خط و صفحه در فضا (هندسه ۱)

مقدمه

ما در جهانی سه‌بعدی زندگی می‌کنیم — از معماری پل‌ها و گنبدها تا طراحی قطعات صنعتی، همه نیازمند درک روابط هندسی در فضا هستند.

خط و صفحه در فضا

نقطه، خط و صفحه سه مفهوم تعریف‌نشده در هندسه‌اند و کل هندسه بر پایهٔ این سه و اصول موضوعه بنا می‌شود:

از هر دو نقطه، دقیقاً یک خط می‌گذرد.
از هر سه نقطهٔ ناهم‌خط، دقیقاً یک صفحه می‌گذرد.
اگر دو نقطه از یک خط روی یک صفحه باشند، کل خط روی آن صفحه است.
دو صفحه یا موازی‌اند یا در یک خط (و نه بیشتر) تقاطع دارند.

کلید فهم: در صفحه (دو بُعد) دو خط تنها دو حالت دارند — موازی یا متقاطع. فضا حالت سومی می‌افزاید: متنافر؛ یعنی نه موازی‌اند و نه یکدیگر را قطع می‌کنند، چون در یک صفحه نیستند.

لبهٔ بالایی و لبهٔ جانبی پایینی یک جعبهٔ مستطیلی نمونهٔ ملموس دو خط متنافرند. فاصلهٔ دو خط متنافر روی عمود مشترک آن دو اندازه‌گیری می‌شود.

تعامد در فضا

تعریف: خط $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر صفحهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود است اگر از نقطهٔ تقاطعشان بر هر خطی در آن صفحه عمود باشد.

قضیهٔ طلایی: برای اثبات $l \perp \alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کافی است نشان دهیم $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر دو خط متقاطع واقع در $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود است — نه بر همهٔ خطوط.

دو قضیهٔ مهم: اگر $l \perp \alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $m \parallel l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، آنگاه $m \perp \alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ و اگر $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بر دو صفحهٔ $\alpha$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\beta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین عمود باشد، آن دو صفحه موازی‌اند.

زاویهٔ دو-وجهی: از یک نقطه روی خط تقاطع دو صفحه، در هر صفحه خطی عمود بر خط تقاطع رسم کن؛ زاویهٔ بین این دو خط زاویهٔ دو-وجهی است. دو صفحه بر هم عمودند اگر این زاویه $90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد — یا معادلاً اگر یکی شامل خطی باشد که بر دیگری عمود است.

فاصلهٔ نقطه از صفحهٔ $ax + by + cz = d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\text{dist} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

که تعمیم مستقیم فرمول فاصلهٔ نقطه از خط در صفحه است.

تفکر تجسمی و نماها

سه نمای استاندارد روبه‌رو، چپ و بالا هستند. در نماها لبه‌های پشتی که دیده نمی‌شوند با خط‌چین نشان داده می‌شوند. در نمایش ایزومتریک سه محور هرکدام با هم زاویهٔ $120°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازند و هیچ‌کدام کوچک‌نمایی ندارند.

تصویر متعامد: از هر نقطه عمودی بر صفحهٔ تصویر رسم می‌کنیم و پای عمود، تصویر آن نقطه است. اگر خط موازی صفحهٔ تصویر باشد طول تصویر برابر طول اصلی است؛ اگر مایل باشد کوچک‌نمایی رخ می‌دهد؛ و اگر عمود باشد تصویرش یک نقطه است. زوایا در تصویر متعامد محفوظ نمی‌مانند.

سطح مقطع

تعریف: شکل حاصل از برخورد یک صفحه با یک جسم سه‌بعدی را سطح مقطع می‌نامند.

مکعب: برش موازی یک وجه مربع می‌دهد، برش مایل مستطیل، برش از سه رأس مثلث و برش از شش رأس شش‌ضلعی منظم.

نکتهٔ جالب: سطح مقطع مکعب می‌تواند مثلث، مربع، مستطیل، ذوزنقه، متوازی‌الاضلاع یا شش‌ضلعی منظم باشد — ولی هرگز پنج‌ضلعی منظم نمی‌شود.

مخروط: برش افقی ← دایره، برش مایل ← بیضی، برش موازی ضلع ← سهمی، برش تندتر از ضلع ← هذلولی. این چهار مقطع مخروطی در نجوم، فیزیک و معماری کاربرد فراوان دارند.

