تابع، دامنه و برد (ریاضی ۱)

فصل پنجم: تابع

مفهوم تابع

بسیاری از کمیت‌ها به هم وابسته‌اند (دما به ساعت، نمره به درس) و ویژگی مشترکشان این است که به هر عضو از مجموعهٔ اول، دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم نسبت داده می‌شود.

تعریف رسمی: تابع از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($f:A\to B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) رابطه‌ای است که به هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (دامنه) دقیقاً یک عضو از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (همدامنه) نسبت می‌دهد:

چهار بازنمایی تابع:

• جدول: مقادیر ورودی و خروجی کنار هم.
• نمودار پیکانی: از هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً یک پیکان خارج می‌شود؛ اگر از یک عضو دو پیکان خارج شود یا هیچ پیکانی خارج نشود، تابع نیست. تکرار مقدار خروجی برای دو ورودی مختلف اشکالی ندارد.
• زوج مرتب: $f\ \text{تابع است}\iff(a,b)\in f, (a,c)\in f\Rightarrow b=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی هیچ دو زوج با مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت نداشته باشیم.
• نمودار مختصاتی: با معیار خط عمودی — اگر هر خط موازی محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع کند، نمودار تابع است.

نکتهٔ کنکوری: برای تشخیص تابع بودن، دنبال ورودی تکراری با خروجی متفاوت بگرد؛ مثلاً $f=\{(1,5),(2,9),(2,5),(3,10)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون عضو $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو خروجی متفاوت دارد، تابع نیست؛ اما $g=\{(0,1),(3,1),(-5,1),(8,1)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع ثابت است (اشکالی ندارد).

دامنه و برد

برد همیشه زیرمجموعهٔ همدامنه است، نه لزوماً برابر آن.

دامنهٔ طبیعی توابع جبری — سه محدودیت اصلی:

مثال: $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}\Rightarrow x\ge-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x\neq3\Rightarrow$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دامنه $[-1,3)\cup(3,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

یافتن برد: یا از روی نمودار (تصویر روی محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، یا با حل $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برحسب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و یافتن مقادیر $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حقیقی می‌دهند. مثال: $y=x^2+1\Rightarrow x^2=y-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای حقیقی‌بودن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $y\ge1\Rightarrow$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برد $[1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع خطی $\boxed{f(x)=ax+b\ (a\neq0)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: دامنه و برد هر دو $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نمودار خط راست با شیب $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و همیشه یک‌به‌یک است. معادلهٔ تابع خطی از دو نقطه: $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $b=y_1-ax_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دامنهٔ کاربردی: در مسائل واقعی، دامنه براساس معنای فیزیکی تعیین می‌شود نه فقط شرط جبری — مثلاً برای شمعی با ارتفاع $f(t)=20-4t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که می‌سوزد، دامنه $[0,5]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است نه کل $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معیار خط عمودی — کاربرد: دایرهٔ $x^2+y^2=r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع نیست (خط عمودی در دو نقطه قطع می‌کند)، اما سهمی $y=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تابع است.

دامنهٔ ترکیبی رادیکال و کسر (مثال پیچیده‌تر): برای $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید هم‌زمان $4-x^2\ge0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یعنی $-2\le x\le2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و $x\neq1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار باشد؛ دامنه: $[-2,1)\cup(1,2]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

انواع تابع و تبدیل‌ها

توابع چندجمله‌ای: $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\ (a_n\neq0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با درجهٔ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دامنهٔ طبیعی $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. موارد خاص: تابع همانی $f(x)=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (دامنه=برد)، تابع ثابت $f(x)=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (برد تک‌عضوی $\{k\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

تابع قدرمطلق: $f(x)=|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با دامنهٔ $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برد $[0,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نمودار شکل $V$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع قطعه‌ای: با فرمول‌های متفاوت روی بخش‌های مختلف دامنه تعریف می‌شود؛ برد کل، اتحاد برد هر قطعه است. مثال: $f(x)=\begin{cases}x+2&x\ge1\\-x&x<1\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برد کل $(-1,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

انتقال توابع:

دام رایج کنکور: $f(x+k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال به چپ است نه راست، و $f(x-k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال به راست است — برعکس شهود اول.

