توان و جذر (ریاضی هفتم)

فصل ۷ — تعریف توان

مفاهیم اصلی

توان از کجا آمد؟

فرض کن می‌خواهی ۲ را ۵ بار در خودش ضرب کنی:

ریاضیدان‌ها برای خلاصه کردن این نوشتند: $2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

دقیقاً همان کاری که در جمع کردیم:

• $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 \times 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← جمع تکراری را با ضرب خلاصه کردیم
• $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ← ضرب تکراری را با توان خلاصه می‌کنیم

اجزای یک عبارت توان‌دار

• پایه (base): عددی که تکرار می‌شود → مثلاً در $2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پایه ۲ است.
• توان (exponent): تعداد دفعات تکرار → مثلاً در $2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، توان ۵ است.

خوانده می‌شود: «۲ به توان ۵»

الگوی تا زدن کاغذ

وقتی کاغذ را تا می‌زنی، هر بار تعداد قسمت‌ها دو برابر می‌شود:

تعریف رسمی توان

برای هر عدد $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و عدد طبیعی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

مثال: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توضیح و آموزش

چطور یک عبارت توان‌دار حساب کنیم؟

مرحله ۱: پایه را شناسایی کن. مرحله ۲: توان را بخوان. مرحله ۳: یک‌یک ضرب کن.

مثال — $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی:

پایه کسری چطور حساب می‌شود؟

وقتی پایه یک کسر است، صورت و مخرج هر کدام جداگانه به توان می‌رسند:

مثال: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پایه اعشاری چطور حساب می‌شود؟

اعشار را مثل هر عددی ضرب می‌کنی: $0.2^2 = 0.2 \times 0.2 = 0.04$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توجه کن: هر بار که ضرب می‌کنی، تعداد ارقام اعشاری دو تا بیشتر می‌شود.

اعداد جالب: توان صفر، یک و پایه‌های خاص

هر عدد به توان ۱ برابر خودش است: $a^1 = a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (یک بار ضرب یعنی خود عدد)

هر عدد به توان صفر برابر ۱ است (به جز پایه صفر): $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

یک به هر توانی برابر ۱ است: $1^n = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

صفر به هر توان غیرصفری برابر صفر است: $0^n = 0 \quad (n \neq 0)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان دار نوشتن اعداد — تجزیه به عوامل اول

اگر بخواهی یک عدد را به شکل توان‌دار بنویسی، اول آن را به عوامل اول تجزیه می‌کنی:

مثال — عدد ۳۶: $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

مثال — عدد ۱۴۴: $144 = 12 \times 12 = (4 \times 3)^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان در جبر — حروف به جای اعداد

توان فقط برای اعداد نیست، برای متغیرها (حروف) هم کار می‌کند:

مساحت و حجم با توان

مربع با ضلع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $S = a \times a = a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مجذور)

مکعب با ضلع $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $V = a \times a \times a = a^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (مکعب)

به همین دلیل «مجذور» یعنی به توان ۲ (مساحت مربع) و «مکعب» یعنی به توان ۳ (حجم مکعب).

تکثیر سلول‌ها — کاربرد واقعی توان

وقتی سلول تقسیم می‌شود، هر سلول به ۲ سلول تبدیل می‌شود: پس از $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مرحله، تعداد سلول‌ها $2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است. این الگو در طبیعت زیاد پیش می‌آید — رشد باکتری، تقسیم سلولی و حتی انتشار اخبار در شبکه‌های اجتماعی.

فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف اصلی

حالت‌های خاص

روش تجزیه عدد به شکل توان‌دار

۱. عدد را با تقسیم بر اعداد اول تجزیه کن (۲، ۳، ۵، ۷، ...)
۲. عوامل تکراری را با توان نشان بده
۳. نتیجه ضرب توان‌دارها را بنویس

نکات مهم

توان یعنی «چند بار ضرب»، نه «ضرب در توان». $2^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی پنج‌بار ضرب ۲ در خودش، نه $2 \times 5 = 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

توان ۲ را «مجذور» و توان ۳ را «مکعب» می‌نامند — این اسامی از هندسه آمده‌اند.

