بردار و مختصات (ریاضی هفتم)

بردار و مختصات (هفتم)

پاره‌خط جهت‌دار چیست؟

گاهی «خطِ بین دو نقطه» کافی نیست و باید بدانیم از کجا به کجا می‌رویم. رفتن از تهران به اصفهان با رفتن از اصفهان به تهران روی یک راستا هستند، ولی جهتشان عکسِ هم است. وقتی به یک پاره‌خط جهت اضافه کنیم، پاره‌خط جهت‌دار یا در زبان ریاضی بردار می‌شود.

سه ویژگیِ هر بردار

۱) اندازه — طولِ پاره‌خط، یعنی فاصلهٔ نقطهٔ شروع تا پایان.
۲) راستا — روی کدام خط (یا موازیِ کدام خط) قرار دارد: افقی، عمودی یا مورب.
۳) جهت — به کدام سمت می‌رود؛ با یک پیکان روی انتها نشان داده می‌شود.

اگر بخواهی به کسی بگویی جعبه‌ای را هل بدهد، باید هر سه را بگویی: چقدر نیرو (اندازه)، روی چه راستایی، و به کدام طرف. بدونِ هر سه، توضیحت کامل نیست.

راستا با جهت فرق دارد: راستا فقط خط را می‌گوید (افقی/عمودی/مورب) ولی جهت می‌گوید روی آن خط به کدام سمت. دو بردار می‌توانند یک راستا داشته باشند ولی جهت‌های مخالف.

نمادگذاری

بردار از $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را $\overrightarrow{OA}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نویسیم؛ $O$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ابتدا است (دُم، بدون پیکان) و $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتها (سر، با پیکان).
ترتیبِ حروف مهم است: $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{BA}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو بردارِ متفاوتاند — هم‌اندازه‌اند ولی جهتشان عکسِ هم است.
پیکان فقط روی انتها گذاشته می‌شود، نه روی ابتدا و نه وسط.

چرا به بردار نیاز داریم؟

بعضی کمیت‌های دنیای واقعی فقط یک عدد نیستند و بدونِ جهت معنا ندارند: نیرو (۱۰۰ نیوتن به سمت راست)، سرعت (۸۰ کیلومتر بر ساعت به سمت شمال) و جابه‌جایی (۵ متر به شرق) همگی بردارند. در مقابل، دما، جرم و مساحت فقط عددند و جهت نمی‌خواهند.

بردار روی محور اعداد

روی محور، بردار یعنی یک حرکت. برای خواندنش سه چیز بنویس: ابتدا، انتها و اندازه:

نمادِ $|\cdot|$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی قدر مطلق؛ اندازه هرگز منفی نمی‌شود.

نمونهٔ کامل: بردارِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $A = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اندازه $= |(-2)-1| = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد و جهت به چپ است، چون از عددِ بزرگ‌تر به کوچک‌تر رفته‌ایم.

راهِ سریع: اگر انتها بزرگ‌تر از ابتدا بود، جهت به راست و اندازه = انتها منهای ابتدا؛ اگر کوچک‌تر بود، جهت به چپ و اندازه = ابتدا منهای انتها.

کشیدنِ بردار روی کاغذ: نقطهٔ ابتدا را بگذار، در جهتِ دلخواه پاره‌خط بکش، نقطهٔ انتها را مشخص کن و پیکان را روی انتها بگذار.
نکتهٔ ظریف: اگر بگویند «بردارِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اندازه‌اش ۳ واحد است و $A=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی»، دو جواب ممکن است: $B = 1+3 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (به راست) یا $B = 1-3 = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (به چپ) — مگر اینکه جهت را هم گفته باشند.

هم‌جهت، عکس‌جهت و قرینه

• هم‌جهت: هم‌راستا و هر دو به یک سمت.
• عکس‌جهت: هم‌راستا ولی به سمت‌های مخالف.
• قرینه: هم‌راستا و هم‌اندازه و جهتِ مخالف.

