خط و معادله های خطی (نهم)

خط و معادله های خطی (نهم)

این مبحث سه بخش دارد و هر بخش پایهٔ بخشِ بعدی است: نخست معادلهٔ خط و رسمِ آن، بعد شیب و عرض از مبدأ، و در پایان دستگاهِ دو معادلهٔ دو مجهولی. همهٔ فصل حولِ یک ایده می‌چرخد: رابطهٔ خطی بینِ دو کمیت را می‌توان هم با معادله نوشت و هم با یک خطِ راست رسم کرد.

معادلهٔ خط و جواب‌هایش

معادله با دو متغیر معادله‌ای است که دو مجهولِ $x$ و $y$ دارد، مثلِ $x+y=10$ یا $y=2x-1$ یا $3x-4y=12$. چنین معادله‌ای بی‌شمار جواب دارد: به ازایِ هر مقداری که به $x$ بدهی، یک $y$ متناظر پیدا می‌شود.

هر جواب یک زوجِ مرتب $(x,y)$ است — اول طول، بعد عرض. وقتی همهٔ زوج‌هایِ جوابِ معادله‌ای به شکلِ زیر را رویِ دستگاهِ مختصات رسم کنیم، همه رویِ یک خطِ راست می‌افتند:

در این فرم، $a$ ضریبِ $x$ (شیبِ خط) و $b$ عددِ ثابت است.

چرا خطِ راست می‌شود؟ چون رابطه خطی است: هر یک واحد افزایش در $x$، مقدارِ ثابتی به $y$ اضافه می‌کند. برایِ مقایسه، $y=x^2$ خطی نیست — وقتی $x$ از $1$ به $2$ می‌رود $y$ سه واحد زیاد می‌شود، ولی از $2$ به $3$، پنج واحد. تغییرات یکسان نیست، پس نمودارش خط نمی‌شود.

اگر $b=0$ باشد معادله به شکلِ $y=ax$ درمی‌آید و خط همیشه از مبدأ $(0,0)$ می‌گذرد، چون با $x=0$ همیشه $y=0$ می‌شود.

توجه: این‌ها معادله‌اند، نه اتحاد. اتحاد برایِ همهٔ مقادیر درست است، ولی $x+y=10$ فقط برایِ زوج‌هایِ خاصی درست است — مثلاً $x=2,\ y=5$ در آن صدق نمی‌کند چون $2+5=7\neq10$.

رسمِ خط و پیدا کردنِ نقطه‌ها

از نظرِ هندسی دو نقطه برایِ تعیینِ یکتایِ یک خط کافی است (نقطهٔ سوم فقط برایِ کنترلِ خطایِ محاسباتی مفید است). ساده‌ترین انتخاب هم همان محلِ برخورد با محورهاست:

مثال برایِ $y=5x+1$: با $x=0$ نقطهٔ $(0,1)$، و با $y=0$ از $5x+1=0$ نقطهٔ $\left(-\frac{1}{5},0\right)$.

آیا نقطه‌ای رویِ خط است؟ هر دو مختصاتش را در معادله بگذار؛ اگر دو طرف برابر شدند، رویِ خط است. مثلاً $(2,-1)$ رویِ $y=\frac{1}{2}x+4$ نیست، چون $\frac{1}{2}(2)+4=5$ و $5\neq-1$.

اگر فقط طولِ نقطه معلوم باشد، $x$ را جای‌گذاری کن و $y$ را حساب کن؛ اگر عرضش معلوم باشد، $y$ را بگذار و معادله را برایِ $x$ حل کن.

شیب: تندی و جهتِ خط

شیب می‌گوید به ازایِ هر یک واحد حرکت به راست، $y$ چقدر تغییر می‌کند. با دو نقطهٔ $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$:

• $a>0$: خط صعودی است ↗
• $a<0$: خط نزولی است ↘
• هرچه قدرمطلقِ $a$ بزرگ‌تر، خط تندتر
• $y=x$ دقیقاً زاویهٔ ۴۵ درجه می‌سازد

چرا شیب رویِ کلِ خط ثابت است؟ چون مثلث‌هایِ قائم‌الزاویه‌ای که با نقاطِ مختلفِ یک خط می‌سازیم متشابه‌اند و نسبتِ اضلاعِ متناظرشان برابر است. پس هر دو نقطه‌ای انتخاب کنی، همان عدد درمی‌آید — یعنی می‌توانی راحت‌ترین نقاط را انتخاب کنی.

عرض از مبدأ ($b$) همان مقدارِ $y$ در $x=0$ است، یعنی خط محورِ $y$ را در نقطهٔ $(0,b)$ قطع می‌کند. سه خطِ $y=2x-1$، $y=2x$ و $y=2x+3$ شیبِ یکسان دارند، پس موازی‌اند و فقط ارتفاعشان فرق می‌کند.

رسم با روشِ شیب-نقطه: برایِ $y=2x-1$، اول نقطهٔ $(0,-1)$ را بگذار، بعد چون شیب $2=\frac{2}{1}$ است، یک واحد به راست و دو واحد به بالا برو تا به $(1,1)$ برسی و دو نقطه را وصل کن. اگر شیب $\frac{3}{2}$ باشد یعنی دو واحد راست و سه واحد بالا.

دو حالتِ ویژه و شکلِ کلی

خطِ افقی $y=c$: موازیِ محورِ $x$هاست و شیبش صفر است (هیچ تغییری در $y$ نیست).

خطِ قائم $x=c$: موازیِ محورِ $y$هاست و شیب تعریف ندارد، چون در فرمولِ شیب مخرج صفر می‌شود:

این دو را با هم اشتباه نگیر: شیبِ صفر یعنی خطِ افقی، نداشتنِ شیب یعنی خطِ قائم.

شکلِ کلی: هر خطی را می‌توان به‌صورتِ $ax+by=c$ نوشت — این فرم شاملِ خطِ قائم هم هست (که $y=ax+b$ نمی‌تواند نشانش دهد). خط از مبدأ می‌گذرد اگر و فقط اگر $c=0$ باشد.

میان‌برِ مهم: شیبِ خطِ $ax+by=c$ بدونِ هیچ تبدیلی برابر است با:

مثلاً برایِ $3x-2y=6$ شیب برابرِ $-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2}$ است. اگر بخواهی کامل تبدیل کنی هم می‌شود $y=\frac{3}{2}x-3$، پس عرض از مبدأ $-3$ است.

جدولِ سریع برایِ تشخیصِ شکلِ خط از رویِ علامت‌ها:

همچنین هر چه زاویهٔ خط با جهتِ مثبتِ محورِ $x$ به ۹۰ درجه نزدیک‌تر شود، شیب بزرگ‌تر می‌شود؛ و در دقیقاً ۹۰ درجه شیب دیگر تعریف نمی‌شود. خطِ $y=0$ خودِ محورِ $x$هاست و خطِ $x=0$ خودِ محورِ $y$ها.

نوشتنِ معادلهٔ خط

با شیب و یک نقطه: در $y=ax+b$ شیب را بگذار، مختصاتِ نقطه را وارد کن و $b$ را پیدا کن. مثلاً خطی با شیبِ $2$ که از $(3,-1)$ می‌گذرد: $-1=2(3)+b$، پس $b=-7$ و معادله $y=2x-7$ است.

با دو نقطه: اول شیب را با فرمول حساب کن، بعد مثلِ بالا $b$ را پیدا کن. برایِ نقاطِ $(4,-1)$ و $(3,2)$:

موازی با یک خطِ داده‌شده: شیبِ آن خط را بگیر و با نقطهٔ عبور، $b$ را پیدا کن.

موازی با محورها: خطِ موازیِ محورِ $x$ که از $(p,q)$ می‌گذرد $y=q$ است، و خطِ موازیِ محورِ $y$ همان $x=p$.

عمود بودن (فراتر از کتاب، ولی در تیزهوشان پرتکرار): دو خط عمودند اگر $a_1\times a_2=-1$. مثلاً عمودِ خطی با شیبِ $\frac{2}{3}$ شیبِ $-\frac{3}{2}$ دارد. در شکلِ کلی، همین شرط ساده‌تر می‌شود به $a_1a_2+b_1b_2=0$. مثلاً $2x+3y=6$ و $3x-2y=4$ عمودند، چون $(2)(3)+(3)(-2)=0$.

معنایِ فیزیکیِ شیب: در نمودارِ مسافت-زمان، شیب همان سرعت است؛ در نمودارِ سرعت-زمان، شیب همان شتاب.

دستگاهِ دو معادلهٔ دو مجهولی

دستگاه یعنی دو معادله که باید همزمان برقرار باشند، و جوابِ دستگاه زوجِ مرتبی است که در هر دو صدق کند. از نظرِ هندسی، جواب همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است.

روشِ ترسیمی: هر دو خط را رسم کن و نقطهٔ برخورد را بخوان. ساده و شهودی است، اما اگر جواب کسری باشد خواندنِ دقیقش از نمودار سخت می‌شود.

روشِ حذفی بر این ایده بنا شده که اگر $A=B$ و $C=D$، آنگاه $A+C=B+D$ — مثلِ ترکیبِ دو ترازویِ متعادل. مراحل:
۱) مجهولی را برایِ حذف انتخاب کن (آن‌که کمترین ضرب لازم دارد)؛
۲) اگر لازم بود یکی یا هر دو معادله را ضرب کن تا ضریبِ آن مجهول قدرمطلقِ مساوی پیدا کند؛
۳) اگر علامت‌ها یکسان بود تفریق کن، اگر مخالف بود جمع کن؛
۴) معادلهٔ یک‌مجهولی را حل کن و مقدار را جای‌گذاری کن؛
۵) جواب را در هر دو معادلهٔ اولیه بررسی کن.

نمونه: در دستگاهِ $3x-5y=1$ و $2x+3y=7$، اولی را در $2$ و دومی را در $3$ ضرب می‌کنیم تا هر دو $6x$ شوند؛ با تفریق به $-19y=-19$ یعنی $y=1$ و سپس $x=2$ می‌رسیم.

روشِ جایگزینی: از آسان‌ترین معادله یک مجهول را جدا کن و در معادلهٔ دیگر جای‌گذاری کن. مثلاً از $3x-y=6$ داریم $y=3x-6$؛ با گذاشتنِ آن در $2x+3y=8$ می‌رسیم به $11x=26$.

نکتهٔ اجرایی: پیش از انتخابِ روش، معادله‌ها را ساده کن. مثلاً $2(x-y)+3y=4$ در واقع همان $2x+y=4$ است.

سه نمونهٔ کوتاه از حذفی، برایِ سه حالتِ متفاوت:

اگر ضرایبِ یک مجهول قرینه باشند، مستقیم جمع کن: از $x-y=1$ و $x+y=3$ با جمع می‌رسیم به $2x=4$، پس $x=2$ و $y=1$.

اگر ضرایب یکسان باشند، تفریق کن: از $3x+2y=50$ و $2x+2y=35$ با تفریق می‌ماند $x=15$ و بعد $y=2.5$.

اگر هیچ‌کدام برابر نباشند، یکی را ضرب کن: از $x-y=3$ و $4x+2y=6$، اولی را در $2$ ضرب کن تا $2x-2y=6$ شود؛ حالا با جمع $6x=12$ و $x=2$، سپس $y=-1$.

نمونهٔ جایگزینی: در دستگاهِ $2x-3y=5$ و $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$، معادلهٔ دوم از قبل $y$ را بیان کرده؛ با جای‌گذاری در اولی: $2x-3\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)=5$ که می‌شود $2x-x+1=5$، پس $x=4$ و $y=1$.

سه حالتِ ممکن برایِ دستگاه

اگر هر دو معادله را به شکلِ $y=a_1x+b_1$ و $y=a_2x+b_2$ بنویسی:

همین را در فرمِ $a_1x+b_1y=c_1$ و $a_2x+b_2y=c_2$ می‌توان با نسبت‌ها تشخیص داد: اگر $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ یک جواب دارد؛ اگر $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ بی‌جواب است؛ و اگر هر سه نسبت برابر باشند، بی‌شمار جواب دارد.

در حینِ حل هم می‌فهمی: اگر به $0=0$ رسیدی یعنی بی‌شمار جواب (دو خطِ منطبق)، و اگر به چیزی مثلِ $0=9$ رسیدی یعنی تناقض و دستگاه جواب ندارد. رسیدن به $0=0$ اشتباهِ محاسباتی نیست؛ یک نتیجهٔ کاملاً معتبر است.

مسئله‌هایِ کلامی

مراحل: ۱) متغیرها را با واحد و معنایِ دقیق تعریف کن؛ ۲) از هر شرطِ مسئله یک معادله بنویس (از ساده‌ترین شرط شروع کن)؛ ۳) دستگاه را حل کن؛ ۴) جواب را با شرط‌هایِ واقعیِ مسئله بسنج (تعدادِ حیوان که منفی نمی‌شود)؛ ۵) پاسخ را با واحد بنویس.

نمونهٔ کلاسیک: در مزرعه‌ای ۲۰ شترمرغ و گاو هست و مجموعِ پاها ۵۶ تاست. با $x$ = تعدادِ شترمرغ (۲ پا) و $y$ = تعدادِ گاو (۴ پا): از $x+y=20$ و $2x+4y=56$ به $y=8$ و $x=12$ می‌رسیم.

چند سوءتفاهمِ مفهومی

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر معادله‌ای باید یک جوابِ مشخص داشته باشد؛ ولی در واقع معادله‌ای مثلِ $x+y=10$ بی‌شمار جواب دارد، چون به ازایِ هر $x$ دلخواه یک $y$ متناظر هست.

خیلی‌ها فکر می‌کنند شیب حتماً باید مثبت باشد؛ ولی در واقع شیب می‌تواند منفی (خطِ نزولی)، صفر (خطِ افقی) یا تعریف‌نشده (خطِ قائم) باشد.

خیلی‌ها فکر می‌کنند کافی است شیبِ دو خط «نزدیک به هم» باشد تا موازی حساب شوند؛ ولی در واقع باید دقیقاً برابر باشند، وگرنه آن دو خط هرچقدر هم دیر، بالاخره جایی همدیگر را قطع می‌کنند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند دستگاه همیشه یک جواب دارد؛ ولی در واقع هر سه حالتِ متقاطع، موازی و منطبق کاملاً طبیعی‌اند و حالتِ چهارمی وجود ندارد.

ارتباط با مباحثِ بعدی

در ریاضیِ دهم همین مفهومِ شیب با فرمولِ رسمی و شرطِ عمود بودنِ خط‌ها بسط داده می‌شود، دستگاه‌هایِ سه معادله سه مجهولی مطرح می‌شوند، و در فیزیک هم دو رابطهٔ فیزیکی را دقیقاً با همین روش‌ها همزمان حل می‌کنند. حتی نقطهٔ تعادلِ عرضه و تقاضا در اقتصاد، همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است.

اشتباه‌هایِ رایج

• جابه‌جا نوشتنِ زوجِ مرتب؛ همیشه اول طول ($x$) بعد عرض ($y$). برخوردِ $y=-3$ و $x=2$ نقطهٔ $(2,-3)$ است، نه $(-3,2)$.
• گمان کردن که $b$ محلِ برخورد با محورِ $x$ است؛ $b$ مربوط به محورِ $y$ است.
• وارونه نوشتنِ فرمولِ شیب ($\frac{\Delta x}{\Delta y}$) یا ناهم‌ترتیب تفریق کردن؛ صورت و مخرج باید هر دو با یک ترتیب باشند.
• شیبِ خطِ $x=3$ را صفر گفتن؛ این خط اصلاً شیب ندارد.
• در تبدیلِ $ax+by=c$، تقسیمِ ناقص: از $3x-2y=6$ نتیجه $y=3x-6$ گرفتن، در حالی که درستش $y=\frac{3}{2}x-3$ است. وقتی بر عددِ منفی تقسیم می‌کنی، علامتِ همهٔ جمله‌ها برمی‌گردد.
• در حذفی، ضرب کردنِ فقط یک طرفِ معادله؛ همهٔ جمله‌هایِ هر دو طرف باید ضرب شوند.
• در جایگزینی، برگرداندنِ بیانِ یک مجهول به همان معادله‌ای که از آن آمده؛ باید در معادلهٔ دیگر جای‌گذاری شود.
• نتیجه‌گیریِ غلط از $0=0$ (بی‌شمار جواب) و $0=c$ (بی‌جواب).
• خطا در بازکردنِ پرانتزِ منفی: $-(x-y)=-x+y$، نه $-x-y$.
• فرضِ اینکه هر معادله‌ای با $x$ و $y$ خط می‌سازد؛ $y=x^2$ سهمی است، نه خط.

نمونه سؤال

سؤال ۱: شیب و عرض از مبدأِ خطِ $4x+2y=10$ را پیدا کنید.

پاسخ: معادله را برایِ $y$ حل می‌کنیم: $2y=-4x+10$، پس $y=-2x+5$. بنابراین شیب $=-2$ و عرض از مبدأ $=5$ است. (کنترل با میان‌بر: $-\frac{a}{b}=-\frac{4}{2}=-2$ ✓)

سؤال ۲: خطِ $y=-2x+8$ با دو محورِ مختصات یک مثلثِ قائم‌الزاویه می‌سازد. مساحتِ آن چقدر است؟

پاسخ: برخورد با محورِ $y$: با $x=0$ نقطهٔ $(0,8)$. برخورد با محورِ $x$: از $-2x+8=0$ نقطهٔ $(4,0)$. این دو نقطه با مبدأ مثلثی قائم‌الزاویه می‌سازند که دو ضلعِ عمود بر همش $8$ و $4$ است:

سؤال ۳: برایِ چه مقداری از $k$، دستگاهِ زیر جواب ندارد؟

پاسخ: معادلهٔ اول را در $2$ ضرب می‌کنیم: $6x+2ky=20$. حالا معادلهٔ دوم را از آن کم می‌کنیم:

برایِ اینکه دستگاه جواب نداشته باشد باید ضریبِ $y$ صفر شود ولی طرفِ راست صفر نماند، یعنی به تناقضی مثلِ $0=2$ برسیم. پس $2k-4=0$ و $k=2$.

سؤال ۴: دوچرخه‌سواری در لحظهٔ $t=0$ در فاصلهٔ ۲ کیلومتری از خانه است و با سرعتِ ثابت دور می‌شود؛ پس از ۳ ساعت به فاصلهٔ ۱۴ کیلومتری می‌رسد. (الف) معادلهٔ فاصله بر حسبِ زمان را بنویسید. (ب) سرعتش چقدر است؟ (ج) کِی به ۲۰ کیلومتری می‌رسد؟

پاسخ: (الف) در $t=0$ فاصله ۲ است، پس $b=2$. با نقطهٔ $(3,14)$: از $14=3a+2$ داریم $a=4$، پس $y=4x+2$. (ب) در نمودارِ فاصله-زمان شیب همان سرعت است: ۴ کیلومتر بر ساعت. (ج) از $20=4x+2$ داریم $x=4.5$ ساعت.

سؤال ۵ (کلامی): مجموعِ سنِ پدر و پسر ۴۴ سال است. ۸ سالِ دیگر، سنِ پدر دو برابرِ سنِ پسر خواهد بود. سنِ هرکدام اکنون چقدر است؟

پاسخ: با $f$ = سنِ پدر و $s$ = سنِ پسر:

از معادلهٔ دوم: $f+8=2s+16$، پس $f=2s+8$. جای‌گذاری در اولی: $(2s+8)+s=44$، یعنی $3s=36$ و $s=12$، پس $f=32$. بررسی: ۸ سالِ دیگر پدر ۴۰ و پسر ۲۰ ساله می‌شود و $40=2\times20$ ✓

سؤال ۶ (ترکیبی): دو خطِ $y=-x+8$ و $y=2x-4$ با محورِ $x$ها یک مثلث می‌سازند. مساحتِ این مثلث چقدر است؟

پاسخ: برخوردِ خطِ اول با محورِ $x$: از $0=-x+8$ نقطهٔ $(8,0)$. برخوردِ خطِ دوم: از $0=2x-4$ نقطهٔ $(2,0)$. محلِ برخوردِ دو خط با هم: $-x+8=2x-4$، پس $3x=12$ و $x=4$، و $y=4$ یعنی نقطهٔ $(4,4)$. سه رأسِ مثلث $(8,0)$، $(2,0)$ و $(4,4)$ هستند؛ قاعده رویِ محورِ $x$ برابرِ $8-2=6$ و ارتفاع برابرِ $4$ است:

جمع‌بندی

سه چیز را اگر محکم بلد باشی، بیشترِ سؤال‌هایِ این فصل حل می‌شود: اینکه $b$ محلِ برخورد با محورِ $y$ است، اینکه شیب همان نسبتِ تغییرِ $y$ به تغییرِ $x$ است و رویِ کلِ خط ثابت می‌ماند، و اینکه جوابِ دستگاه دقیقاً همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است — پس موازی بودنِ دو خط یعنی بی‌جوابی، و منطبق بودنشان یعنی بی‌شمار جواب.