روابط طولی در مثلث (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق قضیه‌ی نیمساز خارجی، $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{5}$ و چون تقسیم خارجی است، $D'$ بیرون از پاره‌خط $BC$ می‌افتد. چون $AB>AC$، نقطه‌ی $D'$ در سمت $C$ قرار می‌گیرد. با فرض $D'C=x$ داریم $BD'=BC+x=10+x$ و از $\dfrac{10+x}{x}=\dfrac{9}{5}$ نتیجه می‌شود $5(10+x)=9x\Rightarrow 4x=50\Rightarrow x=\dfrac{25}{2}$، پس $BD'=10+\dfrac{25}{2}=\dfrac{45}{2}$. وارسی مستقل (مختصاتی): $B=(0,0)$ و $C=(10,0)$ بگذارید. از $x^2+y^2=81$ و $(x-10)^2+y^2=25$ به‌دست می‌آید $x=\dfrac{39}{5}$ و $y=\dfrac{6\sqrt{14}}{5}$، یعنی $A\approx(7.8,\ 4.49)$. فرمول تقسیم خارجی با نسبت $9:5$ می‌دهد $D'=\dfrac{9C-5B}{9-5}=\dfrac{(90,0)}{4}=(22.5,\ 0)$، پس $BD'=22.5=\dfrac{45}{2}$ — هم‌خوان با مسیر اول. ردِّ گزینه‌های دیگر: «$\dfrac{25}{2}$» همان $D'C=22.5-10$ است، یعنی فاصله‌ی $D'$ تا $C$ نه تا $B$؛ «$15$» جمع بی‌ربط $BC+AC$ است؛ «$\dfrac{45}{7}$» طول $BD$ برای نیمساز **داخلی** است ($\dfrac{9}{14}\times10$) نه خارجی. توجه کنید هر جواب درست باید از $BC=10$ بزرگ‌تر باشد (چون $D'$ بیرون از پاره‌خط و در سمت $C$ است)، و همین به‌تنهایی «$\dfrac{45}{7}\approx6.4$» را رد می‌کند. تله تستی: نیمساز خارجی فقط وقتی $AB=AC$ باشد اصلاً خط $BC$ را قطع نمی‌کند (با آن موازی می‌شود)؛ در بقیه‌ی حالات نقطه‌ی برخورد همیشه **بیرون** پاره‌خط $BC$ و در سمت ضلع بزرگ‌تر است — پیش از حل، جهت تقسیم خارجی را با مقایسه‌ی $AB$ و $AC$ مشخص کنید.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $a^2=b^2+c^2$ ($10^2=8^2+6^2$)، زاویه‌ی $A$ قائمه است، پس میانه‌ی وارد بر وتر برابر نصف وتر است: $m_a=\dfrac{a}{2}=5$، یعنی $m_a^2=25$. برای نیمساز از فرمول $d_a^2=bc\left[1-\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right]$ استفاده می‌کنیم: $d_a^2=48\times\left[1-\left(\dfrac{10}{14}\right)^2\right]=48\times\dfrac{96}{196}=\dfrac{1152}{49}$. پس $m_a^2-d_a^2=25-\dfrac{1152}{49}=\dfrac{1225-1152}{49}=\dfrac{73}{49}$. گزینه‌ی «$\dfrac{7}{4}$» از گرد کردن نادرست $\dfrac{73}{49}\approx1.49$ به یک کسر «تمیزتر» به دست می‌آید؛ «$\dfrac{9}{4}$» و «$\dfrac{5}{2}$» حاصل جابه‌جایی $b$ و $c$ در فرمول نیمساز یا فراموشی مربع‌کردن هستند. تله تستی: چون $a^2=b^2+c^2$ است، بسیاری تصور می‌کنند $d_a$ هم باید عددی «ساده» شود و نتیجه را زودهنگام گرد می‌کنند؛ باید محاسبه را با کسر دقیق تا انتها پیش برد، نه با تقریب اعشاری.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با نام‌گذاری استاندارد $a=BC=9$، $b=CA=8$، $c=AB=7$. مرکز دایره‌ی داخلی $I$ روی پاره‌خط $AD$ قرار دارد و آن را به نسبت $AI:ID=(b+c):a$ تقسیم می‌کند (چون $I$ محل تلاقی نیمسازهاست و از اعمال قضیه‌ی نیمساز در مثلث $ABD$ روی نیمساز $BI$ به دست می‌آید). پس $\dfrac{ID}{AD}=\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{9}{9+8+7}=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$. گزینه‌ی «$\dfrac{2}{7}$» از به‌کاربردن فرمول نادرست $AI/AD$ به‌جای $ID/AD$ می‌آید؛ «$\dfrac{1}{4}$» و «$\dfrac{5}{18}$» حاصل استفاده از $b$ یا $c$ به‌جای $a$ در صورت کسر هستند. تله تستی: فرمول تقسیم‌نسبی $AI:ID=(b+c):a$ اغلب با نسبت تقسیم $D$ روی $BC$ (که $BD:DC=c:b$ است) قاطی می‌شود؛ این دو نسبت کاملاً متفاوت‌اند و نباید با هم اشتباه شوند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون زاویه‌ی $A$ قائمه است، $a=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{36+64}=10$. میانه‌ی وارد بر وتر برابر نصف وتر است: $m_a=\dfrac{a}{2}=5$. نیمساز: $d_a=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{2(6)(8)}{14}\cos45^\circ=\dfrac{96}{14}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{24\sqrt2}{7}$. پس $\dfrac{m_a}{d_a}=\dfrac{5}{24\sqrt2/7}=\dfrac{35}{24\sqrt2}=\dfrac{35\sqrt2}{48}\approx1.031$. وارسی مستقل (حدگذاری): از یک رأس، همیشه $h_a\leq d_a\leq m_a$ برقرار است. اینجا ارتفاع وارد بر وتر $h_a=\dfrac{bc}{a}=\dfrac{48}{10}=4.8$ و $m_a=5$ است، پس $4.8\leq d_a\leq5$ و در نتیجه نسبت $\dfrac{m_a}{d_a}=\dfrac{5}{d_a}$ حتماً بین $1$ و $\dfrac{5}{4.8}\approx1.042$ می‌افتد. مقدار $\dfrac{35\sqrt2}{48}\approx1.031$ دقیقاً در این بازه است. ردِّ گزینه‌های دیگر: «$\dfrac{35}{48}\approx0.729$» از فراموش‌کردن ضریب $\cos45^\circ$ می‌آید (یعنی گرفتن $d_a=\dfrac{2bc}{b+c}=\dfrac{48}{7}$)؛ «$\dfrac{5\sqrt2}{8}\approx0.884$» هم کوچک‌تر از $1$ است و هر دو با قاعده‌ی $m_a>d_a$ (برای $b\neq c$) در تضادند؛ «$\dfrac{25\sqrt2}{24}\approx1.473$» از کران بالای $1.042$ فراتر می‌رود، یعنی $d_a\approx3.39$ را ایجاب می‌کند که از ارتفاع $4.8$ کوتاه‌تر است — و این هندسه ناممکن است. تله تستی: زنجیره‌ی $h_a\leq d_a\leq m_a$ در هر مثلثی برقرار است و اغلب پیش از هر محاسبه‌ای سه گزینه را حذف می‌کند؛ به‌ویژه نسبت $\dfrac{m_a}{d_a}$ همیشه عددی اندکی بزرگ‌تر از $1$ است، نه عددی بزرگ.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با قانون کسینوس مستقیم در مثلث $ABC$: $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos60^\circ=9+25-2(3)(5)\left(\dfrac12\right)=34-15=19$، پس $BC=\sqrt{19}$. وارسی مستقل با داده‌ی میانه: فرمول میانه می‌گوید $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\dfrac{2(25)+2(9)-19}{4}=\dfrac{49}{4}$، یعنی $m_a=\dfrac72$ — دقیقاً همان مقداری که در صورت سؤال آمده است. پس دو مسیر مستقل به یک جواب می‌رسند و داده‌ها سازگارند. ردِّ گزینه‌های دیگر: چون $BC^2=34-30\cos A$، هر گزینه دقیقاً معادل یک مقدار مشخص برای $\cos A$ است: «$\sqrt7$» به $\cos A=\dfrac{9}{10}$ (یعنی $A\approx26^\circ$)، «$\sqrt{21}$» به $\cos A=\dfrac{13}{30}$ ($A\approx64^\circ$) و «$\sqrt{31}$» به $\cos A=\dfrac{1}{10}$ ($A\approx84^\circ$) می‌انجامد. تنها $\sqrt{19}$ متناظر با $\cos60^\circ=\dfrac12$ است. تله تستی: وقتی هم زاویه‌ی بین دو ضلع و هم طول میانه داده شده، یکی از دو داده اضافه است؛ ساده‌ترین مسیر قانون کسینوس است و داده‌ی دوم را باید برای **وارسی** نگه داشت. اگر دو مسیر به