تبدیل‌های هندسی و تقارن (هندسه ۲)

تبدیل چیست؟

تبدیل تابعی است که به هر نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از صفحه دقیقاً یک نقطهٔ $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نظیر می‌کند:

نقطهٔ $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تصویر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامیم، و اگر $T(A) = A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک نقطهٔ ثابت است.

تبدیل طولپا (ایزومتری): تبدیلی که فاصله را حفظ کند، یعنی $AB = A'B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای هر دو نقطه. چنین تبدیلی خودبه‌خود زاویه و مساحت را هم حفظ می‌کند.

بازتاب (تقارن محوری)

تعریف: بازتاب نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به خط $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه‌ای مثل $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است که $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودمنصف پاره‌خط $AA'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

خواص:

• نقاط روی خط $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ثابت می‌مانند.
• بازتاب طولپا است.
• جهت شکل برعکس می‌شود — این تنها تبدیل این فصل است که چنین می‌کند.
• دو بار بازتاب پیاپی، تبدیل هویت است: $R_d \circ R_d = I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بازتاب نسبت به خطوطِ $x=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم فرمول‌های مشابهی دارد.

انتقال

تعریف: انتقال به بردار $\vec{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هر نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد که $\overrightarrow{AA'} = \vec{v}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خواص: $AB \parallel A'B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $AB = A'B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (هم طول و هم شیب حفظ می‌شود)؛ جهت شکل حفظ می‌شود؛ و هیچ نقطهٔ ثابتی ندارد مگر $\vec{v} = \vec{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دوران

تعریف: دوران به مرکز $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و زاویهٔ $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌برد که:

خواص: طولپاست، جهت را حفظ می‌کند، و تنها نقطهٔ ثابتش مرکز $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. ترکیب دو دوران هم‌مرکز: $R_\alpha \circ R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول عمومی برای زاویهٔ دلخواه $\alpha$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم در درسنامهٔ کامل آمده است.

ترکیب بازتاب‌ها — دو قضیهٔ کلیدی

قضیهٔ ۱ (دو خط موازی): اگر $d_1 \parallel d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با فاصلهٔ $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند:

$$R_{d_2} \circ R_{d_1} = T_{\vec{v}}, \qquad |\vec{v}| = 2m$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

جهت بردار انتقال عمود بر دو خط، از $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به سمت $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

قضیهٔ ۲ (دو خط متقاطع): اگر $d_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با زاویهٔ $\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متقاطع باشند:

$$R_{d_2} \circ R_{d_1} = \text{دوران } 2\theta \text{ حول } O$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکتهٔ مشترک هر دو قضیه: نتیجه دو برابر پارامتر اولیه است.

تجانس (تبدیل تشابه)

تعریف: تجانس با مرکز $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضریب $k \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

علامت و اندازهٔ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوع تجانس را تعیین می‌کند: $|k|>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌نمایی و $|k|<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کوچک‌نمایی است؛ $k>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جهت را حفظ می‌کند و $k<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آن را عکس. دو حالت خاصِ مهم: $k=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان تقارن مرکزی است و $k=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تبدیل هویت.

قضایای مهم:

نکتهٔ کنکوری: ضریب مساحت همیشه $k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — حتی وقتی $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی باشد.

کاربرد: کمینهٔ مسیر (قضیهٔ هرون)

مسئله: نقاط $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در یک سمت خط $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند. روی $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیاب که $AM + MB$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کمینه شود.

روش: $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نسبت به $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بازتاب کن تا $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست آید؛ نقطهٔ $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محل تقاطع پاره‌خط $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

چرا؟ چون $AM + MB = A'M + MB \geq A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و تساوی دقیقاً وقتی رخ می‌دهد که $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی پاره‌خط $A'B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. این همان اصلی است که مسیر بازتاب نور را توضیح می‌دهد.

تقارن‌های $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم

• تعداد محور تقارن: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور
• دوران‌های تقارنی: $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوران (به زوایای $\frac{360°}{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مضارب آن)
• کل تبدیل‌های تقارنی: $2n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• مرکز تقارن: وجود دارد اگر و فقط اگر $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج باشد

نکتهٔ کلیدی تشخیص

سریع‌ترین راه تشخیص نوع تبدیل از روی شکل، نگاه به جهت است: بازتاب جهت را عکس می‌کند، ولی انتقال و دوران آن را حفظ می‌کنند. و به یاد داشته باش ضریب مساحت در تجانس همیشه $k^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — نه $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم دارد: اثبات کامل طولپا بودن بازتاب در هر سه حالت (موازی، یک‌سر روی محور، و حالت کلی)، فرمول عمومی دوران با زاویهٔ دلخواه و اشتقاق آن، و بررسی تفصیلی تقارن‌های $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی-ضلعی منتظم به‌عنوان یک گروه تبدیل.