مجموعه‌ها، الگو و دنباله (ریاضی ۱)

فصل اول: مجموعه، الگو و دنباله

مجموعه‌های عددی و بازه‌ها

مجموعه‌های عددی پایه به این ترتیب تعریف می‌شوند:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} \quad \mathbb{W} = \{0, 1, 2, \ldots\} \quad \mathbb{Z} = \{\ldots, -1, 0, 1, \ldots\}

\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} \;\middle|\; m, n \in \mathbb{Z},\; n \neq 0\right\} \quad \mathbb{Q'} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \quad \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}

با رابطهٔ زیرمجموعه‌ای: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

تشخیص گویا/گنگ: اعشار متناهی یا متناوب گویاست؛ اعشار نامتناوبِ نامتناهی گنگ است. $\sqrt{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین گنگ است مگر $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مربع کامل باشد.

بازه‌ها: برای $a<b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: بسته $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، باز $(a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نیم‌باز $[a,b)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و بازه‌های نامتناهی مثل $(a,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که چون $\infty$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عدد نیست همیشه با پرانتز باز می‌آید. طول بازه فقط به دو سر آن بستگی دارد، نه باز/بسته بودن: $\text{طول بازه} = b-a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال اجتماع و اشتراک: برای $A=(-1,4]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $B=(2,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $A\cup B=(-1,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A\cap B=(2,4]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین — روش حل، رسم بازه‌ها روی محور اعداد و خواندن ناحیهٔ موردنظر است.

متمم مجموعه

اگر $U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مرجع و $A \subseteq U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $A' = U-A = \{x \in U \mid x \notin A\}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با $(A')'=A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $A\cup A'=U$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین, $A\cap A'=\emptyset$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قوانین دمورگان:

\boxed{(A\cup B)' = A'\cap B'} \qquad \boxed{(A\cap B)' = A'\cup B'}

متمم بازه: کران بسته به باز و کران باز به بسته تبدیل می‌شود؛ مثلاً متمم $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

همچنین رابطهٔ مهم: $A \subseteq B \Leftrightarrow B' \subseteq A'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مجموعهٔ متناهی تعداد عضو محدود (عدد حسابی) دارد؛ نامتناهی از هر عدد طبیعی بزرگ‌تر است. اگر $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین زیرمجموعهٔ نامتناهی داشته باشد، خودش نامتناهی است. بین هر دو عدد حقیقی متمایز، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد.

تعداد اعضای اجتماع

\boxed{n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)}

و برای مجموعه‌های مجزا: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روش نمودار ون (مثال کامل): در کلاسی ۲۵نفره، ۱۵نفر فوتبال و ۱۱نفر بسکتبال بازی می‌کنند و ۵نفر عضو هیچ تیمی نیستند. پس $n(F\cup B)=25-5=20$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و از فرمول $20=15+11-n(F\cap B)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نتیجه می‌شود $n(F\cap B)=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

الگو و دنباله

دنباله چند عدد پشت‌سرهم به‌صورت $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. در الگوی خطی، اختلاف جمله‌های متوالی ثابت است و جملهٔ عمومی به‌فرم $a_n=an+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — دقیقاً معادلهٔ خط $y=ax+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌جای $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ عدد $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم شیب خط است و هم اختلاف جملات متوالی. اگر اختلافِ مرتبهٔ اول ثابت نبود، الگو غیرخطی است و درجهٔ آن برابر همان مرتبه‌ای است که اختلافش ثابت می‌شود (مثلاً اختلاف مرتبهٔ دوم ثابت یعنی الگوی درجهٔ ۲).

دنبالهٔ حسابی

دنباله‌ای که هر جمله (جز اول) از جمعِ جملهٔ قبل با عدد ثابت $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (قدرنسبت) به دست می‌آید: $a_{n+1}=a_n+d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با جملهٔ عمومی:

\boxed{a_n = a_1 + (n-1)d}

خواص کلیدی: رابطهٔ بین جملات $a_m-a_n=(m-n)d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر $a,b,c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حسابی باشند $2b=a+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (میانگین حسابی)؛ و اگر $m+n=p+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنگاه $a_m+a_n=a_p+a_q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (جملات متماثل).

مجموع $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جملهٔ اول (اثبات با روش گاوس — جمع از دو سر):

\boxed{S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2}}

مثال مشهور: $1+2+\cdots+100=\dfrac{100\times101}{2}=5050$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

واسطهٔ حسابی: برای گذاشتن $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واسطه بین $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $d=\dfrac{b-a}{k+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: بین ۱۸ و ۶۲ با سه واسطه، $d=\frac{44}{4}=11$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دنباله $18,29,40,51,62$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود.

دنبالهٔ هندسی

دنباله‌ای که نسبتِ هر جمله به جملهٔ قبل ثابت و غیرصفر است ( $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، قدرنسبت): $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با جملهٔ عمومی:

\boxed{a_n = a_1 \cdot r^{n-1}}

خواص: اگر $a,b,c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هندسی باشند $b^2=ac$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (میانگین هندسی)؛ و $\dfrac{a_m}{a_n}=r^{m-n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مجموع $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جملهٔ اول ( $r\neq1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): $S_n = a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و برای $|r|<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سرِی نامتناهی به $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌رسد (مثال: $1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین).

واسطهٔ هندسی بین $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (هم‌علامت)، برخلاف واسطهٔ حسابی که یکتاست، دو مقدار دارد: $m=\pm\sqrt{ab}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

جدول مقایسه

ویژگی	دنبالهٔ حسابی	دنبالهٔ هندسی
تعریف	$a_{n+1}-a_n=d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$a_{n+1}/a_n=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
جملهٔ عمومی	$a_1+(n-1)d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$a_1\cdot r^{n-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سه‌جمله $a,b,c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2b=a+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$b^2=ac$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مجموع $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جمله	$\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
واسطهٔ $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببینتایی	$d=\dfrac{b-a}{k+1}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$r=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نکتهٔ کنکوری: دنباله‌ای که هم حسابی و هم هندسی باشد، حتماً ثابت است ( $d=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $r=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس همهٔ جملات برابرند).