توان گویا و عبارت‌های جبری (ریاضی ۱)

فصل سوم: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

ریشهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییام

اگر $n\ge2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی باشد، $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ریشهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییاُم $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامیم هرگاه $b^n=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $b^n=a\iff\sqrt[n]{a}=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

وجود و تعداد ریشه:

قرارداد نماد رادیکال: وقتی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج است، $\sqrt[n]{a}\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه ریشهٔ مثبت را نشان می‌دهد؛ مثلاً $\sqrt[4]{625}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

قوانین ریشه‌ها: $\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باید $a,b\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{a/b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ مهم:

خطای رایج: $\sqrt{x^2}=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است؛ درست: $\sqrt{x^2}=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جایگاه ریشه‌ها روی محور اعداد: برای تقریب $\sqrt[3]{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بین دو عدد صحیح متوالی محصورش می‌کنیم: $2^3=8<25<27=3^3\Rightarrow2<\sqrt[3]{25}<3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با دقت بیشتر $2.9^3=24.389<25\Rightarrow\sqrt[3]{25}\approx2.92$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این عدد گنگ است (اعشار نامتناوب نامتناهی).

توان‌های گویا

برای $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n\ge2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی: $\boxed{a^{1/n}=\sqrt[n]{a}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — چون می‌خواهیم $a^{1/2}\times a^{1/2}=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار بماند.

برای $m,n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی طبیعی: $\boxed{a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توان منفی: $a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثال: $16^{-1/4}=\dfrac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قوانین توان‌های گویا (برای $a,b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $r,s\in\mathbb{Q}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

مقایسه: برای $a>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $r<s\Rightarrow a^r<a^s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $0<a<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برعکس. مثال کنکوری: $2^{0.3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $3^{0.2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — با مخرج مشترک ۱۰، $2^{0.3}=\sqrt[10]{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3^{0.2}=\sqrt[10]{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $2^{0.3}<3^{0.2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ساده‌سازی رادیکال: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و برای مقایسهٔ ریشه‌های با شاخص متفاوت، هر دو را با توان کسری به مخرج مشترک می‌بریم: $\sqrt[3]5=\sqrt[12]{625}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt[4]7=\sqrt[12]{343}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\sqrt[3]5>\sqrt[4]7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

عبارت‌های جبری — اتحادها و تجزیه

اتحادهای پایه:

مکعب مجموع و تفاضل (با بسط $(a+b)^2(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

مجموع و تفاضل مکعب‌ها (مهم‌ترین اتحاد فصل، با اثبات مستقیم ضرب):

نکته: جملهٔ میانی $a^2\mp ab+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اتحاد مربع نیست چون ضریب $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $\mp1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است نه $\mp2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال تجزیه: $8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تجزیهٔ کلی $a^n-b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فراتر از کتاب): برای هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد، $a^n+b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم به همین‌شکل تجزیه می‌شود؛ برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج، $a^n+b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در اعداد حقیقی تجزیه ندارد.

عبارت‌های گویا: به‌فرم $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با شرط $Q(x)\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ساده‌سازی با فاکتورگیری از صورت و مخرج، مثل $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($x\neq2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). جمع/تفریق کسرهای جبری هم با مخرج مشترک انجام می‌شود: $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x^2-1}=\dfrac{3x+2}{x^2-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثلث خیام (فراتر از کتاب): ضرایب بسط $(a+b)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رابطهٔ $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌دست می‌آیند؛ برای $n=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ضرایب $1,4,6,4,1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. فرم کلی: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

گویا کردن مخرج

رادیکال ساده: ضرب در خودِ رادیکال، مثل $\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مخرج دوجمله‌ای با رادیکال: ضرب در عبارت مزدوج، چون $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال کامل: $\dfrac{2}{\sqrt3+\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5}=\sqrt5-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مخرج با ریشهٔ سوم (اتحاد مکعب): $(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $\dfrac{1}{\sqrt[3]2-1}=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات کنکوری تکمیلی

خطاهای رایج: $\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. تکنیک محاسبهٔ سریع با اتحادها: $99\times101=(100-1)(100+1)=9999$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $105^2=(100+5)^2=11025$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. شرط تعریف: برای $\sqrt[n]{f(x)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باید $f(x)\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سه‌تایی‌های فیثاغورسی مهم: $3^2+4^2=5^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $5^2+12^2=13^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ فرمول کلی برای $m>n>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a=m^2-n^2,\ b=2mn,\ c=m^2+n^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

هم‌ارزی رادیکال‌ها: با تبدیل به توان کسری و ساده‌کردن کسر می‌توان شاخص رادیکال را عوض کرد: $\sqrt[6]{a^4}=a^{4/6}=a^{2/3}=\sqrt[3]{a^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توان جادویی (کاربرد رشد نمایی): $(1.01)^{365}\approx37.8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی رشد مرکب ۱٪ روزانه در یک سال حدود ۳۸ برابر می‌شود.

خلاصهٔ فرمول‌های کلیدی: