ماتریس، دترمینان و دستگاه (هندسه ۳)

ماتریس و کاربردها

۱. تعریف و انواع ماتریس

هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی با $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سطر و $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ستون را ماتریس گویند:

$a_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درایه سطر $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ستون $j$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ مرتبه ماتریس $m\times n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مربعی ($m=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، سطری ($m=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، ستونی ($n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، صفر $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، قطری (خارج قطر اصلی صفر)، اسکالر (قطری با $a_{ii}=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، همانی $I_n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($k=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مثلثی بالایی/پایینی (زیر/بالای قطر اصلی صفر).

متقارن: $A^T=A \iff a_{ij}=a_{ji}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پادمتقارن: $A^T=-A \iff a_{ij}=-a_{ji}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نتیجه: $a_{ii}=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). ارتوگونال: $A^T A = I \Rightarrow A^{-1}=A^T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ترانهاده: جابه‌جایی سطر و ستون، $A^T=[a_{ji}]_{n\times m}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. خواص:

در ضرب ترانهاده، ترتیب عوامل معکوس می‌شود.

تساوی: هم‌مرتبه‌اند و $a_{ij}=b_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای همه $i,j$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲. عملیات روی ماتریس‌ها

جمع/تفریق (هم‌مرتبه بودن شرط است): $A\pm B=[a_{ij}\pm b_{ij}]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با خواص جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، عضو خنثی $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ضرب عددی: $kA=[ka_{ij}]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $kA=O \Rightarrow k=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $A=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ضرب ماتریس‌ها (شرط: ستون‌های $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = سطرهای $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

مثال: $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری همیشه برقرارند، اما جابه‌جایی عموماً برقرار نیست ($AB\neq BA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). تله‌های مهم: $AB=O \not\Rightarrow A=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $B=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $AB=AC,\,A\neq O \not\Rightarrow B=C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توان ماتریس مربعی: $A^0=I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $A^mA^n=A^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $(A^m)^n=A^{mn}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ هشدار: $(AB)^n\neq A^nB^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مگر $AB=BA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

ماتریس همپوش ($A^2=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یعنی $A^n=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ انعکاسی ($A^2=I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یعنی $A^{-1}=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نیل‌پوتان ($A^k=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در $(I+A)^n=I+nA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاربرد دارد اگر $k=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۳. دترمینان

فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود و یک عدد حقیقی است.

قانون ساروس (فقط $3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): با دو ستون اول گسترش می‌دهیم، $|A|=(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ برای مرتبه ۴ به بالا اشتباه است.

خواص: $|AB|=|A||B|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $|A^T|=|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $|kA|_{n\times n}=k^n|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای ماتریس مثلثی/قطری: $|A|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جابه‌جایی دو سطر، $|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌کند؛ افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر بدون تغییر؛ سطر صفر یا دو سطر یکسان یعنی $|A|=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بسط لاپلاس: کوفاکتور $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($M_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مینور = دترمینان پس از حذف سطر $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ستون $j$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ $|A|=\sum_{j} a_{ij}C_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ بسط را روی سطر/ستون پرصفر بزنید تا محاسبات کم شود.

۴. وارون ماتریس

$B=A^{-1} \iff AB=BA=I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $A^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود دارد $\iff |A|\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ناتکین؛ وگرنه تکین).

فرمول $2\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

قاعده حفظی: قطر اصلی را جابه‌جا کن، قطر فرعی را منفی کن، بر $|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم کن.

فرمول $3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\text{adj}(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $\text{adj}(A)=[C_{ij}]^T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (ترانهاده ماتریس کوفاکتورها).

مثال: برای $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\-1&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $|A|=18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $A^{-1}=\frac{1}{18}\begin{bmatrix}4&-2&6\\7&1&-3\\-1&5&3\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خواص: $(A^{-1})^{-1}=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی, $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ترتیب در ضرب وارون معکوس می‌شود: $(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

گاوس-جردن: ماتریس $[A\mid I]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با عملیات سطری به $[I\mid A^{-1}]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌بریم.

۵. دستگاه معادلات خطی

نمایش ماتریسی: $AX=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر $|A|\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $X=A^{-1}B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: برای $\begin{cases}3x-4y=1\\x-2y=1\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|A|=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2\\\frac12&-\frac32\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=-1,\,y=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانون کرامر: $x_i=\frac{|A_i|}{|A|}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($A_i = A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ستون $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جایگزین‌شده با $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ برای $\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-1\end{cases}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|A|=-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=2,\,y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حذف گاوس: ماتریس افزوده $[A\mid B]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به فرم اکلون می‌رود.

اگر $|A|\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب یکتاست؛ اگر $|A|=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دستگاه سازگار باشد بی‌نهایت جواب، و اگر ناسازگار باشد بدون جواب. تفسیر هندسی ($2\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): $|A|\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی دو خط متقاطع، معادلات وابسته یعنی منطبق ($\infty$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب)، متناقض یعنی موازی (بی‌جواب). دستگاه همگن $AX=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه جواب بدیهی $X=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد؛ اگر $|A|=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جواب‌های غیربدیهی هم وجود دارند.

۶. مفاهیم تکمیلی

اثر: $\text{tr}(A)=\sum a_{ii}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رتبه ماتریس: بزرگ‌ترین مرتبه زیرماتریس مربعی با دترمینان غیرصفر؛ با فرم اکلون، تعداد سطرهای غیرصفر برابر رتبه است.

مقادیر ویژه: $\lambda$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقدار ویژه $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است اگر $Av=\lambda v,\,v\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ معادله مشخصه $|A-\lambda I|=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، برای $2\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\lambda^2-\text{tr}(A)\lambda+|A|=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، با $\sum\lambda_i=\text{tr}(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\prod\lambda_i=|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال: $A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \Rightarrow \lambda_1=5,\lambda_2=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قضیه کیلی-همیلتون: هر ماتریس معادله مشخصه خودش را ارضا می‌کند ($p(A)=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ کاربرد در محاسبه سریع توان‌های بالا. مثال: برای $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $A^2=5A+2I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تجزیه LU: $A=LU$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($L$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلثی پایینی با قطر ۱، $U$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثلثی بالایی)؛ $AX=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دو گام: $Ly=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سپس $Ux=y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۷. کاربردها

ماتریس دوران (پادساعتگرد به اندازه $\theta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

ماتریس بازتاب نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبت به $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نسبت به $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مدل لئونتیف (اقتصاد): $X=AX+D \Rightarrow X=(I-A)^{-1}D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. گراف و ماتریس مجاورت: $(A^k)_{ij}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعداد مسیرهای به طول $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از رأس $i$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $j$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رمزنگاری هیل: $C=AX \pmod{26}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $X=A^{-1}C\pmod{26}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به شرط $\gcd(|A|,26)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۸. تله‌های رایج کنکوری

$AB=BA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عموماً غلط؛ $AB=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه نمی‌دهد $A=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $B=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $(AB)^T=B^TA^T$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $|kA|=k^n|A|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n\times n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روش‌های محاسبه $A^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در حالات خاص: اگر $A=kI$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $A^n=k^nI$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $A^2=O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $(I+A)^n=I+nA$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $A^2=I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $A^n=I$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زوج و $A^n=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرد.