پرش به محتوای اصلی

مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

فصل دوم: مثلثات

نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم

پایهٔ مثلثات، تشابه مثلث‌هاست: در دو مثلث قائم‌الزاویه با یک زاویهٔ حادهٔ مشترک، نسبت اضلاع — صرف‌نظر از اندازهٔ مثلث — ثابت می‌ماند. همین ثبات، تعریف نسبت‌های مثلثاتی را ممکن می‌کند. در مثلث قائم ABCABC با قائمه در CC:

sin⁡A=مقابلوتر=BCABcos⁡A=مجاوروتر=ACABtan⁡A=مقابلمجاور=BCACcot⁡A=1tan⁡A\sin A = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}=\frac{BC}{AB} \qquad \cos A = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}=\frac{AC}{AB} \qquad \tan A = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}=\frac{BC}{AC} \qquad \cot A = \frac{1}{\tan A}
tan⁡A=sin⁡Acos⁡Acot⁡A=cos⁡Asin⁡A\boxed{\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}} \qquad \boxed{\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}}

جدول مقادیر استاندارد:

زاویه sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan cot⁡\cot
30°30° 12\frac12 32\frac{\sqrt3}{2} 33\frac{\sqrt3}{3} 3\sqrt3
45°45° 22\frac{\sqrt2}{2} 22\frac{\sqrt2}{2} 11 11
60°60° 32\frac{\sqrt3}{2} 12\frac12 3\sqrt3 33\frac{\sqrt3}{3}

روش حفظ سینوس: عدد زیر رادیکال از 1\sqrt1 تا 3\sqrt3 افزایش می‌یابد: sin⁡30°=12\sin30°=\frac{\sqrt1}{2}, sin⁡45°=22\sin45°=\frac{\sqrt2}{2}, sin⁡60°=32\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}. مقادیر 45°45° از مثلث قائم متساوی‌الساقین (وتر =2=\sqrt2) و مقادیر 30°,60°30°,60° از مثلث متساوی‌الاضلاع (ارتفاع =3=\sqrt3) اثبات می‌شوند.

مساحت مثلث با نسبت مثلثاتی:

S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\boxed{S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B}

مثال: اگر AB=6AB=6, BC=8BC=8, B^=50°\hat B=50° و sin⁡50°≈0.76\sin50°\approx0.76، آنگاه S=12×6×8×0.76=18.24S=\frac12\times6\times8\times0.76=18.24.

دایرهٔ مثلثاتی

دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع 11؛ نقطهٔ شروع A(1,0)A(1,0). حرکت خلاف عقربه‌ها زاویهٔ مثبت و هم‌جهت عقربه‌ها زاویهٔ منفی است. اگر P(x,y)P(x,y) روی دایره با زاویهٔ θ\theta باشد:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=ytan⁡θ=yxcot⁡θ=xy\boxed{\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y} \qquad \tan\theta=\frac{y}{x} \qquad \cot\theta=\frac{x}{y}

چون PP روی دایرهٔ واحد است: −1≤sin⁡θ≤1-1\le\sin\theta\le1 و −1≤cos⁡θ≤1-1\le\cos\theta\le1، اما tan⁡θ\tan\theta و cot⁡θ\cot\theta نامحدودند.

علائم در ربع‌ها (قاعدهٔ ASTC — All, Sin, Tan, Cos):

ربع بازه sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan cot⁡\cot
اول 0°0°-90°90° ++ ++ ++ ++
دوم 90°90°-180°180° ++ −- −- −-
سوم 180°180°-270°270° −- −- ++ ++
چهارم 270°270°-360°360° −- ++ −- −-

مثال محاسباتی: اگر sin⁡θ=57\sin\theta=\frac57 و θ\theta در ربع دوم، از x2+y2=1x^2+y^2=1: x2=1−2549=2449x^2=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}، و چون در ربع دوم x<0x<0: cos⁡θ=−267\cos\theta=-\frac{2\sqrt6}{7}، tan⁡θ=−5612\tan\theta=-\frac{5\sqrt6}{12}.

رابطهٔ شیب خط با تانژانت: اگر خط با محور xx زاویهٔ α\alpha بسازد: m=tan⁡α\boxed{m=\tan\alpha}.

روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

اتحاد اصلی (فیثاغورسی) — از x2+y2=1x^2+y^2=1 روی دایرهٔ واحد:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}

با تقسیم بر cos⁡2α\cos^2\alpha و sin⁡2α\sin^2\alpha:

tan⁡2α+1=1cos⁡2αcot⁡2α+1=1sin⁡2α\boxed{\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}} \qquad \boxed{\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}}

مثال اثبات اتحاد: برای اثبات sin⁡θtan⁡θ=1cos⁡θ−cos⁡θ\sin\theta\tan\theta=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta، طرف راست را ساده می‌کنیم: 1−cos⁡2θcos⁡θ=sin⁡2θcos⁡θ=sin⁡θ⋅sin⁡θcos⁡θ=sin⁡θtan⁡θ\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\tan\theta ✓. روش کلی اثبات اتحاد: طرف پیچیده‌تر را ساده کن تا به طرف دیگر برسی؛ تکنیک ضرب در مزدوج هم مفید است، مثل 11+sin⁡θ⋅1−sin⁡θ1−sin⁡θ=1−sin⁡θcos⁡2θ\frac{1}{1+\sin\theta}\cdot\frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta}=\frac{1-\sin\theta}{\cos^2\theta}.

مثال دیگر: sin⁡4θ−cos⁡4θ=(sin⁡2θ−cos⁡2θ)(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡2θ−cos⁡2θ\sin^4\theta-\cos^4\theta=(\sin^2\theta-\cos^2\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\sin^2\theta-\cos^2\theta.

نکات فراتر از کتاب و جمع‌بندی

زوایای مکمل، متمم، منفی و تناوب:

sin⁡(90°−α)=cos⁡αcos⁡(90°−α)=sin⁡αtan⁡(90°−α)=cot⁡α\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha \qquad \cos(90°-\alpha)=\sin\alpha \qquad \tan(90°-\alpha)=\cot\alpha
sin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha \qquad \cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha
sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha \qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha \qquad \tan(-\alpha)=-\tan\alpha

sin⁡\sin, tan⁡\tan, cot⁡\cot توابع فرد؛ cos⁡\cos تابع زوج است. دورهٔ تناوب sin⁡\sin و cos⁡\cos برابر 360°360° و دورهٔ tan⁡\tan و cot⁡\cot برابر 180°180° است — مثال: sin⁡750°=sin⁡(750°−2×360°)=sin⁡30°=12\sin750°=\sin(750°-2\times360°)=\sin30°=\frac12.

فرمول‌های جمع زاویه (فراتر از کتاب):

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

با این‌ها می‌توان زوایای غیراستاندارد را ساخت: sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=6+24\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

فرمول‌های دو برابر زاویه: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha، cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha.

نکات کنکوری کلیدی:

  • tan⁡θ\tan\theta تعریف نشده   ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  θ=90°+k⋅180°\iff\cos\theta=0\iff\theta=90°+k\cdot180°؛ cot⁡θ\cot\theta تعریف نشده   ⟺  sin⁡θ=0\iff\sin\theta=0.
  • تشخیص ربع از علامت دو نسبت: sin⁡θ>0,cos⁡θ<0⇒\sin\theta>0,\cos\theta<0\Rightarrow ربع دوم.
  • هر اتحاد مثلثاتی را می‌توان با تبدیل همه‌چیز به sin⁡\sin و cos⁡\cos ساده کرد.
  • نامساوی مهم: sin⁡θ<θ<tan⁡θ\sin\theta<\theta<\tan\theta برای 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2} (رادیان).

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. نقطهٔ متناظر با زاویهٔ 180∘180^\circ روی دایرهٔ مثلثاتی کدام است؟

  • (0,1)(0,1)
  • (−1,0)(-1,0)
  • (0,−1)(0,-1)
  • (1,0)(1,0)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«(−1,0)(-1,0)» درست است. از نقطهٔ شروع (1,0)(1,0) اگر 180∘180^\circ خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخیم، به سمت چپ محور xx می‌رسیم. پس مختصات نقطه برابر (−1,0)(-1,0) است. تلهٔ تستی: مؤلفهٔ xx نقطهٔ متناظر با cos⁡θ\cos\theta و مؤلفهٔ yy با sin⁡θ\sin\theta متناظر است؛ جابه‌جاییِ این دو، یک ربع را با ربعِ همسایه‌اش اشتباه می‌کند.

2. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 512\dfrac{5}{12}
  • 1213\dfrac{12}{13}
  • −1213-\dfrac{12}{13}
  • −512-\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−1213-\dfrac{12}{13}» درست است. از اتحاد sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 داریم cos⁡2θ=1−25169=144169\cos^2\theta=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}، پس cos⁡θ=±1213\cos\theta=\pm\dfrac{12}{13}. چون زاویه در ربع دوم است، کسینوس منفی می‌شود؛ پس cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

3. اگر sin⁡θ=513\sin\theta=\dfrac{5}{13} و θ\theta در ربع دوم باشد، tan⁡θ\tan\theta برابر است با

  • 512\dfrac{5}{12}
  • −125-\dfrac{12}{5}
  • 125\dfrac{12}{5}
  • −512-\dfrac{5}{12}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−512-\dfrac{5}{12}» درست است. در ربعِ دوم cos⁡θ<0\cos\theta<0، پس از اتحادِ اصلی cos⁡θ=−1−25/169=−1213\cos\theta=-\sqrt{1-25/169}=-\dfrac{12}{13}. بنابراین tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=5/13−12/13=−512\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{5/13}{-12/13}=-\dfrac{5}{12}. «512\dfrac{5}{12}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ cos⁡θ\cos\theta در ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−125-\dfrac{12}{5}» و «125\dfrac{12}{5}» رد می‌شوند چون کسر معکوس محاسبه شده. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

4. کدام گزینه همواره برابر sec⁡2θ\sec^2\theta است؟

  • 1−tan⁡2θ1-\tan^2\theta
  • 1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta
  • 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta
  • sin⁡2θ+1\sin^2\theta+1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«1+tan⁡2θ1+\tan^2\theta» درست است. از تقسیم اتحاد اصلی بر cos⁡2θ\cos^2\theta نتیجه می‌گیریم tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2\theta+1=\sec^2\theta. گزینهٔ 1+cot⁡2θ1+\cot^2\theta برابر csc⁡2θ\csc^2\theta است، نه سکانت مربع. تلهٔ تستی: فرمول‌هایِ cos⁡2θ\cos2\theta سه شکلِ هم‌ارز دارند (cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\theta، 1−2sin⁡2θ1-2\sin^2\theta، 2cos⁡2θ−12\cos^2\theta-1)؛ انتخابِ شکلِ نامناسب با اطلاعاتِ داده‌شده باعثِ محاسباتِ اضافی یا خطا می‌شود.

5. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، sin⁡θ\sin\theta کدام است؟

  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}
  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}
  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«15\dfrac{1}{\sqrt5}» درست است. از cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2 می‌فهمیم قدرمطلق کسینوس دو برابر قدرمطلق سینوس است. اگر sin⁡θ=y\sin\theta=y و cos⁡θ=−2y\cos\theta=-2y، از y2+4y2=1y^2+4y^2=1 داریم 5y2=15y^2=1، پس y=±15y=\pm\dfrac1{\sqrt5}. چون ربع دوم است، سینوس مثبت می‌شود؛ بنابراین sin⁡θ=15\sin\theta=\dfrac1{\sqrt5}. تلهٔ تستی: علامتِ نسبت‌هایِ مثلثاتی فقط با قاعدهٔ ASTC (ربعِ اول همه، دوم فقط sin⁡\sin، سوم فقط tan⁡\tan، چهارم فقط cos⁡\cos) تعیین می‌شود؛ حدس‌زدنِ علامت بدونِ مراجعه به این قاعده رایج‌ترین خطاست.

6. اگر cot⁡θ=−2\cot\theta=-2 و θ\theta در ربع دوم باشد، cos⁡θ\cos\theta کدام است؟

  • 25\dfrac{2}{\sqrt5}
  • −15-\dfrac{1}{\sqrt5}
  • 15\dfrac{1}{\sqrt5}
  • −25-\dfrac{2}{\sqrt5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−25-\dfrac{2}{\sqrt5}» درست است. چون cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-2، داریم cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta. با جای‌گذاری در اتحادِ اصلی: sin⁡2θ+4sin⁡2θ=1⇒sin⁡θ=15\sin^2\theta+4\sin^2\theta=1\Rightarrow\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5} (مثبت، چون در ربعِ دوم sin⁡θ>0\sin\theta>0)، پس cos⁡θ=−2×15=−25\cos\theta=-2\times\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{2}{\sqrt5}. «25\dfrac{2}{\sqrt5}» رد می‌شود چون علامتِ منفیِ ربعِ دوم نادیده گرفته شده. «−15-\dfrac{1}{\sqrt5}» و «15\dfrac{1}{\sqrt5}» رد می‌شوند چون به‌جایِ cos⁡θ\cos\theta، مقدارِ sin⁡θ\sin\theta گرفته شده. تلهٔ تستی: از cot⁡θ\cot\theta می‌توان مستقیماً نسبتِ cos⁡θ=−2sin⁡θ\cos\theta=-2\sin\theta را ساخت و در اتحادِ اصلی جای‌گذاری کرد؛ نیازی به محاسبهٔ جداگانهٔ زاویه نیست.

7. اگر معادلهٔ خط y=−3x+5y=-\sqrt3x+5 باشد، زاویهٔ آن با محور xx در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ کدام است؟

  • 30∘30^\circ
  • 60∘60^\circ
  • 120∘120^\circ
  • 150∘150^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. شیب خط m=−3m=-\sqrt3 است و باید زاویه‌ای در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ بیابیم که تانژانتش −3-\sqrt3 باشد. چون tan⁡120∘=−3\tan120^\circ=-\sqrt3، زاویهٔ مورد نظر 120∘120^\circ است؛ 60∘60^\circ تانژانت مثبت دارد. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

8. اگر tan⁡θ=−3\tan\theta=-\sqrt3 و θ\theta در بازهٔ 0∘0^\circ تا 180∘180^\circ باشد، θ\theta برابر است با

  • 120∘120^\circ
  • 150∘150^\circ
  • 30∘30^\circ
  • 60∘60^\circ

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«120∘120^\circ» درست است. در این بازه، تانژانت منفی فقط در ربع دوم است. زاویهٔ مرجع برای مقدار 3\sqrt3 برابر 60∘60^\circ است، پس زاویهٔ اصلی 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ می‌شود. تلهٔ تستی: وقتی زاویهٔ داخلِ تابع ضریبی مثلِ 22 یا 33 دارد، بازهٔ آن زاویه هم به همان نسبت گسترش می‌یابد (مثلاً [0∘,360∘)[0^\circ,360^\circ) برایِ 2x2x به [0∘,720∘)[0^\circ,720^\circ) تبدیل می‌شود)؛ فراموش‌کردنِ این گسترش نیمی از جواب‌ها را حذف می‌کند.

9. اگر sin⁡75∘\sin75^\circ را با فرمول جمع زوایا محاسبه کنیم، کدام گزینه درست است؟

  • 3+12\dfrac{\sqrt3+1}{2}
  • 3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. داریم sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ. با جایگذاری مقادیر خاص به 22⋅32+22⋅12=6+24\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} می‌رسیم. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

10. کدام گزینه برابر cos⁡15∘\cos15^\circ است؟

  • 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  • 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  • 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
  • 32\dfrac{\sqrt3}{2}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}» درست است. با استفاده از فرمول تفاضل کسینوس داریم cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. تلهٔ تستی: در فرمولِ sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) علامتِ بینِ دو جمله همیشه مثبت است، اما در cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) همیشه منفی؛ خلطِ این دو فرمول با هم رایج‌ترین خطاست.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم ریاضی)ترسیم های هندسی و استدلالقضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (علوم ریاضی)چندضلعی ها (علوم ریاضی)تجسم فضایی (علوم ریاضی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان