فصل اول: مجموعه، الگو و دنباله

مجموعه‌های عددی و بازه‌ها

مجموعه‌های عددی پایه به این ترتیب تعریف می‌شوند:

با رابطهٔ زیرمجموعه‌ای: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$

تشخیص گویا/گنگ: اعشار متناهی یا متناوب گویاست؛ اعشار نامتناوبِ نامتناهی گنگ است. $\sqrt{n}$ گنگ است مگر $n$ مربع کامل باشد.

بازه‌ها: برای $a<b$: بسته $[a,b]$، باز $(a,b)$، نیم‌باز $[a,b)$ و $(a,b]$، و بازه‌های نامتناهی مثل $(a,+\infty)$ که چون $\infty$ عدد نیست همیشه با پرانتز باز می‌آید. طول بازه فقط به دو سر آن بستگی دارد، نه باز/بسته بودن: $\text{طول بازه} = b-a$.

مثال اجتماع و اشتراک: برای $A=(-1,4]$ و $B=(2,+\infty)$: $A\cup B=(-1,+\infty)$ و $A\cap B=(2,4]$ — روش حل، رسم بازه‌ها روی محور اعداد و خواندن ناحیهٔ موردنظر است.

متمم مجموعه

اگر $U$ مرجع و $A \subseteq U$: $A' = U-A = \{x \in U \mid x \notin A\}$، با $(A')'=A$ و $A\cup A'=U$, $A\cap A'=\emptyset$.

قوانین دمورگان:

متمم بازه: کران بسته به باز و کران باز به بسته تبدیل می‌شود؛ مثلاً متمم $[a,b]$ برابر $(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$ است.

همچنین رابطهٔ مهم: $A \subseteq B \Leftrightarrow B' \subseteq A'$.

مجموعهٔ متناهی تعداد عضو محدود (عدد حسابی) دارد؛ نامتناهی از هر عدد طبیعی بزرگ‌تر است. اگر $A$ زیرمجموعهٔ نامتناهی داشته باشد، خودش نامتناهی است. بین هر دو عدد حقیقی متمایز، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد.

تعداد اعضای اجتماع

و برای مجموعه‌های مجزا: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$.

روش نمودار ون (مثال کامل): در کلاسی ۲۵نفره، ۱۵نفر فوتبال و ۱۱نفر بسکتبال بازی می‌کنند و ۵نفر عضو هیچ تیمی نیستند. پس $n(F\cup B)=25-5=20$ و از فرمول $20=15+11-n(F\cap B)$ نتیجه می‌شود $n(F\cap B)=6$.

الگو و دنباله

دنباله چند عدد پشت‌سرهم به‌صورت $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ است. در الگوی خطی، اختلاف جمله‌های متوالی ثابت است و جملهٔ عمومی به‌فرم $a_n=an+b$ است — دقیقاً معادلهٔ خط $y=ax+b$ با $n$ به‌جای $x$؛ عدد $a$ هم شیب خط است و هم اختلاف جملات متوالی. اگر اختلافِ مرتبهٔ اول ثابت نبود، الگو غیرخطی است و درجهٔ آن برابر همان مرتبه‌ای است که اختلافش ثابت می‌شود (مثلاً اختلاف مرتبهٔ دوم ثابت یعنی الگوی درجهٔ ۲).

دنبالهٔ حسابی

دنباله‌ای که هر جمله (جز اول) از جمعِ جملهٔ قبل با عدد ثابت $d$ (قدرنسبت) به دست می‌آید: $a_{n+1}=a_n+d$، با جملهٔ عمومی:

خواص کلیدی: رابطهٔ بین جملات $a_m-a_n=(m-n)d$؛ اگر $a,b,c$ حسابی باشند $2b=a+c$ (میانگین حسابی)؛ و اگر $m+n=p+q$ آنگاه $a_m+a_n=a_p+a_q$ (جملات متماثل).

مجموع $n$ جملهٔ اول (اثبات با روش گاوس — جمع از دو سر):

مثال مشهور: $1+2+\cdots+100=\dfrac{100\times101}{2}=5050$.

واسطهٔ حسابی: برای گذاشتن $k$ واسطه بین $a$ و $b$: $d=\dfrac{b-a}{k+1}$. مثال: بین ۱۸ و ۶۲ با سه واسطه، $d=\frac{44}{4}=11$ و دنباله $18,29,40,51,62$ می‌شود.

دنبالهٔ هندسی

دنباله‌ای که نسبتِ هر جمله به جملهٔ قبل ثابت و غیرصفر است ($r$، قدرنسبت): $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$، با جملهٔ عمومی:

خواص: اگر $a,b,c$ هندسی باشند $b^2=ac$ (میانگین هندسی)؛ و $\dfrac{a_m}{a_n}=r^{m-n}$.

مجموع $n$ جملهٔ اول ($r\neq1$): $S_n = a_1\cdot\dfrac{r^n-1}{r-1}$، و برای $|r|<1$ سرِی نامتناهی به $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}$ می‌رسد (مثال: $1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$).

واسطهٔ هندسی بین $a$ و $b$ (هم‌علامت)، برخلاف واسطهٔ حسابی که یکتاست، دو مقدار دارد: $m=\pm\sqrt{ab}$.

جدول مقایسه

نکتهٔ کنکوری: دنباله‌ای که هم حسابی و هم هندسی باشد، حتماً ثابت است ($d=0$ و $r=1$، پس همهٔ جملات برابرند).