پرش به محتوای اصلی

مثلثات و دایرهٔ مثلثاتی (ریاضی ۱)

خلاصه‌ای از درسنامه‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

فصل دوم: مثلثات

نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم

پایهٔ مثلثات، تشابه مثلث‌هاست: در دو مثلث قائم‌الزاویه با یک زاویهٔ حادهٔ مشترک، نسبت اضلاع — صرف‌نظر از اندازهٔ مثلث — ثابت می‌ماند. همین ثبات، تعریف نسبت‌های مثلثاتی را ممکن می‌کند. در مثلث قائم ABCABCادامهٔ فرمول را افقی ببین با قائمه در CCادامهٔ فرمول را افقی ببین:

sin⁡A=مقابلوتر=BCABcos⁡A=مجاوروتر=ACABtan⁡A=مقابلمجاور=BCACcot⁡A=1tan⁡A\sin A = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}=\frac{BC}{AB} \qquad \cos A = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}=\frac{AC}{AB} \qquad \tan A = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}=\frac{BC}{AC} \qquad \cot A = \frac{1}{\tan A}ادامهٔ فرمول را افقی ببینtan⁡A=sin⁡Acos⁡Acot⁡A=cos⁡Asin⁡A\boxed{\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}} \qquad \boxed{\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

جدول مقادیر استاندارد:

زاویه sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین
30°30°ادامهٔ فرمول را افقی ببین 12\frac12ادامهٔ فرمول را افقی ببین 32\frac{\sqrt3}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 33\frac{\sqrt3}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 3\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین
45°45°ادامهٔ فرمول را افقی ببین 22\frac{\sqrt2}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 22\frac{\sqrt2}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین
60°60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین 32\frac{\sqrt3}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین 12\frac12ادامهٔ فرمول را افقی ببین 3\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین 33\frac{\sqrt3}{3}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

روش حفظ سینوس: عدد زیر رادیکال از 1\sqrt1ادامهٔ فرمول را افقی ببین تا 3\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین افزایش می‌یابد: sin⁡30°=12\sin30°=\frac{\sqrt1}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین, sin⁡45°=22\sin45°=\frac{\sqrt2}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین, sin⁡60°=32\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مقادیر 45°45°ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مثلث قائم متساوی‌الساقین (وتر =2=\sqrt2ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و مقادیر 30°,60°30°,60°ادامهٔ فرمول را افقی ببین از مثلث متساوی‌الاضلاع (ارتفاع =3=\sqrt3ادامهٔ فرمول را افقی ببین) اثبات می‌شوند.

مساحت مثلث با نسبت مثلثاتی:

S△ABC=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\boxed{S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال: اگر AB=6AB=6ادامهٔ فرمول را افقی ببین, BC=8BC=8ادامهٔ فرمول را افقی ببین, B^=50°\hat B=50°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و sin⁡50°≈0.76\sin50°\approx0.76ادامهٔ فرمول را افقی ببین، آنگاه S=12×6×8×0.76=18.24S=\frac12\times6\times8\times0.76=18.24ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

دایرهٔ مثلثاتی

دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع 11ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ نقطهٔ شروع A(1,0)A(1,0)ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حرکت خلاف عقربه‌ها زاویهٔ مثبت و هم‌جهت عقربه‌ها زاویهٔ منفی است. اگر P(x,y)P(x,y)ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره با زاویهٔ θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

cos⁡θ=x,sin⁡θ=ytan⁡θ=yxcot⁡θ=xy\boxed{\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y} \qquad \tan\theta=\frac{y}{x} \qquad \cot\theta=\frac{x}{y}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

چون PPادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایرهٔ واحد است: −1≤sin⁡θ≤1-1\le\sin\theta\le1ادامهٔ فرمول را افقی ببین و −1≤cos⁡θ≤1-1\le\cos\theta\le1ادامهٔ فرمول را افقی ببین، اما tan⁡θ\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین و cot⁡θ\cot\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین نامحدودند.

علائم در ربع‌ها (قاعدهٔ ASTC — All, Sin, Tan, Cos):

ربع بازه sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین
اول 0°0°ادامهٔ فرمول را افقی ببین-90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین + + + +
دوم 90°90°ادامهٔ فرمول را افقی ببین-180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین + −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین
سوم 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین-270°270°ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین + +
چهارم 270°270°ادامهٔ فرمول را افقی ببین-360°360°ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین + −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین −-ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال محاسباتی: اگر sin⁡θ=57\sin\theta=\frac57ادامهٔ فرمول را افقی ببین و θ\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین در ربع دوم، از x2+y2=1x^2+y^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین: x2=1−2549=2449x^2=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، و چون در ربع دوم x<0x<0ادامهٔ فرمول را افقی ببین: cos⁡θ=−267\cos\theta=-\frac{2\sqrt6}{7}ادامهٔ فرمول را افقی ببین، tan⁡θ=−5612\tan\theta=-\frac{5\sqrt6}{12}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

