عددهای حقیقی و قدر مطلق (ریاضی نهم)

عددهای حقیقی (نهم)

این فصل سه پله دارد: اول اعداد گویا را کامل می‌شناسی، بعد با اعداد گنگ آشنا می‌شوی و می‌بینی این دو با هم مجموعه‌ی اعداد حقیقی را می‌سازند، و در پایان با قدر مطلق کار می‌کنی که ابزار سنجش «فاصله» روی محور اعداد است.

درس ۱ — عددهای گویا

تعریف: عدد گویا هر عددی است که بتوان آن را به شکل $\frac{a}{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت، به شرطی که $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هر دو صحیح باشند و $b \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرا $b \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چون تقسیم بر صفر در ریاضی تعریف ندارد؛ $\frac{5}{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً معنا ندارد.

هر عدد صحیح هم گویاست، چون می‌توان آن را با مخرج ۱ نوشت: $5 = \frac{5}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-5 = \frac{-5}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $0 = \frac{0}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس:

آیا می‌توان $\mathbb{Q}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را فهرست کرد؟ نه. چون بین هر دو عدد گویا، بی‌نهایت عدد گویای دیگر وجود دارد. مثلاً بین $\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد $\frac{5}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرار دارد و بی‌نهایت عدد دیگر. به این ویژگی می‌گویند $\mathbb{Q}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چگال است. این دقیقاً برخلاف اعداد صحیح است — بین ۳ و ۴ هیچ عدد صحیحی نیست.

چهار روش برای پیدا کردن کسری بین دو کسر:

۱. هم‌مخرج کردن. مثلاً برای $\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\frac{5}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بینشان است. اگر چند کسر لازم داشتی، مخرج را بزرگ‌تر بگیر: $\frac{6}{18} < \frac{7}{18} < \frac{8}{18} < \frac{9}{18}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲. میانگین. میانگین دو عدد همیشه دقیقاً وسط آن‌هاست:

۳. جمع صورت‌ها و مخرج‌ها.

مثلاً $\frac{1}{3} < \frac{1+1}{3+2} = \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سریع‌ترین روش است، ولی حواست باشد که کسر وسطِ دقیق نمی‌دهد — فقط یک کسر بینابین.

۴. نمایش اعشاری. $\frac{1}{3}\approx 0.333\ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{1}{2}=0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $0.4 = \frac{2}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بینشان است.

مقایسه‌ی کسرها را می‌توان با هم‌مخرج کردن، با تبدیل به اعشار، یا با مقایسه با یک عدد ساده (بنچمارک مثل $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) انجام داد. اما سریع‌ترین راه ضرب‌دری (ضرب قطری) است:

مثال: $\frac{5}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $\frac{3}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — چون $5\times5=25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $9\times3=27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $25<27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\frac{5}{9} < \frac{3}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمایش اعشاری کسرها — دو حالت و بس:

• اعشار متناهی (مختوم): تقسیم تمام می‌شود، مثل $\frac{3}{8}=0.375$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{1}{5}=0.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• اعشار نامتناهی متناوب: یک رقم یا گروهی از ارقام مرتب تکرار می‌شوند، مثل $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{7}{6}=1.1\overline{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. خط بالای رقم‌ها فقط روی قسمت تکرارشونده گذاشته می‌شود.

قانون تشخیص (خیلی مهم): یک کسر پس از ساده شدن اعشار متناهی دارد اگر و فقط اگر مخرجش فقط از عوامل ۲ و ۵ ساخته شده باشد.

چرا این قانون؟ چون دستگاه عددنویسی ما مبنای ۱۰ است و $10 = 2 \times 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مخرج‌هایی که فقط از ۲ و ۵ ساخته شده‌اند با ضرب مناسب به توانی از ۱۰ تبدیل می‌شوند. دقیق‌تر: $\frac{p}{2^a \times 5^b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حداکثر $\max(a,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رقم اعشار دارد؛ مثلاً $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=0.125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با سه رقم اعشار.

بستار (نکته‌ی تیزهوشان): مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نسبت به چهار عمل اصلی بسته است — جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (بر گویای ناصفر) دو عدد گویا همیشه گویا می‌ماند. در درس بعد می‌بینی که این ویژگی برای اعداد گنگ برقرار نیست.

نمونه سؤال. نمایش اعشاری $\frac{7}{40}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناهی است یا متناوب؟
پاسخ: $40 = 2^3 \times 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط عوامل ۲ و ۵ دارد، پس اعشار متناهی است و حداکثر $\max(3,1)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رقم اعشار دارد: $\frac{7}{40} = 0.175$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال. حاصل $x = \frac{7}{9} + \frac{5}{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید و نوع اعشارش را مشخص کنید.
پاسخ: مخرج مشترک ۳۶ است: $\frac{7}{9}=\frac{28}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = \frac{43}{36}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. عدد ۴۳ اول است و کسر ساده نمی‌شود؛ مخرج $36=2^2\times3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عاملِ ۳ دارد، پس اعشار نامتناهی متناوب است.

درس ۲ — عددهای حقیقی

عدد گنگ (اصم) عددی است که نمی‌توان آن را به شکل $\frac{a}{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت؛ نمایش اعشاری‌اش نامتناهی و بدون تناوب است.

قانون طلایی تشخیص:

مربع‌های کامل: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $\sqrt{4}=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{49}=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویا هستند، ولی $\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{15}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گنگ‌اند.

مجموعه‌ی اعداد گنگ را با $\mathbb{Q}'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان می‌دهیم و این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند:

هیچ عددی نمی‌تواند هم گویا و هم گنگ باشد.

مجموعه‌ی اعداد حقیقی اجتماع این دو است:

نتایج مفیدی که مستقیم از همین روابط می‌آیند:

اعداد گنگ روی محور: هر عدد حقیقی — چه گویا چه گنگ — دقیقاً با یک نقطه روی محور متناظر است. برای رسم $\sqrt{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کافی است دو عدد $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پیدا کنی که $a^2+b^2=n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مثلثی قائم‌الزاویه با آن ضلع‌ها بسازی (وتر برابر $\sqrt{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود) و با پرگار آن طول را روی محور منتقل کنی. مثلاً برای $\sqrt{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از ضلع‌های ۳ و ۱ استفاده می‌کنیم چون $3^2+1^2=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و برای $\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از ضلع‌های ۱ و ۱.

تخمین جای جذر بین دو عدد صحیح:

مثلاً $4 < 7 < 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $2 < \sqrt{7} < 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمایش مجموعه روی محور — توپر و توخالی: در $\{x \in \mathbb{R} \mid \ldots\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، علامت‌های $<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $>$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با نقطه‌ی توخالی (شامل نمی‌شود) و $\leq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با نقطه‌ی توپر (شامل می‌شود) رسم می‌شوند. مثلاً در $\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 3\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه‌ی ۲ توپر و نقطه‌ی ۳ توخالی است. این تفاوت واقعی است: مجموعه‌ی $\{x \mid 1.5 \le x < 5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شامل ۵ نمی‌شود ولی $\{x \mid 1.5 \le x \le 5\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

نکته‌ی مهم: اگر فقط اعداد گویا را روی محور رنگ کنیم، خط کامل نمی‌شود — «سوراخ» می‌ماند، همان‌جاهایی که اعداد گنگ نشسته‌اند. فقط با رنگ‌کردن همه‌ی اعداد حقیقی، محور پر می‌شود.

بستار روی اعداد گنگ (کلیدی‌ترین نکته‌ی تیزهوشانی این فصل): برخلاف گویاها، اعداد گنگ نسبت به جمع و ضرب بسته نیستند:

• گنگ + گنگ می‌تواند گویا شود: $\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• گنگ × گنگ می‌تواند گویا شود: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• اما «گویای ناصفر × گنگ» همیشه گنگ است و «گویا + گنگ» هم همیشه گنگ است — این دو استثنا ندارند.

نمونه سؤال. اگر $a=\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=\sqrt{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نشان دهید $a\times b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویاست و بگویید $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چه نوع عددی است.
پاسخ: $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $a\times b = \sqrt{2}\times2\sqrt{2} = 2\times2 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که گویاست. اما $a+b = \sqrt{2}+2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اگر $3\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویا بود، $\sqrt2 = \frac{3\sqrt2}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم گویا می‌شد که تناقض است. پس $a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گنگ است.

درس ۳ — قدر مطلق و محاسبه‌ی تقریبی

قدر مطلق یعنی فاصله‌ی یک عدد از مبدأ (صفر) روی محور. چون فاصله جهت ندارد، همیشه نامنفی است: $|2| = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|-2| = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تعریف رسمی:

وقتی می‌نویسیم $|a| = -a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نتیجه منفی نیست — چون خودِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی بوده و منفیِ منفی مثبت می‌شود: $|-5| = -(-5) = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مهم‌ترین مهارت این درس: پیش از برداشتن علامت قدر مطلق، اول علامت داخل را تشخیص بده. روش سیستماتیک سه‌گامی:
گام ۱ — عدد داخل $|\ldots|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب یا تقریب بزن.
گام ۲ — علامتش را تعیین کن (مثبت / منفی / صفر).
گام ۳ — اگر مثبت بود، همان عبارت را بنویس؛ اگر منفی بود، قرینه‌اش را.

برای عبارت‌هایی که عدد گنگ دارند، این تقریب‌های ذهنی کافی‌اند: $\sqrt{2}\approx1.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{3}\approx1.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{5}\approx2.2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{7}\approx2.6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. توجه: تقریب فقط برای تشخیص علامت است، نه برای نوشتن جواب نهایی — جواب باید دقیق باشد.

مثال: $|1-\sqrt{2}|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — تقریب می‌زنیم: $1-1.4=-0.4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که منفی است، پس

مثال: $|-\sqrt{3}-5|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — تقریب: $-1.7-5=-6.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی است، پس $|-\sqrt{3}-5| = \sqrt{3}+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رابطه‌ی کلیدی قدر مطلق و جذر:

چون جذر همیشه نتیجه‌ای نامنفی می‌دهد: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $\sqrt{a^2}=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه درست نیست — فقط وقتی $a \ge 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد. این رایج‌ترین تله‌ی سؤال‌های تیزهوشان در این فصل است.

ویژگی‌های قدر مطلق:

نامساوی مثلثی وقتی به تساوی تبدیل می‌شود که $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامت باشند؛ اگر مخالف‌علامت باشند، اکیداً کوچک‌تر است. مثال: $|(-8)+5| = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $|-8|+|5| = 13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قدر مطلق به‌عنوان فاصله‌ی دو نقطه: $|a-b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصله‌ی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی روی محور است. مثلاً فاصله‌ی ۳ و $-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $|3-(-5)| = 8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

معادله‌ی $|x| = k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: اگر $k>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو جواب دارد ($x=k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $x=-k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ اگر $k=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک جواب ($x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ و اگر $k<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب ندارد، چون قدر مطلق هرگز منفی نمی‌شود.

قدر مطلق تودرتو: همیشه از داخلی‌ترین قدر مطلق شروع کن و گام‌به‌گام بیرون بیا.

نمونه سؤال. حاصل $\big|\,5-|3-8|\,\big|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.
پاسخ: ابتدا داخلی‌ترین: $3-8=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|-5|=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سپس $\big|5-5\big| = |0| = 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال. حاصل $|\sqrt5-3| + |\sqrt5-2|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.
پاسخ: با $\sqrt5\approx2.24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: عبارت اول منفی است ($2.24-3<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) پس $|\sqrt5-3| = 3-\sqrt5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ عبارت دوم مثبت است پس $|\sqrt5-2| = \sqrt5-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمع: $(3-\sqrt5)+(\sqrt5-2) = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال. اگر $a=2-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b=-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حاصل $|a+b|-|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟
پاسخ: چون $2>1.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $a\approx0.3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است و $|a| = 2-\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا $a+b = -2-\sqrt3 \approx -3.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی است، پس $|a+b| = 2+\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در نتیجه:

اشتباهات رایج این فصل

• ساده نکردن کسر قبل از بررسی مخرج. $\frac{3}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌ظاهر عاملِ ۳ دارد، ولی ساده‌شده‌اش $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و اعشارش متناهی: $0.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• یکی گرفتن «نامتناهی» با «گنگ». $0.\overline{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نامتناهی است ولی چون تناوب دارد، گویاست و برابر $\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• گنگ دانستن $\sqrt{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\sqrt{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جذر مربع‌های کامل گویاست.
• نوشتن $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اعداد طبیعی همه گویا هستند، نه گنگ.
• خلط اجتماع و اشتراک در $\mathbb{Q}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\mathbb{Q}'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درستش $\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• گنگ پنداشتن حاصلِ همه‌ی جمع‌های گنگ. $\sqrt2+\sqrt2 = 2\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گنگ است ولی $\sqrt2+(2-\sqrt2)=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گویاست؛ به خود عبارت نگاه کن.
• جابه‌جایی توپر و توخالی. برای $x>3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه توخالی و برای $x\ge3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطه توپر است.
• برداشتن قدر مطلق بدون بررسی علامت. نوشتن $|1-\sqrt2| = 1-\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است؛ جواب $\sqrt2-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• نوشتن $\sqrt{a^2}=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درستش $\sqrt{a^2}=|a|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• حل کردن $|x| = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این معادله جواب ندارد.
• اشتباه در پرانتزگذاری علامت بیرونی. $-|-5| = -5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• فرض تساوی در نامساوی مثلثی. $|a+b| = |a|+|b|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی هم‌علامت باشند.

چند نمونه سؤال دیگر با پاسخ تشریحی

سؤال ۱. کدام‌یک از کسرهای $\frac{9}{16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{11}{24}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{13}{20}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اعشار نامتناهی متناوب دارد؟

پاسخ: مخرج‌ها را تجزیه می‌کنیم: $16=2^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فقط ۲) پس متناهی؛ $24=2^3\times3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (شامل ۳) پس نامتناهی متناوب؛ $20=2^2\times5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (فقط ۲ و ۵) پس متناهی. تنها $\frac{11}{24}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناوب است.

سؤال ۲. بین دو کسر $\frac{2}{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{3}{7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، الف) کسر وسط دقیق را بیابید؛ ب) دو کسر دیگر بین آن‌ها پیدا کنید.

پاسخ:
الف) با روش میانگین:

ب) مخرج را سه برابر می‌کنیم تا جا باز شود: $\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{3}{7}=\frac{9}{21}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس

یعنی $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{8}{21}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو کسر دیگرِ بینابین‌اند.

سؤال ۳. آیا عدد $\sqrt{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو مجموعه‌ی $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؟

پاسخ: با تخمین جذر: $9 < 10 < 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $3 < \sqrt{10} < 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $\sqrt{10}\approx3.16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $-2 \le 3.16 < 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برقرار است، بله عضو مجموعه است.

سؤال ۴. کدام‌یک از این عبارت‌ها نتیجه‌ی گویا می‌دهند؟ الف) $\sqrt3+\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ب) $\sqrt3+(5-\sqrt3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ج) $\sqrt3\times\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی د) $\sqrt3\times\sqrt{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پاسخ:
الف) $2\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — گنگ است، چون گویای ناصفر ضرب در گنگ همیشه گنگ می‌ماند.
ب) $5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — گویا؛ دو $\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اثر هم را خنثی کردند.
ج) $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — گویا.
د) $\sqrt{12}=2\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\sqrt3\times2\sqrt3 = 2\times3 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — گویا.
تنها گزینه‌ی الف گنگ می‌ماند.

در یک نگاه