کره: هر سطح مقطع کره همواره دایره است و اگر فاصلهٔ مرکز تا صفحهٔ برش $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$
با $d=0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین دایرهٔ بزرگ، با $d=R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یک نقطه، و با $d>R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هیچ برخوردی.

دوران اشکال حول محور

شکل اولیه	دوران حول	جسم حاصل
مستطیل	یک ضلع	استوانه
مثلث قائم‌الزاویه	ساق	مخروط
نیم‌دایره	قطر	کره
ذوزنقهٔ قائم	ضلع عمودی	مخروط ناقص

V_{\text{استوانه}} = \pi r^2 h \qquad V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \qquad V_{\text{کره}} = \frac{4}{3}\pi R^3, \; S = 4\pi R^2

در مخروط $l = \sqrt{r^2+h^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین خط فراز است و $S_{\text{جانبی}} = \pi r l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

کشف ارشمیدس: اگر کره‌ای در استوانه‌ای محاط باشد، نسبت حجم‌ها $\frac{2}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و نسبت مساحت‌ها دقیقاً $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

اصل کاوالیری: اگر دو جسم هم‌ارتفاع باشند و در هر ارتفاع مساوی مساحت مقطعشان برابر باشد، حجمشان برابر است. نتیجه‌اش این است که حجم استوانهٔ منحرف با استوانهٔ عمودیِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع یکی است.

مخروط ناقص:

V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2), \qquad S_{\text{جانبی}} = \pi(R+r)l, \quad l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}

قضیهٔ اویلر و اجسام افلاطونی

فرمول اویلر: برای هر چندوجهی محدب:
$V - E + F = 2$

جسم	$V$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$E$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$F$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
چهاروجهی	۴	۶	۴
مکعب	۸	۱۲	۶
هشت‌وجهی	۶	۱۲	۸
دوازده‌وجهی	۲۰	۳۰	۱۲
بیست‌وجهی	۱۲	۳۰	۲۰

جسم افلاطونی: چندوجهی محدب منظمی که همهٔ وجوهش چندضلعی منظم هم‌نوع باشند و در هر رأس تعداد یکسانی وجه دیده شود. تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد — چون در هر رأس دست‌کم ۳ وجه باید باشد و مجموع زوایای اطراف رأس باید کمتر از $360°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بماند، و این شرط تنها در پنج حالت برقرار است.

معادلهٔ صفحه و خط در فضا

هر صفحه به شکل $ax + by + cz = d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نوشته می‌شود که $(a,b,c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بردار نرمال آن است. از نقطهٔ $P_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با نرمال $\vec{n}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

خط از نقطهٔ $P_0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با بردار جهت $\vec{v} = (a,b,c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} = t

و زاویهٔ بین دو خط از $\cos\theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به دست می‌آید.

فرمول‌های سریع

جسم	حجم	مساحت جانبی	مساحت کل
استوانه	$\pi r^2 h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi r h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi r(r+h)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مخروط	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\pi r l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\pi r(r+l)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
کره	$\frac{4}{3}\pi R^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—	$4\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
هرم	$\frac{1}{3}S_{\text{قاعده}} h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—	—
منشور	$S_{\text{قاعده}} h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—	—

نکات طلایی

#	نکته
۱	در فضا دو خط یا موازی‌اند، یا متقاطع، یا متنافر
۲	برای اثبات خط ⊥ صفحه، عمودبودن بر دو خط متقاطع کافی است
۳	هر مقطع کره دایره است با $r=\sqrt{R^2-d^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
۴	$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} V_{\text{استوانه}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با قاعده و ارتفاع مساوی
۵	$V_{\text{کره}} = \frac{2}{3} V_{\text{استوانهٔ محیطی}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
۶	فرمول اویلر برای هر چندوجهی محدب برقرار است
۷	بردار نرمال صفحهٔ $ax+by+cz=d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $(a,b,c)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم دارد: قضیهٔ دسارگ و نقشش به‌عنوان پایهٔ هندسهٔ تصویری، محاسبهٔ حجم اجسام دورانی با انتگرال ( $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، تعمیم فرمول اویلر به شبکه‌های مسطح و توپولوژی، و کاربردهای بین‌رشته‌ای در معماری، نجوم، فیزیک و مهندسی.

خلاصه‌ی درسنامه

مقدمه