اگر شعاع یک کره و ضلع یک مکعب با هم برابر باشند، نسبت $\frac{V}{S}$ (حجم به مساحت کل) کره به چند برابر نسبت $\frac{V}{S}$ مکعب است؟

$2$ — «$2$» درست است زیرا $\frac VS$ کره $\frac R3$ و $\frac VS$ مکعب $\frac a6$ است؛ با $R=a$ نسبت $\frac{R/3}{a/6}=2$ میشود. گزینههای «$1$»، «$3$» و «$4$» از محاسبهٔ نادرستِ یکی از دو نسبت میآیند. تلهٔ تستی: $\frac VS$ کره ($\frac R3$) دو برابرِ مکعب ($\frac a6$) است؛ فرمولهای حجم و سطحِ هر دو را جدا حساب کن نه سرانگشتی.

یک استوانک (نیمکرهای به همان شعاع روی استوانه) به شعاع $R$ و ارتفاع استوانه $h$ داریم. مساحت کل این جسم کدام است؟

$3\pi R^{2} + 2\pi Rh$ — «$3\pi R^{2} + 2\pi Rh$» درست است زیرا سطحِ کلِ استوانک برابرِ رویهٔ نیمکره ($2\pi R^2$) + سطحِ جانبیِ استوانه ($2\pi Rh$) + قاعدهٔ پایین ($\pi R^2$) است که $3\pi R^2+2\pi Rh$ میشود. گزینههای دیگر یا قاعدهٔ مشترک را اشتباه شمردهاند یا رویهٔ کرهٔ کامل گذاشتهاند. تلهٔ تستی: قاعدهٔ بالای استوانه زیرِ نیمکره پنهان است و شمرده نمیشود، ولی قاعدهٔ پایین ($\pi R^2$) جزوِ سطح است.

مستطیلی به ابعاد $a$ و $b$ ($a < b$) را ابتدا حول ضلع $a$ میچرخانیم (حجم $V_1$) و سپس حول ضلع $b$ (حجم $V_2$). نسبت $\frac{V_1}{V_2}$ کدام است؟

$\frac{b}{a}$ — «$\frac{b}{a}$» درست است زیرا دوران حول $a$ استوانهای با شعاع $b$ میدهد ($V_1=\pi b^2 a$) و حول $b$ استوانهای با شعاع $a$ ($V_2=\pi a^2 b$)؛ نسبت $\frac{\pi b^2a}{\pi a^2b}=\frac ba$. گزینههای $\frac{a^2}{b^2}$ و $\frac{b^2}{a^2}$ از توانِ اشتباه و $\frac ab$ از وارونه است. تلهٔ تستی: محورِ دوران ارتفاع میشود و ضلعِ دیگر شعاع؛ چون شعاع به توانِ دو میرود، نسبت $\frac ba$ (نه $\frac{b^2}{a^2}$) در میآید.

از یک دایره به شعاع $9$ سانتیمتر، یک بخش با زاویه $120^{\circ}$ بریده و به شکل مخروط درمیآوریم. حجم این مخروط کدام است؟

$18\pi\sqrt{2}$ — «$18\pi\sqrt{2}$» درست است زیرا $R=\frac{120}{360}\times9=3$، $h=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$ و $V=\frac13\pi(9)(6\sqrt2)=18\sqrt2\pi$. گزینههای دیگر از اشتباه در $R$، $h$ یا ضریبِ $\frac13$ میآیند. تلهٔ تستی: شعاعِ قطاع ($9$) همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، نه شعاعِ قاعده؛ $R$ را از $\frac{\theta}{360}\times l$ بیاب.

کرهای به شعاع $10$ سانتیمتر را با صفحهای به فاصله $6$ سانتیمتر از مرکز آن برش میدهیم. مساحت سطح مقطع حاصل کدام است؟

$64\pi$ — «$64\pi$» درست است زیرا شعاعِ مقطع $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$ و مساحتش $\pi r^2=64\pi$. «$100\pi$» مقطعِ گذرنده از مرکز، «$36\pi$» با $d^2$ اشتباه، و «$80\pi$» نادرست است. تلهٔ تستی: شعاعِ مقطع از فیثاغورس $\sqrt{R^2-d^2}$ بهدست میآید؛ فاصلهٔ صفحه ($d$) را با شعاعِ کره اشتباه نگیر.

حجم و مساحت (نهم) — نمونه سؤال و درسنامهٔ امتحانات

Q: مستطیلی به ابعاد $a$ و $b$ ($a < b$) را ابتدا حول ضلع $a$ میچرخانیم (حجم $V_1$) و سپس حول ضلع $b$ (حجم $V_2$). نسبت $\frac{V_1}{V_2}$ کدام است؟

$\frac{b}{a}$ — «$\frac{b}{a}$» درست است زیرا دوران حول $a$ استوانهای با شعاع $b$ میدهد ($V_1=\pi b^2 a$) و حول $b$ استوانهای با شعاع $a$ ($V_2=\pi a^2 b$)؛ نسبت $\frac{\pi b^2a}{\pi a^2b}=\frac ba$. گزینههای $\frac{a^2}{b^2}$ و $\frac{b^2}{a^2}$ از توانِ اشتباه و $\frac ab$ از وارونه است. تلهٔ تستی: محورِ دوران ارتفاع میشود و ضلعِ دیگر شعاع؛ چون شعاع به توانِ دو میرود، نسبت $\frac ba$ (نه $\frac{b^2}{a^2}$) در میآید.

Q: از یک دایره به شعاع $9$ سانتیمتر، یک بخش با زاویه $120^{\circ}$ بریده و به شکل مخروط درمیآوریم. حجم این مخروط کدام است؟

$18\pi\sqrt{2}$ — «$18\pi\sqrt{2}$» درست است زیرا $R=\frac{120}{360}\times9=3$، $h=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$ و $V=\frac13\pi(9)(6\sqrt2)=18\sqrt2\pi$. گزینههای دیگر از اشتباه در $R$، $h$ یا ضریبِ $\frac13$ میآیند. تلهٔ تستی: شعاعِ قطاع ($9$) همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، نه شعاعِ قاعده؛ $R$ را از $\frac{\theta}{360}\times l$ بیاب.

Q: کرهای به شعاع $10$ سانتیمتر را با صفحهای به فاصله $6$ سانتیمتر از مرکز آن برش میدهیم. مساحت سطح مقطع حاصل کدام است؟

$64\pi$ — «$64\pi$» درست است زیرا شعاعِ مقطع $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$ و مساحتش $\pi r^2=64\pi$. «$100\pi$» مقطعِ گذرنده از مرکز، «$36\pi$» با $d^2$ اشتباه، و «$80\pi$» نادرست است. تلهٔ تستی: شعاعِ مقطع از فیثاغورس $\sqrt{R^2-d^2}$ بهدست میآید؛ فاصلهٔ صفحه ($d$) را با شعاعِ کره اشتباه نگیر.

حجم و مساحت (نهم)

این مبحث سه بخش دارد: کره، هرم و مخروط، و در پایان مسائلِ ترکیبیِ سطح و حجم (گسترده، دوران، مقطع). نکتهٔ خوبِ این فصل این است که همه‌چیز از چند فرمولِ کوتاه می‌آید و بقیه‌اش فهمِ شکل است.

کره: از دایره به فضا

دایره مجموعهٔ نقاطی در صفحه است که فاصله‌شان از مرکز برابرِ $R$ باشد؛ کره دقیقاً همین تعریف است، فقط در فضا. یعنی کره تعمیمِ دایره از دو بعد به سه بعد است. همان‌طور که دایره فقط خطِ محیط است، کره هم در تعریفِ ریاضی فقط رویه (سطحِ بیرونی) است، نه فضایِ توپرِ داخلش؛ وقتی از «حجمِ کره» حرف می‌زنیم منظور فضایی است که این رویه محصور کرده.

استوانهٔ محیط بر کره: اگر کره‌ای به شعاعِ $R$ را طوری در استوانه بگذاری که از هر طرف مماس باشد، شعاعِ قاعدهٔ استوانه $R$ و ارتفاعش $2R$ می‌شود (چون از بالا و پایین هم مماس است و قطرِ کره $2R$ است). پس:

V_{\text{استوانه}} = \pi R^2 \times 2R = 2\pi R^3

آرشیمد ثابت کرد که حجمِ کره دقیقاً $\frac{2}{3}$ حجمِ همین استوانه است، و از همین‌جا فرمولِ اصلی می‌آید:

\boxed{V_{\text{کره}} = \frac{2}{3}\times 2\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3} \qquad \boxed{S_{\text{رویهٔ کره}} = 4\pi R^2}

نکتهٔ شهودیِ قشنگ: $4\pi R^2 = 4\times(\pi R^2)$ ، یعنی مساحتِ رویهٔ کره دقیقاً برابرِ مساحتِ چهار دایره به همان شعاع است.

نیم‌کره:

کمیت	فرمول
حجم	$\frac{2}{3}\pi R^3$ (نصفِ حجمِ کره)
رویهٔ منحنی	$2\pi R^2$
مساحتِ کل (منحنی + قاعده)	$2\pi R^2+\pi R^2 = 3\pi R^2$

اینکه کدام‌یک خواسته شده را با دقت بخوان؛ اگر جسم توپر باشد (مثلِ نیم‌توپ یا کاسه)، دایرهٔ قاعده هم جزءِ سطحِ بیرونی است.

نسبتِ حجم‌ها با نسبتِ شعاع‌ها: اگر $R_2 = kR_1$ باشد:

\frac{V_2}{V_1}=k^3 \qquad , \qquad \frac{S_2}{S_1}=k^2

پس اگر شعاع دو برابر شود، حجم ۸ برابر و مساحتِ رویه ۴ برابر می‌شود — نه دو برابر.

پوستهٔ کروی: اگر کره‌ای از داخل با یک حفرهٔ کرویِ هم‌مرکز خالی شده باشد، حجمِ باقی‌مانده تفاضلِ دو حجم است:

V_{\text{پوسته}} = \frac{4}{3}\pi(R^3-r^3)

نمادِ علمی: در مسائلی مثلِ کرهٔ زمین که اعداد خیلی بزرگ‌اند، با نمادِ علمی کار کن. مثلاً با شعاعِ $R = 6{,}4\times10^3$ کیلومتر:

S = 4\pi R^2 = 4\pi(6{,}4\times10^3)^2 \approx 5{,}1\times10^8 \text{ km}^2

هرم و مخروط

هرم یک قاعدهٔ چندضلعی دارد و وجه‌هایِ جانبیِ مثلثی که همه در یک نقطه (رأس) به هم می‌رسند. ارتفاع ( $h$ ) فاصلهٔ عمودیِ رأس تا صفحهٔ قاعده است.

هرمِ منتظم هرمی است که قاعده‌اش چندضلعیِ منتظم باشد و وجه‌هایِ جانبی‌اش هم‌نهشت؛ در آن پایِ ارتفاع دقیقاً رویِ مرکزِ قاعده می‌افتد.

فرمولِ حجمِ هرم از کجا آمد؟ یک منشورِ مثلثی را می‌توان به سه هرم با حجم‌هایِ مساوی تجزیه کرد. پس حجمِ هر هرم یک‌سومِ منشور است، و چون هر هرمی را می‌توان به هرم‌هایِ مثلثی تجزیه کرد، این نتیجه برایِ همهٔ هرم‌ها برقرار است:

\boxed{V_{\text{هرم}} = \frac{1}{3}\times S_{\text{قاعده}}\times h}

اصلِ مهم: دو هرم با مساحتِ قاعدهٔ برابر و ارتفاعِ برابر، حجمِ برابر دارند — حتی اگر شکلِ قاعده‌هایشان فرق کند.

از هرم به مخروط: اگر تعدادِ اضلاعِ قاعدهٔ هرمِ منتظم را بیشتر و بیشتر کنی، قاعده به دایره میل می‌کند و هرم به مخروط تبدیل می‌شود. پس مخروط چیزی جز حدِ هرمِ منتظم نیست و همان فرمول را دارد، فقط با $S=\pi R^2$ :

\boxed{V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h}

شکل	حجم	نسبت
منشور	$S\cdot h$	۱
هرم	$\frac{1}{3}Sh$	$\frac{1}{3}$
استوانه	$\pi R^2h$	۱
مخروط	$\frac{1}{3}\pi R^2h$	$\frac{1}{3}$

سه طولِ متفاوت که نباید قاطی شوند:

طول	نماد	تعریف	کاربرد
ارتفاعِ اصلی	$h$	فاصلهٔ عمودیِ رأس تا قاعده	محاسبهٔ حجم
ارتفاعِ جانبی	$l$	فاصلهٔ رأس تا وسطِ ضلعِ قاعده	محاسبهٔ مساحتِ جانبی
یالِ جانبی	$e$	فاصلهٔ رأس تا رأسِ قاعده	مسائلِ هندسی

در مخروط این سه به فیثاغورس وصل می‌شوند: $l^2 = R^2+h^2$ . پس اگر دو تا را دادند، سومی را دربیاور: $h=\sqrt{l^2-R^2}$ .

در هرمِ منتظم با قاعدهٔ مربع به ضلعِ $a$ ، فاصلهٔ مرکزِ قاعده تا وسطِ هر ضلع برابرِ $\frac{a}{2}$ است، پس:

l^2 = h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

مساحتِ سطح و گسترده

گسترده شکلِ مسطحی است که با تا کردنش جسمِ سه‌بعدی ساخته می‌شود؛ بهترین ابزار برایِ فهمِ مساحتِ کل، چون همهٔ وجه‌ها را کنارِ هم و مسطح می‌بینی.

S_{\text{مکعب}} = 6a^2 \qquad S_{\text{مکعب‌مستطیل}} = 2(lw+wh+lh)

هرمِ منتظم: هر وجهِ جانبی مثلثی است با مساحتِ $\frac{1}{2}al$ . اگر قاعده $n$ ضلع داشته باشد:

S_{\text{جانبی}} = n\times\frac{1}{2}al = \frac{1}{2}\times P\times l

که $P$ محیطِ قاعده است. برایِ قاعدهٔ مربع: $S_{\text{جانبی}}=2al$ و $S_{\text{کل}}=2al+a^2$ .

مخروط: مخروط از پیچیدنِ یک قطاعِ دایره ساخته می‌شود که شعاعش همان $l$ است. رابطهٔ کلیدی این است که طولِ کمانِ آن قطاع برابرِ محیطِ قاعدهٔ مخروط می‌شود:

\frac{\theta}{360}\times 2\pi l = 2\pi R \;\Longrightarrow\; R = \frac{\theta}{360}\times l

S_{\text{جانبیِ مخروط}} = \pi R l \qquad S_{\text{کلِ مخروط}} = \pi R(R+l) \qquad S_{\text{کلِ استوانه}} = 2\pi R(R+h)

دوران و سطحِ مقطع

اگر شکلِ مسطحی را حولِ یک خط (محورِ دوران) بچرخانی، جسمِ سه‌بعدی می‌سازد. هر نقطه به فاصلهٔ $r$ از محور، دایره‌ای به شعاعِ $r$ می‌سازد.

شکلِ مسطح	محورِ دوران	جسمِ حاصل
مستطیلِ $r\times h$	ضلعِ $h$	استوانه با شعاعِ $r$ و ارتفاعِ $h$
مثلثِ قائم‌الزاویه با پاهایِ $r$ و $h$	پایِ $h$	مخروط با شعاعِ $r$ و ارتفاعِ $h$
نیم‌دایره به شعاعِ $R$	قطر	کره به شعاعِ $R$
ربع‌دایره به شعاعِ $R$	یکی از شعاع‌ها	نیم‌کره به شعاعِ $R$
ذوزنقهٔ قائم‌الزاویه	ضلعِ عمودی	کلنگی (استوانه منهایِ مخروط)

دقت: دورانِ یک مثلثِ قائم‌الزاویه حولِ دو پایِ مختلف، دو مخروطِ با حجم‌هایِ متفاوت می‌دهد، چون نقشِ $R$ و $h$ جا‌به‌جا می‌شود.

سطحِ مقطع: برشِ کره با هر صفحه‌ای همیشه دایره است؛ بزرگ‌ترین دایره وقتی است که صفحه از مرکز بگذرد (شعاعش $R$ می‌شود) و هرچه صفحه از مرکز دورتر باشد، دایره کوچک‌تر است.

نسبتِ $\frac{V}{S}$ : این نسبت می‌گوید جسم چقدر «فشرده» است. از میانِ همهٔ اجسام با سطحِ ثابت، کره بیشترین حجم را دارد — به همین دلیل حباب‌هایِ صابون، قطره‌هایِ آب و سیاره‌ها کروی‌اند: با کمترین سطح، بیشترین حجم را نگه می‌دارند.

نمایِ بالا و برش: نمایِ بالایِ هرمِ منتظم همان شکلِ قاعده است با خط‌هایی که به مرکز می‌روند — نه یک دایره. و برشِ موربِ مکعب می‌تواند شکل‌هایِ متفاوتی بدهد؛ مثلاً برش از وسطِ سه ضلعی که به یک رأس می‌رسند، یک مثلثِ متساوی‌الاضلاع به ضلعِ $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ می‌سازد.

کره‌ها در جعبه: وقتی کره‌هایی به شعاعِ $r$ را در جعبه می‌چینی، فاصلهٔ مرکزِ هر کره تا دیوارِ مماس $r$ و فاصلهٔ مرکزِ دو کرهٔ مماس $2r$ است. نکتهٔ جالب اینکه حتی در فشرده‌ترین چینشِ ممکن، کره‌ها فقط حدودِ $۷۴\%$ فضا را پر می‌کنند و حدودِ $۲۶\%$ همیشه خالی می‌ماند — این نسبت به اندازهٔ کره‌ها بستگی ندارد.

مسائلِ ترکیبی

برایِ اجسامِ ترکیبی (مثلِ استوانک = استوانه + نیم‌کره، یا کپسول):
۱) جسم را به بخش‌هایِ ساده تجزیه کن؛
۲) حجم‌ها را جمع کن (یا در حالتِ حفره، کم کن)؛
۳) برایِ مساحت، فقط سطوحِ بیرونی را بشمار و سطحِ مشترکِ چسبیده بینِ دو بخش را حذف کن.

مثلاً برایِ استوانک:

V = \pi R^2h+\frac{2}{3}\pi R^3 \qquad S = 2\pi Rh+2\pi R^2+\pi R^2 = 2\pi Rh+3\pi R^2

(قاعدهٔ بالاییِ استوانه که زیرِ نیم‌کره پنهان شده، سطحِ بیرونی نیست.)

مسئله‌هایِ ریختنِ آب: حجم ثابت می‌ماند، پس دو فرمول را مساوی بگذار. مثلاً آبِ یک نیم‌کره را در استوانه‌ای با همان شعاع بریزی:

\frac{2}{3}\pi R^3 = \pi R^2 h \;\Longrightarrow\; h = \frac{2R}{3}

جالب اینکه این ارتفاع همیشه $\frac{2}{3}R$ است، مستقل از اندازهٔ $R$ .

هرم و مخروطِ ناقص (فراتر از کتاب، ولی پرتکرار در تیزهوشان): اگر مخروطی را با صفحه‌ای موازیِ قاعده ببری، بخشِ بالایی با مخروطِ اصلی متشابه است. پس اگر نسبتِ طولی $k$ باشد، نسبتِ حجم‌ها $k^3$ است — همان قاعده‌ای که در کره هم دیدیم.

چند سوءتفاهمِ رایج

خیلی‌ها فکر می‌کنند کره یعنی «توپ» و شاملِ فضایِ داخلش هم می‌شود؛ ولی در واقع در تعریفِ ریاضی کره فقط رویه است و حجمِ کره یعنی فضایی که این رویه محصور کرده.

خیلی‌ها فکر می‌کنند چون فرمولِ حجمِ هرم شبیهِ منشور است، حجمشان هم نزدیک است؛ ولی در واقع هرم دقیقاً یک‌سومِ منشورِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع است و ضریبِ $\frac{1}{3}$ هرگز حذف نمی‌شود.

خیلی‌ها فکر می‌کنند مخروط فرمول‌هایِ کاملاً جدایی از هرم دارد چون یکی گرد است و دیگری چندضلعی؛ ولی در واقع مخروط فقط هرمی منتظم با بی‌نهایت ضلع است و از همان $V=\frac{1}{3}Sh$ پیروی می‌کند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند طولِ کمانِ قطاعِ بریده‌شده برابرِ محیطِ دایرهٔ بزرگِ اولیه است؛ ولی در واقع برابرِ محیطِ قاعدهٔ مخروطِ نهایی است، که دایرهٔ کوچک‌تری است.

خیلی‌ها فکر می‌کنند در اجسامِ ترکیبی، مساحتِ کل جمعِ مساحتِ کلِ تک‌تکِ بخش‌هاست؛ ولی در واقع باید سطوحِ مشترکِ چسبیده را که دیگر بیرونی نیستند کم کرد.

اشتباه‌هایِ رایج

گذاشتنِ قطر به جایِ شعاع در فرمول‌ها. اگر «دهانه» یا «قطر» گفتند، اول نصف کن.
فراموش کردنِ ضریبِ $\frac{4}{3}$ در حجمِ کره یا ضریبِ $\frac{1}{3}$ در هرم و مخروط.
جا‌به‌جا کردنِ توان‌ها: $S=4\pi R^2$ و $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ ، نه برعکس.
اشتباه گرفتنِ ارتفاعِ جانبی ( $l$ ) با ارتفاعِ اصلی ( $h$ )؛ حجم با $h$ حساب می‌شود و مساحتِ جانبی با $l$ .
استفاده از $h=l-R$ به جایِ فیثاغورس؛ درستش $h=\sqrt{l^2-R^2}$ است.
گرفتنِ ارتفاعِ استوانهٔ محیط بر کره برابرِ $R$ ؛ درستش $2R$ است.
شمردنِ قاعدهٔ مشترک در اجسامِ ترکیبی؛ آن سطح بیرونی نیست.
فراموش کردنِ $\frac{1}{2}$ در مساحتِ مثلثِ جانبی.
در مخروطِ ساخته‌شده از قطاع، شعاعِ دایرهٔ اولیه را شعاعِ قاعده فرض کردن؛ آن شعاع در واقع $l$ است.
گمان کردن که دو برابر شدنِ شعاع یعنی دو برابر شدنِ حجم.

نمونه سؤال

سؤال ۱: کره‌ای به شعاعِ ۶ سانتی‌متر داریم. حجم و مساحتِ رویهٔ آن را بر حسبِ $\pi$ حساب کنید.

پاسخ: با $R=6$ :

V = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = \frac{4}{3}\pi\times216 = 288\pi \text{ cm}^3

S = 4\pi(6)^2 = 144\pi \text{ cm}^2

سؤال ۲: هرمِ منتظمی با قاعدهٔ مربع به ضلعِ ۶ سانتی‌متر داریم که ارتفاعِ جانبی‌اش ۵ سانتی‌متر است. حجمش چقدر است؟

پاسخ: فاصلهٔ مرکزِ قاعده تا وسطِ ضلع برابرِ $\frac{6}{2}=3$ است و $l=5$ . با فیثاغورس در مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای که $h$ ، $3$ و $5$ می‌سازند:

h = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}

مساحتِ قاعده $6^2=36$ است، پس:

V = \frac{1}{3}\times36\times4 = 48 \text{ cm}^3

سؤال ۳: مخروطی از پیچیدنِ قطاعی از دایره به شعاعِ ۱۲ سانتی‌متر و زاویهٔ مرکزیِ ۱۲۰ درجه ساخته شده. شعاعِ قاعده و ارتفاعِ این مخروط را حساب کنید.

پاسخ: شعاعِ قطاع همان ارتفاعِ جانبیِ مخروط است، پس $l=12$ . حالا:

R = \frac{\theta}{360}\times l = \frac{120}{360}\times12 = 4 \text{ cm}

h = \sqrt{l^2-R^2} = \sqrt{144-16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ cm}

سؤال ۴: حجمِ یک کره ۶۴ برابرِ حجمِ کرهٔ دیگر است. مساحتِ رویهٔ کرهٔ بزرگ‌تر چند برابرِ کرهٔ کوچک‌تر است؟

پاسخ: اگر نسبتِ شعاع‌ها $k$ باشد، $k^3=64$ پس $k=4$ . و چون نسبتِ مساحت‌ها $k^2$ است:

\frac{S_{\text{بزرگ}}}{S_{\text{کوچک}}} = 4^2 = 16

یعنی ۱۶ برابر.

سؤال ۵ (ترکیبی): مثلثِ قائم‌الزاویه‌ای با پاهایِ ۶ و ۸ سانتی‌متر را یک‌بار حولِ پایِ ۶ و بارِ دیگر حولِ پایِ ۸ می‌چرخانیم. حجمِ کدام مخروط بزرگ‌تر است و چند برابر؟

پاسخ: وقتی حولِ پایِ ۶ می‌چرخد، همان پا ارتفاع می‌شود و پایِ دیگر شعاع:

V_1 = \frac{1}{3}\pi(8)^2(6) = 128\pi

وقتی حولِ پایِ ۸ می‌چرخد:

V_2 = \frac{1}{3}\pi(6)^2(8) = 96\pi

پس $\frac{V_1}{V_2}=\frac{128}{96}=\frac{4}{3}$ ؛ دوران حولِ پایِ کوچک‌تر مخروطِ بزرگ‌تری با حجمِ $\frac{4}{3}$ برابر می‌سازد.

سؤال ۶ (ترکیبی): استوانه‌ای به شعاعِ ۶ و ارتفاعِ ۱۰ سانتی‌متر داریم که یک مخروطِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع از داخلش کنده شده. حجمِ باقی‌مانده چقدر است؟

پاسخ: حجمِ استوانه $\pi(36)(10)=360\pi$ و حجمِ مخروط $\frac{1}{3}\pi(36)(10)=120\pi$ است، پس باقی‌مانده $360\pi-120\pi=240\pi$ سانتی‌مترمکعب. (همان‌طور که انتظار داریم، دقیقاً دوسومِ استوانه باقی می‌ماند.)

سؤال ۷: ظرفی داریم به شکلِ استوانه که کفش یک نیم‌کرهٔ توپر است (مثلِ یک ظرفِ آزمایشگاهیِ ته‌گرد). شعاعِ ظرف ۴ و ارتفاعِ بخشِ استوانه‌ایِ آن ۹ سانتی‌متر است. (الف) اگر تا لبه از آب پر شود چقدر آب می‌گیرد؟ (ب) مساحتِ سطحِ داخلی که با آب در تماس است چقدر است؟

پاسخ: (الف) حجم مجموعِ استوانه و نیم‌کره است:

V = \pi(16)(9)+\frac{2}{3}\pi(64) = 144\pi+\frac{128}{3}\pi = \frac{560}{3}\pi \text{ cm}^3

(ب) سطحِ در تماس با آب = سطحِ جانبیِ استوانه + رویهٔ منحنیِ نیم‌کره (قاعدهٔ نیم‌کره داخلی است و سطحِ تماس نیست):

S = 2\pi(4)(9)+2\pi(16) = 72\pi+32\pi = 104\pi \text{ cm}^2

سؤال ۸: نیم‌دایره‌ای به شعاعِ ۷ سانتی‌متر را حولِ قطرش می‌چرخانیم تا کره‌ای بسازیم، سپس این کره را در کوچک‌ترین مکعبِ ممکن جا می‌دهیم. کره چند درصدِ حجمِ مکعب را اشغال می‌کند؟ ( $\pi\approx3.14$ )

پاسخ: دورانِ نیم‌دایره حولِ قطر، کره‌ای به شعاعِ $R=7$ می‌سازد. چون کره در مکعب محاط است، ضلعِ مکعب برابرِ قطرِ کره یعنی $14$ است.

V_{\text{کره}} = \frac{4}{3}\times3.14\times343 \approx 1436 \text{ cm}^3 \qquad V_{\text{مکعب}} = 14^3 = 2744 \text{ cm}^3

\text{درصد} = \frac{1436}{2744}\times100 \approx 52.3\%

نکتهٔ جالب: این درصد همیشه $\frac{\pi}{6}\times100\approx52.4\%$ است و به اندازهٔ کره بستگی ندارد.

جمع‌بندی

جسم	حجم	مساحتِ جانبی	مساحتِ کل
کره	$\frac{4}{3}\pi R^3$	—	$4\pi R^2$
نیم‌کره	$\frac{2}{3}\pi R^3$	$2\pi R^2$	$3\pi R^2$
هرمِ منتظم	$\frac{1}{3}Sh$	$\frac{1}{2}Pl$	$\frac{1}{2}Pl+S_{\text{قاعده}}$
مخروط	$\frac{1}{3}\pi R^2h$	$\pi Rl$	$\pi R(R+l)$
استوانه	$\pi R^2h$	$2\pi Rh$	$2\pi R(R+h)$

سه چیز را همیشه چک کن: شعاع دادند یا قطر؛ ارتفاعِ عمودی خواسته شده یا ارتفاعِ جانبی؛ و در اجسامِ ترکیبی کدام سطح واقعاً بیرونی است. اگر این سه را درست بگیری، بقیهٔ کار فقط جای‌گذاری در همین جدول است.

حجم و مساحت (نهم)

خلاصه‌ی درسنامه

حجم و مساحت (نهم)

کره: از دایره به فضا

هرم و مخروط

مساحتِ سطح و گسترده

دوران و سطحِ مقطع

مسائلِ ترکیبی

چند سوءتفاهمِ رایج

اشتباه‌هایِ رایج

نمونه سؤال

جمع‌بندی

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین