دایره، زاویه و وتر (هندسه ۲)

مفاهیم اولیه و زوایا در دایره

دایرهٔ $C(O,r)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مجموعهٔ تمام نقاطی است که فاصله‌شان از مرکز $O$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد. نقطه‌ای با $OA<r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین درون دایره، با $OB=r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین روی دایره و با $OC>r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیرون آن است.

اوضاع نسبی خط و دایره

با $OH$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌عنوان فاصلهٔ مرکز از خط:

\boxed{\begin{cases} OH < r & \Rightarrow \text{دو نقطه اشتراک (متقاطع)} \\ OH = r & \Rightarrow \text{یک نقطه اشتراک (مماس)} \\ OH > r & \Rightarrow \text{بدون اشتراک} \end{cases}}

قضیهٔ کلیدی: یک خط و یک دایره بر هم مماس‌اند اگر و تنها اگر خط در نقطهٔ تماس بر شعاع عمود باشد.

مفاهیم اصلی

شعاع پاره‌خط از مرکز تا نقطه‌ای روی دایره، وتر پاره‌خطی که دو سرش روی دایره باشد، قطر وتری که از مرکز بگذرد، زاویهٔ مرکزی زاویه‌ای با رأس در مرکز، و زاویهٔ محاطی زاویه‌ای با رأس روی دایره و اضلاع وتری است.

طول کمان و مساحت قطاع

\boxed{L = \frac{\alpha \pi R}{180}} \qquad \boxed{S_{\text{قطاع}} = \frac{\alpha \pi R^2}{360}}

زاویهٔ محاطی و ظلی

قضیهٔ زاویهٔ محاطی:
$\boxed{\text{زاویهٔ محاطی} = \frac{1}{2} \times \text{کمان مقابل}}$

اثبات این قضیه در سه حالت انجام می‌شود: وقتی یک ضلع از مرکز بگذرد، وقتی مرکز بین دو ضلع باشد، و وقتی مرکز خارج زاویه باشد.

زاویهٔ ظلی زاویه‌ای است که رأسش روی دایره، یک ضلعش مماس و ضلع دیگرش وتر باشد:

\boxed{\text{زاویهٔ ظلی} = \frac{1}{2} \times \text{کمان روبه‌رو}}

زوایای حاصل از تقاطع

رأس بیرون دایره:

\boxed{\angle M = \frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{DE} - \overset{\frown}{BC}\right)}

رأس داخل دایره:

\boxed{\angle M = \frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{DE}\right)}

کمان و وتر

اندازهٔ دو کمان برابر است اگر و تنها اگر وترهایشان برابر باشند. و اگر قطری بر وتری عمود باشد، آن وتر و کمان متناظرش را نصف می‌کند:

\boxed{AH = BH \quad \text{و} \quad \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}}

روابط طولی در دایره

تقاطع دو وتر در داخل دایره:

\boxed{MA \cdot MB = MC \cdot MD}

همین رابطه برای تقاطع دو قاطع در خارج دایره هم برقرار است.

مماس و قاطع از نقطهٔ خارجی:

\boxed{MT^2 = MA \cdot MB}

رسم مماس از نقطهٔ خارجی: وسط $OM$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را بیاب، دایره‌ای به مرکز آن و شعاع نصف $OM$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین رسم کن؛ محل برخوردش با دایرهٔ اصلی نقاط تماس‌اند. دلیلش این است که زاویهٔ محاطی روی قطر $OM$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین قائمه است.

\boxed{MT = MT' \qquad \text{و} \qquad MO \text{ نیمساز زاویهٔ } TMT'}

دایره‌های محاطی و محیطی

چندضلعی محاطی است اگر و تنها اگر عمودمنصف‌های همهٔ ضلع‌هایش همرس باشند، و محیطی است اگر و تنها اگر نیمساز زوایای داخلی‌اش همرس باشند.

دایره	مرکز	شعاع
محیطی ( $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)	تقاطع عمودمنصف‌ها	فاصله تا هر رأس
محاطی ( $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)	تقاطع نیمسازهای داخلی	فاصله تا هر ضلع

\boxed{S = r \cdot p} \qquad (p = \text{نصف محیط})

دایره‌های محاطی خارجی مثلث:

r_a = \frac{S}{p - a}, \quad r_b = \frac{S}{p - b}, \quad r_c = \frac{S}{p - c}

شرط محاطی و محیطی بودن چهارضلعی

محاطی: مجموع زوایای مقابل $180°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد.
$\boxed{\angle A + \angle C = 180° \quad \text{و} \quad \angle B + \angle D = 180°}$

محیطی: مجموع ضلع‌های مقابل برابر باشد.
$\boxed{AB + CD = BC + AD}$

چندضلعی منتظم هم محاطی است و هم محیطی:

\text{ضلعِ محاطی در دایرهٔ } r: \; 2r\sin\frac{180°}{n} \qquad \text{ضلعِ محیطی بر دایرهٔ } r: \; 2r\tan\frac{180°}{n}

اوضاع نسبی دو دایره

وضعیت	شرط	مماس مشترک
برون هم	$d > R + R'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	۴ تا
مماس برون	$d = R + R'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	۳ تا
متقاطع	$	R-R'
مماس درون	$d = R - R'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	۱ تا
متداخل	$d < R - R'$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ندارد

طول مماس مشترک:

\text{خارجی:} \; \boxed{TT' = \sqrt{d^2 - (R - R')^2}} \qquad \text{داخلی:} \; \boxed{TT' = \sqrt{d^2 - (R + R')^2}}

و برای دو دایرهٔ مماس برون: $TT' = 2\sqrt{RR'}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

نکتهٔ کنکوری: در سؤالات چندگزینه‌ای، وقتی زاویه‌ای داده می‌شود اول بررسی کن رأس آن روی دایره، داخل یا خارج آن است — انتخاب قضیهٔ درست کاملاً به همین بستگی دارد.

خلاصه‌ی درسنامه