آشنایی با مقاطع مخروطی (فصل 2 هندسه 3) (علوم ریاضی)

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کانون‌های هذلولی $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ از رابطهٔ $c^2=a^2+b^2=9+16=25$ به دست می‌آید، یعنی $c=5$ — این دو کانون، کانون‌های بیضی هم هستند. اگر خروج از مرکز بیضی $e=\frac12$ باشد: $a=\dfrac{c}{e}=\dfrac{5}{1/2}=10$، پس $a^2=100$. سپس $b^2=a^2-c^2=100-25=75$. چون کانون‌ها روی محور $x$اند، $a^2$ زیر $x^2$ می‌آید: معادلهٔ بیضی $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{75}=1$ است. گزینه‌های دیگر یا $b^2$ را با محاسبهٔ نادرست (مثلاً $84$) گزارش کرده‌اند یا $a^2$ و $b^2$ را جابه‌جا نوشته‌اند (که با محورِ کانون‌ها ناسازگار است). تلهٔ تستی: در این نوع سؤال، $c$ ثابت (از هذلولی) و $e$ داده‌شده برای بیضی است؛ باید حتماً $a=c/e$ (نه $a=c\cdot e$) محاسبه شود — خلط این دو فرمول شایع‌ترین خطای این مسئله است. بنابراین پاسخ صحیح $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{75}=1$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

طبق تعریف پایه‌ای بیضی، فاصلهٔ هر کانون تا مرکز برابر $c=a\cdot e$ است (چون $e=c/a$)، و فاصلهٔ هر خط هادی تا مرکز برابر $\dfrac{a}{e}$ است (این دو رابطه مستقیماً از تعریفِ خروج از مرکز و خط هادی می‌آیند و برای هر بیضی با $a>b>0$ برقرارند). گزینه‌هایی که $b$ یا $a^2$ یا $c^2$ را جای $a$ در این دو فرمول قرار می‌دهند، رابطهٔ استاندارد را با کمیت‌های نامرتبط اشتباه گرفته‌اند. تلهٔ تستی: فرمول‌های کانون-تا-مرکز و هادی-تا-مرکز هر دو بر پایهٔ $a$ (نیم‌قطر بزرگ) نوشته می‌شوند، نه $b$ یا $c$ به‌تنهایی؛ به‌خاطرسپاریِ نادرستِ این پایه، خطای رایج دانش‌آموزان است. بنابراین پاسخ صحیح فاصله هر کانون تا مرکز برابر $a\cdot e$ و فاصله هر خط هادی تا مرکز برابر $\frac{a}{e}$ است است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در هر هذلولی، رابطهٔ $c^2=a^2+b^2$ همواره برقرار است و مستقل از زاویه‌ای است که مجانب‌ها با محورهای مختصات یا خطوط دیگر می‌سازند. اینجا فاصلهٔ کانونی (فاصلهٔ دو کانون) $8$ داده شده، یعنی $2c=8\Rightarrow c=4$، پس $a^2+b^2=c^2=16$ — مستقیماً، بدون نیاز به دانستنِ زاویهٔ ۳۰ درجه. گزینه‌های دیگر از تلاش برای وارد کردنِ زاویهٔ ۳۰ درجه در محاسبه (که برای این سؤال لازم نیست) حاصل می‌شوند. تلهٔ تستی: زاویهٔ مجانب‌ها فقط نسبتِ $b/a$ را مشخص می‌کند، نه مقدارِ مجموع $a^2+b^2$ را؛ وقتی $c$ (یا فاصلهٔ کانونی) مستقیماً داده شود، $a^2+b^2$ بی‌نیاز از دانستنِ آن زاویه به دست می‌آید — این زاویه در این سؤال خاص، اطلاعاتِ اضافی (حواس‌پرت‌کن) است. بنابراین پاسخ صحیح $16$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

دو هذلولی مجانب‌های یکسان دارند اگر و فقط اگر نسبتِ $b/a$ (شیبِ مجانب) در هر دو برابر باشد. برای هذلولیِ اول، شیبِ مجانب $\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$ است. برای هذلولیِ دوم $\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1$، شیبِ مجانب $\dfrac{d}{c}$ است. برابر قراردادن: $\dfrac{d}{c}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{c}{d}=\dfrac{2}{3}$. گزینه‌هایی که $c/d=3/2$ می‌نویسند، صورت و مخرجِ نسبت را جابه‌جا کرده‌اند؛ گزینه‌های $c^2+d^2=13$ و $cd=6$ رابطه‌های بی‌ربطی‌اند که هیچ‌کدام از برابریِ مجانب‌ها نتیجه نمی‌شوند. تلهٔ تستی: شرطِ «مجانب‌های یکسان» یعنی برابریِ *نسبت* $b/a$، نه برابریِ خودِ $a,b$ با $c,d$؛ بی‌شمار هذلولی با اندازه‌های متفاوت می‌توانند مجانب‌های یکسان داشته باشند، فقط کافی است این یک نسبت برابر باشد. بنابراین پاسخ صحیح $\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

وقتی $\angle FPF'=90^\circ$ باشد، مساحتِ مثلثِ $PFF'$ همواره برابرِ $b^2$ است (یک نتیجهٔ کلاسیک: با استفاده از $PF+PF'=2a$ و قضیهٔ فیثاغورس $PF^2+PF'^2=4c^2$، به‌دست می‌آید $PF\cdot PF'=2b^2$ و مساحت $=\tfrac12 PF\cdot PF'=b^2$). چون $b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$، این مقدار دقیقاً برابرِ $a^2(1-e^2)$ است. گزینهٔ $a^2e$ و $a^2e^2$ ابعادِ نادرستی دارند (فاقدِ سازگاریِ واحد با مساحتِ واقعی)؛ گزینهٔ $a^2e\sqrt{1-e^2}$ از یک فرمولِ نیمه‌درستِ ناقص (فراموشیِ توانِ دومِ $e$) ناشی می‌شود. تلهٔ تستی: مساحتِ مثلثِ کانونی با زاویهٔ قائمه در $P$ همیشه دقیقاً $b^2$ است — این را می‌توان مستقیماً به‌عنوانِ فرمولِ حفظی به‌کار برد و از حل کاملِ مختصات صرفِ‌نظر کرد. بنابراین پاسخ صحیح $a^2 (1-e^2)$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

در مثلثِ قائم‌الزاویه با وترِ $13$ و مجموعِ دو ضلعِ دیگر $17$: اگر ضلع‌ها $p,q$ باشند، $p+q=17$ و $p^2+q^2=169$؛ پس $pq=\dfrac{17^2-169}{2}=\dfrac{289-169}{2}=60$ و $\{p,q\}=\{5,12\}$. شعاعِ دایرهٔ محیطی (مرکزش وسطِ وتر است): $R=\dfrac{13}{2}$. شعاعِ دایرهٔ محاطیِ مثلثِ قائم‌الزاویه: $r=\dfrac{p+q-\text{وتر}}{2}=\dfrac{17-13}{2}=2$. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** رأسِ قائمه را مبدأ و اضلاع را روی محورها می‌گذاریم: $A(0,0)$، $B(5,0)$، $C(0,12)$. آن‌گاه $O$ وسطِ وترِ $BC$ است: $O\left(\dfrac52,\,6\right)$، و $I=(r,r)=(2,2)$. پس $OI=\sqrt{\left(\dfrac52-2\right)^2+(6-2)^2}=\sqrt{\dfrac14+16}=\sqrt{\dfrac{65}{4}}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}$. همین نتیجه از فرمولِ اویلر هم می‌آید: $OI^2=R^2-2Rr=\dfrac{169}{4}-2\cdot\dfrac{13}{2}\cdot2=\dfrac{169}{4}-26=\dfrac{65}{4}$ ✓ **ردِ گزینه‌های دیگر:** $\dfrac{\sqrt5}{2}$ برابرِ $\approx1.12$ است، ولی به‌تنهایی فاصلهٔ قائمِ $O$ تا $I$ در راستایِ $y$ برابرِ $4$ است، پس $OI>4$ و این عدد ناممکن است. $\dfrac{\sqrt{13}}{2}\approx1.80$ و $\dfrac{\sqrt{17}}{2}\approx2.06$ نیز به همین دلیل کوچک‌ترند از حدِ پایینِ $4$؛ این دو صرفاً از جای‌گذاریِ اعدادِ صورتِ مسئله ($13$ و $17$) زیرِ رادیکال ساخته شده‌اند. تلهٔ تستی: پیش از هر محاسبه، یک کرانِ پایینِ ساده بگیرید — چون $I$ روی $y=2$ و $O$ روی $y=6$ است، حتماً $OI\ge4$؛ همین یک نکته سه گزینه را در چند ثانیه حذف می‌کند. بنابراین پاسخ صحیح $\frac{\sqrt{65}}{2}$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

نقاطِ برخوردِ دایره و بیضی که یک مربع تشکیل می‌دهند، به‌دلیلِ تقارنِ مربع نسبت به هر دو محور، باید $|x_0|=|y_0|$ داشته باشند. از معادلهٔ دایره: $r^2=2x_0^2$. از معادلهٔ بیضی: $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{x_0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_0^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$. جای‌گذاری: $r^2=\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2}$. گزینه‌های دیگر یا ضریبِ $2$ را فراموش کرده‌اند یا فرمولِ اشتباهِ $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ (که اصلاً به $x_0$ ربطی ندارد) را به‌کار برده‌اند. تلهٔ تستی: شرطِ «چهار نقطه یک مربع تشکیل دهند» دقیقاً به معنایِ تقارنِ کاملِ نقاط حولِ مبدأ با $|x_0|=|y_0|$ است — این قیدِ هندسی، پلِ رابط بینِ معادلهٔ دایره و معادلهٔ بیضی است. بنابراین پاسخ صحیح $r^{2}= \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

