عبارت های گویا (نهم)

عبارت های گویا (نهم)

این مبحث سه بخش دارد: شناختن و ساده کردنِ عبارت‌هایِ گویا، چهار عملِ اصلی رویِ آن‌ها، و تقسیمِ چندجمله‌ای‌ها. همه‌چیز رویِ یک مهارتِ پایه سوار است: تجزیه. هر جا در این فصل گیر کردی، معمولاً یعنی هنوز تجزیه نکرده‌ای.

عبارتِ گویا چیست؟

عبارتِ گویا کسری است که صورت و مخرجش هر دو چندجمله‌ای باشند:

نمونه‌هایِ گویا: $\frac{x-3}{4}$، $\frac{2}{5}$، $\frac{x}{y}$، $\frac{x^2-3x+1}{9xy}$. دقت کن که عددِ کسریِ ساده‌ای مثلِ $\frac{2}{5}$ هم گویاست (چندجمله‌ای‌هایِ ثابت)، و خودِ یک چندجمله‌ای مثلِ $x^3+2x-7$ هم گویاست چون می‌توان آن را $\frac{x^3+2x-7}{1}$ نوشت.

نمونه‌هایی که گویا نیستند: $\frac{1}{\sqrt{x}}$، $\sqrt{x}+2$، $|x-y|$. چرا؟ چون رادیکال و قدرمطلق چندجمله‌ای نیستند — در چندجمله‌ای فقط توان‌هایِ صحیحِ نامنفیِ متغیر مجازند.

عبارت‌هایِ گویا در علوم همه‌جا هستند؛ مثلاً سرعتِ متوسطِ رفت و برگشت با سرعت‌هایِ $v_1$ و $v_2$ برابرِ $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ است.

مقادیرِ تعریف‌نشده و دامنه

قانون: هر مقداری از متغیر که مخرج را صفر کند باید کنار گذاشته شود، چون تقسیم بر صفر تعریف ندارد. برایِ پیدا کردنشان مخرج را مساویِ صفر بگذار و حل کن — لازم است اول مخرج را تجزیه کنی.

مثال: $\frac{a+5}{a^2-5a+6}$. مخرج را تجزیه می‌کنیم: $a^2-5a+6=(a-2)(a-3)$، پس این عبارت به ازایِ $a=2$ و $a=3$ تعریف نشده است.

دو نکتهٔ مهم:

• فقط مخرج تعیین‌کننده است. اگر صورت صفر شود، عبارت برابرِ صفر می‌شود — نه تعریف‌نشده.
• تعدادِ مقادیرِ تعریف‌نشده لزوماً برابرِ درجهٔ مخرج نیست. در $\frac{5}{(x-2)^2}$ درجهٔ مخرج ۲ است، ولی $(x-2)^2=0$ فقط یک ریشه دارد؛ پس فقط $x=2$ حذف می‌شود.

دامنه یعنی همهٔ اعدادِ حقیقی منهایِ همین مقادیر.

ساده کردنِ عبارتِ گویا

ایده دقیقاً مثلِ کسرهایِ عددی است ($\frac{36}{48}=\frac{3}{4}$):

مراحل: صورت را تجزیه کن ← مخرج را تجزیه کن ← عوامل مشترک را حذف کن ← محدودیت‌ها را بنویس.

نمونه با اتحاد:

نمونه با فاکتورگیریِ ترکیبی:

اتحادهایِ پرکاربرد در این فصل: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$؛ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$؛ $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$؛ و فاکتورگیریِ ساده $ax+ay=a(x+y)$.

قاعدهٔ قرینه‌ها — خیلی پرکاربرد: چون $5-b=-(b-5)$، داریم

نمونهٔ ترکیبی از همین قاعده:

دامِ اصلیِ این بخش: فقط عامل‌هایِ ضربی حذف می‌شوند، نه جمله‌هایِ جمعی. مثلاً $\frac{a+ax}{a}$ برابرِ $a+x$ نیست؛ اول باید فاکتور بگیری: $\frac{a(1+x)}{a}=1+x$.

نکتهٔ دقیق دربارهٔ ساده‌سازی: $\frac{x^2-9}{x-3}$ و $x+3$ برایِ همهٔ مقادیر به جز $x=3$ برابرند، نه برایِ همهٔ $x$. عبارتِ ساده‌شده فقط در دامنهٔ عبارتِ اصلی جایگزینِ آن است؛ پس محدودیت‌ها حتی وقتی از مخرجِ نهایی ناپدید شده‌اند، سرِ جایشان باقی می‌مانند.

سؤال‌هایِ «جایِ خالی»: گاهی می‌پرسند چه عبارتی باید جایِ علامتِ سؤال بنشیند تا دو کسر برابر شوند. کافی است ببینی مخرج در چه چیزی ضرب شده و همان را در صورت هم ضرب کنی. مثلاً در $\frac{3x}{x-3}=\frac{?}{x^2-x-6}$، چون $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ است، مخرج در $(x+2)$ ضرب شده؛ پس صورت هم باید در همان ضرب شود و جواب $3x^2+6x$ می‌شود.

دامِ علامت در سؤال‌هایِ ترکیبی: در $\frac{3-x}{x^2-5x+6}$، مخرج $(x-2)(x-3)$ است و صورت $-(x-3)$؛ پس حاصل $\frac{-1}{x-2}$ می‌شود. اگر قرینه بودن را نبینی، جواب با علامتِ اشتباه درمی‌آید.

چهار عملِ اصلی

در ضرب و تقسیم، اول تجزیه کن، بعد حذف کن، بعد ضرب بزن. اگر مستقیم ضرب بزنی، به چندجمله‌ای‌هایِ بزرگی می‌رسی که ساده کردنشان سخت‌تر است:

در تفریق حتماً پرانتز بگذار. علامتِ منفی رویِ تمامِ صورتِ کسرِ دوم اثر می‌گذارد:

مخرجِ مشترک را چطور انتخاب کنیم؟

نمونهٔ مخرج‌هایِ قرینه:

بعد از جمع یا تفریق، دوباره ساده کن. صورتِ نتیجه را تجزیه کن؛ شاید عاملی مشترک با مخرج داشته باشد. این مرحله را خیلی‌ها فراموش می‌کنند.

دامنهٔ نهایی: بعد از جمع یا تفریقِ چند عبارت، محدودیت‌ها اجتماعِ محدودیت‌هایِ همهٔ مخرج‌هایِ اولیه است، نه فقط آنچه در مخرجِ جوابِ نهایی دیده می‌شود.

کسرِ مرکب

کسرِ مرکب کسری است که صورت یا مخرجش خودش کسر دارد. دو روشِ حل:

روشِ ۱: صورتِ بزرگ و مخرجِ بزرگ را جداگانه به یک کسرِ واحد تبدیل کن، بعد بر هم تقسیم کن (یعنی در معکوس ضرب کن).

روشِ ۲ (سریع‌تر): ک.م.مِ همهٔ مخرج‌هایِ کوچک را پیدا کن و هم صورت و هم مخرجِ کسرِ بزرگ را در آن ضرب کن. کسرهایِ کوچک از بین می‌روند و فقط چندجمله‌ای می‌ماند. این کار مقدارِ کسر را عوض نمی‌کند، چون در واقع در عددِ $1$ ضرب کرده‌ای.

نمونه با ک.م.مِ $a(a+1)$:

کاربردِ هندسی

عبارت‌هایِ گویا در محیط و مساحت و حجم هم ظاهر می‌شوند.

اگر ابعادِ مستطیلی $\frac{x}{x+1}$ و $\frac{3}{x+2}$ باشند، محیطش برابر است با:

و اگر مساحت و طولِ یک مستطیل هر دو عبارتِ گویا باشند، عرض از تقسیمِ آن‌ها به دست می‌آید:

به همین شکل، در جسمِ سه‌بعدی برایِ پیدا کردنِ بُعدِ ناشناخته، اول دو بُعدِ معلوم را در هم ضرب کن و بعد حجم را بر حاصل تقسیم کن.

ترفندِ سؤال‌هایِ چهارگزینه‌ای: وقتی می‌پرسند «کدام گزینه با عبارتِ داده‌شده برابر است»، یک عددِ ساده مثلِ $x=2$ را در عبارتِ اصلی و در گزینه‌ها جای‌گذاری کن و مقدارها را مقایسه کن — معمولاً از انجامِ کلِ ساده‌سازی سریع‌تر است. فقط دقت کن عددی انتخاب کنی که هیچ مخرجی را صفر نکند.

چند سوءتفاهمِ رایج

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر کسری که متغیر دارد عبارتِ گویاست؛ ولی در واقع اگر متغیر زیرِ رادیکال یا داخلِ قدرمطلق باشد، دیگر چندجمله‌ای نیست و آن کسر گویا نیست.

خیلی‌ها فکر می‌کنند برایِ جمعِ دو عبارتِ گویا هم مثلِ ضرب باید صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کرد؛ ولی در واقع قانونِ «صورت در صورت، مخرج در مخرج» فقط مالِ ضرب است و جمع و تفریق مخرجِ مشترک می‌خواهند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند تقسیم تا وقتی ادامه دارد که چیزی باقی نماند؛ ولی در واقع شرطِ توقف کمتر شدنِ درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه است — باقی‌مانده می‌تواند غیرصفر باشد و تقسیم کامل شده باشد.

خیلی‌ها فکر می‌کنند بعد از ساده کردن، محدودیت‌هایِ اولیه از بین می‌روند چون دیگر در جواب دیده نمی‌شوند؛ ولی در واقع عبارتِ ساده‌شده فقط در دامنهٔ عبارتِ اصلی معادلِ آن است. مثلاً $\frac{x-3}{x^2-9}$ در $x=3$ تعریف ندارد، حتی با اینکه فرمِ ساده‌شدهٔ $\frac{1}{x+3}$ در آن نقطه مقدار دارد.

تقسیمِ چندجمله‌ای‌ها

تک‌جمله‌ای بر تک‌جمله‌ای: ضرایب را جدا ساده کن و توانِ هر متغیر را جدا، با قانونِ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

چندجمله‌ای بر تک‌جمله‌ای: تقسیم نسبت به جمع توزیع‌پذیر است، پس هر جملهٔ صورت جداگانه بر مخرج تقسیم می‌شود:

اگر مقسوم‌علیه منفی بود، بهتر است اول علامتِ منفی را بیرون بکشی تا اشتباه نکنی.

چندجمله‌ای بر چندجمله‌ای (تقسیمِ قلمی): دقیقاً مثلِ تقسیمِ اعداد است. همان‌طور که $26\div8$ خارج‌قسمتِ ۳ و باقی‌ماندهٔ ۲ دارد و $3\times8+2=26$، اینجا هم:

مراحل: ۱) هر دو را برحسبِ توانِ نزولی مرتب کن و جمله‌هایِ گم‌شده را با ضریبِ صفر بنویس؛ ۲) جملهٔ اولِ مقسوم را بر جملهٔ اولِ مقسوم‌علیه تقسیم کن تا جملهٔ خارج‌قسمت به دست آید؛ ۳) آن را در کلِ مقسوم‌علیه ضرب کن؛ ۴) نتیجه را تفریق کن (علامتِ همهٔ جمله‌ها قرینه می‌شود)؛ ۵) با باقی‌ماندهٔ جدید تکرار کن؛ ۶) وقتی درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر شد، بایست.

چرا شرطِ توقف اینطور است؟ چون اگر باقی‌مانده هنوز درجه‌ای بزرگ‌تر یا مساویِ مقسوم‌علیه داشته باشد، یعنی هنوز یک مرحلهٔ دیگر تقسیم ممکن است — مثلِ اینکه در $7\div3$ باقی‌ماندهٔ ۴ بنویسی.

همیشه با رابطهٔ تقسیم کنترل کن: خارج‌قسمت را در مقسوم‌علیه ضرب کن و باقی‌مانده را اضافه کن؛ باید دقیقاً مقسوم درآید.

بخش‌پذیری یعنی باقی‌مانده صفر شود. اگر گفتند «برایِ چه مقداری از $a$ بخش‌پذیر است»، تقسیم را انجام بده، باقی‌مانده را برحسبِ $a$ بنویس و مساویِ صفر بگذار.

قضیهٔ باقی‌مانده (میان‌برِ طلایی)

برایِ پیدا کردنِ باقی‌ماندهٔ تقسیمِ $P(x)$ بر $(x-a)$ لازم نیست تقسیمِ قلمی انجام دهی؛ کافی است:

مثلاً باقی‌ماندهٔ $x^2-5x-24$ بر $(x-8)$ برابرِ $P(8)=64-40-24=0$ است، پس بخش‌پذیر است.

اما دقت کن: این میان‌بر فقط برایِ فرمِ دقیقِ $(x-a)$ کار می‌کند. اگر مقسوم‌علیه $(ax-b)$ باشد، باید ریشهٔ $ax-b=0$ یعنی $x=\frac{b}{a}$ را جای‌گذاری کنی، نه $x=b$ را. این نکته در امتحان خیلی‌ها را گیج می‌کند.

نکتهٔ ترکیبی: اگر $P(x)$ هم بر $(x-a)$ و هم بر $(x-b)$ بخش‌پذیر باشد (با $a\neq b$)، حتماً بر $(x-a)(x-b)$ هم بخش‌پذیر است — فقط کافی است با قضیهٔ باقی‌مانده نشان دهی $P(a)=0$ و $P(b)=0$.

دو نتیجهٔ آماده از اتحادهایِ مکعب:

اشتباه‌هایِ رایج

• حذفِ جمله به جایِ عامل: $\frac{a+ax}{a}=a+x$ غلط است؛ اول فاکتور بگیر.
• صفر گذاشتنِ صورت برایِ پیدا کردنِ مقادیرِ تعریف‌نشده؛ فقط مخرج مهم است.
• گم کردنِ علامت در قرینه‌ها: $\frac{b-5}{5-b}$ برابرِ $1$ نیست، برابرِ $-1$ است.
• ساده کردن پیش از تجزیه؛ بدونِ تجزیه هیچ عاملِ مشترکی دیده نمی‌شود.
• فراموش کردنِ پرانتز در تفریقِ دو کسر.
• جمع کردنِ صورت‌ها با مخرج‌هایِ مختلف: $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}$ برابرِ $\frac{5}{(x+1)(x+2)}$ نیست.
• اشتباه در معکوس گرفتن هنگامِ تقسیم؛ معکوسِ $\frac{c}{d}$ برابرِ $\frac{d}{c}$ است.
• در کسرِ مرکب، ضربِ ک.م.م فقط در صورت؛ باید در هر دو طرف ضرب شود.
• در تقسیمِ قلمی، قرینه نکردنِ همهٔ جمله‌ها هنگامِ تفریق: $-(2x^2-10x)=-2x^2+10x$، نه $-2x^2-10x$.
• ننوشتنِ جمله‌هایِ گم‌شده با ضریبِ صفر؛ $x^3+1$ را به شکلِ $x^3+0x^2+0x+1$ بنویس.
• ادامه دادنِ تقسیم بعد از رسیدن به شرطِ توقف.
• رها کردنِ محدودیت‌ها بعد از ساده‌سازی.

نمونه سؤال

سؤال ۱: عبارتِ $\dfrac{x^2-8x+16}{x^2-16}$ را ساده کنید.

پاسخ: صورت مربعِ تفاضل است: $x^2-8x+16=(x-4)^2$. مخرج تفاضلِ مربعات است: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. پس:

سؤال ۲: حاصلِ $\dfrac{x}{x^2-x-6}-\dfrac{1}{x-3}$ را ساده کنید.

پاسخ: مخرجِ اول را تجزیه می‌کنیم: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. همین می‌شود مخرجِ مشترک، پس کسرِ دوم را در $(x+2)$ هم‌مخرج می‌کنیم:

با محدودیتِ $x\neq3$ و $x\neq-2$.

سؤال ۳ (ترکیبی): حاصلِ $\left(\dfrac{x^2-1}{x^2-4}\div\dfrac{x+1}{x-2}\right)+\dfrac{1}{x+2}$ را به ساده‌ترین شکل بنویسید.

پاسخ: ابتدا تقسیمِ داخلِ پرانتز را با ضرب در معکوس انجام می‌دهیم:

حالا با کسرِ دوم که هم‌مخرج است جمع می‌کنیم:

محدودیت‌ها از عبارتِ اصلی می‌آیند و باقی می‌مانند: $x\neq2$، $x\neq-2$، $x\neq-1$.

سؤال ۴ (تقسیمِ قلمی): $2x^3-5x^2+4x-1$ را بر $x-2$ تقسیم کنید.

پاسخ: $\frac{2x^3}{x}=2x^2$ و $2x^2(x-2)=2x^3-4x^2$؛ با تفریق می‌ماند $-x^2+4x-1$. سپس $\frac{-x^2}{x}=-x$ و $-x(x-2)=-x^2+2x$؛ با تفریق می‌ماند $2x-1$. بعد $\frac{2x}{x}=2$ و $2(x-2)=2x-4$؛ با تفریق می‌ماند $3$. درجهٔ باقی‌مانده (صفر) از درجهٔ مقسوم‌علیه (یک) کمتر است، پس تمام. خارج‌قسمت $2x^2-x+2$ و باقی‌مانده $3$ است. کنترل: $(2x^2-x+2)(x-2)+3 = 2x^3-5x^2+4x-1$ ✓

سؤال ۵ (تیزهوشانی): به ازایِ چند عددِ صحیحِ $n$، حاصلِ $\dfrac{n^2-3n+8}{n-2}$ یک عددِ صحیح است؟

پاسخ: با تقسیم می‌نویسیم $n^2-3n+8=(n-2)(n-1)+6$، پس:

چون $n-1$ همیشه صحیح است، کلِ عبارت وقتی صحیح می‌شود که $\frac{6}{n-2}$ صحیح باشد؛ یعنی $n-2$ باید یکی از مقسوم‌علیه‌هایِ $6$ باشد: $\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$. از اینجا $n\in\{3,1,4,0,5,-1,8,-4\}$ به دست می‌آید که همه با شرطِ $n\neq2$ سازگارند. پس ۸ عددِ صحیح.

سؤال ۶ (پیدا کردنِ مجهول): اگر $\dfrac{x^2+bx-18}{x-3}$ بدونِ باقی‌مانده ساده شود و نتیجه‌اش $x+6$ باشد، مقدارِ $b$ چقدر است؟

پاسخ: اگر حاصلِ ساده‌سازی $x+6$ باشد، یعنی $x^2+bx-18=(x-3)(x+6)$. سمتِ راست را باز می‌کنیم: $x^2+6x-3x-18=x^2+3x-18$. با مقایسهٔ ضریبِ $x$ در دو طرف، $b=3$.

سؤال ۷ (قضیهٔ باقی‌مانده): اگر باقی‌ماندهٔ تقسیمِ $x^3-4x^2+kx+5$ بر $x-1$ برابرِ $4$ باشد، مقدارِ $k$ را بیابید و بگویید آیا این چندجمله‌ای بر $x+1$ بخش‌پذیر است.

پاسخ: طبقِ قضیهٔ باقی‌مانده $R=P(1)=1-4+k+5=k+2$. چون $R=4$، پس $k=2$ و $P(x)=x^3-4x^2+2x+5$. حالا برایِ $x+1$ باید $P(-1)$ را حساب کنیم: $P(-1)=-1-4-2+5=-2$. چون صفر نشد، بخش‌پذیر نیست و باقی‌مانده $-2$ است.

جمع‌بندی

ضرب و تقسیم به مخرجِ مشترک نیاز ندارند؛ جمع و تفریق دارند. تقسیمِ چندجمله‌ای همان تقسیمِ آشنایِ اعداد است با رابطهٔ $P=Q\cdot D+R$، و قضیهٔ باقی‌مانده در مقسوم‌علیه‌هایِ خطی کلِ کار را به یک جای‌گذاری تبدیل می‌کند. و مهم‌تر از همه: محدودیت‌هایِ دامنه هرگز با ساده‌سازی پاک نمی‌شوند.