Q: حاصل ضرب $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^5$ کدام است؟

$\left(-\frac{2}{3}\right)^{8}$ — «$\left(-\frac{2}{3}\right)^{8}$» درست است زیرا پایهها مساویاند و توانها جمع میشوند: $3+5=8$. توان زوج است، پس نتیجه مثبت و معادل $\left(\frac{2}{3}\right)^8$ است. «$-\left(\frac{2}{3}\right)^{8}$» رد میشود چون علامت منفی اضافه دارد. «$\left(-\frac{2}{3}\right)^{15}$» رد میشود چون توانها بهاشتباه ضرب شدهاند ($3\times5=15$). «$\left(\frac{2}{3}\right)^{15}$» رد میشود هم به دلیل ضرب توانها و هم حذف نادرست علامت منفی. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در قانون جمع توانها و نادیده گرفتن تأثیر زوج یا فرد بودن توان بر علامت است.

Q: حاصل ضرب $2^3 \times 5^3 \times 7^3$ به صورت یک عبارت تواندار کدام است؟

$70^3$ — «$70^3$» درست است زیرا توانها مساویاند، بنابراین پایهها ضرب میشوند: $(2\times5\times7)^3=70^3$. «$2^3 \times 5^3 \times 7^3$» رد میشود چون سادهسازی ناقص است. «$70^9$» رد میشود چون توانها بهاشتباه جمع شدهاند ($3+3+3=9$). «$(2 \times 5 \times 7)^9$» رد میشود چون هم پایهها ضرب شده و هم توان اشتباه گرفته شده است. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در کاربرد قانون ضرب توانهای مساوی و جمع کردن توانها بهجای ضرب پایهها است.

Q: کدام گزینه عدد $144$ را به صورت حاصلضرب توانهای اعداد اول نشان میدهد؟

$2^4 \times 3^2$ — «$2^4 \times 3^2$» درست است زیرا $144=12^2=(2^2\times3)^2=2^4\times3^2$. «$2^2 \times 3^4$» رد میشود چون $2^2\times3^4=4\times81=324$. «$2^3 \times 3^3$» رد میشود چون $8\times27=216$. «$2^4 \times 3^3$» رد میشود چون $16\times27=432$. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در تجزیه به عوامل اول و جابجایی توانها است.

Q: اگر $5^4 \times 5^y = 5^{3y-2}$ باشد، مقدار $y$ کدام است؟

$3$ — «$3$» درست است زیرا با قانون ضرب پایههای مساوی داریم $5^4 \times 5^y = 5^{4+y}$، پس $4+y=3y-2$ که با حل معادله $y=3$ بهدست میآید. «$2$» رد میشود چون حاصل $4+2=6$ و $3(2)-2=4$ برابر نیستند. «$1$» رد میشود چون $4+1=5$ و $3(1)-2=1$ نابرابر است. «$4$» رد میشود چون $4+4=8$ و $3(4)-2=10$ نابرابر است. تلهٔ تستی این سؤال اشتباه در حل معادلهٔ حاصل از جمع توانها یا ضرب کردن توانها بهجای جمع است.

Question 1

حاصل ضرب $\left(-\frac{2}{3}ight)^3 	imes \left(-\frac{2}{3}ight)^5$ کدام است؟

Accepted Answer

$\left(-\frac{2}{3}ight)^{8}$ — «$\left(-\frac{2}{3}ight)^{8}$» درست است زیرا پایه‌ها مساوی‌اند و توان‌ها جمع می‌شوند: $3+5=8$. توان زوج است، پس نتیجه مثبت و معادل $\left(\frac{2}{3}ight)^8$ است. «$-\left(\frac{2}{3}ight)^{8}$» رد می‌شود چون علامت منفی اضافه دارد. «$\left(-\frac{2}{3}ight)^{15}$» رد می‌شود چون توان‌ها به‌اشتباه ضرب شده‌اند ($3	imes5=15$). «$\left(\frac{2}{3}ight)^{15}$» رد می‌شود هم به دلیل ضرب توان‌ها و هم حذف نادرست علامت منفی. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در قانون جمع توان‌ها و نادیده گرفتن تأثیر زوج یا فرد بودن توان بر علامت است.

Question 2

حاصل عبارت $3^0 + (-5)^0 - 0^5$ کدام است؟

Accepted Answer

$2$ — «$2$» درست است زیرا $3^0=1$، $(-5)^0=1$ و $0^5=0$، پس $1+1-0=2$. «$0$» رد می‌شود چون اگر دانش‌آموز $0^5$ را $1$ بگیرد یا یکی از توان‌های صفر را $0$ فرض کند به $0$ می‌رسد. «$1$» رد می‌شود چون ممکن است یکی از $3^0$ یا $(-5)^0$ را اشتباه محاسبه کند. «$3$» رد می‌شود چون ممکن است $3^0$ را $3$ فرض کند. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در محاسبهٔ توان صفر و توان پایهٔ صفر است.

Question 3

حاصل ضرب $2^3 	imes 5^3 	imes 7^3$ به صورت یک عبارت توان‌دار کدام است؟

Accepted Answer

$70^3$ — «$70^3$» درست است زیرا توان‌ها مساوی‌اند، بنابراین پایه‌ها ضرب می‌شوند: $(2	imes5	imes7)^3=70^3$. «$2^3 	imes 5^3 	imes 7^3$» رد می‌شود چون ساده‌سازی ناقص است. «$70^9$» رد می‌شود چون توان‌ها به‌اشتباه جمع شده‌اند ($3+3+3=9$). «$(2 	imes 5 	imes 7)^9$» رد می‌شود چون هم پایه‌ها ضرب شده و هم توان اشتباه گرفته شده است. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در کاربرد قانون ضرب توان‌های مساوی و جمع کردن توان‌ها به‌جای ضرب پایه‌ها است.

Question 4

کدام عدد بین $5.2$ و $5.3$ قرار دارد؟

Accepted Answer

$\sqrt{28}$ — «$\sqrt{28}$» درست است چون $5.2^2=27.04$ و $5.3^2=28.09$، و $\sqrt{28}\approx5.29$ در این بازه قرار می‌گیرد. «$\sqrt{27}$» رد می‌شود چون $\sqrt{27}\approx5.196$ از $5.2$ کوچک‌تر است. «$\sqrt{29}$» رد می‌شود چون $\sqrt{29}\approx5.385$ از $5.3$ بزرگ‌تر است. «$\sqrt{30}$» رد می‌شود چون $\sqrt{30}\approx5.477$ نیز خارج از بازه است. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در تخمین مجذور اعداد و مقایسهٔ جذرها بدون محاسبهٔ دقیق است.

Question 5

حاصل جمع $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ کدام است؟

Accepted Answer

$5\sqrt{3}$ — «$5\sqrt{3}$» درست است زیرا $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ و $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$، و $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$. «$\sqrt{39}$» رد می‌شود چون به اشتباه زیر رادیکال‌ها جمع شده‌اند ($12+27$). «$5\sqrt{6}$» رد می‌شود چون ضریب‌ها درست ولی زیر رادیکال اشتباه گرفته شده. «$6\sqrt{5}$» رد می‌شود زیرا حاصل جمع دیگری است. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه رایج $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ است.

Question 6

حاصل عبارت $-(-2)^3$ کدام است؟

Accepted Answer

$8$ — «$8$» درست است زیرا $(-2)^3 = -8$ و سپس $-(-8)=8$. «$-6$» رد می‌شود چون ممکن است $(-2)^3$ را به صورت $-2	imes3=-6$ محاسبه کند. «$6$» رد می‌شود چون ممکن است $(-2)^3$ را $-6$ بگیرد و منفی بیرون را اعمال کرده و $6$ به دست آورد. «$-8$» رد می‌شود چون منفی دوم اعمال نشده است ($-(-2)^3$ با $-2^3$ اشتباه گرفته شده). تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در تمایز بین $(-a)^n$ و $-a^n$ و نیز اشتباه در محاسبهٔ توان اعداد منفی است.

Question 7

کدام گزینه عدد $144$ را به صورت حاصلضرب توان‌های اعداد اول نشان می‌دهد؟

Accepted Answer

$2^4 	imes 3^2$ — «$2^4 	imes 3^2$» درست است زیرا $144=12^2=(2^2	imes3)^2=2^4	imes3^2$. «$2^2 	imes 3^4$» رد می‌شود چون $2^2	imes3^4=4	imes81=324$. «$2^3 	imes 3^3$» رد می‌شود چون $8	imes27=216$. «$2^4 	imes 3^3$» رد می‌شود چون $16	imes27=432$. تلهٔ تستی این سؤال، اشتباه در تجزیه به عوامل اول و جابجایی توان‌ها است.

Question 8

حاصل عبارت $-3^2 + (-3)^2$ کدام است؟

Accepted Answer

$0$ — «$0$» درست است چون $-3^2 = -(3^2) = -9$ و $(-3)^2 = 9$، بنابراین $-9 + 9 = 0$. «$-18$» رد می‌شود چون احتمالاً $-3^2$ را $9$ و $(-3)^2$ را $-9$ گرفته‌اند که هر دو غلط است. «$18$» رد می‌شود چون هر دو جمله را $9$ و $9$ در نظر گرفته‌اند. «$-9$» رد می‌شود چون $-3^2$ را $-9$ درست حساب کرده ولی $(-3)^2$ را $-9$ فرض کرده است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز بین $-a^n$ و $(-a)^n$ تمایز قائل نمی‌شود و علامت منفی را در $(-3)^2$ اشتباه محاسبه می‌کند.

Question 9

اگر $5^4 	imes 5^y = 5^{3y-2}$ باشد، مقدار $y$ کدام است؟

Accepted Answer

$3$ — «$3$» درست است زیرا با قانون ضرب پایه‌های مساوی داریم $5^4 	imes 5^y = 5^{4+y}$، پس $4+y=3y-2$ که با حل معادله $y=3$ به‌دست می‌آید. «$2$» رد می‌شود چون حاصل $4+2=6$ و $3(2)-2=4$ برابر نیستند. «$1$» رد می‌شود چون $4+1=5$ و $3(1)-2=1$ نابرابر است. «$4$» رد می‌شود چون $4+4=8$ و $3(4)-2=10$ نابرابر است. تلهٔ تستی این سؤال اشتباه در حل معادلهٔ حاصل از جمع توان‌ها یا ضرب کردن توان‌ها به‌جای جمع است.

Question 10

با استفاده از قانون ضرب توان‌های مساوی، حاصل $(\frac{4}{9})^3 	imes (\frac{27}{8})^3$ کدام است؟

Accepted Answer

$(\frac{3}{2})^3$ — «$(\frac{3}{2})^3$» درست است چون $(\frac{4}{9})^3 	imes (\frac{27}{8})^3 = (\frac{4}{9} 	imes \frac{27}{8})^3 = (\frac{108}{72})^3 = (\frac{3}{2})^3$. «$(\frac{1}{6})^3$» رد می‌شود چون حاصل ضرب کسرها به‌درستی ساده نشده. «$(\frac{9}{4})^3$» رد می‌شود چون احتمالاً مخرج‌ها اشتباه ضرب شده‌اند. «$(\frac{2}{3})^3$» رد می‌شود چون صورت و مخرج جابه‌جا در نظر گرفته شده. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز کسرها را قبل از ضرب ساده نکند و یا قانون $a^n 	imes b^n = (ab)^n$ را فراموش کند.

Question 11

حاصل عبارت $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$ به ساده‌ترین شکل کدام است؟

Accepted Answer

$4\sqrt{2}$ — «$4\sqrt{2}$» درست است زیرا $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$، $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ و $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$، بنابراین $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. «$\sqrt{2}$» رد می‌شود چون حاصل تفریق و جمع درست محاسبه نشده. «$2\sqrt{2}$» رد می‌شود چون یکی از ضرایب اشتباه کم یا زیاد شده. «$0$» رد می‌شود چون عبارت صفر نیست. تلهٔ تستی این سؤال اشتباه در ساده‌سازی رادیکال‌ها (مثلاً $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ را $2\sqrt{2}$ گرفتن) یا جمع و تفریق نادرست ضرایب است.

Question 12

حاصل عبارت $(-2)^0 + (-2)^1 - (-2)^2$ کدام است؟

Accepted Answer

$-5$ — «$-5$» درست است زیرا $(-2)^0=1$، $(-2)^1=-2$، $(-2)^2=4$، پس $1 + (-2) - 4 = -5$. «$-7$» رد می‌شود چون $(-2)^1$ را $2$ گرفته و یا علامت‌ها را اشتباه ترکیب کرده. «$1$» رد می‌شود چون $(-2)^2$ را $-4$ فرض کرده‌اند. «$-3$» رد می‌شود چون در اولویت محاسبه یا علامت خطا رخ داده. تلهٔ تستی این سؤال در محاسبه‌ی توان‌های عدد منفی و رعایت ترتیب عملیات است؛ بخصوص $(-2)^2$ که نباید $4-$ در نظر گرفته شود.

Question 13

رقم یکان $3^{2025}$ کدام است؟

Accepted Answer

$3$ — «$3$» درست است زیرا الگوی رقم یکان توان‌های $3$ به صورت $3,9,7,1$ با دوره‌ی $4$ تکرار می‌شود. باقیمانده‌ی $2025$ بر $4$ برابر $1$ است، پس اولین عضو دوره یعنی $3$ رقم یکان است. «$7$» رد می‌شود چون با باقیمانده‌ی $3$ اشتباه گرفته شده. «$9$» رد می‌شود چون باقیمانده‌ی $2$ گرفته شده. «$1$» رد می‌شود چون باقیمانده‌ی $0$ گرفته شده. تلهٔ تستی این سؤال اشتباه در محاسبه‌ی باقیمانده و تشخیص عضو متناظر از دوره است.

Question 14

کدام یک از عبارت‌های زیر درست است؟

Accepted Answer

$2^{10} > 10^2$ — «$2^{10} > 10^2$» درست است زیرا $2^{10}=1024$ و $10^2=100$، پس $1024 > 100$. «$2^{10} < 10^2$» رد می‌شود چون خلاف واقع است. «$2^{10} = 10^2$» رد می‌شود چون دو عدد برابر نیستند. «$2^{10} \le 10^2$» رد می‌شود چون $2^{10}$ از $10^2$ بزرگتر است. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است $2^{10}$ را $20$ (حاصل ضرب $2 	imes 10$) تصور کند و گزینه‌ی دوم را انتخاب نماید.

Question 15

$\sqrt{17}$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

Accepted Answer

$4$ و $5$ — «$4$ و $5$» درست است زیرا $4^2=16$ و $5^2=25$ و $16<17<25$، پس $4<\sqrt{17}<5$. «$3$ و $4$» رد می‌شود چون $3^2=9$ و $4^2=16$ و $17$ از $16$ بزرگتر است. «$5$ و $6$» رد می‌شود چون $5^2=25$ و $6^2=36$ و $17$ از $25$ کوچکتر است. «$4$ و $6$» رد می‌شود چون فاصله بیش از حد است و دقت لازم را ندارد. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است مربع اعداد را اشتباه به خاطر بسپارد (مثلاً $4^2=8$) و نادرست مقایسه کند.

Question 16

حاصل عبارت $(-2)^3 - (-3)^2 + 2^4 \div (-2)^2$ کدام است؟

Accepted Answer

$-13$ — «$-13$» درست است زیرا با رعایت ترتیب عملیات: $(-2)^3=-8$، $(-3)^2=9$، $2^4=16$ و $(-2)^2=4$؛ سپس تقسیم: $16\div4=4$؛ در نهایت $-8-9+4=-13$. «$13$» رد می‌شود زیرا اگر علامتِ منفیِ $(-2)^3$ و علامتِ منفیِ ابتدای جملهٔ دوم هر دو نادیده گرفته شوند، محاسبه به‌صورتِ $8+9-4=13$ انجام می‌شود که دقیقاً قرینهٔ پاسخِ درست است. «$5$» رد می‌شود زیرا اگر $(-3)^2$ به‌اشتباه $-9$ در نظر گرفته شود، $-8-(-9)+4=5$ به دست می‌آید. «$-5$» رد می‌شود زیرا از دو خطای علامتیِ هم‌زمان ناشی می‌شود: اگر $(-2)^3$ را $+8$ و $(-2)^2$ را $-4$ در نظر بگیریم، $8-9-4=-5$ می‌شود. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز در محاسبهٔ توانِ عددهای منفی (به‌ویژه $(-3)^2$ و $(-2)^3$) دچار خطای علامت شود.

Question 17

کدام یک از تساوی‌های زیر نادرست است؟

Accepted Answer

$-2^3 = 8$ — «$-2^3 = 8$» نادرست است زیرا $-2^3=-(2^3)=-8$، نه $8$ (توان فقط روی $2$ اثر می‌گذارد، منفی بیرون از توان می‌ماند). «$(-2)^3 = -8$» رد می‌شود چون این تساوی درست است: $(-2)^3=(-2)	imes(-2)	imes(-2)=-8$. «$(-2)^2 = 4$» رد می‌شود چون این تساوی درست است: $(-2)^2=4$ (توانِ زوج، نتیجه مثبت). «$-2^2 = -4$» رد می‌شود چون این تساوی درست است: $-2^2=-(2^2)=-4$. تلهٔ تستی این سؤال قاطی‌کردنِ $(-a)^n$ با $-a^n$ است؛ دانش‌آموز ممکن است فکر کند در $-2^3$ هم مثلِ $(-2)^3$ منفی داخلِ توان شرکت می‌کند و نتیجه را $-8$ بداند، در حالی‌که $-2^3$ همیشه $-8$ می‌شود و ادعای «$-2^3=8$» است که نادرست است.

Question 18

حاصل $4^3 	imes 4^2 	imes 4$ کدام است؟

Accepted Answer

$4^6$ — «$4^6$» درست است زیرا با قانون $a^m 	imes a^n = a^{m+n}$ داریم $4^3 	imes 4^2 	imes 4^1 = 4^{3+2+1}=4^6$. «$4^5$» رد می‌شود چون تنها دو توان را جمع کرده و $4$ (یعنی $4^1$) را نادیده گرفته است. «$4^{12}$» رد می‌شود چون توان‌ها را ضرب کرده به‌جای جمع. «$4^8$» رد می‌شود زیرا احتمالاً $3+2+1=6$ را با $2$ اشتباه گرفته یا $3	imes2+1=7$ محاسبه کرده. تلهٔ تستی این سؤال اشتباه رایج «ضرب توان‌ها به‌جای جمع» است.

Question 19

کدام گزینه، تجزیهٔ عدد $72$ به عوامل اول را به‌درستی نشان می‌دهد؟

Accepted Answer

$2^3 	imes 3^2$ — «$2^3 	imes 3^2$» درست است زیرا $72 = 8 	imes 9 = 2^3 	imes 3^2$. «$2 	imes 6^2$» رد می‌شود چون $6$ عدد اول نیست. «$2^2 	imes 3^3$» رد می‌شود زیرا $4	imes27=108$ با $72$ برابر نیست. «$2^4 	imes 3$» رد می‌شود زیرا $16	imes3=48$. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است تجزیهٔ درستی انجام دهد ولی توان‌ها را جابجا یا عدد غیر اول را وارد کند.

Question 20

$\sqrt{50}$ بین کدام دو عدد طبیعی متوالی قرار دارد؟

Accepted Answer

$7$ و $8$ — «$7$ و $8$» درست است زیرا $7^2=49$ و $8^2=64$ و $49<50<64$. «$5$ و $6$» رد می‌شود چون $25<36<50$. «$6$ و $7$» رد می‌شود چون $36<49<50$ و $50$ از $49$ بزرگتر است. «$4$ و $5$» رد می‌شود چون $16<25<50$. تلهٔ تستی این سؤال این است که دانش‌آموز ممکن است مربع $6$ و $7$ را با $50$ مقایسه کند و اشتباهاً $6$ و $7$ را انتخاب کند غافل از اینکه $50$ از $49$ بیشتر است.

تعداد تا	تعداد قسمت‌ها	به صورت توان
۰	۱	$2^0 = 1$
۱	۲	$2^1 = 2$
۲	۴	$2^2 = 4$
۳	۸	$2^3 = 8$
۴	۱۶	$2^4 = 16$
۱۰	۱۰۲۴	$2^{10} = 1024$
$n$	...	$2^n$

عبارت	مقدار	توضیح
$a^1$	$a$	یک‌بار ضرب = خود عدد
$a^0$	$1$	(برای $a \neq 0$ )
$1^n$	$1$	ضرب تکراری ۱ همیشه ۱ است
$0^n$	$0$	(برای $n \neq 0$ )

پایه	دوره‌ی رقم یکان	طول دوره
۲	۲، ۴، ۸، ۶	۴
۳	۳، ۹، ۷، ۱	۴
۴	۴، ۶	۲
۵	همیشه ۵	۱
۷	۷، ۹، ۳، ۱	۴
۹	۹، ۱	۲

	پایه مساوی	توان مساوی
نتیجه	$a^{m+n}$	$(ab)^n$
چه چیزی تغییر می‌کند؟	توان‌ها جمع می‌شوند	پایه‌ها ضرب می‌شوند
مثال	$3^2 \times 3^4 = 3^6$	$3^2 \times 4^2 = 12^2$

$n$	$4^n$	$n^4$	بزرگ‌تر
۱	۴	۱	$4^n$
۲	۱۶	۱۶	مساوی
۳	۶۴	۸۱	$n^4$
۴	۲۵۶	۲۵۶	مساوی
۱۰	$\approx 10^6$	$10000$	$4^n$ بسیار بزرگ‌تر

عدد	جذر
$\sqrt{1}$	$1$
$\sqrt{9}$	$3$
$\sqrt{25}$	$5$
$\sqrt{49}$	$7$
$\sqrt{81}$	$9$
$\sqrt{100}$	$10$
$\sqrt{144}$	$12$

مفهوم	فرمول / قاعده	نکته‌ی کلیدی
تعریف توان	$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n}$	پایه، $n$ بار در خودش ضرب می‌شود
موارد خاص	$a^1=a$ ، $a^0=1\ (a\neq0)$ ، $1^n=1$ ، $0^n=0\ (n\neq0)$	$0^0$ نامعین است
ترتیب عملیات	پرانتز ← توان ← ضرب/تقسیم ← جمع/تفریق	از چپ به راست
$(-a)^n$ در برابر $-a^n$	توانِ زوج: متفاوت — توانِ فرد: یکسان	پرانتز تعیین‌کننده است
ضربِ پایه‌های مساوی	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	توان‌ها جمع می‌شوند
تقسیمِ پایه‌های مساوی	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	توان‌ها کم می‌شوند
ضربِ توان‌های مساوی	$a^n \times b^n = (a \times b)^n$	پایه‌ها ضرب می‌شوند
جذر	$\sqrt{a}=b \iff b^2=a,\ b\ge0$	رادیکال فقط ریشه‌ی مثبت را نشان می‌دهد
رابطه‌ی جذر و توان	$\sqrt{a}=a^{1/2}$ ، $\sqrt{a^2}=a\ (a\ge0)$	جذر و توانِ دوم، عکس هم‌اند

