قضیهٔ سینوس‌ها و کسینوس‌ها (هندسه ۲)

یادآوری — مثلث قائم‌الزاویه

در مثلث $ABC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین با زاویهٔ قائمه در $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع $AH$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

AB^2 = BC \cdot BH \qquad AC^2 = BC \cdot CH \qquad AH^2 = BH \cdot CH \qquad AB \cdot AC = BC \cdot AH

خاصیت مهم: ارتفاع وارد بر وتر، میانگین هندسی دو قطعهٔ پایه است: $AH = \sqrt{BH \cdot HC}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قضیهٔ سینوس‌ها

در هر مثلث، نسبت هر ضلع به سینوس زاویهٔ روبه‌رویش برابر قطر دایرهٔ محیطی است:

\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R}

اثبات با رسم قطر دایرهٔ محیطی و استفاده از «زاویهٔ محاطی در نیم‌دایره قائمه است» انجام می‌شود. برای زاویهٔ منفرجه هم چون $\sin(180° - A) = \sin A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، همان نتیجه برقرار می‌ماند.

نتایج مستقیم: $a = 2R\sin A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مشابه آن برای $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $c$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر $A = 90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد ضلع روبه‌رو خودِ قطر است. رابطهٔ کلیدی زاویه و ضلع هم این است:

A > B \Longleftrightarrow a > b

قضیهٔ کسینوس‌ها

\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A}

شکل معکوس برای یافتن زاویه از روی سه ضلع:

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

اگر $A = 90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $\cos 90° = 0$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و رابطه به قضیهٔ فیثاغورس فرو می‌کاهد — یعنی فیثاغورس حالت خاص همین قضیه است.

تشخیص نوع زاویه از روی اضلاع:

شرط	نوع زاویهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$a^2 < b^2 + c^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	حاده
$a^2 = b^2 + c^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قائمه
$a^2 > b^2 + c^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	منفرجه

قضیهٔ میانه (آپولونیوس)

\boxed{b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}} \qquad m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}

اثباتش از نوشتن قضیهٔ کسینوس در دو مثلثِ حاصل از میانه و جمع کردن آن‌ها به دست می‌آید — چون زاویه‌های $\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $180°-\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کسینوس‌های قرینه دارند و جملهٔ اضافی حذف می‌شود.

مجموع مربعات میانه‌ها رابطهٔ زیبایی دارد:

m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)

نیمساز

قضیهٔ تقسیم: نیمساز داخلی زاویهٔ $A$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلع $BC$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را به نسبت اضلاع مجاور تقسیم می‌کند:

\boxed{\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}}

اثباتش با رسم خطی موازی نیمساز از رأس $C$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و سپس قضیهٔ تالس انجام می‌شود.

نیمساز خارجی همان ضلع را خارجاً به نسبت $c:b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین تقسیم می‌کند، و نکتهٔ مهم اینکه نیمساز داخلی و خارجی یک زاویه بر هم عمودند.

طول نیمساز دو شکل پرکاربرد دارد:

\boxed{d_a^2 = bc - BD \cdot DC} \qquad \boxed{d_a = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}}

مساحت مثلث

S = \frac{1}{2}ah_a \qquad \boxed{S = \frac{1}{2}bc\sin A} \qquad \boxed{S = \frac{abc}{4R}} \qquad \boxed{S = rp}

که در آن $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نصف محیط، $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شعاع دایرهٔ محیطی و $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین شعاع دایرهٔ داخلی است.

قضیهٔ هرون — وقتی فقط سه ضلع را داری:

\boxed{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

ارتفاع‌ها: $h_a = \dfrac{2S}{a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مشابه آن؛ و رابطهٔ زیبای زیر ارتفاع‌ها را به شعاع داخلی وصل می‌کند:

\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{1}{r}

دایرهٔ داخلی و دایره‌های روتخی: $r = \dfrac{S}{p}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $r_a = \dfrac{S}{p-a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (و مشابه)، با رابطهٔ جالب $r \cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c = S^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مثلث‌های خاص

متساوی‌الاضلاع: $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

قائم‌الزاویه ( $A = 90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین): $R = \dfrac{a}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $r = \dfrac{b+c-a}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $S = \dfrac{bc}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

روش انتخاب قضیه

داده‌ها	قضیهٔ مناسب
دو ضلع + زاویهٔ بین	کسینوس
دو زاویه + یک ضلع	سینوس
سه ضلع	کسینوس (برای زاویه) یا هرون (برای مساحت)

تله‌های رایج کنکور

اشتباه رایج	نکتهٔ درست
$\sin(180°-\theta) = -\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	نادرست؛ صحیح: $\sin(180°-\theta) = +\sin\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
گرفتن یک جواب برای $\sin$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\sin\theta = k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هم جواب حاده دارد هم منفرجه
فراموش‌کردن شرط مثلث	همیشه $
نیمساز خارجی	بر نیمساز داخلی عمود است
تفسیر علامت کسینوس	$\cos A < 0 \Rightarrow A > 90°$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

نکتهٔ طلایی: چون $\cos(180°-\theta) = -\cos\theta$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، جملهٔ آخر قضیهٔ کسینوس برای زاویهٔ منفرجه مثبت می‌شود — یعنی ضلع روبه‌روی زاویهٔ منفرجه از مجموع مربع دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است.

درسنامهٔ کامل علاوه بر این‌ها قضیهٔ استوارت، نقاط مهم مثلث و خط اویلر ( $OG:GH = 1:2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)، رابطهٔ اویلر $OI^2 = R^2 - 2Rr$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، همانی‌های مثلثاتی ویژهٔ مثلث، نامساوی‌های بین عناصر و قضیهٔ بطلمیوس را هم با اثبات پوشش می‌دهد.