چندضلعی‌ها و مساحت آن‌ها (هندسه ۱)

مقدمه

هندسه و چندضلعی‌ها از مهم‌ترین ابزارهای هنرمندان و معماران در طول تاریخ بوده‌اند — از کندوی زنبور عسل با شش‌ضلعی‌های منظم تا گنبدهای معماری اسلامی.

تعریف و اجزای چندضلعی

تعریف رسمی: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی ($n \ge 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) مجموعه‌ای از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پاره‌خط متوالی است که هر پاره‌خط دقیقاً دو پاره‌خط دیگر را فقط در نقاط انتهایی‌اش قطع کند و هیچ دو ضلع مجاوری هم‌راستا نباشند.

محدب یا مقعر: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی محدب است اگر هر پاره‌خط واصل دو نقطهٔ داخلی کاملاً درون آن بماند — معادلِ اینکه همهٔ زوایای داخلی کمتر از $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند.

اجزا: ضلع پاره‌خط تشکیل‌دهنده، رأس نقطهٔ مشترک دو ضلع متوالی، قطر پاره‌خط واصل دو رأس غیرمجاور و زاویهٔ خارجی مکمل زاویهٔ داخلی در هر رأس است.

تعداد قطرها

$$d = \frac{n(n-3)}{2}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اثبات: از هر رأس می‌توان به $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس غیرمجاور قطر رسم کرد (به خودش و دو رأس مجاور نمی‌شود). مجموع $n(n-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و چون هر قطر دو بار شمرده می‌شود بر ۲ تقسیم می‌شود.

مثلث‌بندی: هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی محدب را می‌توان با $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر به $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث تقسیم کرد.

مجموع زوایا

قضیه: مجموع زوایای داخلی هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی محدب برابر است با $(n-2) \times 180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اثبات: از یک رأس $n-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطر رسم می‌کنیم و $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلث می‌سازیم که مجموع زوایای هرکدام $180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

قضیه: مجموع زوایای خارجی هر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی محدب همیشه $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — مستقل از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اثبات شهودی: تصور کن در طول محیط حرکت می‌کنی؛ در هر رأس به اندازهٔ زاویهٔ خارجی می‌چرخی و پس از یک دور کامل دقیقاً $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چرخیده‌ای.

چندضلعی منظم هم اضلاع مساوی دارد و هم زوایای مساوی، پس زاویهٔ داخلی هر رأسش:

فراپوشی صفحه: تنها چندضلعی‌های منظمی صفحه را بدون فضای خالی می‌پوشانند که زاویهٔ داخلی‌شان مقسوم‌علیه $360°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد — یعنی فقط مثلث، مربع و شش‌ضلعی.

متوازی‌الاضلاع

پنج شرط کافی (هرکدام به‌تنهایی): دو جفت ضلع مقابل موازی باشند؛ یا دو جفت ضلع مقابل برابر باشند؛ یا یک جفت ضلع مقابل هم موازی و هم برابر باشد؛ یا قطرها یکدیگر را نصف کنند؛ یا دو جفت زاویهٔ مقابل برابر باشند.

قضایای اصلی: اضلاع مقابل برابرند؛ زوایای مجاور مکمل‌اند ($\hat{A}+\hat{B}=180°$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ زوایای مقابل برابرند؛ و قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

اثبات قضیهٔ قطرها: در $\triangle AOB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\triangle COD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $AB=CD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو زاویهٔ متناوب برابر، پس این دو مثلث همنهشت‌اند (ز-ض-ز) و در نتیجه $OA=OC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $OB=OD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیهٔ وارینیون: نقاط وسط اضلاع هر چهارضلعی دلخواه، یک متوازی‌الاضلاع می‌سازند.

مستطیل، لوزی و مربع

مستطیل: قطرها برابرند و یکدیگر را نصف می‌کنند. نتیجهٔ مهم اینکه نقطهٔ تقاطع قطرها از هر چهار رأس فاصلهٔ مساوی دارد، یعنی مستطیل همواره دایرهٔ محیطی دارد. قطرش $d=\sqrt{a^2+b^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

لوزی: قطرها بر هم عموداند، یکدیگر را نصف می‌کنند و هر قطر نیمساز زوایای دو رأس متناظر است.

مربع = مستطیل + لوزی. قطرهایش هم برابر، هم عمود و هم نیمساز زوایایند؛ $S=a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d=a\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شعاع دایرهٔ محیطی‌اش $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و محاطی‌اش $\frac{a}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

ذوزنقه

قضیهٔ خط میانی: پاره‌خط واصل نقاط وسط دو ساق موازی قاعده‌هاست و

$$MN = \frac{AB + DC}{2}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پس مساحت ذوزنقه برابر خط میانی × ارتفاع است: $S = \frac{(a+b)}{2} \times h$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین: زوایای پای هر قاعده مساوی‌اند، قطرها برابرند، و قابل محاط در دایره است.

فرمول‌های پیشرفتهٔ مساحت

فرمول هرون: با نیم‌محیط $s = \frac{a+b+c}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

فرمول گاوس (بند کفش): برای چندضلعی با رأس‌های $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

$$S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

فرمول پیک: برای هر چندضلعی سادهٔ شبکه‌ای:

$$\boxed{S = i + \frac{b}{2} - 1}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

که $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد نقاط شبکهٔ درونی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد نقاط شبکهٔ مرزی است.

خط میانی و مرکز ثقل

قضیهٔ خط میانی مثلث: پاره‌خط واصل وسط‌های دو ضلع، موازی ضلع سوم و برابر نصف آن است.

قضیهٔ مرکز ثقل: سه میانه در یک نقطه ($G$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) همرس‌اند و هر میانه به نسبت $2:1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رأس تقسیم می‌شود.

چندضلعی منظم و دایره

برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منظم با ضلع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

نکتهٔ جالب: در شش‌ضلعی منظم شعاع دایرهٔ محیطی برابر ضلع است و $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جدول فرمول‌های طلایی و نکات کنکوری

درسنامهٔ کامل یک جدول مرجع از همهٔ فرمول‌های مساحت، محیط، قطر و زاویه دارد، به‌همراه فهرست تله‌های رایج کنکور و بخش «فراتر از کتاب» شامل قضیهٔ پیک، مرکز ثقل چندضلعی و چندضلعی‌های ستاره‌ای.