پرش به محتوای اصلی

توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

فصل سوم: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

ریشهٔ nnام

اگر n≥2n\ge2 طبیعی باشد، bb را ریشهٔ nnاُم aa می‌نامیم هرگاه bn=ab^n=a، یعنی bn=a  ⟺  an=bb^n=a\iff\sqrt[n]{a}=b.

وجود و تعداد ریشه:

شرط تعداد ریشه
a>0a>0، nn زوج دو ریشه: ±an\pm\sqrt[n]{a}
a>0a>0، nn فرد یک ریشهٔ مثبت
a<0a<0، nn زوج وجود ندارد
a<0a<0، nn فرد یک ریشهٔ منفی

قرارداد نماد رادیکال: وقتی nn زوج است، an≥0\sqrt[n]{a}\ge0 همیشه ریشهٔ مثبت را نشان می‌دهد؛ مثلاً 6254=5\sqrt[4]{625}=5 (نه −5-5).

قوانین ریشه‌ها: an×bn=abn\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} (برای nn زوج باید a,b≥0a,b\ge0)، anbn=a/bn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{a/b}، (an)m=amn(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}، و anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}.

قضیهٔ مهم:

ann={∣a∣n زوجan فرد\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a| & n \text{ زوج} \\ a & n \text{ فرد} \end{cases}

خطای رایج: x2=x\sqrt{x^2}=x غلط است؛ درست: x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|.

جایگاه ریشه‌ها روی محور اعداد: برای تقریب 253\sqrt[3]{25}، بین دو عدد صحیح متوالی محصورش می‌کنیم: 23=8<25<27=33⇒2<253<32^3=8<25<27=3^3\Rightarrow2<\sqrt[3]{25}<3؛ با دقت بیشتر 2.93=24.389<25⇒253≈2.922.9^3=24.389<25\Rightarrow\sqrt[3]{25}\approx2.92. این عدد گنگ است (اعشار نامتناوب نامتناهی).

توان‌های گویا

برای a>0a>0 و n≥2n\ge2 طبیعی: a1/n=an\boxed{a^{1/n}=\sqrt[n]{a}} — چون می‌خواهیم a1/2×a1/2=aa^{1/2}\times a^{1/2}=a برقرار بماند.

برای m,nm,n طبیعی: am/n=amn=(an)m\boxed{a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m}. مثال: 82/3=(83)2=48^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4، 163/4=(164)3=816^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=8.

توان منفی: a−m/n=1amna^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}؛ مثال: 16−1/4=1216^{-1/4}=\dfrac{1}{2}.

قوانین توان‌های گویا (برای a,b>0a,b>0، r,s∈Qr,s\in\mathbb{Q}):

ar×as=ar+saras=ar−s(ar)s=ars(ab)r=arbr\boxed{a^r\times a^s=a^{r+s}} \quad \boxed{\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}} \quad \boxed{(a^r)^s=a^{rs}} \quad \boxed{(ab)^r=a^r b^r}

مقایسه: برای a>1a>1، r<s⇒ar<asr<s\Rightarrow a^r<a^s؛ برای 0<a<10<a<1 برعکس. مثال کنکوری: 20.32^{0.3} با 30.23^{0.2} — با مخرج مشترک ۱۰، 20.3=8102^{0.3}=\sqrt[10]{8} و 30.2=9103^{0.2}=\sqrt[10]{9}، پس 20.3<30.22^{0.3}<3^{0.2}.

ساده‌سازی رادیکال: 543=27×23=323\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]2؛ و برای مقایسهٔ ریشه‌های با شاخص متفاوت، هر دو را با توان کسری به مخرج مشترک می‌بریم: 53=62512\sqrt[3]5=\sqrt[12]{625} و 74=34312\sqrt[4]7=\sqrt[12]{343}، پس 53>74\sqrt[3]5>\sqrt[4]7.

