پرش به محتوای اصلی

تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

فصل پنجم: تابع

مفهوم تابع

بسیاری از کمیت‌ها به هم وابسته‌اند (دما به ساعت، نمره به درس) و ویژگی مشترکشان این است که به هر عضو از مجموعهٔ اول، دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم نسبت داده می‌شود.

تعریف رسمی: تابع از AA به BB (f:A→Bf:A\to B) رابطه‌ای است که به هر عضو AA (دامنه) دقیقاً یک عضو از BB (همدامنه) نسبت می‌دهد:

f تابع است  ⟺  ∀a∈A, ∃!b∈B:f(a)=bf\ \text{تابع است}\iff\forall a\in A,\ \exists!b\in B:f(a)=b

چهار بازنمایی تابع:

  • جدول: مقادیر ورودی و خروجی کنار هم.
  • نمودار پیکانی: از هر عضو AA دقیقاً یک پیکان خارج می‌شود؛ اگر از یک عضو دو پیکان خارج شود یا هیچ پیکانی خارج نشود، تابع نیست. تکرار مقدار خروجی برای دو ورودی مختلف اشکالی ندارد.
  • زوج مرتب: f تابع است  ⟺  (a,b)∈f,(a,c)∈f⇒b=cf\ \text{تابع است}\iff(a,b)\in f, (a,c)\in f\Rightarrow b=c — یعنی هیچ دو زوج با مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت نداشته باشیم.
  • نمودار مختصاتی: با معیار خط عمودی — اگر هر خط موازی محور yy نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع کند، نمودار تابع است.

نکتهٔ کنکوری: برای تشخیص تابع بودن، دنبال ورودی تکراری با خروجی متفاوت بگرد؛ مثلاً f={(1,5),(2,9),(2,5),(3,10)}f=\{(1,5),(2,9),(2,5),(3,10)\} چون عضو 22 دو خروجی متفاوت دارد، تابع نیست؛ اما g={(0,1),(3,1),(−5,1),(8,1)}g=\{(0,1),(3,1),(-5,1),(8,1)\} تابع ثابت است (اشکالی ندارد).

دامنه و برد

دامنهٔ f={a∣(a,b)∈f}بردِ f={b∣(a,b)∈f}\boxed{\text{دامنهٔ }f=\{a\mid(a,b)\in f\}} \qquad \boxed{\text{بردِ }f=\{b\mid(a,b)\in f\}}

برد همیشه زیرمجموعهٔ همدامنه است، نه لزوماً برابر آن.

دامنهٔ طبیعی توابع جبری — سه محدودیت اصلی:

نوع عبارت شرط
g(x)\sqrt{g(x)} (یا هر ریشهٔ زوج) g(x)≥0g(x)\ge0
g(x)3\sqrt[3]{g(x)} (یا هر ریشهٔ فرد) بدون شرط
1g(x)\dfrac{1}{g(x)} g(x)≠0g(x)\neq0
g(x)h(x)\dfrac{\sqrt{g(x)}}{h(x)} g(x)≥0g(x)\ge0 و h(x)≠0h(x)\neq0

مثال: f(x)=x+1x−3⇒x≥−1f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}\Rightarrow x\ge-1 و x≠3⇒x\neq3\Rightarrow دامنه [−1,3)∪(3,+∞)[-1,3)\cup(3,+\infty).

یافتن برد: یا از روی نمودار (تصویر روی محور yy)، یا با حل y=f(x)y=f(x) برحسب xx و یافتن مقادیر yy که xx حقیقی می‌دهند. مثال: y=x2+1⇒x2=y−1y=x^2+1\Rightarrow x^2=y-1؛ برای حقیقی‌بودن xx: y≥1⇒y\ge1\Rightarrow برد [1,+∞)[1,+\infty).

