چندضلعی ها (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $9$ درست است: مثلث‌بندیِ کاملِ هر $n$-ضلعیِ محدب (با قطرهایِ غیرمتقاطع، به‌طوری‌که چندضلعی به مثلث‌هایِ کوچک‌تر تقسیم شود) دقیقاً به $n-3$ قطر نیاز دارد و این حداکثرِ تعدادِ قطرهایِ غیرمتقاطعِ قابلِ‌رسم است. برایِ $n=12$: $12-3=9$. رد گزینه‌های غلط: «$10$»، «$11$» و «$12$» با فرمولِ $n-3$ سازگار نیستند و معمولاً از خلطِ این مفهوم با تعدادِ کلِ قطرهایِ چندضلعی ($\frac{n(n-3)}{2}=54$ برایِ $n=12$) یا با تعدادِ اضلاع ($n=12$) ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: «حداکثرِ قطرهایِ غیرمتقاطع» ($n-3$) با «تعدادِ کلِ قطرها» ($\frac{n(n-3)}{2}$) دو مفهومِ کاملاً متفاوت‌اند؛ افزودنِ هر قطرِ اضافه به مجموعهٔ غیرمتقاطع، ناچار با یکی از قطرهایِ موجود تقاطع پیدا می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $6$ درست است: نیمسازِ زاویهٔ $A$ ضلعِ $CD$ را در نقطهٔ $P$ قطع می‌کند. چون $AB\parallel DC$، $\angle DPA=\angle PAB=\frac{\hat A}{2}=\angle DAP$؛ پس مثلثِ $DAP$ متساوی‌الساقین است و $DP=DA$. به‌طورِ مشابه از نیمسازِ $B$: $CP=CB$. چون $P$ روی $CD$ است، $DP+PC=DC=AB=12$؛ و چون $DA=BC$ (اضلاعِ مقابلِ متوازی‌الاضلاع)، هر دو پاره‌خط برابرِ $BC$اند: $BC+BC=12\Rightarrow BC=6$. رد گزینه‌های غلط: «$8$»، «$9$» و «$12$» با رابطهٔ $2\times BC=DC=AB$ سازگار نیستند و معمولاً از فرضِ نادرستِ برابریِ $BC$ با $AB$ یا نصفِ اشتباهِ محیط ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: کلیدِ حل این است که نیمسازِ هر زاویه با ضلعِ موازیِ روبه‌رو، همیشه یک مثلثِ متساوی‌الساقین می‌سازد (به‌خاطرِ برابریِ زاویهٔ نیمسازشده با زاویهٔ متناوب)؛ بدونِ دیدنِ این الگو، سؤال نیازمندِ مثلثاتِ پیچیده به‌نظر می‌رسد، درحالی‌که فقط با تشخیصِ دو مثلثِ متساوی‌الساقین حل می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $17.5$ درست است: با فرمولِ گاوس (بندِ کفش) برایِ رأس‌هایِ $(0,0)،(6,0)،(5,8)،(1,6)$: $S=\frac12|0\times0-6\times0+6\times8-5\times0+5\times6-1\times8+1\times0-0\times6|=\frac12|0+48+22+0|=35$. طبقِ قضیهٔ وارینیون، مساحتِ متوازی‌الاضلاعِ حاصل از وسط‌هایِ اضلاع همیشه دقیقاً نصفِ مساحتِ چهارضلعیِ اصلی است: $35/2=17.5$. رد گزینه‌های غلط: «$35$» مساحتِ چهارضلعیِ اصلی است، نه وارینیون (فراموشیِ تقسیم بر $2$). «$70$» از دوبرابر‌کردنِ اشتباهِ مساحتِ اصلی ناشی می‌شود. «$8.75$» از تقسیمِ اشتباهِ مساحتِ اصلی بر $4$ به‌جایِ $2$ به‌دست می‌آید. تلهٔ تستی: نسبتِ مساحتِ وارینیون به مساحتِ اصلی همیشه دقیقاً $\frac12$ است — این یک نسبتِ ثابت و مستقل از شکلِ چهارضلعی است؛ فراموش‌کردنِ اعمالِ این نسبت بعد از محاسبهٔ درستِ مساحتِ اصلی، رایج‌ترین خطاست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا «$11$ و $21$» درست است: از ساق $13$ و ارتفاع $12$، نیمِ اختلافِ قاعده‌ها $\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ است، پس اختلافِ قاعده‌ها $10$. برایِ ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین رابطهٔ $\text{قطر}^2=(\text{خطِ میانی})^2+h^2$ برقرار است: $20^2=(\text{خطِ میانی})^2+12^2\Rightarrow \text{خطِ میانی}=\sqrt{400-144}=16$، پس مجموعِ قاعده‌ها $2\times16=32$. با حلِ دستگاهِ مجموع$=32$ و اختلاف$=10$: قاعده‌ها $11$ و $21$. رد گزینه‌های غلط: «$10$ و $20$» اختلافِ درستی دارد ($10$) اما مجموعش $30\neq32$ است. «$12$ و $22$» و «$13$ و $23$» نه در رابطهٔ اختلاف و نه در رابطهٔ قطر صدق می‌کنند. تلهٔ تستی: بسیاری فقط از فیثاغورسِ ساده (برایِ اختلافِ قاعده‌ها) استفاده می‌کنند و رابطهٔ دومِ لازم (بینِ قطر، خطِ میانی و ارتفاع) را برایِ یافتنِ مجموعِ قاعده‌ها فراموش می‌کنند؛ بدونِ این رابطهٔ دوم، دستگاه ناقص و غیرقابل‌حل می‌ماند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $8$ درست است: از $\dfrac{n(n-3)}{2}=35$ داریم $n(n-3)=70$، که با آزمونِ مقادیر یا حلِ معادلهٔ درجه‌دو $n=10$ می‌دهد (چون $10\times7=70$). مثلث‌بندی از یک رأس همیشه $n-2$ مثلث می‌سازد: $10-2=8$. رد گزینه‌های غلط: «$7$» تعدادِ مثلث‌هایِ یک ۹-ضلعی است (یک واحد کمتر از پاسخِ درست، ناشی از محاسبهٔ اشتباهِ $n$). «$9$» و «$10$» بین خودِ $n$ و تعدادِ مثلث‌ها ($n-2$) خلط می‌کنند. تلهٔ تستی: بعد از یافتنِ $n=10$ از رویِ تعدادِ قطرها، فراموش‌کردنِ اعمالِ فرمولِ دومِ سؤال (تعدادِ مثلث‌هایِ حاصل از مثلث‌بندی $=n-2$، نه خودِ $n$) رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $54$ درست است: طولِ خطِ میانی $MN=\dfrac{12+18}{2}=15$. چون $MN$ دقیقاً از وسطِ ساق‌ها می‌گذرد، ارتفاعِ هر یک از دو قسمتِ حاصل برابرِ نصفِ ارتفاعِ کل، یعنی $4$، است. مساحتِ قسمتِ بالایی (بینِ $AB$ و $MN$): $\dfrac{12+15}{2}\times4=27\times2=54$. رد گزینه‌های غلط: «$48$» با فرضِ اشتباهِ ارتفاعِ کاملِ $8$ برایِ هر دو قسمت به‌جایِ نصف‌کردنِ آن به‌دست می‌آید. «$60$» و «$66$» از خلطِ قسمتِ بالایی با قسمتِ پایینی یا محاسبهٔ نادرستِ میانگینِ قاعده‌ها ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: خطِ میانیِ ذوزنقه ارتفاعِ کل را دقیقاً نصف می‌کند، نه مساحت را؛ چون دو قسمتِ حاصل قاعده‌هایِ متفاوت دارند ($AB,MN$ در برابرِ $MN,DC$)، مساحتِ دو قسمت هرگز با هم برابر نیست مگر $AB=DC$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $135°$ درست است: نسبتِ قطرها به اضلاع: $\dfrac{n(n-3)/2}{n}=\dfrac{n-3}{2}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow n-3=5\Rightarrow n=8$. زاویهٔ داخلیِ هشت‌ضلعیِ منظم: $\dfrac{(8-2)\times180°}{8}=\dfrac{1080°}{8}=135°$. رد گزینه‌های غلط: «$120°$» زاویهٔ داخلیِ شش‌ضلعی است (محاسبهٔ اشتباهِ $n=6$). «$140°$» و «$150°$» با هیچ $n$ صحیحِ حاصل از رابطهٔ نسبتِ داده‌شده سازگار نیستند. تلهٔ تستی: نسبتِ «قطر به ضلع» ($\frac{n-3}{2}$) با نسبتِ «قطر به تعدادِ کلِ قطرهایِ ممکن» اشتباه گرفته می‌شود؛ باید دقیقاً فرمولِ $\frac{n(n-3)/2}{n}$ را ساده کرد تا $n$ از معادلهٔ خطی به‌دست آید، نه درجه‌دو.