عبارت‌های گویا (ریاضی نهم)

عبارت های گویا (نهم)

این مبحث سه بخش دارد: شناختن و ساده کردنِ عبارت‌هایِ گویا، چهار عملِ اصلی رویِ آن‌ها، و تقسیمِ چندجمله‌ای‌ها. همه‌چیز رویِ یک مهارتِ پایه سوار است: تجزیه. هر جا در این فصل گیر کردی، معمولاً یعنی هنوز تجزیه نکرده‌ای.

عبارتِ گویا چیست؟

عبارتِ گویا کسری است که صورت و مخرجش هر دو چندجمله‌ای باشند:

نمونه‌هایِ گویا: $\frac{x-3}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{2}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{x}{y}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\frac{x^2-3x+1}{9xy}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. دقت کن که عددِ کسریِ ساده‌ای مثلِ $\frac{2}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم گویاست (چندجمله‌ای‌هایِ ثابت)، و خودِ یک چندجمله‌ای مثلِ $x^3+2x-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم گویاست چون می‌توان آن را $\frac{x^3+2x-7}{1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشت.

نمونه‌هایی که گویا نیستند: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $\sqrt{x}+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $|x-y|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چرا؟ چون رادیکال و قدرمطلق چندجمله‌ای نیستند — در چندجمله‌ای فقط توان‌هایِ صحیحِ نامنفیِ متغیر مجازند.

عبارت‌هایِ گویا در علوم همه‌جا هستند؛ مثلاً سرعتِ متوسطِ رفت و برگشت با سرعت‌هایِ $v_1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $v_2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

مقادیرِ تعریف‌نشده و دامنه

قانون: هر مقداری از متغیر که مخرج را صفر کند باید کنار گذاشته شود، چون تقسیم بر صفر تعریف ندارد. برایِ پیدا کردنشان مخرج را مساویِ صفر بگذار و حل کن — لازم است اول مخرج را تجزیه کنی.

مثال: $\frac{a+5}{a^2-5a+6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مخرج را تجزیه می‌کنیم: $a^2-5a+6=(a-2)(a-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس این عبارت به ازایِ $a=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف نشده است.

دو نکتهٔ مهم:

• فقط مخرج تعیین‌کننده است. اگر صورت صفر شود، عبارت برابرِ صفر می‌شود — نه تعریف‌نشده.
• تعدادِ مقادیرِ تعریف‌نشده لزوماً برابرِ درجهٔ مخرج نیست. در $\frac{5}{(x-2)^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجهٔ مخرج ۲ است، ولی $(x-2)^2=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط یک ریشه دارد؛ پس فقط $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حذف می‌شود.

دامنه یعنی همهٔ اعدادِ حقیقی منهایِ همین مقادیر.

ساده کردنِ عبارتِ گویا

ایده دقیقاً مثلِ کسرهایِ عددی است ($\frac{36}{48}=\frac{3}{4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی):

مراحل: صورت را تجزیه کن ← مخرج را تجزیه کن ← عوامل مشترک را حذف کن ← محدودیت‌ها را بنویس.

نمونه با اتحاد:

نمونه با فاکتورگیریِ ترکیبی:

اتحادهایِ پرکاربرد در این فصل: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ و فاکتورگیریِ ساده $ax+ay=a(x+y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قاعدهٔ قرینه‌ها — خیلی پرکاربرد: چون $5-b=-(b-5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، داریم

نمونهٔ ترکیبی از همین قاعده:

دامِ اصلیِ این بخش: فقط عامل‌هایِ ضربی حذف می‌شوند، نه جمله‌هایِ جمعی. مثلاً $\frac{a+ax}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $a+x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست؛ اول باید فاکتور بگیری: $\frac{a(1+x)}{a}=1+x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکتهٔ دقیق دربارهٔ ساده‌سازی: $\frac{x^2-9}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برایِ همهٔ مقادیر به جز $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند، نه برایِ همهٔ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. عبارتِ ساده‌شده فقط در دامنهٔ عبارتِ اصلی جایگزینِ آن است؛ پس محدودیت‌ها حتی وقتی از مخرجِ نهایی ناپدید شده‌اند، سرِ جایشان باقی می‌مانند.

سؤال‌هایِ «جایِ خالی»: گاهی می‌پرسند چه عبارتی باید جایِ علامتِ سؤال بنشیند تا دو کسر برابر شوند. کافی است ببینی مخرج در چه چیزی ضرب شده و همان را در صورت هم ضرب کنی. مثلاً در $\frac{3x}{x-3}=\frac{?}{x^2-x-6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، چون $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، مخرج در $(x+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب شده؛ پس صورت هم باید در همان ضرب شود و جواب $3x^2+6x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

دامِ علامت در سؤال‌هایِ ترکیبی: در $\frac{3-x}{x^2-5x+6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مخرج $(x-2)(x-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و صورت $-(x-3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس حاصل $\frac{-1}{x-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. اگر قرینه بودن را نبینی، جواب با علامتِ اشتباه درمی‌آید.

چهار عملِ اصلی

در ضرب و تقسیم، اول تجزیه کن، بعد حذف کن، بعد ضرب بزن. اگر مستقیم ضرب بزنی، به چندجمله‌ای‌هایِ بزرگی می‌رسی که ساده کردنشان سخت‌تر است:

در تفریق حتماً پرانتز بگذار. علامتِ منفی رویِ تمامِ صورتِ کسرِ دوم اثر می‌گذارد:

مخرجِ مشترک را چطور انتخاب کنیم؟

نمونهٔ مخرج‌هایِ قرینه:

بعد از جمع یا تفریق، دوباره ساده کن. صورتِ نتیجه را تجزیه کن؛ شاید عاملی مشترک با مخرج داشته باشد. این مرحله را خیلی‌ها فراموش می‌کنند.

دامنهٔ نهایی: بعد از جمع یا تفریقِ چند عبارت، محدودیت‌ها اجتماعِ محدودیت‌هایِ همهٔ مخرج‌هایِ اولیه است، نه فقط آنچه در مخرجِ جوابِ نهایی دیده می‌شود.

کسرِ مرکب

کسرِ مرکب کسری است که صورت یا مخرجش خودش کسر دارد. دو روشِ حل:

روشِ ۱: صورتِ بزرگ و مخرجِ بزرگ را جداگانه به یک کسرِ واحد تبدیل کن، بعد بر هم تقسیم کن (یعنی در معکوس ضرب کن).

روشِ ۲ (سریع‌تر): ک.م.مِ همهٔ مخرج‌هایِ کوچک را پیدا کن و هم صورت و هم مخرجِ کسرِ بزرگ را در آن ضرب کن. کسرهایِ کوچک از بین می‌روند و فقط چندجمله‌ای می‌ماند. این کار مقدارِ کسر را عوض نمی‌کند، چون در واقع در عددِ $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب کرده‌ای.

نمونه با ک.م.مِ $a(a+1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

کاربردِ هندسی

عبارت‌هایِ گویا در محیط و مساحت و حجم هم ظاهر می‌شوند.

اگر ابعادِ مستطیلی $\frac{x}{x+1}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\frac{3}{x+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشند، محیطش برابر است با:

و اگر مساحت و طولِ یک مستطیل هر دو عبارتِ گویا باشند، عرض از تقسیمِ آن‌ها به دست می‌آید:

به همین شکل، در جسمِ سه‌بعدی برایِ پیدا کردنِ بُعدِ ناشناخته، اول دو بُعدِ معلوم را در هم ضرب کن و بعد حجم را بر حاصل تقسیم کن.

ترفندِ سؤال‌هایِ چهارگزینه‌ای: وقتی می‌پرسند «کدام گزینه با عبارتِ داده‌شده برابر است»، یک عددِ ساده مثلِ $x=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را در عبارتِ اصلی و در گزینه‌ها جای‌گذاری کن و مقدارها را مقایسه کن — معمولاً از انجامِ کلِ ساده‌سازی سریع‌تر است. فقط دقت کن عددی انتخاب کنی که هیچ مخرجی را صفر نکند.

چند سوءتفاهمِ رایج

خیلی‌ها فکر می‌کنند هر کسری که متغیر دارد عبارتِ گویاست؛ ولی در واقع اگر متغیر زیرِ رادیکال یا داخلِ قدرمطلق باشد، دیگر چندجمله‌ای نیست و آن کسر گویا نیست.

خیلی‌ها فکر می‌کنند برایِ جمعِ دو عبارتِ گویا هم مثلِ ضرب باید صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کرد؛ ولی در واقع قانونِ «صورت در صورت، مخرج در مخرج» فقط مالِ ضرب است و جمع و تفریق مخرجِ مشترک می‌خواهند.

خیلی‌ها فکر می‌کنند تقسیم تا وقتی ادامه دارد که چیزی باقی نماند؛ ولی در واقع شرطِ توقف کمتر شدنِ درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه است — باقی‌مانده می‌تواند غیرصفر باشد و تقسیم کامل شده باشد.

خیلی‌ها فکر می‌کنند بعد از ساده کردن، محدودیت‌هایِ اولیه از بین می‌روند چون دیگر در جواب دیده نمی‌شوند؛ ولی در واقع عبارتِ ساده‌شده فقط در دامنهٔ عبارتِ اصلی معادلِ آن است. مثلاً $\frac{x-3}{x^2-9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $x=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تعریف ندارد، حتی با اینکه فرمِ ساده‌شدهٔ $\frac{1}{x+3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در آن نقطه مقدار دارد.

تقسیمِ چندجمله‌ای‌ها

تک‌جمله‌ای بر تک‌جمله‌ای: ضرایب را جدا ساده کن و توانِ هر متغیر را جدا، با قانونِ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

چندجمله‌ای بر تک‌جمله‌ای: تقسیم نسبت به جمع توزیع‌پذیر است، پس هر جملهٔ صورت جداگانه بر مخرج تقسیم می‌شود:

اگر مقسوم‌علیه منفی بود، بهتر است اول علامتِ منفی را بیرون بکشی تا اشتباه نکنی.

چندجمله‌ای بر چندجمله‌ای (تقسیمِ قلمی): دقیقاً مثلِ تقسیمِ اعداد است. همان‌طور که $26\div8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خارج‌قسمتِ ۳ و باقی‌ماندهٔ ۲ دارد و $3\times8+2=26$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، اینجا هم:

مراحل: ۱) هر دو را برحسبِ توانِ نزولی مرتب کن و جمله‌هایِ گم‌شده را با ضریبِ صفر بنویس؛ ۲) جملهٔ اولِ مقسوم را بر جملهٔ اولِ مقسوم‌علیه تقسیم کن تا جملهٔ خارج‌قسمت به دست آید؛ ۳) آن را در کلِ مقسوم‌علیه ضرب کن؛ ۴) نتیجه را تفریق کن (علامتِ همهٔ جمله‌ها قرینه می‌شود)؛ ۵) با باقی‌ماندهٔ جدید تکرار کن؛ ۶) وقتی درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر شد، بایست.

چرا شرطِ توقف اینطور است؟ چون اگر باقی‌مانده هنوز درجه‌ای بزرگ‌تر یا مساویِ مقسوم‌علیه داشته باشد، یعنی هنوز یک مرحلهٔ دیگر تقسیم ممکن است — مثلِ اینکه در $7\div3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی‌ماندهٔ ۴ بنویسی.

همیشه با رابطهٔ تقسیم کنترل کن: خارج‌قسمت را در مقسوم‌علیه ضرب کن و باقی‌مانده را اضافه کن؛ باید دقیقاً مقسوم درآید.

بخش‌پذیری یعنی باقی‌مانده صفر شود. اگر گفتند «برایِ چه مقداری از $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است»، تقسیم را انجام بده، باقی‌مانده را برحسبِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس و مساویِ صفر بگذار.

قضیهٔ باقی‌مانده (میان‌برِ طلایی)

برایِ پیدا کردنِ باقی‌ماندهٔ تقسیمِ $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی لازم نیست تقسیمِ قلمی انجام دهی؛ کافی است:

مثلاً باقی‌ماندهٔ $x^2-5x-24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $(x-8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $P(8)=64-40-24=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، پس بخش‌پذیر است.

اما دقت کن: این میان‌بر فقط برایِ فرمِ دقیقِ $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کار می‌کند. اگر مقسوم‌علیه $(ax-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، باید ریشهٔ $ax-b=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $x=\frac{b}{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جای‌گذاری کنی، نه $x=b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را. این نکته در امتحان خیلی‌ها را گیج می‌کند.

نکتهٔ ترکیبی: اگر $P(x)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بر $(x-a)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هم بر $(x-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر باشد (با $a\neq b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، حتماً بر $(x-a)(x-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم بخش‌پذیر است — فقط کافی است با قضیهٔ باقی‌مانده نشان دهی $P(a)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(b)=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

دو نتیجهٔ آماده از اتحادهایِ مکعب:

اشتباه‌هایِ رایج

• حذفِ جمله به جایِ عامل: $\frac{a+ax}{a}=a+x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است؛ اول فاکتور بگیر.
• صفر گذاشتنِ صورت برایِ پیدا کردنِ مقادیرِ تعریف‌نشده؛ فقط مخرج مهم است.
• گم کردنِ علامت در قرینه‌ها: $\frac{b-5}{5-b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست، برابرِ $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• ساده کردن پیش از تجزیه؛ بدونِ تجزیه هیچ عاملِ مشترکی دیده نمی‌شود.
• فراموش کردنِ پرانتز در تفریقِ دو کسر.
• جمع کردنِ صورت‌ها با مخرج‌هایِ مختلف: $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $\frac{5}{(x+1)(x+2)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نیست.
• اشتباه در معکوس گرفتن هنگامِ تقسیم؛ معکوسِ $\frac{c}{d}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $\frac{d}{c}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• در کسرِ مرکب، ضربِ ک.م.م فقط در صورت؛ باید در هر دو طرف ضرب شود.
• در تقسیمِ قلمی، قرینه نکردنِ همهٔ جمله‌ها هنگامِ تفریق: $-(2x^2-10x)=-2x^2+10x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $-2x^2-10x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• ننوشتنِ جمله‌هایِ گم‌شده با ضریبِ صفر؛ $x^3+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به شکلِ $x^3+0x^2+0x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بنویس.
• ادامه دادنِ تقسیم بعد از رسیدن به شرطِ توقف.
• رها کردنِ محدودیت‌ها بعد از ساده‌سازی.

نمونه سؤال

سؤال ۱: عبارتِ $\dfrac{x^2-8x+16}{x^2-16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کنید.

پاسخ: صورت مربعِ تفاضل است: $x^2-8x+16=(x-4)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مخرج تفاضلِ مربعات است: $x^2-16=(x-4)(x+4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس:

سؤال ۲: حاصلِ $\dfrac{x}{x^2-x-6}-\dfrac{1}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کنید.

پاسخ: مخرجِ اول را تجزیه می‌کنیم: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. همین می‌شود مخرجِ مشترک، پس کسرِ دوم را در $(x+2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌مخرج می‌کنیم:

با محدودیتِ $x\neq3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $x\neq-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۳ (ترکیبی): حاصلِ $\left(\dfrac{x^2-1}{x^2-4}\div\dfrac{x+1}{x-2}\right)+\dfrac{1}{x+2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به ساده‌ترین شکل بنویسید.

پاسخ: ابتدا تقسیمِ داخلِ پرانتز را با ضرب در معکوس انجام می‌دهیم:

حالا با کسرِ دوم که هم‌مخرج است جمع می‌کنیم:

محدودیت‌ها از عبارتِ اصلی می‌آیند و باقی می‌مانند: $x\neq2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x\neq-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $x\neq-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۴ (تقسیمِ قلمی): $2x^3-5x^2+4x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بر $x-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تقسیم کنید.

پاسخ: $\frac{2x^3}{x}=2x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2x^2(x-2)=2x^3-4x^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با تفریق می‌ماند $-x^2+4x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سپس $\frac{-x^2}{x}=-x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-x(x-2)=-x^2+2x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با تفریق می‌ماند $2x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. بعد $\frac{2x}{x}=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $2(x-2)=2x-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ با تفریق می‌ماند $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درجهٔ باقی‌مانده (صفر) از درجهٔ مقسوم‌علیه (یک) کمتر است، پس تمام. خارج‌قسمت $2x^2-x+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و باقی‌مانده $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. کنترل: $(2x^2-x+2)(x-2)+3 = 2x^3-5x^2+4x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

سؤال ۵ (تیزهوشانی): به ازایِ چند عددِ صحیحِ $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، حاصلِ $\dfrac{n^2-3n+8}{n-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یک عددِ صحیح است؟

پاسخ: با تقسیم می‌نویسیم $n^2-3n+8=(n-2)(n-1)+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس:

چون $n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه صحیح است، کلِ عبارت وقتی صحیح می‌شود که $\frac{6}{n-2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی صحیح باشد؛ یعنی $n-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید یکی از مقسوم‌علیه‌هایِ $6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد: $\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. از اینجا $n\in\{3,1,4,0,5,-1,8,-4\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به دست می‌آید که همه با شرطِ $n\neq2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سازگارند. پس ۸ عددِ صحیح.

سؤال ۶ (پیدا کردنِ مجهول): اگر $\dfrac{x^2+bx-18}{x-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدونِ باقی‌مانده ساده شود و نتیجه‌اش $x+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مقدارِ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟

پاسخ: اگر حاصلِ ساده‌سازی $x+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، یعنی $x^2+bx-18=(x-3)(x+6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سمتِ راست را باز می‌کنیم: $x^2+6x-3x-18=x^2+3x-18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. با مقایسهٔ ضریبِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در دو طرف، $b=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال ۷ (قضیهٔ باقی‌مانده): اگر باقی‌ماندهٔ تقسیمِ $x^3-4x^2+kx+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بر $x-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرِ $4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مقدارِ $k$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را بیابید و بگویید آیا این چندجمله‌ای بر $x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بخش‌پذیر است.

پاسخ: طبقِ قضیهٔ باقی‌مانده $R=P(1)=1-4+k+5=k+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $R=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $k=2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P(x)=x^3-4x^2+2x+5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا برایِ $x+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید $P(-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کنیم: $P(-1)=-1-4-2+5=-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون صفر نشد، بخش‌پذیر نیست و باقی‌مانده $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

جمع‌بندی

ضرب و تقسیم به مخرجِ مشترک نیاز ندارند؛ جمع و تفریق دارند. تقسیمِ چندجمله‌ای همان تقسیمِ آشنایِ اعداد است با رابطهٔ $P=Q\cdot D+R$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و قضیهٔ باقی‌مانده در مقسوم‌علیه‌هایِ خطی کلِ کار را به یک جای‌گذاری تبدیل می‌کند. و مهم‌تر از همه: محدودیت‌هایِ دامنه هرگز با ساده‌سازی پاک نمی‌شوند.