بردار و ضرب داخلی و خارجی (هندسه ۳)

فضای $\mathbb{R}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\mathbb{R}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

هر نقطه از صفحه با یک زوج مرتب متناظر است: $\mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و در فضا با یک سه‌تایی مرتب: $\mathbb{R}^3 = \{(x,y,z)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

در دستگاه سه‌بعدی، سه محور $Ox$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $Oy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $Oz$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دوبه‌دو عمودند و در مبدأ متقاطع‌اند — تصویر ذهنی‌اش فصل مشترک دو دیوار و کف اتاق است. سه صفحهٔ مختصات $xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (کف)، $yz$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xz$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (دیوارها) فضا را به هشت ناحیه تقسیم می‌کنند.

فاصله و نقطهٔ میانی

اثبات: اول قطر کف را بگیر ($|OP'| = \sqrt{x_0^2+y_0^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و بعد فیثاغورس را یک بار دیگر با ارتفاع $z_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به کار ببر.

صفحه و خط

شکل کلی معادلهٔ صفحه $Ax + By + Cz + D = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و $x=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $y=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $z=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صفحه‌های موازی با صفحات مختصات‌اند.

نکتهٔ مهم: در $\mathbb{R}^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی معادلهٔ $x=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک خط است؛ در $\mathbb{R}^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان معادله یک صفحه است.

خط از $P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با بردار راستای $\vec{v}=(a,b,c)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

بردارها

بردار پاره‌خطی جهت‌دار با مبدأ، انتها، اندازه و جهت مشخص است. دو بردار مساویاند اگر اندازه و جهت یکسان داشته باشند — نقطهٔ شروع اهمیتی ندارد.

در ضرب اسکالر، $r>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بردار را هم‌جهت و بلندتر می‌کند، $0<r<1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌جهت و کوتاه‌تر، $r=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه و $r<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خلاف جهت.

بردارهای یکه: $\vec{i}=(1,0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\vec{j}=(0,1,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\vec{k}=(0,0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هر بردار دلخواه $\vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بردار یکه در جهت $\vec{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\boxed{\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ضرب داخلی (نقطه‌ای)

ایدهٔ اثبات: قضیهٔ کسینوس را در مثلثی با اضلاع $\|\vec{a}\|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\|\vec{b}\|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\|\vec{a}-\vec{b}\|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس و با بسط مستقیم $\|\vec{a}-\vec{b}\|^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقایسه کن.

خواص کلیدی: جابه‌جایی‌پذیر است؛ $\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ توزیع‌پذیر است؛ و مهم‌تر از همه:

برای بردارهای یکه: $\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضرب داخلی هر دو یکهٔ متفاوت صفر است.

موازی بودن: $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — یعنی یکی مضرب حقیقی دیگری باشد.

تصویر قائم

هر بردار را می‌توان به دو مؤلفهٔ موازی و عمود بر بردار دیگر تجزیه کرد: $\vec{a} = \vec{a}' + (\vec{a}-\vec{a}')$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همان کاری که در فیزیک برای تحلیل نیروها می‌کنیم.

ضرب خارجی (برداری)

تفسیر هندسی: اندازهٔ ضرب خارجی برابر مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته‌شده از دو بردار است:

جهت — قانون دست راست: چهار انگشت را از $\vec{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به سمت $\vec{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بچرخان؛ شست جهت $\vec{a}\times\vec{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نشان می‌دهد. این بردار بر صفحهٔ حاوی هر دو عمود است.

خواص: ضدتعویضی است ($\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، توزیع‌پذیر است، و:

هشدار: ضرب خارجی شرکت‌پذیر نیست: $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} \ne \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ضرب مختلط

هم‌صفحگی: سه بردار در یک صفحه‌اند اگر و فقط اگر ضرب مختلطشان صفر شود.

فاصله با بردار

صفحه با بردار نرمال $\vec{n}=(A,B,C)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از نقطهٔ $P_0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

کاربرد بردار در هندسه

خط واصل نقاط میانی دو ضلع مثلث: با نوشتن $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ساده‌کردن به $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم، که هم‌زمان موازی بودن و نصف بودن را ثابت می‌کند — دو نتیجه از یک محاسبه.

مرکز ثقل مثلث:

قضیهٔ آپولونیوس: $AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — با نوشتن $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دو خط اثبات می‌شود.

جدول مقایسهٔ دو ضرب

تله‌های رایج کنکور

مطالب فراتر از کتاب

درسنامهٔ کامل این‌ها را هم دارد: هویت لاگرانژ $\|\vec{a}\times\vec{b}\|^2 + (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = \|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ضرب خارجی دوگانه (قاعدهٔ BAC-CAB)، اثبات برداری همرسی ارتفاع‌های مثلث، کاربردهای فیزیکی (گشتاور $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نیروی لورنتز، کار $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، مختصات استوانه‌ای و کروی، و مدل‌سازی برداری «فرود خرچنگی» هواپیما در باد جانبی.