عبارت‌های جبری — اتحادها و تجزیه

اتحادهای پایه:

(a±b)2=a2±2ab+b2(a+b)(a−b)=a2−b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2

مکعب مجموع و تفاضل (با بسط (a+b)2(a+b)(a+b)^2(a+b)):

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\boxed{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3} \qquad \boxed{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}

مجموع و تفاضل مکعب‌ها (مهم‌ترین اتحاد فصل، با اثبات مستقیم ضرب):

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)} \qquad \boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}

نکته: جملهٔ میانی a2∓ab+b2a^2\mp ab+b^2 اتحاد مربع نیست چون ضریب abab برابر ∓1\mp1 است نه ∓2\mp2. مثال تجزیه: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9)8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9).

تجزیهٔ کلی an−bna^n-b^n (فراتر از کتاب): برای هر nn: an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})؛ برای nn فرد، an+bna^n+b^n هم به همین‌شکل تجزیه می‌شود؛ برای nn زوج، an+bna^n+b^n در اعداد حقیقی تجزیه ندارد.

عبارت‌های گویا: به‌فرم P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)} با شرط Q(x)≠0Q(x)\neq0؛ ساده‌سازی با فاکتورگیری از صورت و مخرج، مثل x2−4x−2=x+2\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2 (x≠2x\neq2). جمع/تفریق کسرهای جبری هم با مخرج مشترک انجام می‌شود: 1x−1+2x+1+3x2−1=3x+2x2−1\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x^2-1}=\dfrac{3x+2}{x^2-1}.

مثلث خیام (فراتر از کتاب): ضرایب بسط (a+b)n(a+b)^n از رابطهٔ (nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} به‌دست می‌آیند؛ برای n=4n=4: ضرایب 1,4,6,4,11,4,6,4,1 یعنی (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4. فرم کلی: (a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.

گویا کردن مخرج

رادیکال ساده: ضرب در خودِ رادیکال، مثل 23=233\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.

مخرج دوجمله‌ای با رادیکال: ضرب در عبارت مزدوج، چون (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b. مثال کامل: 23+5=2(3−5)3−5=5−3\dfrac{2}{\sqrt3+\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5}=\sqrt5-\sqrt3.

مخرج با ریشهٔ سوم (اتحاد مکعب): (a3−b3)(a23+ab3+b23)=a−b(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b. مثال: 123−1=43+23+1\dfrac{1}{\sqrt[3]2-1}=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1.

نکات کنکوری تکمیلی

خطاهای رایج: a2+b2≠a+b\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b و a+b≠a+b\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b. تکنیک محاسبهٔ سریع با اتحادها: 99×101=(100−1)(100+1)=999999\times101=(100-1)(100+1)=9999 و 1052=(100+5)2=11025105^2=(100+5)^2=11025. شرط تعریف: برای f(x)n\sqrt[n]{f(x)} با nn زوج باید f(x)≥0f(x)\ge0. سه‌تایی‌های فیثاغورسی مهم: 32+42=523^2+4^2=5^2, 52+122=1325^2+12^2=13^2؛ فرمول کلی برای m>n>0m>n>0: a=m2−n2, b=2mn, c=m2+n2a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2.

هم‌ارزی رادیکال‌ها: با تبدیل به توان کسری و ساده‌کردن کسر می‌توان شاخص رادیکال را عوض کرد: a46=a4/6=a2/3=a23\sqrt[6]{a^4}=a^{4/6}=a^{2/3}=\sqrt[3]{a^2}، و a3=a6\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}.

توان جادویی (کاربرد رشد نمایی): (1.01)365≈37.8(1.01)^{365}\approx37.8 — یعنی رشد مرکب ۱٪ روزانه در یک سال حدود ۳۸ برابر می‌شود.

