط موازی دقیقاً همان زاویه را با محورها می‌سازد.

نکتهٔ جالب: مجموع زاویه‌های مثلث ($180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) خودش از همین قضیه‌های توازی نتیجه می‌شود — از یک رأس خطی موازی با ضلع روبه‌رو رسم کن و با زاویه‌های متناوب داخلی ببین که سه زاویه روی یک خط راست می‌نشینند.

چهارضلعی‌ها

هر شکل بسته با چهار ضلع و چهار رأس یک چهارضلعی است و مجموع زاویه‌های داخلی‌اش همیشه $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — چون با یک قطر به دو مثلث تقسیم می‌شود.

متوازی‌الاضلاع چهارضلعی‌ای است که ضلع‌های روبه‌رویش دوبه‌دو موازی‌اند. سه نوع خاصِ آن:

• مستطیل: متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های قائمه.
• لوزی: متوازی‌الاضلاعی با چهار ضلع مساوی.
• مربع: هر دو شرط با هم.

پس هر مستطیل و هر لوزی یک متوازی‌الاضلاع است، ولی عکسش درست نیست. و مربع دقیقاً در محل هم‌پوشانی مستطیل و لوزی می‌نشیند.

چهار خاصیت متوازی‌الاضلاع

اگر متوازی‌الاضلاع $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ۱۸۰ درجه حول محل تقاطع قطرها ($O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بچرخانی، دقیقاً روی خودش می‌افتد: $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. از همین یک ایده هر چهار خاصیت بیرون می‌آید:

• ضلع‌های روبه‌رو مساوی‌اند: $AB = CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AD = BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• زاویه‌های روبه‌رو مساوی‌اند: $\hat{A} = \hat{C}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\hat{B} = \hat{D}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• زاویه‌های مجاور مکمل‌اند: $\hat{A} + \hat{B} = 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند: $OA = OC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OB = OD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خاصیت سوم را می‌شود مستقیم هم ثابت کرد: چون مجموع چهار زاویه $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و روبه‌روها مساوی‌اند، $2\hat{A} + 2\hat{B} = 360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\hat{A} + \hat{B} = 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دقت کن: «قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند» یعنی هر قطر توسط دیگری به دو نیم مساوی تقسیم می‌شود — نه اینکه دو قطر با هم برابر باشند.

نتیجهٔ جالب دیگر: اگر فقط یک زاویهٔ متوازی‌الاضلاع $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، هر چهار زاویه $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند و شکل مستطیل است.

خاصیت‌های اضافهٔ مستطیل، لوزی و مربع

مستطیل علاوه بر همهٔ خاصیت‌های متوازی‌الاضلاع، قطرهای مساوی دارد: $AC = BD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو محور تقارنش خط‌های میانی موازی با ضلع‌ها هستند؛ قطرهای مستطیل (مگر در مربع) محور تقارن نیستند.

لوزی چهار ضلع مساوی دارد، قطرهایش بر هم عمودند و هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سرش است. دو محور تقارن لوزی دقیقاً همان دو قطرش هستند.

مربع هر دو دسته را با هم دارد و چهار محور تقارن: دو خط میانی و دو قطر.

جدول قطرها را به خاطر بسپار: در متوازی‌الاضلاع قطرها فقط همدیگر را نصف می‌کنند؛ در مستطیل نصف می‌کنند و مساوی‌اند؛ در لوزی نصف می‌کنند و عمودند؛ در مربع هر سه ویژگی با هم برقرار است.

روش حل مسئله‌های این بخش هم ساده است: اول همهٔ خاصیت‌های متوازی‌الاضلاع را بنویس، بعد خاصیت اضافهٔ آن شکل خاص را اضافه کن. مثلاً چرا در لوزی قطرها همدیگر را نصف می‌کنند؟ چون لوزی خودش یک متوازی‌الاضلاع است.

چند نکتهٔ فراتر دربارهٔ چهارضلعی‌ها

ذوزنقه فقط یک جفت ضلع موازی دارد؛ اگر دو ضلع غیرموازی‌اش مساوی باشند، متساوی‌الساقین است و قطرهایش مساوی می‌شوند. دلتا (بادبادک) دو جفت ضلع مجاور مساوی دارد.

قضیهٔ واریگنون: اگر وسط ضلع‌های هر چهارضلعی دلخواه را به ترتیب به هم وصل کنی، همیشه یک متوازی‌الاضلاع ساخته می‌شود. حالت خاصش در کتاب آمده: وسط ضلع‌های یک مربع، یک مربع کوچک‌تر می‌سازد — چون آن شکل هم لوزی است هم مستطیل.

عکس قضیهٔ قطرها هم درست است: اگر در چهارضلعی‌ای قطرها یکدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی حتماً متوازی‌الاضلاع است. اثباتش با همنهشتیِ ضلع-زاویه-ضلعِ مثلث‌های $AOB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $COD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انجام می‌شود.

زاویه‌های داخلی چندضلعی

زاویهٔ داخلی زاویه‌ای است که در هر رأس، بین دو ضلع مجاور و درون شکل ساخته می‌شود.

همه‌چیز این بخش روی یک حقیقت ساده بنا شده: مجموع زاویه‌های هر مثلث $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. حالا کافی است هر چندضلعی را به مثلث تقسیم کنیم. از یک رأس ثابت، به همهٔ رأس‌های غیرمجاور قطر می‌کشیم. تعداد این قطرها $(n-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و شکل به $(n-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث تقسیم می‌شود:

پس چهارضلعی $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پنج‌ضلعی $540°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شش‌ضلعی $720°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هفت‌ضلعی $900°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هشت‌ضلعی $1080°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. هر بار که یک ضلع اضافه می‌شود، $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به مجموع اضافه می‌شود — همین میان‌بر برای عددهای بزرگ خیلی سریع‌تر از جایگذاری در فرمول است.

نکتهٔ خیلی مهم: این فرمول برای هر چندضلعی درست است، منتظم یا نامنتظم، چون استدلال مثلث‌بندی به منتظم بودن کاری ندارد.

اما برای پیدا کردن اندازهٔ هر زاویه، شکل حتماً باید منتظم باشد (چون فقط آن‌وقت همهٔ زاویه‌ها مساوی‌اند):

با این فرمول: مثلث $60°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مربع $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پنج‌ضلعی $108°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شش‌ضلعی $120°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هشت‌ضلعی $135°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ده‌ضلعی $144°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دوازده‌ضلعی $150°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر فقط بخشی از زاویه‌ها معلوم باشد، زاویهٔ مجهول را از تفریق پیدا کن: مجموع کل را با فرمول حساب کن و مجموع زاویه‌های داده‌شده را از آن کم کن.

فرمول برعکس — پیدا کردن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از روی زاویه

گاهی اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی ($\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) را می‌دهند و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌خواهند. فرمول را مرتب می‌کنیم:

مثلاً برای $\alpha = 135°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $n = \frac{360°}{45°} = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی هشت‌ضلعی منتظم. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها نوشتنِ $n = \frac{360°}{\alpha}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای این فرمول است — حواست به مخرج باشد.

کاشی‌کاری

وقتی چند کاشی دور یک نقطه کنار هم می‌ایستند، مجموع زاویه‌هایشان باید دقیقاً $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود؛ نه کم، نه زیاد. پس برای کاشی‌کاری با یک نوع کاشی منتظم، باید $\frac{360°}{\text{هر زاویه}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک عدد صحیح باشد.

• مثلث متساوی‌الاضلاع: $360 \div 60 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓
• مربع: $360 \div 90 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓
• شش‌ضلعی منتظم: $360 \div 120 = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓
• پنج‌ضلعی منتظم: $360 \div 108$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح نیست ✗
• هشت‌ضلعی منتظم: $360 \div 135$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح نیست ✗

فقط سه چندضلعی منتظم می‌توانند به‌تنهایی کاشی‌کاری کنند: مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع، و شش‌ضلعی منتظم.

چرا بعد از شش‌ضلعی دیگر ممکن نیست؟ چون برای $n > 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر زاویه از $120°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر می‌شود؛ آن‌وقت حتی سه کاشی هم از $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رد می‌شوند و دو کاشی هم به آن نمی‌رسند.

اما با ترکیب چند نوع کاشی منتظم می‌شود جاهای خالی را پر کرد؛ فقط کافی است جمع زاویه‌ها دور هر نقطه $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود. مثال معروف: یک مربع و دو هشت‌ضلعی منتظم، چون $90° + 135° + 135° = 360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

و اینکه چرا زنبورها کندو را شش‌ضلعی می‌سازند: شش‌ضلعی هم کاشی‌کاری می‌شود (جای خالی نمی‌ماند) و هم در بین شکل‌های کاشی‌پذیر، کمترین نسبت محیط به مساحت را دارد — یعنی با کمترین موم، بیشترین فضا.

زاویه‌های خارجی

در هر رأس یک چندضلعی محدب، اگر یکی از ضلع‌ها را امتداد بدهیم، زاویهٔ بین این امتداد و ضلع دیگر زاویهٔ خارجی آن رأس است.

چون زاویهٔ داخلی و خارجیِ یک رأس روی یک خط راست قرار دارند:

این رابطه در هر رأس و هر چندضلعی برقرار است. اگر از دو طرفِ ضلع امتداد بدهیم، دو زاویه می‌سازیم که متقابل به رأس‌اند و مساوی — پس در هر رأس عملاً یک اندازهٔ زاویهٔ خارجی داریم.

قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث

در مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دانیم $\hat{A_1} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و همچنین $\hat{A_1} + \hat{A_2} = 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دو طرف را برابر می‌گذاریم و $\hat{A_1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حذف می‌شود:

در هر مثلث، هر زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلیِ غیرمجاور آن است.

«غیرمجاور» یعنی دو زاویه‌ای که در آن رأس نیستند. این قضیه راهی سریع برای پیدا کردن زاویه‌هاست و مزیت بزرگش این است که همیشه می‌توانی جواب را با روش دیگر (مجموع زاویه‌های مثلث) هم چک کنی.

هشدار: این قضیه فقط برای مثلث است. در چهارضلعی زاویهٔ خارجی برابر مجموع سه زاویهٔ دیگر نیست؛ آنجا رابطه به شکل $360° - (\text{مجموع سه زاویهٔ داخلی دیگر})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درمی‌آید. برای مربع مثلاً زاویهٔ خارجی $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است ولی مجموع سه زاویهٔ دیگر $270°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مجموع زاویه‌های خارجی — عددی که هرگز تغییر نمی‌کند

و این مستقل از تعداد ضلع‌هاست. اثباتش یک خط است: در هر رأس داخلی و خارجی روی هم $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، پس مجموع کل $n \times 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. مجموع داخلی‌ها را کم می‌کنیم:

می‌بینی که $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً حذف می‌شود — به همین دلیل جواب برای هر چندضلعی یکی است، منتظم باشد یا نباشد.

تصویر لاک‌پشت: تصور کن لاک‌پشتی دور یک باغچهٔ چندضلعی راه می‌رود. در هر گوشه به اندازهٔ زاویهٔ خارجی می‌چرخد. وقتی دور کامل می‌زند و به نقطهٔ اول برمی‌گردد، در مجموع دقیقاً یک دور یعنی $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چرخیده است. همین تصویر ساده، کل قضیه را در ذهنت جا می‌اندازد.

نتیجهٔ عملیِ خیلی مهم برای چندضلعی منتظم:

پس مثلث $120°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مربع $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پنج‌ضلعی $72°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، شش‌ضلعی $60°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هشت‌ضلعی $45°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ده‌ضلعی $36°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دوازده‌ضلعی $30°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. هرچه $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر شود، زاویهٔ خارجی کوچک‌تر و زاویهٔ داخلی بزرگ‌تر می‌شود.

میان‌بر طلایی: هر وقت خواستی تعداد ضلع‌ها را پیدا کنی، از زاویهٔ خارجی شروع کن. مسیرش یک مرحله کوتاه‌تر از فرمول زاویهٔ داخلی است. و همین دو فرمول در واقع یکی هستند:

در متوازی‌الاضلاع هم یک نتیجهٔ قشنگ داریم: چون زاویه‌های مجاور مکمل‌اند، زاویهٔ خارجی هر رأس با زاویهٔ داخلی رأس مجاورش برابر است.

تله‌های رایج این فصل

• منتظم بودن نصفه‌نیمه نیست: لوزی و مستطیل هیچ‌کدام منتظم نیستند، چون فقط یکی از دو شرط را دارند.
• شمردن محورها: مربع ۴ محور دارد، نه ۲ — قطرها را هم بشمار.
• مرکز تقارن ≠ مرکز هندسی: مرکز تقارن یک ویژگی است که باید با دوران ۱۸۰ درجه آزموده شود. مثلث متساوی‌الاضلاع مرکز دارد ولی مرکز تقارن ندارد.
• مکمل یعنی $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این اشتباه در معادله‌نویسی خیلی رخ می‌دهد.
• زاویه‌های مجاور در متوازی‌الاضلاع مکمل‌اند، روبه‌روها مساوی. قبل از نوشتن معادله، مطمئن شو کدام‌اند.
• قطرهای متوازی‌الاضلاع عمومی نه مساوی‌اند نه عمود. مساوی فقط در مستطیل و مربع، عمود فقط در لوزی و مربع.
• فرمول $\frac{(n-2)\times180°}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای منتظم است. برای شکل نامنتظم فقط می‌توانی مجموع را حساب کنی.
• در فرمول برعکس مخرج $180° - \alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• قضیهٔ زاویهٔ خارجی فقط برای مثلث است.
• $\frac{360°}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زاویهٔ خارجی است، نه داخلی.
• مجموع زاویه‌های خارجی برای هر چندضلعی محدب $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه فقط برای منتظم.
• قطر همیشه از رأس به رأس کشیده می‌شود، نه از وسط ضلع.

چند نمونهٔ کوتاه

۱) چندضلعی منتظمی داریم که تعداد قطرهایش با تعداد محورهای تقارنش برابر است. چند ضلع دارد؟

تعداد محورها $= n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و تعداد قطرها $= \frac{n(n-3)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس:

بررسی: پنج‌ضلعی منتظم $\frac{5\times2}{2}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر و $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور تقارن دارد. درست است.

۲) در لوزی $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، قطرها $AC=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $BD=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر هستند. ضلع و مساحت لوزی چقدر است؟

قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند و بر هم عمودند، پس $OA=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OB=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AOB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با فیثاغورس:

لوزی از چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ همنهشت با ساق‌های $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساخته شده، پس:

۳) در یک چندضلعی منتظم، زاویهٔ خارجی برابر $\frac{1}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زاویهٔ داخلی است. چند ضلع دارد؟

می‌دانیم داخلی + خارجی $= 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و داخلی $= 5 \times$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خارجی. پس:

یعنی دوازده‌ضلعی منتظم.

۴) مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی محدب دقیقاً ۲ برابر مجموع زاویه‌های داخلی یک هشت‌ضلعی است. چند ضلع دارد؟

مجموع هشت‌ضلعی $=(8-2)\times180° = 1080°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو برابرش $2160°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. پس:

۵) در مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، زاویهٔ خارجی رأس $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $130°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و زاویهٔ خارجی رأس $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $150°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. زاویهٔ خارجی رأس $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟

بررسی مستقل با قضیهٔ مجموع خارجی‌ها: $130° + 150° + 80° = 360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست است.

راهنمای حل مسئله — از کجا شروع کنیم

بیشتر سؤال‌های این فصل با یک الگوی ثابت حل می‌شوند. این چهار گام را مرتب دنبال کن:

گام ۱ — رابطه‌ها را شناسایی کن. ببین کدام زاویه‌ها متقابل به رأس‌اند (مساوی)، کدام‌ها مکمل‌اند (جمع $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و کدام‌ها هم‌نام‌اند (در خط‌های موازی مساوی).

گام ۲ — از موازی بودن استفاده کن. اول موازی بودن را بنویس، بعد نتیجه بگیر. یکی از رایج‌ترین اشتباه‌ها این است که دانش‌آموز مستقیم می‌گوید «این دو زاویه مساوی‌اند» بدون اینکه موازی بودن را تأیید کرده باشد.

گام ۳ — معادله بنویس. اگر زاویه‌ها با عبارت جبری داده شده‌اند، از رابطهٔ درست معادله بساز. مثلاً اگر دو زاویهٔ داخلیِ یک‌طرف برابر $(3x+10)°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2x+40)°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند، چون مکمل‌اند:

پس زاویه‌ها $88°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $92°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند و جمعشان واقعاً $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

گام ۴ — جواب را چک کن. تقریباً هر سؤال این فصل دو مسیر حل دارد؛ با مسیر دوم درستی جواب را بسنج.

در چهارضلعی‌ها هم همین منطق است. اگر دو ضلع روبه‌روی متوازی‌الاضلاع را با عبارت جبری بدهند، آن‌ها را مساوی بگذار: از $2x - 3 = 17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌گیریم $x = 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر دو زاویهٔ روبه‌رو بدهند، باز هم مساوی‌اند: از $3x - 1 = 2x + 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم به $x = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ولی اگر دو زاویهٔ مجاور باشند، باید جمعشان را $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاری. تشخیص همین «روبه‌رو یا مجاور» بیشترین امتیاز را در امتحان می‌گیرد.

تشخیص نوع چهارضلعی — یک چک‌لیست کوتاه

وقتی شکلی به تو می‌دهند و می‌پرسند چه نوع چهارضلعی است، به ترتیب بپرس:

۱) ضلع‌های روبه‌رو موازی‌اند؟ ← متوازی‌الاضلاع است.
۲) زاویه‌ها قائمه‌اند؟ ← مستطیل است.
۳) چهار ضلع مساوی دارد؟ ← لوزی است.
۴) هر دو شرط ۲ و ۳ را دارد؟ ← مربع است.

و یک میان‌بر که در سؤال‌های سخت خیلی به کار می‌آید: اگر باید ثابت کنی دو ضلع یا دو زاویه مساوی‌اند، اول تلاش کن نشان دهی شکل متوازی‌الاضلاع است؛ بعد از خاصیت‌هایش استفاده کن. همچنین اگر دیدی دو پاره‌خط یکدیگر را نصف می‌کنند، آن دو قطرهای یک متوازی‌الاضلاع‌اند.

دو نمونهٔ کوتاه دیگر

۶) هر زاویهٔ داخلی یک $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم برابر $156°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. این چندضلعی چند ضلع دارد؟

از فرمول برعکس:

پس یک پانزده‌ضلعی منتظم است. با مسیر زاویهٔ خارجی هم همین جواب درمی‌آید: زاویهٔ خارجی $180° - 156° = 24°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $360 \div 24 = 15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۷) در مستطیل $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، قطر $AC = 13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضلع $AB = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر است. طول $BC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟

چون در مستطیل $\hat{B} = 90°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مثلث $ABC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قائم‌الزاویه است و $AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وتر آن. با فیثاغورس:

چند نکتهٔ تکمیلی که خوب است بدانی

اصل توازی اقلیدس. از هر نقطه‌ای خارج از یک خط، دقیقاً یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. این جمله آن‌قدر بدیهی به نظر می‌رسد که ریاضی‌دان‌ها قرن‌ها تلاش کردند از اصل‌های دیگر اثباتش کنند و نشد. در قرن نوزدهم معلوم شد اگر این اصل را نپذیری، هندسه‌های کاملاً سازگارِ دیگری (مثل هندسهٔ روی کره) ساخته می‌شوند.

عمودمنصف. خطی که هم بر یک پاره‌خط عمود است و هم از وسط آن می‌گذرد. سه عمودمنصف ضلع‌های هر مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند.

مثلث متساوی‌الساقین. خط تقارن آن از رأس مقابل قاعده می‌گذرد و هم‌زمان سه نقش دارد: عمودمنصف قاعده، نیمساز زاویهٔ رأس، و ارتفاع. نتیجه‌اش این است که دو زاویهٔ مجاور قاعده مساوی‌اند.

چندضلعی مقعر. فرمول مجموع زاویه‌های داخلی برای چندضلعی‌های محدب (بدون فرورفتگی) به‌سادگی از مثلث‌بندی درمی‌آید. در شکل‌های فرورفته باید مثلث‌بندی را با دقت بیشتری انجام داد، ولی نتیجهٔ فرمول همچنان برقرار می‌ماند.

کاشی‌کاری نیمه‌منتظم. غیر از سه کاشی‌کاری تک‌نوع، هشت نوع کاشی‌کاری هم وجود دارد که از ترکیب دو یا سه چندضلعی منتظم ساخته می‌شوند — مثل ترکیب مربع و هشت‌ضلعی که در کف خیلی از ایستگاه‌ها می‌بینی، یا ترکیب مثلث و دوازده‌ضلعی.

کاربردهای روزمره. مستطیل در در و پنجره و صفحهٔ موبایل، چون زاویه‌های قائمه ساخت و نصب را آسان می‌کند؛ لوزی در کاشی‌کاری و طرح‌های تزئینی؛ مربع در کف‌پوش و صفحهٔ شطرنج، چون بیشترین تقارن ممکن را دارد؛ و متوازی‌الاضلاع در فیزیک برای ترکیب نیروها. حتی چرخش لاک‌پشت هم در رباتیک و برنامه‌نویسی مسیر، کاربرد مستقیم دارد.

جمع‌بندی

کل این فصل روی چند ستون ایستاده. تقارن: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم دقیقاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور تقارن دارد و فقط وقتی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد مرکز تقارن دارد؛ محور یعنی بازتاب و مرکز یعنی دوران ۱۸۰ درجه. توازی: خط مورب با دو خط موازی زاویه‌های هم‌نامِ مساوی می‌سازد و سه قضیهٔ توازی و تعامد همه از همین می‌آیند. چهارضلعی‌ها: متوازی‌الاضلاع چهار خاصیت پایه دارد و مستطیل، لوزی و مربع هر کدام خاصیت‌های اضافه‌ای روی آن می‌گذارند. زاویه‌ها: مجموع داخلی‌ها $(n-2) \times 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و به $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد، ولی مجموع خارجی‌ها همیشه و برای هر چندضلعی محدب دقیقاً $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر همین دو فرمول آخر و رابطهٔ «داخلی + خارجی $= 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» را در ذهنت داشته باشی، تقریباً هر سؤال زاویه‌ای این فصل حل می‌شود.