پرش به محتوای اصلی

ماتریس و کاربردها (فصل 1 هندسه 3) (علوم ریاضی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

ماتریس و کاربردها

۱. تعریف و انواع ماتریس

هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی با mm سطر و nn ستون را ماتریس گویند:

A=[aij]m×nA = [a_{ij}]_{m\times n}

aija_{ij} درایه سطر ii و ستون jj است؛ مرتبه ماتریس m×nm\times n.

مربعی (m=nm=n)، سطری (m=1m=1)، ستونی (n=1n=1)، صفر OO، قطری (خارج قطر اصلی صفر)، اسکالر (قطری با aii=ka_{ii}=k)، همانی InI_n (k=1k=1)، مثلثی بالایی/پایینی (زیر/بالای قطر اصلی صفر).

متقارن: AT=A  ⟺  aij=ajiA^T=A \iff a_{ij}=a_{ji}. پادمتقارن: AT=−A  ⟺  aij=−ajiA^T=-A \iff a_{ij}=-a_{ji} (نتیجه: aii=0a_{ii}=0). ارتوگونال: ATA=I⇒A−1=ATA^T A = I \Rightarrow A^{-1}=A^T.

ترانهاده: جابه‌جایی سطر و ستون، AT=[aji]n×mA^T=[a_{ji}]_{n\times m}. خواص:

(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(kA)T=kAT,(AB)T=BTAT(A^T)^T=A,\quad (A+B)^T=A^T+B^T,\quad (kA)^T=kA^T,\quad (AB)^T=B^TA^T

در ضرب ترانهاده، ترتیب عوامل معکوس می‌شود.

تساوی: هم‌مرتبه‌اند و aij=bija_{ij}=b_{ij} برای همه i,ji,j.

۲. عملیات روی ماتریس‌ها

جمع/تفریق (هم‌مرتبه بودن شرط است): A±B=[aij±bij]A\pm B=[a_{ij}\pm b_{ij}]، با خواص جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، عضو خنثی OO.

ضرب عددی: kA=[kaij]kA=[ka_{ij}]؛ kA=O⇒k=0kA=O \Rightarrow k=0 یا A=OA=O.

ضرب ماتریس‌ها (شرط: ستون‌های AA = سطرهای BB):

Am×p⋅Bp×n=Cm×n,cij=∑k=1paikbkjA_{m\times p}\cdot B_{p\times n}=C_{m\times n}, \qquad c_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}

مثال: [1234][5678]=[19224350]\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}

شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری همیشه برقرارند، اما جابه‌جایی عموماً برقرار نیست (AB≠BAAB\neq BA). تله‌های مهم: AB=O⇏A=OAB=O \not\Rightarrow A=O یا B=OB=O؛ AB=AC, A≠O⇏B=CAB=AC,\,A\neq O \not\Rightarrow B=C.

توان ماتریس مربعی: A0=IA^0=I, AmAn=Am+nA^mA^n=A^{m+n}, (Am)n=Amn(A^m)^n=A^{mn}؛ هشدار: (AB)n≠AnBn(AB)^n\neq A^nB^n مگر AB=BAAB=BA.

ماتریس همپوش (A2=AA^2=A) یعنی An=AA^n=A؛ انعکاسی (A2=IA^2=I) یعنی A−1=AA^{-1}=A؛ نیل‌پوتان (Ak=OA^k=O) در (I+A)n=I+nA(I+A)^n=I+nA کاربرد دارد اگر k=2k=2.

۳. دترمینان

فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود و یک عدد حقیقی است.

det⁡[a]=a,∣abcd∣=ad−bc\det[a]=a, \qquad \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc

قانون ساروس (فقط 3×33\times3): با دو ستون اول گسترش می‌دهیم، ∣A∣=(aei+bfg+cdh)−(ceg+afh+bdi)|A|=(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)؛ برای مرتبه ۴ به بالا اشتباه است.

خواص: ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|, ∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|, ∣kA∣n×n=kn∣A∣|kA|_{n\times n}=k^n|A|, ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}. برای ماتریس مثلثی/قطری: ∣A∣=a11a22⋯ann|A|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}. جابه‌جایی دو سطر، ∣A∣|A| را در −1-1 ضرب می‌کند؛ افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر بدون تغییر؛ سطر صفر یا دو سطر یکسان یعنی ∣A∣=0|A|=0.

بسط لاپلاس: کوفاکتور Cij=(−1)i+jMijC_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} (MijM_{ij} مینور = دترمینان پس از حذف سطر ii و ستون jj)؛ ∣A∣=∑jaijCij|A|=\sum_{j} a_{ij}C_{ij}؛ بسط را روی سطر/ستون پرصفر بزنید تا محاسبات کم شود.

۴. وارون ماتریس

B=A−1  ⟺  AB=BA=IB=A^{-1} \iff AB=BA=I؛ A−1A^{-1} وجود دارد   ⟺  ∣A∣≠0\iff |A|\neq0 (ناتکین؛ وگرنه تکین).

فرمول 2×22\times2:

A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

قاعده حفظی: قطر اصلی را جابه‌جا کن، قطر فرعی را منفی کن، بر ∣A∣|A| تقسیم کن.

فرمول 3×33\times3: A−1=1∣A∣adj(A)A^{-1}=\frac{1}{|A|}\text{adj}(A) که adj(A)=[Cij]T\text{adj}(A)=[C_{ij}]^T (ترانهاده ماتریس کوفاکتورها).

مثال: برای A=[120−1132−11]A=\begin{bmatrix}1&2&0\\-1&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix} با ∣A∣=18|A|=18: A−1=118[4−2671−3−153]A^{-1}=\frac{1}{18}\begin{bmatrix}4&-2&6\\7&1&-3\\-1&5&3\end{bmatrix}.

خواص: (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A, (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T, ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}. ترتیب در ضرب وارون معکوس می‌شود: (ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}.

گاوس-جردن: ماتریس [A∣I][A\mid I] را با عملیات سطری به [I∣A−1][I\mid A^{-1}] می‌بریم.

۵. دستگاه معادلات خطی

نمایش ماتریسی: AX=BAX=B. اگر ∣A∣≠0|A|\neq0: X=A−1BX=A^{-1}B.

مثال: برای {3x−4y=1x−2y=1\begin{cases}3x-4y=1\\x-2y=1\end{cases}، ∣A∣=−2|A|=-2 و A−1=[1−212−32]A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2\\\frac12&-\frac32\end{bmatrix}، پس x=−1, y=−1x=-1,\,y=-1.

قانون کرامر: xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\frac{|A_i|}{|A|} (AiA_i = AA با ستون ii جایگزین‌شده با BB)؛ برای {2x+y=5x−3y=−1\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=-1\end{cases}، ∣A∣=−7|A|=-7 و x=2, y=1x=2,\,y=1. حذف گاوس: ماتریس افزوده [A∣B][A\mid B] به فرم اکلون می‌رود.

اگر ∣A∣≠0|A|\neq0 جواب یکتاست؛ اگر ∣A∣=0|A|=0 و دستگاه سازگار باشد بی‌نهایت جواب، و اگر ناسازگار باشد بدون جواب. تفسیر هندسی (2×22\times2): ∣A∣≠0|A|\neq0 یعنی دو خط متقاطع، معادلات وابسته یعنی منطبق (∞\infty جواب)، متناقض یعنی موازی (بی‌جواب). دستگاه همگن AX=OAX=O همیشه جواب بدیهی X=OX=O دارد؛ اگر ∣A∣=0|A|=0، جواب‌های غیربدیهی هم وجود دارند.

۶. مفاهیم تکمیلی

اثر: tr(A)=∑aii\text{tr}(A)=\sum a_{ii}؛ tr(AB)=tr(BA)\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA).

رتبه ماتریس: بزرگ‌ترین مرتبه زیرماتریس مربعی با دترمینان غیرصفر؛ با فرم اکلون، تعداد سطرهای غیرصفر برابر رتبه است.

مقادیر ویژه: λ\lambda مقدار ویژه AA است اگر Av=λv, v≠0Av=\lambda v,\,v\neq0؛ معادله مشخصه ∣A−λI∣=0|A-\lambda I|=0، برای 2×22\times2: λ2−tr(A)λ+∣A∣=0\lambda^2-\text{tr}(A)\lambda+|A|=0، با ∑λi=tr(A)\sum\lambda_i=\text{tr}(A) و ∏λi=∣A∣\prod\lambda_i=|A|. مثال: A=[4123]⇒λ1=5,λ2=2A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \Rightarrow \lambda_1=5,\lambda_2=2.

قضیه کیلی-همیلتون: هر ماتریس معادله مشخصه خودش را ارضا می‌کند (p(A)=Op(A)=O)؛ کاربرد در محاسبه سریع توان‌های بالا. مثال: برای A=[1234]A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}، A2=5A+2IA^2=5A+2I.

تجزیه LU: A=LUA=LU (LL مثلثی پایینی با قطر ۱، UU مثلثی بالایی)؛ AX=BAX=B در دو گام: Ly=BLy=B سپس Ux=yUx=y.

۷. کاربردها

ماتریس دوران (پادساعتگرد به اندازه θ\theta):

Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ],∣Rθ∣=1,Rθ−1=R−θ=RθTR_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}, \qquad |R_\theta|=1,\quad R_\theta^{-1}=R_{-\theta}=R_\theta^T

ماتریس بازتاب نسبت به محور xx: [100−1]\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}؛ نسبت به yy: [−1001]\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}؛ نسبت به y=xy=x: [0110]\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.

مدل لئونتیف (اقتصاد): X=AX+D⇒X=(I−A)−1DX=AX+D \Rightarrow X=(I-A)^{-1}D. گراف و ماتریس مجاورت: (Ak)ij(A^k)_{ij} تعداد مسیرهای به طول kk از رأس ii به jj. رمزنگاری هیل: C=AX(mod26)C=AX \pmod{26}، X=A−1C(mod26)X=A^{-1}C\pmod{26} به شرط gcd⁡(∣A∣,26)=1\gcd(|A|,26)=1.

۸. تله‌های رایج کنکوری

AB=BAAB=BA عموماً غلط؛ AB=OAB=O نتیجه نمی‌دهد A=OA=O یا B=OB=O؛ (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}؛ (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T؛ ∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A| برای n×nn\times n.

روش‌های محاسبه AnA^n در حالات خاص: اگر A=kIA=kI آنگاه An=knIA^n=k^nI؛ اگر A2=OA^2=O آنگاه (I+A)n=I+nA(I+A)^n=I+nA؛ اگر A2=IA^2=I آنگاه An=IA^n=I برای nn زوج و An=AA^n=A برای nn فرد.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر AA یک ماتریس مربعی از مرتبه nn باشد به طوری که A2=AA^2 = A و tr(A)=2024\mathrm{tr}(A) = 2024، آن‌گاه مقدار tr(A+In)\mathrm{tr}(A + I_n) کدام است؟

  • 2025
  • 4048
  • 2024 + n
  • 2024

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون tr\mathrm{tr} همواره خطی است، tr(A+In)=tr(A)+tr(In)=2024+n\mathrm{tr}(A+I_n)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(I_n)=2024+n؛ این رابطه مستقل از شرط A2=AA^2=A برقرار است. رد گزینه‌های غلط: «2024» فقط tr(A)\mathrm{tr}(A) است و افزودنِ InI_n را نادیده می‌گیرد؛ «2025» و «4048» با فرضِ نادرستِ n=1n=1 یا n=2024n=2024 ساخته می‌شوند که هیچ‌کدام در صورتِ سؤال نیامده‌اند. تلهٔ تستی: دیدنِ A2=AA^2=A باعث می‌شود دانش‌آموز بخواهد مقادیر ویژه را درگیر کند، در حالی‌که این سؤال فقط با خطی‌بودنِ اثر حل می‌شود و nn باید نمادین در پاسخ بماند.

2. ماتریس AA از مرتبه 3×33\times3 دارای مقادیر ویژه λ1=1\lambda_1=1، λ2=2\lambda_2=2 و λ3=3\lambda_3=3 است. مقدار det⁡(A−1+A−2I3)\det(A^{-1} + A - 2I_3) کدام است؟

  • برابرِ 00
  • 13\frac{1}{3}
  • −16-\frac{1}{6}
  • 16\frac{1}{6}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

مقادیر ویژهٔ A−1+A−2IA^{-1}+A-2I برابرند با f(λ)=1λ+λ−2f(\lambda)=\frac{1}{\lambda}+\lambda-2 برایِ هر مقدار ویژهٔ λ\lambda؛ برایِ λ1=1\lambda_1=1: f(1)=1+1−2=0f(1)=1+1-2=0. چون یکی از مقادیر ویژهٔ ماتریسِ حاصل صفر است، دترمینان (حاصل‌ضربِ مقادیر ویژه) برابرِ «00» می‌شود، بدونِ نیاز به محاسبهٔ f(2)f(2) و f(3)f(3). رد گزینه‌های غلط: 16\frac{1}{6}، 13\frac{1}{3} و −16-\frac{1}{6} از ضرب‌کردنِ f(2)=12f(2)=\frac{1}{2} و f(3)=43f(3)=\frac{4}{3} بدونِ لحاظِ f(1)=0f(1)=0 ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: به‌محضِ رسیدن به یک مقدار ویژهٔ صفر برایِ ماتریسِ هدف، محاسبهٔ بقیه زائد است چون دترمینان بلافاصله صفر می‌شود.

3. ماتریس AA از مرتبه 3×33 \times 3 به گونه‌ای است که A2=IA^2 = I و A≠IA \neq I. اگر B=(I+A)3B = (I + A)^3 باشد، حاصل BB کدام است؟

  • 4I4I
  • 8A8A
  • 4A4A
  • 4(I+A)4(I+A)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون A2=IA^2=I، با بسطِ دوجمله‌ای (که چون II با هر ماتریسی جابه‌جا می‌شود مجاز است): (I+A)3=I+3A+3A2+A3=I+3A+3I+A=4I+4A=4(I+A)(I+A)^3=I+3A+3A^2+A^3=I+3A+3I+A=4I+4A=4(I+A) (چون A3=A⋅A2=A⋅I=AA^3=A\cdot A^2=A\cdot I=A). رد گزینه‌های غلط: «4I4I» و «4A4A» از حذفِ نابه‌جای یکی از دو جمله ناشی می‌شوند؛ «8A8A» با این فرضِ غلط ساخته می‌شود که I+AI+A می‌تواند با 2A2A یکی گرفته شود. تلهٔ تستی: در بسطِ (I+A)3(I+A)^3 باید A2A^2 و A3A^3 را با شرطِ A2=IA^2=I ساده کرد، نه با محاسبهٔ مستقیمِ توان که بدونِ این ساده‌سازی امکان‌پذیر نیست.

4. اگر A=[12−1031204]A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 4\end{bmatrix} و adj(A)\mathrm{adj}(A) نشان‌دهنده ماتریس الحاقی AA باشد، حاصل det⁡(adj(A))\det(\mathrm{adj}(A)) کدام است؟

  • برابرِ 1∣A∣\frac{1}{|A|} خواهد بود.
  • دقیقاً برابرِ ∣A∣|A|
  • برابرِ ∣A∣2|A|^{2} خواهد بود.
  • برابرِ ∣A∣3|A|^{3} خواهد بود.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برایِ ماتریسِ n×nn\times n رابطهٔ کلیِ det⁡(adj(A))=det⁡(A) n−1\det(\mathrm{adj}(A))=\det(A)^{\,n-1} برقرار است؛ چون AA از مرتبهٔ 3×33\times3 است (n=3n=3)، det⁡(adj(A))=∣A∣3−1=∣A∣2\det(\mathrm{adj}(A))=|A|^{3-1}=|A|^{2}. وارسیِ مستقل (بدونِ استفاده از خودِ فرمول): از اتحادِ A⋅adj(A)=det⁡(A) I3A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det(A)\,I_3 دترمینان می‌گیریم: det⁡(A)⋅det⁡(adj(A))=det⁡(det⁡(A)I3)=det⁡(A)3\det(A)\cdot\det(\mathrm{adj}(A))=\det(\det(A)I_3)=\det(A)^3؛ با تقسیم بر det⁡(A)≠0\det(A)\neq0 همان det⁡(adj(A))=det⁡(A)2\det(\mathrm{adj}(A))=\det(A)^2 به‌دست می‌آید. (برایِ این ماتریسِ مشخص ∣A∣=1(12−0)−2(0−2)+(−1)(0−6)=12+4+6=22|A|=1(12-0)-2(0-2)+(-1)(0-6)=12+4+6=22، پس مقدارِ عددی 484484 است.) رد گزینه‌های غلط: ∣A∣|A| اصلاً توانی اعمال نمی‌کند؛ ∣A∣3|A|^{3} به‌جایِ n−1n-1 از خودِ nn استفاده کرده است؛ 1∣A∣\frac{1}{|A|} از خلطِ ماتریسِ الحاقی با ماتریسِ وارون ناشی می‌شود (درست است که A−1=1det⁡Aadj(A)A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)، اما دترمینانِ خودِ adj(A)\mathrm{adj}(A) ربطی به 1∣A∣\frac{1}{|A|} ندارد). تلهٔ تستی: توان در فرمولِ det⁡(adj(A))\det(\mathrm{adj}(A)) همیشه n−1n-1 است نه nn؛ برایِ 2×22\times2 این توان 11 می‌شود و همین حالتِ خاص باعث می‌شود بسیاری فرمول را با ∣A∣|A| اشتباه بگیرند.

5. ماتریس AA از مرتبه n×nn \times n به گونه‌ای است که A2=2AA^2 = 2A. اگر ∣A∣≠0|A| \neq 0 باشد، آنگاه ∣A−2I∣|A - 2I| کدام است؟

  • 2n2^{n}
  • برابرِ 00
  • (−2)n(-2)^{n}
  • (−2)n−1(-2)^{n-1}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون A2=2AA^2=2A، مقادیر ویژهٔ AA فقط می‌توانند 00 یا 22 باشند (ریشه‌های λ2=2λ\lambda^2=2\lambda)؛ اما ∣A∣≠0|A|\neq0 یعنی AA وارون‌پذیر است، پس λ=0\lambda=0 مجاز نیست و همهٔ مقادیر ویژه برابرِ 22 می‌شوند. در نتیجه A−2IA-2I در هر راستایی مقدار ویژهٔ 2−2=02-2=0 دارد، یعنی ∣A−2I∣=0|A-2I|=0. رد گزینه‌های غلط: (−2)n(-2)^n، (−2)n−1(-2)^{n-1} و 2n2^n همگی نتیجهٔ این فرضِ نادرست‌اند که مقادیر ویژهٔ AA می‌توانند 00 باشند. تلهٔ تستی: شرطِ ∣A∣≠0|A|\neq0 دقیقاً برایِ حذفِ حالتِ λ=0\lambda=0 آمده؛ نادیده‌گرفتنِ این قید رایج‌ترین اشتباه در این نوع سؤال است.

6. ماتریس A3×3A_{3\times3} را در نظر بگیرید که درایه‌های آن اعدادی حقیقی هستند و tr(A)=5\mathrm{tr}(A) = 5 و ∣A∣=3|A| = 3 است. اگر یکی از مقادیر ویژه AA برابر 11 باشد، آنگاه مجموع دو مقدار ویژه دیگر کدام است؟

  • 44
  • 11
  • 33
  • 22

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برایِ ماتریسِ 3×33\times3، مجموعِ مقادیر ویژه برابرِ tr(A)=5\mathrm{tr}(A)=5 است؛ اگر یکی از مقادیر ویژه 11 باشد، مجموعِ دو مقدار ویژهٔ دیگر برابرِ 5−1=45-1=4 می‌شود — این رابطه مستقل از ∣A∣=3|A|=3 برقرار است. رد گزینه‌های غلط: 11، 33 و 22 از خلط‌کردنِ tr(A)\mathrm{tr}(A) با ∣A∣|A| یا تقسیمِ نادرستِ 55 بینِ سه مقدار ناشی می‌شوند. تلهٔ تستی: دادهٔ ∣A∣=3|A|=3 در این سؤال کاملاً اضافی و گمراه‌کننده است؛ برایِ «مجموعِ مقادیر ویژه» فقط tr(A)\mathrm{tr}(A) لازم است، نه det⁡(A)\det(A).

7. ماتریس A3×3A_{3\times3} را در نظر بگیرید که rank(A)=1\mathrm{rank}(A) = 1 و tr(A)≠0\mathrm{tr}(A) \neq 0 است. اگر B=A2−tr(A)AB = A^2 - \mathrm{tr}(A) A، آنگاه کدام گزینه در مورد BB درست است؟

  • BB یک ماتریس با رتبهٔ 22 است.
  • BB معکوس‌پذیر خواهد بود.
  • BB ماتریسِ صفر است.
  • BB یک ماتریسِ اسکالرِ ناصفر است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون rank(A)=1\mathrm{rank}(A)=1، AA را می‌توان به‌صورتِ حاصل‌ضربِ خارجیِ A=uvTA=uv^T نوشت که در آن vTu=tr(A)v^Tu=\mathrm{tr}(A)؛ در نتیجه A2=u(vTu)vT=tr(A)⋅AA^2=u(v^Tu)v^T=\mathrm{tr}(A)\cdot A، یعنی A2=tr(A) AA^2=\mathrm{tr}(A)\,A همیشه برایِ ماتریسِ رتبه‌یک برقرار است. پس B=A2−tr(A)A=tr(A)A−tr(A)A=OB=A^2-\mathrm{tr}(A)A=\mathrm{tr}(A)A-\mathrm{tr}(A)A=O، یعنی «BB ماتریس صفر است». رد گزینه‌های غلط: بقیهٔ گزینه‌ها (اسکالرِ غیرصفر، رتبهٔ 22، وارون‌پذیر) همه با اینکه BB دقیقاً صفر می‌شود ناسازگارند. تلهٔ تستی: اتحادِ A2=tr(A)AA^2=\mathrm{tr}(A)A برایِ هر ماتریسِ رتبه‌یک (بدونِ توجه به ابعاد) برقرار است و پایهٔ حلِ سریعِ این‌گونه سؤالات است.

8. فرض کنید AA یک ماتریس 2×22\times2 حقیقی و غیرصفر باشد. اگر A2=AA^2 = A و ∣A∣≠0|A| \neq 0، آن‌گاه کدام گزینه درباره مقادیر ویژه AA درست است؟

  • هر دو مقدار ویژه 11 هستند.
  • مقادیر ویژه ±1\pm 1 هستند.
  • هر دو مقدار ویژه 00 هستند.
  • یکی مقدار ویژه 00 و دیگری 11.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون A2=AA^2=A (همپوش) و ∣A∣≠0|A|\neq0 (وارون‌پذیر)، با ضربِ دو طرفِ A2=AA^2=A در A−1A^{-1} نتیجه می‌شود A=IA=I؛ پس تنها مقدار ویژهٔ AA برابرِ 11 است و «هر دو مقدار ویژه 11 هستند» درست است. رد گزینه‌های غلط: «هر دو صفر» و «یکی صفر یکی یک» با وارون‌پذیریِ AA (که λ=0\lambda=0 را ممنوع می‌کند) ناسازگارند؛ «±1\pm1» با A2=AA^2=A (نه A2=IA^2=I) نمی‌خواند چون λ=−1\lambda=-1 در λ2=λ\lambda^2=\lambda صدق نمی‌کند. تلهٔ تستی: وارون‌پذیریِ یک ماتریسِ همپوش آن را مجبور می‌کند دقیقاً برابرِ II باشد؛ این نتیجه‌گیریِ سریع نیازِ به محاسبهٔ مستقیمِ مقادیر ویژه را از بین می‌برد.

9. اگر AA و BB دو ماتریس 3×33\times3 وارون‌پذیر باشند، کدام گزینه همواره درست است؟

  • (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}
  • (kA)−1=kA−1(kA)^{-1} = k A^{-1}، هر kk
  • (A+B)−1=A−1+B−1(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}
  • (ATB)−1=B−1(A−1)T(A^T B)^{-1} = B^{-1} (A^{-1})^T

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با اتحادِ (XY)−1=Y−1X−1(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1} برایِ X=AT, Y=BX=A^T,\,Y=B: (ATB)−1=B−1(AT)−1(A^TB)^{-1}=B^{-1}(A^T)^{-1}؛ و چون (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T همواره برقرار است (برایِ هر ماتریسِ وارون‌پذیر، بدونِ نیاز به شرطِ اضافه)، نتیجه می‌شود (ATB)−1=B−1(A−1)T(A^TB)^{-1}=B^{-1}(A^{-1})^T — دقیقاً همان گزینه. رد گزینه‌های غلط: «(A+B)−1=A−1+B−1(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}» با A=B=IA=B=I نقض می‌شود (12I≠2I\frac{1}{2}I\neq2I)؛ «(AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}» ترتیبِ صحیح را برعکس می‌کند (باید B−1A−1B^{-1}A^{-1} باشد)؛ «(kA)−1=kA−1(kA)^{-1}=kA^{-1}» باید 1kA−1\frac{1}{k}A^{-1} باشد. تلهٔ تستی: در وارونِ حاصل‌ضرب (چه معمولی چه ترانهاده)، ترتیبِ عواملِ وارون‌شده همیشه معکوس می‌شود.

10. دستگاه معادلات خطی AX=BAX = B را در نظر بگیرید که AA یک ماتریس n×nn\times n حقیقی و وارون‌پذیر است (لزوماً متقارن نیست). کدام گزینه در مورد جواب دستگاه درست است؟

  • جوابِ یکتا و X=(A−1)TBX=(A^{-1})^TB.
  • جوابِ یکتا و X=A−1BX = A^{-1} B است.
  • دستگاه بی‌نهایت جواب دارد.
  • دستگاه ناسازگار است و بی‌جواب.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون AA وارون‌پذیر است، با ضربِ A−1A^{-1} از سمتِ چپ در AX=BAX=B به X=A−1BX=A^{-1}B می‌رسیم و این جواب یکتاست (اگر X1X_1 و X2X_2 هر دو جواب باشند، A(X1−X2)=OA(X_1-X_2)=O و با وارون‌پذیریِ AA نتیجه X1=X2X_1=X_2). وارسیِ مستقل با یک نمونهٔ عددی: A=[1101]A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}، B=[10]B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}؛ آن‌گاه A−1=[1−101]A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} و A−1B=[10]A^{-1}B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}، در حالی‌که (A−1)T=[10−11](A^{-1})^T=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix} و (A−1)TB=[1−1](A^{-1})^TB=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} — دو نتیجهٔ متفاوت. رد گزینه‌های غلط: X=(A−1)TBX=(A^{-1})^TB نادرست است، چون (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T=(A^T)^{-1} است و این فقط وقتی با A−1A^{-1} یکی می‌شود که AA متقارن باشد (همان نمونهٔ بالا نقضش می‌کند)؛ «بی‌نهایت جواب» و «ناسازگار» هر دو با وارون‌پذیریِ AA در تناقضند، چون وارون‌پذیری دقیقاً یعنی det⁡(A)≠0\det(A)\neq0 و جوابِ یکتا. تلهٔ تستی: ترانهاده و وارون با هم جابه‌جا می‌شوند ((AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T)، اما هیچ‌کدام برابرِ خودِ A−1A^{-1} نیستند مگر در حالتِ متقارن؛ بی‌دقتی در همین نکته گزینهٔ «X=(A−1)TBX=(A^{-1})^TB» را فریبنده می‌کند.

مباحث مرتبط

آشنایی با مقاطع مخروطی (فصل 2 هندسه 3) (علوم ریاضی)بردارها (فصل 3 هندسه 3) (علوم ریاضی)مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم ریاضی)ترسیم های هندسی و استدلال

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان