پرش به محتوای اصلی

بردارها (فصل 3 هندسه 3) (علوم ریاضی)

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ی 30 درصدی درسنامه اصلی است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

فضای R2\mathbb{R}^2 و R3\mathbb{R}^3

هر نقطه از صفحه با یک زوج مرتب متناظر است: R2={(x,y)∣x,y∈R}\mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}\}، و در فضا با یک سه‌تایی مرتب: R3={(x,y,z)}\mathbb{R}^3 = \{(x,y,z)\}.

در دستگاه سه‌بعدی، سه محور OxOx، OyOy و OzOz دوبه‌دو عمودند و در مبدأ متقاطع‌اند — تصویر ذهنی‌اش فصل مشترک دو دیوار و کف اتاق است. سه صفحهٔ مختصات xyxy (کف)، yzyz و xzxz (دیوارها) فضا را به هشت ناحیه تقسیم می‌کنند.

فاصله و نقطهٔ میانی

∣PQ∣=(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2\boxed{|PQ| = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}}

اثبات: اول قطر کف را بگیر (∣OP′∣=x02+y02|OP'| = \sqrt{x_0^2+y_0^2}) و بعد فیثاغورس را یک بار دیگر با ارتفاع z0z_0 به کار ببر.

M=(x0+x12,  y0+y12,  z0+z12)\boxed{M = \left(\frac{x_0+x_1}{2},\;\frac{y_0+y_1}{2},\;\frac{z_0+z_1}{2}\right)}

صفحه و خط

شکل کلی معادلهٔ صفحه Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 است، و x=cx=c، y=cy=c، z=cz=c صفحه‌های موازی با صفحات مختصات‌اند.

نکتهٔ مهم: در R2\mathbb{R}^2 معادلهٔ x=cx=c یک خط است؛ در R3\mathbb{R}^3 همان معادله یک صفحه است.

خط از P0P_0 با بردار راستای v⃗=(a,b,c)\vec{v}=(a,b,c):

x−x0a=y−y0b=z−z0c=t\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = t

بردارها

بردار پاره‌خطی جهت‌دار با مبدأ، انتها، اندازه و جهت مشخص است. دو بردار مساویاند اگر اندازه و جهت یکسان داشته باشند — نقطهٔ شروع اهمیتی ندارد.

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2,  a3+b3)ra⃗=(ra1,ra2,ra3)\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1,\; a_2+b_2,\; a_3+b_3) \qquad r\vec{a} = (ra_1, ra_2, ra_3)
∥a⃗∥=a12+a22+a32\boxed{\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}

در ضرب اسکالر، r>1r>1 بردار را هم‌جهت و بلندتر می‌کند، 0<r<10<r<1 هم‌جهت و کوتاه‌تر، r=−1r=-1 قرینه و r<0r<0 خلاف جهت.

بردارهای یکه: i⃗=(1,0,0)\vec{i}=(1,0,0)، j⃗=(0,1,0)\vec{j}=(0,1,0)، k⃗=(0,0,1)\vec{k}=(0,0,1) و هر بردار دلخواه a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}.

بردار یکه در جهت a⃗\vec{a}: a^=a⃗∥a⃗∥\boxed{\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}}

ضرب داخلی (نقطه‌ای)

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\boxed{\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta}
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∥a⃗∥∥b⃗∥\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}

ایدهٔ اثبات: قضیهٔ کسینوس را در مثلثی با اضلاع ∥a⃗∥\|\vec{a}\|، ∥b⃗∥\|\vec{b}\| و ∥a⃗−b⃗∥\|\vec{a}-\vec{b}\| بنویس و با بسط مستقیم ∥a⃗−b⃗∥2\|\vec{a}-\vec{b}\|^2 مقایسه کن.

خواص کلیدی: جابه‌جایی‌پذیر است؛ a⃗⋅a⃗=∥a⃗∥2\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2؛ توزیع‌پذیر است؛ و مهم‌تر از همه:

a⃗⋅b⃗=0  ⟺  a⃗⊥b⃗∣a⃗⋅b⃗∣≤∥a⃗∥∥b⃗∥  (کشی-شوارتز)\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \iff \vec{a}\perp\vec{b} \qquad\qquad |\vec{a}\cdot\vec{b}|\le\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \;\text{(کشی-شوارتز)}

برای بردارهای یکه: i⃗⋅i⃗=j⃗⋅j⃗=k⃗⋅k⃗=1\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1 و ضرب داخلی هر دو یکهٔ متفاوت صفر است.

موازی بودن: a1b1=a2b2=a3b3\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3} — یعنی یکی مضرب حقیقی دیگری باشد.

تصویر قائم

a⃗′=a⃗⋅b⃗∥b⃗∥2 b⃗∥a⃗′∥=∣a⃗⋅b⃗∣∥b⃗∥=∥a⃗∥ ∣cos⁡θ∣\boxed{\vec{a}' = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\,\vec{b}} \qquad \|\vec{a}'\| = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{\|\vec{b}\|} = \|\vec{a}\|\,|\cos\theta|

هر بردار را می‌توان به دو مؤلفهٔ موازی و عمود بر بردار دیگر تجزیه کرد: a⃗=a⃗′+(a⃗−a⃗′)\vec{a} = \vec{a}' + (\vec{a}-\vec{a}') — همان کاری که در فیزیک برای تحلیل نیروها می‌کنیم.

ضرب خارجی (برداری)

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2,  a3b1−a1b3,  a1b2−a2b1)\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = (a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1)
∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec{a}\times\vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta

تفسیر هندسی: اندازهٔ ضرب خارجی برابر مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته‌شده از دو بردار است:

Sمتوازی‌الاضلاع=∥a⃗×b⃗∥Sمثلث=12∥a⃗×b⃗∥S_{\text{متوازی‌الاضلاع}} = \|\vec{a}\times\vec{b}\| \qquad S_{\text{مثلث}} = \frac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|

جهت — قانون دست راست: چهار انگشت را از a⃗\vec{a} به سمت b⃗\vec{b} بچرخان؛ شست جهت a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} را نشان می‌دهد. این بردار بر صفحهٔ حاوی هر دو عمود است.

i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,i⃗×i⃗=0⃗\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}, \quad \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}, \quad \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}, \qquad \vec{i}\times\vec{i}=\vec{0}

خواص: ضدتعویضی است (a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a})، a⃗×a⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}، توزیع‌پذیر است، و:

a⃗×b⃗=0⃗  ⟺  a⃗∥b⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} \iff \vec{a}\parallel\vec{b}

هشدار: ضرب خارجی شرکت‌پذیر نیست: (a⃗×b⃗)×c⃗≠a⃗×(b⃗×c⃗)(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} \ne \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})

ضرب مختلط

K=a⃗⋅(b⃗×c⃗)=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣K = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}
Vمتوازی‌السطوح=∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣Vچهاروجهی=16∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣\boxed{V_{\text{متوازی‌السطوح}} = |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|} \qquad V_{\text{چهاروجهی}} = \frac{1}{6}|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|

هم‌صفحگی: سه بردار در یک صفحه‌اند اگر و فقط اگر ضرب مختلطشان صفر شود.

فاصله با بردار

d(نقطه از خط)=∥AP→×v⃗∥∥v⃗∥d(نقطه از صفحه)=∣Ax1+By1+Cz1+D∣A2+B2+C2d(\text{نقطه از خط}) = \frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|} \qquad d(\text{نقطه از صفحه}) = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

صفحه با بردار نرمال n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C) از نقطهٔ P0P_0:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0\boxed{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}

کاربرد بردار در هندسه

خط واصل نقاط میانی دو ضلع مثلث: با نوشتن MN→=MA→+AN→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN} و ساده‌کردن به 12BC→\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} می‌رسیم، که هم‌زمان موازی بودن و نصف بودن را ثابت می‌کند — دو نتیجه از یک محاسبه.

مرکز ثقل مثلث:

OG→=OA→+OB→+OC→3G=(xA+xB+xC3,  …)\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3} \qquad G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\;\ldots\right)

قضیهٔ آپولونیوس: AB2+AC2=2(AM2+BM2)AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2) — با نوشتن AB→=AM→+MB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} و MC→=−MB→\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB} در دو خط اثبات می‌شود.

جدول مقایسهٔ دو ضرب

ویژگی ضرب داخلی (⋅)(\cdot) ضرب خارجی (×)(\times)
نتیجه عدد اسکالر بردار
جابه‌جایی a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a} a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}
صفر شدن a⃗⊥b⃗\vec{a}\perp\vec{b} a⃗∥b⃗\vec{a}\parallel\vec{b}
کاربرد زاویه، تصویر، کار مساحت، گشتاور، بردار نرمال

تله‌های رایج کنکور

اشتباه رایج نکتهٔ صحیح
a⃗×b⃗=b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{b}\times\vec{a} غلط! علامتش عوض می‌شود
ضرب خارجی عدد است غلط! نتیجه‌اش بردار است
ضرب داخلی بردار است غلط! نتیجه‌اش عدد است
a⃗×a⃗=1\vec{a}\times\vec{a}=1 غلط! برابر 0⃗\vec{0} است
موازی یعنی a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 غلط! موازی یعنی a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}؛ آن یکی شرط عمودی است

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم دارد: هویت لاگرانژ ∥a⃗×b⃗∥2+(a⃗⋅b⃗)2=∥a⃗∥2∥b⃗∥2\|\vec{a}\times\vec{b}\|^2 + (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = \|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2، ضرب خارجی دوگانه (قاعدهٔ BAC-CAB)، اثبات برداری همرسی ارتفاع‌های مثلث، کاربردهای فیزیکی (گشتاور τ⃗=r⃗×F⃗\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}، نیروی لورنتز، کار W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F}\cdot\vec{d})، مختصات استوانه‌ای و کروی، و مدل‌سازی برداری «فرود خرچنگی» هواپیما در باد جانبی.

