عددهای صحیح (ریاضی هفتم)

عددهای صحیح (هفتم)

عدد علامت‌دار یعنی چه؟

عددهای علامت‌دار عددهایی هستند که یا علامت مثبت $(+)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارند یا منفی $(-)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

• مثبت: مقدارهای بیشتر از صفر — دمای بالای صفر، طبقهٔ بالای همکف، سود، دارایی.
• منفی: مقدارهای کمتر از صفر — دمای زیر صفر، زیرزمین، ضرر، بدهی.
• صفر: نه مثبت است نه منفی؛ مبدأ محور اعداد است.

عددهای صحیحِ مثبت دقیقاً همان عددهای طبیعی‌اند: $+3 = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $+7 = 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. علامت مثبت را معمولاً نمی‌نویسیم.

محور اعداد

محور اعداد یک خط راست افقی است که همهٔ عددهای صحیح روی آن جا می‌گیرند:

• هرچه به راست بروی، عدد بزرگ‌تر می‌شود؛ هرچه به چپ، کوچک‌تر.
• جمع با عدد مثبت = حرکت به راست؛ جمع با عدد منفی = حرکت به چپ.

برای جمع دو عدد روی محور: از جای عدد اول شروع کن، به اندازهٔ عدد دوم حرکت کن (مثبت به راست، منفی به چپ)؛ عددی که رویش می‌ایستی جواب است. مثلاً از $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پنج قدم به راست می‌رسی به $+2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $-3 + 5 = +2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قرینهٔ عدد

قرینهٔ یک عدد، عددی است که با آن فاصلهٔ یکسانی از صفر دارد ولی در طرف مقابلِ محور است.

برای نوشتن قرینه، نماد «$-$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی» را سمت چپ عدد می‌گذاریم: $-(+3) = -3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-(-5) = +5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قرینهٔ قرینه، خودِ عدد است:

چرا؟ قرینه مثل «آینه» روی محور است. یک بار آینه‌گرفتن عدد را آن‌طرفِ صفر می‌برد، دو بار آینه‌گرفتن آن را سرِ جای اولش برمی‌گرداند. همین قانون کلیدِ تبدیل تفریق به جمع است.

جمع عددهای صحیح — سه حالت

حالت ۱ — هر دو مثبت: مثل جمع عددهای طبیعی؛ جواب همیشه مثبت است.

حالت ۲ — هر دو منفی: قدرمطلق‌ها (عددها بدونِ علامت) را جمع کن و علامت منفی بگذار؛ جواب همیشه منفی است.

منطقش ساده است: دو بدهی روی هم، بدهیِ بیشتر می‌شود؛ دو گام به چپ، بیشتر به چپ می‌بردت.

حالت ۳ — یکی مثبت، یکی منفی: اینجا «کشمکش» است. قدرمطلق‌ها را از هم کم کن (بزرگ‌تر منهای کوچک‌تر) و علامت را از عددی بگیر که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.

دو نتیجهٔ مهم:

صفر در جمع هیچ اثری ندارد، و جمعِ هر عدد با قرینه‌اش صفر می‌شود.

تبدیل تفریق به جمع — مهم‌ترین مهارت فصل

یعنی به‌جای کم‌کردنِ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، قرینهٔ $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را جمع کن. چرا این کار را می‌کنیم؟ چون قانون‌های جمع را بلدیم؛ با این تبدیل دیگر لازم نیست قانون جداگانه‌ای برای تفریق حفظ کنیم.

منهای منفی = مثبت: $-(-b) = +b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این همان جایی است که بیشترین اشتباه رخ می‌دهد.

مقایسه و مرتب‌کردن

روی محور، عددی که راست‌تر است بزرگ‌تر است.

بین دو عدد منفی، هرکدام که قدرمطلقش بیشتر باشد کوچک‌تر است. پس $-10 < -3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، هرچند ۱۰ از ۳ بزرگ‌تر است.

دقت کن که $-(+8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «قرینهٔ مثبت هشت» که همان $-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، و $+(-8)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم همان $-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

شکل گستردهٔ عددهای صحیح

عدد را به ارزش مکانی می‌شکنیم و هر جزء را علامت‌دار می‌نویسیم:

در عددهای منفی، همهٔ اجزا منفی می‌شوند. نوشتنِ $-237 = -200 + 30 + 7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غلط است.

تجزیهٔ دهگان و یکان برای حساب سریع‌تر

چون جمع و تفریق ارزش مکانی را حفظ می‌کنند، می‌توانی دهگان‌ها را جدا و یکان‌ها را جدا حساب کنی.

نمونهٔ کامل: $27 - 39$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند است؟
دهگان‌ها: $+20 + (-30) = -10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ یکان‌ها: $+7 + (-9) = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ پس $-10 + (-2) = -12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

برای عددهای سه‌رقمی هم همین‌طور، فقط یک ستونِ صدگان اضافه می‌شود: در $331 - 257$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم صدگان $+300-200=+100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، دهگان $+30-50=-20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یکان $+1-7=-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $100-20-6=74$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

این روش وقتی چند عدد با هم جمع می‌شوند خیلی سریع‌تر است؛ مثلاً در $-40 + (-3) + 50 + 1 + (-30) + (-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دهگان‌ها $-20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و یکان‌ها $-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شوند، یعنی $-26$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

تعیینِ علامتِ جواب بدون محاسبه

گاهی فقط می‌خواهی بدانی جواب مثبت است یا منفی. قانون سریع:

• عددها هم‌علامت باشند ← جواب همان علامت را دارد.
• غیرهم‌علامت باشند ← علامتِ عددی که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.

پس $100 + (-50)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است، $100 - 200$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی، $-40 - 90$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی و بزرگ، و $-80 + 130$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت.

محاسبهٔ تقریبی

عددها را به نزدیک‌ترین ده یا صد گرد کن تا سریع به جوابی نزدیک برسی. مثلاً $-137 + 271 \approx -100 + 300 = 200$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (جواب دقیق $134$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، یا $502 - 794 \approx 500 - 800 = -300$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (جواب دقیق $-292$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).
بعد از تقریب، علامت را چک کن؛ اگر علامتِ تقریب با جواب دقیق فرق داشت، حتماً جایی اشتباه شده است.

عددهای صحیح در دنیای واقعی

پیش از هر محاسبه، قرارداد علامت را بنویس («بالا مثبت، پایین منفی») و تا آخرِ مسئله همان را نگه دار. برای «چند درجه سردتر/گرم‌تر» هم تفریق می‌کنیم: اگر کرمان $+11$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و سنندج $-6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه باشد، اختلافشان $(+11) - (-6) = 11 + 6 = 17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه است.

نمونهٔ کامل: زیردریایی‌ای ۴۵۰ متر زیر سطح دریاست و زیردریایی دوم ۱۵۰ متر بالاتر از اوست؛ عمقِ دومی چقدر است؟

اگر در تقسیمی گیر کردی بپرس: «کدام عدد ضربدرِ این می‌شود آن؟» مثلاً برای $(-12)\div(-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بپرس چه عددی در $-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب شود $-12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌دهد؛ جواب $+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
تقسیم بر صفر تعریف نشده است و هر عدد ضربدر صفر، صفر می‌شود.

ترتیب عملیات

ضرب و تقسیمِ هم‌رتبه را از چپ به راست انجام بده. مثلاً $(-4) \times (+3) \div (-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: اول $-12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بعد $(-12)\div(-2)=+6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یا با پرانتز: $(28 \div (-4)) \times (+3) = (-7)\times(+3) = -21$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چند ترفند و خاصیت

جمع عددهای صحیح جابه‌جایی و شرکت‌پذیر است:

پس می‌توانی ترتیب را عوض کنی تا حساب راحت شود: $(-7) + (+3) + (+7) = [(-7)+(+7)] + 3 = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

گروه‌بندی مثبت‌ها و منفی‌ها جلوی خطای علامت را می‌گیرد:

توان عددهای منفی (پیش‌درآمدِ فصل توان): $(-a)^2 = +a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون توان زوج است، و $(-a)^3 = -a^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون توان فرد است — پایه‌اش همان شمارشِ تعداد منفی‌هاست.

استدلال روی علامت: اگر $a \times b > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم‌علامت‌اند؛ اگر $a \times b < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، یکی مثبت و دیگری منفی است. این نکته در فصل معادله‌ها زیاد به کار می‌آید.

اشتباه‌های رایج

• علامتِ نتیجه را از عددِ «بزرگ‌تر» گرفتن، نه از قدرمطلقِ بزرگ‌تر. در $-80 + 130$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چون $130 > 80$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جواب مثبت است: $+50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• جابه‌جا کردن ترتیب در تفریق‌های زنجیره‌ای. عبارت $17 - 25 - 12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از چپ به راست حساب می‌شود: $17 + (-25) + (-12) = -20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $17 - (25-12)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• شمارشِ سرسریِ منفی‌ها. در $(-2)\times(-3)\times(-1)\times 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سه منفی هست (فرد)، پس جواب $-24$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
• جابه‌جا کردنِ جمع و ضرب در ترتیب عملیات. در $(-4)\times 3 + (-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول ضرب: $-12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، بعد جمع: $-14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) حاصل $-8 - (-3) + (-5) - 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند است؟
همهٔ تفریق‌ها را به جمع تبدیل می‌کنیم: $-8 + (+3) + (-5) + (-4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثبت‌ها: $+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ منفی‌ها: $-8 + (-5) + (-4) = -17$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس $3 + (-17) = \mathbf{-14}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۲) دمای شهری ساعت ۶ صبح $-7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه بود، تا ظهر ۱۲ درجه گرم‌تر و تا شب ۵ درجه سردتر شد. دمای شب چند است؟
قرارداد: گرم‌تر مثبت، سردتر منفی. $-7 + 12 = +5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و بعد $5 - 5 = \mathbf{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درجه.

۳) حاصل $\dfrac{(-3) \times (-4) - (-6)}{(-2) \times (+3)}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ساده کن.
خطِ کسر مثل پرانتز عمل می‌کند، پس صورت و مخرج را جدا حساب می‌کنیم. صورت: $(-3)\times(-4) = +12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (هم‌علامت)، سپس $12 - (-6) = 12 + 6 = 18$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مخرج: $(-2)\times(+3) = -6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (غیرهم‌علامت). پس $\frac{18}{-6} = \mathbf{-3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۴) حاصل $1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 99 - 100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند است؟
جمعِ یک‌به‌یک وقت‌گیر است؛ دوتایی گروه‌بندی می‌کنیم: $(1-2) + (3-4) + \cdots + (99-100)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حاصل هر گروه $-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $100 \div 2 = 50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی گروه داریم، پس $50 \times (-1) = \mathbf{-50}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۵) آسانسوری از طبقهٔ $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (پارکینگ) راه می‌افتد، ۸ طبقه بالا می‌رود، بعد نصفِ طبقه‌هایی را که بالا رفته پایین می‌آید و در آخر ۳ طبقه بالا می‌رود. در کدام طبقه می‌ایستد؟
شروع از $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ۸ طبقه بالا: $-3 + 8 = +5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ نصفِ ۸ یعنی ۴ طبقه پایین: $5 - 4 = +1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ ۳ طبقه بالا: $1 + 3 = \mathbf{+4}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۶) می‌دانیم $a \times b < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $a > b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. علامتِ $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چیست و $a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است یا منفی؟
چون حاصل‌ضرب منفی شده، $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی غیرهم‌علامت‌اند. از طرفی بین یک عدد مثبت و یک عدد منفی همیشه مثبت بزرگ‌تر است، پس $a > 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b < 0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا $a - b = a + (-b)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی است، قرینه‌اش $-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت است، پس $a-b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جمعِ دو عدد مثبت و حتماً مثبت است.

در سؤال‌های سخت، اول علامتِ جواب را حدس بزن؛ اگر جواب نهایی‌ات علامت دیگری داشت، حتماً جایی اشتباه کرده‌ای.