خط و معادله‌های خطی (ریاضی نهم)

خط و معادله های خطی (نهم)

این مبحث سه بخش دارد و هر بخش پایهٔ بخشِ بعدی است: نخست معادلهٔ خط و رسمِ آن، بعد شیب و عرض از مبدأ، و در پایان دستگاهِ دو معادلهٔ دو مجهولی. همهٔ فصل حولِ یک ایده می‌چرخد: رابطهٔ خطی بینِ دو کمیت را می‌توان هم با معادله نوشت و هم با یک خطِ راست رسم کرد.

معادلهٔ خط و جواب‌هایش

معادله با دو متغیر معادله‌ای است که دو مجهولِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد، مثلِ $x+y=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $y=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $3x-4y=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چنین معادله‌ای بی‌شمار جواب دارد: به ازایِ هر مقداری که به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدهی، یک $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناظر پیدا می‌شود.

هر جواب یک زوجِ مرتب $(x,y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است — اول طول، بعد عرض. وقتی همهٔ زوج‌هایِ جوابِ معادله‌ای به شکلِ زیر را رویِ دستگاهِ مختصات رسم کنیم، همه رویِ یک خطِ راست می‌افتند:

در این فرم، $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضریبِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (شیبِ خط) و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عددِ ثابت است.

چرا خطِ راست می‌شود؟ چون رابطه خطی است: هر یک واحد افزایش در $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدارِ ثابتی به $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه می‌کند. برایِ مقایسه، $y=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خطی نیست — وقتی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه واحد زیاد می‌شود، ولی از $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پنج واحد. تغییرات یکسان نیست، پس نمودارش خط نمی‌شود.

اگر $b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد معادله به شکلِ $y=ax$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درمی‌آید و خط همیشه از مبدأ $(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد، چون با $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

توجه: این‌ها معادله‌اند، نه اتحاد. اتحاد برایِ همهٔ مقادیر درست است، ولی $x+y=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برایِ زوج‌هایِ خاصی درست است — مثلاً $x=2,\ y=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در آن صدق نمی‌کند چون $2+5=7\neq10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

رسمِ خط و پیدا کردنِ نقطه‌ها

از نظرِ هندسی دو نقطه برایِ تعیینِ یکتایِ یک خط کافی است (نقطهٔ سوم فقط برایِ کنترلِ خطایِ محاسباتی مفید است). ساده‌ترین انتخاب هم همان محلِ برخورد با محورهاست:

مثال برایِ $y=5x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(0,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و با $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از $5x+1=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $\left(-\frac{1}{5},0\right)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

آیا نقطه‌ای رویِ خط است؟ هر دو مختصاتش را در معادله بگذار؛ اگر دو طرف برابر شدند، رویِ خط است. مثلاً $(2,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رویِ $y=\frac{1}{2}x+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، چون $\frac{1}{2}(2)+4=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $5\neq-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر فقط طولِ نقطه معلوم باشد، $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جای‌گذاری کن و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کن؛ اگر عرضش معلوم باشد، $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بگذار و معادله را برایِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حل کن.

شیب: تندی و جهتِ خط

شیب می‌گوید به ازایِ هر یک واحد حرکت به راست، $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر تغییر می‌کند. با دو نقطهٔ $A(x_1,y_1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B(x_2,y_2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

• $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: خط صعودی است ↗
• $a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: خط نزولی است ↘
• هرچه قدرمطلقِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بزرگ‌تر، خط تندتر
• $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً زاویهٔ ۴۵ درجه می‌سازد

چرا شیب رویِ کلِ خط ثابت است؟ چون مثلث‌هایِ قائم‌الزاویه‌ای که با نقاطِ مختلفِ یک خط می‌سازیم متشابه‌اند و نسبتِ اضلاعِ متناظرشان برابر است. پس هر دو نقطه‌ای انتخاب کنی، همان عدد درمی‌آید — یعنی می‌توانی راحت‌ترین نقاط را انتخاب کنی.

عرض از مبدأ ($b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) همان مقدارِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی خط محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در نقطهٔ $(0,b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قطع می‌کند. سه خطِ $y=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $y=2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=2x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیبِ یکسان دارند، پس موازی‌اند و فقط ارتفاعشان فرق می‌کند.

رسم با روشِ شیب-نقطه: برایِ $y=2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اول نقطهٔ $(0,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بگذار، بعد چون شیب $2=\frac{2}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یک واحد به راست و دو واحد به بالا برو تا به $(1,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برسی و دو نقطه را وصل کن. اگر شیب $\frac{3}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد یعنی دو واحد راست و سه واحد بالا.

دو حالتِ ویژه و شکلِ کلی

خطِ افقی $y=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: موازیِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییهاست و شیبش صفر است (هیچ تغییری در $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست).

خطِ قائم $x=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: موازیِ محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییهاست و شیب تعریف ندارد، چون در فرمولِ شیب مخرج صفر می‌شود:

این دو را با هم اشتباه نگیر: شیبِ صفر یعنی خطِ افقی، نداشتنِ شیب یعنی خطِ قائم.

شکلِ کلی: هر خطی را می‌توان به‌صورتِ $ax+by=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت — این فرم شاملِ خطِ قائم هم هست (که $y=ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نمی‌تواند نشانش دهد). خط از مبدأ می‌گذرد اگر و فقط اگر $c=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

میان‌برِ مهم: شیبِ خطِ $ax+by=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدونِ هیچ تبدیلی برابر است با:

مثلاً برایِ $3x-2y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیب برابرِ $-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر بخواهی کامل تبدیل کنی هم می‌شود $y=\frac{3}{2}x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس عرض از مبدأ $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

جدولِ سریع برایِ تشخیصِ شکلِ خط از رویِ علامت‌ها:

همچنین هر چه زاویهٔ خط با جهتِ مثبتِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به ۹۰ درجه نزدیک‌تر شود، شیب بزرگ‌تر می‌شود؛ و در دقیقاً ۹۰ درجه شیب دیگر تعریف نمی‌شود. خطِ $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خودِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییهاست و خطِ $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خودِ محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها.

نوشتنِ معادلهٔ خط

با شیب و یک نقطه: در $y=ax+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیب را بگذار، مختصاتِ نقطه را وارد کن و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کن. مثلاً خطی با شیبِ $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از $(3,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد: $-1=2(3)+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $b=-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و معادله $y=2x-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

با دو نقطه: اول شیب را با فرمول حساب کن، بعد مثلِ بالا $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کن. برایِ نقاطِ $(4,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(3,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

موازی با یک خطِ داده‌شده: شیبِ آن خط را بگیر و با نقطهٔ عبور، $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کن.

موازی با محورها: خطِ موازیِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که از $(p,q)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گذرد $y=q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و خطِ موازیِ محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان $x=p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

عمود بودن (فراتر از کتاب، ولی در تیزهوشان پرتکرار): دو خط عمودند اگر $a_1\times a_2=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً عمودِ خطی با شیبِ $\frac{2}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شیبِ $-\frac{3}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد. در شکلِ کلی، همین شرط ساده‌تر می‌شود به $a_1a_2+b_1b_2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثلاً $2x+3y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3x-2y=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عمودند، چون $(2)(3)+(3)(-2)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

معنایِ فیزیکیِ شیب: در نمودارِ مسافت-زمان، شیب همان سرعت است؛ در نمودارِ سرعت-زمان، شیب همان شتاب.

دستگاهِ دو معادلهٔ دو مجهولی

دستگاه یعنی دو معادله که باید همزمان برقرار باشند، و جوابِ دستگاه زوجِ مرتبی است که در هر دو صدق کند. از نظرِ هندسی، جواب همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است.

روشِ ترسیمی: هر دو خط را رسم کن و نقطهٔ برخورد را بخوان. ساده و شهودی است، اما اگر جواب کسری باشد خواندنِ دقیقش از نمودار سخت می‌شود.

روشِ حذفی بر این ایده بنا شده که اگر $A=B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C=D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، آنگاه $A+C=B+D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مثلِ ترکیبِ دو ترازویِ متعادل. مراحل:
۱) مجهولی را برایِ حذف انتخاب کن (آن‌که کمترین ضرب لازم دارد)؛
۲) اگر لازم بود یکی یا هر دو معادله را ضرب کن تا ضریبِ آن مجهول قدرمطلقِ مساوی پیدا کند؛
۳) اگر علامت‌ها یکسان بود تفریق کن، اگر مخالف بود جمع کن؛
۴) معادلهٔ یک‌مجهولی را حل کن و مقدار را جای‌گذاری کن؛
۵) جواب را در هر دو معادلهٔ اولیه بررسی کن.

نمونه: در دستگاهِ $3x-5y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x+3y=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اولی را در $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دومی را در $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌کنیم تا هر دو $6x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شوند؛ با تفریق به $-19y=-19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سپس $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم.

