مجموعه‌ها و احتمال (ریاضی نهم)

مجموعه ها (نهم)

فصل «مجموعه‌ها» در ریاضی نهم چهار درس دارد که مثل چهار پله روی هم سوار می‌شوند: اول یاد می‌گیری مجموعه چیست، بعد مجموعه‌ها را با هم مقایسه می‌کنی، بعد روی آن‌ها عملیات انجام می‌دهی، و در پایان از همین ابزارها برای محاسبه‌ی احتمال استفاده می‌کنی. این خلاصه هر چهار پله را کنار هم می‌گذارد.

درس ۱ — مجموعه چیست؟

مجموعه یک گردآوری از اشیاء یا اعداد مشخص و متمایز است. این دو کلمه، دو شرط اساسی‌اند:

• مشخص بودن: برای هر چیزی باید بتوانی با قطعیت بگویی «عضو هست» یا «عضو نیست». به همین دلیل «چهار میوه‌ی خوشمزه» مجموعه نیست (خوشمزگی سلیقه‌ای است)، ولی «چهار میوه‌ی موجود در یخچال» مجموعه است.
• متمایز بودن: هیچ عضوی نباید تکرار شود. نوشتن $\{2, 3, 3, 5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه است؛ شکل درستش $\{2,3,5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

چرا این دو شرط؟ چون در ریاضی ابهام جایی ندارد. اگر ندانیم چیزی عضو هست یا نه، اصلاً نمی‌توانیم با آن مجموعه کار کنیم.

سه روش نمایش مجموعه:

۱. فهرستی (برشمارشی): عضوها را داخل آکولاد و با ویرگول می‌نویسیم:

۲. توصیف کلامی: «مجموعه‌ی اعداد طبیعی کمتر از ۵».
۳. نمودار ون: یک منحنی بسته می‌کشیم و عضوها را داخلش می‌نویسیم. اگر دو مجموعه عضو مشترک داشته باشند، منحنی‌هایشان هم‌پوشانی دارند و عضوهای مشترک فقط در ناحیه‌ی مشترک نوشته می‌شوند.

نمادهای عضویت:

این دو نماد فقط برای عضو به کار می‌روند، نه برای زیرمجموعه.

مجموعه‌ی تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد، با $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\{\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان داده می‌شود. مثلاً «اعداد طبیعی بین ۵ و ۶» یا «اعداد اولِ زوجِ بزرگ‌تر از ۲» تهی‌اند.

سه شکلِ به‌ظاهر شبیه که کاملاً فرق دارند:

شمارش عضوهای یک بازه: برای «اعداد طبیعی از $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» داریم:

مثلاً از ۳ تا ۹ می‌شود $9-3+1=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو.

نکته‌های کلیدی درس یک:

• ترتیب نوشتن عضوها مهم نیست: $\{1,2,3\} = \{3,1,2\} = \{2,3,1\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برنامه‌ی درسی ایران از ۱ شروع می‌شوند؛ صفر جزء آن‌ها نیست.
• $A = \{0, \emptyset\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً دو عضو دارد: عدد صفر و مجموعه‌ی تهی.
• در سؤال‌های تیزهوشان، شرط‌های دوگانه (مثل «زوج و اول») تله‌ی رایج‌اند؛ قبل از شمارش، شرط را روی چند مثال واقعی امتحان کن.

درس ۲ — مجموعه‌های برابر، زیرمجموعه و نمایش نمادی

برابری: دو مجموعه‌ی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند اگر هر عضو $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد و هر عضو $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون ترتیب مهم نیست، $\{8,9,10\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\{10,8,9\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند؛ ولی $\{8,9,10\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\{7,8,9\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر نیست چون ۱۰ در دومی نیست.

زیرمجموعه: می‌گوییم $B \subseteq A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اگر هر عضو $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم باشد. مثلاً برای $A=\{1,2,3,4,5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B=\{2,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $B \subseteq A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر بتوانی فقط یک عضو در $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیدا کنی که در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نباشد، می‌نویسی $B \not\subseteq A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — همین یک نمونه‌ی نقض کافی است و لازم نیست بقیه‌ی اعضا را بررسی کنی.

دو نتیجه‌ی مهم:

چرا $\emptyset \subseteq A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چون برای رد کردنش باید عضوی در $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیدا کنیم که در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نباشد، ولی $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً عضوی ندارد. پس این ادعا هرگز رد نمی‌شود، یعنی همیشه درست است.

تعداد زیرمجموعه‌ها: اگر $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو داشته باشد:

مثلاً $A=\{a,b,c\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با ۳ عضو، $2^3=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زیرمجموعه دارد:

برای اینکه هیچ‌کدام را جا نیندازی، به همین ترتیب بنویس: اول تهی، بعد تک‌عضوی‌ها، بعد دوعضوی‌ها، و آخر خود مجموعه.

نمایش با نماد شرط: به‌جای فهرست کردن، می‌توانیم عضوها را با یک شرط توصیف کنیم:

که خوانده می‌شود «مجموعه‌ی تمام $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هایی که ...». مثال‌ها:

خانواده‌ی مجموعه‌های عددی:

و رابطه‌ی زیرمجموعه‌ای بین آن‌ها:

(هر مجموعه‌ی داخلی، درون مجموعه‌ی بیرونی‌تر جا می‌گیرد.) هر عدد صحیح گویا هم هست چون $a=\frac{a}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، ولی هر عدد گویا صحیح نیست ($\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح نیست).

تفاوت $\in$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\subseteq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مهم‌ترین مهارت این فصل:

پس $3 \subseteq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است و $\{1,4\} \in A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم غلط است، مگر اینکه خودِ $\{1,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌عنوان یک عضو در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آمده باشد.

نکته‌های تیزهوشانی: اگر $A \subseteq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B \subseteq A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $A = B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (روش استاندارد اثبات برابری). اگر $A \subseteq B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، حتماً $n(A) \le n(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. و در نمایش‌هایی مثل $\{5n+3 \mid n \in \mathbb{N}\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حتماً از $n=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع کن، نه $n=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

درس ۳ — اجتماع، اشتراک و تفاضل

سه عملیات اصلی روی مجموعه‌ها:

تعریف‌های دقیق:

مثال روشنگر: با $A = \{1,2,3,4,5,8\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B = \{3,4,5,6,7\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

در اجتماع، عضوهای مشترک را فقط یک بار می‌نویسیم. در نمودار ون هم عضوهای مشترک فقط در ناحیه‌ی وسط نوشته می‌شوند، نه در هر دو طرف.

تفاضل ترتیب دارد: معمولاً $A - B \neq B - A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، درست مثل تفریق اعداد که $5-3 \neq 3-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نماد تعداد عضوها: $n(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی تعداد عضوهای $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً $n(\{2,4,6,7\}) = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n(\emptyset)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روابط زیرمجموعه‌ای که باید حفظ باشی:

روابط ترکیبی (تجزیه‌ی مجموعه به تکه‌های مجزا):

حالت‌های خاص:

دو نکته‌ی مهم: اگر $A \cap B = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، دو مجموعه مجزا هستند و آنگاه $A-B=A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B-A=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همچنین:

دو فرمول طلایی برای سؤال‌های ترکیبی (فراتر از کتاب، ولی پرکاربرد در تیزهوشان و نمونه‌دولتی):

فرمول اول را چرا این‌طور می‌نویسیم؟ چون وقتی $n(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جدا جمع می‌زنیم، عضوهای مشترک دو بار شمرده می‌شوند؛ پس یک بار کمشان می‌کنیم. فرمول دوم هم از این می‌آید که $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه به دو تکه‌ی بدون همپوشانی تقسیم می‌شود: بخشی که با $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مشترک است و بخشی که نیست.

مثال کاربردی: در کلاسی ۳۰ نفره، ۱۸ نفر فوتبال و ۱۴ نفر والیبال بازی می‌کنند و ۷ نفر هر دو را. چند نفر هیچ‌کدام را بازی نمی‌کنند؟
گام ۱ — کسانی که حداقل یکی را بازی می‌کنند: $18 + 14 - 7 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۲ — بقیه: $30 - 25 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر.

درس ۴ — مجموعه‌ها و احتمال

حالا از همین ابزارها برای نوشتن دقیقِ فرمول احتمال استفاده می‌کنیم.

همیشه $A \subseteq S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — پیشامد مطلوب باید از دل حالت‌های ممکن انتخاب شود.

سه حالت ویژه:

مثال با تاس: با $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n(S)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

• مضرب ۳: $A=\{3,6\} \Rightarrow P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• عدد اول: $B=\{2,3,5\} \Rightarrow P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• بزرگ‌تر از ۶: $C=\emptyset \Rightarrow P(C)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• کمتر از ۷: $D=S \Rightarrow P(D)=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پیشامد تصادفی: هر زیرمجموعه از $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک پیشامد تصادفی است. پس اگر $n(S)=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، تعداد پیشامدها $2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — همان فرمول درس دوم!

دو تاس: وقتی دو تاس می‌اندازیم، هر نتیجه یک جفتِ مرتب مثل $(1,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و

چون برای هر یک از ۶ حالت تاس اول، ۶ حالت برای تاس دوم داریم. ترتیب مهم است: $(1,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو حالت جدا هستند. مثلاً برای «مجموع برابر ۷»:

احتمال مکمل (فراتر از کتاب، خیلی پرکاربرد):

یعنی به‌جای شمردن حالت‌های «رخ ندادن»، حالت‌های «رخ دادن» را بشمار و از ۱ کم کن.

فرمول اجتماع احتمال:

این فقط وقتی به شکل ساده‌ی $P(A)+P(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در می‌آید که $A \cap B = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نمونه سؤال (سخت و چندمرحله‌ای). دو تاس را همزمان می‌اندازیم. احتمال اینکه مجموع دو عدد برابر ۷ شود یا هر دو عدد با هم برابر باشند چقدر است؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $n(S) = 6 \times 6 = 36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۲ — $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = «مجموع ۷»: $B=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n(B)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۳ — $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = «دو عدد برابر»: $C=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n(C)=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۴ — آیا جفتی هست که هم مجموعش ۷ باشد و هم دو عددش برابر؟ اگر دو عدد برابر باشند، مجموعشان $2k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $2k=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد صحیح نمی‌دهد؛ پس $B \cap C = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۵ — چون مجزا هستند:

اشتباهات رایج این فصل

• $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با عدد صفر یکی گرفتن. $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «هیچ عضوی ندارد»؛ حتی صفر هم داخلش نیست. مجموعه‌ی $\{0\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک عضو دارد و چیز دیگری است.
• جای هم به کار بردن $\in$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\subseteq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. $\in$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط رابطه‌ی «عضو با مجموعه» است و $\subseteq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط «مجموعه با مجموعه».
• فراموش کردن $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در شمارش زیرمجموعه‌ها. مجموعه‌ی تهی یک زیرمجموعه‌ی کاملاً عادی است و در $2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حساب شده.
• برابر دانستن دو مجموعه فقط به‌خاطر تعداد یکسان. $\{1,2,3\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\{4,5,6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو سه عضو دارند ولی برابر نیستند.
• $A-B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با $B-A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یکی گرفتن. تفاضل کاملاً به ترتیب حساس است.
• $A-B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با $A \cap B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه گرفتن. اشتراک عضوهای مشترک را می‌دهد و تفاضل دقیقاً عضوهای غیرمشترکِ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را؛ این دو حتی یک عضو مشترک هم ندارند.
• جمع ساده‌ی $n(A)+n(B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای اجتماع. اگر عضو مشترک وجود داشته باشد، باید $n(A \cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کم شود.
• $A - \emptyset = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پنداشتن. منهای تهی هیچ عضوی را حذف نمی‌کند، پس $A-\emptyset = A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• احتمالِ بزرگ‌تر از ۱. اگر جوابت بیرون از بازه‌ی $[0,1]$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی افتاد، حتماً در شمارش $n(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $n(S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه کرده‌ای.
• ساده نکردن کسر احتمال. $\frac{3}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تبدیل کن.
• یکی شمردن $(1,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(2,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دو تاس. به همین دلیل $n(S)=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه ۲۱.

روش‌های سریع و تکنیک‌های حل

تشخیص سریع «مجموعه بودن»: سه سؤال بپرس — (۱) آیا می‌توانم برای هر چیزی بگویم عضو هست یا نیست؟ (۲) آیا هیچ عضوی تکرار نشده؟ (۳) آیا همه‌ی عضوها از یک قانون مشخص پیروی می‌کنند؟ اگر هر سه پاسخ «بله» بود، مجموعه است.

تشخیص سریع مجموعه‌ی تهی: اگر شرطِ توصیف‌شده هیچ عددی را راضی نکند (مثل «اعداد طبیعی منفی»)، حاصل $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. این یکی از رایج‌ترین الگوهای طراحی سؤال تستی است.

محاسبه‌ی سریع $A \cap B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cup B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: برای اشتراک، فقط عضوهایی را بردار که در هر دو فهرست دیده می‌شوند. برای اجتماع، اول کل $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس، بعد از $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط آن‌هایی را اضافه کن که در $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نبودند.

محاسبه‌ی سریع $A - B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: فهرست $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس، هر عضوی که در $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم هست را خط بزن؛ باقی‌مانده جواب است. یک نگاه دیگر به همین موضوع: $A - B = A - (A \cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی «$A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدون بخش مشترکش با $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی».

گام‌های حل هر مسئله‌ی احتمال: (۱) $S$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس و $n(S)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بشمار؛ (۲) $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویس و $n(A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بشمار؛ (۳) کسر $\frac{n(A)}{n(S)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کن.

در مسائل نمودار ون: همیشه اول ناحیه‌ی وسط (اشتراک) را پر کن، بعد بخش‌های اختصاصی هر مجموعه را.

چند نمونه سؤال با پاسخ تشریحی

سؤال ۱. مجموعه‌ی $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شامل همه‌ی اعداد طبیعیِ هم زوج و هم اول است. اعضای $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویسید و $n(C)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

پاسخ: عدد اول یعنی عددی که فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر است. هر عدد زوجی به‌جز خودِ ۲، علاوه بر ۱ و خودش بر ۲ هم بخش‌پذیر است، پس اول نیست. تنها استثنا عدد ۲ است:

سؤال ۲. مجموعه‌ی $D = \{\emptyset,\ 0,\ \{0\}\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند عضو دارد؟

پاسخ: این سؤال سه «شکل» متفاوت را کنار هم گذاشته است: $\emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (خودِ مجموعه‌ی تهی به‌عنوان یک عضو)، $0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یک عدد، نه یک مجموعه)، و $\{0\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مجموعه‌ای یک‌عضوی که عضوش عدد صفر است). هر سه از هم متمایزند، پس $n(D) = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۳. مجموعه‌ی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارای $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو است و ۳۲ زیرمجموعه دارد. مجموعه‌ی $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً دو عضو کمتر از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد. $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند زیرمجموعه دارد؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $2^n = 32 = 2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۲ — $n(B) = 5 - 2 = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۳ — تعداد زیرمجموعه‌های $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $2^3 = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

سؤال ۴. فرض کنید $A = \{1,2,3,4,5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی زیرمجموعه‌ای از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، به‌طوری که $B \cap \{2,4\} = \{2,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n(B)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همه‌ی حالت‌های ممکن برای $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بنویسید.

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — شرط $B \cap \{2,4\} = \{2,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی هر دو عضو ۲ و ۴ حتماً در $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند؛ اشتراک فقط در همین صورت برابر خودِ $\{2,4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.
گام ۲ — چون $n(B)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو عضو از قبل معلوم‌اند، دقیقاً یک عضو دیگر از $\{1,3,5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتخاب می‌شود.
گام ۳ — پس سه حالت ممکن است:

سؤال ۵. مجموعه‌ی $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارای ۲۰ عضو و $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارای ۱۳ عضو است. اگر $n(A-B)=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $n(A \cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n(B-A)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — چون $A-B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $A \cap B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو تکه‌ی مجزای $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند: $20 = 9 + n(A \cap B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n(A \cap B) = 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۲ — با همان منطق برای $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $13 = n(B-A) + 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n(B-A) = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۶. جعبه‌ای شامل ۱۵ مهره است که ۶ تای آن‌ها قرمزند. یک مهره تصادفی برمی‌داریم. احتمال اینکه مهره قرمز نباشد چقدر است؟

پاسخ گام‌به‌گام:
گام ۱ — $P(\text{قرمز}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
گام ۲ — با فرمول احتمال مکمل: $P(\text{قرمز نباشد}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

در یک نگاه