خلاصهٔ فرمول‌های کلیدی:

an=a1/n (a>0)am/n=amn=(an)m\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\ (a>0) \qquad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر 23<k<332^3<k<3^3، کدام نتیجه درست است؟

  • 2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3
  • 2<k2<32<\sqrt[2]{k}<3
  • 2<k4<32<\sqrt[4]{k}<3
  • 8<k3<278<\sqrt[3]{k}<27

پاسخنامه‌ی تحلیلی

تابع ریشهٔ سوم صعودی است. از 8<k<278<k<27 نتیجه می‌گیریم «2<k3<32<\sqrt[3]{k}<3». سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

2. اگر x=253x=\sqrt[3]{25}، کدام گزاره صحیح است؟

  • xx عددی گویاست
  • 2<x<32<x<3
  • 3<x<43<x<4
  • 1<x<21<x<2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2<x<32<x<3» درست است. چون 23=8<25<27=332^3=8<25<27=3^3، پس 2<253<32<\sqrt[3]{25}<3. این عدد نیز گنگ است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

3. اگر x=23−1x=\sqrt[3]{2}-1، مقدار 1x\dfrac{1}{x} کدام است؟

  • 1−231-\sqrt[3]{2}
  • 23+1\sqrt[3]{2}+1
  • 43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1
  • 43−23+1\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«43+23+1\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1» درست است. برای گویا کردن مخرج از اتحاد تفاضل مکعب استفاده می‌کنیم: 123−1=43+23+12−1\dfrac1{\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

4. اگر a3−b3=56a^3-b^3=56 و a−b=2a-b=2، مقدار a2+ab+b2a^2+ab+b^2 برابر است با

  • 3030
  • 5454
  • 1414
  • 2828

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) داریم 56=2(a2+ab+b2)56=2(a^2+ab+b^2)؛ پس مقدار خواسته‌شده «2828» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2 یا a3+b3a^3+b^3 از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2ab یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b) استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

5. اگر a3+b3=80a^3+b^3=80 و a+b=4a+b=4، مقدار a2−ab+b2a^2-ab+b^2 کدام است؟

  • 2020
  • 2424
  • 1616
  • 1818

پاسخنامه‌ی تحلیلی

از اتحاد مجموع مکعب‌ها: 80=(a+b)(a2−ab+b2)=4(a2−ab+b2)80=(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)، پس مقدار برابر «2020» است. سایرِ گزینه‌ها از فراموش‌کردنِ یکی از جمله‌هایِ اتحادِ به‌کاررفته ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در محاسبهٔ عباراتی مانندِ a2+b2a^2+b^2 یا a3+b3a^3+b^3 از رویِ مجموع و حاصل‌ضرب، باید از اتحادهایِ (a+b)2−2ab(a+b)^2-2ab یا (a+b)3−3ab(a+b)(a+b)^3-3ab(a+b) استفاده کرد، نه جمعِ سادهٔ مربع‌ها یا مکعب‌ها.

6. عبارت x2+1x−3\dfrac{x^2+1}{x-3} در کدام مقدار تعریف نشده است؟

  • x=1x=1
  • x=3x=3
  • x=−3x=-3
  • x=0x=0

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در عبارت گویا فقط باید مخرج صفر نشود. چون x−3=0x-3=0 در «x=3x=3»، عبارت در آن نقطه تعریف‌نشده است. سایرِ گزینه‌ها یکی از دو شرطِ لازم (رادیکال یا مخرج) را ناقص یا نادرست بیان می‌کنند. تلهٔ تستی: ریشهٔ زوجِ یک عددِ منفی در مجموعهٔ اعدادِ حقیقی هرگز تعریف نمی‌شود؛ این را با ریشهٔ فردِ عددِ منفی (که کاملاً تعریف‌شده و منفی است) اشتباه نگیرید.