نمونه تست

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

  • چرا گزینه‌ی درست، درست است
  • چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
  • تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر a⃗=(1,−1,2)\vec{a} = (1, -1, 2) و b⃗=(2,0,1)\vec{b} = (2, 0, 1) باشند، کدام گزینه مقدار ∥a⃗+b⃗∥2−∥a⃗−b⃗∥2\|\vec{a} + \vec{b}\|^2 - \|\vec{a} - \vec{b}\|^2 را به درستی نشان می‌دهد؟

  • −8-8
  • 44
  • 88
  • 1616

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با استفاده از اتحاد ∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2=4u⃗⋅v⃗\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 4\vec{u}\cdot\vec{v}، حاصل 4×(1×2+(−1)×0+2×1)=4×4=164 \times (1\times2 + (-1)\times0 + 2\times1) = 4 \times 4 = 16 به دست می‌آید. سایر گزینه‌ها حاصل محاسبات اشتباه مانند محاسبه نادرست ضرب داخلی یا استفاده از فرمول ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 هستند. **تلهٔ تستی:** پیش از انتخابِ پاسخ، باید مطمئن شد که علامت‌ها و ضرایب در هر مرحلهٔ محاسبه (به‌خصوص در ضربِ خارجی و بسطِ توان‌های برداری) به‌درستی دنبال شده‌اند، چون این نوع خطاهایِ جزئی رایج‌ترین منشأِ گزینه‌هایِ مشابه در این سؤال‌هاست.

2. اگر a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} دو بردار ناصفر در R3\mathbb{R}^3 باشند، کدام یک از گزاره‌های زیر همواره درست است؟

  • اگر a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} باشد، آن‌گاه a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 است.
  • اگر a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 باشد، آن‌گاه a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} است.
  • اگر a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} باشد، آن‌گاه a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} موازی‌اند.
  • اگر a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 باشد، آن‌گاه ∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗∥+∥b⃗∥\|\vec{a}+\vec{b}\| = \|\vec{a}\|+\|\vec{b}\| است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزارهٔ درست این است: «اگر a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} باشد، آن‌گاه a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} موازی‌اند.» **استدلال:** اندازهٔ ضربِ خارجی برابرِ ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥∣sin⁡θ∣\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\||\sin\theta| است. چون هر دو بردار ناصفرند، صفرشدنِ این اندازه فقط با sin⁡θ=0\sin\theta=0 ممکن است، یعنی θ=0\theta=0 یا θ=π\theta=\pi — که دقیقاً یعنی موازی‌بودن. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** اگر b⃗=λa⃗\vec{b}=\lambda\vec{a} باشد، آن‌گاه هر مؤلفهٔ a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} به‌شکلِ ai(λaj)−aj(λai)=0a_i(\lambda a_j)-a_j(\lambda a_i)=0 درمی‌آید، پس حاصل بردارِ صفر است؛ و برعکس، اگر a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} باشد، دستگاهِ a2b3=a3b2a_2b_3=a_3b_2، a3b1=a1b3a_3b_1=a_1b_3، a1b2=a2b1a_1b_2=a_2b_1 تناسبِ مؤلفه‌به‌مؤلفه را نتیجه می‌دهد. **ردِ گزینه‌های دیگر:** - «a⃗×b⃗=0⃗⇒a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0» نادرست است: در حالتِ موازی a⃗⋅b⃗=±∥a⃗∥∥b⃗∥≠0\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\neq0. مثالِ نقض: a⃗=b⃗=(1,0,0)\vec{a}=\vec{b}=(1,0,0) که a⃗⋅b⃗=1\vec{a}\cdot\vec{b}=1. - «a⃗⋅b⃗=0⇒a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}» نادرست است: برایِ a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0) و b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0) داریم a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 ولی a⃗×b⃗=(0,0,1)≠0⃗\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1)\neq\vec{0}. - «a⃗⋅b⃗=0⇒∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗∥+∥b⃗∥\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow\|\vec{a}+\vec{b}\|=\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|» نادرست است: با همان مثالِ عمود، ∥a⃗+b⃗∥=2\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{2} ولی ∥a⃗∥+∥b⃗∥=2\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|=2. تساویِ نامساویِ مثلثی نشانهٔ هم‌جهتی است، نه عمودبودن. **تلهٔ تستی:** ضربِ داخلی با cos⁡θ\cos\theta و ضربِ خارجی با sin⁡θ\sin\theta کار می‌کند؛ این دو هرگز نباید جای‌گزینِ هم شوند — عمودبودن (cos⁡θ=0\cos\theta=0) و موازی‌بودن (sin⁡θ=0\sin\theta=0) دو مفهومِ کاملاً متفاوت‌اند.

