توان و ریشه (ریاضی نهم)

ریاضی پایه نهم — فصل ۴، درس اول

توان صحیح

۱. مفاهیم اصلی

۲. توضیح و آموزش

بخش اول — مرور توان‌های طبیعی و صفر

چرا $a^0 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ به الگوی تقسیم نگاه کن:

هر بار که نما یک واحد کم می‌شود، عدد بر پایه تقسیم می‌شود؛ پس $2^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از همین الگو به دست می‌آید.

بخش دوم — توان منفی چیست؟

همان الگو را ادامه می‌دهیم:

نتیجه کلی:

مثال‌ها:

بخش سوم — توان منفی کسر

چون $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مثال: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان منفی کسر = برعکس کردن کسر و مثبت کردن توان.

بخش چهارم — قوانین توان برای اعداد صحیح

این قوانین که قبلاً برای توان‌های طبیعی آشنا بودند، برای همه توان‌های صحیح هم برقرارند:

چرا در ضرب هم‌پایه نماها جمع می‌شوند؟ چون توان‌ها شمارش‌اند؛ وقتی ضرب می‌کنی، شمارش‌ها جمع می‌شوند.

مثال‌ها:

بخش پنجم — مقایسه توان‌ها

پایه یکسان، بزرگ‌تر از ۱: نما بزرگ‌تر ← عدد بزرگ‌تر: $3^5 > 3^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پایه یکسان، بین ۰ و ۱: نما بزرگ‌تر ← عدد کوچک‌تر: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکته مقایسه: وقتی توان‌های منفی داری، ابتدا تبدیل به کسر کن، سپس مقایسه کن.

بخش ششم — نکات خاص درباره علامت

دقت کن: $-(-5)^2 = -25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $(-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. منها قبل از پرانتز با منهای داخل پرانتز فرق دارد.

۳. فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف توان منفی: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(a \neq 0, n \in \mathbb{N})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان منفی کسر: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

همه قوانین توان (برای $m,n \in \mathbb{Z}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $a,b \neq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

الگوریتم ساده‌سازی عبارت توان‌دار:
۱. توان‌های منفی را به کسر تبدیل کن
۲. توان‌های هم‌پایه را ادغام کن (جمع نماها)
۳. توان از توان را ضرب کن
۴. توان ضرب/کسر را توزیع کن
۵. نتیجه را ساده کن

۴. نکات مهم

$0^0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف ندارد — توان صفر فقط برای پایه‌های ناصفر تعریف است.

توان منفی، عدد را منفی نمی‌کند — $2^{-3} = \frac{1}{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نه $-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

$(-a)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $-(a^n)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فرق دارد: $(-3)^2 = 9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-3^2 = -9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

در ضرب هم‌پایه، نماها جمع می‌شوند — نه ضرب: $a^3 \times a^5 = a^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه $a^{15}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قوانین توان فقط برای پایه‌های یکسان در ضرب/تقسیم برقرارند: برای $2^3 \times 3^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید از قانون توان ضرب استفاده کنی: $(2\times3)^3=6^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۵. نکات فراتر از کتاب

توان‌های منفی در علم: جرم الکترون $9.1\times10^{-31}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کیلوگرم؛ طول موج نور مرئی $\approx 5\times10^{-7}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر. $a^{-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «$n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بار تقسیم بر $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی».

ساده‌سازی سریع $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: مستقیماً کسر را برعکس کن و توان را مثبت کن.

پیدا کردن $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در معادلات توانی: $5^x \times 5^{-3} = 5^4 \Rightarrow x-3=4 \Rightarrow x=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ساده‌سازی عبارت‌های چند متغیره (تیزهوشانی):

مقایسه اعداد با پایه متفاوت: همه را به یک پایه تبدیل کن: $16^2=(2^4)^2=2^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $8^4=(2^3)^4=2^{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $2^8<2^{11}<2^{12} \Rightarrow 16^2 < 2^{11} < 8^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۶. اشتباهات رایج دانش‌آموزان

خیلی‌ها فکر می‌کنند توان منفی عدد را منفی می‌کند، ولی در واقع فقط یعنی معکوس کردن: $2^{-3}=\frac{1}{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همچنین در ضرب $a^m\times a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نماها جمع می‌شوند، نه ضرب — ضرب‌کردن نماها فقط در «توان از توان» اتفاق می‌افتد.

۷. نمونه سؤال

سؤال عادی

ساده کن: $\dfrac{2^7 \times 2^{-3}}{2^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پاسخ: $\frac{2^7 \times 2^{-3}}{2^2} = 2^{7-3-2} = 2^2 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

سؤال تیزهوشانی ۱

اگر $2^{x-1} \times 4^2 = 8^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدار $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

پاسخ: همه پایه‌ها را به پایه ۲ می‌بریم: $2^{x-1}\times 2^4 = 2^9 \Rightarrow x+3=9 \Rightarrow x=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال تیزهوشانی ۲ (سخت)

حاصل عبارت $\dfrac{2^{10}+2^{10}+2^{10}+2^{10}}{4^5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کدام است؟

پاسخ: صورت کسر برابر $4\times2^{10}=2^{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و مخرج $4^5=2^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\frac{2^{12}}{2^{10}}=2^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این الگو («چند نسخه از یک توان جمع شده، سپس تقسیم شود») از رایج‌ترین تله‌های تیزهوشانی در این فصل است — اول جمع‌های تکراری را به ضرب تبدیل کن، بعد هم‌پایه کن.

جمع‌بندی

توان صحیح، گسترش توان طبیعی به اعداد صفر و منفی است. هسته مرکزی این درس یک تعریف است: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این تعریف از الگوی تقسیم پی‌درپی به دست می‌آید و تمام قوانین قدیمی توان —ضرب، تقسیم، توان از توان، توان ضرب، توان کسر — برای توان‌های صحیح هم برقرار می‌ماند. دو نکته حیاتی: توان منفی عدد را منفی نمی‌کند، و در ضرب هم‌پایه نماها جمع می‌شوند نه ضرب.

ریاضی پایه نهم — فصل ۴، درس دوم

نماد علمی

۱. مفاهیم اصلی

۲. توضیح و آموزش

بخش اول — چرا نماد علمی؟

با اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک (مثل سرعت نور یا جرم الکترون) کار می‌کنیم؛ نوشتن مستقیم آن‌ها دشوار و پر از خطاست:

بخش دوم — تعریف نماد علمی

شرط کلیدی: $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید دقیقاً یک رقم صحیح داشته باشد (۱ قبول است، ۱۰ قبول نیست).

مثال‌های کتاب:

بخش سوم — چطور عدد را به نماد علمی تبدیل کنیم؟

قانون ممیز: ممیز را آنقدر جابه‌جا کن تا فقط یک رقم صحیح غیرصفر قبل از آن بماند؛ تعداد جابه‌جایی، نما می‌شود.

• عدد بزرگ‌تر از ۱۰: ممیز به چپ می‌رود ← نما مثبت. مثال: $45000 \to 4.5\times10^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (۵ جا به چپ)
• عدد بین ۰ و ۱: ممیز به راست می‌رود ← نما منفی. مثال: $0.0042 \to 4.2\times10^{-4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (۴ جا به راست)

بخش چهارم — از نماد علمی به عدد معمولی

ضرب در $10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ممیز را $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جا به راست ببر. ضرب در $10^{-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ممیز را $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جا به چپ ببر.

مثال: $3.7\times10^4 = 37{,}000 \qquad,\qquad 5.2\times10^{-3}=0.052$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

بخش پنجم — ضرب و تقسیم با نماد علمی

مثال کتاب — فاصله نور در ۱۰ ساعت:

دقت: اگر حاصل‌ضرب ضریب‌ها از ۱۰ بزرگ‌تر شد، باید دوباره به نماد علمی تبدیل کنی.

تقسیم: $\dfrac{a\times10^m}{b\times10^n}=\dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مثال: $\dfrac{1.4\times10^9}{1.3\times10^7} \approx 1.077\times10^2 \approx 107.7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

بخش ششم — مقایسه اعداد با نماد علمی

مرحله ۱: نما را مقایسه کن — نما بزرگ‌تر یعنی عدد بزرگ‌تر. مرحله ۲: اگر نماها برابر بودند، ضریب‌ها را مقایسه کن.

مثال: $9.17\times10^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $6.287\times10^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — چون $10^8>10^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عدد دوم بزرگ‌تر است. هرگز مستقیم اعداد را بدون توجه به نما مقایسه نکن.

۳. فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف: $\boxed{N = a\times10^n,\; 1\leq a<10,\; n\in\mathbb{Z}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ضرب: $(a\times10^m)(b\times10^n)=(a\cdot b)\times10^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

تقسیم: $\dfrac{a\times10^m}{b\times10^n}=\dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

الگوریتم تبدیل به نماد علمی:
۱. ممیز را جابه‌جا کن تا یک رقم صحیح غیرصفر بماند
۲. تعداد جابه‌جایی = مقدار مطلق نما
۳. جهت: ممیز به چپ (عدد بزرگ) ← نما مثبت؛ ممیز به راست (عدد کوچک) ← نما منفی

۴. نکات مهم

شرط اصلی: $1 \leq a < 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — $10\times10^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نماد علمی نیست.

اگر حاصل‌ضرب ضریب‌ها از ۱۰ بیشتر شد، دوباره تبدیل کن: $15\times10^4=1.5\times10^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اگر حاصل تقسیم ضریب‌ها از ۱ کمتر شد، دوباره تبدیل کن: $0.6\times10^7=6\times10^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

در مقایسه، اول نماها را ببین.

ممیز و نما رابطه معکوس دارند: اگر ضریب را ۱۰ برابر کنی، نما باید ۱ واحد کم شود.

۵. نکات فراتر از کتاب

نماد علمی در واقعیت: سرعت نور $3\times10^8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ فاصله زمین تا خورشید $1.5\times10^{11}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ جرم الکترون $9.11\times10^{-31}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

شمارش سریع نما: برای عدد بزرگ، تعداد رقم‌های بعد از اولین رقم = نما؛ برای عدد کوچک، تعداد ارقام از ممیز تا اولین رقم غیرصفر = مقدار مطلق نمای منفی.

پیدا کردن نما وقتی نماد ناقص داده شده: $\square.4\times10^n = 84{,}000 \Rightarrow 84{,}000=8.4\times10^4 \Rightarrow n=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ضرب چند عدد: $(2\times10^{-7})(4\times10^9)=8\times10^2=800$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

تقسیم وقتی حاصل باید نماد علمی شود: $\dfrac{12.5\times10^{-4}}{25\times10^{-19}}=0.5\times10^{15}=5\times10^{14}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

۶. اشتباهات رایج دانش‌آموزان

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر عددی که در ۱۰ ضرب شده نماد علمی است، ولی شرط $1\leq a<10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید دقیقاً برقرار باشد. خیلی‌ها فکر می‌کنند عدد کوچک‌تر از ۱ می‌تواند نمای مثبت داشته باشد، ولی همیشه نمای منفی دارد. خیلی‌ها در مقایسه فقط ضریب‌ها را می‌بینند، ولی اول باید نماها مقایسه شوند.

۷. نمونه سؤال

سؤال عادی

حاصل $\dfrac{4.8 \times 10^7}{1.2 \times 10^4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید.

پاسخ: $\frac{4.8}{1.2} \times 10^{7-4} = 4 \times 10^3 = 4000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

سؤال تیزهوشانی ۱

جرم یک اتم هیدروژن تقریباً $1.67 \times 10^{-24}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گرم است. جرم $2 \times 10^{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اتم چقدر است؟

پاسخ: $1.67 \times 10^{-24} \times 2 \times 10^{6} = 3.34 \times 10^{-18}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گرم

سؤال تیزهوشانی ۲ (سخت)

بدون ماشین‌حساب مشخص کن کدام‌یک بزرگ‌تر است: $\dfrac{9 \times 10^{12}}{3 \times 10^{5}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $2.5 \times 10^{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؟ چند برابر؟

پاسخ: $\frac{9\times10^{12}}{3\times10^5}=3\times10^7=30\times10^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $30>2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عدد اول بزرگ‌تر است؛ دقیقاً $\frac{30}{2.5}=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر.

جمع‌بندی

نماد علمی هر عدد مثبت را به شکل $a \times 10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ($1 \leq a < 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح) می‌نویسد. اعداد بزرگ نمای مثبت و اعداد بین ۰ و ۱ نمای منفی دارند. در ضرب، ضریب‌ها را ضرب و نماها را جمع می‌کنیم؛ در تقسیم، ضریب‌ها را تقسیم و نماها را کم می‌کنیم. نتیجه نهایی همیشه باید شرط $1 \leq a < 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را داشته باشد.

ریاضی پایه نهم — فصل ۴، درس سوم

ریشه‌گیری

۱. مفاهیم اصلی

۲. توضیح و آموزش

بخش اول — ریشه دوم چیست؟

پس هر دو عدد ۳ و $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی «ریشه دوم» عدد ۹ هستند:

ریشه دوم عدد $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عددی است که مربعش برابر $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود.

نماد $\sqrt{\phantom{x}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه ریشه مثبت را نشان می‌دهد. اعداد منفی ریشه دوم ندارند چون هیچ عدد حقیقی‌ای نیست که مربعش منفی شود: $\sqrt{-4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف ندارد.

بخش دوم — رابطه مهم $\sqrt{x^2} = |x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

چون $\sqrt{\phantom{x}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه عدد مثبت می‌دهد، ولی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ممکن است منفی باشد.

مثال: $\sqrt{(2-9)^2} = |2-9| = 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برای $\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چون $\sqrt2\approx1.41>1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $1-\sqrt2<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $|1-\sqrt2|=\sqrt2-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بخش سوم — ریشه سوم چیست؟

ریشه سوم عدد $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عددی است که توان سومش برابر $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود: $\boxed{\sqrt[3]{b}=c \iff c^3=b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

تفاوت مهم با ریشه دوم: ریشه دوم اعداد منفی وجود ندارد؛ ریشه سوم اعداد منفی وجود دارد و منفی است. هر عدد دقیقاً یک ریشه سوم دارد (نه دو تا مثل ریشه دوم).

بخش چهارم — ضرب و تقسیم رادیکال‌ها

ریشه دوم: $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(a,b\geq0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(a\geq0,b>0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ریشه سوم (برای همه اعداد حقیقی): $\sqrt[3]{a\times b}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(b\neq0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مثال‌ها: $\sqrt[3]{-2}\times\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{-8}=-2 \qquad,\qquad \sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{64\times2}=4\sqrt[3]{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قانون ضرب/تقسیم برای جمع/تفریق برقرار نیست: $\sqrt[3]{8+27}\neq\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (طرف چپ $\approx3.27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، طرف راست $=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

بخش پنجم — ساده‌کردن رادیکال‌های ریشه دوم

عدد زیر رادیکال را به ضرب یک مربع کامل و یک عدد دیگر بنویس:

مربع‌های کامل مفید: $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

۳. فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف ریشه دوم: $\sqrt{b} = c \iff c^2 = b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $c \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(b \geq 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

تعریف ریشه سوم: $\sqrt[3]{b} = c \iff c^3 = b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی $(b,c \in \mathbb{R})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

رابطه کلیدی: $\sqrt{x^2} = |x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(\sqrt[3]{x})^3 = x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt[3]{x^3} = x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قوانین ضرب و تقسیم: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

الگوریتم ساده‌کردن $\sqrt{n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ۱) $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به ضرب عوامل اول بنویس ۲) جفت‌ها را از رادیکال بیرون بیاور ۳) باقی‌مانده زیر رادیکال بماند. مثال: $\sqrt{72}=\sqrt{4\times9\times2}=6\sqrt{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

۴. نکات مهم

$\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط عدد مثبت است — برای ریشه منفی باید $-\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویسی.

اعداد منفی ریشه دوم ندارند.

$\sqrt{x^2} = |x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — اشتباه‌ترین نکته در ریشه‌گیری.

ریشه سوم اعداد منفی وجود دارد و منفی است: $\sqrt[3]{-27} = -3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قانون ضرب فقط برای ضرب و تقسیم است، نه جمع و تفریق: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

$(\sqrt[3]{a})^3 = a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه برقرار است — حتی برای $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی.

۵. نکات فراتر از کتاب

ریشه و توان رابطه معکوس دارند: $\sqrt{a}=a^{1/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt[3]{a}=a^{1/3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (کامل می‌شود در دبیرستان).

حذف رادیکال با توان: $(\sqrt{a})^2=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(\sqrt[3]{a})^3=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در ساده‌کردن عبارت‌های پیچیده کاربرد دارد.

رابطه $(-x)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و رادیکال: $\sqrt{(-x)^2}=|-x|=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\sqrt{(-x)^2}=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط وقتی $x\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است.

مساحت و حجم مکعب (تیزهوشانی): اگر مساحت کل یک مکعب $96a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $6\ell^2=96a^2\Rightarrow \ell=4a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس حجم $=(4a)^3=64a^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مقایسه رادیکال‌ها بدون حساب: برای مقایسه دو ریشه هم‌درجه، هر دو را به توان درجه ریشه برسان، سپس مقایسه کن. مثال: $\sqrt[3]{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در برابر $2^3=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← $\sqrt[3]{9}>2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۶. اشتباهات رایج دانش‌آموزان

خیلی‌ها فکر می‌کنند $\sqrt{x^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه برابر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، ولی در واقع $\sqrt{x^2}=|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. خیلی‌ها فکر می‌کنند ریشه‌ی سوم هم مثل ریشه‌ی دوم برای اعداد منفی تعریف ندارد، ولی ریشه‌ی سوم برای همه‌ی اعداد حقیقی تعریف دارد.

۷. نمونه سؤال

سؤال عادی

اگر $x = -4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدار $\sqrt{x^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt[3]{x^3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جداگانه به دست آورید.

پاسخ: $\sqrt{x^2} = \sqrt{16} = 4 = |x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و $\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{-64} = -4 = x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این تفاوت دقیقاً همان نکته‌ی کلیدی درس است.

سؤال تیزهوشانی ۱

اگر $2 < x < 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عبارت $\sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x-5)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کنید.

پاسخ: چون $x>2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{(x-2)^2}=x-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $x<5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{(x-5)^2}=5-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جمع = $(x-2)+(5-x)=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. نتیجه به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی ندارد.

سؤال تیزهوشانی ۲ (سخت، هندسی)

در یک مثلث قائم‌الزاویه، دو ضلع زاویه‌ی قائمه برابر $\sqrt{18}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{32}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر هستند. طول وتر را بیابید.

پاسخ: $\sqrt{18}=3\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\sqrt{32}=4\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبق فیثاغورس: $\text{وتر}^2=18+32=50 \Rightarrow \text{وتر}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این مثلث همان مثلث ۳-۴-۵ است که همه‌ی اضلاعش در $\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب شده‌اند.

جمع‌بندی

ریشه‌گیری عملیات معکوس توان است. ریشه دوم $\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه مثبت است و فقط برای $b \geq 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف دارد؛ هر عدد مثبت دقیقاً دو ریشه دوم دارد: $\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ریشه سوم $\sqrt[3]{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای همه اعداد حقیقی (از جمله منفی‌ها) تعریف دارد و هر عدد دقیقاً یک ریشه سوم دارد. کلیدی‌ترین رابطه این درس $\sqrt{x^2} = |x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. قانون ضرب و تقسیم رادیکال‌ها محاسبات را ساده می‌کند، اما برای جمع و تفریق چنین قانونی وجود ندارد.

ریاضی پایه نهم — فصل ۴، درس چهارم

جمع و تفریق رادیکال‌ها

۱. مفاهیم اصلی

۲. توضیح و آموزش

بخش اول — منطق جمع و تفریق رادیکال‌ها

همان‌طور که در جبر فقط جملات مشابه با هم جمع می‌شوند ($3x+7y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساده‌تر نمی‌شود)، برای رادیکال‌ها هم همین منطق برقرار است — رادیکال را مثل یک «واحد» در نظر بگیر:

شرط جمع و تفریق: قسمت رادیکالی (عدد زیر ریشه و درجه ریشه) باید کاملاً یکسان باشد.

بخش دوم — مثال اصلی کتاب (مربع با قطر $2\sqrt{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)

اگر ضلع مربع $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، طبق فیثاغورس: $x^2+x^2=(2\sqrt6)^2 \Rightarrow 2x^2=24 \Rightarrow x^2=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس مساحت $=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مترمربع و ضلع $x=\sqrt{12}=2\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر؛ محیط $=4x=8\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر.

بخش سوم — قانون جمع و تفریق رادیکال‌های هم‌شکل

مثال با ساده‌سازی اولیه: $\sqrt{12}+9\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: چون $\sqrt{12}=2\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم $2\sqrt3+9\sqrt3=11\sqrt3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

بخش چهارم — ساده‌کردن رادیکال‌ها (پیش‌نیاز جمع و تفریق)

برای ریشه دوم: دنبال بزرگ‌ترین مربع کامل بگرد: $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

برای ریشه سوم: دنبال بزرگ‌ترین مکعب کامل بگرد: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مربع‌های کامل مفید: $4,9,16,25,36,49,64,81,100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی | مکعب‌های کامل مفید: $8,27,64,125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

بخش پنجم — مثال‌های جمع و تفریق با ساده‌سازی

مثال ۱ (کتاب): $\sqrt{72} - \sqrt{32} + \sqrt{18}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مثال ۲ (کتاب): $\sqrt{48}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — روش سریع‌تر: ابتدا ساده‌سازی سپس ضرب:

مثال ۳ (کتاب): $(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}) \div \sqrt{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

بخش ششم — گویا کردن مخرج کسرها

تقسیم بر رادیکال سخت است؛ صورت و مخرج را در همان رادیکال مخرج ضرب می‌کنیم تا زیر رادیکال به توان کامل برسد:

چون $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و ضرب در ۱ مقدار کسر را عوض نمی‌کند.

جدول مثال‌های کتاب:

برای گویا کردن مخرج ریشه سوم: به قدر کافی ضرب کن تا توان زیر ریشه به ۳ برسد: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[3]4}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $\sqrt[3]2\times\sqrt[3]4=\sqrt[3]8=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.