خلاصه‌ی درسنامه

فصل ۷ — تعریف توان

مفاهیم اصلی

توان از کجا آمد؟

اجزای یک عبارت توان‌دار

الگوی تا زدن کاغذ

تعریف رسمی توان

توضیح و آموزش

چطور یک عبارت توان‌دار حساب کنیم؟

پایه کسری چطور حساب می‌شود؟

پایه اعشاری چطور حساب می‌شود؟

اعداد جالب: توان صفر، یک و پایه‌های خاص

توان دار نوشتن اعداد — تجزیه به عوامل اول

توان در جبر — حروف به جای اعداد

مساحت و حجم با توان

تکثیر سلول‌ها — کاربرد واقعی توان

فرمول‌ها و روش‌ها

تعریف اصلی

حالت‌های خاص

روش تجزیه عدد به شکل توان‌دار

نکات مهم

نکات فراتر از کتاب

رابطه 10n10^n10n با رقم‌های عدد

الگوی رقم یکان در توان‌ها

اشتباهات رایج

نمونه سؤال

جمع‌بندی

فصل ۷ — محاسبه عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

ترتیب انجام عملیات

توان عدد منفی

حالت اول: منفی داخل پرانتز — (−2)n(-2)^n(−2)n

حالت دوم: منفی بیرون از پرانتز — −2n-2^n−2n

توان صفر — چرا a0=1a^0 = 1a0=1 است؟

نمایش گسترده اعداد با توان‌های ۱۰

فرمول‌ها و روش‌ها

قانون ضرب با پایه مساوی

قانون ضرب با توان مساوی

جدول مقایسه دو قانون

محاسبه عبارت با عدد حروفی (متغیر)

نکات مهم

نکات فراتر از کتاب

محاسبه سریع با شکستن توان

نکته مهم برای امتحانات تیزهوشان

یک مثال ترکیبی

اشتباهات رایج

نمونه سؤال

جمع‌بندی

فصل ۷ — ساده کردن عبارت‌های توان‌دار

مفاهیم اصلی

توضیح و آموزش

قانون اول — پایه‌های مساوی

قانون دوم — توان‌های مساوی

ترکیب دو قانون

نوشتن اعداد به صورت توان‌دار با تجزیه

فرمول‌ها و روش‌ها

دو فرمول اصلی

روش گام‌به‌گام حل مسائل

مثال کاربردی

نکات مهم

نکات فراتر از کتاب

مقایسه 4n4^n4n و n4n^4n4

قانون تقسیمِ توان‌های هم‌پایه

اشتباهات رایج

نمونه سؤال

جمع‌بندی کلی

فصل ۷ — جذر و ریشه

مفاهیم اصلی

مجذور و ریشه دوم چیست؟

اعداد مربع کامل

چرا اعداد منفی جذر ندارند؟

فرمول‌ها و روش‌ها

جذر تقریبی اعداد غیرمربع‌کامل

نکات مهم

نکات فراتر از کتاب

رابطه جذر و توان

ساده‌سازی رادیکال با تجزیه

جمع و تفریق رادیکال‌های هم‌جنس

اشتباهات رایج

نمونه سؤال

رابطه $10^n$ با رقم‌های عدد

حالت اول: منفی داخل پرانتز — $(-2)^n$

حالت دوم: منفی بیرون از پرانتز — $-2^n$

توان صفر — چرا $a^0 = 1$ است؟

مقایسه $4^n$ و $n^4$