تابع خطی f(x)=ax+b (a≠0)\boxed{f(x)=ax+b\ (a\neq0)}: دامنه و برد هر دو R\mathbb R، نمودار خط راست با شیب aa، و همیشه یک‌به‌یک است. معادلهٔ تابع خطی از دو نقطه: a=y2−y1x2−x1a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, b=y1−ax1b=y_1-ax_1.

دامنهٔ کاربردی: در مسائل واقعی، دامنه براساس معنای فیزیکی تعیین می‌شود نه فقط شرط جبری — مثلاً برای شمعی با ارتفاع f(t)=20−4tf(t)=20-4t که می‌سوزد، دامنه [0,5][0,5] است نه کل R\mathbb R.

معیار خط عمودی — کاربرد: دایرهٔ x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 تابع نیست (خط عمودی در دو نقطه قطع می‌کند)، اما سهمی y=x2y=x^2 تابع است.

دامنهٔ ترکیبی رادیکال و کسر (مثال پیچیده‌تر): برای f(x)=4−x2x−1f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-1} باید هم‌زمان 4−x2≥04-x^2\ge0 (یعنی −2≤x≤2-2\le x\le2) و x≠1x\neq1 برقرار باشد؛ دامنه: [−2,1)∪(1,2][-2,1)\cup(1,2].

انواع تابع و تبدیل‌ها

توابع چندجمله‌ای: f(x)=anxn+⋯+a0 (an≠0)f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\ (a_n\neq0) با درجهٔ nn و دامنهٔ طبیعی R\mathbb R. موارد خاص: تابع همانی f(x)=xf(x)=x (دامنه=برد)، تابع ثابت f(x)=kf(x)=k (برد تک‌عضوی {k}\{k\}).

تابع قدرمطلق: f(x)=∣x∣={xx≥0−xx<0f(x)=|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}، با دامنهٔ R\mathbb R، برد [0,+∞)[0,+\infty) و نمودار شکل VV.

تابع قطعه‌ای: با فرمول‌های متفاوت روی بخش‌های مختلف دامنه تعریف می‌شود؛ برد کل، اتحاد برد هر قطعه است. مثال: f(x)={x+2x≥1−xx<1f(x)=\begin{cases}x+2&x\ge1\\-x&x<1\end{cases} برد کل (−1,+∞)(-1,+\infty) است.

انتقال توابع:

تبدیل اثر
f(x)+k (k>0)f(x)+k\ (k>0) kk واحد بالا
f(x−k) (k>0)f(x-k)\ (k>0) kk واحد راست
f(x+k) (k>0)f(x+k)\ (k>0) kk واحد چپ
−f(x)-f(x) بازتاب نسبت به محور xx
f(−x)f(-x) بازتاب نسبت به محور yy

دام رایج کنکور: f(x+k)f(x+k) انتقال به چپ است نه راست، و f(x−k)f(x-k) انتقال به راست است — برعکس شهود اول.

تابع درجهٔ دوم — تحلیل کامل: f(x)=ax2+bx+c=a(x−h)2+kf(x)=ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k با h=−b2ah=-\frac{b}{2a}, k=4ac−b24ak=\frac{4ac-b^2}{4a}؛ دامنه R\mathbb R و برد [k,+∞)[k,+\infty) اگر a>0a>0 یا (−∞,k](-\infty,k] اگر a<0a<0. مثال: برای f(x)=−2(x−3)2+5f(x)=-2(x-3)^2+5، چون a=−2<0a=-2<0 رأس حداکثر تابع است، پس برد (−∞,5](-\infty,5].

محاسبهٔ مقادیر تابع (روش جایگذاری): برای تابع قطعه‌ای f(x)={x2x≥0−3xx<0f(x)=\begin{cases}x^2&x\ge0\\-3x&x<0\end{cases}: f(4)=16f(4)=16، f(−2)=−3(−2)=6f(-2)=-3(-2)=6، f(0)=0f(0)=0. برای تابع مرکب: g(x)=2x2−3x+1⇒g(t+1)=2(t+1)2−3(t+1)+1=2t2+tg(x)=2x^2-3x+1\Rightarrow g(t+1)=2(t+1)^2-3(t+1)+1=2t^2+t.

معادلهٔ تابع از روی دو نقطه: برای تابع خطی، اگر f(0)=7f(0)=7 و f(2)=11f(2)=11: a=11−72−0=2, b=7⇒f(x)=2x+7a=\frac{11-7}{2-0}=2,\ b=7\Rightarrow f(x)=2x+7. برای تابع درجهٔ دوم با رأس (h,k)(h,k) که از نقطهٔ (x0,y0)(x_0,y_0) می‌گذرد: a=y0−k(x0−h)2a=\dfrac{y_0-k}{(x_0-h)^2}.

مباحث تکمیلی (فراتر از کتاب)

ترکیب توابع: (g∘f)(x)=g(f(x))\boxed{(g\circ f)(x)=g(f(x))}، ابتدا ff سپس gg اعمال می‌شود؛ به‌طور کلی g∘f≠f∘gg\circ f\neq f\circ g. مثال: f(x)=x2,g(x)=x+3⇒(g∘f)(x)=x2+3f(x)=x^2,g(x)=x+3\Rightarrow(g\circ f)(x)=x^2+3 اما (f∘g)(x)=(x+3)2(f\circ g)(x)=(x+3)^2.

تابع یک‌به‌یک (Injective): f(a)=f(b)⇒a=bf(a)=f(b)\Rightarrow a=b؛ با معیار خط افقی بررسی می‌شود. f(x)=x2f(x)=x^2 یک‌به‌یک نیست چون f(2)=f(−2)=4f(2)=f(-2)=4.

تابع پوشا (Surjective): برد(f)=B\text{برد}(f)=B، یعنی هر عضو همدامنه حداقل یک پیش‌نگاشت دارد.

تابع وارون: فقط برای توابع یک‌به‌یک تعریف می‌شود؛ f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x\iff f(x)=y. روش یافتن: معادلهٔ y=f(x)y=f(x) را برحسب xx حل کن و جای x,yx,y را عوض کن. مثال: f(x)=2x−3⇒f−1(x)=x+32f(x)=2x-3\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}. نمودار f−1f^{-1} بازتاب نمودار ff نسبت به خط y=xy=x است.

زوج و فرد بودن تابع:

f(−x)=f(x)⇒زوج (متقارن نسبت به محور y)f(−x)=−f(x)⇒فرد (متقارن نسبت به مبدأ)\boxed{f(-x)=f(x)\Rightarrow\text{زوج (متقارن نسبت به محور }y\text{)}} \qquad \boxed{f(-x)=-f(x)\Rightarrow\text{فرد (متقارن نسبت به مبدأ)}}

مثال: f(x)=x3−x⇒f(−x)=−x3+x=−f(x)⇒f(x)=x^3-x\Rightarrow f(-x)=-x^3+x=-f(x)\Rightarrow فرد است.

تابع یکنوا: صعودی اگر x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)؛ نزولی اگر برعکس. هر تابع یکنوای اکید، یک‌به‌یک است.

تابع گام: f(x)=⌊x⌋=f(x)=\lfloor x\rfloor= بزرگ‌ترین عدد صحیح ≤x\le x؛ کاربرد در تعرفه‌های پله‌ای. مثال: ⌊3.7⌋=3\lfloor3.7\rfloor=3، ⌊−1.2⌋=−2\lfloor-1.2\rfloor=-2.

دامنهٔ ترکیب دو تابع: دامنه(g∘f)={x∈دامنهٔ f∣f(x)∈دامنهٔ g}\text{دامنه}(g\circ f)=\{x\in\text{دامنهٔ }f\mid f(x)\in\text{دامنهٔ }g\} — یعنی خروجی ff باید در دامنهٔ gg هم بگنجد.

الگوریتم ترسیم سریع تابع: ۱) دامنه را تعیین کن، ۲) نقاط خاص (صفرها، عرض از مبدأ، رأس) را بیاب، ۳) نوع تابع (خطی، درجهٔ دوم، قدرمطلق، ...) را تشخیص بده، ۴) انتقال از تابع پایه را شناسایی کن، ۵) نمودار را رسم کن، ۶) برد را از نمودار بخوان.

نکات کنکوری جامع

  • دامنه از نمودار: نقاط توپر داخل دامنه، نقاط توخالی خارج از دامنه‌اند.
  • معیار خط عمودی/افقی: خط عمودی برای تابع‌بودن، خط افقی برای یک‌به‌یک‌بودن — هر دو با شرط «حداکثر یک نقطهٔ تقاطع».
  • برد تابع درجهٔ دوم روی بازهٔ [m,n][m,n]: اگر رأس h∈[m,n]h\in[m,n] باشد و a>0a>0، حداقل =k=k و حداکثر =max⁡{f(m),f(n)}=\max\{f(m),f(n)\}؛ اگر h∉[m,n]h\notin[m,n]، فقط دو انتها بررسی می‌شوند.
  • رابطهٔ کلیدی: f(a)=b  ⟺  f(a)=b\iff نقطهٔ (a,b)(a,b) روی نمودار ff است.
f:A→B تابع  ⟺  ∀a∈A,∃!b∈B:f(a)=bیک‌به‌یک: f(a)=f(b)⇒a=bf:A\to B\ \text{تابع}\iff\forall a\in A,\exists!b\in B:f(a)=b \qquad \text{یک‌به‌یک: }f(a)=f(b)\Rightarrow a=b

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر معادلهٔ درجه دوم x2−5x+c=0x^2-5x+c=0 دو ریشهٔ حقیقی برابر داشته باشد، cc کدام است؟

  • 52\dfrac{5}{2}
  • 44
  • 254\dfrac{25}{4}
  • 55

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«254\dfrac{25}{4}» درست است زیرا برایِ ریشه‌هایِ حقیقیِ برابر باید Δ=0\Delta=0 باشد: (−5)2−4(1)(c)=0(-5)^2-4(1)(c)=0، پس 25−4c=025-4c=0 و c=254c=\dfrac{25}{4}. «44» نادرست است چون از حلِ نادرستِ معادلهٔ دترمینان (مثلاً فراموش‌کردنِ ضریبِ 44 در 4c4c) به دست آمده. «55» نادرست است چون به‌جایِ تقسیمِ 2525 بر 44، عددِ نزدیکِ گردشده به‌عنوانِ پاسخ گزارش شده است. «52\dfrac{5}{2}» نادرست است چون این عدد جذرِ 25/425/4 است نه خودِ cc؛ گویی به‌اشتباه ریشه‌گیری هم انجام شده. تلهٔ تستی: شرطِ ریشهٔ حقیقیِ برابر همیشه Δ=b2−4ac=0\Delta=b^2-4ac=0 است؛ فراموش‌کردنِ ضریبِ 44 یا aa در این فرمول رایج‌ترین خطاست.

2. اگر ریشه‌های معادلهٔ x2−7x+10=0x^2-7x+10=0 را r1r_1 و r2r_2 بگیریم، مقدار r12+r22r_1^2+r_2^2 کدام است؟

  • 3737
  • 2929
  • 4141
  • 4949

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«2929» درست است زیرا طبقِ روابطِ ویتا r1+r2=7r_1+r_2=7 و r1r2=10r_1r_2=10؛ پس r12+r22=(r1+r2)2−2r1r2=49−20=29r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2)^2-2r_1r_2=49-20=29. «3737» نادرست است چون در محاسبهٔ 2r1r22r_1r_2، عددِ 1010 به‌جایِ دوبرابرشدن (2020)، فقط یک‌بار از 4949 کم شده است. «4141» نادرست است چون به‌جایِ کم‌کردنِ 2r1r22r_1r_2، مقدارِ r1r2r_1r_2 به‌تنهایی از (r1+r2)2(r_1+r_2)^2 کم شده است. «4949» نادرست است چون این فقط (r1+r2)2(r_1+r_2)^2 است و جمله‌ی −2r1r2-2r_1r_2 به‌کل فراموش شده. تلهٔ تستی: فرمولِ r12+r22=(r1+r2)2−2r1r2r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2)^2-2r_1r_2 باید کامل به‌کار رود؛ فراموش‌کردنِ ضریبِ 22 در جمله‌ی دوم رایج‌ترین خطاست.

3. کدام معادله دقیقاً یک ریشهٔ مضاعف دارد؟

  • x2−4x+3=0x^2-4x+3=0
  • x2−x−2=0x^2-x-2=0
  • x2+4x+4=0x^2+4x+4=0
  • x2+4x+5=0x^2+4x+5=0

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«x2+4x+4=0x^2+4x+4=0» درست است زیرا این معادله به‌صورتِ (x+2)2=0(x+2)^2=0 تجزیه می‌شود که دقیقاً یک ریشهٔ مضاعف (x=−2x=-2) دارد. «x2+4x+5=0x^2+4x+5=0» نادرست است چون Δ=16−20=−4<0\Delta=16-20=-4<0 است، پس این معادله اصلاً ریشهٔ حقیقی ندارد. «x2−4x+3=0x^2-4x+3=0» نادرست است چون Δ=16−12=4>0\Delta=16-12=4>0 است و به (x−1)(x−3)=0(x-1)(x-3)=0 تجزیه می‌شود، یعنی دو ریشهٔ متمایز دارد. «x2−x−2=0x^2-x-2=0» نادرست است چون Δ=1+8=9>0\Delta=1+8=9>0 است و به (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 تجزیه می‌شود، یعنی این هم دو ریشهٔ متمایز دارد، نه ریشهٔ مضاعف. تلهٔ تستی: ریشهٔ مضاعف همیشه و فقط با Δ=b2−4ac=0\Delta=b^2-4ac=0 مشخص می‌شود؛ کافی است این مقدار را برایِ هر گزینه محاسبه و صفر‌بودنش را چک کرد.

4. اگر x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 باشد، مقدار x+1xx+\dfrac1x برای هر ریشه برابر چیست؟

  • 22
  • 44
  • ±23\pm 2\sqrt{3}
  • ±4\pm 4

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«44» درست است زیرا با تقسیمِ معادلهٔ x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 بر xx (که چون x=0x=0 در معادله صدق نمی‌کند مجاز است)، به x−4+1x=0x-4+\dfrac{1}{x}=0 می‌رسیم؛ پس x+1x=4x+\dfrac{1}{x}=4. «22» نادرست است چون عددِ ثابتِ معادله (11) به‌جایِ انتقالِ درست، نصف شده است. «±23\pm2\sqrt{3}» نادرست است چون این مقدار از حلِ مستقیمِ ریشه‌های xx (نه ترکیبِ x+1/xx+1/x) به دست آمده و برایِ این سؤال نامربوط است. «±4\pm4» نادرست است چون علامتِ منفیِ اضافه‌ای به پاسخ اعمال شده، در حالی‌که تقسیمِ معادله بر xx نتیجه‌ای بدونِ ابهامِ علامت می‌دهد. تلهٔ تستی: برایِ یافتنِ x+1xx+\frac1x از رویِ معادلهٔ x2+bx+c=0x^2+bx+c=0، کافی است کلِ معادله بر xx تقسیم و عبارت جابه‌جا شود؛ نیازی به حلِ مستقیمِ ریشه‌ها نیست.

5. اگر f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3، محور تقارن سهمی کدام است؟

  • x=−1x=-1
  • x=2x=2
  • x=−2x=-2
  • x=1x=1

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«x=1x=1» درست است زیرا برایِ f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c محورِ تقارن x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} است؛ اینجا a=1a=1 و b=−2b=-2، پس x=−−22=1x=-\dfrac{-2}{2}=1. «x=−1x=-1» نادرست است چون علامتِ bb در فرمول برعکس اعمال شده، گویی b=2b=2 بوده نه −2-2. «x=2x=2» نادرست است چون به‌جایِ تقسیم بر 2a=22a=2، فقط عملیاتِ ناقصی رویِ bb انجام شده است. «x=−2x=-2» نادرست است چون هم علامت و هم مقدارِ تقسیم به‌اشتباه اعمال شده‌اند. تلهٔ تستی: در فرمولِ محورِ تقارن −b2a-\frac{b}{2a}، علامتِ منفیِ ابتدایِ فرمول باید با علامتِ خودِ bb ترکیب شود؛ برایِ bbی منفی، این دو منفی یکدیگر را خنثی می‌کنند و نتیجه مثبت می‌شود.

6. اگر f(x)=∣x−3∣−2f(x)=|x-3|-2 باشد، کمترین مقدار تابع چیست؟

  • −3-3
  • −2-2
  • 00
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«−2-2» درست است زیرا ∣x−3∣|x-3| همیشه نامنفی است و کمینه‌اش (یعنی صفر) در x=3x=3 رخ می‌دهد؛ در آن نقطه f(3)=0−2=−2f(3)=0-2=-2. «−3-3» نادرست است چون عددِ ثابتِ −2-2 به‌اشتباه دوبار در محاسبه دخالت داده شده است. «00» نادرست است چون این مقدارِ ∣x−3∣|x-3| در رأس است، نه مقدارِ کاملِ تابع پس از کم‌کردنِ 22. «22» نادرست است چون علامتِ عددِ ثابت برعکس اعمال شده، گویی تابع ∣x−3∣+2|x-3|+2 بوده است. تلهٔ تستی: برایِ تابعِ ∣x−h∣+k|x-h|+k، کمینه همیشه دقیقاً برابرِ kk است (چون ∣x−h∣≥0|x-h|\geq0)؛ کافی است این جمله‌ی ثابت را با علامتِ درست خواند.

7. اگر f(x)=x2−4x+4f(x)=x^2-4x+4 و g(x)=x−2g(x)=x-2 باشد، کدام گزاره درست است؟

  • f(x)=g(x)2f(x)=g(x)^2
  • f(x)=2g(x)f(x)=2g(x)
  • f(x)=g(x)+2f(x)=g(x)+2
  • f(x)=g(x)f(x)=g(x) روی R\mathbb{R}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«f(x)=g(x)2f(x)=g(x)^2» درست است زیرا f(x)=x2−4x+4=(x−2)2f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2 و g(x)=x−2g(x)=x-2؛ پس f(x)f(x) دقیقاً برابرِ مربعِ g(x)g(x) است. «f(x)=g(x)f(x)=g(x) روی R\mathbb{R}» نادرست است چون ff درجهٔ دو و gg درجهٔ یک است؛ این دو هرگز برایِ همهٔ xx برابر نیستند (مثلاً در x=0x=0: f(0)=4f(0)=4 اما g(0)=−2g(0)=-2). «f(x)=2g(x)f(x)=2g(x)» نادرست است چون 2g(x)=2x−42g(x)=2x-4 یک تابعِ خطی است، در حالی‌که f(x)f(x) درجهٔ دو است. «f(x)=g(x)+2f(x)=g(x)+2» نادرست است چون g(x)+2=xg(x)+2=x می‌شود که نه با f(x)f(x) برابر است. تلهٔ تستی: وقتی f(x)f(x) پس از تجزیه به فرمِ (g(x))2(g(x))^2 برسد، رابطهٔ درست همیشه توانِ دوم است، نه ضرب یا جمعِ سادهٔ g(x)g(x) با یک عدد.

8. اگر f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 و f(a)=0f(a)=0، آنگاه aa کدام است؟

  • 00
  • ±1\pm1
  • 22
  • ±2\pm2

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«±1\pm1» درست است زیرا f(a)=0f(a)=0 یعنی a2−1=0a^2-1=0، که با تجزیه به (a−1)(a+1)=0(a-1)(a+1)=0 می‌رسد و a=±1a=\pm1 می‌دهد. «00» نادرست است چون f(0)=02−1=−1≠0f(0)=0^2-1=-1\neq0؛ این مقدار در معادله صدق نمی‌کند. «22» نادرست است چون فقط یکی از دو علامتِ ممکن (و آن هم نادرست) گزارش شده؛ f(2)=4−1=3≠0f(2)=4-1=3\neq0 است. «±2\pm2» نادرست است چون f(2)=3≠0f(2)=3\neq0 و f(−2)=3≠0f(-2)=3\neq0؛ این اعداد اصلاً در معادله صدق نمی‌کنند. تلهٔ تستی: از a2=1a^2=1 باید هر دو ریشهٔ ±1\pm1 استخراج شود؛ فراموش‌کردنِ یکی از دو علامت یا محاسبهٔ اشتباهِ خودِ عدد رایج‌ترین خطاست.

9. اگر f(x)=∣x+1∣f(x)=|x+1| و g(x)=∣x−1∣g(x)=|x-1|، مقدار f(0)+g(0)f(0)+g(0) چقدر است؟

  • 44
  • 11
  • 22
  • 33

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«22» درست است زیرا f(0)=∣0+1∣=1f(0)=|0+1|=1 و g(0)=∣0−1∣=1g(0)=|0-1|=1؛ پس f(0)+g(0)=1+1=2f(0)+g(0)=1+1=2. «11» نادرست است چون فقط یکی از دو مقدار (نه هر دو) در جمع لحاظ شده است. «33» نادرست است چون یکی از دو قدرمطلق به‌اشتباه با مقدارِ بزرگ‌تری (مثلاً 22 به‌جایِ 11) محاسبه شده است. «44» نادرست است چون هر دو قدرمطلق با خطایِ مشابه بزرگ‌تر از مقدارِ واقعی گرفته شده‌اند. تلهٔ تستی: در جمعِ دو تابعِ قدرمطلقی در یک نقطه، باید هر قدرمطلق را کاملاً و جداگانه محاسبه کرد؛ فراموش‌کردنِ یکی از دو جمله رایج‌ترین خطاست.

10. اگر f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1 باشد، مقدار f(−1)f(-1) چیست؟

  • −1-1
  • 00
  • 11
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«00» درست است زیرا f(x)=x2+2x+1=(x+1)2f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2؛ پس f(−1)=(−1+1)2=02=0f(-1)=(-1+1)^2=0^2=0. «11» نادرست است چون به‌جایِ محاسبهٔ کاملِ (x+1)2(x+1)^2 در x=−1x=-1، فقط یکی از جمله‌های داخلِ پرانتز (−1+1-1+1 اشتباه محاسبه‌شده) لحاظ شده است. «22» نادرست است چون در جایگذاریِ مستقیم، 2x2x با علامتِ نادرست جمع شده است. «−1-1» نادرست است چون علامتِ نهاییِ محاسبه برعکس گزارش شده، در حالی‌که یک عددِ به‌توان‌رسیده هرگز منفی نمی‌شود. تلهٔ تستی: وقتی تابع به‌فرمِ (x+h)2(x+h)^2 باشد، جایگذاریِ x=−hx=-h همیشه مقدارِ صفر می‌دهد؛ این را می‌توان بدونِ باز کردنِ کاملِ عبارت، مستقیم از رویِ فرمِ فاکتورگیری‌شده خواند.

مباحث مرتبط

مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم ریاضی)ترسیم های هندسی و استدلالقضیه تالس، تشابه و کاربردهای آن (علوم ریاضی)چندضلعی ها (علوم ریاضی)تجسم فضایی (علوم ریاضی)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان