عبارت های جبری (نهم)

عبارت های جبری (نهم)

این مبحث سه بخشِ به‌هم‌پیوسته دارد: شناختِ عبارت‌های جبری و اتحادها، تجزیهٔ عبارت‌ها، و در پایان نابرابری‌ها و نامعادله‌ها. هر سه بخش روی هم پایهٔ جبرِ دبیرستان‌اند.

تک‌جمله‌ای، چندجمله‌ای و درجه

تک‌جمله‌ای حاصل‌ضربِ یک عددِ حقیقی در توان‌هایِ صحیحِ نامنفی از یک یا چند متغیر است. یعنی دو شرط: باید ضرب باشد (نه جمع و تفریقِ جمله‌هایِ جدا)، و توانِ هر متغیر باید از $0,1,2,3,\ldots$ باشد.

نمونه‌هایِ درست: $7$، $x$، $5x^{10}$، $-3a^3x^2z$، $\frac{1}{5}xy$.

نمونه‌هایی که تک‌جمله‌ای نیستند: $\frac{1}{x}$ (توانِ منفی)، $\sqrt{x}$ (توانِ کسری)، $|x|$ (قدرمطلق، ضرب نیست)، $2x^2+2x$ (جمعِ دو جمله است).

دو تک‌جمله‌ای وقتی متشابه‌اند که قسمتِ حرفی‌شان کاملاً یکسان باشد — همان متغیرها با همان توان‌ها. مثلاً $4x^2y$ و $-3x^2y$ متشابه‌اند، ولی $3x$ و $3x^2$ نه. فقط تک‌جمله‌ای‌هایِ متشابه را می‌توان با هم جمع یا تفریق کرد.

ضربِ تک‌جمله‌ای‌ها: ضریب‌هایِ عددی را در هم ضرب کن و توانِ متغیرهایِ یکسان را جمع کن:

چندجمله‌ای جمعِ جبریِ چند تک‌جمله‌ایِ غیرمتشابه است (هر تک‌جمله‌ای خودش هم یک چندجمله‌ای به حساب می‌آید).

درجه نسبت به یک متغیر یعنی توانِ آن متغیر؛ درجه نسبت به چند متغیرِ با هم یعنی مجموعِ توان‌هایِ آن متغیرها در یک جمله. درجهٔ چندجمله‌ای هم بزرگ‌ترین درجهٔ جمله‌هایِ آن است. مثلاً در $-2xy^3+x^2y-1$: درجه نسبت به $x$ برابر $2$، نسبت به $y$ برابر $3$، و نسبت به $x$ و $y$ با هم برابر $4$ است (از جملهٔ $-2xy^3$ با $1+3=4$).

اتحاد یا معادله؟

این تفاوت خیلی مهم است. اتحاد برابری‌ای است که برایِ هر مقدارِ متغیر برقرار است، مثل $(x+3)^2=x^2+6x+9$. معادله برابری‌ای است که فقط برایِ مقادیرِ خاصی برقرار است، مثل $3x-3=x+1$ که تنها با $x=2$ درست می‌شود.

راهِ تشخیص: دو طرف را ساده کن؛ اگر کاملاً یکسان شدند، اتحاد است.

چهار اتحادِ اصلی

مربعِ دوجمله‌ای را می‌توان هندسی هم دید: مربعی به ضلعِ $(a+b)$ به یک مربعِ $a^2$، یک مربعِ $b^2$ و دو مستطیلِ $ab$ تقسیم می‌شود — همان دو مستطیلِ هم‌اندازه‌اند که در فرمول $2ab$ می‌شوند. قانونِ کلامی: مربعِ جملهٔ اول، به‌علاوهٔ دو برابرِ حاصل‌ضربِ دو جمله، به‌علاوهٔ مربعِ جملهٔ دوم. مثال: $(5x+2)^2 = 25x^2+20x+4$.

مربعِ سه‌جمله‌ای از همان اتحادِ قبلی با گروه‌بندی به دست می‌آید: اگر $M=a+b$ بگذاری، $(M+c)^2=M^2+2Mc+c^2$. قانونِ کلامی: مجموعِ مربعِ هر جمله، به‌علاوهٔ دو برابرِ حاصل‌ضربِ هر جفت. اگر یکی از جمله‌ها منفی باشد، مثلاً در $(a+b-c)^2$، هر جمله‌ای که $c$ دارد علامتش عوض می‌شود:

دقت کن $2ab$ مثبت می‌ماند، چون $c$ در آن نیست.

اتحادِ مزدوج ساده‌ترین ولی پرکاربردترین است. با ضربِ مستقیم، جمله‌هایِ میانیِ $-ab$ و $+ab$ حذف می‌شوند و می‌ماند $a^2-b^2$. به دو عبارتِ $(a+b)$ و $(a-b)$ که فقط در یک علامت فرق دارند، مزدوجِ هم می‌گویند. وقتی عبارت‌ها پیچیده‌ترند، یک بخشِ کامل را $A$ و بخشِ دیگر را $B$ بگیر:

اتحادِ جملهٔ مشترک می‌گوید ضریبِ $x$ برابرِ جمعِ دو عدد و عددِ ثابت برابرِ حاصل‌ضربِ آن‌هاست:

نکتهٔ پیونددهنده: جملهٔ مشترک کلی‌ترینِ این اتحادهاست. اگر $b=a$ بگذاری به مربعِ دوجمله‌ای می‌رسی، و اگر $b=-a$ بگذاری به اتحادِ مزدوج.

تجزیه: نوشتنِ جمع به‌صورتِ ضرب

تجزیه دقیقاً معکوسِ بازکردنِ اتحاد است. مسیرِ تصمیم‌گیری:

۱. همیشه اول: آیا عبارت عاملِ مشترک (ب.م.م) دارد؟ ب.م.مِ ضریب‌ها را بگیر و از هر متغیرِ مشترک، کوچک‌ترین توان را خارج کن. مثال: $7x^4-14x^3+21x^2 = 7x^2(x^2-2x+3)$.

۲. عبارتِ باقی‌مانده چند جمله دارد؟

• دو جمله به شکلِ اختلافِ دو مربع ← اتحادِ مزدوج: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
• سه جمله که جملهٔ وسط برابرِ $2\sqrt{\text{جملهٔ اول}\times\text{جملهٔ آخر}}$ است ← مربعِ دوجمله‌ای
• سه جمله ولی بدونِ آن شرط ← جملهٔ مشترک: دنبالِ دو عددی بگرد که جمعشان ضریبِ $x$ و ضربشان عددِ ثابت باشد

۳. بعد از هر تجزیه، خودِ عامل‌ها را دوباره بررسی کن؛ شاید باز هم تجزیه‌پذیر باشند. مثلاً:

جدولِ راهنمایِ علامت در جملهٔ مشترک (برایِ $x^2+px+q$): اگر $q$ مثبت و $p$ مثبت باشد هر دو عدد مثبت‌اند؛ اگر $q$ مثبت و $p$ منفی باشد هر دو منفی‌اند؛ اگر $q$ منفی باشد دو عدد ناهم‌علامت‌اند و آنکه قدرمطلقِ بزرگ‌تری دارد، علامتِ $p$ را می‌گیرد.

ترکیبِ ب.م.م و اتحاد (بسیار پرتکرار در آزمون‌هایِ تیزهوشان): اول عاملِ مشترک را خارج کن، بعد داخلِ پرانتز را با اتحاد تجزیه کن:

ترفندِ جایگزینی برایِ درجهٔ چهار: با $t=x^2$ عبارت درجه‌دو می‌شود:

چند تجزیهٔ نمونه با مزدوج (برایِ اینکه چشمت به الگو عادت کند):

و چند تجزیهٔ نمونه با جملهٔ مشترک: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$؛ $y^2+y-6=(y+3)(y-2)$؛ $y^2-y-6=(y-3)(y+2)$؛ و با ب.م.م: $bx^2-5bx-50b=b(x-10)(x+5)$.

روشِ منظم برایِ پیدا کردنِ دو عدد: برایِ $x^2-13x+36$، عامل‌هایِ $36$ را فهرست کن: $(1,36)$، $(2,18)$، $(3,12)$، $(4,9)$، $(6,6)$. چون ضرب مثبت و جمع منفی است، هر دو عدد منفی‌اند؛ $(-4)+(-9)=-13$ جور درمی‌آید، پس $(x-4)(x-9)$.

اتحاد به‌عنوانِ میان‌برِ محاسباتی

اتحادها فقط برایِ تجزیه نیستند؛ ابزارِ محاسبهٔ ذهنیِ سریع هم هستند. عدد را به‌صورتِ یک عددِ گرد به‌علاوه/منهایِ انحرافِ کوچک بنویس:

همچنین مقایسهٔ ضرایب: اگر دو چندجمله‌ای برایِ همهٔ مقادیرِ $x$ برابر باشند (یعنی اتحاد باشند)، ضرایبِ جمله‌هایِ هم‌درجه‌شان باید یکسان باشد. از $Ax^2+Bx+C=3x^2-5x+2$ نتیجه می‌گیریم $A=3$، $B=-5$، $C=2$.

نابرابری و نامعادله

نابرابری رابطه‌ای است که دو عدد را با $<$، $>$، $\leq$، $\geq$ یا $\neq$ مقایسه می‌کند. تعریفِ دقیق: اگر $a>b$ باشد، عددِ مثبتی مثلِ $p$ هست که $a=b+p$. اگر نابرابری متغیر داشته باشد، به آن نامعادله می‌گوییم، و مجموعهٔ همهٔ مقادیرِ متغیر که آن را درست می‌کنند، مجموعهٔ جواب است.

سه خاصیتِ طلایی:

چرا در منفی جهت عوض می‌شود؟ ضرب در منفی یعنی قرینه‌گرفتن نسبت به صفر، و قرینه‌گرفتن ترتیبِ رویِ محور را برعکس می‌کند: $3>2$ ولی $-3<-2$. ضمناً هرگز دو طرف را در صفر ضرب نکن، چون نابرابری از بین می‌رود.

روشِ حلِ نامعادلهٔ درجه اول مثلِ معادله است، با یک تفاوت: پرانتزها را باز کن، مخرج‌ها را با ضرب در م.م.مِ (مثبتِ) آن‌ها حذف کن، جمله‌هایِ متغیردار را یک طرف و عددها را طرفِ دیگر ببر، ضریبِ متغیر را حذف کن، و اگر در عددِ منفی ضرب یا تقسیم کردی جهت را برعکس کن. توجه: انتقالِ جمله همان خاصیتِ جمع است و هرگز جهت را عوض نمی‌کند.

نمایشِ جواب رویِ محور: بدونِ تساوی ($<$ یا $>$) دایرهٔ توخالی، با تساوی ($\leq$ یا $\geq$) دایرهٔ توپر؛ فلش به سمتِ بازه‌ای که جواب است، و برایِ $a<x<b$ پاره‌خطِ بینِ دو نقطه رنگی می‌شود.

تشخیصِ علامت از ضرب و تقسیم: $ab>0$ یعنی $a$ و $b$ هم‌علامت‌اند؛ $ab<0$ یعنی ناهم‌علامت. همین برایِ $\frac{a}{b}$ هم صادق است. و $a^2\geq0$ برایِ هر عددِ حقیقی برقرار است، پس $a^2>0$ فقط می‌گوید $a\neq0$ — نمی‌گوید $a$ مثبت است.

جدولِ علامت: وقتی عبارت به‌صورتِ حاصل‌ضربِ عامل‌هایِ خطی تجزیه شده، نباید آن را باز کرد؛ باید علامتِ هر عامل را در بازه‌هایِ جدا از هم بررسی و ترکیب کرد. دقیقاً همین‌جاست که تجزیه به کارِ نامعادله می‌آید.

ترجمهٔ عبارت‌هایِ کلامی: «حداقل» و «کمتر نیست از» و «دست‌کم» ← $\geq$؛ «حداکثر» و «بیشتر نیست از» ← $\leq$؛ «بیشتر از» ← $>$؛ «کمتر از» ← $<$.

چند نکتهٔ سطح‌بالاتر

مزدوج و بخش‌پذیری: اتحادِ مزدوج اجازه می‌دهد بدونِ محاسبهٔ مربع‌هایِ بزرگ نتیجه بگیری. مثلاً $51^2-49^2=(51+49)(51-49)=100\times2=200$؛ حالا به‌راحتی می‌بینی که این عدد بر $4$، $8$ و $25$ بخش‌پذیر است.

مزدوج در پایهٔ دهم: همین اتحاد برایِ گویا کردنِ مخرجِ رادیکالی به کار می‌رود:

دربارهٔ $a^2<b^2$: از این رابطه به‌تنهایی نمی‌توان نتیجه گرفت $a<b$؛ همه چیز به علامتِ $a$ و $b$ بستگی دارد. اما اگر بدانیم هر دو منفی‌اند، از $a^2-b^2<0$ یعنی $(a-b)(a+b)<0$ و چون $a+b<0$ است، پس $a-b>0$ و نتیجه $a>b$.

نکتهٔ علامت: در $a^2b>0$، چون $a^2$ همیشه نامنفی است، علامتِ کل را $b$ تعیین می‌کند؛ پس این رابطه یعنی $b>0$ و $a\neq0$.

سه سوءتفاهمِ پرتکرار

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر عبارتی که یک متغیر و یک عدد دارد تک‌جمله‌ای است؛ ولی در واقع فقط وقتی تک‌جمله‌ای است که ساختارش ضرب باشد — $2x+3$ اصلاً تک‌جمله‌ای نیست، دوجمله‌ای است.

خیلی‌ها فکر می‌کنند اتحادِ مزدوج رویِ هر تفاضلی کار می‌کند؛ ولی در واقع هر دو جمله باید مربعِ کامل باشند. مثلاً $x^2-5$ در این پایه با این اتحاد تجزیه نمی‌شود.

خیلی‌ها فکر می‌کنند تغییرِ جهتِ نابرابری فقط وقتی لازم است که در عددِ منفیِ صریح ضرب کنیم؛ ولی در واقع هر عبارتِ منفی همین اثر را دارد، و اگر علامتِ عبارتی نامعلوم باشد (مثلاً خودش متغیر داشته باشد) اصلاً نباید بدونِ بررسیِ حالت‌ها در آن ضرب یا تقسیم کرد.

اشتباه‌هایِ رایج

• $(a+b)^2$ را $a^2+b^2$ نوشتن؛ جملهٔ $2ab$ فراموش می‌شود.
• در $(a-b)^2$ جملهٔ سوم را منفی نوشتن؛ $+b^2$ همیشه مثبت است.
• در مربعِ سه‌جمله‌ای، سه جملهٔ $2ab$، $2ac$، $2bc$ را جا انداختن.
• فکر کردن به اینکه $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$؛ اتحادِ مزدوج فقط رویِ اختلافِ دو مربع کار می‌کند.
• در تجزیهٔ $4x^2-(7-3y)^2$ فقط $7$ را $B$ گرفتن؛ کلِ $(7-3y)$ باید $B$ باشد.
• در جملهٔ مشترک فقط شرطِ ضرب را چک کردن؛ جمع و ضرب باید همزمان درست باشند.
• فراموش‌کردنِ ب.م.م پیش از اتحاد؛ $8x^2+24x+18$ مستقیم $(2x+3)^2$ نیست، بلکه $2(2x+3)^2$ است.
• عوض‌نکردنِ جهت هنگامِ تقسیم بر عددِ منفی: از $-2x>6$ نتیجه $x<-3$ است، نه $x>-3$.
• «حداقل ۳۰۰۰۰» را با $<$ نوشتن؛ درستش $\geq 30000$ است.
• فرضِ اینکه جوابِ نامعادله همیشه کلِ یک طرفِ محور است؛ اگر متغیر در مجموعه‌ای محدود مثلِ $\mathbb{N}$ تعریف شده باشد، باید اشتراک گرفت.

نمونه سؤال

سؤال ۱ (تجزیه): عبارتِ $x^2+6x+9-y^2$ را تجزیه کنید.

پاسخ: سه جملهٔ اول یک مربعِ کامل‌اند: $x^2+6x+9=(x+3)^2$. پس عبارت می‌شود $(x+3)^2-y^2$ که خودش اختلافِ دو مربع است:

سؤال ۲ (ترکیبی): اگر $x+y=8$ و $xy=12$ باشد، بدونِ به‌دست‌آوردنِ $x$ و $y$، مقدارِ $x^2+y^2$ و $(x-y)^2$ را حساب کنید.

پاسخ: از $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ داریم:

و چون $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

نکتهٔ کلیدی: هرگز لازم نشد $x$ و $y$ را جدا پیدا کنیم؛ اتحادها مستقیم از $x+y$ و $xy$ به جواب رساندند.

سؤال ۳ (نامعادله): از میانِ اعضایِ مجموعهٔ $\{n\in\mathbb{N} \mid 1\le n\le 20\}$، چند عضو در نامعادلهٔ $3n-7\le 2n+4$ صدق می‌کنند؟

پاسخ: ابتدا نامعادله را حل می‌کنیم: $3n-2n \le 4+7$، پس $n\le 11$. حالا با شرطِ مجموعه اشتراک می‌گیریم: $\{1,2,\ldots,11\}$ که $11$ عضو دارد.

سؤال ۴ (جدولِ علامت): مجموعهٔ جوابِ نامعادلهٔ $(x-2)(x+3)<0$ را به دست آورید.

پاسخ: ریشه‌هایِ دو عامل $x=2$ و $x=-3$ هستند. علامتِ هر عامل را در سه بازه بررسی می‌کنیم:

چون حاصل‌ضربِ منفی می‌خواهیم: $D=\{x\in\mathbb{R}\mid -3<x<2\}$. رویِ محور: دو دایرهٔ توخالی رویِ $-3$ و $2$ و پاره‌خطِ رنگیِ بینشان.

جمع‌بندی

اتحادها را حفظِ طوطی‌وار نکن؛ الگویشان را بشناس تا هم در بازکردن، هم در تجزیه و هم در محاسبهٔ ذهنی به کارت بیایند. در نامعادله‌ها هم فقط یک نکته با معادله فرق دارد و همان نکته بیشترین نمره را می‌برد یا می‌بازد: ضرب و تقسیم در عددِ منفی جهت را برعکس می‌کند.