قضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) طبقِ عکسِ قضیهٔ تالس، $DE\parallel BC$ اگر و فقط اگر $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ باشد. این‌جا $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac34=0.75$ و $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac67\approx0.857$؛ چون این دو نسبت با هم برابر نیستند، $DE$ موازیِ $BC$ نیست؛ دقیقاً «$DE \nparallel BC$». (ب) گزینهٔ «$DE \parallel BC$» عکسِ پاسخِ درست است (نقضِ مستقیمِ محاسبه)؛ گزینه‌های «فقط اگر $AD=AE$» و «فقط اگر $DB=EC$» شرط‌هایی نامرتبط‌اند که هیچ‌کدام معیارِ واقعیِ موازی‌بودن (که همان برابریِ دو نسبت است) را بیان نمی‌کنند. (ج) تلهٔ تستی: نزدیک‌بودنِ عددیِ $0.75$ و $0.857$ ممکن است القا کند که «تقریباً برابرند، پس موازی است» — اما در هندسه هیچ تقریبی وجود ندارد؛ دو نسبت باید دقیقاً برابر باشند، نه صرفاً نزدیک.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) بگذارید $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac13$. مثلث را به چهار تکه می‌شکنیم و مساحتِ هر تکه را با $S=S_{ABC}$ می‌سنجیم: • $\triangle ADE$: چون $DE\parallel BC$، این مثلث با $ABC$ متشابه است با نسبتِ $k$، پس $S_{ADE}=k^2S$. • $\triangle BDF$: چون $DF\parallel AC$، این مثلث با $BAC$ متشابه است با نسبتِ $\dfrac{BD}{BA}=1-k$، پس $S_{BDF}=(1-k)^2S$ (و از همین تشابه $BF=(1-k)BC$، یعنی $F$ به نسبتِ $1-k$ از سمتِ $B$ روی $BC$ قرار می‌گیرد — نه به نسبتِ $k$). • $\triangle CEF$: با $\dfrac{CE}{CA}=1-k$ و $\dfrac{CF}{CB}=k$ و زاویهٔ مشترکِ $C$: $S_{CEF}=k(1-k)S$. پس $S_{DEF}=S-k^2S-(1-k)^2S-k(1-k)S=S\left[1-k^2-(1-2k+k^2)-(k-k^2)\right]=S\,(k-k^2)=k(1-k)\,S$. با $k=\dfrac13$: $k(1-k)=\dfrac13\times\dfrac23=\frac{2}{9}$؛ دقیقاً «$\frac{2}{9}$». وارسیِ مستقلِ مختصاتی: $A(0,0)$، $B(1,0)$، $C(0,1)$ بگیرید (که $S=\frac12$). آنگاه $D(k,0)$، $E(0,k)$ (تقاطعِ خطِ گذرنده از $D$ موازیِ $BC$ با $AC$) و $F(k,1-k)$ (تقاطعِ خطِ قائمِ گذرنده از $D$، موازیِ $AC$، با $BC$). مساحتِ $DEF$ با فرمولِ دترمینان برابرِ $\frac12k(1-k)$ است و تقسیمش بر $S=\frac12$ دقیقاً $k(1-k)$ می‌دهد ✓ (ب) «$\frac19$» همان $k^2$ است، یعنی مساحتِ $ADE$ به‌تنهایی. «$\frac13$» خودِ $k$ است (نسبتِ طولی، نه مساحتی) و «$\frac49$» برابرِ $(1-k)^2$، یعنی مساحتِ $BDF$؛ هیچ‌کدام مساحتِ $DEF$ نیست. (ج) تلهٔ تستی: مساحتِ $DEF$ را با مساحتِ $ADE$ (که $k^2S$ است) اشتباه نگیرید — این دو مثلثِ متفاوت‌اند. ضمناً تابعِ $k(1-k)$ در $k=\frac12$ بیشینه می‌شود و در دو سرِ بازه به صفر میل می‌کند، در حالی‌که $k^2$ رفتارِ کاملاً متفاوتی دارد؛ همین تفاوتِ رفتار، بهترین راهِ تشخیصِ خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) خطِ کمکی: از $D$ خطی موازیِ $BE$ رسم می‌کنیم که $AC$ را در $M$ قطع کند. گامِ ۱ — در مثلثِ $BEC$: $D$ وسطِ $BC$ است و $DM\parallel BE$، پس طبقِ قضیهٔ تالس $M$ وسطِ $EC$ می‌شود، یعنی $EM=MC$. چون $AE:EC=1:2$، اگر $AC=3t$ بگیریم: $AE=t$ و $EC=2t$، پس $EM=MC=t$. نتیجه: $AE=EM=t$، یعنی $E$ وسطِ $AM$ است. گامِ ۲ — در مثلثِ $ADM$: $EF$ (که همان امتدادِ $BE$ است) موازیِ $DM$ است و $E$ وسطِ $AM$؛ پس طبقِ قضیهٔ تالس $F$ وسطِ $AD$ است. گامِ ۳ — محاسبهٔ مساحت: چون $F$ وسطِ $AD$ است، $\dfrac{S_{ABF}}{S_{ABD}}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac12$ (دو مثلث ارتفاعِ مشترک از $B$ دارند). و چون $D$ وسطِ $BC$ است، $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac12$. پس $\dfrac{S_{ABF}}{S_{ABC}}=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$؛ دقیقاً «$\frac{1}{4}$». وارسیِ مستقلِ مختصاتی: $A(0,0)$، $B(1,0)$، $C(0,1)$ بگیرید. آنگاه $D\left(\frac12,\frac12\right)$ و $E\left(0,\frac13\right)$. خطِ $AD$ همان $y=x$ است و خطِ $BE$ به‌صورتِ $(1-t,\frac t3)$ پارامتری می‌شود؛ از $\frac t3=1-t$ نتیجه می‌شود $t=\frac34$ و $F\left(\frac14,\frac14\right)$. مساحتِ $ABF=\frac12\times1\times\frac14=\frac18$ و مساحتِ $ABC=\frac12$؛ نسبت $=\frac14$ ✓ (و راستی‌آزمایی: $F$ وسطِ $AD$ است، چون $\frac14$ نصفِ $\frac12$ است ✓). (ب) «$\frac13$» نسبتِ مربوط به مرکزِ ثقل است، یعنی حالتی که **هر دو** خط میانه باشند؛ این‌جا $BE$ میانه نیست. «$\frac15$» و «$\frac25$» از فرضِ نادرستِ $AF:FD=1:4$ یا $2:3$ می‌آیند، در حالی‌که محاسبه نشان می‌دهد $F$ دقیقاً وسطِ $AD$ است. (ج) تلهٔ تستی: دیدنِ «$D$ وسطِ $BC$» ذهن را به سمتِ مرکزِ ثقل و نسبتِ آشنایِ $\frac13$ می‌برد؛ اما مرکزِ ثقل وقتی ساخته می‌شود که هر دو پاره‌خط میانه باشند. با $AE:EC=1:2$ (به‌جایِ $1:1$) آن نسبت دیگر معتبر نیست و باید از نو محاسبه کرد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) نوکِ میله دقیقاً بالای ساختمان را می‌پوشاند، یعنی چشمِ ناظر، نوکِ میله و بالایِ ساختمان روی **یک خطِ راست** (خطِ دید) قرارند. اگر از چشم خطِ افقی رسم کنیم، دو مثلثِ قائم‌الزاویه ساخته می‌شود که زاویهٔ رأسِ مشترکشان (در چشم) یکی است و هر دو قائمه دارند، پس به حالتِ ز-ز متشابه‌اند: مثلثِ کوچک: ساقِ افقی $4$ و ساقِ قائم $2.5-1.6=0.9$ (بالاآمدگیِ نوکِ میله نسبت به خطِ چشم). مثلثِ بزرگ: ساقِ افقی $20$ و ساقِ قائم $H-1.6$. از تناسب: $\dfrac{H-1.6}{20}=\dfrac{0.9}{4}=0.225\Rightarrow H-1.6=4.5\Rightarrow H=6.1$؛ دقیقاً «$6.1\,\text{m}$». وارسیِ مستقل (معادلهٔ خط): چشم را در مبدأ $(0,0)$ بگذارید و زمین را در ارتفاعِ $-1.6$. نوکِ میله در $(4,\,0.9)$ است، پس شیبِ خطِ دید $\frac{0.9}{4}=0.225$ و معادله‌اش $y=0.225x$. در $x=20$ داریم $y=4.5$؛ ارتفاع نسبت به زمین $=4.5+1.6=6.1$ ✓ (ب) اگر کسی قدِ چشم را کم نکند و مستقیم $\frac{H}{20}=\frac{2.5}{4}$ بنویسد به $H=12.5$ می‌رسد که اصلاً در گزینه‌ها نیست. «$5.5$» از کم‌کردنِ نادرستِ $0.6$ به‌جایِ $1.6$، «$6.5$» از گردکردنِ $0.225$ به $0.245$ و «$7.0$» از افزودنِ کلِ $2.5$ به‌جایِ $1.6$ ساخته شده‌اند؛ هیچ‌کدام با تناسبِ درست جور درنمی‌آید. (ج) تلهٔ تستی: مقایسه باید بینِ «اختلافِ ارتفاع نسبت به خطِ چشم» انجام شود، نه ارتفاعِ کامل از زمین. نکتهٔ کلیدی این است که این‌جا موازی‌بودنِ پرتوهای خورشید مطرح نیست (آن مالِ مسائلِ سایه است) — این‌جا یک خطِ دیدِ واحد داریم که از چشم می‌گذرد و تشابه از همان می‌آید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) مساحتِ $\triangle ABC=\dfrac12\times6\times8=24$. نسبتِ مساحتِ $BDE$ به $ABC$: $\dfrac{6}{24}=\dfrac14$. چون $DE\parallel AC$ (با $D$ روی $AB$، $E$ روی $BC$)، مثلثِ $BDE\sim BAC$ با نسبتِ تشابهِ $k=\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12$؛ پس $BD=k\times BA=\dfrac12\times6=3$؛ دقیقاً «$3$». (ب) گزینه‌های دیگر از فراموشیِ جذرگرفتن از نسبتِ مساحت (و استفادهٔ مستقیمِ $\frac14\times6=1.5$-گونه، یا اعدادِ نزدیک) ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: نسبتِ مساحتِ دو مثلثِ متشابه برابرِ **مجذورِ** نسبتِ تشابه است؛ برایِ رسیدن از نسبتِ مساحت ($\frac14$) به نسبتِ طول ($BD/BA$)، حتماً باید جذر گرفت — فراموشیِ این جذرگیری رایج‌ترین خطا در این سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) طبقِ قضیهٔ نیمسازِ داخلی، $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$؛ با $BC=12$: $BD=4.5$، $DC=7.5$. چون $DE\parallel AB$ با $D$ روی $BC$ و $E$ روی $AC$، طبقِ قضیهٔ تالس در مثلثِ $ABC$ (با رأسِ $C$): $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{AB}\Rightarrow\dfrac{7.5}{12}=\dfrac{DE}{6}\Rightarrow DE=6\times\dfrac{7.5}{12}=3.75$؛ دقیقاً «$3.75$». (ب) گزینه‌های دیگر از خطا در محاسبهٔ $BD,DC$ از قضیهٔ نیمساز یا از استفادهٔ نادرستِ نسبتِ $BD$ به‌جایِ $DC$ در قضیهٔ تالس ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: این سؤال دو ابزارِ متفاوت را زنجیره‌ای ترکیب می‌کند — اول قضیهٔ نیمساز برایِ یافتنِ $DC$، سپس قضیهٔ تالس برایِ یافتنِ $DE$؛ نسبتِ تالس باید با $DC$ (ضلعِ مجاورِ رأسِ $C$ که $E$ به آن نزدیک‌تر است) نوشته شود، نه با $BD$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) برایِ مماسِ مشترکِ خارجیِ دو دایره، طولِ پاره‌خطِ واصلِ دو نقطهٔ تماس از رابطهٔ $\ell=\sqrt{d^2-(r_2-r_1)^2}$ به‌دست می‌آید (با رسمِ خطی از $O_1$ موازیِ $l$ تا $O_2$، مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای با وترِ $d=O_1O_2$ و یک ساقِ $r_2-r_1$ ساخته می‌شود که ساقِ دیگرش دقیقاً $\ell$ است). با $d=13$، $r_2-r_1=9-4=5$: $\ell=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}$؛ دقیقاً «$\sqrt{144}$» (که برابرِ $12$ است). (ب) گزینه‌های دیگر از استفادهٔ نادرستِ مجموعِ شعاع‌ها ($9+4=13$، به‌جایِ تفاضل) یا از خطای محاسباتی در تفریقِ مربع‌ها ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: برایِ مماسِ مشترکِ **خارجی** باید از تفاضلِ شعاع‌ها استفاده کرد ($r_2-r_1$)، نه مجموعشان؛ فرمولِ مجموعِ شعاع‌ها مخصوصِ مماسِ مشترکِ **داخلی** است — خلطِ این دو حالت رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) با نسبتِ تشابهِ $k=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac32$، نسبتِ مساحت $\dfrac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2=\dfrac94$. با $S_{ABC}+S_{DEF}=52$ و $S_{ABC}=\dfrac94S_{DEF}$: $\dfrac94S_{DEF}+S_{DEF}=52\Rightarrow\dfrac{13}{4}S_{DEF}=52\Rightarrow S_{DEF}=16\Rightarrow S_{ABC}=36$؛ دقیقاً «$36$». (ب) گزینهٔ «$27$» از استفادهٔ نادرستِ $k$ به‌جایِ $k^2$ می‌آید؛ «$40$» و «$45$» از تقسیمِ نادرستِ $52$ ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: محیطِ $24$ در این سؤال کاملاً بی‌ربط و برایِ منحرف‌کردن آمده — نسبتِ اضلاع ($\frac32$) که مستقیم داده شده، همراهِ مجموعِ مساحت، برایِ حلِ کاملِ سؤال کافی است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) این دایره دایرهٔ محاطیِ مثلث نیست (که هر سه ضلع را لمس می‌کند)، بلکه فقط بر دو ضلعِ زاویهٔ قائمه ($AB$ و $AC$) مماس است و مرکزش $O$ روی وترِ $BC$ قرار دارد. با تقسیمِ مثلث به دو مثلثِ $AOB$ و $AOC$ (که هر دو ارتفاعشان نسبت به $AB$ و $AC$ برابرِ $r$ است): $S_{ABC}=\frac12r\cdot AB+\frac12r\cdot AC=\frac12r(AB+AC)$. از طرفی $S_{ABC}=\frac12\times3\times4=6$. پس $\frac12r(3+4)=6\Rightarrow r=\dfrac{12}{7}$؛ دقیقاً «$\frac{12}{7}$». (ب) گزینه‌های دیگر از خطای محاسباتی در تقسیمِ $12$ بر عددی غیر از $7$ ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: این شعاع را با شعاعِ دایرهٔ محاطیِ مثلث ($r=\frac{AB+AC-BC}{2}=1$ برایِ این مثلثِ خاص) اشتباه نگیرید — آن دایره هر سه ضلع را لمس می‌کند، این دایره فقط دو ضلعِ زاویهٔ قائمه را.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

(الف) چون $AD$ و $BE$ هر دو میانه‌اند، نقطهٔ $G$ مرکزِ ثقلِ (باریسنترِ) مثلث است. میانه‌ها مثلث را به شش مثلثِ هم‌مساحت تقسیم می‌کنند، و $\triangle ABG$ دقیقاً از دو تای این شش قطعه تشکیل شده، یعنی $S_{\triangle ABG}=\dfrac13S_{\triangle ABC}$. با $S_{\triangle ABG}=4$: $S_{\triangle ABC}=3\times4=12$؛ دقیقاً «$12$». (ب) گزینه‌های دیگر از فرضِ نادرستِ نسبت‌هایِ دیگر (مثلاً $\frac14$ یا $\frac16$ به‌جایِ $\frac13$) برایِ سهمِ $\triangle ABG$ ساخته شده‌اند. (ج) تلهٔ تستی: این نسبتِ $\frac13$ فقط وقتی برقرار است که **هر دو** خط واقعاً میانه باشند (یعنی $D$ وسطِ $BC$ و $E$ وسطِ $AC$)؛ اگر یکی از آن‌ها میانه نبود (مثلِ سؤالِ مشابهی با تقسیمِ نابرابر)، این نسبتِ ساده دیگر صادق نیست و باید از نو محاسبه شود.