3. حجم متوازی‌السطوحی که توسط سه بردار a⃗=(1,1,0)\vec{a} = (1, 1, 0)، b⃗=(1,0,1)\vec{b} = (1, 0, 1) و c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0, 1, 1) ساخته شده است، کدام است؟

  • 00
  • 11
  • 22
  • 33

پاسخنامه‌ی تحلیلی

حجمِ متوازی‌السطوح با ∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣\big|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\big| محاسبه می‌شود. ابتدا b⃗×c⃗=(1,0,1)×(0,1,1)=(0⋅1−1⋅1, 1⋅0−1⋅1, 1⋅1−0⋅0)=(−1,−1,1)\vec{b}\times\vec{c}=(1,0,1)\times(0,1,1)=\big(0\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-0\cdot0\big)=(-1,-1,1). سپس a⃗⋅(−1,−1,1)=1(−1)+1(−1)+0(1)=−2\vec{a}\cdot(-1,-1,1)=1(-1)+1(-1)+0(1)=-2. حجم=∣−2∣=2=|-2|=2. گزینهٔ «00» با این تصورِ غلط ساخته می‌شود که این سه بردار هم‌صفحه‌اند (که نیستند، چون حاصلِ ضربِ مختلط ناصفر است)؛ گزینهٔ «11» از فراموش‌کردنِ یکی از جملاتِ ضربِ داخلی می‌آید؛ گزینهٔ «33» از خطایِ علامت در یکی از مؤلفه‌هایِ ضربِ خارجی ناشی می‌شود. **تلهٔ تستی:** حجمِ متوازی‌السطوح همیشه با قدرمطلقِ حاصل‌ضربِ مختلط محاسبه می‌شود؛ اگر پیش از قدرمطلق‌گیری عددِ منفی به دست آمد، فراموش‌کردنِ آن باعثِ گزینهٔ نادرست می‌شود.

4. در R3\mathbb{R}^3، سه بردار a⃗\vec{a}، b⃗\vec{b} و c⃗\vec{c} غیرصفر و ناهم‌صفحه هستند. اگر u⃗=a⃗×b⃗\vec{u}=\vec{a}\times\vec{b}، v⃗=b⃗×c⃗\vec{v}=\vec{b}\times\vec{c} و w⃗=c⃗×a⃗\vec{w}=\vec{c}\times\vec{a}، آن‌گاه کدام گزینه همواره درست است؟

  • u⃗\vec{u}، v⃗\vec{v} و w⃗\vec{w} نیز ناهم‌صفحه‌اند.
  • u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0
  • u⃗×v⃗=w⃗\vec{u}\times\vec{v}=\vec{w}
  • u⃗+v⃗+w⃗=0⃗\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزینهٔ «u⃗\vec{u}، v⃗\vec{v} و w⃗\vec{w} نیز ناهم‌صفحه‌اند» درست است. **استدلال:** یک اتحادِ کلاسیک می‌گوید (a⃗×b⃗)⋅[(b⃗×c⃗)×(c⃗×a⃗)]=[a⃗,b⃗,c⃗]2(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\big[(\vec{b}\times\vec{c})\times(\vec{c}\times\vec{a})\big]=\big[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\big]^2، یعنی u⃗⋅(v⃗×w⃗)=(a⃗⋅(b⃗×c⃗))2\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\big(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\big)^2. چون a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} ناهم‌صفحه‌اند، [a⃗,b⃗,c⃗]≠0\big[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\big]\neq0 و در نتیجه u⃗⋅(v⃗×w⃗)>0\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})>0 اکیداً مثبت است؛ پس u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w} هم‌صفحه **نیستند**. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** با a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0)، b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0)، c⃗=(0,0,1)\vec{c}=(0,0,1) داریم u⃗=a⃗×b⃗=(0,0,1)\vec{u}=\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1)، v⃗=b⃗×c⃗=(1,0,0)\vec{v}=\vec{b}\times\vec{c}=(1,0,0) و w⃗=c⃗×a⃗=(0,1,0)\vec{w}=\vec{c}\times\vec{a}=(0,1,0). حاصل‌ضربِ مختلطِ این سه برابرِ 11 است، نه صفر — یعنی ناهم‌صفحه‌اند، و 1=[a⃗,b⃗,c⃗]21=\big[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\big]^2 هم تأیید می‌شود. **ردِ گزینه‌های دیگر:** - «u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0»: با a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0)، b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0)، c⃗=(1,1,1)\vec{c}=(1,1,1) داریم u⃗=(0,0,1)\vec{u}=(0,0,1) و v⃗=(1,0,−1)\vec{v}=(1,0,-1)، پس u⃗⋅v⃗=−1≠0\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\neq0. - «u⃗×v⃗=w⃗\vec{u}\times\vec{v}=\vec{w}»: با همان مثال، u⃗×v⃗=[a⃗,b⃗,c⃗]b⃗=(0,1,0)\vec{u}\times\vec{v}=\big[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\big]\vec{b}=(0,1,0) ولی w⃗=c⃗×a⃗=(0,1,−1)\vec{w}=\vec{c}\times\vec{a}=(0,1,-1)؛ برابر نیستند. - «u⃗+v⃗+w⃗=0⃗\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}»: در قابِ یکهٔ استاندارد حاصل (0,0,1)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,1)≠0⃗(0,0,1)+(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,1)\neq\vec{0}. **تلهٔ تستی:** سه بردار هم‌صفحه‌اند اگر و فقط اگر حاصل‌ضربِ مختلطشان **دقیقاً صفر** باشد؛ اینجا آن حاصل‌ضرب یک **مربعِ کامل** است و مربع هرگز منفی نمی‌شود — پس تنها راهِ صفرشدنش هم‌صفحه‌بودنِ خودِ a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} است که فرضِ سؤال آن را رد کرده.

5. صفحه π\pi با معادله 2x−3y+z=42x-3y+z=4 و خط LL با معادلات پارامتری x=3+t,  y=−2+t,  z=1+tx=3+t,\; y=-2+t,\; z=1+t داده شده‌اند. فاصله خط LL از صفحه π\pi کدام است؟

  • 514\frac{5}{\sqrt{14}}
  • 714\frac{7}{\sqrt{14}}
  • 914\frac{9}{\sqrt{14}}
  • 1114\frac{11}{\sqrt{14}}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**گام ۱ — بررسیِ موازی‌بودن:** بردارِ راستایِ خط d⃗=(1,1,1)\vec{d}=(1,1,1) و بردارِ قائمِ صفحه n⃗=(2,−3,1)\vec{n}=(2,-3,1) است. چون d⃗⋅n⃗=2−3+1=0\vec{d}\cdot\vec{n}=2-3+1=0، خط بر بردارِ قائمِ صفحه عمود، یعنی با صفحه موازی است. همچنین نقطهٔ A(3,−2,1)A(3,-2,1) رویِ صفحه نیست (در گامِ بعد دیده می‌شود)، پس LL کاملاً بیرونِ صفحه است و فاصله‌اش معنا دارد و برایِ همهٔ نقاطِ خط یکسان است. **گام ۲ — فاصله:** کافی است فاصلهٔ یک نقطهٔ دلخواهِ خط، مثلاً A(3,−2,1)A(3,-2,1) (متناظرِ t=0t=0)، تا صفحه محاسبه شود: d=∣2(3)−3(−2)+1−4∣22+(−3)2+12=∣6+6+1−4∣14=914d=\frac{|2(3)-3(-2)+1-4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\frac{|6+6+1-4|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{\sqrt{14}} **وارسیِ مستقل (با نقطهٔ دیگر):** برایِ t=2t=2 نقطهٔ B(5,0,3)B(5,0,3) رویِ خط است: ∣10−0+3−4∣14=914\frac{|10-0+3-4|}{\sqrt{14}}=\frac{9}{\sqrt{14}} — همان مقدار، همان‌طور که برایِ خطِ موازیِ صفحه انتظار می‌رود. این ثابت‌ماندن، تأییدِ مستقلِ موازی‌بودن هم هست. **ردِ گزینه‌های دیگر:** - 514\frac{5}{\sqrt{14}}: از جایگذاریِ نقطهٔ (1,2,3)(1,2,3) (نقطهٔ خطِ دیگری) به‌جایِ نقطهٔ رویِ LL می‌آید. - 714\frac{7}{\sqrt{14}}: از حذفِ عددِ ثابتِ −4-4 در یکی از جمله‌ها و رسیدن به ∣6+6+1−9∣|6+6+1-9| ناشی می‌شود. - 1114\frac{11}{\sqrt{14}}: از اشتباه‌گرفتنِ علامتِ −3y-3y با +3y+3y در نقطه‌ای با yy منفی می‌آید (6−6+1−4=−36-6+1-4=-3 در برابرِ 6+6+1−4=96+6+1-4=9؛ خطایِ علامت مقدارِ صورت را جابه‌جا می‌کند). **تلهٔ تستی:** پیش از استفاده از فرمولِ «فاصلهٔ نقطه تا صفحه» برایِ یک **خط**، باید موازی‌بودنِ خط و صفحه (d⃗⋅n⃗=0\vec{d}\cdot\vec{n}=0) تأیید شود؛ اگر خط صفحه را قطع کند فاصله صفر است و انتخابِ یک نقطهٔ دلخواه بی‌معنا می‌شود.

6. در R3\mathbb{R}^3، فرض کنید a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} دو بردار باشند به طوری که ∥a⃗∥=2\|\vec{a}\|=2، ∥b⃗∥=3\|\vec{b}\|=3 و a⃗⋅b⃗=4\vec{a}\cdot\vec{b}=4. مقدار ∥a⃗×(a⃗×b⃗)∥\|\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})\| کدام است؟

  • 252\sqrt{5}
  • 454\sqrt{5}
  • 656\sqrt{5}
  • 858\sqrt{5}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

با استفاده از هویت BAC-CAB: a⃗×(a⃗×b⃗)=a⃗(a⃗⋅b⃗)−b⃗∥a⃗∥2=4a⃗−4b⃗\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}(\vec{a}\cdot\vec{b})-\vec{b}\|\vec{a}\|^2=4\vec{a}-4\vec{b}. اندازه: ∥4a⃗−4b⃗∥=4∥a⃗−b⃗∥\|4\vec{a}-4\vec{b}\|=4\|\vec{a}-\vec{b}\|. ∥a⃗−b⃗∥2=∥a⃗∥2+∥b⃗∥2−2a⃗⋅b⃗=4+9−8=5\|\vec{a}-\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=4+9-8=5، پس ∥a⃗−b⃗∥=5\|\vec{a}-\vec{b}\|=\sqrt{5}. بنابراین ∥a⃗×(a⃗×b⃗)∥=45\|\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})\|=4\sqrt{5}. **تلهٔ تستی:** ضربِ خارجی جابه‌جایی‌پذیر نیست (a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a)؛ ترتیبِ بردارها در محاسبه باید دقیقاً همان ترتیبی باشد که سؤال خواسته است.

7. نقطه MM میانه پاره‌خط P1P2P_1P_2 است و OO مبدأ مختصات. اگر OP1⃗=a⃗\vec{OP_1} = \vec{a}، OP2⃗=b⃗\vec{OP_2} = \vec{b} و زاویه بین a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} برابر 2π3\frac{2\pi}{3} باشد، آن‌گاه طول OM⃗\vec{OM} کدام است؟

  • 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2\frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2}
  • 12∥a⃗∥2−∥b⃗∥2\frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{a}\|^2 - \|\vec{b}\|^2}
  • 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2−∥a⃗∥∥b⃗∥\frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2 - \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}
  • 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2+∥a⃗∥∥b⃗∥\frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2 + \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**محاسبهٔ گام‌به‌گام:** چون MM میانهٔ P1P2P_1P_2 است، OM→=a⃗+b⃗2\overrightarrow{OM}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}. پس ∥OM→∥2=14(∥a⃗∥2+∥b⃗∥2+2 a⃗⋅b⃗).\|\overrightarrow{OM}\|^2=\tfrac14\big(\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}\big). با a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡2π3=−12∥a⃗∥∥b⃗∥\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\frac{2\pi}{3}=-\tfrac12\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| داریم ∥OM→∥2=14(∥a⃗∥2+∥b⃗∥2−∥a⃗∥∥b⃗∥)  ⟹  ∥OM→∥=12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2−∥a⃗∥∥b⃗∥.\|\overrightarrow{OM}\|^2=\tfrac14\big(\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2-\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\big)\;\Longrightarrow\;\|\overrightarrow{OM}\|=\tfrac12\sqrt{\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2-\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}. **وارسیِ مستقل (تجزیهٔ مختصاتی):** بگیریم ∥a⃗∥=∥b⃗∥=1\|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|=1 با a⃗=(1,0)\vec{a}=(1,0) و b⃗=(cos⁡120∘,sin⁡120∘)=(−12,32)\vec{b}=(\cos120^\circ,\sin120^\circ)=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}). آن‌گاه OM→=(14,34)\overrightarrow{OM}=(\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}) و ∥OM→∥=116+316=12\|\overrightarrow{OM}\|=\sqrt{\tfrac1{16}+\tfrac3{16}}=\tfrac12. فرمولِ به‌دست‌آمده هم 121+1−1=12\tfrac12\sqrt{1+1-1}=\tfrac12 می‌دهد. ✓ (در همین حالت، فرمولِ گزینهٔ 12∥a⃗∥2−∥b⃗∥2\tfrac12\sqrt{\|\vec{a}\|^2-\|\vec{b}\|^2} عددِ 00 و فرمولِ 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2\tfrac12\sqrt{\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2} عددِ 22\tfrac{\sqrt2}{2} می‌دهد که هیچ‌کدام درست نیستند.) **ردِ گزینه‌های دیگر:** - 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2\frac12\sqrt{\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2}: جملهٔ 2a⃗⋅b⃗2\vec{a}\cdot\vec{b} کلاً حذف شده (فقط وقتی درست است که بردارها عمود باشند، نه 120∘120^\circ). - 12∥a⃗∥2−∥b⃗∥2\frac12\sqrt{\|\vec{a}\|^2-\|\vec{b}\|^2}: علامتِ داخلِ رادیکال کاملاً اشتباه است و حتی می‌تواند زیرِ رادیکال منفی شود (مثلاً ∥a⃗∥=1\|\vec a\|=1، ∥b⃗∥=2\|\vec b\|=2) — یعنی از نظرِ بُعدی هم بی‌اعتبار است. - 12∥a⃗∥2+∥b⃗∥2+∥a⃗∥∥b⃗∥\frac12\sqrt{\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2+\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}: cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 را با cos⁡π3=+12\cos\frac{\pi}{3}=+\frac12 اشتباه گرفته است. **تلهٔ تستی:** 2π3=120∘\frac{2\pi}{3}=120^\circ زاویه‌ای باز است، پس cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 (منفی)؛ فراموش‌کردنِ این علامتِ منفی، رایج‌ترین خطا در این نوع مسائل است. برایِ اطمینان، یک بررسیِ حدی بکنید: اگر زاویه به 180∘180^\circ برود و ∥a⃗∥=∥b⃗∥\|\vec a\|=\|\vec b\| باشد، MM باید بر مبدأ منطبق شود و طول صفر شود — تنها گزینهٔ سوم این رفتار را دارد.

