راهبردهای حل مسئله (ریاضی هفتم)

راهبردهای حل مسئله (هفتم)

مسئله چیست، راهبرد چیست؟

مسئله یعنی موقعیتی که جوابش بلافاصله معلوم نیست و باید با فکر کردن به آن رسید.
راهبرد یک ابزار فکری است؛ نقشه‌ای برای حمله به مسئله. مثل ابزارهای نجاری: یک ابزار برای همهٔ کارها کافی نیست، ولی همه‌شان مفیدند.

• یک مسئله ممکن است با چند راهبرد مختلف حل شود.
• راهبردها را می‌توان ترکیب کرد؛ مثلاً الگوسازی + حذف حالت‌های نامطلوب.
• هدف، فهمیدنِ مسئله است، نه حفظِ اسم راهبردها.

راهبرد ۱ — رسم شکل

خیلی از مسئله‌ها در ذهن گیج‌کننده‌اند، ولی روی کاغذ جواب خودش پیدا می‌شود؛ چون شکل، روابط پنهان را آشکار می‌کند. نقاشی دقیق لازم نیست؛ عددها را روی شکل بنویس و هر مرحله را جدا نشان بده.

نمونهٔ کامل — قورباغه: قورباغه با هر جهش ۳ متر بالا می‌رود و ۲ متر سُر می‌خورد. دیوار ۹ متر است؛ با چند جهش به بالا می‌رسد؟
هر جهش خالص ۱ متر پیشروی است، پس بعد از ۶ جهش در ارتفاع ۶ متری است و جهش هفتم او را به $6+3=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌رساند: ۷ جهش.
تلهٔ اصلی: لغزشِ آخر اتفاق نمی‌افتد. وقتی به بالای دیوار رسید، دیگر سُر نمی‌خورد.

راهبرد ۲ — الگوسازی (تفکر نظام‌دار)

وقتی باید همهٔ حالت‌ها را پیدا کنی، آن‌ها را با نظم بنویس تا هیچ‌کدام از قلم نیفتد. از ساده‌ترین حالت شروع کن و قانون بساز: «این را ثابت نگه می‌دارم، آن یکی را تغییر می‌دهم.»

نمونه: با رقم‌های ۲، ۵ و ۷ چند عدد سه‌رقمی می‌سازیم (تکرار آزاد)؟ آن‌هایی که با ۲ شروع می‌شوند ۹ تا هستند ($222, 225, 227, 252, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)؛ برای ۵ و ۷ هم ۹ تای دیگر، یعنی $3\times3\times3=27$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی عدد.

راهبرد ۳ — حذف حالت‌های نامطلوب

اول همهٔ حالت‌ها را بنویس، بعد آن‌هایی را که با شرط مسئله جور نیستند خط بزن؛ باقی‌مانده جواب است.

نمونهٔ کامل: دوستت عددی بین ۰ تا ۹۹ در ذهن دارد و فقط بله/خیر جواب می‌دهد؛ با کمترین سؤال چطور پیدایش کنیم؟ سؤال «آیا عدد ۲۷ است؟» فقط ۱ حالت را حذف می‌کند، اما «آیا از ۵۰ بزرگ‌تر است؟» نصف حالت‌ها را:

پس با حداکثر ۷ سؤال جواب پیدا می‌شود. نامش جستجوی دودویی است.

راهبرد ۴ — الگویابی

بین عددها یا شکل‌ها قانونی پنهان هست؛ اگر کشفش کنی، هر جملهٔ دنباله را بی‌محاسبهٔ مرحله‌به‌مرحله می‌یابی. انواع رایج: جمعی ($1, 4, 7, 10, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $+3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، ضربی ($64, 32, 16, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\div 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی)، توانی ($1, 4, 9, 16, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) و هندسی.
روش کشف: تفاوت جمله‌های پشت‌سرهم را بنویس؛ ثابت بود ← جمعی، و اگر نسبتِ جمله‌ها ثابت بود ← ضربی.

راهبرد ۵ — حدس و آزمایش

حدس می‌زنی، امتحانش می‌کنی و از نتیجه می‌فهمی حدس بعدی باید بیشتر باشد یا کمتر.

نمونهٔ کامل: در پارکینگ ۲۰ دوچرخه و سه‌چرخه هست و مجموع چرخ‌ها ۴۵ تاست؛ چند سه‌چرخه؟
حدس ۱۰ و ۱۰: $2\times10 + 3\times10 = 50$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — ۵ تا زیاد است. هر تعویضِ سه‌چرخه با دوچرخه ۱ چرخ کم می‌کند، پس ۵ سه‌چرخه کم می‌کنیم: ۵ سه‌چرخه و ۱۵ دوچرخه. وارسی: $2\times15 + 3\times5 = 45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ✓

راهبرد ۶ — زیرمسئله

مسئلهٔ پیچیده را به چند مسئلهٔ کوچک بشکن؛ جوابِ هرکدام ورودیِ بعدی است. بپرس «اول باید چه بدانم؟»، حلش کن، دوباره بپرس.
ترتیب مراحل مهم است؛ اول نقشهٔ مراحل را بنویس.

راهبرد ۷ — حل مسئلهٔ ساده‌تر

عددهای سخت را کنار بگذار، مسئله را با عددهای کوچک حل کن و الگو را روی مسئلهٔ اصلی ببر؛ چون ساختارِ مسئله جواب را می‌سازد، نه بزرگیِ عددها.

نمونهٔ کامل: ۱۰ نقطه روی صفحه‌اند (هیچ سه‌تایی هم‌خط نیست) و هر دو نقطه را وصل می‌کنیم؛ چند پاره‌خط می‌شود؟ حالت‌های کوچک: ۲ نقطه ← ۱، ۳ ← ۳، ۴ ← ۶، ۵ ← ۱۰؛ فرمول کلی $\frac{n(n-1)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\frac{10 \times 9}{2} = 45$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی پاره‌خط.

راهبرد ۸ — روش‌های نمادین

مجهول را با نمادی (مربع یا $x$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) نشان بده و معادله بنویس.

نمونهٔ کامل: احمد ۲۰۰۰۰۰ تومان داشت، ۴ دفترِ هم‌قیمت خرید و ۲۰۰۰۰ تومان برایش ماند؛ قیمت هر دفتر چند است؟

فرمول ماندگار

هر نقطه به $n-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نقطهٔ دیگر وصل می‌شود، اما هر پاره‌خط دو بار شمرده شده، پس بر ۲ تقسیم می‌کنیم.
دنباله‌های پرکاربرد: مثلثی $1, 3, 6, 10, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $\frac{n(n+1)}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و فیبوناچی $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که هر جمله مجموع دو جملهٔ قبل است.

اشتباه‌های رایج

• فراموش‌کردنِ لغزشِ آخر در مسئلهٔ قورباغه.
• حدس‌های تصادفی؛ بعد از هر امتحان دلیلِ حدس بعدی را بنویس.
• وصل‌نکردنِ الگو به مسئلهٔ اصلی و نامرتب نوشتنِ حالت‌ها.
• ترتیب غلطِ مراحل در راهبرد زیرمسئله.

راهبردها ابزارند نه قانون؛ اگر روشِ تو با کتاب فرق داشت ولی جوابت درست بود، درست است.