اگر شعاع یک کره و ضلع یک مکعب با هم برابر باشند، نسبت V/S (حجم به مساحت کل) کره به چند برابر نسبت V/S مکعب است؟

2 — «2» درست است زیرا VS کره R3 و VS مکعب a6 است؛ با R=a نسبت (R/3)/(a/6)=2 میشود. گزینههای «1»، «3» و «4» از محاسبهٔ نادرستِ یکی از دو نسبت میآیند. تلهٔ تستی: VS کره ( R3) دو برابرِ مکعب ( a6) است؛ فرمولهای حجم و سطحِ هر دو را جدا حساب کن نه سرانگشتی.

مستطیلی به ابعاد a و b (a < b) را ابتدا حول ضلع a میچرخانیم (حجم V_1) و سپس حول ضلع b (حجم V_2). نسبت V_1/V_2 کدام است؟

b/a — «b/a» درست است زیرا دوران حول a استوانهای با شعاع b میدهد (V_1=π b^2 a) و حول b استوانهای با شعاع a (V_2=π a^2 b)؛ نسبت (π b^2a)/(π a^2b)= ba. گزینههای (a^2)/(b^2) و (b^2)/(a^2) از توانِ اشتباه و ab از وارونه است. تلهٔ تستی: محورِ دوران ارتفاع میشود و ضلعِ دیگر شعاع؛ چون شعاع به توانِ دو میرود، نسبت ba (نه (b^2)/(a^2)) در میآید.

از یک دایره به شعاع 9 سانتیمتر، یک بخش با زاویه 120^° بریده و به شکل مخروط درمیآوریم. حجم این مخروط کدام است؟

18π√2 — «18π√2» درست است زیرا R=120/360×9=3، h=√9^2-3^2=√72=6 2 و V= 13π(9)(6 2)=18 2π. گزینههای دیگر از اشتباه در R، h یا ضریبِ 13 میآیند. تلهٔ تستی: شعاعِ قطاع (9) همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، نه شعاعِ قاعده؛ R را از (θ)/360× l بیاب.

کرهای به شعاع 10 سانتیمتر را با صفحهای به فاصله 6 سانتیمتر از مرکز آن برش میدهیم. مساحت سطح مقطع حاصل کدام است؟

64π — «64π» درست است زیرا شعاعِ مقطع r=√R^2-d^2=√10^2-6^2=8 و مساحتش π r^2=64π. «100π» مقطعِ گذرنده از مرکز، «36π» با d^2 اشتباه، و «80π» نادرست است. تلهٔ تستی: شعاعِ مقطع از فیثاغورس √R^2-d^2 بهدست میآید؛ فاصلهٔ صفحه (d) را با شعاعِ کره اشتباه نگیر.

حجم و مساحت کره و هرم (ریاضی نهم)

Q: الف) حجم کرهای به شعاع ۳ سانتیمتر را بر حسب π بیابید. ب) توضیح دهید اگر شعاع دو برابر شود، حجم چند برابر میشود.

پاسخ کامل: الف) V= 43πr^3= 43π(27)=36π سانتیمتر مکعب است. ب) حجم با مکعب شعاع تغییر میکند؛ دو برابرشدن شعاع حجم را 2^3=8 برابر میکند، نه دو برابر. کجا بخوانم: در «۳.۱ فرمولهای کلیدی» نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ دادهشده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقشهای متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید تواندار باشد.

Q: الف) مساحت رویهٔ کرهای به شعاع ۵ متر را بیابید. ب) پیشبینی کنید اگر شعاع نصف شود مساحت چه نسبتی پیدا میکند و چرا تغییر مساحت با تغییر شعاع یکسان نیست؟

پاسخ کامل: الف) S=4πr^2=4π(25)=100π متر مربع است. ب) مساحت با مربع شعاع متناسب است؛ شعاع نصف شود، مساحت به (1/2)^2=1/4 مقدار اولیه میرسد. کجا بخوانم: در «۲.۴ کشف فرمول مساحت رویه کره (آزمایش فعالیت کتاب)» نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ دادهشده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقشهای متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید تواندار باشد.

Q: الف) حجم نیمکرهای به شعاع ۶ را با π بنویسید. ب) توضیح دهید چرا سطح خمیدهٔ نیمکره نصف سطح کره است اما مساحت کل آن نصف نیست.

پاسخ کامل: الف) حجم نیمکره نصف حجم کره است: V= 12× 43π(6^3)=144π. ب) سطح کل نیمکره علاوه بر سطح خمیده، دایرهٔ قاعده را هم دارد؛ بنابراین مساحت کل آن از نصف مساحت کره بیشتر است. کجا بخوانم: در «۳.۲ فرمولهای نیمکره» نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ دادهشده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقشهای متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید تواندار باشد.

Q: یک استوانک (نیمکرهای به همان شعاع روی استوانه) به شعاع R و ارتفاع استوانه h داریم. مساحت کل این جسم کدام است؟

3π R^2 + 2π Rh — «3π R^2 + 2π Rh» درست است زیرا سطحِ کلِ استوانک برابرِ رویهٔ نیمکره (2π R^2) + سطحِ جانبیِ استوانه (2π Rh) + قاعدهٔ پایین (π R^2) است که 3π R^2+2π Rh میشود. گزینههای دیگر یا قاعدهٔ مشترک را اشتباه شمردهاند یا رویهٔ کرهٔ کامل گذاشتهاند. تلهٔ تستی: قاعدهٔ بالای استوانه زیرِ نیمکره پنهان است و شمرده نمیشود، ولی قاعدهٔ پایین (π R^2) جزوِ سطح است.

Q: مستطیلی به ابعاد a و b (a < b) را ابتدا حول ضلع a میچرخانیم (حجم V_1) و سپس حول ضلع b (حجم V_2). نسبت V_1/V_2 کدام است؟

b/a — «b/a» درست است زیرا دوران حول a استوانهای با شعاع b میدهد (V_1=π b^2 a) و حول b استوانهای با شعاع a (V_2=π a^2 b)؛ نسبت (π b^2a)/(π a^2b)= ba. گزینههای (a^2)/(b^2) و (b^2)/(a^2) از توانِ اشتباه و ab از وارونه است. تلهٔ تستی: محورِ دوران ارتفاع میشود و ضلعِ دیگر شعاع؛ چون شعاع به توانِ دو میرود، نسبت ba (نه (b^2)/(a^2)) در میآید.

Q: از یک دایره به شعاع 9 سانتیمتر، یک بخش با زاویه 120^° بریده و به شکل مخروط درمیآوریم. حجم این مخروط کدام است؟

18π√2 — «18π√2» درست است زیرا R=120/360×9=3، h=√9^2-3^2=√72=6 2 و V= 13π(9)(6 2)=18 2π. گزینههای دیگر از اشتباه در R، h یا ضریبِ 13 میآیند. تلهٔ تستی: شعاعِ قطاع (9) همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، نه شعاعِ قاعده؛ R را از (θ)/360× l بیاب.

Q: کرهای به شعاع 10 سانتیمتر را با صفحهای به فاصله 6 سانتیمتر از مرکز آن برش میدهیم. مساحت سطح مقطع حاصل کدام است؟

64π — «64π» درست است زیرا شعاعِ مقطع r=√R^2-d^2=√10^2-6^2=8 و مساحتش π r^2=64π. «100π» مقطعِ گذرنده از مرکز، «36π» با d^2 اشتباه، و «80π» نادرست است. تلهٔ تستی: شعاعِ مقطع از فیثاغورس √R^2-d^2 بهدست میآید؛ فاصلهٔ صفحه (d) را با شعاعِ کره اشتباه نگیر.

بخشی از بانک سؤال طبقه‌بندی‌شده‌ی این مبحث در کوئیز سنتر — رایگان و بدون نیاز به ثبت‌نام

خلاصه‌ی درسنامه

این خلاصه‌ای از درسنامه‌ی کامل است. متن کامل با همه‌ی نکته‌ها، مثال‌های حل‌شده و جمع‌بندی، با ثبت‌نام رایگان در دسترست قرار می‌گیرد.

حجم و مساحت (نهم)

این مبحث سه بخش دارد: کره، هرم و مخروط، و در پایان مسائلِ ترکیبیِ سطح و حجم (گسترده، دوران، مقطع). نکتهٔ خوبِ این فصل این است که همه‌چیز از چند فرمولِ کوتاه می‌آید و بقیه‌اش فهمِ شکل است.

کره: از دایره به فضا

دایره مجموعهٔ نقاطی در صفحه است که فاصله‌شان از مرکز برابرِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد؛ کره دقیقاً همین تعریف است، فقط در فضا. یعنی کره تعمیمِ دایره از دو بعد به سه بعد است. همان‌طور که دایره فقط خطِ محیط است، کره هم در تعریفِ ریاضی فقط رویه (سطحِ بیرونی) است، نه فضایِ توپرِ داخلش؛ وقتی از «حجمِ کره» حرف می‌زنیم منظور فضایی است که این رویه محصور کرده.

استوانهٔ محیط بر کره: اگر کره‌ای به شعاعِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را طوری در استوانه بگذاری که از هر طرف مماس باشد، شعاعِ قاعدهٔ استوانه $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاعش $2R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود (چون از بالا و پایین هم مماس است و قطرِ کره $2R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است). پس:

V_{\text{استوانه}} = \pi R^2 \times 2R = 2\pi R^3

آرشیمد ثابت کرد که حجمِ کره دقیقاً $\frac{2}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حجمِ همین استوانه است، و از همین‌جا فرمولِ اصلی می‌آید:

\boxed{V_{\text{کره}} = \frac{2}{3}\times 2\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3} \qquad \boxed{S_{\text{رویهٔ کره}} = 4\pi R^2}

نکتهٔ شهودیِ قشنگ: $4\pi R^2 = 4\times(\pi R^2)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، یعنی مساحتِ رویهٔ کره دقیقاً برابرِ مساحتِ چهار دایره به همان شعاع است.

نیم‌کره:

کمیت	فرمول
حجم	$\frac{2}{3}\pi R^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نصفِ حجمِ کره)
رویهٔ منحنی	$2\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مساحتِ کل (منحنی + قاعده)	$2\pi R^2+\pi R^2 = 3\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

اینکه کدام‌یک خواسته شده را با دقت بخوان؛ اگر جسم توپر باشد (مثلِ نیم‌توپ یا کاسه)، دایرهٔ قاعده هم جزءِ سطحِ بیرونی است.

نسبتِ حجم‌ها با نسبتِ شعاع‌ها: اگر $R_2 = kR_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد:

\frac{V_2}{V_1}=k^3 \qquad , \qquad \frac{S_2}{S_1}=k^2

پس اگر شعاع دو برابر شود، حجم ۸ برابر و مساحتِ رویه ۴ برابر می‌شود — نه دو برابر.

پوستهٔ کروی: اگر کره‌ای از داخل با یک حفرهٔ کرویِ هم‌مرکز خالی شده باشد، حجمِ باقی‌مانده تفاضلِ دو حجم است:

V_{\text{پوسته}} = \frac{4}{3}\pi(R^3-r^3)

نمادِ علمی: در مسائلی مثلِ کرهٔ زمین که اعداد خیلی بزرگ‌اند، با نمادِ علمی کار کن. مثلاً با شعاعِ $R = 6{,}4\times10^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کیلومتر:

S = 4\pi R^2 = 4\pi(6{,}4\times10^3)^2 \approx 5{,}1\times10^8 \text{ km}^2

هرم و مخروط

هرم یک قاعدهٔ چندضلعی دارد و وجه‌هایِ جانبیِ مثلثی که همه در یک نقطه (رأس) به هم می‌رسند. ارتفاع ( $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) فاصلهٔ عمودیِ رأس تا صفحهٔ قاعده است.

هرمِ منتظم هرمی است که قاعده‌اش چندضلعیِ منتظم باشد و وجه‌هایِ جانبی‌اش هم‌نهشت؛ در آن پایِ ارتفاع دقیقاً رویِ مرکزِ قاعده می‌افتد.

فرمولِ حجمِ هرم از کجا آمد؟ یک منشورِ مثلثی را می‌توان به سه هرم با حجم‌هایِ مساوی تجزیه کرد. پس حجمِ هر هرم یک‌سومِ منشور است، و چون هر هرمی را می‌توان به هرم‌هایِ مثلثی تجزیه کرد، این نتیجه برایِ همهٔ هرم‌ها برقرار است:

\boxed{V_{\text{هرم}} = \frac{1}{3}\times S_{\text{قاعده}}\times h}

اصلِ مهم: دو هرم با مساحتِ قاعدهٔ برابر و ارتفاعِ برابر، حجمِ برابر دارند — حتی اگر شکلِ قاعده‌هایشان فرق کند.

از هرم به مخروط: اگر تعدادِ اضلاعِ قاعدهٔ هرمِ منتظم را بیشتر و بیشتر کنی، قاعده به دایره میل می‌کند و هرم به مخروط تبدیل می‌شود. پس مخروط چیزی جز حدِ هرمِ منتظم نیست و همان فرمول را دارد، فقط با $S=\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

\boxed{V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h}

شکل	حجم	نسبت
منشور	$S\cdot h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	۱
هرم	$\frac{1}{3}Sh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
استوانه	$\pi R^2h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	۱
مخروط	$\frac{1}{3}\pi R^2h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

سه طولِ متفاوت که نباید قاطی شوند:

طول	نماد	تعریف	کاربرد
ارتفاعِ اصلی	$h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فاصلهٔ عمودیِ رأس تا قاعده	محاسبهٔ حجم
ارتفاعِ جانبی	$l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فاصلهٔ رأس تا وسطِ ضلعِ قاعده	محاسبهٔ مساحتِ جانبی
یالِ جانبی	$e$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	فاصلهٔ رأس تا رأسِ قاعده	مسائلِ هندسی

در مخروط این سه به فیثاغورس وصل می‌شوند: $l^2 = R^2+h^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. پس اگر دو تا را دادند، سومی را دربیاور: $h=\sqrt{l^2-R^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

در هرمِ منتظم با قاعدهٔ مربع به ضلعِ $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، فاصلهٔ مرکزِ قاعده تا وسطِ هر ضلع برابرِ $\frac{a}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس:

l^2 = h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

مساحتِ سطح و گسترده

گسترده شکلِ مسطحی است که با تا کردنش جسمِ سه‌بعدی ساخته می‌شود؛ بهترین ابزار برایِ فهمِ مساحتِ کل، چون همهٔ وجه‌ها را کنارِ هم و مسطح می‌بینی.

S_{\text{مکعب}} = 6a^2 \qquad S_{\text{مکعب‌مستطیل}} = 2(lw+wh+lh)

هرمِ منتظم: هر وجهِ جانبی مثلثی است با مساحتِ $\frac{1}{2}al$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. اگر قاعده $n$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ضلع داشته باشد:

S_{\text{جانبی}} = n\times\frac{1}{2}al = \frac{1}{2}\times P\times l

که $P$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین محیطِ قاعده است. برایِ قاعدهٔ مربع: $S_{\text{جانبی}}=2al$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $S_{\text{کل}}=2al+a^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

مخروط: مخروط از پیچیدنِ یک قطاعِ دایره ساخته می‌شود که شعاعش همان $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. رابطهٔ کلیدی این است که طولِ کمانِ آن قطاع برابرِ محیطِ قاعدهٔ مخروط می‌شود:

\frac{\theta}{360}\times 2\pi l = 2\pi R \;\Longrightarrow\; R = \frac{\theta}{360}\times l

S_{\text{جانبیِ مخروط}} = \pi R l \qquad S_{\text{کلِ مخروط}} = \pi R(R+l) \qquad S_{\text{کلِ استوانه}} = 2\pi R(R+h)

دوران و سطحِ مقطع

اگر شکلِ مسطحی را حولِ یک خط (محورِ دوران) بچرخانی، جسمِ سه‌بعدی می‌سازد. هر نقطه به فاصلهٔ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از محور، دایره‌ای به شعاعِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد.

شکلِ مسطح	محورِ دوران	جسمِ حاصل
مستطیلِ $r\times h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	ضلعِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	استوانه با شعاعِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاعِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مثلثِ قائم‌الزاویه با پاهایِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	پایِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	مخروط با شعاعِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاعِ $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
نیم‌دایره به شعاعِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	قطر	کره به شعاعِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ربع‌دایره به شعاعِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	یکی از شعاع‌ها	نیم‌کره به شعاعِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه	ضلعِ عمودی	کلنگی (استوانه منهایِ مخروط)

دقت: دورانِ یک مثلثِ قائم‌الزاویه حولِ دو پایِ مختلف، دو مخروطِ با حجم‌هایِ متفاوت می‌دهد، چون نقشِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین جا‌به‌جا می‌شود.

سطحِ مقطع: برشِ کره با هر صفحه‌ای همیشه دایره است؛ بزرگ‌ترین دایره وقتی است که صفحه از مرکز بگذرد (شعاعش $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود) و هرچه صفحه از مرکز دورتر باشد، دایره کوچک‌تر است.

نسبتِ $\frac{V}{S}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین: این نسبت می‌گوید جسم چقدر «فشرده» است. از میانِ همهٔ اجسام با سطحِ ثابت، کره بیشترین حجم را دارد — به همین دلیل حباب‌هایِ صابون، قطره‌هایِ آب و سیاره‌ها کروی‌اند: با کمترین سطح، بیشترین حجم را نگه می‌دارند.

نمایِ بالا و برش: نمایِ بالایِ هرمِ منتظم همان شکلِ قاعده است با خط‌هایی که به مرکز می‌روند — نه یک دایره. و برشِ موربِ مکعب می‌تواند شکل‌هایِ متفاوتی بدهد؛ مثلاً برش از وسطِ سه ضلعی که به یک رأس می‌رسند، یک مثلثِ متساوی‌الاضلاع به ضلعِ $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد.

کره‌ها در جعبه: وقتی کره‌هایی به شعاعِ $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را در جعبه می‌چینی، فاصلهٔ مرکزِ هر کره تا دیوارِ مماس $r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و فاصلهٔ مرکزِ دو کرهٔ مماس $2r$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است. نکتهٔ جالب اینکه حتی در فشرده‌ترین چینشِ ممکن، کره‌ها فقط حدودِ $۷۴\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین فضا را پر می‌کنند و حدودِ $۲۶\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین همیشه خالی می‌ماند — این نسبت به اندازهٔ کره‌ها بستگی ندارد.

مسائلِ ترکیبی

برایِ اجسامِ ترکیبی (مثلِ استوانک = استوانه + نیم‌کره، یا کپسول):
۱) جسم را به بخش‌هایِ ساده تجزیه کن؛
۲) حجم‌ها را جمع کن (یا در حالتِ حفره، کم کن)؛
۳) برایِ مساحت، فقط سطوحِ بیرونی را بشمار و سطحِ مشترکِ چسبیده بینِ دو بخش را حذف کن.

مثلاً برایِ استوانک:

V = \pi R^2h+\frac{2}{3}\pi R^3 \qquad S = 2\pi Rh+2\pi R^2+\pi R^2 = 2\pi Rh+3\pi R^2

(قاعدهٔ بالاییِ استوانه که زیرِ نیم‌کره پنهان شده، سطحِ بیرونی نیست.)

مسئله‌هایِ ریختنِ آب: حجم ثابت می‌ماند، پس دو فرمول را مساوی بگذار. مثلاً آبِ یک نیم‌کره را در استوانه‌ای با همان شعاع بریزی:

\frac{2}{3}\pi R^3 = \pi R^2 h \;\Longrightarrow\; h = \frac{2R}{3}

جالب اینکه این ارتفاع همیشه $\frac{2}{3}R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، مستقل از اندازهٔ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.

هرم و مخروطِ ناقص (فراتر از کتاب، ولی پرتکرار در تیزهوشان): اگر مخروطی را با صفحه‌ای موازیِ قاعده ببری، بخشِ بالایی با مخروطِ اصلی متشابه است. پس اگر نسبتِ طولی $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، نسبتِ حجم‌ها $k^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است — همان قاعده‌ای که در کره هم دیدیم.

چند سوءتفاهمِ رایج

خیلی‌ها فکر می‌کنند کره یعنی «توپ» و شاملِ فضایِ داخلش هم می‌شود؛ ولی در واقع در تعریفِ ریاضی کره فقط رویه است و حجمِ کره یعنی فضایی که این رویه محصور کرده.

خیلی‌ها فکر می‌کنند چون فرمولِ حجمِ هرم شبیهِ منشور است، حجمشان هم نزدیک است؛ ولی در واقع هرم دقیقاً یک‌سومِ منشورِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع است و ضریبِ $\frac{1}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین هرگز حذف نمی‌شود.

خیلی‌ها فکر می‌کنند مخروط فرمول‌هایِ کاملاً جدایی از هرم دارد چون یکی گرد است و دیگری چندضلعی؛ ولی در واقع مخروط فقط هرمی منتظم با بی‌نهایت ضلع است و از همان $V=\frac{1}{3}Sh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پیروی می‌کند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند طولِ کمانِ قطاعِ بریده‌شده برابرِ محیطِ دایرهٔ بزرگِ اولیه است؛ ولی در واقع برابرِ محیطِ قاعدهٔ مخروطِ نهایی است، که دایرهٔ کوچک‌تری است.

خیلی‌ها فکر می‌کنند در اجسامِ ترکیبی، مساحتِ کل جمعِ مساحتِ کلِ تک‌تکِ بخش‌هاست؛ ولی در واقع باید سطوحِ مشترکِ چسبیده را که دیگر بیرونی نیستند کم کرد.

اشتباه‌هایِ رایج

گذاشتنِ قطر به جایِ شعاع در فرمول‌ها. اگر «دهانه» یا «قطر» گفتند، اول نصف کن.
فراموش کردنِ ضریبِ $\frac{4}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در حجمِ کره یا ضریبِ $\frac{1}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در هرم و مخروط.
جا‌به‌جا کردنِ توان‌ها: $S=4\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، نه برعکس.
اشتباه گرفتنِ ارتفاعِ جانبی ( $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) با ارتفاعِ اصلی ( $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ حجم با $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حساب می‌شود و مساحتِ جانبی با $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین.
استفاده از $h=l-R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به جایِ فیثاغورس؛ درستش $h=\sqrt{l^2-R^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
گرفتنِ ارتفاعِ استوانهٔ محیط بر کره برابرِ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ درستش $2R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
شمردنِ قاعدهٔ مشترک در اجسامِ ترکیبی؛ آن سطح بیرونی نیست.
فراموش کردنِ $\frac{1}{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین در مساحتِ مثلثِ جانبی.
در مخروطِ ساخته‌شده از قطاع، شعاعِ دایرهٔ اولیه را شعاعِ قاعده فرض کردن؛ آن شعاع در واقع $l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.
گمان کردن که دو برابر شدنِ شعاع یعنی دو برابر شدنِ حجم.

نمونه سؤال

سؤال ۱: کره‌ای به شعاعِ ۶ سانتی‌متر داریم. حجم و مساحتِ رویهٔ آن را بر حسبِ $\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین حساب کنید.

پاسخ: با $R=6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین:

V = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = \frac{4}{3}\pi\times216 = 288\pi \text{ cm}^3

S = 4\pi(6)^2 = 144\pi \text{ cm}^2

سؤال ۲: هرمِ منتظمی با قاعدهٔ مربع به ضلعِ ۶ سانتی‌متر داریم که ارتفاعِ جانبی‌اش ۵ سانتی‌متر است. حجمش چقدر است؟

پاسخ: فاصلهٔ مرکزِ قاعده تا وسطِ ضلع برابرِ $\frac{6}{2}=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و $l=5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. با فیثاغورس در مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای که $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $5$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازند:

h = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}

مساحتِ قاعده $6^2=36$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس:

V = \frac{1}{3}\times36\times4 = 48 \text{ cm}^3

سؤال ۳: مخروطی از پیچیدنِ قطاعی از دایره به شعاعِ ۱۲ سانتی‌متر و زاویهٔ مرکزیِ ۱۲۰ درجه ساخته شده. شعاعِ قاعده و ارتفاعِ این مخروط را حساب کنید.

پاسخ: شعاعِ قطاع همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، پس $l=12$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. حالا:

R = \frac{\theta}{360}\times l = \frac{120}{360}\times12 = 4 \text{ cm}

h = \sqrt{l^2-R^2} = \sqrt{144-16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ cm}

سؤال ۴: حجمِ یک کره ۶۴ برابرِ حجمِ کرهٔ دیگر است. مساحتِ رویهٔ کرهٔ بزرگ‌تر چند برابرِ کرهٔ کوچک‌تر است؟

پاسخ: اگر نسبتِ شعاع‌ها $k$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین باشد، $k^3=64$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین پس $k=4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. و چون نسبتِ مساحت‌ها $k^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است:

\frac{S_{\text{بزرگ}}}{S_{\text{کوچک}}} = 4^2 = 16

یعنی ۱۶ برابر.

سؤال ۵ (ترکیبی): مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای با پاهایِ ۶ و ۸ سانتی‌متر را یک‌بار حولِ پایِ ۶ و بارِ دیگر حولِ پایِ ۸ می‌چرخانیم. حجمِ کدام مخروط بزرگ‌تر است و چند برابر؟

پاسخ: وقتی حولِ پایِ ۶ می‌چرخد، همان پا ارتفاع می‌شود و پایِ دیگر شعاع:

V_1 = \frac{1}{3}\pi(8)^2(6) = 128\pi

وقتی حولِ پایِ ۸ می‌چرخد:

V_2 = \frac{1}{3}\pi(6)^2(8) = 96\pi

پس $\frac{V_1}{V_2}=\frac{128}{96}=\frac{4}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین؛ دوران حولِ پایِ کوچک‌تر مخروطِ بزرگ‌تری با حجمِ $\frac{4}{3}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌سازد.

سؤال ۶ (ترکیبی): استوانه‌ای به شعاعِ ۶ و ارتفاعِ ۱۰ سانتی‌متر داریم که یک مخروطِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع از داخلش کنده شده. حجمِ باقی‌مانده چقدر است؟

پاسخ: حجمِ استوانه $\pi(36)(10)=360\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و حجمِ مخروط $\frac{1}{3}\pi(36)(10)=120\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است، پس باقی‌مانده $360\pi-120\pi=240\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌مترمکعب. (همان‌طور که انتظار داریم، دقیقاً دوسومِ استوانه باقی می‌ماند.)

سؤال ۷: ظرفی داریم به شکلِ استوانه که کفش یک نیم‌کرهٔ توپر است (مثلِ یک ظرفِ آزمایشگاهیِ ته‌گرد). شعاعِ ظرف ۴ و ارتفاعِ بخشِ استوانه‌ایِ آن ۹ سانتی‌متر است. (الف) اگر تا لبه از آب پر شود چقدر آب می‌گیرد؟ (ب) مساحتِ سطحِ داخلی که با آب در تماس است چقدر است؟

پاسخ: (الف) حجم مجموعِ استوانه و نیم‌کره است:

V = \pi(16)(9)+\frac{2}{3}\pi(64) = 144\pi+\frac{128}{3}\pi = \frac{560}{3}\pi \text{ cm}^3

(ب) سطحِ در تماس با آب = سطحِ جانبیِ استوانه + رویهٔ منحنیِ نیم‌کره (قاعدهٔ نیم‌کره داخلی است و سطحِ تماس نیست):

S = 2\pi(4)(9)+2\pi(16) = 72\pi+32\pi = 104\pi \text{ cm}^2

سؤال ۸: نیم‌دایره‌ای به شعاعِ ۷ سانتی‌متر را حولِ قطرش می‌چرخانیم تا کره‌ای بسازیم، سپس این کره را در کوچک‌ترین مکعبِ ممکن جا می‌دهیم. کره چند درصدِ حجمِ مکعب را اشغال می‌کند؟ ( $\pi\approx3.14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)

پاسخ: دورانِ نیم‌دایره حولِ قطر، کره‌ای به شعاعِ $R=7$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌سازد. چون کره در مکعب محاط است، ضلعِ مکعب برابرِ قطرِ کره یعنی $14$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است.

V_{\text{کره}} = \frac{4}{3}\times3.14\times343 \approx 1436 \text{ cm}^3 \qquad V_{\text{مکعب}} = 14^3 = 2744 \text{ cm}^3

\text{درصد} = \frac{1436}{2744}\times100 \approx 52.3\%

نکتهٔ جالب: این درصد همیشه $\frac{\pi}{6}\times100\approx52.4\%$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است و به اندازهٔ کره بستگی ندارد.

جمع‌بندی

جسم	حجم	مساحتِ جانبی	مساحتِ کل
کره	$\frac{4}{3}\pi R^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	—	$4\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
نیم‌کره	$\frac{2}{3}\pi R^3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$3\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
هرمِ منتظم	$\frac{1}{3}Sh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{2}Pl$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\frac{1}{2}Pl+S_{\text{قاعده}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
مخروط	$\frac{1}{3}\pi R^2h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\pi Rl$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$\pi R(R+l)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
استوانه	$\pi R^2h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین	$2\pi R(R+h)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

سه چیز را همیشه چک کن: شعاع دادند یا قطر؛ ارتفاعِ عمودی خواسته شده یا ارتفاعِ جانبی؛ و در اجسامِ ترکیبی کدام سطح واقعاً بیرونی است. اگر این سه را درست بگیری، بقیهٔ کار فقط جای‌گذاری در همین جدول است.

سؤال تستی

۵ تست با پاسخنامه‌ی تحلیلی — برای دیدن بزن

پاسخنامه‌ی تحلیلی سه‌بخشی برای هر سؤال

چرا گزینه‌ی درست، درست است
چرا هر گزینه‌ی دیگر غلط است
تله‌ی تستی‌ای که باید بشناسی

1. اگر شعاع یک کره و ضلع یک مکعب با هم برابر باشند، نسبت $\frac{V}{S}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (حجم به مساحت کل) کره به چند برابر نسبت $\frac{V}{S}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مکعب است؟

$3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا $\frac VS$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کره $\frac R3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac VS$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مکعب $\frac a6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین است؛ با $R=a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین نسبت $\frac{R/3}{a/6}=2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. گزینه‌های « $1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین»، « $3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» و « $4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» از محاسبهٔ نادرستِ یکی از دو نسبت می‌آیند. تلهٔ تستی: $\frac VS$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کره ( $\frac R3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) دو برابرِ مکعب ( $\frac a6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است؛ فرمول‌های حجم و سطحِ هر دو را جدا حساب کن نه سرانگشتی.

2. یک استوانک (نیم‌کره‌ای به همان شعاع روی استوانه) به شعاع $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و ارتفاع استوانه $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین داریم. مساحت کل این جسم کدام است؟

$3\pi R^{2} + 2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$2\pi R^{2} + 2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$3\pi R^{2} + 2\pi R(h + R)$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$4\pi R^{2} + 2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $3\pi R^{2} + 2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا سطحِ کلِ استوانک برابرِ رویهٔ نیم‌کره ( $2\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) + سطحِ جانبیِ استوانه ( $2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) + قاعدهٔ پایین ( $\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) است که $3\pi R^2+2\pi Rh$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌شود. گزینه‌های دیگر یا قاعدهٔ مشترک را اشتباه شمرده‌اند یا رویهٔ کرهٔ کامل گذاشته‌اند. تلهٔ تستی: قاعدهٔ بالای استوانه زیرِ نیم‌کره پنهان است و شمرده نمی‌شود، ولی قاعدهٔ پایین ( $\pi R^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) جزوِ سطح است.

3. مستطیلی به ابعاد $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ( $a < b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را ابتدا حول ضلع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌چرخانیم (حجم $V_1$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و سپس حول ضلع $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (حجم $V_2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین). نسبت $\frac{V_1}{V_2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین کدام است؟

$\frac{b}{a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{a^{2}}{b^{2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$\frac{a}{b}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $\frac{b}{a}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا دوران حول $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استوانه‌ای با شعاع $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌دهد ( $V_1=\pi b^2 a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) و حول $b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین استوانه‌ای با شعاع $a$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین ( $V_2=\pi a^2 b$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین)؛ نسبت $\frac{\pi b^2a}{\pi a^2b}=\frac ba$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های $\frac{a^2}{b^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $\frac{b^2}{a^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از توانِ اشتباه و $\frac ab$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین از وارونه است. تلهٔ تستی: محورِ دوران ارتفاع می‌شود و ضلعِ دیگر شعاع؛ چون شعاع به توانِ دو می‌رود، نسبت $\frac ba$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین (نه $\frac{b^2}{a^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) در می‌آید.

4. از یک دایره به شعاع $9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر، یک بخش با زاویه $120^{\circ}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بریده و به شکل مخروط درمی‌آوریم. حجم این مخروط کدام است؟

$18\pi\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$9\pi\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$27\pi\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$36\pi\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $18\pi\sqrt{2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا $R=\frac{120}{360}\times9=3$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $h=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و $V=\frac13\pi(9)(6\sqrt2)=18\sqrt2\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. گزینه‌های دیگر از اشتباه در $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین، $h$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین یا ضریبِ $\frac13$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین می‌آیند. تلهٔ تستی: شعاعِ قطاع ( $9$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، نه شعاعِ قاعده؛ $R$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین را از $\frac{\theta}{360}\times l$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیاب.

5. کره‌ای به شعاع $10$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر را با صفحه‌ای به فاصله $6$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر از مرکز آن برش می‌دهیم. مساحت سطح مقطع حاصل کدام است؟

$36\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$80\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$100\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین
$64\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین

پاسخنامه‌ی تحلیلی

« $64\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» درست است زیرا شعاعِ مقطع $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین و مساحتش $\pi r^2=64\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. « $100\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» مقطعِ گذرنده از مرکز، « $36\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» با $d^2$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین اشتباه، و « $80\pi$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین» نادرست است. تلهٔ تستی: شعاعِ مقطع از فیثاغورس $\sqrt{R^2-d^2}$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین به‌دست می‌آید؛ فاصلهٔ صفحه ( $d$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین) را با شعاعِ کره اشتباه نگیر.

نمونه سؤال تشریحی

۳ سؤال امتحانی با پاسخ نمونه — برای دیدن بزن

۱. الف) حجم کره‌ای به شعاع ۳ سانتی‌متر را بر حسب $π$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بیابید. ب) توضیح دهید اگر شعاع دو برابر شود، حجم چند برابر می‌شود.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) $V=\frac43πr^3=\frac43π(27)=36π$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین سانتی‌متر مکعب است. ب) حجم با مکعب شعاع تغییر می‌کند؛ دو برابرشدن شعاع حجم را $2^3=8$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین برابر می‌کند، نه دو برابر.
کجا بخوانم: در «۳.۱ فرمول‌های کلیدی»
نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ داده‌شده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقش‌های متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید توان‌دار باشد.

۲. الف) مساحت رویهٔ کره‌ای به شعاع ۵ متر را بیابید. ب) پیش‌بینی کنید اگر شعاع نصف شود مساحت چه نسبتی پیدا می‌کند و چرا تغییر مساحت با تغییر شعاع یکسان نیست؟

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) $S=4πr^2=4π(25)=100π$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین متر مربع است. ب) مساحت با مربع شعاع متناسب است؛ شعاع نصف شود، مساحت به $(1/2)^2=1/4$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین مقدار اولیه می‌رسد.
کجا بخوانم: در «۲.۴ کشف فرمول مساحت رویه کره (آزمایش فعالیت کتاب)»
نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ داده‌شده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقش‌های متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید توان‌دار باشد.

۳. الف) حجم نیم‌کره‌ای به شعاع ۶ را با $π$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین بنویسید. ب) توضیح دهید چرا سطح خمیدهٔ نیم‌کره نصف سطح کره است اما مساحت کل آن نصف نیست.

پاسخ نمونه

پاسخ کامل: الف) حجم نیم‌کره نصف حجم کره است: $V=\frac12×\frac43π(6^3)=144π$ ادامهٔ فرمول را افقی ببین. ب) سطح کل نیم‌کره علاوه بر سطح خمیده، دایرهٔ قاعده را هم دارد؛ بنابراین مساحت کل آن از نصف مساحت کره بیشتر است.
کجا بخوانم: در «۳.۲ فرمول‌های نیم‌کره»
نکته مهم: فرمول را با اندازهٔ داده‌شده تطبیق دهید؛ شعاع، ارتفاع عمودی و ارتفاع جانبی نقش‌های متفاوت دارند و یکای پاسخ نیز باید توان‌دار باشد.

مباحث مرتبط

مجموعه‌ها و احتمال (ریاضی نهم)عددهای حقیقی و قدر مطلق (ریاضی نهم)استدلال و اثبات در هندسه (ریاضی نهم)توان و ریشه (ریاضی نهم)عبارت‌های جبری و اتحادها (ریاضی نهم)خط و معادله‌های خطی (ریاضی نهم)عبارت‌های گویا (ریاضی نهم)مجموعه‌ها — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)عددهای حقیقی — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)استدلال و اثبات در هندسه — ریاضی تیزهوشان نهم (استعداد درخشان)

ادامه‌ی این مبحث رو ببین

با ثبت‌نام رایگان، به بانک کامل سؤال، شبیه‌ساز کنکور و تحلیل پیشرفت دسترسی داری

ثبت‌نام رایگان