چون کانون‌های بیضی روی محورِ $x$اند و فاصلهٔ کانونی (فاصلهٔ دو کانون) $4$ است، طبقِ تعریفِ بنیادیِ بیضی، مجموعِ فاصله‌های هر نقطه از دو کانون برابرِ $2a$ است — یک مقدارِ *ثابت*، مستقل از موقعیتِ دقیقِ $P$ روی بیضی (فقط باید $P$ واقعاً روی بیضی باشد). پس کافی است $a$ را بیابیم. از نقطهٔ $P(2,3)$: $\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{9}{a^2-4}=1$ (چون $b^2=a^2-c^2=a^2-4$). حلِ این معادله می‌دهد $a^2=16\Rightarrow a=4$، پس مجموعِ فاصله‌ها $2a=8$. گزینه‌های دیگر یا $a$ را به‌جایِ $2a$ گزارش کرده‌اند یا مقدارِ نادرستی از حلِ معادلهٔ درجه‌دوم (ریشهٔ نامعتبرِ $a^2=1<c^2$) برداشته‌اند. تلهٔ تستی: بلافاصله پس از دیدنِ عبارتِ «مجموعِ فاصله‌های نقطه از دو کانون»، باید یادِ تعریفِ $PF+PF'=2a$ افتاد — نیازی به محاسبهٔ مستقیمِ دو فاصله از رویِ مختصات نیست، فقط باید $a$ به دست آید. بنابراین پاسخ صحیح $8$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

کانون‌ها $F(c,0)$ و $F'(-c,0)$ و نقطهٔ $P(0,b)$ است. پس $PF=\sqrt{(0-c)^2+(b-0)^2}=\sqrt{b^2+c^2}$. و چون در هر بیضی $b^2=a^2-c^2$، داریم $b^2+c^2=a^2$، یعنی $PF=a$ — و به‌همین‌ترتیب $PF'=a$. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** شرطِ عمودبودن یعنی $\vec{PF}\cdot\vec{PF'}=0$. با $\vec{PF}=(c,-b)$ و $\vec{PF'}=(-c,-b)$: $-c^2+b^2=0\Rightarrow b=c$. پس این بیضی $a^2=b^2+c^2=2b^2$ دارد و $PF=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt2=a$ ✓. وارسیِ دوم با تعریفِ بیضی: $PF+PF'=2a$ و به‌دلیلِ تقارنِ $P$ نسبت به محورِ $y$، $PF=PF'$، پس هر کدام $a$ است. **ردِ گزینه‌های دیگر:** $a-c$ و $a+c$ به‌ترتیب فاصلهٔ نزدیک‌ترین و دورترین *رأسِ محورِ بزرگ* از کانون‌اند، نه فاصلهٔ انتهایِ محورِ کوچک؛ چون در اینجا $c=b=\dfrac{a}{\sqrt2}$، این دو برابرِ $a\left(1\mp\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ می‌شوند که هیچ‌کدام $a$ نیست. گزینهٔ $c$ نیز فاصلهٔ کانون تا مرکز است و اینجا $c=\dfrac{a}{\sqrt2}<a$. تلهٔ تستی: «فاصلهٔ انتهایِ محورِ کوچک تا هر کانون همیشه دقیقاً $a$ است» یک اتحادِ همیشگیِ بیضی است (از $b^2+c^2=a^2$) و اصلاً به شرطِ عمودبودن نیاز ندارد؛ آن شرط فقط شکلِ بیضی را به $b=c$ مقیّد می‌کند. کسی که این اتحاد را نداند، وسوسه می‌شود $a-c$ را انتخاب کند. بنابراین پاسخ صحیح $a$ است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

برای دو دایره با معادله‌های $x^2+y^2-6x+2y+1=0$ (مرکز $(3,-1)$، شعاع $r_1=3$) و $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ (مرکز $(1,1)$، شعاع $r_2=3$)، فاصلهٔ دو مرکز $d=\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\approx2.83$. چون $r_1=r_2=3$، داریم $|r_1-r_2|=0$ و $r_1+r_2=6$؛ از آنجا که $0<2\sqrt2<6$، رابطهٔ $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ برقرار است، یعنی دو دایره در دو نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند. گزینه‌های دیگر با رابطه‌های نادرستِ $d$ نسبت به $r_1,r_2$ توصیف‌های اشتباهی از وضعیتِ دو دایره (تماسِ داخلی، دربرگیریِ کامل، یا جدابودنِ کامل) ارائه می‌دهند که با مقادیرِ واقعیِ $d,r_1,r_2$ سازگار نیستند. تلهٔ تستی: وقتی $r_1=r_2$، مقدارِ $|r_1-r_2|=0$ می‌شود، پس شرطِ متقاطع‌بودن ساده به $0<d<r_1+r_2$ تبدیل می‌شود — کافی است فقط بررسی شود $d$ کمتر از مجموعِ دو شعاع است یا نه. بنابراین پاسخ صحیح $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$، بنابراین دو دایره در دو نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند. است.