آمار، نمودار و احتمال (ریاضی هفتم)

آمار و احتمال (هفتم)

آمار چیست؟

آمار یعنی علمِ جمع‌آوریِ اطلاعات، سازماندهیِ آن‌ها و بررسی‌شان برای رسیدن به یک نتیجه. به اطلاعاتی که جمع می‌کنیم دادهٔ آماری می‌گویند.
وقتی ۳۳ جوابِ پراکنده داری، پیدا کردنِ نتیجه از میانشان سخت است؛ پس اول باید مرتبشان کنی.

جدولِ داده‌ها اولین قدم است: ستونِ اول نامِ دسته‌ها و ستونِ دوم تعدادِ هر دسته. برای شمردنِ سریع از چوب‌خط استفاده می‌کنیم — برای هر داده یک خط، و هر ۵ تا را با یک خطِ مورب دسته می‌کنیم.

روشِ جمع‌آوریِ داده روی نتیجه اثر می‌گذارد. اگر بپرسی «چه رنگی دوست داری؟» جواب‌های متنوعی می‌گیری، ولی اگر سه رنگ پیشنهاد کنی و بگویی یکی را انتخاب کن، شمارش آسان‌تر است اما ممکن است رنگِ موردعلاقهٔ واقعیِ بعضی‌ها اصلاً در فهرست نباشد. پس روشِ پرسیدن، گزینه‌هایی که می‌دهی و حتی زمانِ جمع‌آوری، همه روی دادهٔ نهایی اثر دارند.

نمودار میله‌ای

محورِ افقی نامِ دسته‌ها و محورِ عمودی تعداد را نشان می‌دهد؛ هر دسته یک میله دارد و میلهٔ بلندتر یعنی تعدادِ بیشتر.
مراحل رسم: ۱) جدول را آماده کن. ۲) محورِ افقی و نامِ دسته‌ها را بنویس. ۳) محورِ عمودی و مقیاس را مشخص کن. ۴) میله‌ها را رسم کن. ۵) عنوانِ نمودار را بنویس.

مقیاس یعنی هر خانه روی محورِ عمودی چه عددی را نشان می‌دهد. برای انتخابش، بزرگ‌ترین عددِ جدول را پیدا کن، عددی کمی بزرگ‌تر از آن را سقفِ نمودار بگیر و آن را بر تعدادِ خانه‌ها تقسیم کن.
چرا نمودار؟ چون ذهنِ انسان تصویر را بسیار سریع‌تر از عدد پردازش می‌کند؛ به همین دلیل روزنامه‌ها، پزشکان و اقتصاددان‌ها همه از نمودار استفاده می‌کنند.

از نمودار: بلندترین میله بیشترین تعداد است و کوتاه‌ترین میله کمترین.

میانگین

میانگین نشان می‌دهد «به‌طور متوسط» هر داده چقدر است.
میانگین لزوماً یکی از خودِ داده‌ها نیست. ممکن است میانگینِ بارندگیِ ماهانه $115.25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی میلی‌متر باشد ولی هیچ ماهی دقیقاً این مقدار باران نداشته باشد.

دادهٔ پرت (outlier): میانگین به همهٔ داده‌ها حساس است، حتی یکی دو تای عجیب. اگر حقوقِ ۹ کارمند هرکدام ۵ میلیون و حقوقِ مدیر ۵۰۰ میلیون باشد:

این عدد با حقوقِ واقعیِ اکثرِ کارمندان (۵ میلیون) فاصلهٔ زیادی دارد — یک دادهٔ پرت میانگین را بالا کشیده و آن را گمراه‌کننده کرده است.

نمودارِ گمراه‌کننده: اگر محورِ عمودی از صفر شروع نشود، تفاوت‌های کوچک خیلی بزرگ به نظر می‌رسند. اگر فروشی از ۱۰۰ به ۱۰۵ برسد ولی محور از ۹۵ شروع شود، اختلافِ میله‌ها چشمگیر می‌شود، در حالی که رشدِ واقعی فقط ۵ درصد است. همیشه به اعدادِ محورِ عمودی نگاه کن، نه فقط به ارتفاعِ ظاهریِ میله‌ها.

آمار در زندگیِ واقعی: پزشک از میانگینِ فشارِ خونِ جامعه برای تشخیص کمک می‌گیرد، هواشناس از دادهٔ بارندگیِ سال‌های گذشته برای پیش‌بینی استفاده می‌کند و مدارسِ تیزهوشان از نمره‌های امتحان برای گزینش. آمار ابزارِ تصمیم‌گیری است، نه فقط یک درسِ ریاضی.

نمودار خط شکسته

از وصل‌کردنِ نقطه‌ها ساخته می‌شود و هر نقطه یک داده در یک زمانِ مشخص است. با وصل‌کردنشان می‌بینی داده‌ها بالا رفته‌اند، پایین آمده‌اند یا ثابت مانده‌اند.
شیبِ تندتر یعنی تغییرِ بزرگ‌تر. برای یافتنِ بیشترین تغییر بین دو زمانِ پیاپی:

این نمودار فقط برای داده‌های زمانی (ماه، ساعت، سال) درست است. رسمِ خطِ شکسته برای «رنگِ لباسِ دانش‌آموزان» بی‌معناست، چون رنگ‌ها ترتیبِ زمانی ندارند.
کاربردِ واقعی: قیمتِ دلار و طلا، تعدادِ بیماران در یک اپیدمی، ارتفاعِ آبِ سد.

عدد تقریبی و گرد کردن

گاهی عددهای دقیق برای مقایسه و رسم خیلی بزرگ‌اند و آن‌ها را گرد می‌کنیم.
قانون: به رقمِ بلافاصله بعد از جایی که گرد می‌کنی نگاه کن؛ اگر ۵ یا بیشتر بود یک واحد اضافه کن، وگرنه همان بماند.
مثلاً با تقریبِ کمتر از یک میلیون: $3{,}724{,}620 \to 4{,}000{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون ماندهٔ آن بیشتر از نصفِ میلیون است) ولی $6{,}482{,}300 \to 6{,}000{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون $482{,}300$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کمتر از $500{,}000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است).

نمودار تصویری

به‌جای میله از یک شکل استفاده می‌شود و هر شکل نمایندهٔ تعدادِ مشخصی است. اگر هر نماد ۲٬۰۰۰٬۰۰۰ نفر باشد، برای ۴٬۰۰۰٬۰۰۰ نفر دو نماد می‌کشیم.
نیمِ نماد یعنی نصفِ مقدارِ هر نمادِ کامل. مزیتش جذابیت و سرعتِ خواندن است، ولی برای عددهای دقیق مناسب نیست.

نمودار دایره‌ای

دایرهٔ کامل $=100\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هر بخش سهمِ آن دسته از کل را نشان می‌دهد.

برای رسمِ آسان‌تر، درصدها را به کسر با مخرجِ ۱۰ تبدیل می‌کنیم: $40\% = \frac{4}{10}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۴ قسمت از ۱۰ قسمتِ دایره.
جمعِ درصدها باید دقیقاً ۱۰۰ شود. اگر ۹۹ یا ۱۰۱ شد، در گرد کردن اشتباه کرده‌ای و باید یکی از آن‌ها را یک واحد اصلاح کنی.
چرا درصد؟ چون مقایسهٔ منصفانه ممکن می‌کند. مدرسه‌ای با ۲۰۰۰ کتاب و مدرسه‌ای با ۵۰۰ کتاب را نمی‌شود با عددِ خام مقایسه کرد، ولی «هر دو ۴۰٪ کتابِ علمی دارند» مقایسهٔ درستی است.

کدام نمودار برای کدام هدف؟

گاهی بیش از یک جواب درست است: فروشِ پنج سالِ یک فروشگاه را هم می‌شود میله‌ای نشان داد (مقایسهٔ سال‌به‌سال) و هم خط‌شکسته (دیدنِ روند). هر دو درست‌اند، فقط زاویهٔ دیدشان فرق دارد.
تفسیر با خواندن فرق دارد: خواندن یعنی «چقدر»، تفسیر یعنی «چرا». مثلاً «دما از ۶ صبح تا ۳ بعدازظهر بالا رفته چون خورشید در حال تابیدن است.»

احتمال — سه نوع اتفاق

ریاضی برای دستهٔ سوم از احتمال استفاده می‌کند.

آزمایشِ تصادفی یعنی کاری که نتیجه‌اش از قبل معلوم نیست: انداختنِ تاس، پرتابِ سکه، برداشتنِ مهره از کیسه بدونِ نگاه کردن.
حالتِ ممکن یعنی هر نتیجه‌ای که می‌تواند رخ دهد: سکه ۲ حالت و تاس ۶ حالت دارد.
حالت‌های هم‌شانس یعنی همه شانسِ یکسانی دارند. تاسِ سالم ۶ حالتِ هم‌شانس دارد، ولی چرخنده‌ای که بخشِ آبی‌اش خیلی بزرگ‌تر از قرمز است حالت‌های هم‌شانس ندارد.

فرمول احتمال

حرفِ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از واژهٔ انگلیسیِ Probability آمده.

نمونهٔ کامل: تاسی می‌اندازیم؛ احتمالِ آمدنِ عددِ زوج چقدر است؟ حالت‌های ممکن $\{1,2,3,4,5,6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۶ تا، و حالت‌های مطلوب $\{2,4,6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۳ تا. پس $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

فرمول فقط وقتی درست است که حالت‌ها هم‌شانس باشند. جملهٔ «یا فردا باران می‌آید یا نمی‌آید، پس احتمالش $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است» غلط است، چون این دو حالت هم‌شانس نیستند.
احتمال هرگز منفی نمی‌شود و هرگز از ۱ بیشتر نمی‌شود؛ اگر جوابت چنین شد، حتماً در شمارش اشتباه کرده‌ای.
کسرِ احتمال را همیشه ساده کن: $\frac{3}{6} = \frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
هرچه کیسه مهرهٔ بیشتری داشته باشد، شانسِ بیرون آمدنِ یک مهرهٔ خاص کمتر است: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرخنده، هدف و مساحت

در چرخنده و هدفِ تیراندازی، احتمالِ هر بخش به مساحتِ آن نسبت به کل بستگی دارد. اگر چرخنده‌ای به ۸ قسمتِ مساوی تقسیم شده و ۴ قسمت نارنجی، ۲ آبی و ۲ سفید باشد:

مجموعِ احتمالِ همهٔ حالت‌ها همیشه ۱ است: $\frac12 + \frac14 + \frac14 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
مخرج همیشه کلِ تعدادِ قسمت‌ها است؛ اگر چرخنده ۸ قسمت دارد و ۳ تایش آبی است، جواب $\frac{3}{8}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است نه $\frac{3}{6}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

چرخنده با قسمت‌های نامساوی: اگر چرخنده‌ای به ۱۲ قسمتِ مساوی تقسیم شده باشد ولی عددها روی تعدادِ متفاوتی قسمت نوشته شده باشند، احتمالشان یکسان نیست. اگر عددِ ۴ روی ۳ قسمت باشد $P(4) = \frac{3}{12} = \frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و اگر عددِ ۱ روی ۲ قسمت باشد $P(1) = \frac{2}{12} = \frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نقیضِ یک اتفاق

پس اگر احتمالِ آمدنِ عددِ زوج $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، احتمالِ نیامدنش $1-\frac12 = \frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. گاهی محاسبهٔ نقیض راحت‌تر از محاسبهٔ مستقیم است.

اصلِ شمارش

اگر کاری در چند مرحلهٔ پی‌درپی انجام شود و هر مرحله تعدادِ مشخصی حالت داشته باشد، تعدادِ کلِ حالت‌ها حاصل‌ضربِ تعدادِ حالت‌های هر مرحله است.
نمونهٔ کامل: با رقم‌های ۱، ۲ و ۳ بدونِ تکرار چند عددِ دورقمی می‌سازیم؟ رقمِ اول ۳ حالت دارد و برای هر انتخاب، رقمِ دوم ۲ حالتِ باقی‌مانده؛ پس $3 \times 2 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد.
همین اصل برای دو تاس هم به کار می‌آید: $6 \times 6 = 36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی حالتِ ممکن.

«ضمانت» با «احتمال» فرق دارد

بعضی سؤال‌ها می‌پرسند «چند بار باید برداریم تا مطمئن شویم؟» — اینجا خبری از فرمولِ احتمال نیست و باید به بدترین حالتِ ممکن فکر کنی.
نمونهٔ کامل: در کیسه‌ای ۵ مهرهٔ قرمز و ۳ مهرهٔ آبی هست؛ حداقل چند مهره برداریم تا مطمئن باشیم دستِ‌کم یک آبی داریم؟ بدترین حالت این است که هر ۵ قرمز اول بیایند، پس با مهرهٔ ششم حتماً یک آبی داریم.

احتمالِ نظری و احتمالِ تجربی

نظری از روی منطق و پیش از آزمایش به دست می‌آید. تجربی از روی خودِ آزمایش:

تعدادِ دفعاتِ انتظاری:

مثلاً اگر تاسی را ۱۰۰۰ بار بیندازیم، انتظار داریم حدودِ $\frac12 \times 1000 = 500$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بار عددِ زوج بیاید.

قانونِ اعداد بزرگ: هرچه تعدادِ آزمایش‌ها بیشتر شود، احتمالِ تجربی به نظری نزدیک‌تر می‌شود. در ۱۰ پرتابِ سکه ممکن است ۸ بار رو بیاید، ولی در ۱۰۰۰۰ پرتاب نسبت خیلی نزدیک به $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی خواهد بود.
«انتظار داریم» یعنی تقریباً، نه دقیقاً. در ۶۰ پرتابِ تاس ممکن است عددِ ۲ هشت بار یا سیزده بار بیاید و این کاملاً طبیعی است.
هر پرتاب مستقل است. اگر پنج بار پشت آمده، سکه «نوبتِ» رو را به یاد نمی‌آورد؛ احتمالِ رو همچنان $\frac12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.
آیا ممکن است در ۵۰۰ پرتاب، ۴۰۰ بار پشت بیاید؟ از نظرِ ریاضی بله ممکن است، ولی احتمالش بسیار کم — «بسیار بعید» با «غیرممکن» فرق دارد.
برای احتمالِ تجربیِ دو گروه با اندازه‌های متفاوت، رخدادها را جمع بزن و بر کلِ آزمایش‌ها تقسیم کن؛ میانگینِ سادهٔ دو درصد جوابِ درستی نمی‌دهد.

از نمودارِ ستونی می‌شود سلامتِ تاس را فهمید: نتیجهٔ پرتاب‌های زیاد را روی نمودارِ ستونی بگذار؛ اگر ستون‌ها تقریباً هم‌ارتفاع باشند تاس سالم است، ولی اگر یک ستون خیلی بلندتر باشد احتمالاً تاس کج است.

کاربردهای احتمال: در پزشکی («احتمالِ موفقیتِ این عمل ۹۰٪ است»)، در بیمه (هرچه احتمالِ تصادف بیشتر، بیمه گران‌تر)، در هواشناسی («۴۰٪ احتمالِ بارش») و در بازی‌های کامپیوتری که همه‌چیزشان با احتمال تنظیم می‌شود.

ارتباط با درصد: $P = \frac12 \Leftrightarrow 50\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $P = \frac14 \Leftrightarrow 25\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در زندگیِ روزمره احتمال را با درصد می‌گویند («۳۰٪ احتمالِ باران») و در ریاضی با کسر.

سه مهارتی که باید از این فصل با خودت ببری

۱) سازماندهی و خواندنِ داده — ساختنِ جدول و چوب‌خط، و انتخابِ نمودارِ درست برای هر نوع داده (مقایسهٔ دسته‌ها، روندِ زمانی، یا سهم از کل).
۲) محاسبهٔ درستِ میانگین و درصد — همراه با حواس‌جمعی نسبت به داده‌های پرت و مقیاس‌های گمراه‌کننده.
۳) شمردنِ دقیقِ حالت‌های ممکن و مطلوب — با کمکِ اصلِ شمارش برای حالت‌های ترکیبی، که پایهٔ هر محاسبهٔ درستِ احتمال است.

چهار بخشِ فصل در یک نگاه

اشتباه‌های رایج

• رسمِ نمودار بدونِ تعیینِ مقیاس یا قضاوت از روی شکلِ ظاهریِ نمودار بدونِ نگاه به اعدادِ محور.
• اشتباه در میانگین: جمع‌نکردنِ همهٔ داده‌ها یا اشتباه شمردنِ تعدادشان.
• نوشتنِ عدد به‌جای نامِ ماه (یا برعکس) وقتی سؤال چیزِ دیگری خواسته.
• حساب‌نکردنِ «کل» پیش از محاسبهٔ درصد در نمودارِ دایره‌ای.
• استفاده از خطِ شکسته برای داده‌های غیرزمانی.
• اشتباه در گرد کردنِ عددهای بزرگ.
• فراموش‌کردنِ نصف‌بودنِ نیمِ نماد در نمودارِ تصویری.
• جا انداختنِ یکی از حالت‌های ممکن در شمارشِ احتمال.
• گذاشتنِ مخرجِ اشتباه؛ مخرج همیشه کلِ حالت‌های ممکن است.
• مقایسهٔ غلطِ کسرها: با صورتِ یکسان، مخرجِ بزرگ‌تر یعنی کسرِ کوچک‌تر، پس $\frac{1}{10} < \frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• برابر دانستنِ احتمالِ نظری و تجربی یا فراموش‌کردنِ ضربِ $P$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برای تعدادِ انتظاری.
• کنترل‌نکردنِ مجموعِ احتمال‌ها؛ باید دقیقاً ۱ شود، نه ۰٫۹ و نه ۱٫۱.
• فکر کردن به «نوبت»؛ سکه و تاس حافظه ندارند و هر پرتاب مستقل است.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) در کلاسی ۲۴ نفره، ۹ نفر فوتبال، ۶ نفر والیبال و ۵ نفر بسکتبال را انتخاب کردند و بقیه شنا. چند نفر شنا را انتخاب کردند و کم‌طرفدارترین ورزش کدام است؟
$9+6+5 = 20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $24-20 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر شنا را انتخاب کرده‌اند و با مقایسهٔ ۹، ۶، ۵ و ۴، شنا کم‌طرفدارترین است.

۲) میانگینِ نمرهٔ ۵ آزمونِ دانش‌آموزی ۱۶ است. با افزوده‌شدنِ آزمونِ ششم میانگین به ۱۶٫۵ می‌رسد. نمرهٔ آزمونِ ششم چند است؟
مجموعِ ۵ آزمون: $5\times16 = 80$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مجموعِ ۶ آزمون: $6\times16.5 = 99$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس نمرهٔ ششم $99-80 = 19$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۳) میانگینِ قدِ ۱۲ پسر ۱۵۰ و میانگینِ قدِ ۸ دخترِ همان کلاس ۱۴۲ سانتی‌متر است. میانگینِ قدِ کلِ ۲۰ نفر چند است؟
مجموعِ قدِ پسرها $12\times150 = 1800$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و دخترها $8\times142 = 1136$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ مجموعِ کل $2936$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و میانگین $2936 \div 20 = 146.8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی سانتی‌متر.
این با میانگینِ سادهٔ ۱۵۰ و ۱۴۲ (که ۱۴۶ می‌شد) برابر نیست، چون دو گروه تعدادِ متفاوتی عضو دارند و باید وزن‌دار حساب شود.

۴) در نمودارِ دایره‌ای، سهمِ کسانی که فوتبال را انتخاب کرده‌اند ۳۵٪ و تعدادشان ۷۰ نفر است. کلِ نظرسنجی‌شده‌ها چند نفرند؟
$0.35 \times x = 70$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $x = 70 \div 0.35 = 200$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نفر.

۵) در نمودارِ تصویری هر نماد ۵٬۰۰۰ کتاب است. برای ۱۲٬۵۰۰ کتاب چند نماد لازم است؟
$12500 \div 5000 = 2.5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی ۲ نمادِ کامل و ۱ نیم‌نماد (نیم‌نماد همان $2500$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کتاب است).

۶) تاسی می‌اندازیم؛ احتمالِ آمدنِ عددی بزرگ‌تر از ۴ چقدر است؟
حالت‌های ممکن ۶ تا و حالت‌های مطلوب $\{5,6\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۲ تا، پس $P = \frac{2}{6} = \frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۷) کیسه‌ای ۴ مهرهٔ آبی و ۶ مهرهٔ زرد دارد. احتمالِ اینکه مهرهٔ برداشته‌شده آبی نباشد چقدر است؟
کل ۱۰ مهره است و «آبی نباشد» یعنی زرد، که ۶ حالت دارد: $P = \frac{6}{10} = \frac35$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۸) با رقم‌های ۱، ۲ و ۳ بدونِ تکرار همهٔ عددهای دورقمی را می‌سازیم و یکی را تصادفی برمی‌داریم. احتمالِ زوج‌بودنش چقدر است؟
تعدادِ کل $3\times2 = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد ($12, 13, 21, 23, 31, 32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). زوج یعنی یکانش زوج باشد و تنها رقمِ زوجِ موجود ۲ است، پس $12$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $P = \frac{2}{6} = \frac13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۹) دو تاسِ سالم را هم‌زمان می‌اندازیم. احتمالِ اینکه مجموعشان ۷ شود چقدر است؟
کلِ حالت‌ها $6\times6 = 36$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جفت‌هایی که مجموعشان ۷ می‌شود: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۶ حالت. پس $P = \frac{6}{36} = \frac16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۱۰) احتمالِ آمدنِ آبی در چرخنده‌ای $\frac38$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و انتظار داریم آبی ۹۰ بار بیاید. چرخنده چند بار چرخانده شده است؟
$90 = \frac38 \times n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $n = 90 \times \frac83 = 240$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بار.

۱۱) علی و سارا فروشِ فروشگاهی را در دو ماه (۱۰۰ و ۱۰۵ میلیون تومان) با نمودارِ میله‌ای نشان دادند. علی محور را از صفر و سارا از ۹۵ شروع کرده است. در نمودارِ کدام‌یک تفاوت بزرگ‌تر به نظر می‌رسد و رشدِ واقعی چقدر است؟
در نمودارِ سارا تفاوت بزرگ‌تر دیده می‌شود، چون محورش از عددی غیر از صفر شروع شده و همان فاصلهٔ کوچک روی کلِ ارتفاع کشیده می‌شود. رشدِ واقعی:

۱۲) سهمِ کتاب‌های داستانی در یک نمودارِ دایره‌ای $\frac{2}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از کل است و مجموعِ کتاب‌ها ۴۵۰ جلد است. این سهم چند درصد و چند جلد است؟
$\frac25 = \frac{40}{100} = 40\%$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $450 \times \frac25 = 180$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی جلد.

۱۳) تاسی را ۹۰ بار انداختیم. انتظار داریم عددِ ۵ چند بار بیاید؟ اگر در عمل ۹ بار آمده باشد، از انتظار بیشتر است یا کمتر؟
تعدادِ انتظاری $\frac16 \times 90 = 15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بار. عددِ واقعی (۹ بار) از آن کمتر است — که در آزمایش‌های واقعی کاملاً طبیعی است.

۱۴) گروهِ اول در ۴۰ پرتاب ۲۵ بار رو آورد و گروهِ دوم در ۶۰ پرتاب ۳۳ بار. احتمالِ تجربیِ رو برای مجموعِ ۱۰۰ پرتاب چقدر است؟ آیا با میانگینِ سادهٔ دو گروه یکی است؟
روشِ درست، جمعِ رخدادها بر جمعِ آزمایش‌هاست:

ولی میانگینِ سادهٔ دو گروه $\frac{0.625 + 0.55}{2} = 0.5875$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود. این دو یکی نیستند، چون تعدادِ پرتابِ دو گروه فرق دارد و باید وزن‌دار حساب شود.

۱۵) احتمالِ بردنِ یک بازی $\frac14$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. اگر ۸۰ بار بازی کنیم، انتظار داریم چند بار ببریم؟
$\text{انتظاری} = P \times n = \frac14 \times 80 = 20$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بار.

۱۶) سکه‌ای را ۵۰ بار انداختیم و ۳۲ بار رو آمد. احتمالِ تجربیِ رو چقدر است؟
$P_{\text{تجربی}} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = 0.64$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی ۶۴ درصد.