حاصلِ عبارتِ زیر را به دست آورید: $$-(-(-(-(-(+11))))) + -(-(-(+15)))$$

$-26$ — **پاسخ درست:** در جملهٔ اول، تعدادِ علامتهای منفی $=5$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-11$ میشود. در جملهٔ دوم، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-15$ میشود. جمعِ این دو مقدار: $-11 + (-15) = -26$. **رد گزینههای دیگر:** گزینههای دیگر از اشتباهشمردنِ تعدادِ منفیها در یکی از دو زنجیره (پاریتیِ غلط، یعنی زوج را فرد یا برعکس گرفتن) یا از جمعزدنِ قدرمطلقها بدونِ توجه به علامت به دست میآیند. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ علامتِ یک زنجیرهٔ قرینهگیریِ تودرتو، نیازی به بازکردنِ پرانتز به پرانتز نیست — فقط تعدادِ علامتهای منفی را بشمار: **زوج → مثبت، فرد → منفی**. خطای رایج این است که هنگامِ شمارش، یکی از پرانتزها فراموش شود و پاریتی (زوج/فردی) اشتباه محاسبه شود.

حاصلِ عبارتِ زیر را به دست آورید: $$-(-(-(-(-(+7))))) + -(-(-(+8)))$$

$-15$ — **پاسخ درست:** در جملهٔ اول، تعدادِ علامتهای منفی $=5$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-7$ میشود. در جملهٔ دوم، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-8$ میشود. جمعِ این دو مقدار: $-7 + (-8) = -15$. **رد گزینههای دیگر:** گزینههای دیگر از اشتباهشمردنِ تعدادِ منفیها در یکی از دو زنجیره (پاریتیِ غلط، یعنی زوج را فرد یا برعکس گرفتن) یا از جمعزدنِ قدرمطلقها بدونِ توجه به علامت به دست میآیند. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ علامتِ یک زنجیرهٔ قرینهگیریِ تودرتو، نیازی به بازکردنِ پرانتز به پرانتز نیست — فقط تعدادِ علامتهای منفی را بشمار: **زوج → مثبت، فرد → منفی**. خطای رایج این است که هنگامِ شمارش، یکی از پرانتزها فراموش شود و پاریتی (زوج/فردی) اشتباه محاسبه شود.

حاصلِ عبارتِ زیر را به دست آورید: $$-(-(-(-(-(+8))))) + -(-(-(+19)))$$

$-27$ — **پاسخ درست:** در جملهٔ اول، تعدادِ علامتهای منفی $=5$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-8$ میشود. در جملهٔ دوم، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-19$ میشود. جمعِ این دو مقدار: $-8 + (-19) = -27$. **رد گزینههای دیگر:** گزینههای دیگر از اشتباهشمردنِ تعدادِ منفیها در یکی از دو زنجیره (پاریتیِ غلط، یعنی زوج را فرد یا برعکس گرفتن) یا از جمعزدنِ قدرمطلقها بدونِ توجه به علامت به دست میآیند. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ علامتِ یک زنجیرهٔ قرینهگیریِ تودرتو، نیازی به بازکردنِ پرانتز به پرانتز نیست — فقط تعدادِ علامتهای منفی را بشمار: **زوج → مثبت، فرد → منفی**. خطای رایج این است که هنگامِ شمارش، یکی از پرانتزها فراموش شود و پاریتی (زوج/فردی) اشتباه محاسبه شود.

حاصلِ عبارتِ زیر را به دست آورید: $$-(-(-(+4))) + -(-(-(+9)))$$

$-13$ — **پاسخ درست:** در جملهٔ اول، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-4$ میشود. در جملهٔ دوم، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-9$ میشود. جمعِ این دو مقدار: $-4 + (-9) = -13$. **رد گزینههای دیگر:** گزینههای دیگر از اشتباهشمردنِ تعدادِ منفیها در یکی از دو زنجیره (پاریتیِ غلط، یعنی زوج را فرد یا برعکس گرفتن) یا از جمعزدنِ قدرمطلقها بدونِ توجه به علامت به دست میآیند. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ علامتِ یک زنجیرهٔ قرینهگیریِ تودرتو، نیازی به بازکردنِ پرانتز به پرانتز نیست — فقط تعدادِ علامتهای منفی را بشمار: **زوج → مثبت، فرد → منفی**. خطای رایج این است که هنگامِ شمارش، یکی از پرانتزها فراموش شود و پاریتی (زوج/فردی) اشتباه محاسبه شود.

حاصلِ عبارتِ زیر را به دست آورید: $$-(-(-(+17))) + -(-(-(+15)))$$

$-32$ — **پاسخ درست:** در جملهٔ اول، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-17$ میشود. در جملهٔ دوم، تعدادِ علامتهای منفی $=3$ است که فرد است، پس حاصلِ آن $-15$ میشود. جمعِ این دو مقدار: $-17 + (-15) = -32$. **رد گزینههای دیگر:** گزینههای دیگر از اشتباهشمردنِ تعدادِ منفیها در یکی از دو زنجیره (پاریتیِ غلط، یعنی زوج را فرد یا برعکس گرفتن) یا از جمعزدنِ قدرمطلقها بدونِ توجه به علامت به دست میآیند. **تلهٔ تستی:** برای تعیینِ علامتِ یک زنجیرهٔ قرینهگیریِ تودرتو، نیازی به بازکردنِ پرانتز به پرانتز نیست — فقط تعدادِ علامتهای منفی را بشمار: **زوج → مثبت، فرد → منفی**. خطای رایج این است که هنگامِ شمارش، یکی از پرانتزها فراموش شود و پاریتی (زوج/فردی) اشتباه محاسبه شود.

عددهای صحیح (هفتم) — نمونه سؤال و درسنامهٔ امتحانات

عددهای صحیح (هفتم)

عدد علامت‌دار یعنی چه؟

عددهای علامت‌دار عددهایی هستند که یا علامت مثبت $(+)$ دارند یا منفی $(-)$ .

مثبت: مقدارهای بیشتر از صفر — دمای بالای صفر، طبقهٔ بالای همکف، سود، دارایی.
منفی: مقدارهای کمتر از صفر — دمای زیر صفر، زیرزمین، ضرر، بدهی.
صفر: نه مثبت است نه منفی؛ مبدأ محور اعداد است.

\underbrace{\ldots, -3, -2, -1}_{\text{منفی}},\ \underbrace{0}_{\text{مبدأ}},\ \underbrace{+1, +2, +3, \ldots}_{\text{مثبت}}

🔑 عددهای صحیحِ مثبت دقیقاً همان عددهای طبیعی‌اند: $+3 = 3$ و $+7 = 7$ . علامت مثبت را معمولاً نمی‌نویسیم.

محور اعداد

محور اعداد یک خط راست افقی است که همهٔ عددهای صحیح روی آن جا می‌گیرند:

هرچه به راست بروی، عدد بزرگ‌تر می‌شود؛ هرچه به چپ، کوچک‌تر.
جمع با عدد مثبت = حرکت به راست؛ جمع با عدد منفی = حرکت به چپ.

برای جمع دو عدد روی محور: از جای عدد اول شروع کن، به اندازهٔ عدد دوم حرکت کن (مثبت به راست، منفی به چپ)؛ عددی که رویش می‌ایستی جواب است. مثلاً از $-3$ پنج قدم به راست می‌رسی به $+2$ ، پس $-3 + 5 = +2$ .

قرینهٔ عدد

قرینهٔ یک عدد، عددی است که با آن فاصلهٔ یکسانی از صفر دارد ولی در طرف مقابلِ محور است.

\text{قرینهٔ}\ (+7) = -7 \qquad \text{قرینهٔ}\ (-8) = +8 \qquad \text{قرینهٔ}\ (0) = 0

برای نوشتن قرینه، نماد « $-$ » را سمت چپ عدد می‌گذاریم: $-(+3) = -3$ و $-(-5) = +5$ .

قرینهٔ قرینه، خودِ عدد است:

-(-a) = a

🔑 چرا؟ قرینه مثل «آینه» روی محور است. یک بار آینه‌گرفتن عدد را آن‌طرفِ صفر می‌برد، دو بار آینه‌گرفتن آن را سرِ جای اولش برمی‌گرداند. همین قانون کلیدِ تبدیل تفریق به جمع است.

جمع عددهای صحیح — سه حالت

حالت ۱ — هر دو مثبت: مثل جمع عددهای طبیعی؛ جواب همیشه مثبت است.

(+a) + (+b) = +(a+b) \qquad \text{مثلاً } +3 + (+2) = +5

حالت ۲ — هر دو منفی: قدرمطلق‌ها (عددها بدونِ علامت) را جمع کن و علامت منفی بگذار؛ جواب همیشه منفی است.

(-a) + (-b) = -(a+b) \qquad \text{مثلاً } (-6) + (-7) = -13

منطقش ساده است: دو بدهی روی هم، بدهیِ بیشتر می‌شود؛ دو گام به چپ، بیشتر به چپ می‌بردت.

حالت ۳ — یکی مثبت، یکی منفی: اینجا «کشمکش» است. قدرمطلق‌ها را از هم کم کن (بزرگ‌تر منهای کوچک‌تر) و علامت را از عددی بگیر که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.

+5 + (-3) = +(5-3) = +2 \qquad +4 + (-6) = -(6-4) = -2

-8 + (+10) = +(10-8) = +2 \qquad +5 + (-8) = -(8-5) = -3

دو نتیجهٔ مهم:

a + 0 = a \qquad 0 + a = a \qquad 0 - a = -a \qquad 0 - (-a) = +a

a + (-a) = 0 \qquad \text{مثلاً } (+5) + (-5) = 0

🔑 صفر در جمع هیچ اثری ندارد، و جمعِ هر عدد با قرینه‌اش صفر می‌شود.

تبدیل تفریق به جمع — مهم‌ترین مهارت فصل

a - b = a + (-b)

یعنی به‌جای کم‌کردنِ $b$ ، قرینهٔ $b$ را جمع کن. چرا این کار را می‌کنیم؟ چون قانون‌های جمع را بلدیم؛ با این تبدیل دیگر لازم نیست قانون جداگانه‌ای برای تفریق حفظ کنیم.

عبارت اصلی	تبدیل به جمع	نتیجه
$8 - 5$	$8 + (-5)$	$3$
$-7 - 4$	$-7 + (-4)$	$-11$
$7 - 11$	$7 + (-11)$	$-4$
$-4 - (-5)$	$-4 + (+5)$	$+1$
$5 - (-6)$	$5 + (+6)$	$+11$

🔑 منهای منفی = مثبت: $-(-b) = +b$ . این همان جایی است که بیشترین اشتباه رخ می‌دهد.

مقایسه و مرتب‌کردن

روی محور، عددی که راست‌تر است بزرگ‌تر است.

-1 > -100 \qquad 0 > -8 \qquad -34 < -23 < -5 < 0 < 2 < 45

🔑 بین دو عدد منفی، هرکدام که قدرمطلقش بیشتر باشد کوچک‌تر است. پس $-10 < -3$ ، هرچند ۱۰ از ۳ بزرگ‌تر است.

دقت کن که $-(+8)$ یعنی «قرینهٔ مثبت هشت» که همان $-8$ است، و $+(-8)$ هم همان $-8$ است.

شکل گستردهٔ عددهای صحیح

عدد را به ارزش مکانی می‌شکنیم و هر جزء را علامت‌دار می‌نویسیم:

435 = 400 + 30 + 5 \qquad -237 = -200 + (-30) + (-7)

🔑 در عددهای منفی، همهٔ اجزا منفی می‌شوند. نوشتنِ $-237 = -200 + 30 + 7$ غلط است.

تجزیهٔ دهگان و یکان برای حساب سریع‌تر

چون جمع و تفریق ارزش مکانی را حفظ می‌کنند، می‌توانی دهگان‌ها را جدا و یکان‌ها را جدا حساب کنی.

نمونهٔ کامل: $27 - 39$ چند است؟
دهگان‌ها: $+20 + (-30) = -10$ ؛ یکان‌ها: $+7 + (-9) = -2$ ؛ پس $-10 + (-2) = -12$ .

برای عددهای سه‌رقمی هم همین‌طور، فقط یک ستونِ صدگان اضافه می‌شود: در $331 - 257$ داریم صدگان $+300-200=+100$ ، دهگان $+30-50=-20$ ، یکان $+1-7=-6$ ، پس $100-20-6=74$ .

🔑 این روش وقتی چند عدد با هم جمع می‌شوند خیلی سریع‌تر است؛ مثلاً در $-40 + (-3) + 50 + 1 + (-30) + (-4)$ دهگان‌ها $-20$ و یکان‌ها $-6$ می‌شوند، یعنی $-26$ .

تعیینِ علامتِ جواب بدون محاسبه

گاهی فقط می‌خواهی بدانی جواب مثبت است یا منفی. قانون سریع:

عددها هم‌علامت باشند ← جواب همان علامت را دارد.
غیرهم‌علامت باشند ← علامتِ عددی که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.

پس $100 + (-50)$ مثبت است، $100 - 200$ منفی، $-40 - 90$ منفی و بزرگ، و $-80 + 130$ مثبت.

محاسبهٔ تقریبی

عددها را به نزدیک‌ترین ده یا صد گرد کن تا سریع به جوابی نزدیک برسی. مثلاً $-137 + 271 \approx -100 + 300 = 200$ (جواب دقیق $134$ )، یا $502 - 794 \approx 500 - 800 = -300$ (جواب دقیق $-292$ ).
🔑 بعد از تقریب، علامت را چک کن؛ اگر علامتِ تقریب با جواب دقیق فرق داشت، حتماً جایی اشتباه شده است.

عددهای صحیح در دنیای واقعی

موقعیت	مثبت	منفی
طبقهٔ ساختمان	بالای همکف	زیر همکف
عمق دریا	بالای سطح	زیر سطح
دما	گرم‌تر از صفر	سردتر از صفر
حساب بانکی	موجودی	بدهی

🔑 پیش از هر محاسبه، قرارداد علامت را بنویس («بالا مثبت، پایین منفی») و تا آخرِ مسئله همان را نگه دار. برای «چند درجه سردتر/گرم‌تر» هم تفریق می‌کنیم: اگر کرمان $+11$ و سنندج $-6$ درجه باشد، اختلافشان $(+11) - (-6) = 11 + 6 = 17$ درجه است.

نمونهٔ کامل: زیردریایی‌ای ۴۵۰ متر زیر سطح دریاست و زیردریایی دوم ۱۵۰ متر بالاتر از اوست؛ عمقِ دومی چقدر است؟

-450 + 150 = -300$$ یعنی ۳۰۰ متر زیر سطح دریا. ### ضرب عددهای صحیح چرا علامت‌ها این‌طور می‌شوند؟ از الگو پیدا می‌شود. در دنبالهٔ $4\times4=16,\ 3\times4=12,\ 2\times4=8,\ 1\times4=4,\ 0\times4=0$ هر بار ۴ واحد کم می‌شود، پس ادامه‌اش $-1\times4=-4$ است: **منفی × مثبت = منفی**. در دنبالهٔ $4\times(-3)=-12,\ 3\times(-3)=-9,\ \ldots,\ 0\times(-3)=0$ هر بار ۳ واحد اضافه می‌شود، پس $-1\times(-3)=+3$: **منفی × منفی = مثبت**. | ضرب | علامت جواب | مثال | |---|---|---| | مثبت × مثبت | مثبت | $5 \times 3 = 15$ | | مثبت × منفی | منفی | $5 \times (-3) = -15$ | | منفی × مثبت | منفی | $(-5) \times 3 = -15$ | | منفی × منفی | مثبت | $(-5) \times (-3) = 15$ | **قانون ساده:** عامل‌ها هم‌علامت ← جواب مثبت؛ غیرهم‌علامت ← جواب منفی. 🔑 برای چند عامل، فقط **تعداد منفی‌ها** را بشمار: زوج ← مثبت، فرد ← منفی. مثلاً $(-2)\times(-3)\times(-5)$ سه منفی دارد (فرد)، پس جواب $-30$ است؛ و $(-2)\times(-3)\times(-5)\times(-1)$ چهار منفی دارد (زوج)، پس $+30$. ### تقسیم عددهای صحیح هر ضرب دو تقسیم معادل می‌سازد و قانون علامتِ تقسیم **دقیقاً مثل ضرب** است: $$a \times b = c \Rightarrow c \div b = a \quad \text{و} \quad c \div a = b

(-6) \times (+2) = -12 \Rightarrow (-12) \div (+2) = -6 \quad \text{و} \quad (-12) \div (-6) = +2

🔑 اگر در تقسیمی گیر کردی بپرس: «کدام عدد ضربدرِ این می‌شود آن؟» مثلاً برای $(-12)\div(-4)$ بپرس چه عددی در $-4$ ضرب شود $-12$ می‌دهد؛ جواب $+3$ است.
🔑 تقسیم بر صفر تعریف نشده است و هر عدد ضربدر صفر، صفر می‌شود.

ترتیب عملیات

\text{پرانتز} \to \text{ضرب و تقسیم} \to \text{جمع و تفریق}

ضرب و تقسیمِ هم‌رتبه را از چپ به راست انجام بده. مثلاً $(-4) \times (+3) \div (-2)$ : اول $-12$ ، بعد $(-12)\div(-2)=+6$ . یا با پرانتز: $(28 \div (-4)) \times (+3) = (-7)\times(+3) = -21$ .

چند ترفند و خاصیت

جمع عددهای صحیح جابه‌جایی و شرکت‌پذیر است:

a + b = b + a \qquad (a+b)+c = a+(b+c)

پس می‌توانی ترتیب را عوض کنی تا حساب راحت شود: $(-7) + (+3) + (+7) = [(-7)+(+7)] + 3 = 3$ .

گروه‌بندی مثبت‌ها و منفی‌ها جلوی خطای علامت را می‌گیرد:

-3 + 5 + (-8) + 2 + (-1) = (5+2) + (-3-8-1) = 7 + (-12) = -5

توان عددهای منفی (پیش‌درآمدِ فصل توان): $(-a)^2 = +a^2$ چون توان زوج است، و $(-a)^3 = -a^3$ چون توان فرد است — پایه‌اش همان شمارشِ تعداد منفی‌هاست.

استدلال روی علامت: اگر $a \times b > 0$ باشد، $a$ و $b$ هم‌علامت‌اند؛ اگر $a \times b < 0$ باشد، یکی مثبت و دیگری منفی است. این نکته در فصل معادله‌ها زیاد به کار می‌آید.

اشتباه‌های رایج

اشتباه	نادرست	درست
دو منفی پشت هم	$-(-5) = -5$	$-(-5) = +5$
مقایسهٔ عددهای منفی	$-3 > -1$	$-3 < -1$
تفریق عدد منفی	$5 - (-3) = 2$	$5 - (-3) = 8$
شکل گستردهٔ منفی	$-237 = -200+30+7$	$-237 = -200+(-30)+(-7)$
ضرب دو منفی	$(-5)\times(-3) = -15$	$(-5)\times(-3) = +15$

علامتِ نتیجه را از عددِ «بزرگ‌تر» گرفتن، نه از قدرمطلقِ بزرگ‌تر. در $-80 + 130$ چون $130 > 80$ جواب مثبت است: $+50$ .
جابه‌جا کردن ترتیب در تفریق‌های زنجیره‌ای. عبارت $17 - 25 - 12$ از چپ به راست حساب می‌شود: $17 + (-25) + (-12) = -20$ ، نه $17 - (25-12)$ .
شمارشِ سرسریِ منفی‌ها. در $(-2)\times(-3)\times(-1)\times 4$ سه منفی هست (فرد)، پس جواب $-24$ است.
جابه‌جا کردنِ جمع و ضرب در ترتیب عملیات. در $(-4)\times 3 + (-2)$ اول ضرب: $-12$ ، بعد جمع: $-14$ .

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) حاصل $-8 - (-3) + (-5) - 4$ چند است؟
همهٔ تفریق‌ها را به جمع تبدیل می‌کنیم: $-8 + (+3) + (-5) + (-4)$ . مثبت‌ها: $+3$ ؛ منفی‌ها: $-8 + (-5) + (-4) = -17$ . پس $3 + (-17) = \mathbf{-14}$ .

۲) دمای شهری ساعت ۶ صبح $-7$ درجه بود، تا ظهر ۱۲ درجه گرم‌تر و تا شب ۵ درجه سردتر شد. دمای شب چند است؟
قرارداد: گرم‌تر مثبت، سردتر منفی. $-7 + 12 = +5$ و بعد $5 - 5 = \mathbf{0}$ درجه.

۳) حاصل $\dfrac{(-3) \times (-4) - (-6)}{(-2) \times (+3)}$ را ساده کن.
خطِ کسر مثل پرانتز عمل می‌کند، پس صورت و مخرج را جدا حساب می‌کنیم. صورت: $(-3)\times(-4) = +12$ (هم‌علامت)، سپس $12 - (-6) = 12 + 6 = 18$ . مخرج: $(-2)\times(+3) = -6$ (غیرهم‌علامت). پس $\frac{18}{-6} = \mathbf{-3}$ .

۴) حاصل $1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 99 - 100$ چند است؟
جمعِ یک‌به‌یک وقت‌گیر است؛ دوتایی گروه‌بندی می‌کنیم: $(1-2) + (3-4) + \cdots + (99-100)$ . حاصل هر گروه $-1$ است و $100 \div 2 = 50$ گروه داریم، پس $50 \times (-1) = \mathbf{-50}$ .

۵) آسانسوری از طبقهٔ $-3$ (پارکینگ) راه می‌افتد، ۸ طبقه بالا می‌رود، بعد نصفِ طبقه‌هایی را که بالا رفته پایین می‌آید و در آخر ۳ طبقه بالا می‌رود. در کدام طبقه می‌ایستد؟
شروع از $-3$ ؛ ۸ طبقه بالا: $-3 + 8 = +5$ ؛ نصفِ ۸ یعنی ۴ طبقه پایین: $5 - 4 = +1$ ؛ ۳ طبقه بالا: $1 + 3 = \mathbf{+4}$ .

۶) می‌دانیم $a \times b < 0$ و $a > b$ . علامتِ $a$ و $b$ چیست و $a-b$ مثبت است یا منفی؟
چون حاصل‌ضرب منفی شده، $a$ و $b$ غیرهم‌علامت‌اند. از طرفی بین یک عدد مثبت و یک عدد منفی همیشه مثبت بزرگ‌تر است، پس $a > 0$ و $b < 0$ . حالا $a - b = a + (-b)$ ؛ چون $b$ منفی است، قرینه‌اش $-b$ مثبت است، پس $a-b$ جمعِ دو عدد مثبت و حتماً مثبت است.

🔑 در سؤال‌های سخت، اول علامتِ جواب را حدس بزن؛ اگر جواب نهایی‌ات علامت دیگری داشت، حتماً جایی اشتباه کرده‌ای.

عددهای صحیح (هفتم)

خلاصه‌ی درسنامه

عددهای صحیح (هفتم)

عدد علامت‌دار یعنی چه؟

محور اعداد

قرینهٔ عدد

جمع عددهای صحیح — سه حالت

تبدیل تفریق به جمع — مهم‌ترین مهارت فصل

مقایسه و مرتب‌کردن

شکل گستردهٔ عددهای صحیح

تجزیهٔ دهگان و یکان برای حساب سریع‌تر

تعیینِ علامتِ جواب بدون محاسبه

محاسبهٔ تقریبی

عددهای صحیح در دنیای واقعی

ترتیب عملیات

چند ترفند و خاصیت

اشتباه‌های رایج

نمونه سؤال‌های حل‌شده

نمونه تست

مباحث مرتبط

ادامه‌ی این مبحث رو ببین