8. اگر a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} دو بردار ناصفر در R3\mathbb{R}^3 باشند، کدام گزاره دربارهٔ ضرب خارجی a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} همواره درست است؟

  • a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} همواره بر a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} عمود است و اندازهٔ آن برابر ∥a⃗∥∥b⃗∥\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| است.
  • a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} همواره قرینهٔ b⃗×a⃗\vec{b}\times\vec{a} است و اگر a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 باشد، آن‌گاه ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| برقرار است.
  • اگر a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} باشد، آن‌گاه a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} بر یکدیگر عمودند.
  • ∥a⃗×b⃗∥2\|\vec{a}\times\vec{b}\|^2 همواره برابر (a⃗⋅b⃗)2(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 است.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

«a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} همواره قرینهٔ b⃗×a⃗\vec{b}\times\vec{a} است و اگر a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 باشد، آن‌گاه ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| برقرار است.» درست است زیرا خاصیت ضدتعویضی ضرب خارجی و رابطهٔ ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥∣sin⁡θ∣\|\vec{a}\times\vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\||\sin\theta| وقتی θ=90∘\theta=90^\circ، ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| می‌دهد. سایر گزینه‌ها غلطند: گزینهٔ اول نادرست است زیرا اندازه برابر حاصلضرب اندازه‌ها نیست مگر در حالت عمودیت؛ گزینهٔ سوم نادرست است زیرا صفر شدن ضرب خارجی نشانهٔ موازی بودن است؛ گزینهٔ چهارم با هویت لاگرانژ ∥a⃗×b⃗∥2=∥a⃗∥2∥b⃗∥2−(a⃗⋅b⃗)2\|\vec{a}\times\vec{b}\|^2 = \|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 در تضاد است. **تلهٔ تستی:** «همواره درست» یعنی گزاره باید برایِ *همهٔ* حالاتِ ممکنِ سازگار با فرض برقرار باشد؛ کافی است یک نمونهٔ نقض پیدا شود تا گزینه رد شود — بسیاری از گزینه‌هایِ نادرست فقط در یک حالتِ خاص درستند، نه همواره.

9. کدام یک از موارد زیر همیشه درست است؟

  • اگر a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 و a⃗⋅c⃗=0\vec{a}\cdot\vec{c}=0، آن‌گاه b⃗⋅c⃗=0\vec{b}\cdot\vec{c}=0.
  • اگر a⃗×b⃗=a⃗×c⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c} و a⃗≠0⃗\vec{a}\neq\vec{0}، آن‌گاه b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c}.
  • اگر a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c} و a⃗≠0⃗\vec{a}\neq\vec{0}، آن‌گاه b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c}.
  • اگر a⃗⋅(b⃗×c⃗)=0\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0، آن‌گاه سه بردار a⃗\vec{a}، b⃗\vec{b} و c⃗\vec{c} هم‌صفحه‌اند.

پاسخنامه‌ی تحلیلی

گزارهٔ «اگر a⃗⋅(b⃗×c⃗)=0\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0، آن‌گاه سه بردار هم‌صفحه‌اند» همواره درست است. **استدلال:** حاصل‌ضربِ مختلطِ a⃗⋅(b⃗×c⃗)\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) همان دترمینانِ ماتریسِ 3×33\times3 ساخته‌شده از مؤلفه‌هایِ سه بردار است. صفربودنِ دترمینان دقیقاً معادلِ وابستگیِ خطیِ سه بردار است، و سه بردارِ وابستهٔ خطی در R3\mathbb{R}^3 همگی در یک صفحهٔ گذرنده از مبدأ جای می‌گیرند. **وارسیِ مستقل (حالتِ حدی):** اگر c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} باشد (یعنی از پیش هم‌صفحه)، آن‌گاه b⃗×c⃗=α(b⃗×a⃗)\vec{b}\times\vec{c}=\alpha(\vec{b}\times\vec{a}) و ضربِ داخلی‌اش با a⃗\vec{a} صفر می‌شود — هم‌خوان با گزاره. **ردِ گزینه‌های دیگر:** - «a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b}=0 و a⃗⋅c⃗=0⇒b⃗⋅c⃗=0\vec{a}\cdot\vec{c}=0\Rightarrow\vec{b}\cdot\vec{c}=0»: مثالِ نقض a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0)، b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0)، c⃗=(0,1,1)\vec{c}=(0,1,1)؛ هر دو فرض برقرارند ولی b⃗⋅c⃗=1≠0\vec{b}\cdot\vec{c}=1\neq0. (هر دو بردارِ عمود بر a⃗\vec a در یک صفحه‌اند، ولی لازم نیست بر هم عمود باشند.) - «a⃗×b⃗=a⃗×c⃗⇒b⃗=c⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c}\Rightarrow\vec{b}=\vec{c}»: این رابطه فقط a⃗×(b⃗−c⃗)=0⃗\vec{a}\times(\vec{b}-\vec{c})=\vec{0} می‌دهد، یعنی b⃗−c⃗\vec{b}-\vec{c} موازیِ a⃗\vec{a} است. مثالِ نقض: a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0)، b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0)، c⃗=(5,1,0)\vec{c}=(5,1,0). - «a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗⇒b⃗=c⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\Rightarrow\vec{b}=\vec{c}»: این رابطه فقط a⃗⋅(b⃗−c⃗)=0\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0 می‌دهد، یعنی تفاضل بر a⃗\vec{a} عمود است. مثالِ نقض: a⃗=(1,0,0)\vec{a}=(1,0,0)، b⃗=(0,1,0)\vec{b}=(0,1,0)، c⃗=(0,0,1)\vec{c}=(0,0,1). **تلهٔ تستی:** حذف‌کردن (a⃗\vec{a} را از دو طرف «ساده‌کردن») در ضربِ داخلی و خارجی **مجاز نیست**؛ برخلافِ اعدادِ حقیقی، از a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c} یا a⃗×b⃗=a⃗×c⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{c} هرگز b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c} نتیجه نمی‌شود.

10. اگر a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} دو بردار ناصفر در R3\mathbb{R}^3 باشند به طوری که ∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗−b⃗∥\|\vec{a} + \vec{b}\| = \|\vec{a} - \vec{b}\|، کدام گزینه درست است؟

  • a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} هم‌جهت هستند.
  • a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} عمود بر هم هستند.
  • ∥a⃗∥=∥b⃗∥\|\vec{a}\| = \|\vec{b}\|
  • a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

پاسخنامه‌ی تحلیلی

**محاسبهٔ گام‌به‌گام:** دو طرفِ ∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗−b⃗∥\|\vec{a}+\vec{b}\|=\|\vec{a}-\vec{b}\| نامنفی‌اند، پس می‌توان به توان دو رساند: ∥a⃗∥2+2a⃗⋅b⃗+∥b⃗∥2=∥a⃗∥2−2a⃗⋅b⃗+∥b⃗∥2  ⟹  4 a⃗⋅b⃗=0  ⟹  a⃗⋅b⃗=0.\|\vec{a}\|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\|\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\|\vec{b}\|^2\;\Longrightarrow\;4\,\vec{a}\cdot\vec{b}=0\;\Longrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0. چون هر دو بردار ناصفرند، cos⁡θ=0\cos\theta=0 و در نتیجه θ=90∘\theta=90^\circ: بردارها **بر هم عمودند**. **وارسیِ مستقل (تعبیرِ هندسی):** a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b} و a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} دو قطرِ متوازی‌الاضلاعی هستند که a⃗\vec{a} و b⃗\vec{b} اضلاعِ آن‌اند. برابریِ دو قطر دقیقاً یعنی آن متوازی‌الاضلاع یک **مستطیل** است، و اضلاعِ مجاورِ مستطیل بر هم عمودند. با مثالِ عددی: a⃗=(3,0)\vec{a}=(3,0)، b⃗=(0,4)\vec{b}=(0,4) → ∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗−b⃗∥=5\|\vec{a}+\vec{b}\|=\|\vec{a}-\vec{b}\|=5 ✓. **ردِ گزینه‌های دیگر:** - «هم‌جهت‌اند»: اگر هم‌جهت باشند ∥a⃗+b⃗∥=∥a⃗∥+∥b⃗∥\|\vec{a}+\vec{b}\|=\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\| بیشینه و ∥a⃗−b⃗∥=∣∥a⃗∥−∥b⃗∥∣\|\vec{a}-\vec{b}\|=\big|\|\vec{a}\|-\|\vec{b}\|\big| کمینه می‌شود؛ این دو فقط وقتی برابرند که یکی از بردارها صفر باشد، که فرض آن را رد کرده است. - «∥a⃗∥=∥b⃗∥\|\vec{a}\|=\|\vec{b}\|»: مثالِ نقض a⃗=(3,0)\vec{a}=(3,0)، b⃗=(0,4)\vec{b}=(0,4): شرطِ سؤال برقرار است ولی 3≠43\neq4. - «a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}»: این یعنی موازی‌بودن، دقیقاً نقطهٔ مقابلِ نتیجهٔ به‌دست‌آمده؛ در همان مثالِ عمود a⃗×b⃗=(0,0,12)≠0⃗\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,12)\neq\vec{0}. **تلهٔ تستی:** «برابریِ اندازهٔ مجموع و تفاضل» با «برابریِ اندازهٔ خودِ دو بردار» اشتباه گرفته می‌شود؛ اولی شرطِ **عمودبودن** است و دومی هیچ ربطی به زاویه ندارد.

مباحث مرتبط

ماتریس و کاربردها (فصل 1 هندسه 3) (علوم ریاضی)آشنایی با مقاطع مخروطی (فصل 2 هندسه 3) (علوم ریاضی)مجموعه، الگو و دنباله (فصل 1 ریاضی 1) (علوم ریاضی)مثلثات (فصل 2 ریاضی 1) (علوم ریاضی)توان های گویا و عبارت های جبری (فصل 3 ریاضی 1) (علوم ریاضی)معادله ها و نامعادله ها (فصل 4 ریاضی 1) (علوم ریاضی)تابع (فصل 5 ریاضی 1) (علوم ریاضی)شمارش، بدون شمردن (فصل 6 ریاضی 1) (علوم ریاضی)آمار و احتمال (فصل 7 ریاضی 1) (علوم ریاضی)ترسیم های هندسی و استدلال

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان