قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هندسه ۱)

هندسه و قدرت تناسب

تالس ملطی در قرن ششم پیش از میلاد ارتفاع اهرام مصر را با اندازه‌گیری سایه حساب کرد — بدون نردبان، بدون بالا رفتن. ایده‌اش ساده بود: شکل‌هایی که زوایای یکسان دارند، ضلع‌هایشان متناسب است. همین اصل پایهٔ نقشه‌کشی، عکاسی، معماری و حتی شبیه‌سازی کامپیوتری است.

نسبت و تناسب

تناسب یعنی تساوی دو نسبت، و پرکاربردترین ابزارش خاصیت طرفین‌وسطین است:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc

خواص جبری پرکاربرد: اگر $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه معکوس‌ها ( $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، تعویض طرفین ( $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ترکیب ( $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، تفضیل ( $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و ترکیب در مخرج ( $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) برقرارند. آخری در اثبات‌های تالس بیش از همه به کار می‌آید.

تعمیم مهم: اگر چند نسبت با هم برابر باشند، نسبتِ مجموع صورت‌ها به مجموع مخرج‌ها هم همان مقدار است:

\frac{a_1}{b_1} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} = \frac{\sum a_i}{\sum b_i}

نسبت مساحت با ارتفاع مشترک

قضیه: دو مثلث با ارتفاع مشترک، نسبت مساحت‌هایشان برابر نسبت قاعده‌هایشان است.

این قضیهٔ به‌ظاهر ساده، کلید اثبات خودِ قضیهٔ تالس است.

واسطهٔ هندسی

$b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین واسطهٔ هندسی بین $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است اگر $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی $b^2 = ac$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکتهٔ ظریف: واسطهٔ هندسی همیشه از میانگین حسابی کوچک‌تر یا مساوی است: $\sqrt{ac} \leq \frac{a+c}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و تساوی فقط وقتی $a=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رخ می‌دهد.

قضیهٔ تالس

قضیه: در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اگر $DE \parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ( $D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AB$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی $AC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، آنگاه
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

ایدهٔ اثبات: نسبت هر دو طرف را به‌صورت نسبت مساحت بنویس. چون $DE \parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، دو مثلث $DBE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $DEC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قاعدهٔ مشترک $DE$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع‌های مساوی (فاصلهٔ دو خط موازی) دارند، پس مساحتشان برابر است — و همین تساوی دو نسبت را یکی می‌کند.

تعمیم:

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}

عکس قضیه: اگر $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه $DE \parallel BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اثباتش با برهان خلف است و در تشخیص موازی‌بودن بسیار کاربرد دارد.

تالس در ذوزنقه: در ذوزنقهٔ $ABCD$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با $AB \parallel DC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، قطرها در $O$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همدیگر را قطع می‌کنند و

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{DC}

تشابه مثلث‌ها

دو مثلث متشابه‌اند اگر زوایای متناظرشان برابر و اضلاع متناظرشان متناسب باشند. ضریب تناسب را نسبت تشابه $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌نامیم.

وقتی $k=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، تشابه به همنهشتی تبدیل می‌شود. تفاوت بنیادی این دو: همنهشتی یعنی شکل و اندازهٔ یکسان، ولی تشابه فقط شکل یکسان.

هشدار: ترتیب رأس‌ها در نماد تشابه معنا دارد. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی $A \leftrightarrow D$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $B \leftrightarrow E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $C \leftrightarrow F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

سه شرط کافی

۱. ز-ز: برابری دو زاویه کافی است. چرا؟ چون مجموع زوایای مثلث $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و دو زاویه، سومی را هم تعیین می‌کند.

۲. ض-ز-ض: تناسب دو ضلع به‌همراه برابری زاویهٔ بین آن دو.

۳. ض-ض-ض: تناسب هر سه ضلع.

اثبات هر سه از یک الگوی واحد پیروی می‌کند: روی اضلاع مثلث بزرگ‌تر پاره‌خطی هم‌اندازهٔ مثلث کوچک‌تر جدا می‌کنیم، با یکی از حالات همنهشتی آن دو را یکی می‌کنیم، و بعد با عکس تالس نشان می‌دهیم خطِ حاصل موازی ضلع سوم است.

روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه

با نمادگذاری $BC=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (وتر)، $AB=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $AC=b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ارتفاع $AH=h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و $BH=m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $HC=n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

قضیهٔ کلیدی: ارتفاع وارد بر وتر، سه مثلث متشابه می‌سازد:
$\triangle ABH \sim \triangle CAH \sim \triangle CBA$

از همین تشابه، پنج رابطهٔ طلایی بیرون می‌آید:

\boxed{a^2 = b^2 + c^2} \qquad \boxed{c^2 = a \cdot m} \qquad \boxed{b^2 = a \cdot n}

\boxed{h^2 = m \cdot n} \qquad \boxed{h \cdot a = b \cdot c}

رابطهٔ چهارم می‌گوید ارتفاع، واسطهٔ هندسی دو پارهٔ وتر است — همان مفهومی که در ابتدای فصل تعریف شد. رابطهٔ پنجم هم از دو راه محاسبهٔ مساحت به دست می‌آید.

اعداد فیثاغورسی

سه عدد طبیعی $(a,b,c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $a^2+b^2=c^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. فرمول کلی تولیدشان:

a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2 \qquad (m > n > 0,\ \gcd(m,n)=1)

که سه‌تایی‌های آشنای $(3,4,5)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(5,12,13)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $(8,15,17)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $(7,24,25)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را می‌سازد. هر مضربی از یک سه‌تایی فیثاغورسی هم فیثاغورسی است.

نسبت اجزاء در مثلث‌های متشابه

اگر $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با نسبت تشابه $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

جزء	نسبت
اضلاع، ارتفاع‌ها، میانه‌ها، نیمسازها	$k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
شعاع دایرهٔ محیطی و محاطی	$k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
محیط	$k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مساحت	$k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چرا مساحت $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؟ چون $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و هر دو ضلع در $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضرب می‌شوند:

S' = \frac{1}{2}(ka)(kb)\sin C = k^2 S

همین نتیجه برای هر دو چندضلعی متشابه هم برقرار است، نه فقط مثلث.

درسنامهٔ کامل علاوه بر این‌ها اثبات کامل هر سه شرط تشابه، ده‌ها مثال حل‌شدهٔ گام‌به‌گام (از یافتن ضلع مجهول با تالس تا محاسبهٔ ارتفاع برج از روی سایه)، و بخش پیشرفتهٔ تشابه در هندسهٔ مختصاتی با تبدیل هومتتی مختلط را پوشش می‌دهد.