مجموعه ها (نهم)

مجموعه ها (نهم)

فصل «مجموعه‌ها» در ریاضی نهم چهار درس دارد که مثل چهار پله روی هم سوار می‌شوند: اول یاد می‌گیری مجموعه چیست، بعد مجموعه‌ها را با هم مقایسه می‌کنی، بعد روی آن‌ها عملیات انجام می‌دهی، و در پایان از همین ابزارها برای محاسبه‌ی احتمال استفاده می‌کنی. این خلاصه هر چهار پله را کنار هم می‌گذارد.

درس ۱ — مجموعه چیست؟

مجموعه یک گردآوری از اشیاء یا اعداد مشخص و متمایز است. این دو کلمه، دو شرط اساسی‌اند:

• مشخص بودن: برای هر چیزی باید بتوانی با قطعیت بگویی «عضو هست» یا «عضو نیست». به همین دلیل «چهار میوه‌ی خوشمزه» مجموعه نیست (خوشمزگی سلیقه‌ای است)، ولی «چهار میوه‌ی موجود در یخچال» مجموعه است.
• متمایز بودن: هیچ عضوی نباید تکرار شود. نوشتن $\{2, 3, 3, 5\}$ اشتباه است؛ شکل درستش $\{2,3,5\}$ است.

چرا این دو شرط؟ چون در ریاضی ابهام جایی ندارد. اگر ندانیم چیزی عضو هست یا نه، اصلاً نمی‌توانیم با آن مجموعه کار کنیم.

سه روش نمایش مجموعه:

۱. فهرستی (برشمارشی): عضوها را داخل آکولاد و با ویرگول می‌نویسیم:

۲. توصیف کلامی: «مجموعه‌ی اعداد طبیعی کمتر از ۵».
۳. نمودار ون: یک منحنی بسته می‌کشیم و عضوها را داخلش می‌نویسیم. اگر دو مجموعه عضو مشترک داشته باشند، منحنی‌هایشان هم‌پوشانی دارند و عضوهای مشترک فقط در ناحیه‌ی مشترک نوشته می‌شوند.

نمادهای عضویت:

این دو نماد فقط برای عضو به کار می‌روند، نه برای زیرمجموعه.

مجموعه‌ی تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد، با $\emptyset$ یا $\{\}$ نشان داده می‌شود. مثلاً «اعداد طبیعی بین ۵ و ۶» یا «اعداد اولِ زوجِ بزرگ‌تر از ۲» تهی‌اند.

سه شکلِ به‌ظاهر شبیه که کاملاً فرق دارند:

شمارش عضوهای یک بازه: برای «اعداد طبیعی از $a$ تا $b$» داریم:

مثلاً از ۳ تا ۹ می‌شود $9-3+1=7$ عضو.

نکته‌های کلیدی درس یک:

• ترتیب نوشتن عضوها مهم نیست: $\{1,2,3\} = \{3,1,2\} = \{2,3,1\}$.
• اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ در برنامه‌ی درسی ایران از ۱ شروع می‌شوند؛ صفر جزء آن‌ها نیست.
• $A = \{0, \emptyset\}$ دقیقاً دو عضو دارد: عدد صفر و مجموعه‌ی تهی.
• در سؤال‌های تیزهوشان، شرط‌های دوگانه (مثل «زوج و اول») تله‌ی رایج‌اند؛ قبل از شمارش، شرط را روی چند مثال واقعی امتحان کن.

درس ۲ — مجموعه‌های برابر، زیرمجموعه و نمایش نمادی

برابری: دو مجموعه‌ی $A$ و $B$ برابرند اگر هر عضو $A$ در $B$ باشد و هر عضو $B$ در $A$. چون ترتیب مهم نیست، $\{8,9,10\}$ و $\{10,8,9\}$ برابرند؛ ولی $\{8,9,10\}$ با $\{7,8,9\}$ برابر نیست چون ۱۰ در دومی نیست.

زیرمجموعه: می‌گوییم $B \subseteq A$ اگر هر عضو $B$ در $A$ هم باشد. مثلاً برای $A=\{1,2,3,4,5\}$ و $B=\{2,4\}$ داریم $B \subseteq A$. اگر بتوانی فقط یک عضو در $B$ پیدا کنی که در $A$ نباشد، می‌نویسی $B \not\subseteq A$ — همین یک نمونه‌ی نقض کافی است و لازم نیست بقیه‌ی اعضا را بررسی کنی.

دو نتیجه‌ی مهم:

چرا $\emptyset \subseteq A$؟ چون برای رد کردنش باید عضوی در $\emptyset$ پیدا کنیم که در $A$ نباشد، ولی $\emptyset$ اصلاً عضوی ندارد. پس این ادعا هرگز رد نمی‌شود، یعنی همیشه درست است.

تعداد زیرمجموعه‌ها: اگر $A$ دقیقاً $n$ عضو داشته باشد:

مثلاً $A=\{a,b,c\}$ با ۳ عضو، $2^3=8$ زیرمجموعه دارد:

برای اینکه هیچ‌کدام را جا نیندازی، به همین ترتیب بنویس: اول تهی، بعد تک‌عضوی‌ها، بعد دوعضوی‌ها، و آخر خود مجموعه.

نمایش با نماد شرط: به‌جای فهرست کردن، می‌توانیم عضوها را با یک شرط توصیف کنیم:

که خوانده می‌شود «مجموعه‌ی تمام $x$ هایی که ...». مثال‌ها:

خانواده‌ی مجموعه‌های عددی:

و رابطه‌ی زیرمجموعه‌ای بین آن‌ها:

(هر مجموعه‌ی داخلی، درون مجموعه‌ی بیرونی‌تر جا می‌گیرد.) هر عدد صحیح گویا هم هست چون $a=\frac{a}{1}$، ولی هر عدد گویا صحیح نیست ($\frac{1}{2}$ صحیح نیست).

تفاوت $\in$ و $\subseteq$ — مهم‌ترین مهارت این فصل:

پس $3 \subseteq B$ غلط است و $\{1,4\} \in A$ هم غلط است، مگر اینکه خودِ $\{1,4\}$ به‌عنوان یک عضو در $A$ آمده باشد.

نکته‌های تیزهوشانی: اگر $A \subseteq B$ و $B \subseteq A$، آنگاه $A = B$ (روش استاندارد اثبات برابری). اگر $A \subseteq B$ باشد، حتماً $n(A) \le n(B)$. و در نمایش‌هایی مثل $\{5n+3 \mid n \in \mathbb{N}\}$ حتماً از $n=1$ شروع کن، نه $n=0$.

درس ۳ — اجتماع، اشتراک و تفاضل

سه عملیات اصلی روی مجموعه‌ها:

تعریف‌های دقیق:

مثال روشنگر: با $A = \{1,2,3,4,5,8\}$ و $B = \{3,4,5,6,7\}$:

در اجتماع، عضوهای مشترک را فقط یک بار می‌نویسیم. در نمودار ون هم عضوهای مشترک فقط در ناحیه‌ی وسط نوشته می‌شوند، نه در هر دو طرف.

تفاضل ترتیب دارد: معمولاً $A - B \neq B - A$، درست مثل تفریق اعداد که $5-3 \neq 3-5$.

نماد تعداد عضوها: $n(A)$ یعنی تعداد عضوهای $A$. مثلاً $n(\{2,4,6,7\}) = 4$ و $n(\emptyset)=0$.

روابط زیرمجموعه‌ای که باید حفظ باشی:

روابط ترکیبی (تجزیه‌ی مجموعه به تکه‌های مجزا):

حالت‌های خاص:

دو نکته‌ی مهم: اگر $A \cap B = \emptyset$ باشد، دو مجموعه مجزا هستند و آنگاه $A-B=A$ و $B-A=B$. همچنین:

دو فرمول طلایی برای سؤال‌های ترکیبی (فراتر از کتاب، ولی پرکاربرد در تیزهوشان و نمونه‌دولتی):

فرمول اول را چرا این‌طور می‌نویسیم؟ چون وقتی $n(A)$ و $n(B)$ را جدا جمع می‌زنیم، عضوهای مشترک دو بار شمرده می‌شوند؛ پس یک بار کمشان می‌کنیم. فرمول دوم هم از این می‌آید که $A$ همیشه به دو تکه‌ی بدون همپوشانی تقسیم می‌شود: بخشی که با $B$ مشترک است و بخشی که نیست.

مثال کاربردی: در کلاسی ۳۰ نفره، ۱۸ نفر فوتبال و ۱۴ نفر والیبال بازی می‌کنند و ۷ نفر هر دو را. چند نفر هیچ‌کدام را بازی نمی‌کنند؟
گام ۱ — کسانی که حداقل یکی را بازی می‌کنند: $18 + 14 - 7 = 25$.
گام ۲ — بقیه: $30 - 25 = 5$ نفر.

درس ۴ — مجموعه‌ها و احتمال

حالا از همین ابزارها برای نوشتن دقیقِ فرمول احتمال استفاده می‌کنیم.

همیشه $A \subseteq S$ است — پیشامد مطلوب باید از دل حالت‌های ممکن انتخاب شود.

سه حالت ویژه:

مثال با تاس: با $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ و $n(S)=6$:

• مضرب ۳: $A=\{3,6\} \Rightarrow P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
• عدد اول: $B=\{2,3,5\} \Rightarrow P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
• بزرگ‌تر از ۶: $C=\emptyset \Rightarrow P(C)=0$
• کمتر از ۷: $D=S \Rightarrow P(D)=1$

پیشامد تصادفی: هر زیرمجموعه از $S$ یک پیشامد تصادفی است. پس اگر $n(S)=n$ باشد، تعداد پیشامدها $2^n$ است — همان فرمول درس دوم!

دو تاس: وقتی دو تاس می‌اندازیم، هر نتیجه یک جفتِ مرتب مثل $(1,3)$ است و

چون برای هر یک از ۶ حالت تاس اول، ۶ حالت برای تاس دوم داریم. ترتیب مهم است: $(1,2)$ و $(2,1)$ دو حالت جدا هستند. مثلاً برای «مجموع برابر ۷»:

احتمال مکمل (فراتر از کتاب، خیلی پرکاربرد):

یعنی به‌جای شمردن حالت‌های «رخ ندادن»، حالت‌های «رخ دادن» را بشمار و از ۱ کم کن.

فرمول اجتماع احتمال:

این فقط وقتی به شکل ساده‌ی $P(A)+P(B)$ در می‌آید که $A \cap B = \emptyset$ باشد.

نمونه سؤال (سخت و چندمرحله‌ای). دو تاس را همزمان می‌اندازیم. احتمال اینکه مجموع دو عدد برابر ۷ شود یا هر دو عدد با هم برابر باشند چقدر است؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $n(S) = 6 \times 6 = 36$.
گام ۲ — $B$ = «مجموع ۷»: $B=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$، پس $n(B)=6$.
گام ۳ — $C$ = «دو عدد برابر»: $C=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$، پس $n(C)=6$.
گام ۴ — آیا جفتی هست که هم مجموعش ۷ باشد و هم دو عددش برابر؟ اگر دو عدد برابر باشند، مجموعشان $2k$ است و $2k=7$ عدد صحیح نمی‌دهد؛ پس $B \cap C = \emptyset$.
گام ۵ — چون مجزا هستند:

اشتباهات رایج این فصل

• $\emptyset$ را با عدد صفر یکی گرفتن. $\emptyset$ یعنی «هیچ عضوی ندارد»؛ حتی صفر هم داخلش نیست. مجموعه‌ی $\{0\}$ یک عضو دارد و چیز دیگری است.
• جای هم به کار بردن $\in$ و $\subseteq$. $\in$ فقط رابطه‌ی «عضو با مجموعه» است و $\subseteq$ فقط «مجموعه با مجموعه».
• فراموش کردن $\emptyset$ در شمارش زیرمجموعه‌ها. مجموعه‌ی تهی یک زیرمجموعه‌ی کاملاً عادی است و در $2^n$ حساب شده.
• برابر دانستن دو مجموعه فقط به‌خاطر تعداد یکسان. $\{1,2,3\}$ و $\{4,5,6\}$ هر دو سه عضو دارند ولی برابر نیستند.
• $A-B$ را با $B-A$ یکی گرفتن. تفاضل کاملاً به ترتیب حساس است.
• $A-B$ را با $A \cap B$ اشتباه گرفتن. اشتراک عضوهای مشترک را می‌دهد و تفاضل دقیقاً عضوهای غیرمشترکِ $A$ را؛ این دو حتی یک عضو مشترک هم ندارند.
• جمع ساده‌ی $n(A)+n(B)$ برای اجتماع. اگر عضو مشترک وجود داشته باشد، باید $n(A \cap B)$ کم شود.
• $A - \emptyset = \emptyset$ پنداشتن. منهای تهی هیچ عضوی را حذف نمی‌کند، پس $A-\emptyset = A$.
• احتمالِ بزرگ‌تر از ۱. اگر جوابت بیرون از بازه‌ی $[0,1]$ افتاد، حتماً در شمارش $n(A)$ یا $n(S)$ اشتباه کرده‌ای.
• ساده نکردن کسر احتمال. $\frac{3}{6}$ را به $\frac{1}{2}$ تبدیل کن.
• یکی شمردن $(1,2)$ و $(2,1)$ در دو تاس. به همین دلیل $n(S)=36$ است، نه ۲۱.

روش‌های سریع و تکنیک‌های حل

تشخیص سریع «مجموعه بودن»: سه سؤال بپرس — (۱) آیا می‌توانم برای هر چیزی بگویم عضو هست یا نیست؟ (۲) آیا هیچ عضوی تکرار نشده؟ (۳) آیا همه‌ی عضوها از یک قانون مشخص پیروی می‌کنند؟ اگر هر سه پاسخ «بله» بود، مجموعه است.

تشخیص سریع مجموعه‌ی تهی: اگر شرطِ توصیف‌شده هیچ عددی را راضی نکند (مثل «اعداد طبیعی منفی»)، حاصل $\emptyset$ است. این یکی از رایج‌ترین الگوهای طراحی سؤال تستی است.

محاسبه‌ی سریع $A \cap B$ و $A \cup B$: برای اشتراک، فقط عضوهایی را بردار که در هر دو فهرست دیده می‌شوند. برای اجتماع، اول کل $A$ را بنویس، بعد از $B$ فقط آن‌هایی را اضافه کن که در $A$ نبودند.

محاسبه‌ی سریع $A - B$: فهرست $A$ را بنویس، هر عضوی که در $B$ هم هست را خط بزن؛ باقی‌مانده جواب است. یک نگاه دیگر به همین موضوع: $A - B = A - (A \cap B)$، یعنی «$A$ بدون بخش مشترکش با $B$».

گام‌های حل هر مسئله‌ی احتمال: (۱) $S$ را بنویس و $n(S)$ را بشمار؛ (۲) $A$ را بنویس و $n(A)$ را بشمار؛ (۳) کسر $\frac{n(A)}{n(S)}$ را ساده کن.

در مسائل نمودار ون: همیشه اول ناحیه‌ی وسط (اشتراک) را پر کن، بعد بخش‌های اختصاصی هر مجموعه را.

چند نمونه سؤال با پاسخ تشریحی

سؤال ۱. مجموعه‌ی $C$ شامل همه‌ی اعداد طبیعیِ هم زوج و هم اول است. اعضای $C$ را بنویسید و $n(C)$ را بیابید.

پاسخ: عدد اول یعنی عددی که فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر است. هر عدد زوجی به‌جز خودِ ۲، علاوه بر ۱ و خودش بر ۲ هم بخش‌پذیر است، پس اول نیست. تنها استثنا عدد ۲ است:

سؤال ۲. مجموعه‌ی $D = \{\emptyset,\ 0,\ \{0\}\}$ چند عضو دارد؟

پاسخ: این سؤال سه «شکل» متفاوت را کنار هم گذاشته است: $\emptyset$ (خودِ مجموعه‌ی تهی به‌عنوان یک عضو)، $0$ (یک عدد، نه یک مجموعه)، و $\{0\}$ (مجموعه‌ای یک‌عضوی که عضوش عدد صفر است). هر سه از هم متمایزند، پس $n(D) = 3$.

سؤال ۳. مجموعه‌ی $A$ دارای $n$ عضو است و ۳۲ زیرمجموعه دارد. مجموعه‌ی $B$ دقیقاً دو عضو کمتر از $A$ دارد. $B$ چند زیرمجموعه دارد؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $2^n = 32 = 2^5$، پس $n = 5$.
گام ۲ — $n(B) = 5 - 2 = 3$.
گام ۳ — تعداد زیرمجموعه‌های $B$ برابر $2^3 = 8$ است.

سؤال ۴. فرض کنید $A = \{1,2,3,4,5\}$ و $B$ زیرمجموعه‌ای از $A$ است، به‌طوری که $B \cap \{2,4\} = \{2,4\}$ و $n(B)=3$. همه‌ی حالت‌های ممکن برای $B$ را بنویسید.

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — شرط $B \cap \{2,4\} = \{2,4\}$ یعنی هر دو عضو ۲ و ۴ حتماً در $B$ هستند؛ اشتراک فقط در همین صورت برابر خودِ $\{2,4\}$ می‌شود.
گام ۲ — چون $n(B)=3$ و دو عضو از قبل معلوم‌اند، دقیقاً یک عضو دیگر از $\{1,3,5\}$ انتخاب می‌شود.
گام ۳ — پس سه حالت ممکن است:

سؤال ۵. مجموعه‌ی $A$ دارای ۲۰ عضو و $B$ دارای ۱۳ عضو است. اگر $n(A-B)=9$ باشد، $n(A \cap B)$ و $n(B-A)$ را بیابید.

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — چون $A-B$ و $A \cap B$ دو تکه‌ی مجزای $A$ هستند: $20 = 9 + n(A \cap B)$، پس $n(A \cap B) = 11$.
گام ۲ — با همان منطق برای $B$: $13 = n(B-A) + 11$، پس $n(B-A) = 2$.

سؤال ۶. جعبه‌ای شامل ۱۵ مهره است که ۶ تای آن‌ها قرمزند. یک مهره تصادفی برمی‌داریم. احتمال اینکه مهره قرمز نباشد چقدر است؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $P(\text{قرمز}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$.
گام ۲ — با فرمول احتمال مکمل: $P(\text{قرمز نباشد}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

در یک نگاه