وقتی پایه کسر است، صورت و مخرج هر دو به توان می‌رسند: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

هر عدد به توان صفر مساوی ۱ است (به جز $0^0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی که نامعین است).

توان فقط روی پایه‌اش اثر می‌گذارد. در $3 \times 2^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، توان ۴ فقط روی ۲ است، نه روی ۳.

نکات فراتر از کتاب

رابطه $10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با رقم‌های عدد

پس عدد $10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رقم دارد — برای تخمین اندازه اعداد بزرگ کاربرد دارد.

الگوی رقم یکان در توان‌ها

رقم یکان اعداد توان‌دار با یک پایه‌ی ثابت، به‌صورت دوره‌ای تغییر می‌کند:

روش پیدا کردن رقم یکان $2^{100}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $100 \div 4 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقیمانده $0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. باقیماندهٔ صفر یعنی روی آخرین عضو دوره افتاده‌ایم، یعنی رقم یکانِ $2^4=16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی ۶. این ترفند در سؤال‌های تیزهوشانی که رقم یکان عددی خیلی بزرگ می‌خواهند مستقیم به کار می‌آید.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — قاطی کردن توان با ضرب: $5^2 \neq 5 \times 2 = 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست: $5^2 = 5 \times 5 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه ۲ — اشتباه در پایه کسری: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 \neq \frac{2}{3^2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. هم صورت هم مخرج باید به توان برسند.

اشتباه ۳ — فکر کردن توان فقط روی یک عامل است وقتی ضرب داریم: $3 \times 2^4 \neq 6^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست: $3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال

سؤال عادی. حاصل $5^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کن و بگو کدام‌یک بزرگ‌تر است.

پاسخ: $5^3 = 125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $3^5 = 243$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $243 > 125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $3^5 > 5^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال تیزهوشانی ۱ (متوسط). اگر $a^3 = 64$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باشد، مقدار $a^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چقدر است؟

پاسخ: $4 \times 4 \times 4 = 64$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $a=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. در نتیجه $a^2 = 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال تیزهوشانی ۲ (سخت). رقم یکان عدد $7^{2023}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چیست؟

پاسخ: دوره‌ی رقم یکانِ پایه‌ی ۷ برابر است با $\{7, 9, 3, 1\}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با طول دوره‌ی ۴. چون $2023 = 4 \times 505 + 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، باقیمانده $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، یعنی سومین عضو دوره: رقم یکانِ $7^3=343$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، یعنی ۳.

جمع‌بندی

توان یک روش خلاصه‌نویسی برای ضرب‌های تکراری است:

سه نکته اساسی: اول: توان = تعداد دفعات ضرب، نه خود ضرب. دوم: پایه و توان دو چیز کاملاً متفاوت‌اند — تغییر هر کدام نتیجه را کاملاً عوض می‌کند. سوم: توان در طبیعت، علم و فناوری همه‌جا هست — از تقسیم سلولی تا حافظه کامپیوتر.

فصل ۷ — محاسبه عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

ترتیب انجام عملیات

وقتی در یک عبارت چند عمل مختلف وجود دارد، باید یک ترتیب مشخص رعایت شود:

مثال کامل از کتاب:

مرحله ۱ — توان‌ها: $81 - 25 \times 4 + 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ مرحله ۲ — ضرب: $81 - 100 + 10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ مرحله ۳ — جمع و تفریق از چپ به راست: $-19 + 10 = -9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

جمع و تفریق هم‌رتبه هستند و از چپ به راست حساب می‌شوند.

توان عدد منفی

حالت اول: منفی داخل پرانتز — $(-2)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پایه خود عدد $-2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؛ منفی هم در ضرب شرکت می‌کند:

الگو: توان زوج → نتیجه مثبت. توان فرد → نتیجه منفی. (دو منفی در هم ضرب شوند مثبت می‌دهند.)

حالت دوم: منفی بیرون از پرانتز — $-2^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

توان فقط روی ۲ اثر می‌کند؛ منفی بعد از حساب توان جلوی عدد گذاشته می‌شود:

مقایسه: $(-2)^4 = +16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $-2^4 = -16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — فرق بین این دو یعنی دو نتیجه کاملاً مختلف.

توان صفر — چرا $a^0 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است؟

هر بار توان یکی کم می‌شود، عدد تقسیم بر ۲ می‌شود، پس $2^0 = 2 \div 2 = 1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. این الگو برای هر پایه غیر از صفر صادق است:

نکته: $4 + 2^0 = 4 + 1 = 5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه ۵۰) — چون توان فقط روی ۲ است.

نمایش گسترده اعداد با توان‌های ۱۰

رقم یکان همیشه ضربدر $10^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رقم دهگان ضربدر $10^1=10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، رقم صدگان ضربدر $10^2=100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و به همین ترتیب.

فرمول‌ها و روش‌ها

قانون ضرب با پایه مساوی

شرط: پایه‌ها باید کاملاً یکسان باشند. مثال: $x^2 \times x^3 = x^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قانون ضرب با توان مساوی

مثال: $3^2 \times 4^2 = 12^2 = 144$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

جدول مقایسه دو قانون

محاسبه عبارت با عدد حروفی (متغیر)

برای $a = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $b = 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $a^2 - b^2 + ab = (-2)^2 - 2^2 + (-2)(2) = 4 - 4 + (-4) = -4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اول جایگذاری کن، بعد با ترتیب عملیات حساب کن.

نکات مهم

پرانتز اول از همه حساب می‌شود، حتی قبل از توان. جمع و تفریق هم‌رتبه‌اند و از چپ به راست انجام می‌شوند.

$(-a)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی با $-a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً فرق دارد؛ اگر پرانتز نداری، منفی همیشه بیرون می‌ماند.

قانون $a^m \times a^n = a^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی فقط برای ضرب کار می‌کند، نه جمع. در قانون پایه مساوی، پایه‌ها باید دقیقاً یکسان باشند.

در جایگذاری متغیر، اگر عدد منفی است حتماً داخل پرانتز بگذار: $(-2)^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نه $-2^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات فراتر از کتاب

محاسبه سریع با شکستن توان

وقتی می‌دانی $2^{10} = 1024$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $2^{12} = 2^{10} \times 2^2 = 1024 \times 4 = 4096$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکته مهم برای امتحانات تیزهوشان

چون $a^m \times a^n = a^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس اگر $a^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را تقسیم بر $a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کنی، $a^m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باقی می‌ماند.

یک مثال ترکیبی

مرحله ۱ — پرانتزها: $(4-6) = -2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ مرحله ۲ — توان‌ها: $(-2)^2=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $3^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(-3)^2=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ عبارت می‌شود $-4 \times 1 + 9 \div (-1)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ مرحله ۳ — ضرب و تقسیم: $-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ مرحله ۴ — جمع: $-4 + (-9) = -13$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — رعایت نکردن ترتیب عملیات: $5^2 - 5 \times 2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست: اول توان: $25 - 10 = 15$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه صفر).

اشتباه ۲ — قاطی کردن $(-a)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $-5^2 = -(5^2) = -25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ولی $(-5)^2 = +25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه ۳ — ضرب کردن توان‌ها به جای جمع: $4^3 \times 4^4 = 4^{3+4} = 4^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $4^{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

اشتباه ۴ — فرض غلط $(a+b)^n = a^n + b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: درست: $(3+2)^2 = 5^2 = 25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، نه $3^2+2^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نمونه سؤال

سؤال عادی. حاصل $(-5)^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-5^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را حساب کن و با هم مقایسه کن.

پاسخ: $(-5)^3 = -125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (توان فرد) و $-5^3 = -(5^3) = -125$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. اینجا هر دو برابرند چون توان فرد است؛ برای توان‌های زوج این دو با هم فرق می‌کنند.

سؤال تیزهوشانی (سخت و ترکیبی). حاصل $\dfrac{(-2)^5 \times (-1)^{10}}{-2^2 \times (-1)^3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به‌دست آور.

پاسخ: صورت: $(-2)^5=-32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(-1)^{10}=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس صورت $=-32$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مخرج: $-2^2=-4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، $(-1)^3=-1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس مخرج $=4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حاصل: $\dfrac{-32}{4}=-8$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

جمع‌بندی

این فصل سه موضوع اصلی داشت: اول — ترتیب عملیات (پرانتز، توان، ضرب/تقسیم، جمع/تفریق)، یک قرارداد جهانی. دوم — توان عدد منفی و توان صفر: $(-a)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بستگی به زوج/فرد بودن توان دارد، اما $-a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی همیشه منفی است؛ $a^0=1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی از الگوی تقسیم می‌آید. سوم — دو قانون اصلی ساده‌سازی:

هر دو قانون فقط برای ضرب کار می‌کنند، نه جمع.

فصل ۷ — ساده کردن عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

این فصل نشان می‌دهد که بدون باز کردن کامل عبارت‌های توان‌دار هم می‌شود آن‌ها را ضرب کرد — با دو قانون:

قانون اول: ضرب توان‌هایی که پایه‌هایشان مساوی است. قانون دوم: ضرب توان‌هایی که توان‌هایشان مساوی است.

توضیح و آموزش

قانون اول — پایه‌های مساوی

توان‌ها با هم جمع شدند: $4+3=7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. مثال دیگر: $x^2 \times x^3 = x^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

شرط: پایه‌ها باید یکسان باشند. دلیل منطقی: $a^m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $m$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ضرب هم؛ $a^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی $n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا؛ کنار هم $(m+n)$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی تا $a$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌شود.

این قانون برای چند عبارت هم کار می‌کند: $5^2 \times 5^4 \times 5^3 = 5^9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قانون دوم — توان‌های مساوی

شرط: توان‌ها باید یکسان باشند. مثال دیگر: $x^4 \times y^4 = (xy)^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

عکس قانون: $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — مثال: $30^5 = (2\times3\times5)^5 = 2^5 \times 3^5 \times 5^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

ترکیب دو قانون

اول قانون اول: $5^2 \times 5^4 = 5^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ؛ سپس چون توان‌ها مساوی‌اند: $5^6 \times 7^6 = (5\times7)^6 = 35^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نوشتن اعداد به صورت توان‌دار با تجزیه

مثال — $441$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $441 = 3\times147 = 9\times49 = 3^2\times7^2 = (3\times7)^2 = 21^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

فرمول‌ها و روش‌ها

دو فرمول اصلی

روش گام‌به‌گام حل مسائل

گام ۱: پایه‌ها مساوی‌اند یا توان‌ها؟ گام ۲: اگر پایه‌ها مساوی → توان‌ها را جمع کن. گام ۳: اگر توان‌ها مساوی → پایه‌ها را ضرب کن. گام ۴: اگر هیچ‌کدام نیست → شاید با تجزیه بشود درست کرد.

مثال کاربردی

اگر $2^{10}=1024$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $2^{12} = 2^{10} \times 2^2 = 1024 \times 4 = 4096$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکات مهم

قانون اول فقط با ضرب کار می‌کند، نه با جمع: $2^3 + 2^4 \neq 2^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

پایه می‌تواند منفی، کسری یا متغیر باشد — قانون همچنان برقرار است: $(-2)^4 \times (-2)^2 = (-2)^6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

قانون دوم برای بیشتر از دو عامل هم کار می‌کند: $2^5 \times 3^5 \times 5^5 = 30^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نکات فراتر از کتاب

مقایسه $4^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $n^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نتیجه: برای اعداد بزرگ، رشد نمایی ($4^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) از هر توان ثابتی ($n^4$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی) سریع‌تر است.

قانون تقسیمِ توان‌های هم‌پایه

مثال: $\dfrac{2^7}{2^3} = 2^4 = 16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — جمع کردن توان‌ها در جمع (نه ضرب): $4^3 + 2^3 \neq 6^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست: قانون فقط در ضرب کار می‌کند؛ $4^3+2^3=64+8=72$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه ۲ — ضرب کردن توان‌ها به جای جمع: $4^3 \times 4^4 = 4^{3+4} = 4^7$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (نه $4^{12}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی).

اشتباه ۳ — اعمال قانون دوم وقتی توان‌ها مساوی نیستند: $3^2 \times 2^3 \neq 6^5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ باید مستقیم حساب کرد: $9\times8=72$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

اشتباه ۴ — نوشتن $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی اشتباه: درست: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

نمونه سؤال

سؤال عادی. عبارت $5^3 \times 2^3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را به‌صورت یک توان واحد بنویس و حاصلش را به‌دست آور.

پاسخ: توان‌ها مساوی‌اند (هر دو ۳)، پس پایه‌ها ضرب می‌شوند: $5^3 \times 2^3 = (5\times2)^3 = 10^3 = 1000$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال تیزهوشانی (سخت و چندمرحله‌ای). عدد $A = 2^{15} \times 5^{15}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی چند رقم دارد؟

پاسخ: چون توان‌ها مساوی‌اند، پایه‌ها را ضرب می‌کنیم: $2^{15} \times 5^{15} = (2\times5)^{15} = 10^{15}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. طبق قاعده‌ی «$10^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دقیقاً $n+1$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رقم دارد»، $10^{15}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دارای $16$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی رقم است.

جمع‌بندی کلی

این فصل دو قانون اساسی برای ضرب توان‌ها آموخت: قانون اول — $a^m \times a^n = a^{m+n}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (پایه‌های مساوی، توان‌ها جمع می‌شوند). قانون دوم — $a^n \times b^n = (a\times b)^n$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (توان‌های مساوی، پایه‌ها ضرب می‌شوند). کلید موفقیت این است که اول نگاه کنی چه چیزی مساوی است — پایه یا توان — سپس قانون درست را اعمال کنی.

فصل ۷ — جذر و ریشه

مفاهیم اصلی

مجذور و ریشه دوم چیست؟

تا اینجا یاد گرفتیم که توان دوم یعنی یک عدد را در خودش ضرب کنیم: $3^2=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. حالا سوال برعکس است: اگر نتیجه ضرب را بدانیم، آن عدد اولیه چه بود؟

جواب برای $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: هم $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و هم $-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (چون $(-3)\times(-3)=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی). پس عدد $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی دو ریشه دوم دارد.

تعریف رسمی: در $3^2=9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، عدد $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را مجذور عدد $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی می‌گویند و $3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را ریشه دوم $9$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. جذر فقط به ریشه دوم مثبت گفته می‌شود و با نماد $\sqrt{\phantom{0}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نشان داده می‌شود:

هر عدد مثبت دو ریشه دوم دارد (یکی مثبت، یکی منفی)، اما جذر همیشه فقط ریشه مثبت است. عدد داخل $\sqrt{\phantom{0}}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی را رادیکان می‌گویند.

اعداد مربع کامل

مربع کامل عددی است که جذرش یک عدد طبیعی باشد: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \ldots$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

جذر کسرها: جذر صورت و مخرج جداگانه حساب می‌شود: $\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \dfrac{3}{5}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

چرا اعداد منفی جذر ندارند؟

برای $\sqrt{-25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی باید عددی پیدا کنیم که در خودش ضرب شود $-25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بدهد؛ اما $5\times5=+25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $(-5)\times(-5)=+25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی — هر عددی در خودش ضرب شود، نتیجه همیشه مثبت یا صفر است. پس:

$\sqrt{-25}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی وجود ندارد، اما $-\sqrt{25}=-5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی کاملاً درست است — این دو را اشتباه نگیر.

فرمول‌ها و روش‌ها

جذر تقریبی اعداد غیرمربع‌کامل

روش محاصره بین دو مربع کامل: مرحله ۱ — پیدا کن عدد بین کدام دو مربع کامل است. مرحله ۲ — مشخص کن به کدام نزدیک‌تر است.

مثال: $\sqrt{28}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی

$25 < 28 < 36 \Rightarrow 5 < \sqrt{28} < 6$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی؛ چون $28$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی به $25$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی نزدیک‌تر است: $\sqrt{28} \approx 5/3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی (طبق جدول اعشاری دقیق‌تر کتاب).

نکات مهم

$\sqrt{9}=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است، نه $\pm3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. $-\sqrt{9}=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی یعنی منفی جذر، نه جذر عدد منفی. جذر صفر برابر صفر است: $\sqrt{0}=0$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

در مقایسه جذرها، عدد بزرگ‌تر جذر بزرگ‌تر دارد: اگر $a<b$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی آنگاه $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

نکات فراتر از کتاب

رابطه جذر و توان

جذر در واقع توان $\frac{1}{2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی است: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. پس جذر و توان دوم عکس هم هستند:

ساده‌سازی رادیکال با تجزیه

جمع و تفریق رادیکال‌های هم‌جنس

اگر عددِ زیرِ رادیکالِ چند جمله یکی شود («رادیکال‌های هم‌جنس»)، مثل جمله‌های جبریِ هم‌جنس، ضریب‌هایشان جمع یا تفریق می‌شود:

رادیکال‌های غیرهم‌جنس مستقیم با هم جمع نمی‌شوند: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی ساده‌تر نمی‌شود.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — فکر کردن که $\sqrt{9} = \pm 3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: درست: $\sqrt{9}=3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رادیکال فقط جواب مثبت می‌دهد.

اشتباه ۲ — قاطی کردن $\sqrt{-9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $-\sqrt{9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی: $\sqrt{-9}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بی‌معنی است؛ اما $-\sqrt{9}=-3$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی درست است.

اشتباه ۳ — جمع کردن زیر رادیکال: $\sqrt{9+16} \neq \sqrt{9}+\sqrt{16}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. درست: $\sqrt{25}=5$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. رادیکال روی جمع توزیع نمی‌شود.

نمونه سؤال

سؤال عادی. عدد $90$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی بین کدام دو عدد طبیعیِ متوالی است؟

پاسخ: نزدیک‌ترین مربع‌های کامل: $81=9^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی و $100=10^2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $81<90<100$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $9<\sqrt{90}<10$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی.

سؤال تیزهوشانی (سخت، چندمرحله‌ای و هندسی). مساحت یک زمینِ مربعی‌شکل برابر با $98$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر مربع است. طول ضلع آن را به ساده‌ترین شکلِ رادیکالی بنویس.

پاسخ: طول ضلع $=\sqrt{98}$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی. چون $98$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربع کامل نیست، تجزیه می‌کنیم: $98=49\times2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی، پس $\sqrt{98}=7\sqrt2$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی متر — چون $98$ادامهٔ فرمول را افقی ببینبزرگ‌نمایی مربع کامل نیست، جواب باید به همین شکل رادیکالیِ ساده‌شده بماند.

جمع‌بندی نهایی فصل: توان و جذر

توان ابزار خلاصه‌نویسیِ ضربِ تکراری است؛ همه‌ی قوانینِ توان از همان تعریفِ اولیه بیرون می‌آیند و نیازی نیست بدون دلیل حفظ شوند. جذر دقیقاً برعکسِ توانِ دوم است — همین رابطه‌ی «عکسِ هم بودن» است که در امتحان‌های تیزهوشانی، سؤال‌های توان و جذر را قاطی هم می‌کند.