دو عدد متفاوت رسیدند، یعنی یا در جای‌گذاری خطا کرده‌اید یا صورت سؤال ناسازگار است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نیم‌محیط برابر نصف محیط است: $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{24}{2}=12$. از رابطه‌ی $S=r\,p$ داریم $S=2\times12=24$. وارسی مستقل (حالت حدی): بزرگ‌ترین مساحت ممکن برای محیط $24$ به مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع $8$ می‌رسد که $S=\dfrac{\sqrt3}{4}(8)^2\approx27.7$ است؛ چون $24<27.7$، چنین مثلثی واقعاً وجود دارد و مقدار $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2$ با بیشینه‌ی ممکن ($r_{\max}\approx2.31$) سازگار است. ردِّ گزینه‌های دیگر: دو گزینه‌ای که مساحت را $48$ می‌گویند از فرمول اشتباه $S=r\times(a+b+c)$ (ضرب در محیط کامل به‌جای نیم‌محیط) می‌آیند و مساحت را دقیقاً دو برابر واقعی نشان می‌دهند؛ دو گزینه‌ای که نیم‌محیط را $24$ می‌گویند، خودِ محیط را با نیم‌محیط اشتباه گرفته‌اند. تله تستی: در فرمول‌های $S=rp$ و $S=\dfrac{abc}{4R}$ و قضیه‌ی هرون، حرف $p$ همیشه **نیم**‌محیط است نه محیط؛ یک بار جاگذاشتن این «نصف» همه‌ی نتایج بعدی را در ۲ ضرب می‌کند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مساحت کل مثلث: $S_{ABC}=\dfrac12\times6\times10\times\sin120^\circ=30\times\dfrac{\sqrt3}{2}=15\sqrt3$. طبق قضیه‌ی نیمساز، $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$، پس $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac38$. چون مثلث‌های $ABD$ و $ADC$ ارتفاع مشترکی از $A$ دارند، نسبت مساحت‌شان برابر نسبت قاعده‌هاست: $\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac38$، پس $S_{ABD}=\dfrac38\times15\sqrt3=\dfrac{45\sqrt3}{8}$. (طول $AD=15/4$ در این روش اطلاعات اضافه است و فقط سازگاری داده‌ها را تأیید می‌کند.) گزینه‌ی «$\dfrac{15\sqrt3}{4}$» از محاسبه‌ی نسبت $BD/BC$ به‌صورت نادرست ($1/2$ به‌جای $3/8$) می‌آید؛ گزینه‌های دیگر حاصل خطای محاسباتی در ضرب کسرها هستند. تله تستی: نسبت مساحت دو مثلث هم‌ارتفاع برابر نسبت قاعده‌هاست — این میان‌بر سریع‌تر و مطمئن‌تر از محاسبه‌ی مستقیم $S_{ABD}=\dfrac12\cdot AB\cdot AD\cdot\sin\dfrac{A}{2}$ است، هرچند آن روش هم (با دقت در محاسبه‌ی $AD$) به همین جواب می‌رسد.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

$BD=BC+CD=10+12=22$. زاویه‌ی لازم برای مثلث تازه‌ساخته‌شده‌ی $ABD$ همان $\angle ABC$ مثلث اصلی است: $\cos(\angle ABC)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{100+196-144}{2(10)(14)}=\dfrac{152}{280}=\dfrac{19}{35}$. با قانون کسینوس در مثلث $ABD$: $AD^2=196+484-2(14)(22)\dfrac{19}{35}=680-\dfrac{11704}{35}=\dfrac{1728}{5}$، پس $AD=\sqrt{\dfrac{1728}{5}}=\dfrac{24\sqrt{15}}{5}\approx18.59$. وارسی مستقل (از مثلث متساوی‌الساقین $ACD$): چون $CA=CD=12$ و $\angle ACD=180^\circ-\angle ACB$، داریم $AD=2\cdot12\cdot\cos\dfrac{\angle ACB}{2}$. از $\cos(\angle ACB)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{100+144-196}{240}=\dfrac15$ و $\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ نتیجه می‌شود $AD=24\sqrt{\dfrac35}=\dfrac{24\sqrt{15}}{5}$ — هم‌خوان با مسیر اول. ردِّ گزینه‌های دیگر: طبق همان رابطه‌ی $AD=24\cos\dfrac{\angle ACB}{2}$، گزینه‌ی «$\dfrac{20\sqrt{10}}{5}=4\sqrt{10}\approx12.65$» ایجاب می‌کند $\cos(\angle ACB)=-\dfrac49$، «$\dfrac{30\sqrt7}{5}=6\sqrt7\approx15.87$» ایجاب می‌کند $\cos(\angle ACB)=-\dfrac18$ و «$\dfrac{40\sqrt3}{5}=8\sqrt3\approx13.86$» ایجاب می‌کند $\cos(\angle ACB)=-\dfrac13$؛ هیچ‌کدام برابر مقدار واقعی $\dfrac15$ نیست (و هر سه زاویه‌ی $C$ را به اشتباه منفرجه فرض می‌کنند). تله تستی: نقطه‌ی $D$ بیرون از $BC$ است، پس زاویه‌ی «بین» دو ضلع معلوم ($AB$ و $BD$) همان زاویه‌ی داخلی مثلث اصلی در رأس $B$ است، نه زاویه‌ای در رأس $C$ — همیشه بررسی کنید کدام زاویه واقعاً بین دو ضلعِ در دست است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون $A+B+C=180^\circ$، داریم $A+B=180^\circ-C$، پس $\sin(A+B)=\sin(180^\circ-C)=\sin C$. از $\sin^2C+\cos^2C=1$: $\sin C=\sqrt{1-\dfrac{1}{64}}=\sqrt{\dfrac{63}{64}}=\dfrac{3\sqrt7}{8}$ (مثبت، چون $0<C<180^\circ$). توجه کنید $a=8$ و $b=5$ در این روش اصلاً لازم نیستند. گزینه‌ی «$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$» از محاسبه‌ی نادرست $1-\left(\dfrac18\right)^2$ می‌آید؛ «$\dfrac{3\sqrt7}{16}$» حاصل فراموشی ضرب صحیح صورت و مخرج زیر جذر است. تله تستی: دیدن اضلاع $a$ و $b$ در صورت سؤال وسوسه می‌کند سراغ قانون کسینوس یا مساحت رفت، در حالی‌که چون فقط $\sin(A+B)$ خواسته شده، تنها با اتحاد $A+B=180^\circ-C$ و بدون نیاز به $a,b$ حل می‌شود — این داده‌های اضافه، آزمون تشخیص «داده‌ی لازم از غیرلازم» است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با قانون کسینوس: $BC^2=16+36-2(4)(6)\cos60^\circ=52-24=28$، پس $BC=2\sqrt7$ و $BM=\dfrac{BC}{2}=\sqrt7$. طبق قضیه‌ی نیمساز: $\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac46=\dfrac23$، پس $BN=\dfrac{2}{5}\times2\sqrt7=\dfrac{4\sqrt7}{5}$. چون $BM$ و $BN$ هر دو از نقطه‌ی $B$ اندازه‌گیری شده‌اند: $MN=BM-BN=\dfrac{5\sqrt7}{5}-\dfrac{4\sqrt7}{5}=\dfrac{\sqrt7}{5}$. وارسی مستقل (مختصاتی): $A=(0,0)$، $B=(4,0)$ و $C=(3,\ 3\sqrt3)$ بگذارید (چون $AC=6$ و زاویه $60^\circ$). آن‌گاه $M=(3.5,\ 1.5\sqrt3)$ و $N=B+\dfrac25(C-B)=(3.6,\ 1.2\sqrt3)$، پس $MN=\sqrt{0.1^2+(0.3\sqrt3)^2}=\sqrt{0.01+0.27}=\sqrt{0.28}=\dfrac{\sqrt7}{5}\approx0.529$ — هم‌خوان است. ردِّ گزینه‌های دیگر: «$\dfrac{4\sqrt7}{5}$» خودِ $BN$ است نه فاصله‌ی $MN$؛ «$\dfrac{3\sqrt7}{5}$» از گرفتن نسبت $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac25$ به‌صورت وارون ($\dfrac35$) می‌آید؛ «$\dfrac{2\sqrt7}{5}$» حاصل نصف‌کردن نابه‌جای $BC$ در محاسبه‌ی $BN$ است. تله تستی: چون $AB\neq AC$، نقطه‌ی میانه $M$ و پای نیمساز $N$ دو نقطه‌ی متفاوت روی $BC$ هستند؛ باید موقعیت هر دو را از یک سرِ ثابت (اینجا $B$) حساب و سپس تفریق کرد. این دو نقطه فقط در مثلث متساوی‌الساقین ($AB=AC$) بر هم منطبق می‌شوند.