دو خطِ هم‌راستا فقط دو حالت دارند: یا هم‌جهت‌اند یا عکس‌جهت؛ حالتِ سومی نیست.
برای قرینه‌بودن هر سه شرط لازم است. دو بردار با جهت‌های مخالف ولی اندازه‌های متفاوت، قرینه نیستند؛ و دو نیرویی که یکی افقی و دیگری عمودی است هرگز قرینه نمی‌شوند، هرچند هم‌اندازه باشند.

مثالِ ملموس: در طناب‌کشیِ ساکن، نیروی دو طرف قرینهٔ هم است: روی یک راستا، هم‌اندازه و عکس‌جهت. یا جسمی که روی میز است: وزنِ رو به پایین و نیروی تکیه‌گاهِ رو به بالا قرینهٔ هم‌اند و به همین دلیل جسم حرکت نمی‌کند.

بردارهای مساوی و بردار صفر

دو بردار مساویاند اگر هم‌اندازه، هم‌راستا و هم‌جهت باشند.
محلِ رسم مهم نیست! دو بردار می‌توانند در دو گوشهٔ مختلفِ صفحه کشیده شده باشند و باز مساوی باشند — مثل دو ماشین که هر دو با سرعت ۸۰ به سمت شمال می‌روند، هرچند در جاده‌های مختلف. بردار یک «موجودیتِ مستقل» است: مثل فلشی که می‌توانی هرجای صفحه بگذاری، تا وقتی اندازه و راستا و جهتش عوض نشود همان بردار است.

بردار صفر: اگر ابتدا و انتها یکی باشند، اندازه صفر است و جهت معنایی ندارد؛ آن را با $\vec{0}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان می‌دهیم. رفتن از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و برگشتن به $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جابه‌جاییِ کلِ صفر می‌دهد، چون $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{BA}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینهٔ هم‌اند و همدیگر را خنثی می‌کنند.

تحلیل نیروها

۱) نیروهای هم‌راستا را دسته‌بندی کن. ۲) در هر دسته، جفت‌های هم‌اندازه و عکس‌جهت (قرینه‌ها) را پیدا کن. ۳) قرینه‌ها را حذف کن. ۴) هر نیرویی که بی‌جفت ماند، جهتِ حرکتِ جسم را می‌سازد؛ اگر چیزی نماند، جسم ساکن است.
مثلاً نیروی ۷ به راست و ۵ به چپ: ۵ واحدشان خنثی می‌شود و نیروی ۲ به راست باقی می‌ماند.

جهت‌های جغرافیایی و جابه‌جاییِ کل

روی نقشه: شمال بالا، جنوب پایین، شرق راست، غرب چپ. قرینهٔ هر جهت دقیقاً ۱۸۰ درجه چرخش است — قرینهٔ شمال فقط و فقط جنوب است، نه جنوب‌شرقی. قرینهٔ شمال‌شرقی هم جنوب‌غربی است.

روشِ یافتنِ جابه‌جاییِ کل: حرکت‌های شمال–جنوب را جدا و حرکت‌های شرق–غرب را جدا جمع بزن. مثلاً برای «۳ شمال، ۴ شرق، ۵ جنوب، ۲ غرب»: عمودی $3-5 = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۲ واحد جنوب، و افقی $4-2 = +2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۲ واحد شرق.
ترتیبِ مراحل مهم نیست: اول شمال بعد شرق، همان نقطه‌ای را می‌دهد که اول شرق بعد شمال — چون این دو راستا بر هم عمودند و روی هم اثر نمی‌گذارند. همین چیزی است که در ریاضیِ بالاتر به‌صورتِ $\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نوشته می‌شود.

جمعِ جبریِ چند جابه‌جایی روی یک محور: به هر حرکت بر اساس جهتش علامت بده (راست مثبت، چپ منفی) و همه را جمع بزن. مثلاً مورچه‌ای که ۵ راست، ۳ چپ، ۲ راست و ۶ چپ می‌رود:

یعنی در پایان ۲ واحد به چپ جابه‌جا شده.
مسیرِ طی‌شده با جابه‌جایی فرق دارد! اینجا مسیر $5+3+2+6 = 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد است ولی جابه‌جایی فقط ۲ واحد. در سؤال‌های سخت دقت کن کدام را می‌خواهند.

پیوند با فیزیک: همین ایده پایهٔ قانونِ اولِ نیوتن است که در پایهٔ دهم می‌خوانی — جسمی که همهٔ نیروهایش دوبه‌دو قرینه‌اند، حرکت نمی‌کند. نیرو، سرعت، شتاب و میدانِ مغناطیسی همگی بردارند.

پیش‌درآمدِ جمعِ بردارهای عمود بر هم: اگر ۳ واحد به شرق و بعد ۴ واحد به شمال بروی، جابه‌جاییِ کلت یک بردارِ قطری با اندازهٔ $\sqrt{3^2+4^2} = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد است — همان قضیهٔ فیثاغورس.

در شکل‌های منظم، تشخیصِ بردارها آسان است: اضلاعِ موازی و هم‌جهت بردارهای مساوی می‌سازند و اضلاعِ موازی با جهتِ برعکس بردارهای قرینه. پس اول موازی‌بودن را ببین، بعد جهت را.

دستگاه مختصات

از دو خطِ عمود بر هم ساخته شده: محور طول‌ها ($x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) افقی است (راست مثبت، چپ منفی) و محور عرض‌ها ($y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) عمودی (بالا مثبت، پایین منفی). محلِ تلاقی، مبدأ با مختصاتِ $(0,0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است.

هر نقطه با یک جفت عدد مشخص می‌شود: اول فاصلهٔ افقی، بعد فاصلهٔ عمودی. پس $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی ۳ واحد به راست و ۲ واحد به پایینِ مبدأ.

برای تشخیصِ ناحیه اصلاً لازم نیست رسم کنی؛ فقط به علامت‌ها نگاه کن. نقطه‌های روی محورها ($x=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $y=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) در هیچ ناحیه‌ای نیستند و روی مرزند.

چرا دو عدد؟ روی یک خط (یک‌بعدی) یک عدد کافی است، ولی در صفحه (دوبعدی) باید در هر دو جهت فاصله بدهی. این ایده از دکارت آمده که می‌گویند با دیدنِ مگسی روی سقف از خودش پرسید «چطور دقیقاً بگویم کجاست؟». مختصاتِ جغرافیایی هم دقیقاً همین است: طولِ جغرافیایی نقشِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عرضِ جغرافیایی نقشِ $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را دارد.

مختصاتِ بردار

یعنی انتها منهای ابتدا. مؤلفهٔ اول می‌گوید چند واحد افقی جابه‌جا شده‌ایم و مؤلفهٔ دوم چند واحد عمودی.

نمونهٔ کامل: با $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: تغییرِ افقی $5-1 = 4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و تغییرِ عمودی $4-2 = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

مختصاتِ نقطه با مختصاتِ بردار فرق دارد: مختصاتِ نقطه می‌گوید «کجاست» و مختصاتِ بردار می‌گوید «چقدر جابه‌جا شده‌ایم».
اگر فرمول را برعکس کنی (ابتدا منهای انتها)، بردارِ قرینه به دست می‌آید. برای یادآوری: $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «به سمتِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌روی»، پس $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اول می‌آید.

انتها، ابتدا و جمعِ بردارها

همین یک رابطه سه نوع سؤال می‌سازد: پیدا کردنِ انتها (ابتدا + بردار)، پیدا کردنِ بردار (انتها منهای ابتدا) و پیدا کردنِ ابتدا (انتها منهای بردار).

جمعِ بردارها یعنی جمعِ مؤلفه‌های متناظر:

هرگز مؤلفهٔ اول را با دوم جمع نکن: $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
مسیرِ مستقیم از $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همان جمعِ همهٔ بردارهای بینِ آن‌هاست، هر چند بار و از هر مسیری که رفته باشی.

بردارِ قرینه: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی علامتِ هر دو مؤلفه عوض می‌شود؛ و $\vec{d} + \vec{d'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

قرینه‌ها در مختصات

قرینه نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی آینه‌ای در امتدادِ محورِ افقی: هر چه بالا بود پایین می‌رود، ولی چپ و راست دست‌نخورده می‌ماند. خطِ $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم مثل یک آینهٔ ۴۵ درجه عمل می‌کند و نقش‌های افقی و عمودی را با هم عوض می‌کند.

حلِ معادله‌های برداری: وقتی مؤلفه‌ای مجهول است، رابطه را برای هر مؤلفه جداگانه بنویس و حل کن. مثلاً از

دو معادلهٔ مستقل به دست می‌آید: $-2+x = 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $x=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و $1+y = -4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $y=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

انتقال با مختصاتِ جبری: نقطهٔ $A(x,y)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با بردارِ $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رود. مثلاً $A(t,\, 2t-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با بردارِ $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $\begin{pmatrix} t-1 \\ 2t+2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منتقل می‌شود.

بردار انتقال

بردار انتقال برداری است که با آن یک نقطه یا شکل را جابه‌جا می‌کنیم؛ تصویرِ نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را $A'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌نامیم. مثلاً $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی «۳ خانه راست، ۲ خانه پایین».

انتقالِ شکل: هر رأس را جداگانه و با همان بردار منتقل کن، بعد رأس‌های تازه را به هم وصل کن. شکلِ حاصل کاملاً هم‌نهشتِ شکلِ اصلی است — اندازه، زاویه‌ها و طولِ اضلاع دست‌نخورده‌اند و فقط موقعیت عوض شده.

دو انتقالِ پشت‌سرهم برابرِ یک انتقال با جمعِ آن دو بردار است و ترتیبشان فرقی نمی‌کند.

اما وقتی انتقال با قرینه ترکیب شود، ترتیب مهم می‌شود! نقطهٔ $P(2,3)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ببین:
اول انتقال با $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بعد قرینه نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $P \to (3,5) \to (3,-5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
اول قرینه بعد انتقال: $P \to (2,-3) \to (3,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
دو نتیجهٔ متفاوت! پس وقتی سؤال چند عملِ متفاوت را پشت سر هم خواست، دقیقاً به همان ترتیبی که گفته عمل کن.

اگر بگویند «نقطهٔ $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را با بردارِ $\overrightarrow{BC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی انتقال بده»، اول باید خودِ $\overrightarrow{BC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کنی (انتها منهای ابتدا)، بعد آن را به $A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اضافه کنی — نه اینکه مستقیم مختصاتِ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یا $C$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به کار ببری.

بردارِ صفر در انتقال: اگر بردارِ انتقال $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، هیچ جابه‌جایی رخ نمی‌دهد و نقطه سرِ جایش می‌ماند.

بردار در شکل‌های هندسی

در متوازی‌الاضلاعِ $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{DC}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مساویاند (هم‌راستا، هم‌اندازه، هم‌جهت) ولی $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{CD}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینهاند.
در هر شکلِ منتظمِ زوج‌الاضلاع (مثل شش‌ضلعیِ منتظم) هر ضلع یک جفتِ روبه‌رو دارد که یا با آن مساوی است یا قرینه — بسته به اینکه جهتِ حرکت روی دو ضلع یکسان باشد یا نه.

چرا بردار را ستونی می‌نویسیم؟ می‌شد $(4,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی هم نوشت، ولی نوشتنِ ستونی کمک می‌کند مؤلفهٔ افقی و عمودی را جدا ببینی و در محاسبه اشتباه نکنی. این فقط یک قرارداد است، مثل همان قرارداد که همیشه اول افقی و بعد عمودی می‌نویسیم.

اشتباه‌های رایج

• یکی گرفتنِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{BA}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ این دو قرینهٔ هم‌اند.
• منفی گرفتنِ اندازه. اندازه همیشه با قدرمطلق حساب می‌شود؛ منفی‌بودن جهت را نشان می‌دهد نه اندازه را.
• قرینه دانستنِ دو بردار که فقط جهتِ مخالف دارند ولی هم‌اندازه یا هم‌راستا نیستند.
• مهم دانستنِ محلِ رسم در تشخیصِ بردارهای مساوی.
• جابه‌جا کردنِ $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ همیشه اول افقی بعد عمودی («اول راه برو، بعد بالا برو»).
• نوشتنِ فرمولِ بردار به‌صورتِ ابتدا منهای انتها.
• عوض کردنِ هر دو مؤلفه در قرینه نسبت به محور $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ آنجا فقط $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عوض می‌شود.
• جمع زدنِ همهٔ اعدادِ دو بردار با هم به‌جای جمعِ مؤلفه‌به‌مؤلفه.
• نوشتنِ مختصاتِ نقطهٔ $B$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به‌جای مختصاتِ بردارِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
• منتقل کردنِ فقط یک رأس هنگام انتقالِ یک شکل.
• نادیده گرفتنِ علامتِ منفی وقتی حرکت از راست به چپ یا از بالا به پایین است؛ آن مؤلفه حتماً منفی می‌شود.

نمونه سؤال‌های حل‌شده

۱) روی محور اعداد $A = -4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B = 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. بردارِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را توصیف کن.
اندازه: $|6-(-4)| = 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد. چون $B > A$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، جهت به راست است. پس برداری به سمت راست با اندازهٔ ۱۰ واحد.

۲) نقطهٔ $P(-7, 2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در کدام ناحیه است؟
$x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت، پس ناحیهٔ ۲.

۳) با $A(2,-5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $B(6,1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، مختصاتِ $\overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و قرینه‌اش نسبت به مبدأ را بنویس.

۴) نقطهٔ $A(3,-2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با برداری به $A'(-1,5)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منتقل شده است. اگر همان بردار روی $B(-4,6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اعمال شود، $B'$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کجاست؟
اول خودِ بردار را پیدا می‌کنیم: $\vec{v} = A' - A = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا $B' = \begin{pmatrix} -4-4 \\ 6+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 13 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

۵) می‌دانیم $m<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. برداری با مؤلفه‌های $\begin{pmatrix} m-n \\ n-m \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در کدام ناحیه می‌افتد؟
مؤلفهٔ اول: منفی منهای مثبت، پس منفی. مؤلفهٔ دوم: مثبت منهای منفی، پس مثبت. یعنی $x<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $y>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: ناحیهٔ ۲.

۶) به جسمی سه نیرو وارد می‌شود: ۸ نیوتن به راست، ۸ نیوتن به چپ و ۵ نیوتن به پایین. آیا ساکن می‌ماند؟
دو نیروی ۸ نیوتنی هم‌راستا، هم‌اندازه و عکس‌جهت‌اند، پس قرینهٔ هم‌اند و یکدیگر را خنثی می‌کنند. نیروی ۵ نیوتنیِ رو به پایین جفتی ندارد، پس جسم ساکن نمی‌ماند و به سمتِ پایین حرکت می‌کند.

۷) در متوازی‌الاضلاعِ $ABCD$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی داریم $A(1,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $B(5,2)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $C(7,6)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مختصاتِ $D$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چیست؟
در متوازی‌الاضلاع $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است و $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $D = C - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.
وارسی: $\overrightarrow{AD} = (2,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $\overrightarrow{BC} = (2,4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی برابرند ✓

۸) نقطهٔ $M(4,-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را نسبت به خطِ $y=x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی قرینه کن و بردارِ انتقالی را که $M$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به قرینه‌اش می‌برد بنویس.
جای دو مؤلفه عوض می‌شود: $M'(-1, 4)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. سپس $\overrightarrow{MM'} = \begin{pmatrix} -1-4 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

**۹) اگر $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، نقطهٔ $\begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی در کدام ناحیه است؟**
چون $a>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $-a<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، و چون $b<0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پس $-b>0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. یعنی $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی منفی و $y$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مثبت: ناحیهٔ ۲.

۱۰) مورچه‌ای روی محور از نقطهٔ صفر ۵ واحد راست، ۳ واحد چپ، ۲ واحد راست و ۶ واحد چپ می‌رود. مسیرِ طی‌شده و جابه‌جاییِ نهایی‌اش چقدر است؟
جابه‌جایی: $(+5)+(-3)+(+2)+(-6) = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی ۲ واحد به چپ. ولی مسیرِ طی‌شده $5+3+2+6 = 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی واحد است. این دو را با هم اشتباه نگیر.

۱۱) سعید از $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی شروع می‌کند، اول ۳ خانه راست و ۴ خانه پایین می‌رود، بعد ۲ خانه چپ. کجا می‌ایستد؟
اول بردارها را جمع می‌کنیم: $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ سپس $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.