فصل ۷ — تعریف توان

مفاهیم اصلی

توان از کجا آمد؟

فرض کن می‌خواهی ۲ را ۵ بار در خودش ضرب کنی:

ریاضیدان‌ها برای خلاصه کردن این نوشتند: $2^5$

دقیقاً همان کاری که در جمع کردیم:

• $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 \times 2$ ← جمع تکراری را با ضرب خلاصه کردیم
• $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$ ← ضرب تکراری را با توان خلاصه می‌کنیم

اجزای یک عبارت توان‌دار

• پایه (base): عددی که تکرار می‌شود → مثلاً در $2^5$، پایه ۲ است.
• توان (exponent): تعداد دفعات تکرار → مثلاً در $2^5$، توان ۵ است.

خوانده می‌شود: «۲ به توان ۵»

الگوی تا زدن کاغذ

وقتی کاغذ را تا می‌زنی، هر بار تعداد قسمت‌ها دو برابر می‌شود:

تعریف رسمی توان

برای هر عدد $a$ و عدد طبیعی $n$:

مثال: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

توضیح و آموزش

چطور یک عبارت توان‌دار حساب کنیم؟

مرحله ۱: پایه را شناسایی کن. مرحله ۲: توان را بخوان. مرحله ۳: یک‌یک ضرب کن.

مثال — $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3$:

پایه کسری چطور حساب می‌شود؟

وقتی پایه یک کسر است، صورت و مخرج هر کدام جداگانه به توان می‌رسند:

مثال: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$

پایه اعشاری چطور حساب می‌شود؟

اعشار را مثل هر عددی ضرب می‌کنی: $0.2^2 = 0.2 \times 0.2 = 0.04$

توجه کن: هر بار که ضرب می‌کنی، تعداد ارقام اعشاری دو تا بیشتر می‌شود.

اعداد جالب: توان صفر، یک و پایه‌های خاص

هر عدد به توان ۱ برابر خودش است: $a^1 = a$ (یک بار ضرب یعنی خود عدد)

هر عدد به توان صفر برابر ۱ است (به جز پایه صفر): $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

یک به هر توانی برابر ۱ است: $1^n = 1$

صفر به هر توان غیرصفری برابر صفر است: $0^n = 0 \quad (n \neq 0)$

توان دار نوشتن اعداد — تجزیه به عوامل اول

اگر بخواهی یک عدد را به شکل توان‌دار بنویسی، اول آن را به عوامل اول تجزیه می‌کنی:

مثال — عدد ۳۶: $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

مثال — عدد ۱۴۴: $144 = 12 \times 12 = (4 \times 3)^2 = (2^2 \times 3)^2 = 2^4 \times 3^2$

توان در جبر — حروف به جای اعداد

توان فقط برای اعداد نیست، برای متغیرها (حروف) هم کار می‌کند:

مساحت و حجم با توان

مربع با ضلع $a$: $S = a \times a = a^2$ (مجذور)

مکعب با ضلع $a$: $V = a \times a \times a = a^3$ (مکعب)

به همین دلیل «مجذور» یعنی به توان ۲ (مساحت مربع) و «مکعب» یعنی به توان ۳ (حجم مکعب).

تکثیر سلول‌ها — کاربرد واقعی توان

وقتی سلول تقسیم می‌شود، هر سلول به ۲ سلول تبدیل می‌شود: پس از $n$ مرحله، تعداد سلول‌ها $2^n$ است. این الگو در طبیعت زیاد پیش می‌آید — رشد باکتری، تقسیم سلولی و حتی انتشار اخبار در شبکه‌های اجتماعی.

فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف اصلی

حالت‌های خاص

روش تجزیه عدد به شکل توان‌دار

۱. عدد را با تقسیم بر اعداد اول تجزیه کن (۲، ۳، ۵، ۷، ...)
۲. عوامل تکراری را با توان نشان بده
۳. نتیجه ضرب توان‌دارها را بنویس

نکات مهم

توان یعنی «چند بار ضرب»، نه «ضرب در توان». $2^5$ یعنی پنج‌بار ضرب ۲ در خودش، نه $2 \times 5 = 10$.

توان ۲ را «مجذور» و توان ۳ را «مکعب» می‌نامند — این اسامی از هندسه آمده‌اند.

وقتی پایه کسر است، صورت و مخرج هر دو به توان می‌رسند: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

هر عدد به توان صفر مساوی ۱ است (به جز $0^0$ که نامعین است).

توان فقط روی پایه‌اش اثر می‌گذارد. در $3 \times 2^4$، توان ۴ فقط روی ۲ است، نه روی ۳.

نکات فراتر از کتاب

رابطه $10^n$ با رقم‌های عدد

پس عدد $10^n$ دقیقاً $n+1$ رقم دارد — برای تخمین اندازه اعداد بزرگ کاربرد دارد.

الگوی رقم یکان در توان‌ها

رقم یکان اعداد توان‌دار با یک پایه‌ی ثابت، به‌صورت دوره‌ای تغییر می‌کند:

روش پیدا کردن رقم یکان $2^{100}$: $100 \div 4 = 25$ باقیمانده $0$. باقیماندهٔ صفر یعنی روی آخرین عضو دوره افتاده‌ایم، یعنی رقم یکانِ $2^4=16$، یعنی ۶. این ترفند در سؤال‌های تیزهوشانی که رقم یکان عددی خیلی بزرگ می‌خواهند مستقیم به کار می‌آید.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — قاطی کردن توان با ضرب: $5^2 \neq 5 \times 2 = 10$. درست: $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

اشتباه ۲ — اشتباه در پایه کسری: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 \neq \frac{2}{3^2}$. درست: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$. هم صورت هم مخرج باید به توان برسند.

اشتباه ۳ — فکر کردن توان فقط روی یک عامل است وقتی ضرب داریم: $3 \times 2^4 \neq 6^4$. درست: $3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.

نمونه سؤال

سؤال عادی. حاصل $5^3$ و $3^5$ را حساب کن و بگو کدام‌یک بزرگ‌تر است.

پاسخ: $5^3 = 125$ و $3^5 = 243$. چون $243 > 125$، پس $3^5 > 5^3$.

سؤال تیزهوشانی ۱ (متوسط). اگر $a^3 = 64$ باشد، مقدار $a^2$ چقدر است؟

پاسخ: $4 \times 4 \times 4 = 64$، پس $a=4$. در نتیجه $a^2 = 16$.

سؤال تیزهوشانی ۲ (سخت). رقم یکان عدد $7^{2023}$ چیست؟

پاسخ: دوره‌ی رقم یکانِ پایه‌ی ۷ برابر است با $\{7, 9, 3, 1\}$ با طول دوره‌ی ۴. چون $2023 = 4 \times 505 + 3$، باقیمانده $3$ است، یعنی سومین عضو دوره: رقم یکانِ $7^3=343$، یعنی ۳.

جمع‌بندی

توان یک روش خلاصه‌نویسی برای ضرب‌های تکراری است:

سه نکته اساسی: اول: توان = تعداد دفعات ضرب، نه خود ضرب. دوم: پایه و توان دو چیز کاملاً متفاوت‌اند — تغییر هر کدام نتیجه را کاملاً عوض می‌کند. سوم: توان در طبیعت، علم و فناوری همه‌جا هست — از تقسیم سلولی تا حافظه کامپیوتر.

فصل ۷ — محاسبه عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

ترتیب انجام عملیات

وقتی در یک عبارت چند عمل مختلف وجود دارد، باید یک ترتیب مشخص رعایت شود:

مثال کامل از کتاب:

مرحله ۱ — توان‌ها: $81 - 25 \times 4 + 10$ ؛ مرحله ۲ — ضرب: $81 - 100 + 10$ ؛ مرحله ۳ — جمع و تفریق از چپ به راست: $-19 + 10 = -9$

جمع و تفریق هم‌رتبه هستند و از چپ به راست حساب می‌شوند.

توان عدد منفی

حالت اول: منفی داخل پرانتز — $(-2)^n$

پایه خود عدد $-2$ است؛ منفی هم در ضرب شرکت می‌کند:

الگو: توان زوج → نتیجه مثبت. توان فرد → نتیجه منفی. (دو منفی در هم ضرب شوند مثبت می‌دهند.)

حالت دوم: منفی بیرون از پرانتز — $-2^n$

توان فقط روی ۲ اثر می‌کند؛ منفی بعد از حساب توان جلوی عدد گذاشته می‌شود:

مقایسه: $(-2)^4 = +16$ ولی $-2^4 = -16$ — فرق بین این دو یعنی دو نتیجه کاملاً مختلف.

توان صفر — چرا $a^0 = 1$ است؟

هر بار توان یکی کم می‌شود، عدد تقسیم بر ۲ می‌شود، پس $2^0 = 2 \div 2 = 1$. این الگو برای هر پایه غیر از صفر صادق است:

نکته: $4 + 2^0 = 4 + 1 = 5$ (نه ۵۰) — چون توان فقط روی ۲ است.

نمایش گسترده اعداد با توان‌های ۱۰

رقم یکان همیشه ضربدر $10^0=1$، رقم دهگان ضربدر $10^1=10$، رقم صدگان ضربدر $10^2=100$ و به همین ترتیب.

فرمول‌ها و روش‌ها

قانون ضرب با پایه مساوی

شرط: پایه‌ها باید کاملاً یکسان باشند. مثال: $x^2 \times x^3 = x^5$

قانون ضرب با توان مساوی

مثال: $3^2 \times 4^2 = 12^2 = 144$

جدول مقایسه دو قانون

محاسبه عبارت با عدد حروفی (متغیر)

برای $a = -2$ و $b = 2$: $a^2 - b^2 + ab = (-2)^2 - 2^2 + (-2)(2) = 4 - 4 + (-4) = -4$

اول جایگذاری کن، بعد با ترتیب عملیات حساب کن.

نکات مهم

پرانتز اول از همه حساب می‌شود، حتی قبل از توان. جمع و تفریق هم‌رتبه‌اند و از چپ به راست انجام می‌شوند.

$(-a)^n$ با $-a^n$ کاملاً فرق دارد؛ اگر پرانتز نداری، منفی همیشه بیرون می‌ماند.

قانون $a^m \times a^n = a^{m+n}$ فقط برای ضرب کار می‌کند، نه جمع. در قانون پایه مساوی، پایه‌ها باید دقیقاً یکسان باشند.

در جایگذاری متغیر، اگر عدد منفی است حتماً داخل پرانتز بگذار: $(-2)^2$ نه $-2^2$.

نکات فراتر از کتاب

محاسبه سریع با شکستن توان

وقتی می‌دانی $2^{10} = 1024$: $2^{12} = 2^{10} \times 2^2 = 1024 \times 4 = 4096$

نکته مهم برای امتحانات تیزهوشان

چون $a^m \times a^n = a^{m+n}$، پس اگر $a^{m+n}$ را تقسیم بر $a^n$ کنی، $a^m$ باقی می‌ماند.

یک مثال ترکیبی

مرحله ۱ — پرانتزها: $(4-6) = -2$ ؛ مرحله ۲ — توان‌ها: $(-2)^2=4$، $3^0=1$، $(-3)^2=9$ ؛ عبارت می‌شود $-4 \times 1 + 9 \div (-1)$ ؛ مرحله ۳ — ضرب و تقسیم: $-4$ و $-9$ ؛ مرحله ۴ — جمع: $-4 + (-9) = -13$.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — رعایت نکردن ترتیب عملیات: $5^2 - 5 \times 2$ درست: اول توان: $25 - 10 = 15$ (نه صفر).

اشتباه ۲ — قاطی کردن $(-a)^n$ و $-a^n$: $-5^2 = -(5^2) = -25$ ولی $(-5)^2 = +25$.

اشتباه ۳ — ضرب کردن توان‌ها به جای جمع: $4^3 \times 4^4 = 4^{3+4} = 4^7$ (نه $4^{12}$).

اشتباه ۴ — فرض غلط $(a+b)^n = a^n + b^n$: درست: $(3+2)^2 = 5^2 = 25$، نه $3^2+2^2$.

نمونه سؤال

سؤال عادی. حاصل $(-5)^3$ و $-5^3$ را حساب کن و با هم مقایسه کن.

پاسخ: $(-5)^3 = -125$ (توان فرد) و $-5^3 = -(5^3) = -125$. اینجا هر دو برابرند چون توان فرد است؛ برای توان‌های زوج این دو با هم فرق می‌کنند.

سؤال تیزهوشانی (سخت و ترکیبی). حاصل $\dfrac{(-2)^5 \times (-1)^{10}}{-2^2 \times (-1)^3}$ را به‌دست آور.

پاسخ: صورت: $(-2)^5=-32$، $(-1)^{10}=1$، پس صورت $=-32$. مخرج: $-2^2=-4$، $(-1)^3=-1$، پس مخرج $=4$. حاصل: $\dfrac{-32}{4}=-8$.

جمع‌بندی

این فصل سه موضوع اصلی داشت: اول — ترتیب عملیات (پرانتز، توان، ضرب/تقسیم، جمع/تفریق)، یک قرارداد جهانی. دوم — توان عدد منفی و توان صفر: $(-a)^n$ بستگی به زوج/فرد بودن توان دارد، اما $-a^n$ همیشه منفی است؛ $a^0=1$ از الگوی تقسیم می‌آید. سوم — دو قانون اصلی ساده‌سازی:

هر دو قانون فقط برای ضرب کار می‌کنند، نه جمع.

فصل ۷ — ساده کردن عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

این فصل نشان می‌دهد که بدون باز کردن کامل عبارت‌های توان‌دار هم می‌شود آن‌ها را ضرب کرد — با دو قانون:

قانون اول: ضرب توان‌هایی که پایه‌هایشان مساوی است. قانون دوم: ضرب توان‌هایی که توان‌هایشان مساوی است.

توضیح و آموزش

قانون اول — پایه‌های مساوی

توان‌ها با هم جمع شدند: $4+3=7$. مثال دیگر: $x^2 \times x^3 = x^5$

شرط: پایه‌ها باید یکسان باشند. دلیل منطقی: $a^m$ یعنی $m$ تا $a$ ضرب هم؛ $a^n$ یعنی $n$ تا؛ کنار هم $(m+n)$ تا $a$ می‌شود.

این قانون برای چند عبارت هم کار می‌کند: $5^2 \times 5^4 \times 5^3 = 5^9$

قانون دوم — توان‌های مساوی

شرط: توان‌ها باید یکسان باشند. مثال دیگر: $x^4 \times y^4 = (xy)^4$

عکس قانون: $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ — مثال: $30^5 = (2\times3\times5)^5 = 2^5 \times 3^5 \times 5^5$

ترکیب دو قانون

اول قانون اول: $5^2 \times 5^4 = 5^6$ ؛ سپس چون توان‌ها مساوی‌اند: $5^6 \times 7^6 = (5\times7)^6 = 35^6$

نوشتن اعداد به صورت توان‌دار با تجزیه

مثال — $441$: $441 = 3\times147 = 9\times49 = 3^2\times7^2 = (3\times7)^2 = 21^2$

فرمول‌ها و روش‌ها

دو فرمول اصلی

روش گام‌به‌گام حل مسائل

گام ۱: پایه‌ها مساوی‌اند یا توان‌ها؟ گام ۲: اگر پایه‌ها مساوی → توان‌ها را جمع کن. گام ۳: اگر توان‌ها مساوی → پایه‌ها را ضرب کن. گام ۴: اگر هیچ‌کدام نیست → شاید با تجزیه بشود درست کرد.

مثال کاربردی

اگر $2^{10}=1024$: $2^{12} = 2^{10} \times 2^2 = 1024 \times 4 = 4096$

نکات مهم

قانون اول فقط با ضرب کار می‌کند، نه با جمع: $2^3 + 2^4 \neq 2^7$

پایه می‌تواند منفی، کسری یا متغیر باشد — قانون همچنان برقرار است: $(-2)^4 \times (-2)^2 = (-2)^6$

قانون دوم برای بیشتر از دو عامل هم کار می‌کند: $2^5 \times 3^5 \times 5^5 = 30^5$

نکات فراتر از کتاب

مقایسه $4^n$ و $n^4$

نتیجه: برای اعداد بزرگ، رشد نمایی ($4^n$) از هر توان ثابتی ($n^4$) سریع‌تر است.

قانون تقسیمِ توان‌های هم‌پایه

مثال: $\dfrac{2^7}{2^3} = 2^4 = 16$

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — جمع کردن توان‌ها در جمع (نه ضرب): $4^3 + 2^3 \neq 6^3$. درست: قانون فقط در ضرب کار می‌کند؛ $4^3+2^3=64+8=72$.

اشتباه ۲ — ضرب کردن توان‌ها به جای جمع: $4^3 \times 4^4 = 4^{3+4} = 4^7$ (نه $4^{12}$).

اشتباه ۳ — اعمال قانون دوم وقتی توان‌ها مساوی نیستند: $3^2 \times 2^3 \neq 6^5$؛ باید مستقیم حساب کرد: $9\times8=72$.

اشتباه ۴ — نوشتن $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ اشتباه: درست: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}$

نمونه سؤال

سؤال عادی. عبارت $5^3 \times 2^3$ را به‌صورت یک توان واحد بنویس و حاصلش را به‌دست آور.

پاسخ: توان‌ها مساوی‌اند (هر دو ۳)، پس پایه‌ها ضرب می‌شوند: $5^3 \times 2^3 = (5\times2)^3 = 10^3 = 1000$.

سؤال تیزهوشانی (سخت و چندمرحله‌ای). عدد $A = 2^{15} \times 5^{15}$ چند رقم دارد؟

پاسخ: چون توان‌ها مساوی‌اند، پایه‌ها را ضرب می‌کنیم: $2^{15} \times 5^{15} = (2\times5)^{15} = 10^{15}$. طبق قاعده‌ی «$10^n$ دقیقاً $n+1$ رقم دارد»، $10^{15}$ دارای $16$ رقم است.

جمع‌بندی کلی

این فصل دو قانون اساسی برای ضرب توان‌ها آموخت: قانون اول — $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (پایه‌های مساوی، توان‌ها جمع می‌شوند). قانون دوم — $a^n \times b^n = (a\times b)^n$ (توان‌های مساوی، پایه‌ها ضرب می‌شوند). کلید موفقیت این است که اول نگاه کنی چه چیزی مساوی است — پایه یا توان — سپس قانون درست را اعمال کنی.

فصل ۷ — جذر و ریشه

مفاهیم اصلی

مجذور و ریشه دوم چیست؟

تا اینجا یاد گرفتیم که توان دوم یعنی یک عدد را در خودش ضرب کنیم: $3^2=9$. حالا سوال برعکس است: اگر نتیجه ضرب را بدانیم، آن عدد اولیه چه بود؟

جواب برای $9$: هم $3$ و هم $-3$ (چون $(-3)\times(-3)=9$). پس عدد $9$ دو ریشه دوم دارد.

تعریف رسمی: در $3^2=9$، عدد $9$ را مجذور عدد $3$ می‌گویند و $3$ را ریشه دوم $9$. جذر فقط به ریشه دوم مثبت گفته می‌شود و با نماد $\sqrt{\phantom{0}}$ نشان داده می‌شود:

هر عدد مثبت دو ریشه دوم دارد (یکی مثبت، یکی منفی)، اما جذر همیشه فقط ریشه مثبت است. عدد داخل $\sqrt{\phantom{0}}$ را رادیکان می‌گویند.

اعداد مربع کامل

مربع کامل عددی است که جذرش یک عدد طبیعی باشد: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \ldots$

جذر کسرها: جذر صورت و مخرج جداگانه حساب می‌شود: $\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \dfrac{3}{5}$

چرا اعداد منفی جذر ندارند؟

برای $\sqrt{-25}$ باید عددی پیدا کنیم که در خودش ضرب شود $-25$ بدهد؛ اما $5\times5=+25$ و $(-5)\times(-5)=+25$ — هر عددی در خودش ضرب شود، نتیجه همیشه مثبت یا صفر است. پس:

$\sqrt{-25}$ وجود ندارد، اما $-\sqrt{25}=-5$ کاملاً درست است — این دو را اشتباه نگیر.

فرمول‌ها و روش‌ها

جذر تقریبی اعداد غیرمربع‌کامل

روش محاصره بین دو مربع کامل: مرحله ۱ — پیدا کن عدد بین کدام دو مربع کامل است. مرحله ۲ — مشخص کن به کدام نزدیک‌تر است.

مثال: $\sqrt{28}$

$25 < 28 < 36 \Rightarrow 5 < \sqrt{28} < 6$؛ چون $28$ به $25$ نزدیک‌تر است: $\sqrt{28} \approx 5/3$ (طبق جدول اعشاری دقیق‌تر کتاب).

نکات مهم

$\sqrt{9}=3$ است، نه $\pm3$. $-\sqrt{9}=-3$ یعنی منفی جذر، نه جذر عدد منفی. جذر صفر برابر صفر است: $\sqrt{0}=0$.

در مقایسه جذرها، عدد بزرگ‌تر جذر بزرگ‌تر دارد: اگر $a<b$ آنگاه $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

نکات فراتر از کتاب

رابطه جذر و توان

جذر در واقع توان $\frac{1}{2}$ است: $\sqrt{a} = a^{1/2}$. پس جذر و توان دوم عکس هم هستند:

ساده‌سازی رادیکال با تجزیه

جمع و تفریق رادیکال‌های هم‌جنس

اگر عددِ زیرِ رادیکالِ چند جمله یکی شود («رادیکال‌های هم‌جنس»)، مثل جمله‌های جبریِ هم‌جنس، ضریب‌هایشان جمع یا تفریق می‌شود:

رادیکال‌های غیرهم‌جنس مستقیم با هم جمع نمی‌شوند: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ساده‌تر نمی‌شود.

اشتباهات رایج

اشتباه ۱ — فکر کردن که $\sqrt{9} = \pm 3$: درست: $\sqrt{9}=3$. رادیکال فقط جواب مثبت می‌دهد.

اشتباه ۲ — قاطی کردن $\sqrt{-9}$ و $-\sqrt{9}$: $\sqrt{-9}$ بی‌معنی است؛ اما $-\sqrt{9}=-3$ درست است.

اشتباه ۳ — جمع کردن زیر رادیکال: $\sqrt{9+16} \neq \sqrt{9}+\sqrt{16}$. درست: $\sqrt{25}=5$. رادیکال روی جمع توزیع نمی‌شود.

نمونه سؤال

سؤال عادی. عدد $90$ بین کدام دو عدد طبیعیِ متوالی است؟

پاسخ: نزدیک‌ترین مربع‌های کامل: $81=9^2$ و $100=10^2$. چون $81<90<100$، پس $9<\sqrt{90}<10$.

سؤال تیزهوشانی (سخت، چندمرحله‌ای و هندسی). مساحت یک زمینِ مربعی‌شکل برابر با $98$ متر مربع است. طول ضلع آن را به ساده‌ترین شکلِ رادیکالی بنویس.

پاسخ: طول ضلع $=\sqrt{98}$. چون $98$ مربع کامل نیست، تجزیه می‌کنیم: $98=49\times2$، پس $\sqrt{98}=7\sqrt2$ متر — چون $98$ مربع کامل نیست، جواب باید به همین شکل رادیکالیِ ساده‌شده بماند.

جمع‌بندی نهایی فصل: توان و جذر

توان ابزار خلاصه‌نویسیِ ضربِ تکراری است؛ همه‌ی قوانینِ توان از همان تعریفِ اولیه بیرون می‌آیند و نیازی نیست بدون دلیل حفظ شوند. جذر دقیقاً برعکسِ توانِ دوم است — همین رابطه‌ی «عکسِ هم بودن» است که در امتحان‌های تیزهوشانی، سؤال‌های توان و جذر را قاطی هم می‌کند.