عبارت‌های جبری و اتحادها (ریاضی نهم)

عبارت های جبری (نهم)

این مبحث سه بخشِ به‌هم‌پیوسته دارد: شناختِ عبارت‌های جبری و اتحادها، تجزیهٔ عبارت‌ها، و در پایان نابرابری‌ها و نامعادله‌ها. هر سه بخش روی هم پایهٔ جبرِ دبیرستان‌اند.

تک‌جمله‌ای، چندجمله‌ای و درجه

تک‌جمله‌ای حاصل‌ضربِ یک عددِ حقیقی در توان‌هایِ صحیحِ نامنفی از یک یا چند متغیر است. یعنی دو شرط: باید ضرب باشد (نه جمع و تفریقِ جمله‌هایِ جدا)، و توانِ هر متغیر باید از $0,1,2,3,\ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.

نمونه‌هایِ درست: $7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $5x^{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $-3a^3x^2z$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{1}{5}xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه‌هایی که تک‌جمله‌ای نیستند: $\frac{1}{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (توانِ منفی)، $\sqrt{x}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (توانِ کسری)، $|x|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (قدرمطلق، ضرب نیست)، $2x^2+2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (جمعِ دو جمله است).

دو تک‌جمله‌ای وقتی متشابه‌اند که قسمتِ حرفی‌شان کاملاً یکسان باشد — همان متغیرها با همان توان‌ها. مثلاً $4x^2y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-3x^2y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متشابه‌اند، ولی $3x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه. فقط تک‌جمله‌ای‌هایِ متشابه را می‌توان با هم جمع یا تفریق کرد.

ضربِ تک‌جمله‌ای‌ها: ضریب‌هایِ عددی را در هم ضرب کن و توانِ متغیرهایِ یکسان را جمع کن:

چندجمله‌ای جمعِ جبریِ چند تک‌جمله‌ایِ غیرمتشابه است (هر تک‌جمله‌ای خودش هم یک چندجمله‌ای به حساب می‌آید).

درجه نسبت به یک متغیر یعنی توانِ آن متغیر؛ درجه نسبت به چند متغیرِ با هم یعنی مجموعِ توان‌هایِ آن متغیرها در یک جمله. درجهٔ چندجمله‌ای هم بزرگ‌ترین درجهٔ جمله‌هایِ آن است. مثلاً در $-2xy^3+x^2y-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: درجه نسبت به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نسبت به $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و نسبت به $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با هم برابر $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است (از جملهٔ $-2xy^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $1+3=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

اتحاد یا معادله؟

این تفاوت خیلی مهم است. اتحاد برابری‌ای است که برایِ هر مقدارِ متغیر برقرار است، مثل $(x+3)^2=x^2+6x+9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. معادله برابری‌ای است که فقط برایِ مقادیرِ خاصی برقرار است، مثل $3x-3=x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که تنها با $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست می‌شود.

راهِ تشخیص: دو طرف را ساده کن؛ اگر کاملاً یکسان شدند، اتحاد است.

چهار اتحادِ اصلی

مربعِ دوجمله‌ای را می‌توان هندسی هم دید: مربعی به ضلعِ $(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به یک مربعِ $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یک مربعِ $b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دو مستطیلِ $ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم می‌شود — همان دو مستطیلِ هم‌اندازه‌اند که در فرمول $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند. قانونِ کلامی: مربعِ جملهٔ اول، به‌علاوهٔ دو برابرِ حاصل‌ضربِ دو جمله، به‌علاوهٔ مربعِ جملهٔ دوم. مثال: $(5x+2)^2 = 25x^2+20x+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مربعِ سه‌جمله‌ای از همان اتحادِ قبلی با گروه‌بندی به دست می‌آید: اگر $M=a+b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاری، $(M+c)^2=M^2+2Mc+c^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. قانونِ کلامی: مجموعِ مربعِ هر جمله، به‌علاوهٔ دو برابرِ حاصل‌ضربِ هر جفت. اگر یکی از جمله‌ها منفی باشد، مثلاً در $(a+b-c)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هر جمله‌ای که $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارد علامتش عوض می‌شود:

دقت کن $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت می‌ماند، چون $c$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در آن نیست.

اتحادِ مزدوج ساده‌ترین ولی پرکاربردترین است. با ضربِ مستقیم، جمله‌هایِ میانیِ $-ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $+ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حذف می‌شوند و می‌ماند $a^2-b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. به دو عبارتِ $(a+b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(a-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که فقط در یک علامت فرق دارند، مزدوجِ هم می‌گویند. وقتی عبارت‌ها پیچیده‌ترند، یک بخشِ کامل را $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بخشِ دیگر را $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگیر:

اتحادِ جملهٔ مشترک می‌گوید ضریبِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ جمعِ دو عدد و عددِ ثابت برابرِ حاصل‌ضربِ آن‌هاست:

نکتهٔ پیونددهنده: جملهٔ مشترک کلی‌ترینِ این اتحادهاست. اگر $b=a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاری به مربعِ دوجمله‌ای می‌رسی، و اگر $b=-a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بگذاری به اتحادِ مزدوج.

تجزیه: نوشتنِ جمع به‌صورتِ ضرب

تجزیه دقیقاً معکوسِ بازکردنِ اتحاد است. مسیرِ تصمیم‌گیری:

۱. همیشه اول: آیا عبارت عاملِ مشترک (ب.م.م) دارد؟ ب.م.مِ ضریب‌ها را بگیر و از هر متغیرِ مشترک، کوچک‌ترین توان را خارج کن. مثال: $7x^4-14x^3+21x^2 = 7x^2(x^2-2x+3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲. عبارتِ باقی‌مانده چند جمله دارد؟

• دو جمله به شکلِ اختلافِ دو مربع ← اتحادِ مزدوج: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی
• سه جمله که جملهٔ وسط برابرِ $2\sqrt{\text{جملهٔ اول}\times\text{جملهٔ آخر}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است ← مربعِ دوجمله‌ای
• سه جمله ولی بدونِ آن شرط ← جملهٔ مشترک: دنبالِ دو عددی بگرد که جمعشان ضریبِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و ضربشان عددِ ثابت باشد

۳. بعد از هر تجزیه، خودِ عامل‌ها را دوباره بررسی کن؛ شاید باز هم تجزیه‌پذیر باشند. مثلاً:

جدولِ راهنمایِ علامت در جملهٔ مشترک (برایِ $x^2+px+q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی): اگر $q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت و $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت باشد هر دو عدد مثبت‌اند؛ اگر $q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت و $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی باشد هر دو منفی‌اند؛ اگر $q$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی باشد دو عدد ناهم‌علامت‌اند و آنکه قدرمطلقِ بزرگ‌تری دارد، علامتِ $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را می‌گیرد.

ترکیبِ ب.م.م و اتحاد (بسیار پرتکرار در آزمون‌هایِ تیزهوشان): اول عاملِ مشترک را خارج کن، بعد داخلِ پرانتز را با اتحاد تجزیه کن:

ترفندِ جایگزینی برایِ درجهٔ چهار: با $t=x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عبارت درجه‌دو می‌شود:

چند تجزیهٔ نمونه با مزدوج (برایِ اینکه چشمت به الگو عادت کند):

و چند تجزیهٔ نمونه با جملهٔ مشترک: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $y^2+y-6=(y+3)(y-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $y^2-y-6=(y-3)(y+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و با ب.م.م: $bx^2-5bx-50b=b(x-10)(x+5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

روشِ منظم برایِ پیدا کردنِ دو عدد: برایِ $x^2-13x+36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عامل‌هایِ $36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را فهرست کن: $(1,36)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(2,18)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(3,12)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(4,9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(6,6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون ضرب مثبت و جمع منفی است، هر دو عدد منفی‌اند؛ $(-4)+(-9)=-13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جور درمی‌آید، پس $(x-4)(x-9)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اتحاد به‌عنوانِ میان‌برِ محاسباتی

اتحادها فقط برایِ تجزیه نیستند؛ ابزارِ محاسبهٔ ذهنیِ سریع هم هستند. عدد را به‌صورتِ یک عددِ گرد به‌علاوه/منهایِ انحرافِ کوچک بنویس:

همچنین مقایسهٔ ضرایب: اگر دو چندجمله‌ای برایِ همهٔ مقادیرِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابر باشند (یعنی اتحاد باشند)، ضرایبِ جمله‌هایِ هم‌درجه‌شان باید یکسان باشد. از $Ax^2+Bx+C=3x^2-5x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه می‌گیریم $A=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $C=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نابرابری و نامعادله

نابرابری رابطه‌ای است که دو عدد را با $<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $>$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\leq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\neq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مقایسه می‌کند. تعریفِ دقیق: اگر $a>b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، عددِ مثبتی مثلِ $p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هست که $a=b+p$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اگر نابرابری متغیر داشته باشد، به آن نامعادله می‌گوییم، و مجموعهٔ همهٔ مقادیرِ متغیر که آن را درست می‌کنند، مجموعهٔ جواب است.

سه خاصیتِ طلایی:

چرا در منفی جهت عوض می‌شود؟ ضرب در منفی یعنی قرینه‌گرفتن نسبت به صفر، و قرینه‌گرفتن ترتیبِ رویِ محور را برعکس می‌کند: $3>2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-3<-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. ضمناً هرگز دو طرف را در صفر ضرب نکن، چون نابرابری از بین می‌رود.

روشِ حلِ نامعادلهٔ درجه اول مثلِ معادله است، با یک تفاوت: پرانتزها را باز کن، مخرج‌ها را با ضرب در م.م.مِ (مثبتِ) آن‌ها حذف کن، جمله‌هایِ متغیردار را یک طرف و عددها را طرفِ دیگر ببر، ضریبِ متغیر را حذف کن، و اگر در عددِ منفی ضرب یا تقسیم کردی جهت را برعکس کن. توجه: انتقالِ جمله همان خاصیتِ جمع است و هرگز جهت را عوض نمی‌کند.

نمایشِ جواب رویِ محور: بدونِ تساوی ($<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $>$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) دایرهٔ توخالی، با تساوی ($\leq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) دایرهٔ توپر؛ فلش به سمتِ بازه‌ای که جواب است، و برایِ $a<x<b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پاره‌خطِ بینِ دو نقطه رنگی می‌شود.

تشخیصِ علامت از ضرب و تقسیم: $ab>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامت‌اند؛ $ab<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ناهم‌علامت. همین برایِ $\frac{a}{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم صادق است. و $a^2\geq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ هر عددِ حقیقی برقرار است، پس $a^2>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط می‌گوید $a\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — نمی‌گوید $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است.

جدولِ علامت: وقتی عبارت به‌صورتِ حاصل‌ضربِ عامل‌هایِ خطی تجزیه شده، نباید آن را باز کرد؛ باید علامتِ هر عامل را در بازه‌هایِ جدا از هم بررسی و ترکیب کرد. دقیقاً همین‌جاست که تجزیه به کارِ نامعادله می‌آید.

ترجمهٔ عبارت‌هایِ کلامی: «حداقل» و «کمتر نیست از» و «دست‌کم» ← $\geq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ «حداکثر» و «بیشتر نیست از» ← $\leq$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ «بیشتر از» ← $>$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ «کمتر از» ← $<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چند نکتهٔ سطح‌بالاتر

مزدوج و بخش‌پذیری: اتحادِ مزدوج اجازه می‌دهد بدونِ محاسبهٔ مربع‌هایِ بزرگ نتیجه بگیری. مثلاً $51^2-49^2=(51+49)(51-49)=100\times2=200$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ حالا به‌راحتی می‌بینی که این عدد بر $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است.

مزدوج در پایهٔ دهم: همین اتحاد برایِ گویا کردنِ مخرجِ رادیکالی به کار می‌رود:

دربارهٔ $a^2<b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: از این رابطه به‌تنهایی نمی‌توان نتیجه گرفت $a<b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ همه چیز به علامتِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی دارد. اما اگر بدانیم هر دو منفی‌اند، از $a^2-b^2<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $(a-b)(a+b)<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و چون $a+b<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس $a-b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و نتیجه $a>b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکتهٔ علامت: در $a^2b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه نامنفی است، علامتِ کل را $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعیین می‌کند؛ پس این رابطه یعنی $b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a\neq0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سه سوءتفاهمِ پرتکرار

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر عبارتی که یک متغیر و یک عدد دارد تک‌جمله‌ای است؛ ولی در واقع فقط وقتی تک‌جمله‌ای است که ساختارش ضرب باشد — $2x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اصلاً تک‌جمله‌ای نیست، دوجمله‌ای است.

خیلی‌ها فکر می‌کنند اتحادِ مزدوج رویِ هر تفاضلی کار می‌کند؛ ولی در واقع هر دو جمله باید مربعِ کامل باشند. مثلاً $x^2-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در این پایه با این اتحاد تجزیه نمی‌شود.

خیلی‌ها فکر می‌کنند تغییرِ جهتِ نابرابری فقط وقتی لازم است که در عددِ منفیِ صریح ضرب کنیم؛ ولی در واقع هر عبارتِ منفی همین اثر را دارد، و اگر علامتِ عبارتی نامعلوم باشد (مثلاً خودش متغیر داشته باشد) اصلاً نباید بدونِ بررسیِ حالت‌ها در آن ضرب یا تقسیم کرد.

اشتباه‌هایِ رایج

• $(a+b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را $a^2+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشتن؛ جملهٔ $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فراموش می‌شود.
• در $(a-b)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جملهٔ سوم را منفی نوشتن؛ $+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه مثبت است.
• در مربعِ سه‌جمله‌ای، سه جملهٔ $2ab$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2ac$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $2bc$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جا انداختن.
• فکر کردن به اینکه $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ اتحادِ مزدوج فقط رویِ اختلافِ دو مربع کار می‌کند.
• در تجزیهٔ $4x^2-(7-3y)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط $7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گرفتن؛ کلِ $(7-3y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد.
• در جملهٔ مشترک فقط شرطِ ضرب را چک کردن؛ جمع و ضرب باید همزمان درست باشند.
• فراموش‌کردنِ ب.م.م پیش از اتحاد؛ $8x^2+24x+18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مستقیم $(2x+3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، بلکه $2(2x+3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• عوض‌نکردنِ جهت هنگامِ تقسیم بر عددِ منفی: از $-2x>6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نتیجه $x<-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $x>-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• «حداقل ۳۰۰۰۰» را با $<$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشتن؛ درستش $\geq 30000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• فرضِ اینکه جوابِ نامعادله همیشه کلِ یک طرفِ محور است؛ اگر متغیر در مجموعه‌ای محدود مثلِ $\mathbb{N}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف شده باشد، باید اشتراک گرفت.

نمونه سؤال

سؤال ۱ (تجزیه): عبارتِ $x^2+6x+9-y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تجزیه کنید.

پاسخ: سه جملهٔ اول یک مربعِ کامل‌اند: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس عبارت می‌شود $(x+3)^2-y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که خودش اختلافِ دو مربع است:

سؤال ۲ (ترکیبی): اگر $x+y=8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy=12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، بدونِ به‌دست‌آوردنِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مقدارِ $x^2+y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(x-y)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کنید.

پاسخ: از $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم:

و چون $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

نکتهٔ کلیدی: هرگز لازم نشد $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جدا پیدا کنیم؛ اتحادها مستقیم از $x+y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $xy$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به جواب رساندند.

سؤال ۳ (نامعادله): از میانِ اعضایِ مجموعهٔ $\{n\in\mathbb{N} \mid 1\le n\le 20\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چند عضو در نامعادلهٔ $3n-7\le 2n+4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صدق می‌کنند؟

پاسخ: ابتدا نامعادله را حل می‌کنیم: $3n-2n \le 4+7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n\le 11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا با شرطِ مجموعه اشتراک می‌گیریم: $\{1,2,\ldots,11\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که $11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عضو دارد.

سؤال ۴ (جدولِ علامت): مجموعهٔ جوابِ نامعادلهٔ $(x-2)(x+3)<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به دست آورید.

پاسخ: ریشه‌هایِ دو عامل $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هستند. علامتِ هر عامل را در سه بازه بررسی می‌کنیم:

چون حاصل‌ضربِ منفی می‌خواهیم: $D=\{x\in\mathbb{R}\mid -3<x<2\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رویِ محور: دو دایرهٔ توخالی رویِ $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و پاره‌خطِ رنگیِ بینشان.

جمع‌بندی

اتحادها را حفظِ طوطی‌وار نکن؛ الگویشان را بشناس تا هم در بازکردن، هم در تجزیه و هم در محاسبهٔ ذهنی به کارت بیایند. در نامعادله‌ها هم فقط یک نکته با معادله فرق دارد و همان نکته بیشترین نمره را می‌برد یا می‌بازد: ضرب و تقسیم در عددِ منفی جهت را برعکس می‌کند.