تابع درجهٔ دوم — تحلیل کامل: $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $h=-\frac{b}{2a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ دامنه $\mathbb R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برد $[k,+\infty)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $(-\infty,k]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: برای $f(x)=-2(x-3)^2+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون $a=-2<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس حداکثر تابع است، پس برد $(-\infty,5]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

محاسبهٔ مقادیر تابع (روش جایگذاری): برای تابع قطعه‌ای $f(x)=\begin{cases}x^2&x\ge0\\-3x&x<0\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $f(4)=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $f(-2)=-3(-2)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $f(0)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای تابع مرکب: $g(x)=2x^2-3x+1\Rightarrow g(t+1)=2(t+1)^2-3(t+1)+1=2t^2+t$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلهٔ تابع از روی دو نقطه: برای تابع خطی، اگر $f(0)=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $f(2)=11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a=\frac{11-7}{2-0}=2,\ b=7\Rightarrow f(x)=2x+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای تابع درجهٔ دوم با رأس $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از نقطهٔ $(x_0,y_0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد: $a=\dfrac{y_0-k}{(x_0-h)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مباحث تکمیلی (فراتر از کتاب)

ترکیب توابع: $\boxed{(g\circ f)(x)=g(f(x))}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ابتدا $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سپس $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اعمال می‌شود؛ به‌طور کلی $g\circ f\neq f\circ g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $f(x)=x^2,g(x)=x+3\Rightarrow(g\circ f)(x)=x^2+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اما $(f\circ g)(x)=(x+3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع یک‌به‌یک (Injective): $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با معیار خط افقی بررسی می‌شود. $f(x)=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک‌به‌یک نیست چون $f(2)=f(-2)=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تابع پوشا (Surjective): $\text{برد}(f)=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی هر عضو همدامنه حداقل یک پیش‌نگاشت دارد.

تابع وارون: فقط برای توابع یک‌به‌یک تعریف می‌شود؛ $f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. روش یافتن: معادلهٔ $y=f(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را برحسب $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حل کن و جای $x,y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را عوض کن. مثال: $f(x)=2x-3\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نمودار $f^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بازتاب نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

زوج و فرد بودن تابع:

مثال: $f(x)=x^3-x\Rightarrow f(-x)=-x^3+x=-f(x)\Rightarrow$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد است.

تابع یکنوا: صعودی اگر $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نزولی اگر برعکس. هر تابع یکنوای اکید، یک‌به‌یک است.

تابع گام: $f(x)=\lfloor x\rfloor=$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌ترین عدد صحیح $\le x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ کاربرد در تعرفه‌های پله‌ای. مثال: $\lfloor3.7\rfloor=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\lfloor-1.2\rfloor=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دامنهٔ ترکیب دو تابع: $\text{دامنه}(g\circ f)=\{x\in\text{دامنهٔ }f\mid f(x)\in\text{دامنهٔ }g\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی خروجی $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید در دامنهٔ $g$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بگنجد.

الگوریتم ترسیم سریع تابع: ۱) دامنه را تعیین کن، ۲) نقاط خاص (صفرها، عرض از مبدأ، رأس) را بیاب، ۳) نوع تابع (خطی، درجهٔ دوم، قدرمطلق، ...) را تشخیص بده، ۴) انتقال از تابع پایه را شناسایی کن، ۵) نمودار را رسم کن، ۶) برد را از نمودار بخوان.

نکات کنکوری جامع

• دامنه از نمودار: نقاط توپر داخل دامنه، نقاط توخالی خارج از دامنه‌اند.
• معیار خط عمودی/افقی: خط عمودی برای تابع‌بودن، خط افقی برای یک‌به‌یک‌بودن — هر دو با شرط «حداکثر یک نقطهٔ تقاطع».
• برد تابع درجهٔ دوم روی بازهٔ $[m,n]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: اگر رأس $h\in[m,n]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حداقل $=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و حداکثر $=\max\{f(m),f(n)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $h\notin[m,n]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، فقط دو انتها بررسی می‌شوند.
• رابطهٔ کلیدی: $f(a)=b\iff$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی نمودار $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.