7. دامنهٔ عبارت x−2x2−9\dfrac{\sqrt{x-2}}{x^2-9} کدام است؟

  • x≥2x\ge2 و x≠9x\ne9
  • x>2x>2 و x≠±3x\ne\pm3
  • x≥2x\ge2 و x≠±3x\ne\pm3
  • x≥2x\ge2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«x≥2x\ge2 و x≠±3x\ne\pm3» درست است. گام‌به‌گام: برای تعریف باید هم‌زمان x−2≥0x-2\ge0 (شرطِ رادیکالِ زوج) یعنی x≥2x\ge2، و x2−9≠0x^2-9\ne0 (شرطِ مخرج) یعنی x≠3x\ne3 و x≠−3x\ne-3 برقرار باشد. وارسیِ مستقل (بررسیِ مرزها): در x=2x=2 داریم 04−9=0−5=0\dfrac{\sqrt0}{4-9}=\dfrac{0}{-5}=0 که کاملاً تعریف‌شده است، پس x=2x=2 باید در دامنه بماند؛ در x=3x=3 مخرج صفر می‌شود ✓. ردِ گزینه‌ها: «x≥2x\ge2» به‌تنهایی شرطِ مخرج را نادیده می‌گیرد و x=3x=3 را مجاز می‌شمارد؛ «x≥2x\ge2 و x≠9x\ne9» نقطهٔ اشتباهی را حذف می‌کند (ریشه‌های مخرج ±3\pm3 است نه 99)؛ «x>2x>2 و x≠±3x\ne\pm3» به‌اشتباه x=2x=2 را هم کنار می‌گذارد، در حالی که آنجا مخرج برابرِ −5-5 و ناصفر است. تلهٔ تستی: شرطِ رادیکالِ زوج و شرطِ مخرج دو شرطِ مستقل‌اند که باید جداگانه نوشته و سپس با هم ترکیب شوند؛ مرزِ بازهٔ رادیکال (x=2x=2) فقط وقتی حذف می‌شود که خودش مخرج را صفر کند — اینجا نمی‌کند.

8. کدام گزینه نادرست است؟

  • (ar)s=ars(a^r)^s=a^{rs}
  • (ab)r=arbr\left(\dfrac ab\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}
  • aras=ar+sa^ra^s=a^{r+s}
  • (a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^r

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(a+b)r=ar+br(a+b)^r=a^r+b^r» درست است. سه قانون اول از قوانین توان‌های گویا هستند. اما در حالت کلی (a+b)r(a+b)^r برابر ar+bra^r+b^r نیست. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

9. اگر a=53a=\sqrt[3]{5} و b=74b=\sqrt[4]{7}، کدام رابطه درست است؟

  • a>ba>b
  • a<ba<b
  • قابل مقایسه نیستند
  • a=ba=b

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با مخرج مشترک گرفتن توان‌ها: a=5412=62512a=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625} و b=7312=34312b=\sqrt[12]{7^3}=\sqrt[12]{343}. چون 625>343625>343، پس «a>ba>b». سایرِ گزینه‌ها از جهتِ نادرستِ نامساوی یا محاسبهٔ نادرستِ اندیسِ ریشهٔ مشترک ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در مقایسهٔ توان‌های گویا، جهتِ نامساوی به بازهٔ پایه بستگی دارد؛ برایِ پایهٔ بزرگ‌تر از 11 هم‌سو با توان و برایِ پایهٔ بینِ صفر و 11 برعکسِ توان است — همیشه هر دو عبارت را با یک اندیسِ ریشهٔ مشترک بازنویسی کنید تا مقایسه مستقیم شود.

10. کدام گزینه بهترین تقریب برای 253\sqrt[3]{25} است؟

  • 2.502.50
  • 2.922.92
  • 3.083.08
  • 2.122.12

پاسخنامه‌ی تحلیلی

می‌دانیم 2.93=24.389<252.9^3=24.389<25 و 2.923≈24.897<252.92^3\approx24.897<25 و به 2525 نزدیک است، پس تقریب مناسب «2.922.92» است. سایرِ گزینه‌ها از نادیده‌گرفتنِ یکی از قراردادهایِ فصل یا خطایِ محاسباتی ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در سؤالاتِ مفهومی دربارهٔ رادیکال و توان، قراردادهایِ فصل (ریشهٔ زوجِ عددِ منفی تعریف‌نشده، نمادِ رادیکالِ زوج فقط مقدارِ نامنفی، x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) را با محاسبات ساده‌انگارانه اشتباه نگیرید.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم ریاضی)ترسیم های هندسی و استدلالقضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (علوم ریاضی)چندضلعی ها (علوم ریاضی)تجسم فضایی (علوم ریاضی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان