معادله و نامعادلهٔ درجه دوم (ریاضی ۱)

فصل چهارم: معادله‌ها و نامعادله‌ها

معادلهٔ درجهٔ دوم

هر معادله‌ای که پس از ساده‌سازی به فرم $\boxed{ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درآید، معادلهٔ درجهٔ دوم است.

روش تجزیه: با ویژگی حاصل‌ضرب صفر ( $AB=0\iff A=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $B=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، عبارت را به حاصل‌ضرب دو جملهٔ خطی تجزیه می‌کنیم. برای $x^2+px+q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دو عدد $a,b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌یابیم که $a+b=p$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $ab=q$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: $x^2-2x-3=0\Rightarrow a+b=-2,ab=-3\Rightarrow a=-3,b=1\Rightarrow(x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. برای ضریب $a\neq1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از روش گروه‌بندی استفاده می‌شود: $2x^2+5x+3=2x(x+1)+3(x+1)=(2x+3)(x+1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روش ریشه‌گیری: برای $(x-h)^2=k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $\boxed{x=h\pm\sqrt k\ (k\ge0)}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ اگر $k<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جواب حقیقی ندارد.

تکمیل مربع: با افزودن $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به $x^2+px$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، مربع کامل می‌سازیم: $x^2+px+\left(\frac p2\right)^2=\left(x+\frac p2\right)^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: $x^2-6x+4=0\Rightarrow x^2-6x+9=5\Rightarrow(x-3)^2=5\Rightarrow x=3\pm\sqrt5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

فرمول کلی (دلتا): با تکمیل مربع روی فرم کلی به‌دست می‌آید:

\boxed{\Delta=b^2-4ac} \qquad \boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}}

شرط $\Delta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	تعداد ریشه	معنای هندسی سهمی
$\Delta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	دو ریشهٔ متمایز	قطع محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در دو نقطه
$\Delta=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یک ریشهٔ مضاعف: $x=-\frac{b}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	مماس بر محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\Delta<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	بدون ریشهٔ حقیقی	محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع نمی‌کند

روابط ویتا (فراتر از کتاب): $\boxed{x_1+x_2=-\frac ba}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\boxed{x_1x_2=\frac ca}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ کاربرد در ساختن معادله از روی ریشه‌ها: $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. کاربردهای دیگر: $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکات کنکوری: اگر $c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یکی از ریشه‌ها صفر است؛ اگر $a+b+c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنگاه $x=1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه است؛ اگر $a-b+c=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین آنگاه $x=-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه است.

مثال کاربردی — مستطیل با مساحت ۱۴۴ و محیط ۵۰: اگر اضلاع $s,t$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشند: $s+t=25$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $st=144\Rightarrow s^2-25s+144=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ $\Delta=625-576=49\Rightarrow s=\frac{25\pm7}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس ابعاد $9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در $16$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر است — نمونهٔ کلاسیک از ساختن معادلهٔ درجهٔ دوم از روی مجموع و حاصل‌ضرب دو مجهول.

سهمی

نمودار $y=ax^2+bx+c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک سهمی است؛ برای $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دهانه رو به بالا و برای $a<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رو به پایین.

رأس سهمی:

\boxed{V=\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right)}

با تکمیل مربع به فرم رأسی می‌رسیم: $\boxed{y=a(x-h)^2+k}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین که $(h,k)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رأس است و $x=-\frac{b}{2a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محور تقارن. مثال کامل: $y=-2x^2+4x-3\Rightarrow h=1,\ k=\frac{4(-2)(-3)-16}{4(-2)}=-1\Rightarrow y=-2(x-1)^2-1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با رأس $(1,-1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تأثیر ضرایب: هرچه $|a|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بزرگ‌تر، سهمی باریک‌تر؛ در $y=a(x-h)^2+k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال افقی و $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین انتقال عمودی می‌دهد.

یافتن معادله از شرایط: اگر سهمی صفرهای $x_1,x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داشته باشد: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سپس با نقطهٔ سوم $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تعیین می‌شود. مثال: سهمی محور $y$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در $-1,2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قطع می‌کند: $y=a(x+1)(x-2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ در $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $2=-2a\Rightarrow a=-1\Rightarrow y=-x^2+x+2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

الگوریتم رسم سهمی: ۱) رأس را حساب کن، ۲) محور تقارن را رسم کن، ۳) عرض از مبدأ را با $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیاب ( $y_0=c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، ۴) تقاطع با محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را با حل $y=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیاب، ۵) چند نقطهٔ قرینه نسبت به محور تقارن اضافه کن. مثال: برای $y=x^2-4x+5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، رأس $(2,1)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و چون $\Delta=16-20=-4<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سهمی محور $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را قطع نمی‌کند.

کاربرد فیزیکی سهمی — پرتابه (فراتر از کتاب): ارتفاع جسم پرتاب‌شده $h(t)=-5t^2+v_0t+h_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ( $g\approx10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ حداکثر ارتفاع در رأس سهمی رخ می‌دهد: $t^*=\frac{v_0}{10}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

تعیین علامت

درجهٔ اول $ax+b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: ریشه $x_0=-\frac ba$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ سمت راست ریشه هم‌علامت با $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، سمت چپ مخالف $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

حاصل‌ضرب عبارت‌های خطی: ریشهٔ هر عامل را جدا می‌یابیم، روی محور مرتب می‌کنیم و علامت هر ناحیه را با قانون ضرب علامت‌ها تعیین می‌کنیم.

