بیضی، سهمی و هذلولی (هندسه ۳)

مقاطع مخروطی — مفهوم و منشأ هندسی

دو خط $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را که در نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متقاطع (و غیرعمود) باشند در نظر بگیر. سطح حاصل از دوران $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حول $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را سطح مخروطی می‌نامیم؛ $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محور، $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رأس و $l$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مولد آن است.

وقتی صفحه‌ای این سطح را قطع کند، یکی از چهار حالت پیش می‌آید:

مکان هندسی مجموعه نقاطی است که همه یک ویژگی مشترک دارند و هر نقطه‌ای که آن ویژگی را داشته باشد عضو آن است — یعنی رابطه دوطرفه است. عمود منصف، نیمساز و خودِ دایره نمونه‌های کلاسیک‌اند.

دایره

معادلهٔ استاندارد به مرکز $O'(\alpha, \beta)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شعاع $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

معادلهٔ ضمنی $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تکمیل مربع به استاندارد تبدیل می‌شود:

وضعیت نقطه: مقدار $(x_0-\alpha)^2+(y_0-\beta)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با $r^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بسنج — کمتر یعنی داخل، مساوی یعنی روی، بیشتر یعنی خارج.

وضعیت خط و دایره: یا از $\Delta$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دستگاه استفاده کن ($\Delta>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متقاطع، $\Delta=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مماس، $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون برخورد) یا از فاصلهٔ مرکز تا خط:

و آن را با $r$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقایسه کن.

وضعیت دو دایره با مقایسهٔ $d = O_1O_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و شعاع‌ها تعیین می‌شود: $d > r_1+r_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خارج از هم، $d = r_1+r_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مماس خارجی، $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متقاطع، $d = |r_1-r_2|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مماس داخلی و $d < |r_1-r_2|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داخل هم.

خط مماس: شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است. فرمول مستقیم برای $(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی دایره:

بیضی

تعریف: مکان هندسی نقاطی که مجموع فاصله‌هایشان از دو کانون برابر مقدار ثابت $2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

$$\boxed{PF + PF' = 2a, \qquad 2a > FF'}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اثبات رابطهٔ اساسی: وقتی $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی انتهای قطر کوچک باشد، $BF = BF' = a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $OBF$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌شود $a^2 = b^2 + c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معادلهٔ استاندارد: اگر کانون‌ها روی محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $a>b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و کانون‌های $F(\pm c, 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر روی محور $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند جای $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عوض می‌شود.

تفسیر خروج از مرکز: $e=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان دایره است و هرچه $e$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به ۱ نزدیک‌تر شود بیضی کشیده‌تر می‌شود.

وتر کانونی: $\ell = \dfrac{2b^2}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مساحت: $S = \pi ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خاصیت بازتابندگی: پرتویی که از یک کانون بتابد، پس از بازتاب از بیضی به کانون دیگر می‌رسد. همین خاصیت «اتاق نجواگر» را می‌سازد — کلیسای جامع سنت پل لندن نمونهٔ معروف آن است.

خط مماس در نقطهٔ $(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

سهمی

تعریف: مکان هندسی نقاطی که فاصله‌شان از یک نقطهٔ ثابت (کانون $F$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) با فاصله‌شان از یک خط ثابت (خط هادی $d$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) برابر باشد:

$$\boxed{PF = Pd}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اگر رأس در $(h,k)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، با انتقال مبدأ به شکل $(y-k)^2=4a(x-h)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مشابه‌هایش می‌رسیم. برای تبدیل معادلهٔ کلی به صورت متعارف از تکمیل مربع استفاده کن.

وتر کانونی سهمی: $\ell = 4a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

خط مماس در $(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی $y^2=4ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

خاصیت بازتابندگی: پرتوهای موازی محور پس از بازتاب همگی از کانون می‌گذرند و برعکس. کاربردهایش چراغ اتومبیل، آنتن ماهواره، بازتابندهٔ خورشیدی و میکروفون پارابولیک است.

هذلولی

تعریف: مکان هندسی نقاطی که قدرمطلق تفاضل فاصله‌هایشان از دو کانون ثابت و برابر $2a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد:

$$\boxed{|PF - PF'| = 2a, \qquad 2a < FF'}$$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مقایسهٔ چهار مقطع

معادلهٔ عمومی $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با تشخیص‌دهندهٔ $\Delta = B^2 - 4AC$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رده‌بندی می‌کنیم: $\Delta<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بیضی، $\Delta=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سهمی و $\Delta>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هذلولی.

درسنامهٔ کامل مفاهیم تکمیلی بیشتری هم دارد: معادلهٔ قطبی یکپارچهٔ هر چهار مقطع، خانوادهٔ دایره‌ها، دایرهٔ محیطی مثلث، کره‌وار، قانون اول کپلر و کاربردهای فیزیکی از مسیر پرتاب تا برج خنک‌کنندهٔ نیروگاه.

تله‌های رایج کنکور