رابطهٔ شیب خط با تانژانت: اگر خط با محور xxادامهٔ فرمول را افقی ببین زاویهٔ α\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین بسازد: m=tan⁡α\boxed{m=\tan\alpha}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

اتحاد اصلی (فیثاغورسی) — از x2+y2=1x^2+y^2=1ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایرهٔ واحد:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

با تقسیم بر cos⁡2α\cos^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین و sin⁡2α\sin^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین:

tan⁡2α+1=1cos⁡2αcot⁡2α+1=1sin⁡2α\boxed{\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}} \qquad \boxed{\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}}ادامهٔ فرمول را افقی ببین

مثال اثبات اتحاد: برای اثبات sin⁡θtan⁡θ=1cos⁡θ−cos⁡θ\sin\theta\tan\theta=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین، طرف راست را ساده می‌کنیم: 1−cos⁡2θcos⁡θ=sin⁡2θcos⁡θ=sin⁡θ⋅sin⁡θcos⁡θ=sin⁡θtan⁡θ\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sin\theta\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین ✓. روش کلی اثبات اتحاد: طرف پیچیده‌تر را ساده کن تا به طرف دیگر برسی؛ تکنیک ضرب در مزدوج هم مفید است، مثل 11+sin⁡θ⋅1−sin⁡θ1−sin⁡θ=1−sin⁡θcos⁡2θ\frac{1}{1+\sin\theta}\cdot\frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta}=\frac{1-\sin\theta}{\cos^2\theta}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثال دیگر: sin⁡4θ−cos⁡4θ=(sin⁡2θ−cos⁡2θ)(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡2θ−cos⁡2θ\sin^4\theta-\cos^4\theta=(\sin^2\theta-\cos^2\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\sin^2\theta-\cos^2\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات فراتر از کتاب و جمع‌بندی

زوایای مکمل، متمم، منفی و تناوب:

sin⁡(90°−α)=cos⁡αcos⁡(90°−α)=sin⁡αtan⁡(90°−α)=cot⁡α\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha \qquad \cos(90°-\alpha)=\sin\alpha \qquad \tan(90°-\alpha)=\cot\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha \qquad \cos(180°-\alpha)=-\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببینsin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha \qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha \qquad \tan(-\alpha)=-\tan\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین

sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین, tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین, cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین توابع فرد؛ cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین تابع زوج است. دورهٔ تناوب sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 360°360°ادامهٔ فرمول را افقی ببین و دورهٔ tan⁡\tanادامهٔ فرمول را افقی ببین و cot⁡\cotادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر 180°180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — مثال: sin⁡750°=sin⁡(750°−2×360°)=sin⁡30°=12\sin750°=\sin(750°-2\times360°)=\sin30°=\frac12ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول‌های جمع زاویه (فراتر از کتاب):

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\betaادامهٔ فرمول را افقی ببین

با این‌ها می‌توان زوایای غیراستاندارد را ساخت: sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=6+24\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول‌های دو برابر زاویه: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین، cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alphaادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری کلیدی:

  • tan⁡θ\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده   ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  θ=90°+k⋅180°\iff\cos\theta=0\iff\theta=90°+k\cdot180°ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ cot⁡θ\cot\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین تعریف نشده   ⟺  sin⁡θ=0\iff\sin\theta=0ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
  • تشخیص ربع از علامت دو نسبت: sin⁡θ>0,cos⁡θ<0⇒\sin\theta>0,\cos\theta<0\Rightarrowادامهٔ فرمول را افقی ببین ربع دوم.
  • هر اتحاد مثلثاتی را می‌توان با تبدیل همه‌چیز به sin⁡\sinادامهٔ فرمول را افقی ببین و cos⁡\cosادامهٔ فرمول را افقی ببین ساده کرد.
  • نامساوی مهم: sin⁡θ<θ<tan⁡θ\sin\theta<\theta<\tan\thetaادامهٔ فرمول را افقی ببین برای 0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}ادامهٔ فرمول را افقی ببین (رادیان).

مباحث مرتبط

مجموعه‌ها، الگو و دنباله (ریاضی ۱)توان گویا و عبارت‌های جبری (ریاضی ۱)معادله و نامعادلهٔ درجه دوم (ریاضی ۱)تابع، دامنه و برد (ریاضی ۱)شمارش، جایگشت و ترکیب (ریاضی ۱)احتمال و مفاهیم آمار (ریاضی ۱)مکان هندسی و استدلال (هندسه ۱)قضیهٔ تالس و تشابه مثلث‌ها (هندسه ۱)چندضلعی‌ها و مساحت آن‌ها (هندسه ۱)خط و صفحه در فضا (هندسه ۱)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان