تبدیل های هندسی و کاربردها (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«انتقال به بردار $(8, 0)$» درست است. طبقِ قضیهٔ بازتابِ مضاعفِ موازی، ترکیبِ بازتاب نسبت به $x=2$ و سپس $x=6$ معادلِ انتقالی به اندازهٔ $2\times(6-2)=8$ واحد در جهتِ مثبتِ محورِ $x$ (از خطِ اول به‌سمتِ خطِ دوم) است. «انتقال به بردار $(-8, 0)$» نادرست است و از خطای علامت (جهتِ عکس) ناشی می‌شود. «انتقال به بردار $(4, 0)$» نادرست است و از استفادهٔ نادرستِ فاصلهٔ خام (بدونِ ضربِ ۲) ناشی می‌شود. «انتقال به بردار $(2, 0)$» نادرست است و با هیچ محاسبهٔ صحیحی سازگار نیست. تلهٔ تستی: بازتابِ مضاعفِ موازی همیشه معادلِ انتقالی به اندازهٔ دو برابرِ فاصلهٔ دو خط است، نه خودِ فاصله؛ فراموش‌کردنِ این ضریبِ ۲ رایج‌ترین اشتباه است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«دوران $90^\circ$ خلاف‌ساعت حول مبدأ» درست است. با فرمولِ دورانِ $90^\circ$ پادساعت‌گرد $(x,y)\to(-y,x)$: $A(1,2)\to(-2,1)=A'$، $B(3,5)\to(-5,3)=B'$، $C(6,3)\to(-3,6)=C'$؛ هر سه رأس دقیقاً با داده‌های مسئله مطابقت دارند. «بازتاب نسبت به محورِ $x$» نادرست است زیرا این فرمول $(x,-y)$ می‌دهد که $A(1,2)$ را به $(1,-2)$ می‌برد، نه $(-2,1)$. «بازتاب نسبت به $y=x$» نادرست است زیرا فرمولِ آن $(y,x)$ است که $A$ را به $(2,1)$ می‌برد. «دورانِ $90^\circ$ ساعت‌گرد» نادرست است زیرا فرمولِ آن $(y,-x)$ است که $A$ را به $(2,-1)$ می‌برد. تلهٔ تستی: برایِ تشخیصِ نوعِ تبدیل از رویِ رئوسِ متناظر، کافی است فرمولِ هر تبدیل را فقط روی یک رأس امتحان کرد؛ نیازی به بررسیِ هر سه رأس نیست، اما باید دقت کرد که فرمولِ دقیقِ هر تبدیل (و نه یک نسخهٔ مشابهِ آن) به‌کار رود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$3$» درست است. طبقِ فرمولِ تجانس، بردارِ $A-O=(5-1,2-1)=(4,1)$ و بردارِ $A'-O=(13-1,4-1)=(12,3)$؛ چون $(12,3)=3\times(4,1)$، ضریبِ تجانس $k=3$ است. «$2$» و «$5/2$» و «$7/3$» نادرستند و همگی از استفادهٔ مستقیمِ مختصاتِ خامِ $A$ و $A'$ (بدونِ کم‌کردنِ مرکزِ $O$ از هر دو نقطه) پیش از محاسبهٔ نسبت ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: در تجانس با مرکزِ غیرِمبدأ، باید همیشه ابتدا بردارهایِ $A-O$ و $A'-O$ را جداگانه محاسبه کرد و سپس نسبتِ آن‌ها را یافت؛ تقسیمِ مستقیمِ مختصاتِ خام (بدونِ کم‌کردنِ مرکز) رایج‌ترین منبعِ خطا در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«تعداد محورهای تقارن آن ۶ است و مرکز تقارن دارد.» درست است. شش‌ضلعیِ منتظم $n=6$ ضلع دارد که عددی زوج است؛ طبقِ قاعدهٔ کلی، تعدادِ محورهایِ تقارن همواره برابرِ $n$ است (اینجا ۶) و مرکزِ تقارن فقط برایِ $n$ زوج وجود دارد که این شرط اینجا برقرار است. گزینه‌هایِ دیگر نادرستند: «۶ محور و بدونِ مرکز» وجودِ مرکز را برایِ $n$ زوج نادیده می‌گیرد؛ «۳ محور و دارایِ مرکز» تعدادِ محورها را اشتباه (نصفِ مقدارِ واقعی) بیان می‌کند؛ «۱۲ محور و بدونِ مرکز» هم تعدادِ محورها هم وجودِ مرکز را اشتباه بیان می‌کند. تلهٔ تستی: تعدادِ محورهایِ تقارنِ هر $n$‌ضلعیِ منتظم همیشه دقیقاً برابرِ $n$ است (نه $2n$ و نه $\frac{n}{2}$)؛ وجودِ مرکزِ تقارن فقط به زوج‌بودنِ $n$ بستگی دارد، نه به مقدارِ $n$.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$AM+MB=\sqrt{72}$ واحد» درست است. طبقِ فرمولِ استانداردِ کمینهٔ مسیر (قضیهٔ هرون)، با فاصلهٔ افقیِ $6$ و مجموعِ فاصله‌هایِ عمودیِ $4+2=6$: کمینهٔ $AM+MB=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}$. «$AM+MB=10$ واحد» و «$AM+MB=12$ واحد» نادرستند و از محاسباتِ تقریبی یا جمعِ مستقیمِ فاصله‌ها (بدونِ به‌کاربردنِ فرمولِ رادیکالی) ناشی می‌شوند. «$AM+MB=\sqrt{52}$ واحد» نادرست است و از جمعِ اشتباهِ مربع‌ها (مثلاً $6^2+4^2$ به‌جایِ $6^2+6^2$) ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: در فرمولِ کمینهٔ هرون، مؤلفهٔ عمودی همیشه مجموعِ دو فاصله (نه تفاضل یا فقط یکی از آن‌ها) است؛ فراموش‌کردنِ این جمع، رایج‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$( -7 , 3 )$» درست است. دورانِ $90^\circ$ پادساعت‌گرد روی $(2,3)$ با فرمولِ $(x,y)\to(-y,x)$ می‌دهد $P=(-3,2)$؛ سپس انتقالِ $P$ با بردارِ $(-4,1)$ می‌دهد $Q=(-3-4,\,2+1)=(-7,3)$. وارسیِ مستقل: دوران طولپاست، پس $|OP|$ باید برابرِ $|O(2,3)|=\sqrt{13}$ باشد: $|(-3,2)|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ✓؛ و $\overrightarrow{PQ}=(-4,1)$ دقیقاً همان بردارِ انتقال است ✓. «$(-1,3)$» نادرست است و از اعمالِ جابه‌جاییِ سادهٔ مختصات $(x,y)\to(y,x)$ (یعنی فرمولِ بازتابِ $y=x$) به‌جایِ دوران در گامِ اول ناشی می‌شود: با $P=(3,2)$ انتقال می‌دهد $(-1,3)$. «$(-7,-1)$» نادرست است و از خطای علامت در مؤلفهٔ $y$ هنگامِ اعمالِ بردارِ انتقال ناشی می‌شود. «$(-5,-2)$» نادرست است و از اعمالِ دورانِ ساعت‌گرد (که $P=(3,-2)$ می‌دهد) و سپس انتقالِ نادرست ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: فرمولِ دورانِ $90^\circ$ پادساعت‌گرد $(-y,x)$ است، نه $(y,x)$؛ فرمولِ دوم بازتاب است و جهتِ شکل را وارونه می‌کند. باید ابتدا $P$ را دقیق یافت و سپس بردارِ انتقال را به مختصاتِ $P$ (نه نقطهٔ اصلی) افزود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«تصویر مربع با خود مربع بر هم منطبق است.» درست است. قطرِ مربع یک محورِ تقارنِ واقعیِ آن است؛ بازتاب نسبت به هر محورِ تقارن، شکل را دقیقاً بر خودش منطبق می‌کند، پس تصویرِ مربع همان مربعِ اصلی خواهد بود. «شکل حاصل یک لوزی است اما لزوماً مربع نیست» نادرست است زیرا تصویر دقیقاً همان مربعِ اصلی است، نه شکلی متفاوت. «مساحت شکل حاصل نصف مساحت مربع اولیه است» نادرست است زیرا بازتاب (به‌عنوانِ یک تبدیلِ طولپا) همیشه مساحت را دقیقاً حفظ می‌کند. «تصویر رأس $A$ با نقطهٔ $C$ منطبق می‌شود» نادرست است زیرا سؤال گزینه‌ای را می‌خواهد که **همواره** صادق باشد: اگر محورِ بازتاب قطرِ $BD$ باشد، $A$ واقعاً به $C$ می‌رود، اما اگر محورِ بازتاب قطرِ $AC$ باشد، $A$ روی خودِ محور است و ثابت می‌ماند. پس این گزاره به انتخابِ قطر وابسته است و «همواره» برقرار نیست. تلهٔ تستی: وقتی محورِ بازتاب دقیقاً یک محورِ تقارنِ شکل باشد، همیشه تصویر با خودِ شکلِ اصلی منطبق می‌شود؛ اما سرنوشتِ یک رأسِ خاص به این بستگی دارد که آن رأس روی محور باشد یا نه — گزاره‌ای که فقط برای یکی از دو قطر درست است، «همواره» نیست.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«دوران به‌اندازهٔ $90^\circ$ حولِ مرکز» درست است. دوران‌هایِ تقارنیِ یک $n$‌ضلعیِ منتظم فقط مضرب‌هایِ $\frac{360^\circ}{n}$ هستند؛ برایِ شش‌ضلعی ($n=6$) این مقدار $60^\circ$ است، و چون $90^\circ$ مضربِ $60^\circ$ نیست ($90\div60=1.5$)، این دوران شش‌ضلعی را به خودش نگاشت نمی‌کند. «بازتاب نسبت به دو رأسِ مقابل» و «بازتاب نسبت به وسطِ دو ضلعِ مقابل» هر دو محورهایِ تقارنِ معتبرِ شش‌ضلعی‌اند و شکل را به خودش می‌نگارند. «دوران به‌اندازهٔ $60^\circ$ حولِ مرکز» هم چون مضربِ دقیقِ $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$ است، یک دورانِ تقارنیِ معتبر است. تلهٔ تستی: فقط دوران‌هایی که مضربِ دقیقِ $\frac{360^\circ}{n}$ باشند شکل را به خودش می‌نگارند؛ $90^\circ$ برایِ شش‌ضلعی مضربِ صحیحِ این زاویه نیست، حتی اگر عددی «آشنا» به‌نظر برسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$AM + MB = A'B$ دقیقاً» درست است. چون $A'$ بازتابِ $A$ نسبت به $d$ است، $AM=A'M$ برایِ هر نقطهٔ $M$ روی $d$ (طبقِ تعریفِ بازتاب و طولپا بودنِ آن)؛ در حالتِ بهینه که $M$ دقیقاً روی پاره‌خطِ $A'B$ قرار دارد، $AM+MB=A'M+MB=A'B$ (چون کوتاه‌ترین مسیرِ بینِ دو نقطه، خودِ پاره‌خطِ راست است). «$AM + MB > A'B$ همیشه» نادرست است زیرا این نامساوی فقط برایِ $M$‌هایِ غیربهینه برقرار است، نه برایِ نقطهٔ کمینه‌سازِ موردِ بحث. «$AM + MB = AB$ همیشه» نادرست است زیرا $AB$ با $A'B$ یکی نیست، مگر در حالت‌هایِ بسیار خاص. «$AM + MB = \frac{1}{2}A'B$» نادرست است و با هیچ رابطهٔ هندسیِ معتبری سازگار نیست. تلهٔ تستی: این تساوی فقط در حالتِ بهینه (وقتی $M$ دقیقاً روی خطِ راستِ $A'B$ باشد) برقرار است؛ برایِ هر انتخابِ دیگرِ $M$ روی $d$، $AM+MB$ همیشه بزرگ‌تر از $A'B$ خواهد بود، نه مساوی.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«$(-4,-3)$» درست است. دورانِ $90^\circ$ (پادساعت‌گرد، طبقِ قراردادِ استاندارد) روی $P(3,4)$ می‌دهد $(-4,3)$؛ سپس بازتابِ این نقطه نسبت به محورِ $x$ (که فقط علامتِ $y$ را عوض می‌کند) می‌دهد $(-4,-3)$. وارسیِ مستقل: ترکیبِ «دورانِ $90^\circ$ پادساعت‌گرد، سپس بازتاب نسبت به محورِ $x$» معادلِ بازتاب نسبت به خطِ $y=-x$ است (چون $(x,y)\to(-y,x)\to(-y,-x)$)؛ اعمالِ آن روی $(3,4)$ مستقیماً می‌دهد $(-4,-3)$. ✓ «$(4,-3)$» نادرست است و از دورانِ ساعت‌گرد $(x,y)\to(y,-x)$ و سپس فراموش‌کردنِ گامِ بازتاب ناشی می‌شود. «$(-3,4)$» نادرست است و از توقفِ محاسبه پس از گامِ دوران (بدونِ اعمالِ بازتاب) ناشی می‌شود. «$(3,-4)$» نادرست است و از اعمالِ فقط بازتاب (بدونِ دوران) روی نقطهٔ اصلی ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: باید دقیقاً به ترتیبِ ذکرشده در متنِ سؤال (اول دوران، سپس بازتاب) عمل کرد و هر گام را روی نتیجهٔ گامِ قبلی (نه نقطهٔ اصلی) اعمال کرد.