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $12$ درست است: در ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین، رابطهٔ $\text{قطر}^2=(\text{خطِ میانی})^2+h^2$ برقرار است (از مختصات‌گذاریِ متقارنِ رئوس قابلِ‌اثبات است). با جای‌گذاری: $13^2=(\text{خطِ میانی})^2+5^2\Rightarrow169-25=144\Rightarrow\text{خطِ میانی}=\sqrt{144}=12$. رد گزینه‌های غلط: «$10$» از محاسبهٔ $\sqrt{169-5^2}$ با تفریقِ اشتباه به‌دست می‌آید. «$14$» و «$16$» با رابطهٔ فیثاغورسیِ بالا سازگار نیستند و معمولاً از فراموشیِ به‌توانِ‌دوم‌رساندنِ $h$ یا قطر ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: این رابطهٔ خاص ($\text{قطر}^2=\text{خطِ میانی}^2+h^2$) فقط برایِ ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین برقرار است (نه هر ذوزنقهٔ دلخواه)؛ بدونِ دانستنِ این رابطه، سؤال به‌ظاهر اطلاعاتِ ناکافی دارد، اما با آن مستقیم و سریع حل می‌شود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $11.5$ درست است: با حذف یک نقطهٔ مرزی، $b$ یک واحد کاهش می‌یابد و $i$ ثابت می‌ماند؛ طبق فرمول پیک، مساحت جدید $i+\dfrac{b-1}{2}-1=6+\dfrac{13}{2}-1=11.5$ است. رد گزینه‌های غلط: «$11$» و «$12$» از این خطا ناشی می‌شوند که به‌اشتباه فرض شود حذفِ یک نقطهٔ مرزی، مساحت را یک واحدِ کامل تغییر می‌دهد (درحالی‌که تغییر همیشه نصف‌واحد است، چون ضریبِ $b$ در فرمولِ پیک $\frac12$ است). «$12.5$» از افزایشِ اشتباهِ مساحت به‌جای کاهش ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: تغییرِ هر نقطهٔ مرزی، مساحت را دقیقاً به‌اندازهٔ $\frac12$ واحد تغییر می‌دهد (نه یک واحدِ کامل)، چون در فرمولِ پیک فقط ضریبِ $b$ برابرِ $\frac12$ است؛ نقاطِ درونی برخلافِ نقاطِ مرزی هرکدام یک واحدِ کامل تغییر می‌دهند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چرا $\dfrac{16}{3}$ درست است: چون مثلث متساوی‌الساقین است، میانهٔ $AM$ بر قاعده عمود می‌شود و $BM=6$. طبقِ فیثاغورس: $AM=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$. مرکزِ ثقل هر میانه را به نسبتِ $2:1$ از رأس تقسیم می‌کند: $AG=\dfrac23\times8=\dfrac{16}{3}$. وارسیِ مستقل با مختصات: $B=(-6,0)$، $C=(6,0)$، $A=(0,8)$؛ مرکزِ ثقل $G=(0,\tfrac83)$، پس $AG=8-\tfrac83=\tfrac{16}{3}$ ✓. رد گزینه‌های غلط: «$\dfrac{8}{3}$» فاصلهٔ مرکزِ ثقل تا قاعده است ($GM=\frac13\times8$)، نه تا رأسِ $A$ — خلطِ این دو پاره‌خط رایج‌ترین خطاست. «$4$» نصفِ میانه است (فرضِ نادرستِ نسبتِ $1:1$ به‌جایِ $2:1$). «$6$» با نیمِ قاعده ($BM$) خلط شده و اصلاً رویِ میانه اندازه‌گیری نشده. تلهٔ تستی: مرکزِ ثقل میانه را به نسبتِ $2:1$ از **رأس** تقسیم می‌کند، یعنی فاصلهٔ رأس تا مرکزِ ثقل $\frac23$ کلِ میانه و فاصلهٔ مرکزِ ثقل تا قاعده تنها $\frac13$ آن است؛ سؤال دقیقاً فاصله از رأس را می‌خواهد.