بردار و مختصات (هفتم)

بردار و مختصات (هفتم)

پاره‌خط جهت‌دار چیست؟

گاهی «خطِ بین دو نقطه» کافی نیست و باید بدانیم از کجا به کجا می‌رویم. رفتن از تهران به اصفهان با رفتن از اصفهان به تهران روی یک راستا هستند، ولی جهتشان عکسِ هم است. وقتی به یک پاره‌خط جهت اضافه کنیم، پاره‌خط جهت‌دار یا در زبان ریاضی بردار می‌شود.

سه ویژگیِ هر بردار

۱) اندازه — طولِ پاره‌خط، یعنی فاصلهٔ نقطهٔ شروع تا پایان.
۲) راستا — روی کدام خط (یا موازیِ کدام خط) قرار دارد: افقی، عمودی یا مورب.
۳) جهت — به کدام سمت می‌رود؛ با یک پیکان روی انتها نشان داده می‌شود.

اگر بخواهی به کسی بگویی جعبه‌ای را هل بدهد، باید هر سه را بگویی: چقدر نیرو (اندازه)، روی چه راستایی، و به کدام طرف. بدونِ هر سه، توضیحت کامل نیست.

🔑 راستا با جهت فرق دارد: راستا فقط خط را می‌گوید (افقی/عمودی/مورب) ولی جهت می‌گوید روی آن خط به کدام سمت. دو بردار می‌توانند یک راستا داشته باشند ولی جهت‌های مخالف.

نمادگذاری

بردار از $O$ به $A$ را $\overrightarrow{OA}$ می‌نویسیم؛ $O$ ابتدا است (دُم، بدون پیکان) و $A$ انتها (سر، با پیکان).
🔑 ترتیبِ حروف مهم است: $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BA}$ دو بردارِ متفاوتاند — هم‌اندازه‌اند ولی جهتشان عکسِ هم است.
🔑 پیکان فقط روی انتها گذاشته می‌شود، نه روی ابتدا و نه وسط.

چرا به بردار نیاز داریم؟

بعضی کمیت‌های دنیای واقعی فقط یک عدد نیستند و بدونِ جهت معنا ندارند: نیرو (۱۰۰ نیوتن به سمت راست)، سرعت (۸۰ کیلومتر بر ساعت به سمت شمال) و جابه‌جایی (۵ متر به شرق) همگی بردارند. در مقابل، دما، جرم و مساحت فقط عددند و جهت نمی‌خواهند.

بردار روی محور اعداد

روی محور، بردار یعنی یک حرکت. برای خواندنش سه چیز بنویس: ابتدا، انتها و اندازه:

نمادِ $|\cdot|$ یعنی قدر مطلق؛ اندازه هرگز منفی نمی‌شود.

نمونهٔ کامل: بردارِ $\overrightarrow{AB}$ با $A = 1$ و $B = -2$. اندازه $= |(-2)-1| = 3$ واحد و جهت به چپ است، چون از عددِ بزرگ‌تر به کوچک‌تر رفته‌ایم.

🔑 راهِ سریع: اگر انتها بزرگ‌تر از ابتدا بود، جهت به راست و اندازه $=$ انتها منهای ابتدا؛ اگر کوچک‌تر بود، جهت به چپ و اندازه $=$ ابتدا منهای انتها.

کشیدنِ بردار روی کاغذ: نقطهٔ ابتدا را بگذار، در جهتِ دلخواه پاره‌خط بکش، نقطهٔ انتها را مشخص کن و پیکان را روی انتها بگذار.
نکتهٔ ظریف: اگر بگویند «بردارِ $\overrightarrow{AB}$ اندازه‌اش ۳ واحد است و $A=1$»، دو جواب ممکن است: $B = 1+3 = 4$ (به راست) یا $B = 1-3 = -2$ (به چپ) — مگر اینکه جهت را هم گفته باشند.

هم‌جهت، عکس‌جهت و قرینه

• هم‌جهت: هم‌راستا و هر دو به یک سمت.
• عکس‌جهت: هم‌راستا ولی به سمت‌های مخالف.
• قرینه: هم‌راستا و هم‌اندازه و جهتِ مخالف.

دو خطِ هم‌راستا فقط دو حالت دارند: یا هم‌جهت‌اند یا عکس‌جهت؛ حالتِ سومی نیست.
🔑 برای قرینه‌بودن هر سه شرط لازم است. دو بردار با جهت‌های مخالف ولی اندازه‌های متفاوت، قرینه نیستند؛ و دو نیرویی که یکی افقی و دیگری عمودی است هرگز قرینه نمی‌شوند، هرچند هم‌اندازه باشند.

مثالِ ملموس: در طناب‌کشیِ ساکن، نیروی دو طرف قرینهٔ هم است: روی یک راستا، هم‌اندازه و عکس‌جهت. یا جسمی که روی میز است: وزنِ رو به پایین و نیروی تکیه‌گاهِ رو به بالا قرینهٔ هم‌اند و به همین دلیل جسم حرکت نمی‌کند.

بردارهای مساوی و بردار صفر

دو بردار مساویاند اگر هم‌اندازه، هم‌راستا و هم‌جهت باشند.
🔑 محلِ رسم مهم نیست! دو بردار می‌توانند در دو گوشهٔ مختلفِ صفحه کشیده شده باشند و باز مساوی باشند — مثل دو ماشین که هر دو با سرعت ۸۰ به سمت شمال می‌روند، هرچند در جاده‌های مختلف. بردار یک «موجودیتِ مستقل» است: مثل فلشی که می‌توانی هرجای صفحه بگذاری، تا وقتی اندازه و راستا و جهتش عوض نشود همان بردار است.

بردار صفر: اگر ابتدا و انتها یکی باشند، اندازه صفر است و جهت معنایی ندارد؛ آن را با $\vec{0}$ نشان می‌دهیم. رفتن از $A$ به $B$ و برگشتن به $A$، جابه‌جاییِ کلِ صفر می‌دهد، چون $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BA}$ قرینهٔ هم‌اند و همدیگر را خنثی می‌کنند.

تحلیل نیروها

۱) نیروهای هم‌راستا را دسته‌بندی کن. ۲) در هر دسته، جفت‌های هم‌اندازه و عکس‌جهت (قرینه‌ها) را پیدا کن. ۳) قرینه‌ها را حذف کن. ۴) هر نیرویی که بی‌جفت ماند، جهتِ حرکتِ جسم را می‌سازد؛ اگر چیزی نماند، جسم ساکن است.
مثلاً نیروی ۷ به راست و ۵ به چپ: ۵ واحدشان خنثی می‌شود و نیروی ۲ به راست باقی می‌ماند.

جهت‌های جغرافیایی و جابه‌جاییِ کل

روی نقشه: شمال بالا، جنوب پایین، شرق راست، غرب چپ. قرینهٔ هر جهت دقیقاً ۱۸۰ درجه چرخش است — قرینهٔ شمال فقط و فقط جنوب است، نه جنوب‌شرقی. قرینهٔ شمال‌شرقی هم جنوب‌غربی است.

روشِ یافتنِ جابه‌جاییِ کل: حرکت‌های شمال–جنوب را جدا و حرکت‌های شرق–غرب را جدا جمع بزن. مثلاً برای «۳ شمال، ۴ شرق، ۵ جنوب، ۲ غرب»: عمودی $3-5 = -2$ یعنی ۲ واحد جنوب، و افقی $4-2 = +2$ یعنی ۲ واحد شرق.
🔑 ترتیبِ مراحل مهم نیست: اول شمال بعد شرق، همان نقطه‌ای را می‌دهد که اول شرق بعد شمال — چون این دو راستا بر هم عمودند و روی هم اثر نمی‌گذارند. همین چیزی است که در ریاضیِ بالاتر به‌صورتِ $\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}$ نوشته می‌شود.

جمعِ جبریِ چند جابه‌جایی روی یک محور: به هر حرکت بر اساس جهتش علامت بده (راست مثبت، چپ منفی) و همه را جمع بزن. مثلاً مورچه‌ای که ۵ راست، ۳ چپ، ۲ راست و ۶ چپ می‌رود:

یعنی در پایان ۲ واحد به چپ جابه‌جا شده.
🔑 مسیرِ طی‌شده با جابه‌جایی فرق دارد! اینجا مسیر $5+3+2+6 = 16$ واحد است ولی جابه‌جایی فقط ۲ واحد. در سؤال‌های سخت دقت کن کدام را می‌خواهند.

🔑 پیوند با فیزیک: همین ایده پایهٔ قانونِ اولِ نیوتن است که در پایهٔ دهم می‌خوانی — جسمی که همهٔ نیروهایش دوبه‌دو قرینه‌اند، حرکت نمی‌کند. نیرو، سرعت، شتاب و میدانِ مغناطیسی همگی بردارند.

🔑 پیش‌درآمدِ جمعِ بردارهای عمود بر هم: اگر ۳ واحد به شرق و بعد ۴ واحد به شمال بروی، جابه‌جاییِ کلت یک بردارِ قطری با اندازهٔ $\sqrt{3^2+4^2} = 5$ واحد است — همان قضیهٔ فیثاغورس.

🔑 در شکل‌های منظم، تشخیصِ بردارها آسان است: اضلاعِ موازی و هم‌جهت بردارهای مساوی می‌سازند و اضلاعِ موازی با جهتِ برعکس بردارهای قرینه. پس اول موازی‌بودن را ببین، بعد جهت را.

دستگاه مختصات

از دو خطِ عمود بر هم ساخته شده: محور طول‌ها ($x$) افقی است (راست مثبت، چپ منفی) و محور عرض‌ها ($y$) عمودی (بالا مثبت، پایین منفی). محلِ تلاقی، مبدأ با مختصاتِ $(0,0)$ است.

هر نقطه با یک جفت عدد مشخص می‌شود: اول فاصلهٔ افقی، بعد فاصلهٔ عمودی. پس $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ یعنی ۳ واحد به راست و ۲ واحد به پایینِ مبدأ.

🔑 برای تشخیصِ ناحیه اصلاً لازم نیست رسم کنی؛ فقط به علامت‌ها نگاه کن. نقطه‌های روی محورها ($x=0$ یا $y=0$) در هیچ ناحیه‌ای نیستند و روی مرزند.

🔑 چرا دو عدد؟ روی یک خط (یک‌بعدی) یک عدد کافی است، ولی در صفحه (دوبعدی) باید در هر دو جهت فاصله بدهی. این ایده از دکارت آمده که می‌گویند با دیدنِ مگسی روی سقف از خودش پرسید «چطور دقیقاً بگویم کجاست؟». مختصاتِ جغرافیایی هم دقیقاً همین است: طولِ جغرافیایی نقشِ $x$ و عرضِ جغرافیایی نقشِ $y$ را دارد.

مختصاتِ بردار

یعنی انتها منهای ابتدا. مؤلفهٔ اول می‌گوید چند واحد افقی جابه‌جا شده‌ایم و مؤلفهٔ دوم چند واحد عمودی.

نمونهٔ کامل: با $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$: تغییرِ افقی $5-1 = 4$ و تغییرِ عمودی $4-2 = 2$، پس $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

🔑 مختصاتِ نقطه با مختصاتِ بردار فرق دارد: مختصاتِ نقطه می‌گوید «کجاست» و مختصاتِ بردار می‌گوید «چقدر جابه‌جا شده‌ایم».
🔑 اگر فرمول را برعکس کنی (ابتدا منهای انتها)، بردارِ قرینه به دست می‌آید. برای یادآوری: $\overrightarrow{AB}$ یعنی «به سمتِ $B$ می‌روی»، پس $B$ اول می‌آید.

انتها، ابتدا و جمعِ بردارها

همین یک رابطه سه نوع سؤال می‌سازد: پیدا کردنِ انتها (ابتدا + بردار)، پیدا کردنِ بردار (انتها منهای ابتدا) و پیدا کردنِ ابتدا (انتها منهای بردار).

جمعِ بردارها یعنی جمعِ مؤلفه‌های متناظر:

🔑 هرگز مؤلفهٔ اول را با دوم جمع نکن: $x$ با $x$ و $y$ با $y$.
🔑 مسیرِ مستقیم از $A$ به $C$ همان جمعِ همهٔ بردارهای بینِ آن‌هاست، هر چند بار و از هر مسیری که رفته باشی.

بردارِ قرینه: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$، یعنی علامتِ هر دو مؤلفه عوض می‌شود؛ و $\vec{d} + \vec{d'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

قرینه‌ها در مختصات

قرینه نسبت به محور $x$ یعنی آینه‌ای در امتدادِ محورِ افقی: هر چه بالا بود پایین می‌رود، ولی چپ و راست دست‌نخورده می‌ماند. خطِ $y=x$ هم مثل یک آینهٔ ۴۵ درجه عمل می‌کند و نقش‌های افقی و عمودی را با هم عوض می‌کند.

حلِ معادله‌های برداری: وقتی مؤلفه‌ای مجهول است، رابطه را برای هر مؤلفه جداگانه بنویس و حل کن. مثلاً از

دو معادلهٔ مستقل به دست می‌آید: $-2+x = 3$ پس $x=5$، و $1+y = -4$ پس $y=-5$.

انتقال با مختصاتِ جبری: نقطهٔ $A(x,y)$ با بردارِ $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ به $\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}$ می‌رود. مثلاً $A(t,\, 2t-1)$ با بردارِ $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ به $\begin{pmatrix} t-1 \\ 2t+2 \end{pmatrix}$ منتقل می‌شود.

بردار انتقال

بردار انتقال برداری است که با آن یک نقطه یا شکل را جابه‌جا می‌کنیم؛ تصویرِ نقطهٔ $A$ را $A'$ می‌نامیم. مثلاً $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ یعنی «۳ خانه راست، ۲ خانه پایین».

انتقالِ شکل: هر رأس را جداگانه و با همان بردار منتقل کن، بعد رأس‌های تازه را به هم وصل کن. شکلِ حاصل کاملاً هم‌نهشتِ شکلِ اصلی است — اندازه، زاویه‌ها و طولِ اضلاع دست‌نخورده‌اند و فقط موقعیت عوض شده.

دو انتقالِ پشت‌سرهم برابرِ یک انتقال با جمعِ آن دو بردار است و ترتیبشان فرقی نمی‌کند.

🔑 اما وقتی انتقال با قرینه ترکیب شود، ترتیب مهم می‌شود! نقطهٔ $P(2,3)$ را ببین:
اول انتقال با $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ بعد قرینه نسبت به محور $x$: $P \to (3,5) \to (3,-5)$.
اول قرینه بعد انتقال: $P \to (2,-3) \to (3,-1)$.
دو نتیجهٔ متفاوت! پس وقتی سؤال چند عملِ متفاوت را پشت سر هم خواست، دقیقاً به همان ترتیبی که گفته عمل کن.

🔑 اگر بگویند «نقطهٔ $A$ را با بردارِ $\overrightarrow{BC}$ انتقال بده»، اول باید خودِ $\overrightarrow{BC}$ را حساب کنی (انتها منهای ابتدا)، بعد آن را به $A$ اضافه کنی — نه اینکه مستقیم مختصاتِ $B$ یا $C$ را به کار ببری.

بردارِ صفر در انتقال: اگر بردارِ انتقال $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ باشد، هیچ جابه‌جایی رخ نمی‌دهد و نقطه سرِ جایش می‌ماند.

بردار در شکل‌های هندسی

در متوازی‌الاضلاعِ $ABCD$: $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{DC}$ مساویاند (هم‌راستا، هم‌اندازه، هم‌جهت) ولی $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{CD}$ قرینهاند.
در هر شکلِ منتظمِ زوج‌الاضلاع (مثل شش‌ضلعیِ منتظم) هر ضلع یک جفتِ روبه‌رو دارد که یا با آن مساوی است یا قرینه — بسته به اینکه جهتِ حرکت روی دو ضلع یکسان باشد یا نه.

🔑 چرا بردار را ستونی می‌نویسیم؟ می‌شد $(4,2)$ هم نوشت، ولی نوشتنِ ستونی کمک می‌کند مؤلفهٔ افقی و عمودی را جدا ببینی و در محاسبه اشتباه نکنی. این فقط یک قرارداد است، مثل همان قرارداد که همیشه اول افقی و بعد عمودی می‌نویسیم.

اشتباه‌های رایج

• یکی گرفتنِ $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BA}$؛ این دو قرینهٔ هم‌اند.
• منفی گرفتنِ اندازه. اندازه همیشه با قدرمطلق حساب می‌شود؛ منفی‌بودن جهت را نشان می‌دهد نه اندازه را.
• قرینه دانستنِ دو بردار که فقط جهتِ مخالف دارند ولی هم‌اندازه یا هم‌راستا نیستند.
• مهم دانستنِ محلِ رسم در تشخیصِ بردارهای مساوی.
• جابه‌جا کردنِ $x$ و $y$؛ همیشه اول افقی بعد عمودی («اول راه برو، بعد بالا برو»).
• نوشتنِ فرمولِ بردار به‌صورتِ ابتدا منهای انتها.
• عوض کردنِ هر دو مؤلفه در قرینه نسبت به محور $x$؛ آنجا فقط $y$ عوض می‌شود.
• جمع زدنِ همهٔ اعدادِ دو بردار با هم به‌جای جمعِ مؤلفه‌به‌مؤلفه.
• نوشتنِ مختصاتِ نقطهٔ $B$ به‌جای مختصاتِ بردارِ $\overrightarrow{AB}$.
• منتقل کردنِ فقط یک رأس هنگام انتقالِ یک شکل.
• نادیده گرفتنِ علامتِ منفی وقتی حرکت از راست به چپ یا از بالا به پایین است؛ آن مؤلفه حتماً منفی می‌شود.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) روی محور اعداد $A = -4$ و $B = 6$ است. بردارِ $\overrightarrow{AB}$ را توصیف کن.
اندازه: $|6-(-4)| = 10$ واحد. چون $B > A$، جهت به راست است. پس برداری به سمت راست با اندازهٔ ۱۰ واحد.

۲) نقطهٔ $P(-7, 2)$ در کدام ناحیه است؟
$x$ منفی و $y$ مثبت، پس ناحیهٔ ۲.

۳) با $A(2,-5)$ و $B(6,1)$، مختصاتِ $\overrightarrow{AB}$ و قرینه‌اش نسبت به مبدأ را بنویس.

۴) نقطهٔ $A(3,-2)$ با برداری به $A'(-1,5)$ منتقل شده است. اگر همان بردار روی $B(-4,6)$ اعمال شود، $B'$ کجاست؟
اول خودِ بردار را پیدا می‌کنیم: $\vec{v} = A' - A = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$. حالا $B' = \begin{pmatrix} -4-4 \\ 6+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 13 \end{pmatrix}$.

۵) می‌دانیم $m<0$ و $n>0$. برداری با مؤلفه‌های $\begin{pmatrix} m-n \\ n-m \end{pmatrix}$ در کدام ناحیه می‌افتد؟
مؤلفهٔ اول: منفی منهای مثبت، پس منفی. مؤلفهٔ دوم: مثبت منهای منفی، پس مثبت. یعنی $x<0$ و $y>0$: ناحیهٔ ۲.

۶) به جسمی سه نیرو وارد می‌شود: ۸ نیوتن به راست، ۸ نیوتن به چپ و ۵ نیوتن به پایین. آیا ساکن می‌ماند؟
دو نیروی ۸ نیوتنی هم‌راستا، هم‌اندازه و عکس‌جهت‌اند، پس قرینهٔ هم‌اند و یکدیگر را خنثی می‌کنند. نیروی ۵ نیوتنیِ رو به پایین جفتی ندارد، پس جسم ساکن نمی‌ماند و به سمتِ پایین حرکت می‌کند.

۷) در متوازی‌الاضلاعِ $ABCD$ داریم $A(1,2)$، $B(5,2)$ و $C(7,6)$. مختصاتِ $D$ چیست؟
در متوازی‌الاضلاع $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ است و $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$، پس $D = C - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$.
وارسی: $\overrightarrow{AD} = (2,4)$ و $\overrightarrow{BC} = (2,4)$ برابرند ✓

۸) نقطهٔ $M(4,-1)$ را نسبت به خطِ $y=x$ قرینه کن و بردارِ انتقالی را که $M$ را به قرینه‌اش می‌برد بنویس.
جای دو مؤلفه عوض می‌شود: $M'(-1, 4)$. سپس $\overrightarrow{MM'} = \begin{pmatrix} -1-4 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}$.

**۹) اگر $a>0$ و $b<0$ باشد، نقطهٔ $\begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}$ در کدام ناحیه است؟**
چون $a>0$ پس $-a<0$، و چون $b<0$ پس $-b>0$. یعنی $x$ منفی و $y$ مثبت: ناحیهٔ ۲.

۱۰) مورچه‌ای روی محور از نقطهٔ صفر ۵ واحد راست، ۳ واحد چپ، ۲ واحد راست و ۶ واحد چپ می‌رود. مسیرِ طی‌شده و جابه‌جاییِ نهایی‌اش چقدر است؟
جابه‌جایی: $(+5)+(-3)+(+2)+(-6) = -2$، یعنی ۲ واحد به چپ. ولی مسیرِ طی‌شده $5+3+2+6 = 16$ واحد است. این دو را با هم اشتباه نگیر.

۱۱) سعید از $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ شروع می‌کند، اول ۳ خانه راست و ۴ خانه پایین می‌رود، بعد ۲ خانه چپ. کجا می‌ایستد؟
اول بردارها را جمع می‌کنیم: $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$؛ سپس $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$.