روشِ جایگزینی: از آسان‌ترین معادله یک مجهول را جدا کن و در معادلهٔ دیگر جای‌گذاری کن. مثلاً از $3x-y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $y=3x-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با گذاشتنِ آن در $2x+3y=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم به $11x=26$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکتهٔ اجرایی: پیش از انتخابِ روش، معادله‌ها را ساده کن. مثلاً $2(x-y)+3y=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در واقع همان $2x+y=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

سه نمونهٔ کوتاه از حذفی، برایِ سه حالتِ متفاوت:

اگر ضرایبِ یک مجهول قرینه باشند، مستقیم جمع کن: از $x-y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x+y=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با جمع می‌رسیم به $2x=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر ضرایب یکسان باشند، تفریق کن: از $3x+2y=50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x+2y=35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با تفریق می‌ماند $x=15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بعد $y=2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اگر هیچ‌کدام برابر نباشند، یکی را ضرب کن: از $x-y=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $4x+2y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اولی را در $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب کن تا $2x-2y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شود؛ حالا با جمع $6x=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، سپس $y=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونهٔ جایگزینی: در دستگاهِ $2x-3y=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، معادلهٔ دوم از قبل $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیان کرده؛ با جای‌گذاری در اولی: $2x-3\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که می‌شود $2x-x+1=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سه حالتِ ممکن برایِ دستگاه

اگر هر دو معادله را به شکلِ $y=a_1x+b_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=a_2x+b_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویسی:

همین را در فرمِ $a_1x+b_1y=c_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a_2x+b_2y=c_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌توان با نسبت‌ها تشخیص داد: اگر $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک جواب دارد؛ اگر $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌جواب است؛ و اگر هر سه نسبت برابر باشند، بی‌شمار جواب دارد.

در حینِ حل هم می‌فهمی: اگر به $0=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسیدی یعنی بی‌شمار جواب (دو خطِ منطبق)، و اگر به چیزی مثلِ $0=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رسیدی یعنی تناقض و دستگاه جواب ندارد. رسیدن به $0=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباهِ محاسباتی نیست؛ یک نتیجهٔ کاملاً معتبر است.

مسئله‌هایِ کلامی

مراحل: ۱) متغیرها را با واحد و معنایِ دقیق تعریف کن؛ ۲) از هر شرطِ مسئله یک معادله بنویس (از ساده‌ترین شرط شروع کن)؛ ۳) دستگاه را حل کن؛ ۴) جواب را با شرط‌هایِ واقعیِ مسئله بسنج (تعدادِ حیوان که منفی نمی‌شود)؛ ۵) پاسخ را با واحد بنویس.

نمونهٔ کلاسیک: در مزرعه‌ای ۲۰ شترمرغ و گاو هست و مجموعِ پاها ۵۶ تاست. با $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = تعدادِ شترمرغ (۲ پا) و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = تعدادِ گاو (۴ پا): از $x+y=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x+4y=56$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $y=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رسیم.

چند سوءتفاهمِ مفهومی

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر معادله‌ای باید یک جوابِ مشخص داشته باشد؛ ولی در واقع معادله‌ای مثلِ $x+y=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌شمار جواب دارد، چون به ازایِ هر $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دلخواه یک $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متناظر هست.

خیلی‌ها فکر می‌کنند شیب حتماً باید مثبت باشد؛ ولی در واقع شیب می‌تواند منفی (خطِ نزولی)، صفر (خطِ افقی) یا تعریف‌نشده (خطِ قائم) باشد.

خیلی‌ها فکر می‌کنند کافی است شیبِ دو خط «نزدیک به هم» باشد تا موازی حساب شوند؛ ولی در واقع باید دقیقاً برابر باشند، وگرنه آن دو خط هرچقدر هم دیر، بالاخره جایی همدیگر را قطع می‌کنند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند دستگاه همیشه یک جواب دارد؛ ولی در واقع هر سه حالتِ متقاطع، موازی و منطبق کاملاً طبیعی‌اند و حالتِ چهارمی وجود ندارد.

ارتباط با مباحثِ بعدی

در ریاضیِ دهم همین مفهومِ شیب با فرمولِ رسمی و شرطِ عمود بودنِ خط‌ها بسط داده می‌شود، دستگاه‌هایِ سه معادله سه مجهولی مطرح می‌شوند، و در فیزیک هم دو رابطهٔ فیزیکی را دقیقاً با همین روش‌ها همزمان حل می‌کنند. حتی نقطهٔ تعادلِ عرضه و تقاضا در اقتصاد، همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است.

اشتباه‌هایِ رایج

• جابه‌جا نوشتنِ زوجِ مرتب؛ همیشه اول طول ($x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) بعد عرض ($y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). برخوردِ $y=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(2,-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $(-3,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• گمان کردن که $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محلِ برخورد با محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربوط به محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• وارونه نوشتنِ فرمولِ شیب ($\frac{\Delta x}{\Delta y}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) یا ناهم‌ترتیب تفریق کردن؛ صورت و مخرج باید هر دو با یک ترتیب باشند.
• شیبِ خطِ $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را صفر گفتن؛ این خط اصلاً شیب ندارد.
• در تبدیلِ $ax+by=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، تقسیمِ ناقص: از $3x-2y=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه $y=3x-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گرفتن، در حالی که درستش $y=\frac{3}{2}x-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. وقتی بر عددِ منفی تقسیم می‌کنی، علامتِ همهٔ جمله‌ها برمی‌گردد.
• در حذفی، ضرب کردنِ فقط یک طرفِ معادله؛ همهٔ جمله‌هایِ هر دو طرف باید ضرب شوند.
• در جایگزینی، برگرداندنِ بیانِ یک مجهول به همان معادله‌ای که از آن آمده؛ باید در معادلهٔ دیگر جای‌گذاری شود.
• نتیجه‌گیریِ غلط از $0=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (بی‌شمار جواب) و $0=c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (بی‌جواب).
• خطا در بازکردنِ پرانتزِ منفی: $-(x-y)=-x+y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-x-y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• فرضِ اینکه هر معادله‌ای با $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خط می‌سازد؛ $y=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سهمی است، نه خط.

نمونه سؤال

سؤال ۱: شیب و عرض از مبدأِ خطِ $4x+2y=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را پیدا کنید.

پاسخ: معادله را برایِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حل می‌کنیم: $2y=-4x+10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $y=-2x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بنابراین شیب $=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عرض از مبدأ $=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. (کنترل با میان‌بر: $-\frac{a}{b}=-\frac{4}{2}=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓)

سؤال ۲: خطِ $y=-2x+8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با دو محورِ مختصات یک مثلثِ قائم‌الزاویه می‌سازد. مساحتِ آن چقدر است؟

پاسخ: برخورد با محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: با $x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(0,8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برخورد با محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: از $-2x+8=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(4,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این دو نقطه با مبدأ مثلثی قائم‌الزاویه می‌سازند که دو ضلعِ عمود بر همش $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

سؤال ۳: برایِ چه مقداری از $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دستگاهِ زیر جواب ندارد؟

پاسخ: معادلهٔ اول را در $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب می‌کنیم: $6x+2ky=20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا معادلهٔ دوم را از آن کم می‌کنیم:

برایِ اینکه دستگاه جواب نداشته باشد باید ضریبِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صفر شود ولی طرفِ راست صفر نماند، یعنی به تناقضی مثلِ $0=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برسیم. پس $2k-4=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $k=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۴: دوچرخه‌سواری در لحظهٔ $t=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در فاصلهٔ ۲ کیلومتری از خانه است و با سرعتِ ثابت دور می‌شود؛ پس از ۳ ساعت به فاصلهٔ ۱۴ کیلومتری می‌رسد. (الف) معادلهٔ فاصله بر حسبِ زمان را بنویسید. (ب) سرعتش چقدر است؟ (ج) کِی به ۲۰ کیلومتری می‌رسد؟

پاسخ: (الف) در $t=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فاصله ۲ است، پس $b=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با نقطهٔ $(3,14)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: از $14=3a+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $a=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $y=4x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. (ب) در نمودارِ فاصله-زمان شیب همان سرعت است: ۴ کیلومتر بر ساعت. (ج) از $20=4x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $x=4.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساعت.

سؤال ۵ (کلامی): مجموعِ سنِ پدر و پسر ۴۴ سال است. ۸ سالِ دیگر، سنِ پدر دو برابرِ سنِ پسر خواهد بود. سنِ هرکدام اکنون چقدر است؟

پاسخ: با $f$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = سنِ پدر و $s$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی = سنِ پسر:

از معادلهٔ دوم: $f+8=2s+16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $f=2s+8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جای‌گذاری در اولی: $(2s+8)+s=44$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی $3s=36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $s=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $f=32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بررسی: ۸ سالِ دیگر پدر ۴۰ و پسر ۲۰ ساله می‌شود و $40=2\times20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

سؤال ۶ (ترکیبی): دو خطِ $y=-x+8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y=2x-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نماییها یک مثلث می‌سازند. مساحتِ این مثلث چقدر است؟

پاسخ: برخوردِ خطِ اول با محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: از $0=-x+8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(8,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برخوردِ خطِ دوم: از $0=2x-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ $(2,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. محلِ برخوردِ دو خط با هم: $-x+8=2x-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $3x=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $y=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی نقطهٔ $(4,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سه رأسِ مثلث $(8,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(2,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(4,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند؛ قاعده رویِ محورِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $8-2=6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ارتفاع برابرِ $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است:

جمع‌بندی

سه چیز را اگر محکم بلد باشی، بیشترِ سؤال‌هایِ این فصل حل می‌شود: اینکه $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی محلِ برخورد با محورِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، اینکه شیب همان نسبتِ تغییرِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به تغییرِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و رویِ کلِ خط ثابت می‌ماند، و اینکه جوابِ دستگاه دقیقاً همان نقطهٔ تقاطعِ دو خط است — پس موازی بودنِ دو خط یعنی بی‌جوابی، و منطبق بودنشان یعنی بی‌شمار جواب.