عددهای حقیقی (نهم)

عددهای حقیقی (نهم)

این فصل سه پله دارد: اول اعداد گویا را کامل می‌شناسی، بعد با اعداد گنگ آشنا می‌شوی و می‌بینی این دو با هم مجموعه‌ی اعداد حقیقی را می‌سازند، و در پایان با قدر مطلق کار می‌کنی که ابزار سنجش «فاصله» روی محور اعداد است.

درس ۱ — عددهای گویا

تعریف: عدد گویا هر عددی است که بتوان آن را به شکل $\frac{a}{b}$ نوشت، به شرطی که $a$ و $b$ هر دو صحیح باشند و $b \neq 0$.

چرا $b \neq 0$؟ چون تقسیم بر صفر در ریاضی تعریف ندارد؛ $\frac{5}{0}$ اصلاً معنا ندارد.

هر عدد صحیح هم گویاست، چون می‌توان آن را با مخرج ۱ نوشت: $5 = \frac{5}{1}$ و $-5 = \frac{-5}{1}$ و $0 = \frac{0}{1}$. پس:

آیا می‌توان $\mathbb{Q}$ را فهرست کرد؟ نه. چون بین هر دو عدد گویا، بی‌نهایت عدد گویای دیگر وجود دارد. مثلاً بین $\frac{1}{3}$ و $\frac{1}{2}$ عدد $\frac{5}{12}$ قرار دارد و بی‌نهایت عدد دیگر. به این ویژگی می‌گویند $\mathbb{Q}$ چگال است. این دقیقاً برخلاف اعداد صحیح است — بین ۳ و ۴ هیچ عدد صحیحی نیست.

چهار روش برای پیدا کردن کسری بین دو کسر:

۱. هم‌مخرج کردن. مثلاً برای $\frac{1}{3}$ و $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ و $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$، پس $\frac{5}{12}$ بینشان است. اگر چند کسر لازم داشتی، مخرج را بزرگ‌تر بگیر: $\frac{6}{18} < \frac{7}{18} < \frac{8}{18} < \frac{9}{18}$.

۲. میانگین. میانگین دو عدد همیشه دقیقاً وسط آن‌هاست:

۳. جمع صورت‌ها و مخرج‌ها.

مثلاً $\frac{1}{3} < \frac{1+1}{3+2} = \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$. سریع‌ترین روش است، ولی حواست باشد که کسر وسطِ دقیق نمی‌دهد — فقط یک کسر بینابین.

۴. نمایش اعشاری. $\frac{1}{3}\approx 0.333\ldots$ و $\frac{1}{2}=0.5$، پس $0.4 = \frac{2}{5}$ بینشان است.

مقایسه‌ی کسرها را می‌توان با هم‌مخرج کردن، با تبدیل به اعشار، یا با مقایسه با یک عدد ساده (بنچمارک مثل $\frac{1}{2}$) انجام داد. اما سریع‌ترین راه ضرب‌دری (ضرب قطری) است:

مثال: $\frac{5}{9}$ در برابر $\frac{3}{5}$ — چون $5\times5=25$ و $9\times3=27$ و $25<27$، پس $\frac{5}{9} < \frac{3}{5}$.

نمایش اعشاری کسرها — دو حالت و بس:

• اعشار متناهی (مختوم): تقسیم تمام می‌شود، مثل $\frac{3}{8}=0.375$ و $\frac{1}{5}=0.2$.
• اعشار نامتناهی متناوب: یک رقم یا گروهی از ارقام مرتب تکرار می‌شوند، مثل $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$، $\frac{7}{6}=1.1\overline{6}$، $\frac{1}{7}=0.\overline{142857}$. خط بالای رقم‌ها فقط روی قسمت تکرارشونده گذاشته می‌شود.

قانون تشخیص (خیلی مهم): یک کسر پس از ساده شدن اعشار متناهی دارد اگر و فقط اگر مخرجش فقط از عوامل ۲ و ۵ ساخته شده باشد.

چرا این قانون؟ چون دستگاه عددنویسی ما مبنای ۱۰ است و $10 = 2 \times 5$؛ مخرج‌هایی که فقط از ۲ و ۵ ساخته شده‌اند با ضرب مناسب به توانی از ۱۰ تبدیل می‌شوند. دقیق‌تر: $\frac{p}{2^a \times 5^b}$ حداکثر $\max(a,b)$ رقم اعشار دارد؛ مثلاً $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=0.125$ با سه رقم اعشار.

بستار (نکته‌ی تیزهوشان): مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$ نسبت به چهار عمل اصلی بسته است — جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (بر گویای ناصفر) دو عدد گویا همیشه گویا می‌ماند. در درس بعد می‌بینی که این ویژگی برای اعداد گنگ برقرار نیست.

نمونه سؤال. نمایش اعشاری $\frac{7}{40}$ متناهی است یا متناوب؟
پاسخ: $40 = 2^3 \times 5$ فقط عوامل ۲ و ۵ دارد، پس اعشار متناهی است و حداکثر $\max(3,1)=3$ رقم اعشار دارد: $\frac{7}{40} = 0.175$.

نمونه سؤال. حاصل $x = \frac{7}{9} + \frac{5}{12}$ را بیابید و نوع اعشارش را مشخص کنید.
پاسخ: مخرج مشترک ۳۶ است: $\frac{7}{9}=\frac{28}{36}$ و $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$، پس $x = \frac{43}{36}$. عدد ۴۳ اول است و کسر ساده نمی‌شود؛ مخرج $36=2^2\times3^2$ عاملِ ۳ دارد، پس اعشار نامتناهی متناوب است.

درس ۲ — عددهای حقیقی

عدد گنگ (اصم) عددی است که نمی‌توان آن را به شکل $\frac{a}{b}$ نوشت؛ نمایش اعشاری‌اش نامتناهی و بدون تناوب است.

قانون طلایی تشخیص:

مربع‌های کامل: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots$ پس $\sqrt{4}=2$ و $\sqrt{49}=7$ گویا هستند، ولی $\sqrt{2}$، $\sqrt{5}$، $\sqrt{10}$ و $\sqrt{15}$ گنگ‌اند.

مجموعه‌ی اعداد گنگ را با $\mathbb{Q}'$ نشان می‌دهیم و این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند:

هیچ عددی نمی‌تواند هم گویا و هم گنگ باشد.

مجموعه‌ی اعداد حقیقی اجتماع این دو است:

نتایج مفیدی که مستقیم از همین روابط می‌آیند:

اعداد گنگ روی محور: هر عدد حقیقی — چه گویا چه گنگ — دقیقاً با یک نقطه روی محور متناظر است. برای رسم $\sqrt{n}$ کافی است دو عدد $a$ و $b$ پیدا کنی که $a^2+b^2=n$، مثلثی قائم‌الزاویه با آن ضلع‌ها بسازی (وتر برابر $\sqrt{n}$ می‌شود) و با پرگار آن طول را روی محور منتقل کنی. مثلاً برای $\sqrt{10}$ از ضلع‌های ۳ و ۱ استفاده می‌کنیم چون $3^2+1^2=10$، و برای $\sqrt{2}$ از ضلع‌های ۱ و ۱.

تخمین جای جذر بین دو عدد صحیح:

مثلاً $4 < 7 < 9$ پس $2 < \sqrt{7} < 3$.

نمایش مجموعه روی محور — توپر و توخالی: در $\{x \in \mathbb{R} \mid \ldots\}$، علامت‌های $<$ و $>$ با نقطه‌ی توخالی (شامل نمی‌شود) و $\leq$ و $\geq$ با نقطه‌ی توپر (شامل می‌شود) رسم می‌شوند. مثلاً در $\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 3\}$ نقطه‌ی ۲ توپر و نقطه‌ی ۳ توخالی است. این تفاوت واقعی است: مجموعه‌ی $\{x \mid 1.5 \le x < 5\}$ شامل ۵ نمی‌شود ولی $\{x \mid 1.5 \le x \le 5\}$ می‌شود.

نکته‌ی مهم: اگر فقط اعداد گویا را روی محور رنگ کنیم، خط کامل نمی‌شود — «سوراخ» می‌ماند، همان‌جاهایی که اعداد گنگ نشسته‌اند. فقط با رنگ‌کردن همه‌ی اعداد حقیقی، محور پر می‌شود.

بستار روی اعداد گنگ (کلیدی‌ترین نکته‌ی تیزهوشانی این فصل): برخلاف گویاها، اعداد گنگ نسبت به جمع و ضرب بسته نیستند:

• گنگ + گنگ می‌تواند گویا شود: $\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2$
• گنگ × گنگ می‌تواند گویا شود: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
• اما «گویای ناصفر × گنگ» همیشه گنگ است و «گویا + گنگ» هم همیشه گنگ است — این دو استثنا ندارند.

نمونه سؤال. اگر $a=\sqrt{2}$ و $b=\sqrt{8}$، نشان دهید $a\times b$ گویاست و بگویید $a+b$ چه نوع عددی است.
پاسخ: $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$، پس $a\times b = \sqrt{2}\times2\sqrt{2} = 2\times2 = 4$ که گویاست. اما $a+b = \sqrt{2}+2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$؛ اگر $3\sqrt2$ گویا بود، $\sqrt2 = \frac{3\sqrt2}{3}$ هم گویا می‌شد که تناقض است. پس $a+b$ گنگ است.

درس ۳ — قدر مطلق و محاسبه‌ی تقریبی

قدر مطلق یعنی فاصله‌ی یک عدد از مبدأ (صفر) روی محور. چون فاصله جهت ندارد، همیشه نامنفی است: $|2| = 2$ و $|-2| = 2$.

تعریف رسمی:

وقتی می‌نویسیم $|a| = -a$، نتیجه منفی نیست — چون خودِ $a$ منفی بوده و منفیِ منفی مثبت می‌شود: $|-5| = -(-5) = 5$.

مهم‌ترین مهارت این درس: پیش از برداشتن علامت قدر مطلق، اول علامت داخل را تشخیص بده. روش سیستماتیک سه‌گامی:
گام ۱ — عدد داخل $|\ldots|$ را حساب یا تقریب بزن.
گام ۲ — علامتش را تعیین کن (مثبت / منفی / صفر).
گام ۳ — اگر مثبت بود، همان عبارت را بنویس؛ اگر منفی بود، قرینه‌اش را.

برای عبارت‌هایی که عدد گنگ دارند، این تقریب‌های ذهنی کافی‌اند: $\sqrt{2}\approx1.4$، $\sqrt{3}\approx1.7$، $\sqrt{5}\approx2.2$، $\sqrt{7}\approx2.6$. توجه: تقریب فقط برای تشخیص علامت است، نه برای نوشتن جواب نهایی — جواب باید دقیق باشد.

مثال: $|1-\sqrt{2}|$ — تقریب می‌زنیم: $1-1.4=-0.4$ که منفی است، پس

مثال: $|-\sqrt{3}-5|$ — تقریب: $-1.7-5=-6.7$ منفی است، پس $|-\sqrt{3}-5| = \sqrt{3}+5$.

رابطه‌ی کلیدی قدر مطلق و جذر:

چون جذر همیشه نتیجه‌ای نامنفی می‌دهد: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$، نه $-5$. پس $\sqrt{a^2}=a$ همیشه درست نیست — فقط وقتی $a \ge 0$ باشد. این رایج‌ترین تله‌ی سؤال‌های تیزهوشان در این فصل است.

ویژگی‌های قدر مطلق:

نامساوی مثلثی وقتی به تساوی تبدیل می‌شود که $a$ و $b$ هم‌علامت باشند؛ اگر مخالف‌علامت باشند، اکیداً کوچک‌تر است. مثال: $|(-8)+5| = 3$ ولی $|-8|+|5| = 13$.

قدر مطلق به‌عنوان فاصله‌ی دو نقطه: $|a-b|$ فاصله‌ی $a$ و $b$ روی محور است. مثلاً فاصله‌ی ۳ و $-5$ برابر $|3-(-5)| = 8$ است.

معادله‌ی $|x| = k$: اگر $k>0$ دو جواب دارد ($x=k$ یا $x=-k$)؛ اگر $k=0$ یک جواب ($x=0$)؛ و اگر $k<0$ جواب ندارد، چون قدر مطلق هرگز منفی نمی‌شود.

قدر مطلق تودرتو: همیشه از داخلی‌ترین قدر مطلق شروع کن و گام‌به‌گام بیرون بیا.

نمونه سؤال. حاصل $\big|\,5-|3-8|\,\big|$ را بیابید.
پاسخ: ابتدا داخلی‌ترین: $3-8=-5$ و $|-5|=5$. سپس $\big|5-5\big| = |0| = 0$.

نمونه سؤال. حاصل $|\sqrt5-3| + |\sqrt5-2|$ را بیابید.
پاسخ: با $\sqrt5\approx2.24$: عبارت اول منفی است ($2.24-3<0$) پس $|\sqrt5-3| = 3-\sqrt5$؛ عبارت دوم مثبت است پس $|\sqrt5-2| = \sqrt5-2$. جمع: $(3-\sqrt5)+(\sqrt5-2) = 1$.

نمونه سؤال. اگر $a=2-\sqrt3$ و $b=-4$، حاصل $|a+b|-|a|$ چقدر است؟
پاسخ: چون $2>1.7$، پس $a\approx0.3$ مثبت است و $|a| = 2-\sqrt3$. حالا $a+b = -2-\sqrt3 \approx -3.7$ منفی است، پس $|a+b| = 2+\sqrt3$. در نتیجه:

اشتباهات رایج این فصل

• ساده نکردن کسر قبل از بررسی مخرج. $\frac{3}{6}$ به‌ظاهر عاملِ ۳ دارد، ولی ساده‌شده‌اش $\frac{1}{2}$ است و اعشارش متناهی: $0.5$.
• یکی گرفتن «نامتناهی» با «گنگ». $0.\overline{3}$ نامتناهی است ولی چون تناوب دارد، گویاست و برابر $\frac{1}{3}$.
• گنگ دانستن $\sqrt{4}$ یا $\sqrt{9}$. جذر مربع‌های کامل گویاست.
• نوشتن $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}'$. اعداد طبیعی همه گویا هستند، نه گنگ.
• خلط اجتماع و اشتراک در $\mathbb{Q}$ و $\mathbb{Q}'$. درستش $\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset$ است و $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$.
• گنگ پنداشتن حاصلِ همه‌ی جمع‌های گنگ. $\sqrt2+\sqrt2 = 2\sqrt2$ گنگ است ولی $\sqrt2+(2-\sqrt2)=2$ گویاست؛ به خود عبارت نگاه کن.
• جابه‌جایی توپر و توخالی. برای $x>3$ نقطه توخالی و برای $x\ge3$ نقطه توپر است.
• برداشتن قدر مطلق بدون بررسی علامت. نوشتن $|1-\sqrt2| = 1-\sqrt2$ غلط است؛ جواب $\sqrt2-1$ است.
• نوشتن $\sqrt{a^2}=a$. درستش $\sqrt{a^2}=|a|$ است.
• حل کردن $|x| = -2$. این معادله جواب ندارد.
• اشتباه در پرانتزگذاری علامت بیرونی. $-|-5| = -5$ است، نه $5$.
• فرض تساوی در نامساوی مثلثی. $|a+b| = |a|+|b|$ فقط وقتی هم‌علامت باشند.

چند نمونه سؤال دیگر با پاسخ تشریحی

سؤال ۱. کدام‌یک از کسرهای $\frac{9}{16}$، $\frac{11}{24}$ و $\frac{13}{20}$ اعشار نامتناهی متناوب دارد؟

پاسخ: مخرج‌ها را تجزیه می‌کنیم: $16=2^4$ (فقط ۲) پس متناهی؛ $24=2^3\times3$ (شامل ۳) پس نامتناهی متناوب؛ $20=2^2\times5$ (فقط ۲ و ۵) پس متناهی. تنها $\frac{11}{24}$ متناوب است.

سؤال ۲. بین دو کسر $\frac{2}{7}$ و $\frac{3}{7}$، الف) کسر وسط دقیق را بیابید؛ ب) دو کسر دیگر بین آن‌ها پیدا کنید.

پاسخ:
الف) با روش میانگین:

ب) مخرج را سه برابر می‌کنیم تا جا باز شود: $\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$ و $\frac{3}{7}=\frac{9}{21}$، پس

یعنی $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$ و $\frac{8}{21}$ دو کسر دیگرِ بینابین‌اند.

سؤال ۳. آیا عدد $\sqrt{10}$ عضو مجموعه‌ی $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 4\}$ است؟

پاسخ: با تخمین جذر: $9 < 10 < 16$ پس $3 < \sqrt{10} < 4$، یعنی $\sqrt{10}\approx3.16$. چون $-2 \le 3.16 < 4$ برقرار است، بله عضو مجموعه است.

سؤال ۴. کدام‌یک از این عبارت‌ها نتیجه‌ی گویا می‌دهند؟ الف) $\sqrt3+\sqrt3$ ب) $\sqrt3+(5-\sqrt3)$ ج) $\sqrt3\times\sqrt3$ د) $\sqrt3\times\sqrt{12}$

پاسخ:
الف) $2\sqrt3$ — گنگ است، چون گویای ناصفر ضرب در گنگ همیشه گنگ می‌ماند.
ب) $5$ — گویا؛ دو $\sqrt3$ اثر هم را خنثی کردند.
ج) $3$ — گویا.
د) $\sqrt{12}=2\sqrt3$، پس $\sqrt3\times2\sqrt3 = 2\times3 = 6$ — گویا.
تنها گزینه‌ی الف گنگ می‌ماند.

در یک نگاه