درجهٔ دوم $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: اگر $\Delta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ( $x_1<x_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، بین دو ریشه علامت **مخالف** $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و بیرون آن‌ها **موافق** $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. مثال کامل: $A=2x^2-x-3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $\Delta=25$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $x_1=-1,x_2=\frac32$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ چون $a=2>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: بیرون ریشه‌ها مثبت، بین آن‌ها منفی. اگر $\Delta=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همه‌جا هم‌علامت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است (جز در ریشهٔ مضاعف که صفر می‌شود)؛ اگر $\Delta<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $P(x)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه هم‌علامت $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

کسر جبری: مثل ضرب عمل می‌کنیم، با این تفاوت که در ریشهٔ مخرج تعریف‌نشده می‌نویسیم، نه صفر.

نامعادله‌ها

خواص اساسی: $A>B\Rightarrow A+C>B+C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و در ضرب/تقسیم در عدد منفی، علامت نامساوی برعکس می‌شود: $A>B, C<0\Rightarrow AC<BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نامعادلهٔ خطی مثل معادله حل می‌شود، با دقت روی این قانون. نامعادلهٔ دوگانه ( $A<f(x)\le B$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) با اعمال هم‌زمان عملیات روی هر سه طرف حل می‌شود: $-2<3x-1\le8\Rightarrow-\frac13<x\le3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نامعادلهٔ درجهٔ دوم: با جدول تعیین علامت حل می‌شود. مثال: $2x^2-x-3\ge0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با ریشه‌های $-1,\frac32$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جواب $\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\frac32,+\infty\right)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نامعادلهٔ کسری: هرگز دو طرف را در مخرج ضرب نکنید (چون علامت مخرج ممکن است منفی باشد)؛ همیشه از جدول تعیین علامت استفاده کنید.

نامعادلهٔ قدرمطلق (برای $a>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین):

\boxed{|u|\le a\iff-a\le u\le a} \qquad \boxed{|u|\ge a\iff u\le-a\ \text{یا}\ u\ge a}

مثال: $|x-3|\le2\Rightarrow1\le x\le5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و $|2x-1|>5\Rightarrow x>3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا $x<-2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نوشتن معادلهٔ قدرمطلق از روی بازه (فراتر از کتاب): برای بازهٔ $[a,b]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: مرکز $m=\frac{a+b}2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و شعاع $r=\frac{b-a}2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، پس $|x-m|\le r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. مثال: بازهٔ $[1,9]$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود $|x-5|\le4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

شرط همواره مثبت (فراتر از کتاب):

ax^2+bx+c>0\ \forall x\in\mathbb R\iff a>0\ \text{و}\ \Delta<0

مثال: $x^2+mx+1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همواره مثبت است اگر $\Delta=m^2-4<0\Rightarrow-2<m<2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نامعادلهٔ مرکب با تجزیه: برای $x^3(7-x)>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، ریشهٔ $x=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تکرار فرد (۳) علامت را عوض می‌کند، ریشهٔ $x=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با تکرار یک هم عوض می‌کند؛ جواب $(0,7)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. قاعده: ریشه با تکرار فرد علامت را عوض می‌کند، با تکرار زوج عوض نمی‌کند.

نکات کنکوری جامع

x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2} \qquad \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac bc

قدرمطلق و فاصله: $|a-b|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فاصلهٔ دو عدد روی محور است؛ $|x-m|<r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یعنی «فاصلهٔ $x$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از $m$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کمتر از $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» یعنی $x\in(m-r,m+r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قدرمطلق تودرتو (نمونه): برای $\big||x-2|-3\big|<1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، با جایگذاری $u=|x-2|$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: $2<u<4\Rightarrow2<|x-2|<4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ حل هم‌زمان $|x-2|>2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $|x-2|<4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد $(-2,0)\cup(4,6)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

خطای رایج در نامعادلهٔ کسری: از $\frac{f(x)}{g(x)}\ge0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نمی‌توان نتیجه گرفت $f(x)\ge0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ همیشه باید جدول تعیین علامت زد.

شرط علامت ریشه‌ها (برای $\Delta>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): اگر $x_1x_2>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x_1+x_2>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو ریشه مثبت‌اند؛ اگر $x_1x_2>0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $x_1+x_2<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هر دو منفی‌اند؛ اگر $x_1x_2<0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ریشه‌ها ناهم‌علامت‌اند — این سه حالت با استفاده از روابط ویتا، بدون حل کامل معادله قابل تشخیص‌اند.

خلاصهٔ فرمول‌های کلیدی فصل:

\Delta=b^2-4ac \qquad x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\ (\Delta\ge0) \qquad x_{\text{رأس}}=-\frac{b}{2a},\ y_{\text{رأس}}=-\frac{\Delta}{4a}