جبر، معادله و اتحادها (ریاضی هشتم)

جبر و معادله (هشتم)

جبر یعنی حساب‌کردن با حرف به‌جای عدد. این فصل چهار مهارت به تو می‌دهد: ساده‌کردن عبارت‌های جبری، جایگذاری عدد در آن‌ها، تجزیه، و در پایان حل معادله. جالب است بدانی خودِ واژهٔ «جبر» از کتاب «الجبر و المقابله»ی خوارزمی گرفته شده، و واژهٔ «الگوریتم» هم از تلفظ اروپاییِ نام او درآمده است.

عبارت جبری و جمله‌های متشابه

عبارت جبری ترکیبی از عددها، حرف‌ها (متغیرها) و عملگرهاست. متغیر حرفی است که جای یک عدد ناشناخته می‌نشیند. جمله هر بخشی از عبارت است که با + یا $-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از بقیه جدا می‌شود؛ مثلاً $3x^2 - 5x + 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه جمله دارد.

دو جمله متشابهاند اگر قسمت حرفی‌شان کاملاً یکسان باشد — هم همان حرف‌ها، هم همان توان‌ها. پس $3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-7x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه‌اند، و $2xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $5yx$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم متشابه‌اند (چون ترتیب در ضرب مهم نیست). ولی $3x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $5x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه نیستند، چون توان‌ها فرق دارند.

فقط جمله‌های متشابه را می‌توان با هم جمع یا کم کرد، و کار ساده است: ضریب‌ها را جمع کن و قسمت حرفی را دست‌نخورده بگذار.

منطقش دقیقاً مثل شمردن است: ۳ تا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌علاوهٔ ۵ تا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود ۸ تا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یک نکتهٔ ریز: وقتی می‌نویسی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ضریبش $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — این $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نامرئی را در جمع‌ها فراموش نکن.

یادآوری قانون‌های توان

در ضرب توان‌های هم‌پایه، توان‌ها جمع می‌شوند، نه ضرب. یعنی $a^2 \times a^3 = a^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $a^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرا $a^0 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چون از همان قانون بالا: $a^2 \times a^0 = a^{2+0} = a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $a^0 = \frac{a^2}{a^2} = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یعنی این یک قرارداد دلخواه نیست، نتیجهٔ منطقی است.

توزیع‌پذیری — باز کردن پرانتز

منطق هندسی‌اش ساده است: مستطیلی به عرض $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و طول $(b+c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به دو قطعه تقسیم کن؛ مساحت کل برابر $ab + ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

اگر عدد بیرون پرانتز منفی باشد، علامت همهٔ جمله‌های داخل عوض می‌شود. و منهای تنها پشت پرانتز، در واقع ضرب در $(-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

این پرتکرارترین نقطهٔ اشتباه کل فصل است. $-(a-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $-a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $-a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ضرب دو پرانتز

هر جملهٔ پرانتز اول را در تک‌تک جمله‌های پرانتز دوم ضرب کن. اینجا هم تفسیر هندسی داریم: مستطیلی با ضلع‌های $(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(c+d)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به چهار قطعه تقسیم می‌شود.

یک ترفند برای اطمینان از اینکه چیزی جا نمانده: تعداد جمله‌های حاصل قبل از ساده‌سازی، برابر حاصل‌ضرب تعداد جمله‌های دو پرانتز است. پس $(a+b+c)(d+e)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $3 \times 2 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمله بدهد.

روش کلی ساده‌کردن هر عبارت هم چهار گام دارد: اول پرانتزها را باز کن، بعد جمله‌های متشابه را کنار هم بگذار، ضریب‌هایشان را جمع بزن، و نتیجه را از بالاترین توان به پایین مرتب بنویس.

سه اتحاد پرکاربرد

از همان فرمول ضرب دو پرانتز، سه هویت مهم بیرون می‌آید که باید بازشناسی‌شان کنی:

اثبات اولی: $a^2 - ab + ab - b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که جمله‌های میانی حذف می‌شوند. اثبات دومی: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مهم‌ترین هشدار این فصل: $(a+b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $a^2 + b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست. مثلاً $(3+4)^2 = 49$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $9 + 16 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جملهٔ میانی $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتماً باید باشد.

تفسیر هندسی همین را نشان می‌دهد: مربعی با ضلع $(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به چهار قطعه تقسیم می‌شود — یک مربع $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یک مربع $b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و دو مستطیل به مساحت $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. آن دو مستطیل همان $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند.

این اتحادها محاسبهٔ ذهنی را هم خیلی سریع می‌کنند:

ایده‌اش این است: هر دو عدد را نسبت به میانگینشان (که معمولاً عددی گرد است) بنویس؛ یکی + فاصله و دیگری $-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان فاصله.

الگوهای عددی و نمایش جبری عددها

عبارت جبری می‌تواند قاعدهٔ یک الگو را نشان دهد. مثلاً الگوی $1, 3, 5, 7, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قاعده‌اش $2n - 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

نکتهٔ جالب اینکه چند عبارت جبریِ متفاوت می‌توانند یک الگوی واحد را توصیف کنند؛ مثلاً $3n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $4 + (n-1)\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $1+n+n+n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همه یکی هستند و با ساده‌کردن به هم می‌رسند. هر کدام فقط یک روش دیدن مسئله است.

برای پیدا کردن قاعده از روی چند جملهٔ اول، اختلاف جمله‌های متوالی را نگاه کن: اگر اختلاف‌ها ثابت بود، الگو خطی است؛ اگر اختلاف اختلاف‌ها ثابت شد، الگو درجه دوم است. مثلاً در $1, 4, 9, 16, 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اختلاف‌ها $3, 5, 7, 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و اختلاف دوم همیشه $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $a_n = n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمایش جبری عددها هم خیلی به کار می‌آید:

با همین می‌شود چیزهای قشنگی ثابت کرد. مثلاً مجموع یک عدد دورقمی با عددی که رقم‌هایش جابه‌جا شده، همیشه مضرب $11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری

حالا عبارت جبری را مثل یک قاعده یا دستورالعمل به کار می‌بریم: مقدار متغیر را می‌دانیم و مقدار کل عبارت را حساب می‌کنیم.

تصویر ذهنی خوبی که کتاب می‌دهد ماشین عددساز است: عددی وارد می‌شود (ورودی)، ماشین کاری روی آن انجام می‌دهد (عملیات)، و عددی بیرون می‌آید (خروجی). اگر خروجی یک ماشین را به ورودی ماشین بعدی وصل کنی، ماشین ترکیبی می‌سازی:

در رابطهٔ $y = 2x - 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، متغیر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقل است (ما انتخابش می‌کنیم) و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وابسته است (مقدارش به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد). برای هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یک $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درمی‌آید. جدول مقادیر همین رابطه را مرتب نشان می‌دهد، و هر سطرش مثل $(2, 5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در واقع یک نقطه روی نمودار است — رابطه‌های $y = ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط مستقیم می‌دهند و $y = ax^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سهمی.

روش جایگذاری هم سه گام دارد: متغیر را پیدا کن، عدد را داخل پرانتز جایش بگذار، و با رعایت ترتیب عملیات (اول توان، بعد ضرب و تقسیم، بعد جمع و تفریق) حساب کن.

تلهٔ پرانتز — خیلی مهم:

در اولی کل $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به توان می‌رسد؛ در دومی فقط $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به توان می‌رسد و بعد نتیجه منفی می‌شود. به همین دلیل عددهای منفی را همیشه داخل پرانتز جایگذاری کن.

معکوس‌کردن ماشین: اگر خروجی را بدانی و ورودی را بخواهی، عملیات‌ها را به ترتیب معکوس و با عمل معکوس انجام بده. برای ماشینِ بالا اگر خروجی $39$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: اول $39 - 4 = 35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بعد $35 \div 7 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اثبات جبری — چرا مثال زدن کافی نیست

یکی از زیباترین کاربردهای جبر، اثبات ویژگی‌های همهٔ عددهاست، بدون بررسی تک‌تک حالت‌ها.

عدد زوج را $2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عدد فرد را $2n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یا $2n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) می‌نویسیم. حالا:

منطق همه‌شان یکی است: اگر نتیجه به شکل $2 \times (\text{عدد صحیح})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درآمد زوج است، و اگر به شکل $2\times(\text{عدد}) \pm 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درآمد فرد.

چند مثال زدن اثبات نیست. اینکه $2 \times 4 = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $6 \times 8 = 48$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج شدند فقط نشان می‌دهد در همان چند مورد درست بوده. اثبات جبری نشان می‌دهد همیشه درست است.

نمونهٔ دیگر با همین روش: مجموع سه عدد صحیح متوالی همیشه بر $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است. عدد وسط را $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر:

پس مثلاً $37+38+39 = 3 \times 38 = 114$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بدون جمع مستقیم.

گاهی هم لازم است حالت‌بندی کنی: اگر ادعا به زوج یا فرد بودن $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد، یک بار $n = 2k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و یک بار $n = 2k+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذار؛ اگر در هر دو حالت درست بود، اثبات کامل است.

تجزیه — معکوسِ باز کردن پرانتز

تجزیه یعنی یک جمع یا تفریق را به شکل ضرب بنویسی. دقیقاً عکس توزیع‌پذیری:

عامل مشترک چیزی است که در همهٔ جمله‌ها وجود دارد و می‌تواند بیرون پرانتز برود. برای پیدا کردنش:

۱) ب.م.م ضریب‌های عددی را بگیر. ۲) برای هر حرف، کمترین توانی که در همهٔ جمله‌ها هست را بردار. ۳) این دو را در هم ضرب کن. ۴) در پایان جواب را دوباره پخش کن تا مطمئن شوی به عبارت اول می‌رسی.

چرا کمترین توان؟ چون عامل مشترک باید در هر جمله موجود باشد. اگر یکی $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد و دیگری $a^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هر دو حداقل $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند، پس $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیرون می‌رود.

تجزیه با گروه‌بندی

وقتی عبارتی چهار جمله دارد و عامل مشترک ساده‌ای بین همه‌شان نیست، جمله‌ها را دوتا-دوتا گروه‌بندی کن، از هر گروه عامل مشترکش را بیرون ببر، و ببین آیا یک پرانتز مشترک ظاهر می‌شود:

ساده‌کردن کسرهای جبری

دقیقاً مثل کسرهای عددی: اول صورت و مخرج را تجزیه کن، بعد عامل‌های مشترک را حذف کن.

تلهٔ بزرگ: فقط عامل‌ها (چیزهایی که در ضرب‌اند) حذف می‌شوند، نه جمله‌ها. نوشتن $\frac{a+b}{a+c} = \frac{b}{c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً غلط است. اول تجزیه، بعد حذف.

همچنین از اتحاد اختلاف دو مربع می‌شود برای تجزیه استفاده کرد: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و در سؤال‌های ترکیبی گاهی باید هر دو ابزار را کنار هم بگذاری. مثلاً برای تجزیهٔ $x^2 - 6x + 9 - y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: سه جملهٔ اول یک مربع کامل‌اند، پس عبارت می‌شود $(x-3)^2 - y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که خودش اختلاف دو مربع است و به $(x-3+y)(x-3-y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تجزیه می‌شود.

معادله

معادله تساوی‌ای است که مجهول دارد و ما دنبال مقداری هستیم که آن تساوی را درست کند. مثلاً در $5x + 10 = 65$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب $x = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، چون $55 + 10 = 65$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اصل حل معادله: معادله مثل یک ترازوی متعادل است. هر عملی که روی یک کفه انجام دهی، باید روی کفهٔ دیگر هم انجام دهی تا تعادل حفظ شود.

نتیجهٔ عملی همین اصل: وقتی جمله‌ای از یک طرف به طرف دیگر می‌رود، علامتش عوض می‌شود.

الگوریتم کلی حل: ۱) پرانتزها را باز کن. ۲) اگر کسر دارد، هر دو طرف را در ک.م.م مخرج‌ها ضرب کن. ۳) مجهول‌ها را یک طرف و عددهای ثابت را طرف دیگر ببر (با تغییر علامت). ۴) جمله‌های متشابه را جمع کن. ۵) بر ضریب مجهول تقسیم کن. ۶) جواب را جایگذاری و بررسی کن.

برای معادله‌های کسری دو راه داری. راه اول جابه‌جا کردن کسرها، و راه دوم ضرب در ک.م.م:

هر دو روش درست‌اند. فقط حواست باشد که ک.م.م باید در همهٔ جمله‌های هر دو طرف ضرب شود، نه فقط در جمله‌های کسری. و اگر معادله دقیقاً دو کسر داشته باشد، ضرب ضربدری سریع‌ترین راه است:

انتخاب هوشمندانهٔ مجهول

گاهی انتخاب درست مجهول، معادله را چند برابر ساده‌تر می‌کند. مثال کلاسیک: «مجموع پنج عدد متوالی $65$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ عدد وسط چند است؟»

اگر عدد اول را $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیری: $x + (x+1) + \cdots + (x+4) = 5x + 10 = 65$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عدد وسط $13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

اما اگر عدد وسط را $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیری، جمله‌های منفی و مثبت همدیگر را حذف می‌کنند:

هر دو درست‌اند، ولی دومی یک گام کوتاه‌تر است.

در مسئله‌های کلامی همیشه اول مجهول را دقیق تعریف کن، بعد معادله بنویس. مثلاً در مسئله‌های سن، حواست باشد همه با گذشت زمان پیر می‌شوند: اگر پدر $45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساله و فرزندان $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساله‌اند و می‌پرسند چند سال بعد سن پدر برابر مجموع سن فرزندان می‌شود:

وقتی معادله جواب ندارد یا بی‌نهایت جواب دارد

گاهی در حل معادله مجهول کاملاً حذف می‌شود. دو حالت پیش می‌آید:

هر معادلهٔ خطی در نهایت به فرم $ax = b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسد. اگر $a \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد جواب یکتاست ($x = \frac{b}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر $a = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد جواب ندارد؛ و اگر هر دو صفر باشند بی‌نهایت جواب دارد.

پس اگر به $3 = 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسیدی، لزوماً اشتباه نکرده‌ای — شاید معادله واقعاً جواب ندارد.

و یک نکتهٔ دیگر: معادلهٔ $x^2 = k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $k > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه دو جواب دارد. مثلاً $x^2 = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم $x = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را قبول می‌کند هم $x = -3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تله‌های رایج این فصل

• $3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه نیستند؛ توان‌ها هم باید یکی باشند.
• منهای پشت پرانتز روی همهٔ جمله‌ها اثر می‌گذارد، نه فقط اولی.
• در ضرب هم‌پایه توان‌ها جمع می‌شوند: $a^2 \times a^3 = a^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• $3a \times 2a = 6a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $6a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• در ضرب دو پرانتز هیچ ضربی را جا نینداز.
• $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — جملهٔ $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را فراموش نکن.
• در تجزیه کمترین توان مشترک بیرون می‌رود، نه بیشترین.
• در کسر جبری فقط عامل‌ها حذف می‌شوند، نه جمله‌ها.
• عددهای منفی را هنگام جایگذاری داخل پرانتز بگذار.
• در انتقال جمله به طرف دیگر معادله، علامت عوض می‌شود.
• ک.م.م را در همهٔ جمله‌های هر دو طرف ضرب کن.
• تقسیم باید روی همهٔ جمله‌های صورت انجام شود: $\frac{5x+10}{5} = x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• جواب را همیشه جایگذاری کن؛ چند ثانیه وقت می‌گیرد و از خطا جلوگیری می‌کند.

دو نمونهٔ کوتاه

۱) حاصل $(2x-3)(x+4) - (x-1)(2x+5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کن.

هر ضرب را جدا باز می‌کنیم:

حالا تفریق می‌کنیم (دقت کن علامت همهٔ جمله‌های دومی عوض می‌شود):

جمله‌های $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً حذف شدند.

۲) مجموع سن رضا و برادرش امروز $24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سال است. $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سال دیگر سن رضا دو برابر سن برادرش می‌شود. سن هرکدام امروز چقدر است؟

سن امروز رضا را $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گیریم، پس سن برادر $24-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. شش سال بعد سنشان $x+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $30-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود:

پس رضا $18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برادرش $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سال دارد. بررسی: شش سال بعد $24 = 2 \times 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست است.

جبر در فرمول‌های علمی و هندسی

خیلی از فرمول‌هایی که در علوم و هندسه می‌بینی، در واقع عبارت‌های جبری‌اند که چند کمیت را به هم وصل می‌کنند. کار با آن‌ها دقیقاً همان جایگذاری است.

مثلاً برای مکعب‌مستطیلی با $a=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $b=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

یا زمین ورزشی‌ای که عرضش $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و طولش $2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مساحتش $2x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ برای $x = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود $162$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر مربع.

نکتهٔ کوچکی که کار را آسان می‌کند: حرف‌های به‌کاررفته در فرمول‌های علمی معمولاً حرف اول واژهٔ انگلیسی‌اند — $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از mass، $h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از height، $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از distance.

و همین معادله‌ها در حل مسئله هم به کار می‌آیند. در فرمول کار $W = F \cdot d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اگر $W = 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $F = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، از $12 = 4d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌گیریم $d = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یا در هندسه، اگر دو زاویه مکمل باشند:

چند نکتهٔ تکمیلی

اثبات بخش‌پذیری بر ۳ با جبر. با نمایش $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌توان نوشت:

قسمت اول همیشه بر $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است، پس بخش‌پذیری کل عدد فقط به $(a+b+c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد. همان قاعده‌ای که از قبل می‌دانستی، حالا اثبات شد.

توان سوم دوجمله‌ای. برای کنجکاوی، از ضرب $(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $(a+b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به این می‌رسیم:

فعلاً لازم نیست حفظش کنی؛ کافی است بدانی از کجا می‌آید.

تفاوت $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این دو کاملاً فرق دارند: $x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در خودش، ولی $2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در عدد ثابت $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اولی $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود و دومی $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

و یک بار دیگر دربارهٔ پرانتز: $(-x)^2 = x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی می‌ماند. پس $-(a+b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی اول $(a+b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کن و بعد کل نتیجه را منفی کن:

جمع‌بندی

این فصل چهار مهارت به هم پیوسته دارد. ساده‌کردن: پرانتزها را با توزیع‌پذیری باز کن و جمله‌های متشابه را جمع بزن. جایگذاری: عدد را داخل پرانتز بگذار و ترتیب عملیات را رعایت کن — و یادت باشد جبر ابزار اثبات است، نه فقط محاسبه. تجزیه: عکس توزیع‌پذیری؛ ب.م.م ضریب‌ها و کمترین توان هر حرف را بیرون ببر، و اتحادهای $(a\pm b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a^2 - b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بشناس. معادله: ترازو را متعادل نگه دار، جمله‌ها را با تغییر علامت جابه‌جا کن، و آخرش جواب را بررسی کن. اگر این چهار مهارت را با هم داشته باشی، هم مسئله‌های کلامی و هم سؤال‌های ترکیبی این فصل برایت شدنی می‌شوند.